如何进行柯西不等式的教学(含答案)

思维拓展 柯西不等式与权方和不等式(精讲+精练)一、知识点梳理一、柯西不等式1.二维形式的柯西不等式(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)2.二维形式的柯西不等式的变式(1)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(2)a 2+b 2⋅c 2+d 2≥ac +bd (a ,b ,c ,d ∈R ,当且仅当ad =bc 时,等号成立.)(3)(a +b )(c +d )≥(ac +bd )2(a ,b ,c ,d ≥0,当且仅当ad =bc 时，等号成立.)3.扩展：a 21+a 22+a 23+⋯+a 2n b 21+b 22+b 23+⋯+b 2n ≥(a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n )2，当且仅当a 1:b 1=a 2:b 2=⋯=a n :b n 时，等号成立.注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用.比如，对a 2+b 2+c 2，并不是不等式的形状，但变成13•12+12+12 •a 2+b 2+c 2 就可以用柯西不等式了.二、权方和不等式权方和不等式：若a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by 时，等号成立.证明1：∵a ,b ,x ,y >0要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y 只需证ya 2+xb 2xy ≥(a +b )2x +y即证xya 2+y 2a 2+x 2b 2+xyb 2≥xya 2+2xyab +xyb 2故只要证y 2a 2+x 2b 2≥2xyab (ya −xb )2≥0当且仅当ya −xb =0时，等号成立即a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =by时，等号成立.证明2：对柯西不等式变形，易得a 2x +b 2y(x +y )≥(a +b )2在a ,b ,x ,y >0时，就有了a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y当a x =by时，等号成立．推广1：a 2x +b 2y +c 2z ≥(a +b +c )2x +y +z ,当a x =b y =c z时，等号成立．推广:2：若a i >0,b i >0，则a 21b 1+a 22b 2+⋯+a 2nb n ≥(a 1+a 2+⋯+a n )2b 1+b 2+⋯+b n，当a i =λb i 时，等号成立.推广3：若a i >0,b i >0,m >0，则a m +11b m 1+a m +12b m 2+⋯+a m +1nb m n≥(a 1+a 2+⋯+a n )m +1b 1+b 2+⋯+b nm，当a i =λb i 时，等号成立.二、题型精讲精练1实数x 、y 满足x 2+y 2=4，则x +y 的最大值是.解：x 2+y 2 12+12 ≥x +y 2，则8≥x +y 2所以x +y ≤22，当且仅当x =y =2时等号成立.答案：222设x ,y ,z ∈R ，且x +y +z =1.(1)求(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值；(2)若(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13成立，证明：a ≤-3或a ≥-1.【分析】(1)根据条件x +y +z =1，和柯西不等式得到(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43，再讨论x ,y ,z 是否可以达到等号成立的条件.(2)恒成立问题，柯西不等式等号成立时构造的x ,y ,z 代入原不等式，便可得到参数a 的取值范围.【详解】(1)[(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2](12+12+12)≥[(x -1)+(y +1)+(z +1)]2=(x +y +z +1)2=4故(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2≥43等号成立当且仅当x -1=y +1=z +1而又因x +y +z =1，解得x =53y =-13z =-13时等号成立，所以(x -1)2+(y +1)2+(z +1)2的最小值为43.(2)因为(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2≥13，所以[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)≥1.根据柯西不等式等号成立条件，当x -2=y -1=z -a ，即x =2-a +23y =1-a +23z =a -a +23 时有[(x -2)2+(y -1)2+(z -a )2](12+12+12)=(x -2+y -1+z -a )2=(a +2)2成立.所以(a +2)2≥1成立，所以有a ≤-3或a ≥-1.3已知a >1,b >12，且2a +b =3，则1a -1+12b -1的最小值为()A.1B.92C.9D.12【详解】因为2a +b =3，所以4a +2b =6由权方和不等式a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y可得1a -1+12b -1=44a -4+12b -1=224a -4+122b -1≥2+1 24a -4+2b -1=9当且仅当24a -4=12b -1，即a =76,b =23时，等号成立．【答案】C【题型训练-刷模拟】1.柯西不等式一、单选题4(2024·全国·模拟预测)柯西不等式最初是由大数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的.而后来有两位数学家Buniakowsky 和Schwarz 彼此独立地在积分学中推而广之，才能将这一不等式应用到近乎完善的地步.该不等式的三元形式如下：对实数 a 1,a 2,a 3 和 b 1,b 2,b 3 ，有a 21+a 22+a 23 b 21+b 22+b 23 ≥a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3 2等号成立当且仅当a 1b 1=a 2b 2=a3b 3已知 x 2+y 2+z 2=14 ，请你用柯西不等式，求出 x +2y +3z 的最大值是()A.14 B.12C.10D.8【答案】A 【分析】利用柯西不等式求出即可.【详解】由题干中柯西不等式可得x +2y +3z 2≤x 2+y 2+z 2 12+22+32 =14×14=196，所以x +2y +3z 的最大值为14，当且仅当x =1,y =2,z =3时取等号.故选：A5(23-24高二下·山东烟台·阶段练习)已知空间向量OA =1,12,0 ,OB =1,2,0 ,OC =0,1,12，OP =xOA +yOB +zOC ，且x +2y +z =2，则OP 的最小值为()A.2B.3C.2D.4【答案】B【分析】由空间向量的坐标表示计算OP =xOA +yOB +zOC ，然后由柯西不等式求解即可.【详解】因为OP =xOA +yOB +zOC =x 1,12,0 +y 1,2,0 +z 0,1,12 =x +y ,12x +2y +z ,12z ，所以OP 2=x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2=13x +y 2+12x +2y +z 2+12z 2 1+1+1 ≥13x +y +12x +2y +z +12z2=1332x +3y +32z 2=34x +2y +z 2=3，当且仅当x +y =12x +2y +z =12z 时等号成立，即x =2,y =-1,z =2时等号成立.所以OP ≥3，所以OP 的最小值为 3.故选：B二、填空题6(2024·山西·二模)柯西不等式是数学家柯西(Cauchy )在研究数学分析中的“流数”问题时得到的一个重要不等式，而柯西不等式的二维形式是同学们可以利用向量工具得到的：已知向量a=x 1,y 1 ，b =x 2,y 2 ，由a ⋅b ≤a b 得到x 1x 2+y 1y 2 2≤x 21+y 21 x 22+y 22 ，当且仅当x 1y 2=x 2y 1时取等号.现已知a ≥0，b ≥0，a +b =9，则2a +4+b +1的最大值为.【答案】6【分析】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，代入公式即可得解.【详解】令x 1=2,y 1=1,x 2=a +2,y 2=b +1，又a ≥0，b ≥0，a +b =9，所以2a +4+b +1 2≤2+1 a +2+b +1 =3×12=36，所以2a +4+b +1≤6，当且仅当2⋅b +1=a +2，即a =6,b =3时取等号，所以2a +4+b +1的最大值为6.故答案为：67(22-23高二下·浙江·阶段练习)已知x 2+y 2+z 2=1，a +3b +6c =16，则x -a 2+y -b 2+z -c 2的最小值为.【答案】9【分析】根据柯西不等式求解最小值即可.【详解】∵a +3b +6c =16≤12+32+6 2a 2+b 2+c 2=4a 2+b 2+c 2∴a 2+b 2+c 2≥4,当且仅当a 1=b 3=c6时等号成立，即a =1,b =3,c =6，∵x -a 2+y -b 2+z -c 2=1-2xa +by +cz +a 2+b 2+c 2≥1-2x 2+y 2+z 2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=1-2a 2+b 2+c 2+a 2+b 2+c 2=a 2+b 2+c 2-1 2≥9，当且仅当a x =b y =c z 时等号成立，可取x =14,y =34,z =64故答案为：98(22-23高一·全国·课堂例题)若不等式x +y ≤k 5x +y 对任意正实数x ，y 都成立，则实数k的最小值为.【答案】305/1530【分析】运用柯西不等式进行求解即可.【详解】由柯西不等式的变形可知5x +y =x 215+y21≥x +y15+1，整理得x +y5x +y≤305，当且仅当x15=y 1，即y =25x 时等号成立，则k 的最小值为305.故答案为：3059(22-23高三上·河北衡水·期末)若⊙C ：x -a 2+y -b 2=1，⊙D ：x -6 2+y -8 2=4，M ，N 分别为⊙C ，⊙D 上一动点，MN 最小值为4，则3a +4b 取值范围为．【答案】15,85【分析】先根据MN 的最小值求出CD =7，即a -6 2+b -8 2=49，再使用柯西不等式求出取值范围.【详解】由于MN 最小值为4，圆C 的半径为1，圆D 的半径为2，故两圆圆心距离CD =4+1+2=7，即a -6 2+b -8 2=49，由柯西不等式得：a -6 2+b -8 2 ⋅32+42 ≥3a -6 +4b -8 2，当且仅当a -63=b -84，即a =515,b =685时，等号成立，即3a +4b -50 2≤25×49，解得：15≤3a +4b ≤85.故答案为：15,8510已知正实数a ，b ，c ，d 满足a +b +c +d =1，则1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b的最小值是．【答案】163/513【分析】利用配凑法及柯西不等式即可求解.【详解】由题意可知，1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=133a +b +c +d ×1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b=13a +b +c +b +c +d +c +d +a +d +a +b ×(1a +b +c +1b +c +d +1c +d +a +1d +a +b)≥131+1+1+1 2=163，当且仅当a =b =c =d =14时取“=”号．所以原式的最小值为163．故答案为：163.三、解答题11(2024·四川南充·三模)若a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2.(1)求2a +3b 的最大值；(2)求证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92.【答案】(1)26(2)证明见解析【分析】(1)利用柯西不等式直接求解；(2)由分析法转化为求证4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，换元后由函数单调性得证.【详解】(1)由柯西不等式得：a 2+b 2 22+32 ≥2a +3b 2，即2a +3b 2≤26，故2a +3b ≤26，当且仅当3a =2ba 2+b 2=2 ，即a =22613b =32613时取得等号，所以2a +3b 的最大值为26.(2)要证：4≤a 3+b 3 a +b ≤92，只需证：4≤a 4+b 4+ab a 2+b 2 ≤92，只需证：4≤a 2+b 2 2+ab a 2+b 2 -2a 2b 2≤92，即证：4≤4+2ab -2a 2b 2≤92，由a ，b 均为正实数，且满足a 2+b 2=2可得2=a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时等号成立，即0<ab ≤1，设ab =t ∈(0,1]，则设f t =-2t 2+2t +4,t ∈0,1 ，∵f (x )在0,12 上单调递增，在12,1 上单调递减，又f (0)=f (1)=4,f 12=94，∴4≤f t ≤92，即4≤a 3+b 3 a +b ≤92.12(2024·四川·模拟预测)已知a ,b ,c 均为正实数，且满足9a +4b +4c =4．(1)求1a +1100b-4c 的最小值；(2)求证：9a2+b2+c2≥1641.【答案】(1)12 5(2)证明见解析【分析】(1)结合已知等式，将1a+1100b-4c化为1a+9a+1100b+4b-4，利用基本不等式，即可求得答案；(2)利用柯西不等式，即可证明原不等式.【详解】(1)因为a,b,c均为正实数，9a+4b+4c=4，所以1a+1100b-4c=1a+1100b+9a+4b-4=1a+9a+1100b+4b-4≥21a×9a+21100b ×4b-4=125，当且仅当1a=9a1100b=4b，即a=13,b=120,c=15时等号成立．(2)证明：根据柯西不等式有9a2+b2+c232+42+42≥(9a+4b+4c)2=16，所以9a2+b2+c2≥16 41．当且仅当3a3=b4=c4，即a=441,b=c=1641时等号成立，即原命题得证.13(2024高三·全国·专题练习)已知实数a，b，c满足a+b+c=1．(1)若2a2+b2+c2=12，求证：0≤a≤2 5；(2)若a，b，c∈0,+∞，求证：a21-a +b21-b+c21-c≥12．【答案】(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)由题意可得b+c=1-a，又12-2a2=b2+c2，结合基本不等式可得12-2a2≥1-a22，化简求得0≤a≤25，得证；(2)法一，由已知条件得a21-a +1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c 4≥c，三式相加得证；法二，根据已知条件可得121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b2 1-b +c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c，利用柯西不等式求解证明.【详解】(1)因为a+b+c=1，所以b+c=1-a．因为2a2+b2+c2=1 2，所以12-2a2=b2+c2≥b+c22=1-a22，当且仅当b=c时等号成立，整理得5a2-2a≤0，所以0≤a≤2 5．(2)解法一：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，所以a21-a+1-a4≥2a21-a⋅1-a4=a，同理可得b21-b+1-b4≥b，c21-c+1-c4≥c，以上三式相加得a21-a+b21-b+c21-c≥54a+b+c-34=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．解法二：因为a+b+c=1，且a，b，c∈0,+∞，所以1-a>0，1-b>0，1-c>0，且121-a+1-b+1-c=1，所以a21-a+b21-b+c21-c=121-a+1-b+1-ca21-a+b21-b+c21-c≥121-a⋅a1-a+1-b⋅b1-b+1-c⋅c1-c2=12a+b+c2=12，当且仅当a=b=c=13时等号成立．2.权方和不等式一、填空题14已知x>-1，y>0且满足x+2y=1，则1x+1+2y的最小值为．【答案】9 2【分析】由x>-1知：x+1>0，为保证分母和为定值，对所求作适当的变形1x+1+2y=1x+1+42y，然后就可以使用权方和不等式了.【解析】1a-2b +4b=1a-2b+123b≥1+122a-2b+3b=14+46(等号成立条件，略).15已知x>0，y>0，且x+y=1则x2x+2+y2y+1的最小值是．【答案】1 4【解析】x2x+2+y2y+1≥x+y2x+y+3=14当xx+2=yy+1，即x=23,y=13时，等号成立．16已知a >0，b >0，且2a +2+1a +2b=1，则a +b 的最小值是．【答案】12+2【解析】1=2a +2+1a +2b ≥2+1 22a +2b +2当2a +2=1a +2b，即a =2,b =12时，等号成立，a +b min =12+2．17(23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习)权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设a ,b ,x ,y >0，则a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ，当且仅当a x =b y 时等号成立.根据权方和不等式，函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值．【答案】25【分析】由f x =2x +91-2x =42x +91-2x ，再利用权方和不等式即可得解.【详解】由0<x <12，得1-2x >0，由权方和不等式可得f x =2x +91-2x =42x +91-2x ≥2+3 22x +1-2x=25，当且仅当22x =31-2x ，即x =15时取等号，所以函数f x =2x +91-2x 0<x <12的最小值为25.故答案为：25.18(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ，y ，z 满足x +y +z =1，则x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y 的最小值为【答案】13【分析】根据权方和不等式可得解.【详解】因为正数x ，y 满足x +y +z =1，所以x 2y +2z +y 2z +2x +z 2x +2y ≥x +y +z 2y +2z +z +2x +x +2y =13，当且仅当x y +2z =y z +2x =z x +2y 即x =y =z =13时取等号.故答案为：13.19(2023高三·全国·专题练习)已知x +2y +3z +4u +5v =30，求x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2的最小值为【答案】60【分析】应用权方和不等式即可求解.【详解】x 2+2y 2+3z 2+4u 2+5v 2=x 21+2y 22+3z 23+4u 24+5v 25≥x +2y +3z +4u +5v 21+2+3+4+5=30215=60当且仅当x =y =z =u =v 时取等号故答案为：6020(2023高三·全国·专题练习)已知θ为锐角，则1sin θ+8cos θ的最小值为.【答案】55【分析】利用权方和不等式：b n +1a n +d n +1c n ≥b +d n +1a +cn求解.【详解】1sin θ+8cos θ=132sin 2θ12+432cos 2θ12≥1+432sin 2θ+cos 2θ12=532=55当且仅当1sin 2θ=4cos 2θ即sin θ=55，cos θ=255时取“=”.故答案为：5521(2023高三·全国·专题练习)已知正实数x 、y 且满足x +y =1，求1x 2+8y 2的最小值.【答案】27【分析】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2 ，由权方和不等式计算可得.【详解】设x =cos 2α，y =sin 2α，α∈0,π2，由权方和不等式，可知1x 2+8y 2=13cos 2α 2+23sin 2α 2≥1+2 3cos 2α+sin 2α2=27，当且仅当1cos 2α=2sin 2α，即x =13，y =23时取等号，所以1x 2+8y 2的最小值为27.故答案为：2722(2024高三·全国·专题练习)已知a >1,b >1，则a 2b -1+b 2a -1的最小值是．【答案】8【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】令a +b -2=t >0，则a 2b -1+b 2a -1≥a +b 2a +b -2=t +2 2t =t +4t +4≥24+4=8，当a +b -2=2a b -1=ba -1时，即a =2,b =2时，两个等号同时成立，原式取得最小值8．故答案为：823(2023高三·全国·专题练习)已知实数x ，y 满足x >y >0，且x +y =2，M =3x +2y +12x -y的最小值为.【答案】85/1.6【分析】巧妙运用权方和不等式求解和式的最小值问题，关键是找到所求式的两个分母与题设和式的内在联系.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当a x =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.不妨令m (x +2y )+(2x -y )=n (x +y ),整理得(m +2)x +(2m -1)y =nx +ny ，则m +2=n 2m -1=n,解得m =3n =5 ,则M =3x +2y +12x -y =93x +6y +12x -y =93x +6y +12x -y=323x +6y +122x -y ≥(3+1)25(x +y )=85，当且仅当33x +6y =12x -y 时等式成立，由33x +6y =12x -y x +y =2解得：x =32y =12，即当x =32,y =12时，M =3x +2y +12x -y 的最小值为85.故答案为：85.24(2024高三·全国·专题练习)已知x ,y >0,1x +22y=1，则x 2+y 2的最小值是．【答案】33【分析】利用权方和不等式求解最值即可.【详解】由题意得，1=1x +22y=132x 212+232y 212≥1+232x 2+y 212=33x 2+y2．(权方和的一般形式为：a m +11b m 1+a m +12b m 2+a m +13b m 3+⋯+a m +1nb m n ≥a 1+a 2+a 3+⋯+a n m +1b 1+b 2+b 3+⋯+b nm,a i >0,b i >0,当且仅当a i =λb i 时等号成立)当1x 2=2y 21x +22y=1，即x =3,y =32时，x 2+y 2取得最小值33．故答案为：3325(2023高三·全国·专题练习)已知正数x ,y 满足4x +9y =1，则42x 2+x +9y 2+y的最小值为【答案】118【分析】运用权方和不等式求和式的最小值，关键在于找到所求和式的两个分母与题设和式之间的联系，满足条件则迅速求解.【详解】要求最小值，先来证明权方和不等式，即：∀a >0,b >0,x >0,y >0,有a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,当且仅当ax =by时取等号.证明：利用柯西不等式：m ,n ,x ,y >0,(m 2+n 2)(x 2+y 2)≥(mx +ny )2，当且仅当m x =ny时取等号，要证a 2x +b 2y ≥(a +b )2x +y ,只须证(x +y )a 2x +b 2y≥(a +b )2，因a >0,b >0,x >0,y >0,则(x +y )a 2x +b 2y =[(x )2+(y )2]ax2+b y2≥x ⋅a x +y ⋅by2=(a +b )2,当且仅当xax=yby时，即a x =by时取等号.故由42x 2+x +9y 2+y =4242x 2+x +929y 2+y =42x 28+4x +92y 29+9y ≥4x +9y24x +9y+17=118当且仅当4x8+4x =9y9+9y 时取等号.由4x +9y =14x 8+4x =9y 9+9y,解得：x =172y =17 ，即当x =172,y =17时，42x 2+x +9y 2+y的最小值为118.故答案为：118.。

教学要求：认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义， 并会证明二维柯西不等式及向量形式.教学重点：会证明二维柯西不等式及三角不等式. 教学难点：理解几何意义. 教学过程：一、复习准备：1. 提问： 二元均值不等式有哪几种形式？答案：(0,0)2a b a b +≥>>及几种变式.2. 练习：已知a 、b 、c 、d 为实数，求证22222()()()a b c d ac bd ++≥+ 证法：（比较法）22222()()()a b c d ac bd ++-+=….=2()0a d b c -≥ 二、讲授新课：1. 教学柯西不等式：① 提出定理1：若a 、b 、c 、d 为实数，则22222()()()a b c d ac bd ++≥+. → 即二维形式的柯西不等式 → 什么时候取等号？ ② 讨论：二维形式的柯西不等式的其它证明方法？ 证法二：（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++222()()()a c b d a d b c a c b d=++-≥+. （要点：展开→配方）证法三：（向量法）设向量(,)m a b = ，(,)n c d =，则||m = ，||n = ∵ m n ac bd ∙=+，且||||cos ,m n m n m n =<> ，则||||||m n m n ≤ . ∴ ….. 证法四：（函数法）设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，则22()()()f x ax c bx d =-+-≥0恒成立.∴ 22222[2()]4()()ac bd a b c d ∆=-+-++≤0，即….. ③ 讨论：二维形式的柯西不等式的一些变式？||ac bd + 或||||ac bd ≥+ac bd +.④ 提出定理2：设,αβ是两个向量，则||||||αβαβ≤. 即柯西不等式的向量形式（由向量法提出 ）→ 讨论：上面时候等号成立？（β是零向量，或者,αβ共线）⑤ 练习：已知a 、b 、c 、d ≥. 证法：（分析法）平方 → 应用柯西不等式 → 讨论：其几何意义？（构造三角形） 2. 教学三角不等式：① 出示定理3：设1122,,,x y x y R ∈分析其几何意义 → 如何利用柯西不等式证明→ 变式：若112233,,,,,x y x y x y R ∈，则结合以上几何意义，可得到怎样的三角不等式？ 3. 小结：二维柯西不等式的代数形式、向量形式；三角不等式的两种形式（两点、三点） 三、巩固练习：1. 练习：试写出三维形式的柯西不等式和三角不等式2. 作业：教材P 37 4、5题.教学要求：会利用二维柯西不等式及三角不等式解决问题，体会运用经典不等式的一般方法——发现具体问题与经典不等式之间的关系，经过适当变形，依据经典不等式得到不等关系. 教学重点：利用二维柯西不等式解决问题.教学难点：如何变形，套用已知不等式的形式. 教学过程：一、复习准备：1. 提问：二维形式的柯西不等式、三角不等式？ 几何意义？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+2. 讨论：如何将二维形式的柯西不等式、三角不等式，拓广到三维、四维？3. 如何利用二维柯西不等式求函数y =?要点：利用变式||ac bd +≤.二、讲授新课：1. 教学最大（小）值：① 出示例1：求函数y =+分析：如何变形？ → 构造柯西不等式的形式 → 板演→ 变式：y = → 推广：(,,,,,)y d a b c d e f R +=∈ ② 练习：已知321x y +=，求22x y +的最小值. 解答要点：（凑配法）2222222111()(32)(32)131313x y x y x y +=++≥+=.讨论：其它方法 （数形结合法） 2. 教学不等式的证明：① 出示例2：若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y +≥.分析：如何变形后利用柯西不等式？ （注意对比 → 构造）要点：2222111111()()]22x y x y x y +=++=++≥…讨论：其它证法（利用基本不等式）② 练习：已知a 、b R +∈，求证：11()()4a b ab ++≥.3. 练习：① 已知,,,x y a b R +∈，且1a b x y+=，则x y +的最小值.要点：()()ab x y x y x y+=++=…. → 其它证法② 若,,x y z R +∈，且1x y z ++=，求222x y z ++的最小值. （要点：利用三维柯西不等式）变式：若,,x y z R +∈，且1x y z ++=的最大值.3. 小结：比较柯西不等式的形式，将目标式进行变形，注意凑配、构造等技巧. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 37 8、9题2. 作业：教材P 37 1、6、7题第三课时 3.2 一般形式的柯西不等式教学要求：认识一般形式的柯西不等式，会用函数思想方法证明一般形式的柯西不等式，并应用其解决一些不等式的问题.教学重点：会证明一般形式的柯西不等式，并能应用. 教学难点：理解证明中的函数思想. 教学过程：一、复习准备： 1. 练习：2. 提问：二维形式的柯西不等式？如何将二维形式的柯西不等式拓广到三维？答案：22222()()()a b c d ac bd ++≥+；2222222()()()a b c d e f ad be cf ++++≥++ 二、讲授新课：1. 教学一般形式的柯西不等式：① 提问：由平面向量的柯西不等式||||||αβαβ≤，如果得到空间向量的柯西不等式及代数形式？② 猜想：n 维向量的坐标？n 维向量的柯西不等式及代数形式？ 结论：设1212,,,,,,,n n a a a b b b R ∈ ，则22222212121122()()()n n n n a a a b b b a b a b a b +++++≥+++ 讨论：什么时候取等号？（当且仅当1212n na a ab b b ===时取等号，假设0i b ≠）联想：设1122n n B a b a b a b =+++，22212n A a a a =++ ，22212n C b b b =+++ ，则有20B AC -≥，可联想到一些什么？③ 讨论：如何构造二次函数证明n 维形式的柯西不等式？ （注意分类）要点：令2222121122)2()n n n f x a a a x a b a b a b x =++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+（）（22212()n b b b +++⋅⋅⋅+ ，则2221122()()())0n n f x a x b a x b a x b =++++⋅⋅⋅+≥+（.又222120n a a a ++⋅⋅⋅+>，从而结合二次函数的图像可知，[]22221122122()4()n n n a b a b a b a a a ∆=+++-++ 22212()n b b b +++ ≤0即有要证明的结论成立. （注意：分析什么时候等号成立.） ④ 变式：222212121()n n a a a a a a n++≥++⋅⋅⋅+ . （讨论如何证明）2. 教学柯西不等式的应用：① 出示例1：已知321x y z ++=，求222x y z ++的最小值.分析：如何变形后构造柯西不等式？ → 板演 → 变式： ② 练习：若,,x y z R +∈，且1111x y z++=，求23y z x ++的最小值. ③ 出示例2：若a >b >c ，求证：ca cb ba -≥-+-411.要点：21111()()[()()]()(11)4a c a b b c a bb ca bb c-+=-+-+≥+=----3. 小结：柯西不等式的一般形式及应用；等号成立的条件；根据结构特点构造证明. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 41 4题2. 作业：教材P 41 5、6题第四课时 3.3 排序不等式教学要求：了解排序不等式的基本形式，会运用排序不等式分析解决一些简单问题，体会运用经典不等式的一般方法.教学重点：应用排序不等式证明不等式. 教学难点：排序不等式的证明思路. 教学过程：一、复习准备：1. 提问： 前面所学习的一些经典不等式？ （柯西不等式、三角不等式）2. 举例：说说两类经典不等式的应用实例. 二、讲授新课：1. 教学排序不等式： ① 看书：P 42~P 44.② 提出排序不等式（即排序原理）： 设有两个有序实数组:12a a ≤≤···n a ≤;12b b ≤≤···n b ≤.12,,c c ···n c 是12,b b ，···,n b 的任一排列,则有1122a b a b ++···+n n a b (同序和) 1122a c a c ≥++···+n n a c (乱序和) 121n n a b a b -≥++···+1n a b (反序和) 当且仅当12a a ==···=n a 或12b b ==···=n b 时，反序和等于同序和. （要点：理解其思想，记住其形式） 2. 教学排序不等式的应用：① 出示例1：设12,,,n a a a ⋅⋅⋅是n 个互不相同的正整数，求证：32122211112323n a a a a n n+++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+.分析：如何构造有序排列？ 如何运用套用排序不等式？ 证明过程：设12,,,n b b b ⋅⋅⋅是12,,,n a a a ⋅⋅⋅的一个排列，且12n b b b <<⋅⋅⋅<，则121,2,,n b b b n ≥≥⋅⋅⋅≥. 又222111123n>>>⋅⋅⋅>，由排序不等式，得3322112222222323n n a a b b a b a b nn+++⋅⋅⋅+≥+++⋅⋅⋅+≥…小结：分析目标，构造有序排列. ② 练习：已知,,a b c 为正数，求证：3332222()()()()a b c a b c b a c c a b ++≥+++++. 解答要点：由对称性，假设a b c ≤≤，则222a b c ≤≤，于是 222222a a b b c c a c b a c b ++≥++，222222a a b b c c a b b c c a ++≥++， 两式相加即得.3. 小结：排序不等式的基本形式. 三、巩固练习：1. 练习：教材P 45 1题2. 作业：教材P 45 3、4题。

【一轮复习讲义】2024年高考数学高频考点题型归纳与方法总结（新高考通用）
素养拓展01柯西不等式（精讲+精练）
1.二维形式的柯西不等式
.),,,,,()())((22222等号成立时当且仅当bc ad R d c b a bd ac d c b a =∈+≥++2.二维形式的柯西不等式的变式
bd ac d c b a +≥+⋅+2222)1( .),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈bd ac d c b a +≥+⋅+2222)2(
.),,,,,(等号成立时当且仅当bc ad R d c b a =∈.)
,0,,,(())()(3(2等号成立，时当且仅当bc ad d c b a bd ac d c b a =≥+≥++3.
二维形式的柯西不等式的向量形式
.),,,(等号成立时使或存在实数是零向量当且仅当βαβk k =≤注：有条件要用；没有条件，创造条件也要用。

比如，对2
2
2
c b a ++，并不是不等式的形状，但变成
()()
2222221113
1
c b a ++∙++∙就可以用柯西不等式了。

4.扩展：()()233221122322212
2322
21)(n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a ++++≥++++++++ ，当且仅当n n b a b a b a :::2211=== 时，等号成立.
【题型训练1-刷真题】
二、题型精讲精练
一、知识点梳理。

柯西不等式1☆学习目标： 1. 认识二维柯西不等式的几种形式，理解它们的几何意义; 2. 会证明二维柯西不等式及向量形式 ☻知识情景：1. 定理1 如果,a b R ∈, 那么222a b ab +≥. 当且仅当a b =时, 等号成立.当0,0a b >>时，由222a b ab +≥⇒基本不等式：2. 如果,,,a b c d R ∈, 那么222a b ab +≥，222c d cd +≥⇒2222()()a b c d ++≥ 另一方面，有22222()2ac bd a c b d abcd +=++≥问题：2222()()a b c d ++2()ac bd + ???☻新知建构：1. 柯西不等式：若,,,a b c d R ∈，则22222()()()a b c d ac bd +++.当且仅当 时, 等号成立.此即二维形式的柯西不等式.证法10.（综合法）222222222222()()a b c d a c a d b c b d ++=+++ 222()()()ac bd =++当且仅当 时, 等号成立. 证法20.（构造法） 分析：22222()()()ac bd a b c d +++⇐22222[2()]4()()0ac bd a b c d +-++而22222[2()]4()()ac bd a b c d +-++的结构特征 那么， 证：设22222()()2()f x a b x ac bd x c d =+-+++，∵ 22()()()f x ax c bx d =-+- 0 恒成立.∴ . 得证.证法30.（向量法）设向量(,)m a b =，(,)n c d =， 则||m =，||n =.∵ m n ⋅=，且><⋅⋅=⋅n m n m n m ,cos ||||，有||||||n m n m ⋅⋅.∴ . 得证. 2. 二维柯西不等式的变式：变式10.若,,,a b c d R ∈，则||2222bd ac d c b a ++⋅+ 或bd ac d c b a ++⋅+2222；变式20. 若,,,a b c d R ∈，；变式30. 若1122,,,x y x y R ∈，几何意义:3. 二维柯西不等式的应用： 4422332 ,()()()1a b a b a b a b ++≥+已知为实数,证明例*11,,b 1,42a b R a a b∈+=+≥设求证例3y =求函数例例4 22231,49,x y x y +=+若求的最小值并求最小值点.{222222222:(49)(11)(23)1,149.22131,23.12341231611149,(,)246x y x y x y x y x y x x y x y y x y ++≥+=∴+≥⋅=⋅=⎧=⎪=⎨+==⎪⎩∴+解由柯西不等式当且仅当即时取等号由得的最小值为最小值点为选修4-5练习221.,,10,( )a b R a b a b ∈+=-若且则的取值范围是A.⎡⎣.B ⎡-⎣.C ⎡⎣.D ⎡⎣.222.1,23( )x y x y +=+已知那么的最小值是 562536A. . . .63625B C D3.______y =函数224,,326,2______x y x y P x y +≤=+设实数满足则的最大值是22115.1,()()______a b a b a b+=+++若则的最小值是1．A 2、B 3．3 4． 5．2526、 求函数y =7、已知321x y +=，求22x y +的最小值.8、若,x y R +∈，2x y +=，求证：112x y+≥. 9、已知,,,x y a b R +∈，且1a bx y+=，则x y +的最小值. 10、若>b >，求证：ca cb b a -≥-+-411.11、 已知点()000,x y P 及直线:l 0x y C A +B += ()220A +B ≠ 用柯西不等式推导点到直线的距离公式12、已知,11122=-+-a b b a 求证：122=+b a 。

高中数学柯西不等式教学一、教学任务及对象1、教学任务本教学设计的核心任务是使学生深入理解和掌握高中数学中的重要不等式——柯西不等式。

通过该不等式的学习，学生将掌握其数学表达形式、证明过程、应用场景，并培养他们的逻辑思维能力、问题解决能力和数学素养。

此外，通过柯西不等式的学习，学生将认识到数学知识的内在联系，激发他们对数学美的追求。

2、教学对象本教学设计的对象为高中二年级的学生。

他们已经具备了一定的数学基础，掌握了基本的代数、几何知识，具备了一定的逻辑推理能力和解题技巧。

在此基础上，学生对柯西不等式的学习将更具挑战性和深度，有助于他们在数学领域取得更好的成绩。

同时，考虑到学生个体差异，教学过程中将注重因材施教，使每个学生都能在原有基础上得到提高。

二、教学目标1、知识与技能（1）理解柯西不等式的概念，掌握其数学表达形式和证明方法；（2）掌握柯西不等式在不同数学问题中的应用，如求解最值问题、不等式证明等；（3）能够运用柯西不等式解决实际问题，提高数学建模和问题解决能力；（4）通过柯西不等式的学习，提高代数运算能力和逻辑思维能力。

2、过程与方法（1）采用探究式教学，引导学生通过自主探究、合作学习等方式发现柯西不等式的证明过程；（2）通过典型案例分析，培养学生运用柯西不等式解决问题的方法；（3）设计多样化的练习题，帮助学生巩固柯西不等式的知识，提高解题技巧；（4）组织课堂讨论，让学生在交流中碰撞思维火花，互相启发，共同提高。

3、情感，态度与价值观（1）激发学生对数学知识的兴趣，培养他们勇于探索、追求真理的精神；（2）通过柯西不等式的学习，让学生体会到数学美的内涵，提高他们的审美素养；（3）培养学生严谨、务实的学术态度，使他们认识到数学知识的重要性；（4）引导学生树立正确的价值观，认识到学习数学不仅是为了应付考试，更是为了提高自己的综合素质，为未来的发展奠定基础。

在教学过程中，注重知识与技能、过程与方法、情感，态度与价值观的有机统一，使学生在掌握柯西不等式知识的同时，提升自身的综合素质，为未来的学习和发展奠定坚实基础。

柯西不等式教案
一､教学目标:
1､学问目标:
(1)熟悉二维柯西不等式的两种形式: O 1 代数形式: O2向量形式;
(2)学会二维柯西不等式的两种证明方法: O 1 代数方法: O2向量方法:
(3)明白一般形式的柯西不等式, 并学会应用及探究其证明过程:
2､才能目标:
(1)学会运用柯西不等式解决一些简洁问题:
(2)学会运用柯西不等式证明不等式:
(3) 培育同学学问迁移､自主探究才能:
3､情感､态度､价值观目标:
通过对柯西不等式的学习,使同学感受数学的精妙,提高数学素养, 激发学习爱好;
二､教学重点与难点:
1､教学重点:
(1)二维柯西不等式的两种形式及其证明: 0 1 代数形式: O2向量形式:
(2)探究一般的柯西不等式形式:
2､教学难点:
(1)柯西不等式的证明思路:
(2)运用柯西不等式解决问题: 三､教学方法:探究法､叙述法: 四､教学过程及内容:
五､板书设计。

柯西不等式与平均值不等式一、比较法1．求差比较法知道a ＞b ⇔a －b ＞0，a ＜b ⇔a －b ＜0，因此要证明a ＞b ，只要证明a －b ＞0即可，这种方法称为求差比较法．2．求商比较法由a ＞b ＞0⇔a b ＞1且a ＞0，b ＞0，因此当a ＞0，b ＞0时要证明a ＞b ，只要证明1a b即可，这种方法称为求商比较法．二、分析法从所要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立，这种证明方法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．三、综合法从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理，论证而得出命题成立，这种证明方法称为综合法即“由因寻果”的方法．四、放缩法在证明不等式时，有时我们要把所证不等式中的某些部分的值放大或缩小，简化不等式，从而达到证明的目的．这种方法称为放缩法．五、反证法的步骤1．作出否定结论的假设；2．进行推理，导出 矛盾；3．否定假设，肯定结论．六、柯西不等式的二维形式1．柯西不等式的代数形式：设a ，b ，c ，d 都是实数，则(a 2＋b 2).(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd)2，其中等号当且仅当a 1b 2＝a 2b 1时成立．2．柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则|α||β|≥|α·β|，其中等号当且仅当两个向量方向相同或相反时成立．3．二维形式的三角不等式：设x 1，y 1，x 2，y 2∈R ，那么x 21＋y 21＋x 22＋y 22≥(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2七、柯西不等式的一般形式柯西不等式的一般形式：设a 1，a 2，…，a n ，b 1，b 2，…b n 为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )·(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2.八、基本不等式的一般形式a 1+ a 2+…a n n≥n (a 1+ a 2+...a n ) 例3：设n 是正整数，求证：12≤1＋1＋ (12)＜1.解：(1)由|2x －1|＜1，得－1＜2x －1＜1，解得0＜x ＜1，所以M ＝{x|0＜x ＜1}．(2)由(1)和a ，b ∈M 可知0＜a ＜1,0＜b ＜1.所以(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0, 故ab ＋1＞a ＋b. 本例条件不变，试比较logm(ab ＋1)与logm(a ＋b)(m ＞0且m≠1)的大小．解：∵0＜a ＜1,0＜b ＜1，∴(ab ＋1)－(a ＋b)＝(a －1)(b －1)＞0.故ab ＋1＞a ＋b.当m ＞1时，y ＝logmX 在(0，＋∞)上递增，∴logm(ab ＋1)＞logm(a ＋b)当0＜m ＜1时logmX 在(0，＋∞)上单调递减，∴logm(ab ＋1)＜logm(a ＋b)．例6：设a ＞b ＞0，求证：a2＋b 2＞a －b .例8：已知m ＞0，a ，b ∈R ，求证：a mb +⎛⎫ ⎪≤a 2＋mb 21＋m . 它的变形形式又有(a ＋b )2≥4ab ，a 2＋b 22≥22a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭等；(4)a ＋b 2≥ab (a ≥0，b ≥0)，它的变形形式又有a ＋1a ≥2 (a ＞0)，b a ＋a b ≥2(ab ＞0)，b a ＋a b≤－2(ab ＜0)等. 2．分析法证明不等式的注意事项：用分析法证明不等式时，不要把“逆求”错误地作为“逆推”，分析法的过程仅需要寻求充分条件即可，而不是充要条件，也就是说，分析法的思维是逆向思维，因此在证题时，应正确使用“要证”、“只需证”这样的连接“关键词”.例10：设m 是|a |，|b |和1中最大的一个，当|x |＞m 时，求证：⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2＜2. [证明]由已知m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.又|x |＞m ，∴|x |＞|a |，|x |＞|b |，|x |＞1.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2＜|x ||x |＋|x ||x |2＝1＋1|x |＜1＋|x ||x |＝2.∴|a x ＋b x2|＜2成立． 例11：已知a ＞0，b ＞0，c ＞0，a ＋b ＞c .求证：a 1＋a ＋b 1＋b ＞c 1＋c. 证明：∵a ＞0，b ＞0，∴a 1＋a ＞a 1＋a ＋b ，b 1＋b ＞b 1＋a ＋b .∴a 1＋a ＋b 1＋b ＞a ＋b 1＋a ＋b. 而函数f (x )＝x 1＋x ＝1－11＋x 在(0，＋∞)上递增，且a ＋b ＞c ，∴f (a ＋b )＞f (c )，则a ＋b 1＋a ＋b >c 1＋c， 所以a 1＋a ＋b 1＋b >c 1＋c，则原不等式成立． 例12：求证：32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n(n ≥2，n ∈N ＋)． 证明：∵k (k ＋1)＞k 2＞k (k －1)，k ≥2，∴1k (k ＋1)＜1k 2＜1k (k －1)，即1k －1k ＋1＜1k 2＜1k －1－1k ，分别令k ＝2,3，…，n 得12－13＜122＜1－12；13－14＜132＜12－13；…1n －1n ＋1＜1n 2＜1n －1－1n； 将上述不等式相加得：12－13＋13－14＋…＋1n －1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－12＋12－13＋…＋1n －1－1n， 即12－1n ＋1＜122＋132＋…＋1n 2＜1－1n ，∴32－1n ＋1＜1＋122＋132＋…＋1n 2＜2－1n. (1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．“放”和“缩”的方向与“放”和“缩”的量的大小是由题目分析得出的．常见的放缩变换有变换分式的分子和分母，如1k 2＜1k (k －1)，1k 2＞1k (k ＋1)，1k ＜2k ＋k －1，1k ＞2k ＋k ＋1.上面不等式中k ∈N ＋，k ＞1.利用函数的单调性，真分数性质“若0＜a ＜b ，m ＞0，则a b ＜a ＋m b ＋m ”，添加或减少项，利用有界性等． (2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均有一个度．例13：已知x ，y 均为正数，且x ＞y,2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 解：因为x ＞0，y ＞0，x －y ＞0，2x ＋1x 2－2xy ＋y 2－2y ＝2(x －y )＋1x －y 2＝(x －y )＋(x －y )＋1x －y 2≥33x －y 21x －y 2＝3，所以2x ＋1x 2－2xy ＋y 2≥2y ＋3. 例14：设a ，b ，c 为正实数，求证：1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 证明：因为a ，b ，c 为正实数，由平均不等式可得1a 3＋1b 3＋1c 3≥331a 3·1b 3·1c 3，即1a 3＋1b 3＋1c 3≥3abc. 所以1a 3＋1b 3＋1c 3＋abc ≥3abc ＋abc .而3abc ＋abc ≥2 3abc ·abc ＝2 3.所以1a 3＋1b 3＋1c3＋abc ≥2 3. 例15：若n 为大于1的自然数，求证：n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1). 证明：由柯西不等式右边＝1＋1＋1＋12＋1＋13＋…＋1＋1n ＝2＋32＋43＋54＋…＋n ＋1n ≥n ·n 2·32·43·…·n ＋1n＝n .n n ＋1＝左边．∵2≠32≠43，故不取等号．∴不等式n n n ＋1＜n ＋1＋12＋13＋ (1)成立． 例16：已知f (x )＝x 2＋px ＋q ，求证|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12.证明：假设|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|都小于12，则|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2.而|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|≥|f (1)＋f (3)－2f (2)|＝|(1＋p ＋q )＋(9＋3p ＋q )－(8＋4p ＋2q )|＝2，与|f (1)|＋2|f (2)|＋|f (3)|＜2矛盾，∴|f (1)|，|f (2)|，|f (3)|中至少有一个不小于12. 例17：设a 、b 、c 均为正数，求证：12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a ＋1a ＋b. 证明：∵a 、b 、c 均为正数，∴121122a b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥12ab ≥1a ＋b，当a ＝b 时等号成立；12(12b ＋12c )≥12bc ≥1b ＋c ，当b ＝c 时等号成立；12(12c ＋12a )≥12ca ≥1c ＋a ，当a ＝c 时等号成立．三个不等式相加即得12a ＋12b ＋12c ≥1b ＋c ＋1c ＋a＋1a ＋b，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 例18：已知：a n ＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n n ＋1(n ∈N ＋)，求证：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 证明：∵n n ＋1＝n 2＋n ，∴n n ＋1＞n ，∴a n ＝1×2＋2×3＋…＋n n ＋1＞1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12.∵n n ＋1＜n ＋n ＋12，∴a n ＜1＋22＋2＋32＋3＋42＋…＋n ＋n ＋12＝12＋(2＋3＋…＋n )＋n ＋12＝n n ＋22.综上得：n n ＋12＜a n ＜n n ＋22. 例19：设a ，b ，c 为正数且a ＋b ＋c ＝1，求证：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭≥1003. 证明：21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝13(12＋12＋12)[21a a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21b b ⎛⎫+ ⎪⎝⎭+21c c ⎛⎫+ ⎪⎝⎭] ≥132111111a b c a b c ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⨯++⨯++⨯+ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦＝2111113a b c ⎡⎤⎛⎫+++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦＝()2111113a b c a b c ⎡⎤⎛⎫+++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦≥13(1＋9)2＝1003. 例20：已知a ，b 为正实数．(1)求证：a 2b ＋b 2a ≥a ＋b ；(2)利用(1)的结论求函数y ＝1－x 2x＋x 21－x(0＜x ＜1)的最小值． 解：(1)证明：法一：∵a ＞0，b ＞0，∴(a ＋b )22a b b a ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝a 2＋b 2＋a 3b ＋b 3a ≥a 2＋b 2＋2ab ＝(a ＋b )2. ∴a 2b ＋b 2a≥a ＋b ，当且仅当a ＝b 时等号成立。

柯西不等式的推论一、柯西不等式的推论柯西不等式可是数学里超酷的一个存在呢，那它的推论更是厉害得不得了。

（一）推论一：向量形式的柯西不等式推论1. 内容对于向量\(\vec{a}=(a_1,a_2,\cdots,a_n)\)和\(\vec{b}=(b_1,b_2,\cdots,b_n)\)，有\((\vec{a}\cdot\vec{b})^2\leqslant \vec{a} ^2 \vec{b} ^2\)。

这推论就像是向量之间的一种默契规则。

想象一下向量就像两个小伙伴，它们之间有着这样一种内在的关系。

2. 应用比如说在物理里，当我们计算力和位移的关系时，如果把力和位移看作向量，这个推论就能帮助我们判断一些能量关系之类的。

像在一个斜面上推一个物体，力的向量和位移的向量就满足这样的关系，我们可以根据这个推论来计算做功的范围。

（二）推论二：积分形式的柯西不等式推论1. 内容如果\(f(x)\)和\(g(x)\)在\([a,b]\)上可积，那么\((\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx)^2\leqslant(\int_{a}^{b}f^{2}(x)d x)(\int_{a}^{b}g^{2}(x)dx)\)。

这就像是把柯西不等式推广到了函数的积分领域。

函数就像一群调皮的小精灵，在积分区间\([a,b]\)里也得遵守这样的规则呢。

2. 应用在计算一些不规则图形的面积或者物理中的一些关于连续变化量的计算时，这个推论可就派上大用场了。

例如在计算一个随时间变化的力做的功，这个力和时间的函数关系满足这个推论的条件，我们就可以利用它来进行计算啦。

（三）推论三：离散形式的一种特殊情况1. 内容当\(n = 2\)时，\((a_1^2 + a_2^2)(b_1^2 + b_2^2)\geqslant(a_1b_1 + a_2b_2)^2\)。

这个特殊情况就像是柯西不等式推论里的小宝贝，简单又可爱。

2. 应用在一些简单的优化问题里，比如分配资源的时候。

如何进行柯西不等式的教学？柯西不等式是基本而重要的不等式，是推证其他许多不等式的基础，有着广泛的应用，教科书首先介绍二维形式的柯西不等式，再从向量的角度来认识柯西不等式，引入向量形式的柯西不等式，再介绍一般形式的柯西不等式，以及柯西不等式在证明不等式和求某些特殊类型的函数极值中的应用.在介绍了二维形式的柯西不等式的基础上，教科书引导学生在平面直角坐标系中，根据两点间的距离公式以及三角形的边长关系，从几何意义上发现二维形式的三角不等式接着借助二维形式的柯西不等式证明了三角不等式，在一般形式的柯西不等式的基础上，教科书安排了—个探究栏目，让学生通过探究得出一般形式的三角不等式.由上可见，教材编写者对这部分内容的要求以便让学生在大学学习打下坚实的基础，但这部分教与学的难度是显而易见的.柯西不等式∑∑∑===≥ni i i ni in i i b a ba 121212)(是柯西在1931年研究数学分析中的“留数”问题时得到的.表面上看，这一不等式并不难理解，也很容易验证它的正确性，特别是它的二阶形式22222)())((bd ac d c b a +≥++，几乎是不证自明的.但是，我们能看出这一平凡无奇的不等式成立，是因为事先已经知道两边是什么式子，而最先发现这样的不等关系，则是一个创造的过程，并不是那么容易的.柯西不等式不失为至善至美的重要不等式,以它的对称和谐的结构,简洁明快的解题方法等特点,深受人们的喜爱.而且和物理学中的矢量、高等数学中的内积空间等内在地联系在一起.柯西不等式的几种形式都有较为深刻的背景和广泛的应用，向量形式αβαβ≥⋅不仅直观地反映了这一不等式的本质，一般形式∑∑∑===≥ni i i ni in i i b a ba 121212)(有一个推广形式：n n qqn q q ppn p p b a b a b a b b b a a a +++≥++++++ 2211121121)()(.其中111=+qp .该不等式称为赫尔德（Holder ）不等式，当2==q p 时，即为柯西不等式，是数学分析中最有用的不等式之一.此外，平面三角不等式是柯西不等式的等价形式，它的推广形式∑∑∑===+≥+ni i ini ini iy xyx121212)(（闵可夫斯基不等式）也是数学分析中的经典不等式.这就是在新课程标准中作为选学内容出现的原因，也是多年数学奥赛的重点内容的原因.但由于中学生的认知水平，要达到标准要求“了解柯西不等式、会求一些特定函数的极值”对很多同学来说是一个难点.那么，如何达到学习目的呢？1．首先熟悉“∑”的含义有很多同学十分“痛恨”∑这个符号，总是看不懂，从而就避开这个符号，如93年高考题理科（24）使用了连加号“Σ”，许多考生不懂，其实这个符号在课本多次出现过，由于长期不用，他们忘记了.这个符号是绝对好用的，并且以后会常常遇到，在大学课本中更是家常便饭，多看几次自然也就习惯了.∑iA下方写1i =，上方写n ，这里i 是下标变量，1是i 起始的值，n 是i 终止的值，这时121nin i A A AA ==+++∑.2．柯西不等式有着丰富的几何背景，可以通过几何解释加深对其本质特征的认识与理解对于一个代数结果作简单的解释，往往需要借助于几何背景，只有人们知道了问题发现的过程，才能理解它的深刻含意.柯西不等式有着丰富的几何背景，运用向量的数量积在不等式和几何之间架起一座桥梁，就可以用几何的背景解释不等式：设()12,,,n a a a α=，()12,,n b b b β=，由αβαβ≥⋅，可得222111()n nni ii i i i i a ba b ===≥∑∑∑.3．认清柯西不等式的结构形式以便发生联想20世纪最伟大的数学家冯·诺依曼（L.J.V on Neumann ）指出“大多数最好的数学灵感来源于经验”，从形式结构上看，柯西不等式大的一边是两个向量的模的积的形式，小的一边是向量数量积的坐标运算的平方形式，只需简记为“方和积大于积和方”.等号成立条件比较特殊，要牢记.此外应注意在这个式子里不要求各项均是正数.有了这一经验，就容易在解题时发生联想. 如：例1设,,a b c 为正数，求证：222a b c a b c b c a++≥++. 分析：如果要运用cauchy 不等式，就要联想到小的一边是“积和方”形式就自然分析出只要证在不等式两边同乘以a b c ++，即2222()()()a b c a b c a b c b c a++++≥++， 而另一边要看成“方和积”，只需变形222a b c ++=++，222222a b cb c a ++=++，应用柯西不等式，得2222222)(])()()][()()()[(cb c ba b ac a cb ba ac c b a ⋅+⋅+⋅≥++++即222a b c a b c b c a++≥++. 4．含有常数的不等式处理方法在不等式中含有常数n ，这个常数一般与cauchy 不等式中向量的维数有关，通常把n 写成22221111++++的形式或111+++的形式,又如：例2证明：()()2333366664a b c da b c d +++≤+++.分析：常数4恰好就是每个括号中加数的个数，此时通常把4写成“22221111+++”，用柯西不等式：()()()23333222266661111a b c d a b c d +++≤++++++即可.例3设λ是实数，对任意实数,,x y z 恒有()()2222444x y z x y z λ++≤++成立，试求λ的取值范围．分析：与柯西不等式的一般形式比较，“积和方”已经具备，而另一边只需再构造一个“方 和积”即可，由于()()()2222222444111x y zx y z ++≤++++，所以，3λ≥.例4求三个实数,,x y z ，使得它们同时满足下列方程222231349215382x y z x y z x y z ++=⎧⎨++-++=⎩. 分析：将两方程左右两边分别相加，变形，得()()()2222332108x y z ++++=． 由第1个方程变形，得()()233218x y z ++++=． 于是由柯西不等式，得()()()22181213312x y z =⨯+⨯++⨯+⎡⎤⎣⎦()()()()2222221112332x y z ⎡⎤≤++++++⎣⎦218=.从而由等号成立的条件可得23326x y z =+=+=， 故原方程的解为3,1,4x y z ===．提示：由柯西不等式解方程时一定要注意运用cauchy 不等式等号成立的条件.5．在应用cauchy 不等式求最值时，要善于构造例5（2001年全国初中联赛题）求实数x 、y 的值，使得()()()2221326y x y x y -++-++-达到最小值．分析：就需要把()()()2221326y x y x y -++-++-看成是不等式中向量模的平方，构造另一模的平方，构造的顺序为把最繁的式子26x y +-对应的坐标为1，考虑3x y +-乘以2-就可以把x 抵消，因此2-就是3x y +-对应坐标，最后看()()()12623x y x y y ⨯+-+-⨯+-=-,因此1y -对应的坐标为1，从而就有cauchy 不等式：()()()()2222221211326y x y x y ⎡⎤⎡⎤+-+-++-++-⎣⎦⎣⎦()()()()21123126y x y x y ≥⨯-+-+-+⨯+-⎡⎤⎣⎦． ∴()()()2221326y x y x y -++-++-61≥. 例6若56741a b c d +-+=,求2222325a b c d +++的最小值,并指出等号成立的条件.分析：由于,,,a b c d 各项系数不同，而且既有1次项，又有2次项，显然要用柯西不等式，因为是求2222325a b c d +++的最小值，一定要把2222325a b c d +++看成“方和积”的一部分，而条件5674a b c d +-+是常数，它一定是“积和方”的一部分.而且使用柯西不等式不受-7c 这项的影响.使用时，注意写明等号成立条件，检验最小值能否取到.6.知识小结1．二维形式的柯西不等式：若d c b a ,,,都是实数，则()()()22222bd ac d c b a+≥++，当且仅当bc ad=时，等号成立.2．柯西不等式的向量形式：设βα,是两个向量，则βαβα≤⋅，当且仅当β是零向量或存在实数k ，使βαk =时，等号成立.3．二维形式的三角不等式：设R y x y x ∈2211,,,，则()()22122122222121y y x x y x y x -+-≥+++.4.三维形式的柯西不等式：设321321,,,,,b b b a a a 是实数，则()()()ba b a ba bb baa a++≥++++当且仅当)3,2,1(0==i b i或存在一个数k ，使得()3,2,1==i kb a i i 时等号成立.5.一般形式的柯西不等式：设n n b b b b a a a a ,,,,,,,,,321321 是实数，则()()2222122221n n b b b a a a++++++ ()22211n n b a b a b a +++≥ .当且仅当),,2,1(0n i b i ==或存在一个数k ，使得()n i kb a i i ,,2,1 ==时等号成立.7.应用举例例1 已知62322≤+y x ，求证：112≤+y x .证明：由柯西不等式得()()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤+222222132232y x y x ()11611621342322=⨯≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++=y x 所以112≤+y x .例2设d c b a ,,,是4个不全为零的实数，求证：21222222+≤+++++d c b a cd bc ab . 证明：ad)(bc ad)(bc cd)(ab cd 2bc ab ++-++=++()()[]()()222222d c a b ad bc cd ab 2+++-++≤()()()()22222222d c b a d b c a 2+++++≤()()()()2d c b a 2d b c a 222222222+++++++⋅≤()2222d c b a 212++++= 所以21222222+≤+++++d c b a cd bc ab . 例3若243=+y x，试求22y x +的最小值及最小值点.解：由柯西不等式得()()()222224343y x y x+≥++，得()42522≥+y x ，所以25422≥+y x . 当且仅当43yx =时等号成立， 为求最小值点，需解方程组⎪⎩⎪⎨⎧==+43243y x y x ∴⎪⎩⎪⎨⎧==258256y x 即当258,256==y x 时，22y x +的最小值为254，最小值点为⎪⎭⎫ ⎝⎛258,256.例4已知+∈R b a ,且,1=+b a 求证：()222by ax by ax +≤+证明：设()ba n yb x a m ,),,(==，则by ax ≤=+()()()()2222b a y b x a +⋅+=2222by ax b a by ax +=+⋅+=，∴()222by ax by ax +≤+.例5 若⎪⎭⎫ ⎝⎛∈2,0πx ，试求函数x x x f 2sin 14cos 3)(++=的最大值，并求出相应的x 的值.解：设()xx n m 2sin 1,cos ),4,3(+==，则25sin 1cos 43sin 14cos 3)(22222=++⋅+=≤⋅=++=x x x x x f当且仅当n m //时，上式取“=”，此时x x cos 4sin 132=+，解得57arcsin,523cos ,57sin ===x x x ∴当57arcsin=x 时，函数x x x f 2sin 14cos 3)(++=取最大值25. 例6设z y x ,,是正数，证明：()()()1111111222≥++++++++++++++x z yzxy z y xy zx y x zx yz . 证明：由柯西不等式得()[]()2111++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++y x zy x y x z . 所以()zy x z y x zx yz ++≥++++211. 同理()z y x x z y xy zx ++≥++++211，()zy x yz x yz xy ++≥++++211. 将三个不等式相加，得()()()1111111222≥++++++++++++++x z yzxy z y xy zx y x zx yz . 说明：对于许多分式不等式分母太多，也很复杂，我们可局部利用柯西不等式将分母化为统一的式子，使问题得以简化.例7解方程1521234=-++x x .解：原方程变形为2212232215⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⋅++⋅=x x ()()⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+≤22222123222x x 15=.其中等号成立的重要条件是2212232xx -=+.解得31-=x . 说明：注意方程与不等式间的相互转化，当不等式中的等号成立时，不等式就成为方程了.例8m 个互不相同的正偶数与n 个互不相同的正奇数的总和为1987，对于所有这样的n m 、，问n m 43+的最大值是多少？试证明你的结论.解：设),,2,1(m i a i=为互不相同的正偶数，),,2,1(n j b j=，则m a a a m24221+++≥+++ ，()123121-+++≥+++n b b b n，()()19872121=+++++++mmb b b a a a，由上述三式可得()198712≤++n m m ，即4119872122+≤+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m .由柯西不等式得，()2222243214213+⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎪⎭⎫ ⎝⎛+n m n m .即2254119872343⨯⎪⎭⎫⎝⎛+≤⎪⎭⎫ ⎝⎛++n m . ∴22223411987543<-+≤+n m .∴22143≤+n m . 又当35,27==n m 时，22143=+n m 且满足()198712≤++n m m .故所求最大值为221.说明：本题反映了一种重要解题方式，那就是首先缩小所探究目标的范围，再运用柯西不等式作进一步收缩，步步逼近，最后又经过构造实例使目标得到确认.例9 设na a a ,,,21为实数，运用柯西不等式证明：nnnaa nna a n a a 1111221++≥++≥++ .证明：由柯西不等式得()()()nn na a aa ++≥++++1212122111个.于是nn a a a n a a +++≥⋅++ 21221即得naa n a a nn++≥++ 1221.再由柯西不等式得()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++n n a a a a a a 1112121 222211111n a a a a a a n n =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⋅+⋅≥ . 于是nnaa nn a a 1111++≥++ . 综合知原不等式成立.例10已知实数d c b a ,,,满足3=+++d c b a ，且56322222=+++d c b a ，试求a 的最大值与最小值.解：由柯西不等式得，()()2222613121632d c b d c b ++≥⎪⎭⎫⎝⎛++++. 即()2222632d c b d c b ++≥++.综合得()2235a a -≥-，21≤≤a当且仅当616313212d c b ==，即d c b 632==时等号成立.由3=+++d c b a 和d c b 632==知，当31,32,1===d c b 时，1m in=a 当61,31,21===d c b 时，2max=a例11已知正数z y x ,,满足xyz z y x =++，且不等式λ≤+++++xz z y y x 111恒成立，求λ的取值范围.解zxyz xy x z z y y x 212121111++≤+++++ ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++⨯+++⨯+++⨯=z y x yz y x x z y x z 11121()2122211121⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++++++++≤z y x yz y x x z y x z 23=所以λ的取值范围是⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,23.例12求出所有实数a ，使得存在非负实数,,,321x x x 54,x x ，适合下列关系式：a x x x x x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅5432154321①2534333231354321a x x x x x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅②3554535251554321a x x x x x =⋅+⋅+⋅+⋅+⋅③解：设有非负实数,,,321x x x 54,x x 满足题设要求，那么由柯西不等式得()25323134521x x x a +++=2525521225212125121552211⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅=x x x x x x ()()552515521521521x x x x x x ⋅++⋅+⋅⋅++⋅+⋅≤ 4a =这样一来，上式中唯有等号成立，于是()()5,4,3,2,102512=>=k x kx kkkλλ如果54321,,,,x x x x x 中有两个或两个以上不为零，上式不可能成立，所以只能有上述两种情形： ⑴,054321=====x x x x x 此时0=a .⑵()5,4,3,2,1=i x i中有且仅有一个不为零，不妨设0≠kx ，依题设3523,,a x k a x k a kx kkk===解得()5,4,3,2,1,2===k a k k x k综上知，当25,16,9,4,1,0=a 时，存在非负实数54321,,,,x x x x x 满足题设要求.例13P 是ABC ∆内一点，z y x ,,是P 到三边c b a ,,的距离，R 是ABC ∆外接圆的半径，证明：22221c b a Rz y x ++≤++.证明：记S 是ABC ∆的面积，则 RabcS cz by ax 22==++ 22221211112111111c b a Rca bc ab R cb a R abc c b a cz by ax ccz b by a ax z y x ++≤++⋅=++⋅=++⋅++≤⋅+⋅+⋅=++ 所以22221c b a Rz y x ++≤++说明：本题中给出ABC ∆三边的长，又给出了ABC ∆内一点到三边的距离及外接圆的半径，可联想到ABC ∆的面积可以把这些量联系起来：()cz by ax S ++=∆21，又Ra A R A a 2sin ,2sin == RabcR a bc A bc S 4221sin 21=⋅==∆练习1一、选择题1．若直线1=+bya x 通过点()ααsin ,cos M ，则（D ）A ．122≤+b aB ．122≥+b aC ．11122≤+b a D ．11122≥+ba 2．已知0,0≥≥b a ，且2=+b a ，则（C ） A ．21≤ab B ．21≥ab C ．222≥+b a D ．322≤+b a 3．若y x n m ,,,满足,,2222b y x a n m =+=+其中b a ,为常数，那么ny mx +的最大值为（B ）A ．2b a +B ．abC ．222b a + D ．222b a +4.若d c b a ,,,都为实数,则不等式()()()22222bd ac d c b a+≥++取等号的条件是D ）A.0=+dc ab B.0=+bc ad C.0=-dc ab D .0=-bc ad5.已知+∈R b a ,且,1=+b a 则ba 11+与4的关系为（B ）A.411>+b a B.411≥+b a C.411<+b a D.411≤+ba 6.设+∈R b a ,，则()⎪⎭⎫ ⎝⎛++b a b a 212的最小值为（D ） A. 5 B. 6 C. 8 D.97.若b a ,是非零实数且,1=+b a +∈R x x 21,，()()2121ax bx bx ax M ++=，21x x N =，则M 与N的大小关系为（A ） A.N M≥ B.N M > C.N M ≤ D.N M <8.若实数y x ,满足()()22214125=-++y x ，则22y x +的最小值为（D ）A.2B.1C.3D.29.函数1463222+-++-=x x x x y 的最小值为（C ）A ．10 B ．10 C ．110+ D ．110-10不等式99922≤-+-a b b a等号成立的条件为（D ）A ．3=+b aB ．9=+b aC ．322=+b aD ．922=+b a二、填空题11．设0,,,>y x n m ，且1=+ynx m ，则y x u +=的最小值为.答案：()2nm +12．设b a ,为正数，则⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+a b b a 2121的最小值为.答案：29 13.函数x x U-+-=9453的最大值为.答案：1014.设()1,0,∈y x ，则()()x y y x -+-11的最大值为.答案：115.设n m d c b a ,,,,,都是正实数，cd ab P +=，ndm b nc am Q +⋅+=，则P 与Q 的大小关系为.答案：Q P≤16.若132=+y x ，则22y x +的最小值为，最小值点为.答案：⎪⎭⎫ ⎝⎛133,132,131 三、解答题 17.求证：53452≤-++a a .证明：由柯西不等式得()()()[]()2452451445aa a a -++≥-+++=∴53452≤-++a a当且仅当1425a a -=+即511=x 时等号成立. 18.设1=+b a ，求证：8144≥+b a . 证明：由柯西不等式得()()()11112222==+≥++b a b a∴2122≥+b a. 再由柯西不等式得()()()412111222244=⎪⎭⎫ ⎝⎛≥+≥++b a b a∴8144≥+b a. 19已知+∈R q p ,且233=+q p ，求证：2≤+q p .证明：设⎪⎭⎫ ⎝⎛==21212323,),,(q p n q p m ，则qp q p q p q q p p q p +=+⋅+=≤⋅=+=+2332123212322又()()2222q p q p +≤+∴()q p q p q p +≤+≤+22222∴()()q p q p +≤+84()83≤+q p∴2≤+q p20求函数21374x x y -+=的最大值.解：定义域为[]13,13-，由柯西不等式得()()()[]()22221374134916134916xx x x-+≥-++=⨯+∴513136513742=⨯≤-+x x当且仅当71342x x -=即554=x 时等号成立. ∴当554=x 时，函数21374xx y -+=的最大值为513.21.试用柯西不等式求点()4,3P到直线0532:=-+y x 的距离.解：∵直线 上的任意一点),(y x Q 到定点()4,3P 的距离为()()2243-+-y x∴由柯西不等式得()()()[]()()[]()()22222213185183243324394=-=-+=-+-≥-+-+y x y x y x 即()()[]134322≥-+-y x ∴()()134322≥-+-y x当且仅当3423-=-y x 且532=+y x 即1==y x 时等号成立. ∴当1==y x 时，()()2243-+-y x 取最小值13即为所求的距离.练习2一、选择题1.设c b a ,,为正数，且1=++c b a ，则（D ）A.3111<++c b a B.3111≥++c b a C.9111≤++c b a D.9111≥++cb a 2.设z y x ,,为正数，且1=++z y x ，则 (A )A.31222≥++z y xB.31222≤++z y xC.91222≥++z y xD.91222≤++z y x 3.求使()()()2226231-++-++-y x y x y 达到最小值的实数y x ,的值（A ） A ．65,25==y x B ．45,35==y x C ．5,3==y x D ．65,21==y x 4.设c b a ,,为正数，且A c b a =++，则（D ） A.A c b a 3111<++ B.A c b a 3111≥++ C.A c b a 9111≤++ D.Ac b a 9111≥++5.设1=++z y x ，则22232z y x ++的最小值为（B ）A ．103 B ．116 C ．113 D ．1076.式子()⎪⎭⎫⎝⎛++++222222111c b ac b a 的最小值为（A ） A ．9 B ．10 C ．12 D ．187.设()()1161914222=++++z y x ，则函数162-++=z y x W 的取值范围为（D ） A ．40104010+-≤≤--W B ．41104110+-≤≤--W C ．40104018+-≤≤--W D ．41184118+-≤≤--W8.设c b a ,,为正数且不全相等，判断c b a M ++=9与ac c b b a N +++++=222的大小（D ） A ．N M ≥ B ．N M > C ．N M ≤ D ．N M <9.设nx x x ,,,21为正数，nx x x W +++= 21，nxx x U 11121+++=，则下式成立的是（B ） A ．2n WU ≤ B ．2n WU ≥C ．2n WU < D ．2n WU >10.设+∈R c b a ,,，则ba ca cbc b a +++++的最小值为（C ） A ．43 B ．2 C ．23D ．311.已知βα,为锐角，且1cos sin sin cos 2424=+βαβα，则（A ） A ．2π B ．43π C ．4πD ．125π12.若147654321=+-+x x x x ，则函数24232221523x x x x M +++=的最小值为（B ） A ．15782 B ．78215 C ．3 D ．325二、填空题13.设,,3,2 =n 则n ++++321与21+n n的大小关系为. 答案：21321+<++++n nn 14.若c b a ,,为实数，且1222=++c b a ，则函数ca bc ab U ++=的取值范围为. 答案：121≤≤-U 15.设+∈R z y x ,,且1321=++z y x ，则32zy x ++的最小值为.答案：9 16.若1,,0<<c b a 且2=++c b a ，则函数222c b a U ++=的取值范围为.答案：⎪⎭⎫⎢⎣⎡2,3417.实数z y x ,,满足29532=++z y x ，则函数654312+++++=z y x U 的最大值为.答案：30218.已知数据1021,,,x x x 的平均数为6，标准差为2，则数据521,,,x x x 的平均数的取值范围为.答案：[]26,26+-三、解答题19.已知正数z y x ,,满足1=++z y x ，求证：⑴36941≥++zy x ⑵3222333zy x z y x ++≥++证明：⑴由柯西不等式得()36321941)(2=++≥⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++z y x z y x ，所以36941≥++zy x ⑵由柯西不等式得()()()()z y x z y x zz y y x x z y x ++++≤++=++33322123212321232222①由均值不等式得33222zy x zy x ++≤++即()()22223z y x z y x ++≤++② 将①②两式相乘得到：()()()3332223z y xz y x zy x++≤++++又1=++z y x所以3222333zy x z y x ++≥++20.设na a a ,,,21为实数，nb b b ,,,21为正数，求证：()nnn nbb b a a a b a b ab a ++++++≥+++ 212212222121证明：由柯西不等式得()()2212222111212222121nnnnnnna a ab b a b b a b b a b b b b a b ab a +++=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅++⋅+⋅≥+++⎪⎪⎭⎫⎝⎛+++ 因为nb b b ,,,21为正数，所以021>+++nb b b故()nnnnbb b a a a b a b ab a ++++++≥+++ 21221222212121.设d c b a ,,,为正实数，且4=+++d c b a ，证明：()222224b a ad d c c b b a -+≥+++证明：因为4=+++d c b a ，要证原不等式成立，等价于证明()dc b a b ad c b a a d d c c b b a +++-++++≥+++222224① 事实上，()()()()22222222222211112222)(a d ad c d c b c b a b d a a d c d d c b c c b a b b a d c b a a d d c c b b a -+-+-+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=+++-+++②由柯西不等式得③()()()()()()22222a d d c cb b a dc b a a ad d d c c c b b b a -+-+-+-≥+++⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+-+-+- 又由a b a d d c c b -≥-+-+-知()()224b a a d d c c b b a -≥-+-+-+-④由②③④可知①式成立，从而原不等式成立.22.设c b a ,,是周长为1的三角形的三条边长，求证：81222<++a c c b b a 证明：设y x c z x b z y a +=+=+=,,，其中+∈R z y x ,,，则()2121=++=++c b a z y x ()()()()()()()()()()x z z y y x x z z y y x z y x z y x x z z y y x z y y x y x z x z x z y ac c b b a 222222222222222281214383212121212121++-=++-+++++-=⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=++++++++=++因为+∈R z y x ,, 所以0222>++x z z y y x ，故81222<++a c c b b a23.设c b a ,,为ABC ∆的三边长，求证：()()()0222≥-+-+-a c a c c b c b b a b a证明：因为c b a ,,为ABC ∆的三边，故存在正数z y x ,,使得y x c z x b z y a +=+=+=,, 于是所证不等式等价于()()()()()()()()()0≥-+++-+++-++z x z y y x y z y x x z x y x z z y整理后知只需证下式成立：()z y x xyz zx yz xy ++≥++333①由柯西不等式得__________________________________________________()()()()()[]()()y x z x z z y y x y x z x z y z y x xyzz xyz y xyz x z y x xyz ++++≤++=++=++333221212321212321212322故①式成立，从而原不等式成立第三讲柯西不等式与排序不等式一二维形式的柯西不等式我们共同探究了柯西不等式的几何背景，表示形式，得出其不同证明方法，同时也发现了很多值得我们进一步研究的有价值的问题.更重要的是我们通过自主探究，发现问题，解决问题，更多的体验到数学发展过程.数学是一门通过数学思想方法逐渐将问题化繁为简的科学，它有深刻的文化底蕴和内涵，我们更应该在今后的学习中不断的挖掘和发现，真正体验到数学学习带来的美感和快感.正如教材编写者所说：重视引导学习方式和教学方式的改进，在目前的中学数学教学实践仍存在一些问题，就学生的学习而言，比较突出的就是被动的接受式的学习，教师偏重于灌输式的教学，启发式的教学原则做得不够，学生的问题意识不强，不能发现新情况新情景中的新问题，从而不能很好地解决问题，针对这种情况，教科书重视引导学生提出问题，教科书设置了许多探究栏目，鼓励学生主动探究，引导学生对于问题作左右类比，对于数学结论进行特殊化、作推广.例如，在证明了二维和三维的柯西不等式以后，就设置了一个探究性问题“对比二维形式三维形式的柯西不等式，你能猜想一般形式的柯西不等式吗？”；再如“一般形式的三角不等式应该是怎样的？如何应用一般形式的柯西不等式证明它？请同学自己探究.”等等，这样的探究性问题在教科书中处处可见.。