教案对“柯西不等式”展开的联想

柯西不等式教案教案标题：柯西不等式教案教案目标：1. 理解柯西不等式的概念和原理。

2. 掌握柯西不等式的应用方法。

3. 培养学生的逻辑思维和问题解决能力。

教学准备：1. 教材：包含柯西不等式相关知识点的数学教材。

2. 教具：黑板、白板、彩色笔、计算器等。

3. 学生资源：学生课本、笔记本、作业本等。

教学过程：步骤一：导入1. 利用黑板或白板，写下柯西不等式的定义和公式。

2. 向学生提问：“你们对柯西不等式有什么了解？它在数学中的应用是什么？”步骤二：概念讲解1. 通过讲解，向学生介绍柯西不等式的概念和原理。

2. 强调柯西不等式的重要性和应用领域，如线性代数、概率论等。

3. 通过示例，帮助学生理解柯西不等式的具体应用。

步骤三：应用演练1. 提供一些简单的柯西不等式应用题，让学生尝试解答。

2. 引导学生分析解题思路和方法，帮助他们逐步掌握解题技巧。

3. 鼓励学生在解题过程中提出问题、讨论和交流，促进他们的思维发展。

步骤四：拓展练习1. 提供一些较难的柯西不等式应用题，挑战学生的解题能力。

2. 引导学生运用柯西不等式解决实际问题，培养他们的问题解决能力。

3. 鼓励学生展示自己的解题思路和方法，促进合作学习和互相学习。

步骤五：总结和归纳1. 通过讨论和总结，概括柯西不等式的关键概念和应用方法。

2. 强调柯西不等式的重要性，鼓励学生在数学学习中灵活应用该不等式。

步骤六：作业布置1. 布置与柯西不等式相关的作业题目，巩固学生的学习成果。

2. 鼓励学生自主学习和探索，提高他们的问题解决能力。

教学反思：根据学生的实际情况和学习进度，教师可以适当调整教学步骤和难度。

在教学过程中，要注重启发学生的思维，激发他们的兴趣，培养他们的数学思维和解决问题的能力。

同时，教师还应根据学生的学习情况进行及时的巩固和复习，以确保他们对柯西不等式的理解和应用能力的提高。

如何进行柯西不等式的教学柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用，教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了—个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式.由上可见，教材编写者对这部分内容的要求以便让学生在大学学习打下坚实的基础，但这部分教与学的难度是显而易见的.柯西不等式∑∑∑===≥ni i i ni ini ib a ba 121212)(是柯西在1931年研究数学分析中的“留数”问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式22222)())((bd ac d c b a +≥++，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式,以它的对称和谐的结构,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间等内在地联系在一起.柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式αβαβ≥⋅不仅直观地反映了这一不等式的本质，一般形式∑∑∑===≥ni i i ni in i i b a ba 121212)(有一个推广形式：n n qqn q q ppn p p b a b a b a b b b a a a +++≥++++++ 2211121121)()(.其中111=+qp .该不等式称为赫尔德（Holder ）不等式，当2==q p 时，即为柯西不等式，是数学分析中最有用的不等式之一.此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式∑∑∑===+≥+ni i ini ini iy xyx121212)(（闵可夫斯基不等式）也是数学分析中的经典不等式.这就是在新课程标准中作为选学内容出现的原因，也是多年数学奥赛的重点内容的原因.但由于中学生的认知水平，要达到标准要求“了解柯西不等式、会求一些特定函数的极值”对很多同学来说是一个难点.那么，如何达到学习目的呢1．首先熟悉“∑”的含义有很多同学十分“痛恨” ∑这个符号，总是看不懂，从而就避开这个符号，如93年高考题理科（24）使用了连加号“Σ”，许多考生不懂，其实这个符号在课本多次出现过，由于长期不用，他们忘记了.这个符号是绝对好用的，并且以后会常常遇到，在大学课本中更是家常便饭，多看几次自然也就习惯了.∑i A 下方写1i =，上方写n ，这里i 是下标变量，1是i 起始的值，n 是i 终止的值，这时121ni n i A A A A ==+++∑.2．柯西不等式有着丰富的几何背景，可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解对于一个代数结果作简单的解释，往往需要借助于几何背景，只有人们知道了问题发现的过程，才能理解它的深刻含意.柯西不等式有着丰富的几何背景，运用向量的数量积在不等式和几何之间架起一座桥梁，就可以用几何的背景解释不等式：设()12,,,n a a a α=，()12,,n b b b β=，由αβαβ≥⋅，可得222111()nnni ii i i i i a ba b ===≥∑∑∑ .3．认清柯西不等式的结构形式以便发生联想20世纪最伟大的数学家冯·诺依曼（ Neumann ）指出“大多数最好的数学灵感来源于经验”，从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模的积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，只需简记为“方和积大于积和方”.等号成立条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数.有了这一经验，就容易在解题时发生联想. 如：例1 设,,a b c 为正数，求证：222a b c a b c b c a++≥++.分析：如果要运用cauchy 不等式，就要联想到小的一边是“积和方”形式就自然分析出只要证在不等式两边同乘以a b c ++，即2222()()()a b c a b c a b c b c a++++≥++，而另一边要看成“方和积”，只需变形222a b c ++=++，222222a b cb c a ++=++，应用柯西不等式，得2222222)(])()()][()()()[(cb c ba b ac a cb ba ac c b a ⋅+⋅+⋅≥++++即222a b c a b c b c a++≥++.4．含有常数的不等式处理方法在不等式中含有常数n ，这个常数一般与cauchy 不等式中向量的维数有关，通常把n 写成22221111++++的形式或111+++的形式,又如：例2 证明：()()2333366664a b c d a b c d +++≤+++.分析：常数4恰好就是每个括号中加数的个数，此时通常把4写成“22221111+++”，用柯西不等式：()()()23333222266661111a b c d a b c d +++≤++++++即可.例3 设λ是实数，对任意实数,,x y z 恒有()()2222444x y z x y z λ++≤++成立，试求λ的取值范围．分析：与柯西不等式的一般形式比较，“积和方”已经具备，而另一边只需再构造一个“方和积”即可，由于()()()2222222444111x y z x y z ++≤++++，所以，3λ≥.例4 求三个实数,,x y z ，使得它们同时满足下列方程222231349215382x y z x y z x y z ++=⎧⎨++-++=⎩. 分析：将两方程左右两边分别相加，变形，得()()()2222332108x y z ++++=． 由第1个方程变形，得()()233218x y z ++++=． 于是由柯西不等式，得()()()22181213312x y z =⨯+⨯++⨯+⎡⎤⎣⎦()()()()2222221112332x y z ⎡⎤≤++++++⎣⎦218=.从而由等号成立的条件可得23326x y z =+=+=， 故原方程的解为3,1,4x y z ===．提示：由柯西不等式解方程时一定要注意运用cauchy 不等式等号成立的条件.5．在应用cauchy 不等式求最值时，要善于构造例5 （2001年全国初中联赛题） 求实数x 、y 的值，使得()()()2221326y x y x y -++-++-达到最小值．分析：就需要把()()()2221326y x y x y -++-++-看成是不等式中向量模的平方，构造另一模的平方，构造的顺序为把最繁的式子26x y +-对应的坐标为1，考虑3x y +-乘以2-就可以把x 抵消，因此2-就是3x y +-对应坐标，最后看()()()12623x y x y y ⨯+-+-⨯+-=-,因此1y -对应的坐标为1，从而就有cauchy 不等式：()()()()2222221211326y x y x y ⎡⎤⎡⎤+-+-++-++-⎣⎦⎣⎦()()()()21123126y x y x y ≥⨯-+-+-+⨯+-⎡⎤⎣⎦． ∴()()()2221326y x y x y -++-++-61≥. 例 6 若56741a b c d +-+=,求2222325a b c d +++的最小值,并指出等号成立的条件.分析：由于,,,a b c d 各项系数不同，而且既有1次项，又有2次项，显然要用柯西不等式，因为是求2222325a b c d +++的最小值，一定要把2222325a b c d +++看成“方和积”的一部分，而条件5674a b c d +-+是常数，它一定是“积和方”的一部分.而且使用柯西不等式不受-7c 这项的影响.使用时，注意写明等号成立条件，检验最小值能否取到.6.知识小结1．二维形式的柯西不等式：若d c b a ,,,都是实数，则()()()22222bd ac d c b a+≥++，当且仅当bc ad =时，等号成立.2．柯西不等式的向量形式：设βα,是两个向量，则βαβα≤⋅，当且仅当β是零向量或存在实数k ，使βαk =时，等号成立.3．二维形式的三角不等式：设R y x y x ∈2211,,,，则()()22122122222121y y x x y x y x -+-≥+++. 4.三维形式的柯西不等式：设321321,,,,,b b b a a a 是实数，则()()()ba b a ba bb baa a++≥++++当且仅当)3,2,1(0==i b i 或存在一个数k ，使得()3,2,1==i kb a i i 时等号成立.5.一般形式的柯西不等式：设n n b b b b a a a a ,,,,,,,,,321321 是实数，则()()2222122221n n b b b a a a++++++ ()22211n n b a b a b a +++≥ .当且仅当),,2,1(0n i b i ==或存在一个数k ，使得()n i kb a i i ,,2,1 ==时等号成立.7.应用举例例1 已知62322≤+y x ，求证：112≤+y x .证明：由柯西不等式得()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤+222222132232y x y x ()11611621342322=⨯≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y x 所以112≤+y x .例2 设d c b a ,,,是4个不全为零的实数，求证：21222222+≤+++++d c b a cd bc ab . 证明：ad)(bc ad)(bc cd)(ab cd 2bc ab ++-++=++()()[]()()222222d c a b ad bc cd ab 2+++-++≤()()()()22222222d c b a d b c a 2+++++≤()()()()2d c b a 2d b c a222222222+++++++⋅≤()2222d c b a 212++++= 所以21222222+≤+++++d c b a cd bc ab . 例3 若243=+y x ，试求22y x +的最小值及最小值点. 解：由柯西不等式得()()()222224343y x y x +≥++，得()42522≥+y x ，所以25422≥+y x .当且仅当43yx =时等号成立，为求最小值点，需解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+43243y x y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==258256y x即当258,256==y x 时，22y x +的最小值为254，最小值点为⎪⎭⎫ ⎝⎛258,256. 例4 已知+∈R b a ,且,1=+b a 求证：()222by ax by ax +≤+ 证明：设()b a n y b x a m ,),,(==，则by ax ≤=+()()()()2222b a y b x a +⋅+=2222by ax b a by ax +=+⋅+=，∴()222by ax by ax +≤+.例5 若⎪⎭⎫⎝⎛∈2,0πx ，试求函数x x x f 2sin 14cos 3)(++=的最大值，并求出相应的x 的值.解：设()x x n m 2sin 1,cos ),4,3(+==，则25sin 1cos 43sin 14cos 3)(22222=++⋅+=≤⋅=++=x x x x x f当且仅当n m //时，上式取“=”，此时x x cos 4sin 132=+，解得57arcsin,523cos ,57sin ===x x x ∴当57arcsin=x 时，函数x x x f 2sin 14cos 3)(++=取最大值25. 例6 设z y x ,,是正数，证明：()()()1111111222≥++++++++++++++x z yzxy z y xy zx y x zx yz .证明：由柯西不等式得()[]()2111++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++y x zy x y x z . 所以()zy x zy x zx yz ++≥++++211. 同理()z y x x z y xy zx ++≥++++211，()zy x yz x yz xy ++≥++++211. 将三个不等式相加，得()()()1111111222≥++++++++++++++x z yzxy z y xy zx y x zx yz . 说明：对于许多分式不等式分母太多，也很复杂，我们可局部利用柯西不等式将分母化为统一的式子，使问题得以简化.例7 解方程 1521234=-++x x . 解：原方程变形为2212232215⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅++⋅=x x ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤22222123222x x 15=.其中等号成立的重要条件是2212232x x -=+.解得31-=x .说明：注意方程与不等式间的相互转化，当不等式中的等号成立时，不等式就成为方程了.例8 m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的n m 、，问n m 43+的最大值是多少试证明你的结论.解：设),,2,1(m i a i=为互不相同的正偶数，),,2,1(n j b j=，则m a a a m24221+++≥+++ ，()123121-+++≥+++n b b b n，()()19872121=+++++++mmb b b a a a，由上述三式可得()198712≤++n m m ，即4119872122+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m . 由柯西不等式得，()2222243214213+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m n m .即2254119872343⨯⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++n m . ∴22223411987543<-+≤+n m .∴22143≤+n m .又当35,27==n m 时，22143=+n m 且满足()198712≤++n m m .故所求最大值为221.说明：本题反映了一种重要解题方式，那就是首先缩小所探究目标的范围，再运用柯西不等式作进一步收缩，步步逼近，最后又经过构造实例使目标得到确认.例9 设na a a ,,,21为实数，运用柯西不等式证明：nnnaa nna a n a a 1111221++≥++≥++ . 证明：由柯西不等式得()()()nn na a a a ++≥++++1212122111个.于是nn a a a n a a +++≥⋅++ 21221即得naa n a a nn ++≥++ 1221.再由柯西不等式得()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++n n a a a a a a 1112121 222211111n a a a a a a n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⋅+⋅≥ .于是nnaa nn a a 1111++≥++ . 综合知原不等式成立.例10 已知实数d c b a ,,,满足3=+++d c b a ，且56322222=+++d c b a ，试求a 的最大值与最小值.解：由柯西不等式得，()()2222613121632d c b d c b ++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++.即()2222632d c b d c b ++≥++.综合得()2235a a -≥- ，21≤≤a当且仅当616313212d c b ==，即d c b 632==时等号成立.由3=+++d c b a 和d c b 632==知，当31,32,1===d c b 时，1m in=a当61,31,21===d c b 时，2max=a例11 已知正数z y x ,,满足xyz z y x =++，且不等式λ≤+++++xz z y y x 111恒成立，求λ的取值范围.解zxyz xy x z z y y x 212121111++≤+++++ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯+++⨯+++⨯=z y x yz y x x z y x z 11121()2122211121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++≤z y x yz y x x z y x z 23=所以λ的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23. 例12 求出所有实数a ，使得存在非负实数,,,321x x x 54,x x ，适合下列关系式：a x x x x x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅5432154321 ①2534333231354321a x x x x x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ ②3554535251554321a x x x x x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅ ③解：设有非负实数,,,321x x x 54,x x 满足题设要求，那么由柯西不等式得()25323134521x x x a +++=2525521225212125121552211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=x x x x x x()()552515521521521x x x x x x ⋅++⋅+⋅⋅++⋅+⋅≤ 4a =这样一来，上式中唯有等号成立，于是()()5,4,3,2,102512=>=k x kx kkkλλ如果54321,,,,x x x x x 中有两个或两个以上不为零，上式不可能成立，所以只能有上述两种情形：⑴,054321=====x x x x x 此时0=a .⑵()5,4,3,2,1=i x i中有且仅有一个不为零，不妨设0≠kx ，依题设3523,,a x k a x k a kx kkk===解得()5,4,3,2,1,2===k a k k x k综上知，当25,16,9,4,1,0=a 时，存在非负实数54321,,,,x x x x x 满足题设要求.例13 P 是ABC ∆内一点，z y x ,,是P 到三边c b a ,,的距离，R 是ABC ∆外接圆的半径，证明：22221c b a Rz y x ++≤++.证明：记S 是ABC ∆的面积，则 RabcS cz by ax 22==++22221211112111111c b a Rca bc ab R cb a R abc c b a cz by ax ccz b by a ax z y x ++≤++⋅=++⋅=++⋅++≤⋅+⋅+⋅=++ 所以22221c b a Rz y x ++≤++说明：本题中给出ABC ∆三边的长，又给出了ABC ∆内一点到三边的距离及外接圆的半径，可联想到ABC ∆的面积可以把这些量联系起来：()cz by ax S ++=∆21，又R aA R A a 2sin ,2sin == RabcR a bc A bc S 4221sin 21=⋅==∆练习1 一、选择题1．若直线1=+b ya x 通过点()ααsin ,cos M ，则（D ）A ．122≤+b aB ．122≥+b aC ．11122≤+b a D ．11122≥+ba 2．已知0,0≥≥b a ，且2=+b a ，则（C ）A ．21≤abB ．21≥ab C ．222≥+b a D ．322≤+b a3．若y x n m ,,,满足,,2222b y x a n m =+=+其中b a ,为常数，那么ny mx +的最大值为（B ）A ．2b a +B ．abC ．222b a + D ．222b a +4.若d c b a ,,,都为实数,则不等式()()()22222bd ac d c b a +≥++取等号的条件是D ） A. 0=+dc ab B. 0=+bc ad C. 0=-dc ab D .0=-bc ad5.已知+∈R b a ,且,1=+b a 则ba 11+与4的关系为（B ） A. 411>+b a B. 411≥+b a C. 411<+b a D. 411≤+b a6.设+∈R b a ,，则()⎪⎭⎫⎝⎛++b a b a 212的最小值为（D ）A. 5B. 6C. 8D.97.若b a ,是非零实数且,1=+b a +∈R x x 21,，()()2121ax bx bx ax M ++=，21x x N =，则M 与N 的大小关系为（A ）A.N M ≥B. N M >C. N M ≤D. N M < 8.若实数y x ,满足()()22214125=-++y x ，则22y x +的最小值为（D ）A. 2B. 1C. 3D. 2 9.函数1463222+-++-=x x x x y 的最小值为（C ）A ．10B ．10C ．110+D ．110- 10不等式99922≤-+-a b b a 等号成立的条件为（D ）A ．3=+b aB ．9=+b aC ．322=+b aD ．922=+b a 二、填空题11．设0,,,>y x n m ，且1=+ynx m ，则y x u +=的最小值为 .答案：()2nm +12．设b a ,为正数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a 2121的最小值为 .答案：2913.函数x x U -+-=9453的最大值为 .答案：1014.设()1,0,∈y x ，则()()x y y x -+-11的最大值为 .答案：115.设n m d c b a ,,,,,都是正实数，cd ab P +=，nd m b nc am Q +⋅+=， 则P 与Q 的大小关系为 .答案：Q P ≤16.若132=+y x ，则22y x +的最小值为 ，最小值点为 .答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛133,132,131 三、解答题17.求证：53452≤-++a a . 证明：由柯西不等式得()()()[]()2452451445a a a a -++≥-+++=∴53452≤-++a a当且仅当1425a a -=+即511=x 时等号成立. 18.设1=+b a ，求证：8144≥+b a .证明：由柯西不等式得 ()()()11112222==+≥++b a b a∴2122≥+b a .再由柯西不等式得()()()412111222244=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+≥++b a b a ∴8144≥+b a .19已知+∈R q p ,且233=+q p ，求证：2≤+q p .证明：设⎪⎭⎫ ⎝⎛==21212323,),,(q p n q p m ，则qp q p q p q q p p q p +=+⋅+=≤⋅=+=+2332123212322又()()2222q p q p +≤+∴()q p q p q p +≤+≤+22222∴()()q p q p +≤+84()83≤+q p∴2≤+q p20求函数21374x x y -+=的最大值. 解：定义域为[]13,13-，由柯西不等式得()()()[]()22221374134916134916xx x x-+≥-++=⨯+∴513136513742=⨯≤-+x x当且仅当71342x x -=即554=x 时等号成立.∴当554=x 时，函数21374x x y -+=的最大值为513. 21.试用柯西不等式求点()4,3P 到直线0532:=-+y x 的距离. 解：∵直线 上的任意一点),(y x Q 到定点()4,3P 的距离为()()2243-+-y x∴由柯西不等式得()()()[]()()[]()()22222213185183243324394=-=-+=-+-≥-+-+y x y x y x 即()()[]134322≥-+-y x ∴()()134322≥-+-y x当且仅当3423-=-y x 且532=+y x 即1==y x 时等号成立. ∴当1==y x 时，()()2243-+-y x 取最小值13即为所求的距离.练习2 一、选择题1.设c b a ,,为正数，且1=++c b a ，则（D ）A.3111<++c b a B. 3111≥++c b a C. 9111≤++cb a D. 9111≥++cb a 2.设z y x ,,为正数，且1=++z y x ，则 (A )A. 31222≥++z y x B. 31222≤++z y x C. 91222≥++z y x D. 91222≤++z y x 3.求使()()()2226231-++-++-y x y x y 达到最小值的实数y x ,的值（A ）A ．65,25==y xB ．45,35==y xC ．5,3==y xD ．65,21==y x 4.设c b a ,,为正数，且A c b a =++，则（D ） A.A c b a 3111<++ B. A c b a 3111≥++ C. A c b a 9111≤++ D. Ac b a 9111≥++5.设1=++z y x ，则22232z y x ++的最小值为（B ）A ．103 B ．116 C ．113 D ．1076.式子()⎪⎭⎫⎝⎛++++222222111c bac b a 的最小值为（A ）A ．9B ．10C ．12D ．187.设()()1161914222=++++z y x ，则函数162-++=z y x W 的取值范围为（D ） A ．40104010+-≤≤--W B ．41104110+-≤≤--W C ．40104018+-≤≤--W D ．41184118+-≤≤--W 8.设c b a ,,为正数且不全相等，判断c b a M ++=9与ac c b b a N +++++=222的大小（D ） A ．N M ≥ B ．N M > C ．N M ≤ D ．N M <9.设nx x x ,,,21为正数，nx x x W +++= 21，nxx x U 11121+++= ，则下式成立的是（B ） A ．2n WU ≤ B ．2n WU ≥ C ．2n WU < D ．2nWU >10.设+∈R c b a ,,，则ba ca cbc b a +++++的最小值为（C ） A ．43 B ．2 C ．23 D ．311.已知βα,为锐角，且1cos sin sin cos 2424=+βαβα，则（A ） A ．2π B ．43π C ．4πD ．125π 12.若147654321=+-+x x x x ，则函数24232221523x x x x M +++=的最小值为（B ）A ．15782 B ．78215 C ．3 D ．325二、填空题13.设,,3,2 =n 则n ++++ 321与21+n n的大小关系为 . 答案：21321+<++++n nn 14.若c b a ,,为实数，且1222=++c b a ，则函数ca bc ab U ++=的取值范围为 . 答案：121≤≤-U15.设+∈R z y x ,,且1321=++zyx，则32z y x ++的最小值为 .答案：916.若1,,0<<c b a 且2=++c b a ，则函数222c b a U ++=的取值范围为 .答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,34 17.实数z y x ,,满足29532=++z y x ，则函数654312+++++=z y x U 的最大值为 . 答案：30218.已知数据1021,,,x x x 的平均数为6，标准差为2，则数据521,,,x x x 的平均数的取值范围为 .答案：[]26,26+- 三、解答题19.已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求证：⑴36941≥++zy x⑵3222333zy x z y x ++≥++证明：⑴由柯西不等式得()36321941)(2=++≥⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++z y x z y x ，所以36941≥++zy x⑵由柯西不等式得()()()()z y x z y x zz y y x x z y x ++++≤++=++33322123212321232222①由均值不等式得33222zy x zy x ++≤++即()()22223z y x z y x ++≤++ ②将①②两式相乘得到：()()()3332223z y xz y x zy x++≤++++又1=++z y x所以3222333zy x z y x ++≥++20.设na a a ,,,21为实数，nb b b ,,,21为正数，求证：()nnn nbb b a a a b a b ab a ++++++≥+++ 212212222121证明：由柯西不等式得()()2212222111212222121nnnnnnna a ab b a b b a b b a b b b b a b a b a +++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⋅+⋅≥+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++ 因为nb b b ,,,21为正数，所以021>+++nb b b故()nnnnbb b a a a b a b ab a ++++++≥+++ 21221222212121.设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ，证明：()222224b a add c c b b a -+≥+++证明：因为4=+++d c b a ，要证原不等式成立，等价于证明()dc b a b ad c b a a d d c c b b a +++-++++≥+++222224①事实上，()()()()22222222222211112222)(a d ad c d c b c b a b d a a d c d d c b c c b a b b a d c b a a d d c c b b a -+-+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+++-+++ ②由柯西不等式得③()()()()()()22222a d d c cb b a dc b a a ad d d c c c b b b a -+-+-+-≥+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+- 又由a b a d d c c b -≥-+-+-知()()224b a a d d c c b b a -≥-+-+-+- ④由②③④可知①式成立，从而原不等式成立.22.设c b a ,,是周长为1的三角形的三条边长，求证：81222<++a c c b b a 证明：设y x c z x b z y a +=+=+=,,，其中+∈R z y x ,,，则()2121=++=++c b a z y x ()()()()()()()()()()x z z y y x x z z y y x z y x z y x x z z y y x z y y x y x z x z x z y ac c b b a 222222222222222281214383212121212121++-=++-+++++-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++++++=++因为+∈R z y x ,, 所以0222>++x z z y y x ，故81222<++a c c b b a 23.设c b a ,,为ABC ∆的三边长，求证：()()()0222≥-+-+-a c a c c b c b b a b a证明：因为c b a ,,为ABC ∆的三边，故存在正数z y x ,,使得y x c z x b z y a +=+=+=,, 于是所证不等式等价于()()()()()()()()()0≥-+++-+++-++z x z y y x y z y x x z x y x z z y整理后知只需证下式成立：()z y x xyz zx yz xy ++≥++333①由柯西不等式得()()()()()[]()()y x z x z z y y x y x z x z y z y x xyzz xyz y xyz x z y x xyz ++++≤++=++=++333221212321212321212322故①式成立，从而原不等式成立第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式我们共同探究了柯西不等式的几何背景，表示形式，得出其不同证明方法，同时也发现了很多值得我们进一步研究的有价值的问题.更重要的是我们通过自主探究，发现问题，解决问题，更多的体验到数学发展过程.数学是一门通过数学思想方法逐渐将问题化繁为简的科学，它有深刻的文化底蕴和内涵，我们更应该在今后的学习中不断的挖掘和发现，真正体验到数学学习带来的美感和快感.正如教材编写者所说：重视引导学习方式和教学方式的改进，在目前的中学数学教学实践仍存在一些问题，就学生的学习而言，比较突出的就是被动的接受式的学习，教师偏重于灌输式的教学，启发式的教学原则做得不够，学生的问题意识不强，不能发现新情况新情景中的新问题，从而不能很好地解决问题，针对这种情况，教科书重视引导学生提出问题，教科书设置了许多探究栏目，鼓励学生主动探究，引导学生对于问题作左右类比，对于数学结论进行特殊化、作推广.例如，在证明了二维和三维的柯西不等式以后，就设置了一个探究性问题“对比二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式吗”；再如“一般形式的三角不等式应该是怎样的如何应用一般形式的柯西不等式证明它请同学自己探究.”等等，这样的探究性问题在教科书中处处可见.。

3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学设计一、设计思想：本节乃至本讲的编写意图不是仅仅介绍经典不等式及其证明方法，而是更希望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。

二、教材分析：二维形式的柯西不等式是人教A 版教材选修4-5第三讲第一节的内容，是学生继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用，一方面巩固了前面证明不等式及求最值的基本方法，另一方面与后面学习的三维形式的柯西不等式及一般形式的柯西不等式有着相通的研究方法，是从特殊到一般的研究过程。

本节教学的核心是二维形式的柯西不等式、几何意义以及它的简单应用。

三、学情分析：学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理能力，学生对柯西不等式的向量形式也有了一定的认识，这是学生知识的“最近发展区”。

另外授课班级是高二年级（4）班，学生基础较好，学习积极性较高。

四、教学目标1、知识与技能目标（1）认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。

（2）能用二维柯西不等式解决简单的证明问题及求最值问题。

2、过程与方法目标通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力。

3、情感态度与价值观简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学文化。

五、教学重难点（1）教学重点 二维形式的柯西不等式 ； 二维形式的柯西不等式的向量形式（2）教学难点 数形结合的认识两种形式的等价关系；应用柯西不等式求最值六、教学过程（一）定理探究设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的坐标α=（b a ,） β=（d c ,）那么它们的数量积为ac bd αβ→→•=+而2||a α→=，2||c β=+||||cos αβαβθ•=⋅•，cos 1θ≤||||||αβαβ∴•≤⋅，其中等号当且仅当两个向量共线时成立。

高中数学柯西不等式教学一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的核心任务是使学生深入理解和掌握高中数学中的重要不等式——柯西不等式。

通过该不等式的学习，学生将掌握其数学表达形式、证明过程、应用场景，并培养他们的逻辑思维能力、问题解决能力和数学素养。

此外，通过柯西不等式的学习，学生将认识到数学知识的内在联系，激发他们对数学美的追求。

2、教学对象本教学设计的对象为高中二年级的学生。

他们已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的代数、几何知识，具备了一定的逻辑推理能力和解题技巧。

在此基础上，学生对柯西不等式的学习将更具挑战性和深度，有助于他们在数学领域取得更好的成绩。

同时，考虑到学生个体差异，教学过程中将注重因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解柯西不等式的概念，掌握其数学表达形式和证明方法；（2）掌握柯西不等式在不同数学问题中的应用，如求解最值问题、不等式证明等；（3）能够运用柯西不等式解决实际问题，提高数学建模和问题解决能力；（4）通过柯西不等式的学习，提高代数运算能力和逻辑思维能力。

2、过程与方法（1）采用探究式教学，引导学生通过自主探究、合作学习等方式发现柯西不等式的证明过程；（2）通过典型案例分析，培养学生运用柯西不等式解决问题的方法；（3）设计多样化的练习题，帮助学生巩固柯西不等式的知识，提高解题技巧；（4）组织课堂讨论，让学生在交流中碰撞思维火花，互相启发，共同提高。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学知识的兴趣，培养他们勇于探索、追求真理的精神；（2）通过柯西不等式的学习，让学生体会到数学美的内涵，提高他们的审美素养；（3）培养学生严谨、务实的学术态度，使他们认识到数学知识的重要性；（4）引导学生树立正确的价值观，认识到学习数学不仅是为了应付考试，更是为了提高自己的综合素质，为未来的发展奠定基础。

在教学过程中，注重知识与技能、过程与方法、情感，态度与价值观的有机统一，使学生在掌握柯西不等式知识的同时，提升自身的综合素质，为未来的学习和发展奠定坚实基础。

柯西不等式教案
一､教学目标:
1､学问目标:
(1)熟悉二维柯西不等式的两种形式: O 1 代数形式: O2向量形式;
(2)学会二维柯西不等式的两种证明方法: O 1 代数方法: O2向量方法:
(3)明白一般形式的柯西不等式, 并学会应用及探究其证明过程:
2､才能目标:
(1)学会运用柯西不等式解决一些简洁问题:
(2)学会运用柯西不等式证明不等式:
(3) 培育同学学问迁移､自主探究才能:
3､情感､态度､价值观目标:
通过对柯西不等式的学习,使同学感受数学的精妙,提高数学素养, 激发学习爱好;
二､教学重点与难点:
1､教学重点:
(1)二维柯西不等式的两种形式及其证明: 0 1 代数形式: O2向量形式:
(2)探究一般的柯西不等式形式:
2､教学难点:
(1)柯西不等式的证明思路:
(2)运用柯西不等式解决问题: 三､教学方法:探究法､叙述法: 四､教学过程及内容:
五､板书设计。

答案： ；
2.讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？
3.如何利用二维柯西不等式求函数 的最大值?
要点：利用变式 .
二、讲授新课：
1.最大（小）值：
①出示例1：求函数 的最大值？
分析：如何变形？
→构造柯西不等式的形式
→板演
→ห้องสมุดไป่ตู้式：
→推广：
②练习：已知 ，求 的最小值.
解答要点：（凑配法） .
讨论：其它方法（数形结合法）
2.不等式的证明：
①出示例2：若 ， ，求证： .
分析：如何变形后利用柯西不等式？（注意对比→构造）
要点： …
讨论：其它证法（利用基本不等式）
②练习：已知 、 ，求证： .
三、应用举例：
例1已知a1,a2,…,an都是实数，求证：
分析：用n乘要证的式子两边，能使式子变成明显符合柯西不等式的形式。
二维形式的柯西不等式（二）
教学目标：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系.
教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.
教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式.
教学过程：
一、复习引入：
1.提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？几何意义？
例2已知a，b，c，d是不全相等的实数，证明：a2+ b2+ c2+ d2> ab + bc + cd + da
分析：上式两边都是由a,b,c,d这四个数组成的式子，特别是右边式子的字母排列顺序启发我们，可以用柯西不等式进行证明。
分析：由 形式，联系柯西不等式，可以通过构造（12+22+32）作为一个因式而解决问题。

教案：二维形式的柯西不等式一．教学目标：1.探究二维形式的柯西不等式，能利用二维形式的柯西不等式解决求一类最值问题。

二． 教学重点：二维形式柯西不等式的推倒及应用。

难点：灵活应用二维形式的柯西不等式求最值。

三．教学过程 （一）引入世界著名数学家简介（幻灯片播放）师：好，同学们，刚刚我们从幻灯片上看到的是部份著名的数学家，他们为人类社会的发展作出了巨大的贡献。

今天让我们走进其中的一位，他的名字叫柯西。

（切换下一张幻灯片，并介绍幻灯片内容）他给后代留下了很多宝贵的财富，今天我们来学习其中非常重要的一个——柯西不等式。

（切换下一张幻灯片，并板书二维形式的柯西不等式，并同时解释二维的含义）（二）.新课1．初识柯西不等式（柯西不等式的推倒）：为αβ与αβ（其中α，β非零向量）的大小≥则标122若α=（a ,b）,β=(a ,b ),不等式αβαβ如何用坐表示？师：那么柯西不等式到底是怎样的一个不等式，它是如何被发现的，它的重要价值又体现在哪里呢？我们先来看一个简单的向量问题。

（切换到问题一，问题二幻灯片）。

问1：这两者的大小关系是怎样的？（学生回答，并板书两者大小关系）问2：为什么？（叫学生回答）问3：当什么时候两者相等呢？（学生回答）。

我们把向量坐标化看呢？（打出问题2）问4：这个向量不等式用坐标如何表示呢？（学生口答，老师板书）问5：当什么时候等号成立呢？（学生回答，并板书等号成立条件）。

我们看，当给这个普通的向量关系坐标化后，我们得到了一个非常漂亮的不等式。

我们把这个不等式叫做柯西不等式，这个向量关系就叫做柯西不等式的向量形式。

（板书）同学们，柯西的伟大，就在于他善于观察与发现，能从普通中发现隐藏的美丽。

我们学习数学，要向柯西学习，也要善于去观察和发现，说不定你也能发现一个以你的名字命名的不等式。

2．再识柯西不等式（填空）：≥≥≥2222222221.(x +y )(___+___)(2x +y)2.(___+___)(4a +b )(2a +b)3.(a +b )(2+1)(____+____)，师：通过刚刚的填空，同学们再观察哪些数之间有关系，有没有记忆的规律呢？（归纳记忆规律：前两个数相乘后开根号就是第三个数）。

第二讲 柯西不等式一、 内容及其解析本节课要学习的内容是柯西不等式的内容及应用，其关键是柯西不等式的应用。

学生已经掌握了一些形式优美而且具有重要应用价值的不等式（称为经典不等式），柯西不等式就是这样的不等式，通过本讲的学习，可以让学生领略这些不等式的数学意义、几何背景、证明方法及其应用，感受数学的美妙，提高数学素养。

学习的重点是柯西不等式的内容及应用，解决重点的关键是认识柯西不等式的内容，并能将相关式子转化成柯西不等式的结构形式。

二、目标及其解析目标定位：1.理解掌握柯西不等式的内容与意义；2.会用柯西不等式证明不等式关系，求相关函数的最值。

目标解析：目标定位1就是指掌握不等式22222()()()a b c d ac bd ++≥+的结构特征与几何意义、向量意义。

目标定位2就是指能将要证不等式转化为柯西不等式的结构，从而能用柯西不等式证明不等式和求函数的最值。

三、教学过程设计问题1.什么是二维形式的柯西不等式？ 设计意图：让学生通过类比方法理解二维形式的柯西不等式的内容与意义，并能利用它证明不等式式、求函数的最值。

师生活动：1.探究：222(,)a b ab a b +≥为实数是我们非常熟悉的不等式，它反映了两个实数的平方和与乘积的大小关系。

现在考虑乘积2222()()(,,,)a b c d a b c d ++为实数，它涉及到4个实数，并且形式上也和平方和有关。

你能类比222(,)a b ab a b +≥为实数的推导过程，研究一下关于它的不等关系吗？2.总结：二维形式的柯西不等式是： 22222()()()a b c d ac bd ≥+++（a,b,c,d 都是实数，当且仅当ad=bc 时，等号成立）3.二维形式的柯西不等式的几何意义是什么？设(,),(,)OM a b ON c d ==，则由OM ON OM ON ⋅≥⋅可得： 2222a b c c dd a b +++≥； 即 22222()()()a b c d ac bd ≥+++ 4.推论：（12222a bc cd d a b +++≥；（22222a b c c d d a b +++≥5.应用：例1.已知,a b 为实数，证明4422332()()()a b a b a b ++≥+ 例2.求函数()51102f x x x =-+-的最大值。

如何进行柯西不等式的教学？柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用，教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了—个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式.由上可见，教材编写者对这部分内容的要求以便让学生在大学学习打下坚实的基础，但这部分教与学的难度是显而易见的.柯西不等式∑∑∑===≥ni i i ni in i i b a ba 121212)(是柯西在1931年研究数学分析中的“留数”问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式22222)())((bd ac d c b a +≥++，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式,以它的对称和谐的结构,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间等内在地联系在一起.柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式αβαβ≥⋅不仅直观地反映了这一不等式的本质，一般形式∑∑∑===≥ni i i ni in i i b a ba 121212)(有一个推广形式：n n qqn q q ppn p p b a b a b a b b b a a a +++≥++++++ 2211121121)()(.其中111=+qp .该不等式称为赫尔德（Holder ）不等式，当2==q p 时，即为柯西不等式，是数学分析中最有用的不等式之一.此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式∑∑∑===+≥+ni i ini ini iy xyx121212)(（闵可夫斯基不等式）也是数学分析中的经典不等式.这就是在新课程标准中作为选学内容出现的原因，也是多年数学奥赛的重点内容的原因.但由于中学生的认知水平，要达到标准要求“了解柯西不等式、会求一些特定函数的极值”对很多同学来说是一个难点.那么，如何达到学习目的呢？1．首先熟悉“∑”的含义有很多同学十分“痛恨”∑这个符号，总是看不懂，从而就避开这个符号，如93年高考题理科（24）使用了连加号“Σ”，许多考生不懂，其实这个符号在课本多次出现过，由于长期不用，他们忘记了.这个符号是绝对好用的，并且以后会常常遇到，在大学课本中更是家常便饭，多看几次自然也就习惯了.∑iA下方写1i =，上方写n ，这里i 是下标变量，1是i 起始的值，n 是i 终止的值，这时121nin i A A AA ==+++∑.2．柯西不等式有着丰富的几何背景，可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解对于一个代数结果作简单的解释，往往需要借助于几何背景，只有人们知道了问题发现的过程，才能理解它的深刻含意.柯西不等式有着丰富的几何背景，运用向量的数量积在不等式和几何之间架起一座桥梁，就可以用几何的背景解释不等式：设()12,,,n a a a α=，()12,,n b b b β=，由αβαβ≥⋅，可得222111()n nni ii i i i i a ba b ===≥∑∑∑.3．认清柯西不等式的结构形式以便发生联想20世纪最伟大的数学家冯·诺依曼（L.J.V on Neumann ）指出“大多数最好的数学灵感来源于经验”，从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模的积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，只需简记为“方和积大于积和方”.等号成立条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数.有了这一经验，就容易在解题时发生联想. 如：例1设,,a b c 为正数，求证：222a b c a b c b c a++≥++. 分析：如果要运用cauchy 不等式，就要联想到小的一边是“积和方”形式就自然分析出只要证在不等式两边同乘以a b c ++，即2222()()()a b c a b c a b c b c a++++≥++， 而另一边要看成“方和积”，只需变形222a b c ++=++，222222a b cb c a ++=++，应用柯西不等式，得2222222)(])()()][()()()[(cb c ba b ac a cb ba ac c b a ⋅+⋅+⋅≥++++即222a b c a b c b c a++≥++. 4．含有常数的不等式处理方法在不等式中含有常数n ，这个常数一般与cauchy 不等式中向量的维数有关，通常把n 写成22221111++++的形式或111+++的形式,又如：例2证明：()()2333366664a b c da b c d +++≤+++.分析：常数4恰好就是每个括号中加数的个数，此时通常把4写成“22221111+++”，用柯西不等式：()()()23333222266661111a b c d a b c d +++≤++++++即可.例3设λ是实数，对任意实数,,x y z 恒有()()2222444x y z x y z λ++≤++成立，试求λ的取值范围．分析：与柯西不等式的一般形式比较，“积和方”已经具备，而另一边只需再构造一个“方 和积”即可，由于()()()2222222444111x y zx y z ++≤++++，所以，3λ≥.例4求三个实数,,x y z ，使得它们同时满足下列方程222231349215382x y z x y z x y z ++=⎧⎨++-++=⎩. 分析：将两方程左右两边分别相加，变形，得()()()2222332108x y z ++++=． 由第1个方程变形，得()()233218x y z ++++=． 于是由柯西不等式，得()()()22181213312x y z =⨯+⨯++⨯+⎡⎤⎣⎦()()()()2222221112332x y z ⎡⎤≤++++++⎣⎦218=.从而由等号成立的条件可得23326x y z =+=+=， 故原方程的解为3,1,4x y z ===．提示：由柯西不等式解方程时一定要注意运用cauchy 不等式等号成立的条件.5．在应用cauchy 不等式求最值时，要善于构造例5（2001年全国初中联赛题）求实数x 、y 的值，使得()()()2221326y x y x y -++-++-达到最小值．分析：就需要把()()()2221326y x y x y -++-++-看成是不等式中向量模的平方，构造另一模的平方，构造的顺序为把最繁的式子26x y +-对应的坐标为1，考虑3x y +-乘以2-就可以把x 抵消，因此2-就是3x y +-对应坐标，最后看()()()12623x y x y y ⨯+-+-⨯+-=-,因此1y -对应的坐标为1，从而就有cauchy 不等式：()()()()2222221211326y x y x y ⎡⎤⎡⎤+-+-++-++-⎣⎦⎣⎦()()()()21123126y x y x y ≥⨯-+-+-+⨯+-⎡⎤⎣⎦． ∴()()()2221326y x y x y -++-++-61≥. 例6若56741a b c d +-+=,求2222325a b c d +++的最小值,并指出等号成立的条件.分析：由于,,,a b c d 各项系数不同，而且既有1次项，又有2次项，显然要用柯西不等式，因为是求2222325a b c d +++的最小值，一定要把2222325a b c d +++看成“方和积”的一部分，而条件5674a b c d +-+是常数，它一定是“积和方”的一部分.而且使用柯西不等式不受-7c 这项的影响.使用时，注意写明等号成立条件，检验最小值能否取到.6.知识小结1．二维形式的柯西不等式：若d c b a ,,,都是实数，则()()()22222bd ac d c b a+≥++，当且仅当bc ad=时，等号成立.2．柯西不等式的向量形式：设βα,是两个向量，则βαβα≤⋅，当且仅当β是零向量或存在实数k ，使βαk =时，等号成立.3．二维形式的三角不等式：设R y x y x ∈2211,,,，则()()22122122222121y y x x y x y x -+-≥+++.4.三维形式的柯西不等式：设321321,,,,,b b b a a a 是实数，则()()()ba b a ba bb baa a++≥++++当且仅当)3,2,1(0==i b i或存在一个数k ，使得()3,2,1==i kb a i i 时等号成立.5.一般形式的柯西不等式：设n n b b b b a a a a ,,,,,,,,,321321 是实数，则()()2222122221n n b b b a a a++++++ ()22211n n b a b a b a +++≥ .当且仅当),,2,1(0n i b i ==或存在一个数k ，使得()n i kb a i i ,,2,1 ==时等号成立.7.应用举例例1 已知62322≤+y x ，求证：112≤+y x .证明：由柯西不等式得()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤+222222132232y x y x ()11611621342322=⨯≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y x 所以112≤+y x .例2设d c b a ,,,是4个不全为零的实数，求证：21222222+≤+++++d c b a cd bc ab . 证明：ad)(bc ad)(bc cd)(ab cd 2bc ab ++-++=++()()[]()()222222d c a b ad bc cd ab 2+++-++≤()()()()22222222d c b a d b c a 2+++++≤()()()()2d c b a 2d b c a 222222222+++++++⋅≤()2222d c b a 212++++= 所以21222222+≤+++++d c b a cd bc ab . 例3若243=+y x，试求22y x +的最小值及最小值点.解：由柯西不等式得()()()222224343y x y x+≥++，得()42522≥+y x ，所以25422≥+y x . 当且仅当43yx =时等号成立， 为求最小值点，需解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+43243y x y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==258256y x 即当258,256==y x 时，22y x +的最小值为254，最小值点为⎪⎭⎫ ⎝⎛258,256.例4已知+∈R b a ,且,1=+b a 求证：()222by ax by ax +≤+证明：设()ba n yb x a m ,),,(==，则by ax ≤=+()()()()2222b a y b x a +⋅+=2222by ax b a by ax +=+⋅+=，∴()222by ax by ax +≤+.例5 若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，试求函数x x x f 2sin 14cos 3)(++=的最大值，并求出相应的x 的值.解：设()xx n m 2sin 1,cos ),4,3(+==，则25sin 1cos 43sin 14cos 3)(22222=++⋅+=≤⋅=++=x x x x x f当且仅当n m //时，上式取“=”，此时x x cos 4sin 132=+，解得57arcsin,523cos ,57sin ===x x x ∴当57arcsin=x 时，函数x x x f 2sin 14cos 3)(++=取最大值25. 例6设z y x ,,是正数，证明：()()()1111111222≥++++++++++++++x z yzxy z y xy zx y x zx yz . 证明：由柯西不等式得()[]()2111++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++y x zy x y x z . 所以()zy x z y x zx yz ++≥++++211. 同理()z y x x z y xy zx ++≥++++211，()zy x yz x yz xy ++≥++++211. 将三个不等式相加，得()()()1111111222≥++++++++++++++x z yzxy z y xy zx y x zx yz . 说明：对于许多分式不等式分母太多，也很复杂，我们可局部利用柯西不等式将分母化为统一的式子，使问题得以简化.例7解方程1521234=-++x x .解：原方程变形为2212232215⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅++⋅=x x ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤22222123222x x 15=.其中等号成立的重要条件是2212232xx -=+.解得31-=x . 说明：注意方程与不等式间的相互转化，当不等式中的等号成立时，不等式就成为方程了.例8m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的n m 、，问n m 43+的最大值是多少？试证明你的结论.解：设),,2,1(m i a i=为互不相同的正偶数，),,2,1(n j b j=，则m a a a m24221+++≥+++ ，()123121-+++≥+++n b b b n，()()19872121=+++++++mmb b b a a a，由上述三式可得()198712≤++n m m ，即4119872122+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m .由柯西不等式得，()2222243214213+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m n m .即2254119872343⨯⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++n m . ∴22223411987543<-+≤+n m .∴22143≤+n m . 又当35,27==n m 时，22143=+n m 且满足()198712≤++n m m .故所求最大值为221.说明：本题反映了一种重要解题方式，那就是首先缩小所探究目标的范围，再运用柯西不等式作进一步收缩，步步逼近，最后又经过构造实例使目标得到确认.例9 设na a a ,,,21为实数，运用柯西不等式证明：nnnaa nna a n a a 1111221++≥++≥++ .证明：由柯西不等式得()()()nn na a aa ++≥++++1212122111个.于是nn a a a n a a +++≥⋅++ 21221即得naa n a a nn++≥++ 1221.再由柯西不等式得()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++n n a a a a a a 1112121 222211111n a a a a a a n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⋅+⋅≥ . 于是nnaa nn a a 1111++≥++ . 综合知原不等式成立.例10已知实数d c b a ,,,满足3=+++d c b a ，且56322222=+++d c b a ，试求a 的最大值与最小值.解：由柯西不等式得，()()2222613121632d c b d c b ++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++. 即()2222632d c b d c b ++≥++.综合得()2235a a -≥-，21≤≤a当且仅当616313212d c b ==，即d c b 632==时等号成立.由3=+++d c b a 和d c b 632==知，当31,32,1===d c b 时，1m in=a 当61,31,21===d c b 时，2max=a例11已知正数z y x ,,满足xyz z y x =++，且不等式λ≤+++++xz z y y x 111恒成立，求λ的取值范围.解zxyz xy x z z y y x 212121111++≤+++++ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯+++⨯+++⨯=z y x yz y x x z y x z 11121()2122211121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++≤z y x yz y x x z y x z 23=所以λ的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23.例12求出所有实数a ，使得存在非负实数,,,321x x x 54,x x ，适合下列关系式：a x x x x x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅5432154321①2534333231354321a x x x x x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅②3554535251554321a x x x x x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅③解：设有非负实数,,,321x x x 54,x x 满足题设要求，那么由柯西不等式得()25323134521x x x a +++=2525521225212125121552211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=x x x x x x ()()552515521521521x x x x x x ⋅++⋅+⋅⋅++⋅+⋅≤ 4a =这样一来，上式中唯有等号成立，于是()()5,4,3,2,102512=>=k x kx kkkλλ如果54321,,,,x x x x x 中有两个或两个以上不为零，上式不可能成立，所以只能有上述两种情形： ⑴,054321=====x x x x x 此时0=a .⑵()5,4,3,2,1=i x i中有且仅有一个不为零，不妨设0≠kx ，依题设3523,,a x k a x k a kx kkk===解得()5,4,3,2,1,2===k a k k x k综上知，当25,16,9,4,1,0=a 时，存在非负实数54321,,,,x x x x x 满足题设要求.例13P 是ABC ∆内一点，z y x ,,是P 到三边c b a ,,的距离，R 是ABC ∆外接圆的半径，证明：22221c b a Rz y x ++≤++.证明：记S 是ABC ∆的面积，则 RabcS cz by ax 22==++ 22221211112111111c b a Rca bc ab R cb a R abc c b a cz by ax ccz b by a ax z y x ++≤++⋅=++⋅=++⋅++≤⋅+⋅+⋅=++ 所以22221c b a Rz y x ++≤++说明：本题中给出ABC ∆三边的长，又给出了ABC ∆内一点到三边的距离及外接圆的半径，可联想到ABC ∆的面积可以把这些量联系起来：()cz by ax S ++=∆21，又Ra A R A a 2sin ,2sin == RabcR a bc A bc S 4221sin 21=⋅==∆练习1一、选择题1．若直线1=+bya x 通过点()ααsin ,cos M ，则（D ）A ．122≤+b aB ．122≥+b aC ．11122≤+b a D ．11122≥+ba 2．已知0,0≥≥b a ，且2=+b a ，则（C ） A ．21≤ab B ．21≥ab C ．222≥+b a D ．322≤+b a 3．若y x n m ,,,满足,,2222b y x a n m =+=+其中b a ,为常数，那么ny mx +的最大值为（B ）A ．2b a +B ．abC ．222b a + D ．222b a +4.若d c b a ,,,都为实数,则不等式()()()22222bd ac d c b a+≥++取等号的条件是D ）A.0=+dc ab B.0=+bc ad C.0=-dc ab D .0=-bc ad5.已知+∈R b a ,且,1=+b a 则ba 11+与4的关系为（B ）A.411>+b a B.411≥+b a C.411<+b a D.411≤+ba 6.设+∈R b a ,，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a b a 212的最小值为（D ） A. 5 B. 6 C. 8 D.97.若b a ,是非零实数且,1=+b a +∈R x x 21,，()()2121ax bx bx ax M ++=，21x x N =，则M 与N的大小关系为（A ） A.N M≥ B.N M > C.N M ≤ D.N M <8.若实数y x ,满足()()22214125=-++y x ，则22y x +的最小值为（D ）A.2B.1C.3D.29.函数1463222+-++-=x x x x y 的最小值为（C ）A ．10 B ．10 C ．110+ D ．110-10不等式99922≤-+-a b b a等号成立的条件为（D ）A ．3=+b aB ．9=+b aC ．322=+b aD ．922=+b a二、填空题11．设0,,,>y x n m ，且1=+ynx m ，则y x u +=的最小值为.答案：()2nm +12．设b a ,为正数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a 2121的最小值为.答案：29 13.函数x x U-+-=9453的最大值为.答案：1014.设()1,0,∈y x ，则()()x y y x -+-11的最大值为.答案：115.设n m d c b a ,,,,,都是正实数，cd ab P +=，ndm b nc am Q +⋅+=，则P 与Q 的大小关系为.答案：Q P≤16.若132=+y x ，则22y x +的最小值为，最小值点为.答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛133,132,131 三、解答题 17.求证：53452≤-++a a .证明：由柯西不等式得()()()[]()2452451445aa a a -++≥-+++=∴53452≤-++a a当且仅当1425a a -=+即511=x 时等号成立. 18.设1=+b a ，求证：8144≥+b a . 证明：由柯西不等式得()()()11112222==+≥++b a b a∴2122≥+b a. 再由柯西不等式得()()()412111222244=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+≥++b a b a∴8144≥+b a. 19已知+∈R q p ,且233=+q p ，求证：2≤+q p .证明：设⎪⎭⎫ ⎝⎛==21212323,),,(q p n q p m ，则qp q p q p q q p p q p +=+⋅+=≤⋅=+=+2332123212322又()()2222q p q p +≤+∴()q p q p q p +≤+≤+22222∴()()q p q p +≤+84()83≤+q p∴2≤+q p20求函数21374x x y -+=的最大值.解：定义域为[]13,13-，由柯西不等式得()()()[]()22221374134916134916xx x x-+≥-++=⨯+∴513136513742=⨯≤-+x x当且仅当71342x x -=即554=x 时等号成立. ∴当554=x 时，函数21374xx y -+=的最大值为513.21.试用柯西不等式求点()4,3P到直线0532:=-+y x 的距离.解：∵直线 上的任意一点),(y x Q 到定点()4,3P 的距离为()()2243-+-y x∴由柯西不等式得()()()[]()()[]()()22222213185183243324394=-=-+=-+-≥-+-+y x y x y x 即()()[]134322≥-+-y x ∴()()134322≥-+-y x当且仅当3423-=-y x 且532=+y x 即1==y x 时等号成立. ∴当1==y x 时，()()2243-+-y x 取最小值13即为所求的距离.练习2一、选择题1.设c b a ,,为正数，且1=++c b a ，则（D ）A.3111<++c b a B.3111≥++c b a C.9111≤++c b a D.9111≥++cb a 2.设z y x ,,为正数，且1=++z y x ，则 (A )A.31222≥++z y xB.31222≤++z y xC.91222≥++z y xD.91222≤++z y x 3.求使()()()2226231-++-++-y x y x y 达到最小值的实数y x ,的值（A ） A ．65,25==y x B ．45,35==y x C ．5,3==y x D ．65,21==y x 4.设c b a ,,为正数，且A c b a =++，则（D ） A.A c b a 3111<++ B.A c b a 3111≥++ C.A c b a 9111≤++ D.Ac b a 9111≥++5.设1=++z y x ，则22232z y x ++的最小值为（B ）A ．103 B ．116 C ．113 D ．1076.式子()⎪⎭⎫⎝⎛++++222222111c b ac b a 的最小值为（A ） A ．9 B ．10 C ．12 D ．187.设()()1161914222=++++z y x ，则函数162-++=z y x W 的取值范围为（D ） A ．40104010+-≤≤--W B ．41104110+-≤≤--W C ．40104018+-≤≤--W D ．41184118+-≤≤--W8.设c b a ,,为正数且不全相等，判断c b a M ++=9与ac c b b a N +++++=222的大小（D ） A ．N M ≥ B ．N M > C ．N M ≤ D ．N M <9.设nx x x ,,,21为正数，nx x x W +++= 21，nxx x U 11121+++=，则下式成立的是（B ） A ．2n WU ≤ B ．2n WU ≥C ．2n WU < D ．2n WU >10.设+∈R c b a ,,，则ba ca cbc b a +++++的最小值为（C ） A ．43 B ．2 C ．23D ．311.已知βα,为锐角，且1cos sin sin cos 2424=+βαβα，则（A ） A ．2π B ．43π C ．4πD ．125π12.若147654321=+-+x x x x ，则函数24232221523x x x x M +++=的最小值为（B ） A ．15782 B ．78215 C ．3 D ．325二、填空题13.设,,3,2 =n 则n ++++321与21+n n的大小关系为. 答案：21321+<++++n nn 14.若c b a ,,为实数，且1222=++c b a ，则函数ca bc ab U ++=的取值范围为. 答案：121≤≤-U 15.设+∈R z y x ,,且1321=++z y x ，则32zy x ++的最小值为.答案：9 16.若1,,0<<c b a 且2=++c b a ，则函数222c b a U ++=的取值范围为.答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3417.实数z y x ,,满足29532=++z y x ，则函数654312+++++=z y x U 的最大值为.答案：30218.已知数据1021,,,x x x 的平均数为6，标准差为2，则数据521,,,x x x 的平均数的取值范围为.答案：[]26,26+-三、解答题19.已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求证：⑴36941≥++zy x ⑵3222333zy x z y x ++≥++证明：⑴由柯西不等式得()36321941)(2=++≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++z y x z y x ，所以36941≥++zy x ⑵由柯西不等式得()()()()z y x z y x zz y y x x z y x ++++≤++=++33322123212321232222①由均值不等式得33222zy x zy x ++≤++即()()22223z y x z y x ++≤++② 将①②两式相乘得到：()()()3332223z y xz y x zy x++≤++++又1=++z y x所以3222333zy x z y x ++≥++20.设na a a ,,,21为实数，nb b b ,,,21为正数，求证：()nnn nbb b a a a b a b ab a ++++++≥+++ 212212222121证明：由柯西不等式得()()2212222111212222121nnnnnnna a ab b a b b a b b a b b b b a b ab a +++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⋅+⋅≥+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++ 因为nb b b ,,,21为正数，所以021>+++nb b b故()nnnnbb b a a a b a b ab a ++++++≥+++ 21221222212121.设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ，证明：()222224b a ad d c c b b a -+≥+++证明：因为4=+++d c b a ，要证原不等式成立，等价于证明()dc b a b ad c b a a d d c c b b a +++-++++≥+++222224① 事实上，()()()()22222222222211112222)(a d ad c d c b c b a b d a a d c d d c b c c b a b b a d c b a a d d c c b b a -+-+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+++-+++②由柯西不等式得③()()()()()()22222a d d c cb b a dc b a a ad d d c c c b b b a -+-+-+-≥+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+- 又由a b a d d c c b -≥-+-+-知()()224b a a d d c c b b a -≥-+-+-+-④由②③④可知①式成立，从而原不等式成立.22.设c b a ,,是周长为1的三角形的三条边长，求证：81222<++a c c b b a 证明：设y x c z x b z y a +=+=+=,,，其中+∈R z y x ,,，则()2121=++=++c b a z y x ()()()()()()()()()()x z z y y x x z z y y x z y x z y x x z z y y x z y y x y x z x z x z y ac c b b a 222222222222222281214383212121212121++-=++-+++++-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++++++=++因为+∈R z y x ,, 所以0222>++x z z y y x ，故81222<++a c c b b a23.设c b a ,,为ABC ∆的三边长，求证：()()()0222≥-+-+-a c a c c b c b b a b a证明：因为c b a ,,为ABC ∆的三边，故存在正数z y x ,,使得y x c z x b z y a +=+=+=,, 于是所证不等式等价于()()()()()()()()()0≥-+++-+++-++z x z y y x y z y x x z x y x z z y整理后知只需证下式成立：()z y x xyz zx yz xy ++≥++333①由柯西不等式得__________________________________________________()()()()()[]()()y x z x z z y y x y x z x z y z y x xyzz xyz y xyz x z y x xyz ++++≤++=++=++333221212321212321212322故①式成立，从而原不等式成立第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式我们共同探究了柯西不等式的几何背景，表示形式，得出其不同证明方法，同时也发现了很多值得我们进一步研究的有价值的问题.更重要的是我们通过自主探究，发现问题，解决问题，更多的体验到数学发展过程.数学是一门通过数学思想方法逐渐将问题化繁为简的科学，它有深刻的文化底蕴和内涵，我们更应该在今后的学习中不断的挖掘和发现，真正体验到数学学习带来的美感和快感.正如教材编写者所说：重视引导学习方式和教学方式的改进，在目前的中学数学教学实践仍存在一些问题，就学生的学习而言，比较突出的就是被动的接受式的学习，教师偏重于灌输式的教学，启发式的教学原则做得不够，学生的问题意识不强，不能发现新情况新情景中的新问题，从而不能很好地解决问题，针对这种情况，教科书重视引导学生提出问题，教科书设置了许多探究栏目，鼓励学生主动探究，引导学生对于问题作左右类比，对于数学结论进行特殊化、作推广.例如，在证明了二维和三维的柯西不等式以后，就设置了一个探究性问题“对比二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式吗？”；再如“一般形式的三角不等式应该是怎样的？如何应用一般形式的柯西不等式证明它？请同学自己探究.”等等，这样的探究性问题在教科书中处处可见.。

1 让学生通过观察得出二维形式的三角不等式
从而得到定理3（二维形式的三角不等式）
2引导学生利用柯西不等式证明定理3，即以经典不等式为依据得出定理3中的不等关系，这是柯西不等式的一个简单的应用。
3例3的解决也是柯西不等式的一个简单的应用，让学生体会柯西不等式的用处
4在解决问题的过程中，让学生体会用柯西不等式这个重要的数学结论去解决具体问题的方法。
新
课
讲
授
过
程
引 探
①观察：课本P34图3.1-4
在平面直角坐标系中，设点 的坐标分别为 ，根据 △ 的边长关系，你能发现 这四个实数蕴涵着何种大小关系吗？
通过观察分析推理后得出定理3
②以上是从几何的角度得出的结论，你能否利用柯西不等式，从代数的角度证明这个不等式？
③讲解例题（例3）
④练习P37 第7题 第6题
小
结
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，柯西不等式是一个经典不等式，是一个重要的数学结论，在以后的证明某些不等式时有重要作用。
目的是让学生知道柯西不等式是一个重要的数学结论
布
置
作
业
课本P37 第8题
巩固提高
三、教学难点：
运用柯西不等式证明不等式
四、教学过程：
教学
环节
教学程序
设计意图
导
入
（复习
导入）
问题：上节课我们学习了二维形式的柯西不等式，你能简要的概括一下吗？
定理1（二维形式的柯西不等式）
若a,b,c,d都是实数,则
(a2+b2)(c2+d2)≥(ac+bd)2
当且仅当ad=bc时,等号成立.
本节课实际上是柯西不等式的一些简单应用，因此先让学生回顾柯西不等式以及变形后的两个等价形式:

一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用.教学难点：理解证明中的函数思想.教学过程：一、复习准备：1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：；二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？结论：设，则讨论：什么时候取等号？（当且仅当时取等号，假设） 联想：设，，，则有，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令 ，则 .又，从而结合二次函数的图像可知，22222()()()a b c d ac bd ++≥+2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++||||||αβαβ≤1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈222222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++1212n na a ab b b ===0i b ≠1122n n B a b a b a b =+++22212n A a a a =++22212n C b b b =+++20B AC -≥2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（222120n a a a ++⋅⋅⋅+>≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.）④ 变式：. （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知，求的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式：② 练习：若，且，求的最小值.③ 出示例2：若>>，求证：.要点：3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明.三、巩固练习：[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++22212()n b b b +++222212121()n n a a a a a a n ++≥++⋅⋅⋅+321x y z ++=222x y z ++,,x y z R +∈1111x y z ++=23y zx ++a b c c a c b b a -≥-+-41121111()()[()()]()(11)4a c a b b c a b b c a b b c -+=-+-+≥+=----。

《二维形式的柯西不等式》第一课时教学设计1．教学目标知识与技能（1）认识二维柯西不等式的两种形式：○1代数形式；○2向量形式;了解它们的结构特征；（2）了解二维形式柯西不等式的证明；（3）会利用二维形式柯西不等式进行简单证明及会求简单最值.过程与方法（1）理解通过讨论、探究推导二维形式柯西不等式的过程,体会类比的数学思想方法. （2）体验二维形式柯西不等式的几种重要证明方法。

如借助平面向量，从数量积角度推出二维形式的柯西不等式的向量形式等.（3）体会运用柯西不等式解决一些简单问题的一般方法——通过凑形式、凑定值的方法，建立具体问题与柯西不等式之间的联系，以柯西不等式为依据证明具体问题中的不等关系. 逐步掌握化归思想的运用。

情感、态度与价值观（1）培养学生自主学习与合作学习相结合的学习方式，通过研究二维形式的柯西不等式及其向量形式，体会类比、化归以及数形结合的思想；（2）通过对二维形式和向量形式的柯西不等式探究和分析,感受数学的简洁美、对称美等形式美；（3）通过柯西不等式的应用，使学生体会运用经典不等式的一般方法——发现并建立具体问题与经典不等式之间的联系，体验成功的喜悦，激发学生学习数学的热情，提高学生的学习兴趣。

2 学情分析柯西不等式人教A版选修4－5不等式选讲中第三讲的内容，是学生学习平均值不等式后的又一个经典不等式，在教材中起着承前启后的广泛的作用：一方面可以巩固学生对不等式的基本证明方法的掌握，另一方面又为后面学习三角不等式、排序不等式打下了基础。

本节课主要研究二维形式的柯西不等式、柯西不等式的向量形式，以及它们的几何背景。

二维形式的柯西不等式的代数表示形式与向量表示形式，是从数与形两个角度加以认识的，通过互推可以体会两种表现形式的等价关系，也为后面引出和二维形式的三角形不等式、三维和一般形式的柯西不等式埋下伏笔。

知识基础：二维形形式的柯西不等式在必修五的习题中已经出现过，所以二维形式的柯西不等式的学习对高二的学生来讲并不困难，难在它的应用，运用柯西不等式可以解决中学数学中一些比较典型的数学问题，但相对于均值不等式，它的应用技巧性比较强，学习难度较大。

柯西不等式的教学设计
柯西不等式是数学中的重要概念之一，是高中数学中的必修内容。

在教学柯西不等式时，可以采取以下教学设计：
一、引入
在教学柯西不等式之前，可以先引入一些相关的概念，如向量、点积、模长等，以帮助学生更好地理解柯西不等式的概念和意义。

二、概念讲解
接着，可以对柯西不等式的概念进行讲解，包括定义、不等式的证明方法等内容。

并结合一些具体的例子，让学生更加深入地理解柯西不等式。

三、练习题
在讲解完概念之后，可以给学生一些练习题，让他们通过练习来掌握柯西不等式的应用方法。

这些练习题应该包括不同难度的题目，从简单到复杂，慢慢提升难度，同时也要注意引导学生理解不等式的本质。

四、拓展应用
在学生掌握了柯西不等式的基本应用方法之后，可以通过一些拓展应用来引导学生更加深入地理解柯西不等式。

例如，可以将柯西不等式应用到数列、积分等领域，让学生了解到柯西不等式的广泛应用和重要性。

五、总结复习
最后，可以对本节课的内容进行总结复习，梳理各个知识点之间
的联系和差异，让学生更加深入地理解柯西不等式，并且掌握如何应用柯西不等式解决实际问题。

柯西不等式的教学设计
柯西不等式是高中数学中非常重要的一个概念，它涉及到向量的内积和模长，是许多高中数学竞赛的必考内容。

因此，如何生动有趣地教授柯西不等式，让学生理解和掌握这个概念，是每位数学老师都需要思考的问题。

针对柯西不等式的教学，可以通过以下步骤进行设计：
1. 知识导入
在教学开始前，可以先通过引入向量的概念，以及向量的加法和数乘，让学生对向量有一个初步的认识。

然后，引入向量的内积和模长的概念，让学生了解它们的定义和性质。

2. 理论讲解
在学生了解了向量内积和模长的基本概念后，可以开始讲解柯西不等式的定义和公式。

通过具体的例子，让学生理解柯西不等式的意义和作用，帮助学生掌握柯西不等式的应用方法。

3. 练习巩固
在理论讲解后，可以通过一些实例来让学生自己尝试应用柯西不等式，巩固和加深他们的理解。

同时，可以设计一些有趣的练习题，让学生动手解决问题，提高他们的应用能力和解题能力。

4. 拓展应用
在学生掌握了柯西不等式的基本应用方法后，可以通过一些实际问题，如几何问题、物理问题等，来让学生进一步应用柯西不等式，拓展他们的应用能力和解题思维。

总之，教授柯西不等式需要结合学生的实际情况和教学目标来进行设计，将理论知识和实际应用结合起来，让学生在理解和掌握柯西不等式的同时，提高他们的数学思维和解题能力。

【设计意图】了解三维的柯西不等式，注意理解取等条件．
●活动②一般形式的柯西不等式
对比二维形式和三维形式的柯西不等式，容易猜出一般形式的柯西不等式：
定理设 时实数，则
，当且仅当 或存在一个数 ，使得 时，等号成立
证明：设 ，则要证的不等式就是 ，这正好与二次函数 的判别式 密切相关
当 ，不等式显然成立；
【思路点拨】利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不等式取等号的条件这个函数的解析式是两部分的和，若能化为 的形式，就能利用柯西不等式求其最大值
【答案】见解析
同类训练求函数 的最大值
【解题过程】函数的定义域为 , ，即 ，即 ，
即 ，当 时函数最大为
【思路点拨】利用柯西不等式求其最大值时，设法在不等式一边得到一个常数
【答案】见解析
例2设 求证
【知识点】柯西不等式
【解题过程】由于 ，由柯西不等式，得
【思路点拨】问题中由 这个条件，由于常数1的特殊性，用 去乘任何数或式子，都不会改变他们的值，根据证明的需要可以应用这个条件在本例中，注意到 ，有了上式就可以使用柯西不等式了
【答案】见解析
同类训练已知 ,且 ，求证：
【知识点】柯西不等式
（4）定理3（二维形式的三角不等式）设 ，那么
证明：
所以
【设计意图】熟练掌握柯西不等式的变形及使用
探究二一般形式的柯西不等式
●活动①三维形式的柯西不等式
类比二维形式的柯西不等式，我们猜想三维形式的柯西不等式如下：
，当且仅当 ，或存在一个数 ，使得 时，等号成立
证明：我们知道，平面上向量的坐标 是二维形式，空间向量的坐标 是三维形式，从平面向量的几何背景能得到 将平面向量的坐标代入，化简后可得二维形式的柯西不等式类似的，从空间向量的几何背景也能得到 ，将空间向量的坐标代入，即可得到三维的柯西不等式

柯西不等式一、指导思想函数是高中数学的核心，而对数函数是高中阶段所要研究的重要的基本初等函数之一．本节内容是在学生已经学过指数函数、对数的基础上引入的，因此既是对上述知识的拓展和延伸，也是对函数这一重要数学思想的进一步认识与理解．二、教材分析对数函数是重要的基本初等函数之一，是指数函数知识的拓展和延伸.同时又为以后进一步研究函数打下基础.它的教学过程,体现了数形结合的思想,同时蕴涵丰富的解题技巧，这对培养学生的观察、分析、概括的能力、发展学生严谨的思维能力有重要作用．三、学情分析学生在前面的函数性质、指数函数学习的基础上，用研究指数函数的方法，进一步研究和学习对数函数的概念、图象和性质以及初步应用，有利于学生进一步完善初等函数的认识的系统性，加深对函数的思想方法的理解，在教学过程中，虽然学生的认知水平有限，但只要让学生体验对数函数来源于实践，通过教师课件的演示，通过数形结合，让学生感受log a y x =(0,1)a a >≠中，a 取不同的值时反映出不同的函数图象，让学生观察、小组讨论、发现、归纳出图象的共同特征、函数图象的规律，进而探究学习对数函数的性质。

最后将对数函数、指数函数的图象和性质进行比较，以便加深对对数函数的概念、图象和性质的理解，同时也为后面教学作准备。

四、教学目标（1）知识目标：让学生掌握对数函数的概念,能正确描绘对数函数的图象,掌握对数函数的性质．（2）能力目标：通过对对数函数的学习,培养学生观察、思考、分析、归纳的思维能力及数形结合思想.（3）情感目标：培养学生勇于探索的精神,激发学生学习的兴趣,让学生主动融入学习． 五、教学重点、难点1、重点：理解对数函数的定义，掌握对数函数的图象和性质.2、难点：底数a 对图象的影响及对数函数性质的作用. 六、教学过程1．设置情境在2．2．1的例6中，考古学家利用logP估算出土文物或古遗址的年代，对于每一个C14含量P ，通过关系式，都有唯一确定的年代t 与之对应．同理，对于每一个对数式log xay =中的x ，任取一个正的实数值，y 均有唯一的值与之对应，所以log xa y x =关于的函数．设计意图：情景来源于生活,通过生活中的实例来反应对数函数的重要性,目的在于激发学生学习的兴趣,让每一个学生都主动融入学习中.2．探索新知一般地，我们把函数log a y x=（a ＞0且a ≠1）叫做对数函数，其中x 是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．提问：（1）．在函数的定义中，为什么要限定a ＞0且a ≠1． （2）．为什么对数函数log a y x=（a ＞0且a ≠1）的定义域是（0，+∞）．组织学生充分讨论、交流，使学生更加理解对数函数的含义，从而加深对对数函数的理解.答：①根据对数与指数式的关系，知log a y x=可化为y a x =，由指数的概念，要使ya x=有意义，必须规定a ＞0且a ≠1．②因为log a y x=可化为yx a =，不管y 取什么值，由指数函数的性质，ya ＞0，所以(0,)x ∈+∞．例题1：求下列函数的定义域 （1）2log a y x = （2）log (4)a y x =- （a ＞0且a ≠1）分析：由对数函数的定义知：2x ＞0；4x -＞0，解出不等式就可求出定义域．解：（1）因为2x ＞0，即x ≠0，所以函数2log x a y =的定义域为{}|0x x ≠.（2）因为4x -＞0，即x ＜4，所以函数(4)log x ay -=的定义域为{|x x＜}4.下面我们来研究函数的图象，并通过图象来研究函数的性质：先完成P81表2－3，并根据此表用描点法或用电脑画出函数2log x y =的图象,再利用电脑软件画出0.5log .x y =的图象2注意到：122log logy x x==-，若点2(,)logx y y x=在的图象上，则点12(,)logx y y x-=在的图象上. 由于（,x y-）与（,x y-）关于x轴对称，因此，12logy x=的图象与2logy x=的图象关于x轴对称 . 所以，由此我们可以画出12logy x=的图象 .先由学生自己画出12logy x=的图象，再由电脑软件画出2logy x=与12logy x=的图象.和14logy x=)由上述表格可知，对数函数的性质如下（先由学生仿造指数函数性质完成，教师适当启设计意图：让学生思考问题,能联想到之前学习的对数,根据对数的定义得到答案.从而培养学生的观察分析能力.1. 比较下列各组数中的两个值大小 （1）22log 3.4,log 8.5（2）0.30.3log 1.8,log 2.7（3）log 5.1,log 5.9a a （a ＞0，且a ≠1）分析：由数形结合的方法或利用函数的单调性来完成： （1）解法1：用图形计算器或多媒体画出对数函数2log y x=的图象.在图象上，横坐标为3、4的点在横坐标为8.5的点的下方：所以，22log 3.4log 8.5<解法2：由函数2log y x R=在+上是单调增函数，且3.4＜8.5，所以22log 3.4log 8.5<.解法3：直接用计算器计算得：2log 3.4 1.8≈，2log 8.5 3.1≈（2）第（2）小题类似（3）注：底数是常数，但要分类讨论a 的范围，再由函数单调性判断大小. 解法1：当a ＞1时，log a y x=在（0，＋∞）上是增函数，且5.1＜5.9.所以，log 5.1a <log 5.9a当a <1时，log a y x=在（0，＋∞）上是减函数，且5.1＜5.9.所以，log 5.1a >log 5.9a解法2：转化为指数函数，再由指数函数的单调判断大小不一， 令11log 5.1, 5.1,b a b a ==则 令22log 5.9, 5.9,b a b a ==则 则25.9b a =则 当a ＞1时，xy a =在R 上是增函数，且5.1＜5.9所以，1b ＜2b ，即log 5.1a ＜log 5.9a当0＜a ＜1时，xy a =在R 上是减函数，且5.1＞5.9所以，1b ＜2b ，即log 5.1a ＞log 5.9a说明：先画图象，由数形结合方法解答设计意图：目的在于让学生运用对数函数的性质解决一些简单的问题,以巩固他们对对数函数性质的掌握和理解，培养学生分类讨论问题的数学思想,具体问题具体分析．4. 归纳小结将前面表中相同的性质归纳在一起,让学生更直观清楚的看到当底数不同时,对数 函数仍具有相同的性质．设计意图：目的在于培养学生分类与整合的思想以及数形结合的思想． 5.布置作业（1）复习：复习本节课的所有知识．（2）必做题： 习题2.2（A 组）第7、8题；（B 组）第2题． （3）思考题：对数函数2log y x=与指数函数2xy =之间存在着什么关系？（提示：从图象和性质来分析）设计意图：华罗庚说:“学数学而不练,犹如入宝山而空返．”因此把习题7,8作为作业题,同时设置思考题,这使学生在学习新知识的基础上,复习旧知识,并结合预习,解决问题.目的是让学生学以致用,注重新旧知识的联系与应用．七、板书设计设计意图：这样的板书简明清楚,重点突出,加深学生对定义、图象和性质的理解和掌握,便于记忆,有利于提高教学效果．。

柯西不等式的证明及应用柯西（Cauchy ）不等式()22211n n b a b a b a +++ ()()222221222221nnb b ba a a ++++++≤ ()n i Rb a ii 2,1,=∈等号当且仅当021====n a a a 或i i ka b =时成立（k 为常数，n i 2,1=）现将它的证明介绍如下：证明1：构造二次函数 ()()()2222211)(n n b x a b x a b x a x f ++++++==()()()22222121122122n nn n n n a a a x a b a b a b x b b b +++++++++++22120nn a a a +++≥()0f x ∴≥恒成立()()()2222211221212440nnn n n n a b a b a b a a a b b b ∆=+++-++++++≤即()()()2222211221212nnn n n n a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当且仅当()01,2i i a x b x i n +== 即1212nna a ab b b ===时等号成立 证明（2）数学归纳法（1）当1n =时 左式=()211a b 右式=()211a b 显然 左式=右式当 2n =时， 右式 ()()()()2222222222121211222112a a bb a b a b a b a b =++=+++()()()2221122121212222a b a b a a b b a b a b ≥++=+=右式仅当即 2112a b a b = 即1212a ab b =时等号成立 故1,2n =时 不等式成立（2）假设n k =(),2k k ∈N ≥时，不等式成立 即 ()()()2222211221212kk k k k k a b a b a b a a a b b b +++≤++++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立设22212k a a a A ==== 22212k b b b B ====1122k k C a b a b a b =+++则()()2222211111k k k k k a b ba b +++++A +B +=AB +A +()22221111112k k k k k k C Ca b a b C a b ++++++≥++=+ ()()22222222121121k k k k a a a a b b b b ++∴++++++++()2112211k k k k a b a b a b a b ++≥++++当 i i ka b =，k 为常数，1,2i n = 或120k a a a ====时等号成立即 1n k =+时不等式成立综合（1）（2）可知不等式成立柯西不等式是一个非常重要的不等式，灵活巧妙的应用运用它，可以使一些较为困难的问题迎刃而解，这个不等式结构和谐，应用灵活广泛，利用柯西不等式可处理以下问题： 1） 证明相关命题例1． 用柯西不等式推导点到直线的距离公式。