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柯西不等式教学设计一、 教学目标：1、 知识目标：（1） 认识二维柯西不等式的两种形式：○1代数形式；○2向量形式。
（2） 学会二维柯西不等式的两种证明方法：○1代数方法；○2向量方法。
（3） 了解一般形式的柯西不等式，并学会应用及探究其证明过程。
2、 能力目标：（1） 学会运用柯西不等式解决一些简单问题。
（2） 学会运用柯西不等式证明不等式。
（3） 培养学生知识迁移、自主探究能力。
3、 情感、态度、价值观目标：通过对柯西不等式的学习，使学生感受数学的美妙，提高数学素养，激发学习兴趣。
二、 教学重点与难点：1、 教学重点：（1） 二维柯西不等式的两种形式及其证明：○1代数形式；○2向量形式。
（2） 探究一般的柯西不等式形式。
2、 教学难点：（1） 柯西不等式的证明思路。
（2） 运用柯西不等式解决问题。
三、 教学方法：探究法、讲述法。
四、 教学过程及容：1、 单刀直入，通过基本不等式222a b ab +≥引出平方和与乘积的关系，直接引入主题2222()()(,,,)a b c d a b c d ++为实数：【师】：同学们，以前我们学习了基本不等式222a b ab +≥，它反映的是两个实数的平方和与乘积的大小关系，今天我们将学习一个著名的不等式——柯西不等式，它的形式上也含有平方和与乘积。
下面我们先来看一下这个式子2222()()(,,,)a b c d a b c d ++为实数【生】：全神贯注地看黑板。
【师】：在黑板展示：222222222222()()=a b c d a c b d a d b c +++++由于2222222222()()a c b d a d b c ac bd ad bc +++=+--因此222222()()()()a b c d ac bd ad bc ++=+-- 所以22222()()()a b c d ac bd ++≥+当且仅当0ad bc -=时，等号成立。
【二维形式的柯西不等式】一、教材分析：柯西不等式是人教A 版选修 4-5不等式选讲中的内容，是学生继均值不等式后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用。
一方面可以巩固不等式的基本证明方法，和函数最值的求法，另一方面为后面学习三角不等式与排序不等式奠定基础，本节课的核心内容是柯西不等式二维形式的推导及其简单应用。
二、教学目标：1、知识与技能：通过对二维形式的柯西不等式的探究和证明过程的分析的学习，认识二维形式的柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义；2、过程与方法：过对柯西不等式几种不同形式的探究过程的学习，会用语言叙述柯西不等式的几种形式，能总结本节课涉及到的数形结合思想，比较法，综合法，配方法，类比法，构造法等数学方法，总结应用柯西不等式解答问题的一般方法与步骤； 3、情感、态度与价值观：通过对二维形式柯西不等式的学习，学生会感受到柯西不等式的对称与和谐美，感受探究交流与合作的学习方式，同时提高学习数学的兴趣,提高数学素养. 三、教学重点：二维形式柯西不等式的证明思路，二维形式柯西不等式的应用. 四、教学难点：二维形式柯西不等式的应用. 五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析： 学生不仅已经掌握了不等式证明的基本方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理的能力。
通过对两种方法的证明，让学生体会对柯西不等式的向量形式和代数法证明的不同之处.3、教具选择：多媒体六、教学方法：启发引导、合作探究 七、教学过程一． 1、自主导学：引入：同学们，中学课本有很多定理定义都以科学家姓名命名，你知道有哪些？ 牛顿，高斯，安培，焦耳，裴波拉契，欧姆，伽利略，韦达定理，笛卡尔, 祖暅原理，秦九韶算法，海伦公式，引出课题： 1.复习： 二元基本不等式 ：(0,0)2a ba b +≥>>，当且仅当b a =时等号成立.变形：ab b a 222≥+，R b a ∈,,当且仅当b a =时等号成立.2. 尝试练习，引入新课：（1），122=+b a ，422=+d c 求bd ac +的最大值；学生独立思考，再小组讨论分析：由，122=+b a 422=+d c 得 ++22b a 2)2()2(22=+d c ,因为ac ca ≥+22)2(，bd db ≥+22)2(所以++22)2(c a bd ac db +≥+22)2(即2≤+bd ac ，当且仅当2c a =，2db =时等号成立.（2）222M b a =+,222N d c =+，N M ,为正常数，求2）（bd ac +的最大值并指出等号成立的条件.分析：由222M b a =+,222N d c =+得++22)()(M b M a 2)()(22=+NdN c 因为MN ac N c M a 2)()(22≥+，MNbd N d M b 2)()(22≥+++=22)()(2N c M a MNac N d M b 2)()(22≥++MN bd 2 故bd ac MN +≥，当且仅当N c M a =，Nd M b =时即bc ad =等号成立. bd ac d c b a +≥+⋅+2222从而22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =等号成立. 2、合作探究（1）分组探究： 二．新课：1.定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则 22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时等号成立. 证明：因为))((2222d c b a ++=22222222d a c b d b c a +++222222)(d b acbd c a bd ac ++=+所以22222)())((bd ac d c b a +-++ 0)222222≥-=+-=bc ad c b abcd d a （ 当且仅当bc ad =时等号成立.注意考虑等号成立的条件！ 探究：结合bd ac bd ac d c b a +≥+≥+⋅+||2222，能否利用所学知识从形的角度认识？小组讨论，学生展示结果：2. 几何意义：设βα→→，为平面上以原点O为起点的两个非零向量，它们的终点分别为）b a A ,(，),(d c B ），因为 |cos |||||||θβαβα→→→→=•又因为1|cos |≤θ所以||||||βαβα→→→→•≥⋅， 同时：根据坐标表示得22||b a +=→α，22||d c +=→β，它们的数量积为bd ac +=•→→βα， 所以||2222bd ac d c b a +≥+⋅+，即柯西不等式的代数形式是向量形式的坐标表示！所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα→→→→•≥⋅， 当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.）b a ,3.定理2：（柯西不等式的向量形式）设βα→→，为平面上的两个向量，则||||||βαβα→→→→•≥⋅，当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.（2）教师点拨：我们需要熟悉的是两个向量数量积与坐标间的联系，柯西不等式的代数形式是向量形式的坐标表示，所以柯西不等式的几何意义就是：||||||βαβα→→→→•≥⋅， 当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.3、巩固训练：已知623=+y x ，求22y x +的最小值.分析：因为 22222)23((23y x y x ⨯+⨯≥++））（ 即36(1322≥+）y x ，所以133622≥+y x ，所以22y x +的最小值为1336又如，求函数x x y -+-=6453的最大值.例题教学：设b a ,是正实数，1=+b a ，求证411≥+ba分析：法1：)11)((11ba b a b a ++=+展开，用均值不等式解：4222)11)((11=+≥++=++=+abb a b a b a b a (当且仅当b a a b =即21==b a 时，等号成立.)（学生一起快速齐答）法2：注意到)11)((11b a b a b a ++=+，有了)11)((ba b a ++就可以用柯西不等式了.解：411)11)((,0,02=⋅+⋅≥++∴>>）（bb a a b a b a b a , (当且仅当ab b a 11⋅=⋅即21==b a 时，等号成立.) 411≥+∴b a变式训练：已知369422=+y x ，求y x 3+最大值.分析：因为22222)13212(]1)21][()3()2[(⨯+⨯≥++y x y x即：22222)3(]1)21)[(94(y x y x +≥++2)3(454536y x +≥=⨯ 所以 53353≤+≤-y x当且仅当232yx =即554553==y x ，时y x 3+取最大值53.554-553-==y x ，时y x 3+取最小值53-.4、拓展延伸：不等式结构分析：左边是实数平方和的乘积，右边是实数积的和的平方（1）bd ac bd ac d c b a +≥+≥+⋅+||2222(当且仅当bc ad =时等号成立.)(2)),,,.()())((2+∈+≥++R d c b a bd ac d b c a (当且仅当bc ad =时等号成立.) (3)||||2222bd ac d c b a +≥+⋅+（当且仅当||||bc ad =时，等号成立）使用柯西不等式的关键是恰当变形，化为符合它的结构形式，当一个式子与柯西不等式的左边或右边具有一致形式时，就可使用柯西不等式．美题欣赏：22222)())(11(b a b a +≥++ 即2)(222b a b a +≥+22222)21((21y x y x ⨯+⨯≥++））（ 即222)2((5y x y x +≥+）22222)cos sin ()cos )(sin (θθθθb a b a +≥++ 即222)cos sin (θθb a b a +≥+|cos sin |cos sin 2222θθθθb a b a +≥+⨯+ 即|cos sin |22θθb a b a +≥+5、师生合作总结：学生总结本节课所学内容：定理1：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，当且仅当bc ad =时等号成立. 定理2：（柯西不等式的向量形式）设βα→→，为平面上的两个向量，则||||||βαβα→→→→•≥⋅，当且仅当β→是零向量，或存在实数k ,使βα→→=k 时等号成立.方法：作差，构造，数形结合 八、课外作业： P37页，4，5， 7，8，9思考题：根据二维形式的柯西不等式类比得到三维形式的柯西不等式十、教学反思：（注：教学实施后写） 过上完本节课我的体会和反思是：这是一节定理新授课，也是实践、总结和体验的研究课。
3.1 二维形式的柯西不等式（一）教学设计一、设计思想：本节乃至本讲的编写意图不是仅仅介绍经典不等式及其证明方法，而是更希望能通过分析和解决问题，讨论经典不等式的简单应用，提高学生运用重要数学结论进行推理论证的能力，即在理解重要数学结论的基础上，能够发现面临的具体问题与重要数学结论之间的内在联系，并善于利用这样的联系，应用重要数学结论及其所反映的数学思想方法解决具体问题。
二、教材分析：二维形式的柯西不等式是人教A 版教材选修4-5第三讲第一节的内容，是学生继学习均值不等式之后学习的又一个经典不等式，它在教材中起着承前启后的作用，一方面巩固了前面证明不等式及求最值的基本方法，另一方面与后面学习的三维形式的柯西不等式及一般形式的柯西不等式有着相通的研究方法，是从特殊到一般的研究过程。
本节教学的核心是二维形式的柯西不等式、几何意义以及它的简单应用。
三、学情分析：学生不仅掌握了不等式的基本证明方法，还具备了一定的观察、分析、逻辑推理能力，学生对柯西不等式的向量形式也有了一定的认识，这是学生知识的“最近发展区”。
另外授课班级是高二年级（4）班，学生基础较好，学习积极性较高。
四、教学目标1、知识与技能目标（1）认识二维柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义。
（2）能用二维柯西不等式解决简单的证明问题及求最值问题。
2、过程与方法目标通过创设情境提出问题，然后探索解决问题的方法，培养学生独立思考能力和逻辑推理能力及数形结合能力。
3、情感态度与价值观简单介绍法国数学家柯西，渗透数学史和数学文化。
五、教学重难点（1）教学重点 二维形式的柯西不等式 ； 二维形式的柯西不等式的向量形式（2）教学难点 数形结合的认识两种形式的等价关系；应用柯西不等式求最值六、教学过程（一）定理探究设α，β为平面上以原点O 为起点的两个非零向量，它们的坐标α=（b a ,） β=（d c ,）那么它们的数量积为ac bd αβ→→•=+而2||a α→=，2||c β=+||||cos αβαβθ•=⋅•，cos 1θ≤||||||αβαβ∴•≤⋅，其中等号当且仅当两个向量共线时成立。
柯西不等式教学目标:1．掌握二维柯西不等式的代数形式、向量形式和三角不等式． 2．掌握柯西不等式的一般形式．3．能利用柯西不等式解决不等式证明和最值问题． 教学重点:理解并掌握柯西不等式及其推广形式． 教学难点:柯西不等式在证明不等式和求最值中的应用． 教学过程: 一、课堂探究探究1：证明不等式：(a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2 分析一：比较法证明； 分析二：分析法证明．设计意图：通过课前自主预习，复习回顾不等式的证明方法，让学生初步认识柯西不等式的代数形式.定理1 柯西不等式：若a ，b ，c ，d 为实数，则 (a 2＋b 2)(c 2＋d 2)≥(ac ＋bd )2 ，当且仅当 ad ＝bc 时，等号成立．问题1：在柯西不等式中，取等号的条件可以写成a b ＝cd 吗？分析：不可以．当b ·d ＝0时，柯西不等式成立，但a b ＝cd 不成立．设计意图：体会柯西不等式的广泛性和一般性.探究2：（1）已知122=+b a ，122=+y x ，求证：by ax +≤1．分析：直接使用柯西不等式证明．设计意图：熟悉柯西不等式的结构特征及简单应用.（2）设在平面直角坐标系xOy 中有向量),(),,(d c b a ==βα，|α||β|与|α·β|的大小关系如何. 设计意图：找到柯西不等式的几何意义.定理2 柯西不等式的向量形式：设α，β为平面上的两个向量，则 |α||β|≥|α·β| ，当且仅当 α和β共线(平行) 时，等号成立.探究3：设R d c b a ∈,,,，求证：2222d c b a +++≥22)()(d b c a +++，等号当且仅当ad ＝bc 时成立．分析：两边平方后用分析法证明设计意图：进一步体会柯西不等式的应用，为引入三角形不等式做铺垫.定理3 三角形不等式：设x 1，x 2，x 3，y 1，y 2，y 3∈R ，那么（x 1－x 3）2＋（y 1－y 3）2＋（x 2－x 3）2＋（y 2－y 3）2≥（x 1－x 2）2＋（y 1－y 2）2. 问题2：三角形不等式的几何意义是什么？分析：三角形的两边之和大于第三边，等号成立时三点共线．探究4：柯西不等式能否推广到n 个元素的一般形式．定理4 柯西不等式的一般形式：设n 为大于1的自然数，i i b a ,（n i ,,2,1 =）为实数，则(a 21＋a 22＋…＋a 2n )(b 21＋b 22＋…＋b 2n )≥(a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n )2，等号当且仅当nn a b a b a b === 2211时成立（当0=i a 时，约定0=i b ，n i ,,2,1 =）.二、例题选讲例题1．（1）已知b a ,为实数，证明))((2244b a b a ++≥233)(b a +． （2）已知+∈R y x ,，2=+y x ，求证：yx 11+≥2. 设计意图：熟悉柯西不等式在证明不等式中的应用.（1）分析：根据形式直接使用柯西不等式． 证明：由柯西不等式得)]()()[())((2222222244b a b a b a b a ++=++≥222)(b b a a ⋅+⋅233)(b a +=（2）分析：将yx 11+与y x +相乘，再利用柯西不等式． 证明：))(11(2111y x y x y x ++=+≥2)11(212=+y yx x例题2．（1）已知12=+y x ，求22y x +的最小值. （2）求函数x x y -+-=6453的最大值. 设计意图：熟悉柯西不等式在求最值中的应用. （1）分析：由题意配凑出柯西不等式的形式．证明：由柯西不等式得)21)((2222++y x ≥1)2(2=+y x 所以22y x +≥51.当且仅当21y x =，即52,51==y x 时，22y x +取最小值51. （2）分析：由柯西不等式配凑出常数．证明：由柯西不等式得()26453x x -+-≤()()()2565432222=⎪⎭⎫⎝⎛-+-+x x所以x x -+-6453≤5 当且仅当5463-=-x x ，即25134=x 时，函数x x y -+-=6453取最大值5.例题3．（1）若c b a ,,为正数，且1=++c b a ，求证：cb a 111++≥9. （2）已知5432=+++d c b a ，求2222d c b a +++的最小值.设计意图：熟悉柯西不等式一般形式在不等式的证明与求最值中的应用. （1）分析：将cb a 111++与c b a ++相乘，再利用柯西不等式的一般形式． 证明：由柯西不等式得()c b a c b a ++⎪⎭⎫⎝⎛++111≥91112=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅+⋅+⋅c c b b a a又因为1=++c b a ，所以cb a 111++≥9. （2）分析：根据柯西不等式的一般形式的结构特点，配凑出柯西不等式. 证明：由柯西不等式得()()222222224321++++++d c b a≥()254322=+++d c b a 所以2222d c b a +++≥65 当且仅当4321d c b a ===，即32,21,31,61====d c b a 时，2222d c b a +++取最小值65.三、课堂小结1．二维柯西不等式的代数形式，向量形式，三角形式的结构特征． 2．应用柯西不等式证明不等式和求最值时注意等号成立的条件． 3．使用柯西不等式时的转化与化归思想．四、当堂检测1．设+∈R b a ,，1=+b a ，求证ba 11+≥4. 证明：由柯西不等式得()b a b a b a +⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+1111≥4112=⎪⎭⎫⎝⎛+b b a a2．已知122=+b a ，求证θθsin cos b a +≤1. 证明：由柯西不等式得2sin cos θθb a +≤()()1sin cos 2222=++θθb a所以θθsin cos b a +1≤13．设b a ,为正数，求)212)(1(ab b a ++的最小值. 解：由柯西不等式得)212)(1(a b b a ++≥2921212=⎪⎭⎫ ⎝⎛+b b a a当且仅当ab b a 2112⋅=⋅，即21=ab 时，)212)(1(a b b a ++取最小值29. 4．已知123=+y x ，求22y x +的最小值.解：由柯西不等式得()()222223++y x ≥()1232=+y x所以22y x +≥131当且仅当y x 32=，即132,133==y x 时，22y x +取最小值131.五、课后作业1．若a ，b ∈R ，且a 2＋b 2＝10，则a ＋b 的取值范围是( ) A ．[－25，25] B ．[－210，210] C ．[－10，10]D ．(－5，5]解析：∵a 2＋b 2＝10， ∴(a 2＋b 2)(12＋12)≥(a ＋b )2， 即20≥(a ＋b )2， ∴－25≤a ＋b ≤2 5. 答案：A2．已知x ，y ∈R ＋，且xy ＝1，则)11)(11(yx ++的最小值为( ) A ．4 B ．2 C ．1D ．14解析：)11)(11(y x ++≥2)11(xy+＝4，故选A. 答案：A3．已知4x 2＋5y 2＝1，则2x ＋5y 的最大值是( ) A. 2 B ．1 C ．3D ．9解析：∵2x ＋5y ＝2x ·1＋5y ·1≤4x 2＋5y 2·12＋12＝1·2＝ 2.∴2x ＋5y 的最大值为 2. 答案：A4．设a 1，a 2，…，a n 为实数，P ＝a 21＋a 22＋…＋a 2nn ，Q ＝a 1＋a 2＋…＋a n n，则P 与Q 的大小关系为( ) A ．P >Q B ．P ≥Q C ．P <QD ．不确定解析：由柯西不等式知(a 21＋a 22＋…＋a 2n )12·()111n ⋯＋＋＋个12≥a 1＋a 2＋…＋a n ， ∴a 21＋a 22＋…＋a 2n ·n ≥a 1＋a 2＋…＋a n .即得 a 21＋a 22＋…＋a 2nn ≥a 1＋a 2＋…＋a n n，∴P ≥Q .答案：B5．设a ，b ，c ，d ，m ，n 都是正实数，P ＝ab ＋cd ，Q ＝ma ＋nc ·b m ＋dn，则P 与Q 的大小________． 解析：由柯西不等式，得 P ＝am ·bm＋nc ×d n≤(am )2＋(nc )2×⎝⎛⎭⎫b m 2＋⎝⎛⎭⎫d n 2＝am ＋nc ×b m ＋d n＝Q . 答案：P ≤Q6．函数f (x )＝x －6＋12－x 的最大值为________． 解析：由柯西不等式得 (x －6＋12－x )2≤(12＋12)·[(x －6)2＋(12－x )2]＝12，∴x －6＋12－x ≤23(当x ＝9时，“＝”成立)．答案：2 37．设a ，b ，m ，n ∈R ，且a 2＋b 2＝5，ma ＋nb ＝5，则m 2＋n 2的最小值为________．解析：由柯西不等式得(ma ＋nb )2≤(m 2＋n 2)(a 2＋b 2)，即m 2＋n 2≥5，当且仅当m a ＝nb时等号成立，∴m 2＋n 2≥5，∴所求最小值为 5.答案： 58．函数y ＝2cos x ＋31－cos 2x 的最大值为________． 解析：y ＝2cos x ＋31－cos 2x ＝2cos x ＋32sin 2x ≤(cos 2x ＋sin 2x )[22＋(32)2]＝22.当且仅当cos x sin 2x ＝232，即tan x ＝±322时，函数有最大值22.答案：229．已知x ，y ，z 均为正实数，且x ＋y ＋z ＝1，则1x ＋4y ＋9z 的最小值为________．解析：利用柯西不等式． 由于(x ＋y ＋z )⎝⎛⎭⎫1x ＋4y ＋9z ≥⎝⎛ x ·1x ＋y ·2y ＋⎭⎫z ·3z 2＝36， 所以1x ＋4y ＋9z≥36.当且仅当x 2＝14y 2＝19z 2，即x ＝16，y ＝13，z ＝12时，等号成立．∴1x ＋4y ＋9z 的最小值为36.答案：3610．已知a ，b ，c ∈R ，a ＋2b ＋3c ＝6，则a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为________．解析：由柯西不等式，得(a 2＋4b 2＋9c 2)·(12＋12＋12)≥(a ·1＋2b ·1＋3c ·1)2＝36，故a 2＋4b 2＋9c 2≥12，从而a 2＋4b 2＋9c 2的最小值为12. 答案：1211．设x ，y ，z ∈R ，且满足：x 2＋y 2＋z 2＝1，x ＋2y ＋3z ＝14，则x ＋y ＋z ＝________. 解析：根据柯西不等式可得，(x 2＋y 2＋z 2)(12＋22＋32)≥(x ＋2y ＋3z )2＝14，所以要取到等号，必须满足x 1＝y 2＝z 3，结合x ＋2y ＋3z ＝14，可得x ＋y ＋z ＝3147.答案：314712．已知实数a 、b 、c 满足a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1. 求证：－23≤c ≤1.证明：因为a ＋2b ＋c ＝1，a 2＋b 2＋c 2＝1，所以a ＋2b ＝1－c ，a 2＋b 2＝1－c 2. 由柯西不等式得：(12＋22)(a 2＋b 2)≥(a ＋2b )2， 5(1－c 2)≥(1－c )2， 整理得，3c 2－c －2≤0， 解得－23≤c ≤1.∴－23≤c ≤1.13．已知x ，y ，z ∈R ，且x －2y －3z ＝4，求x 2＋y 2＋z 2的最小值． 解：由柯西不等式，得[x ＋(－2)y ＋(－3)z ]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x 2＋y 2＋z 2)， 即(x －2y －3z )2≤14(x 2＋y 2＋z 2)， 即16≤14(x 2＋y 2＋z 2)．所以x 2＋y 2＋z 2≥87，当且仅当x ＝y －2＝z －3，即当x ＝27，y ＝－47，z ＝－67时，x 2＋y 2＋z 2的最小值为87.14．已知实数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＋c ＋d ＝3，a 2＋2b 2＋3c 2＋6d 2＝5，求a 的最值． 解：由柯西不等式，有(2b 2＋3c 2＋6d 2)⎝⎛⎭⎫12＋13＋16≥(b ＋c ＋d )2， 即2b 2＋3c 2＋6d 2≥(b ＋c ＋d )2， 由条件可得，5－a 2≥(3－a )2， 解得1≤a ≤2，当且仅当2b 12＝3c 13＝6d16时等号成立， 代入b ＝12，c ＝13，d ＝16时，a max ＝2，代入b ＝1，c ＝23，d ＝13时，a min ＝1.15．设2x ＋3y ＋5z ＝29，求函数u ＝2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6 的最大值． 解： 根据柯西不等式120＝3[(2x ＋1)＋(3y ＋4)＋(5z ＋6)]≥(1×2x ＋1＋1×3y ＋4＋1×5z ＋6)2， 故2x ＋1＋3y ＋4＋5z ＋6≤230. 当且仅当2x ＋1＝3y ＋4＝5z ＋6， 即x ＝376，y ＝289，z ＝2215时等号成立，此时u max ＝230.。
3.1二维形式的柯西不等式一、教学目标1．认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 2．通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 二、课时安排 1课时 三、教学重点认识柯西不等式的几种不同形式，理解其几何意义． 四、教学难点通过运用柯西不等式分析解决一些简单问题． 五、教学过程 （一）导入新课 复习基本不等式。
（二）讲授新课教材整理 二维形式的柯西不等式（三）重难点精讲题型一、二维柯西不等式的向量形式及应例1已知p ，q 均为正数，且p 3＋q 3＝2.求证：p ＋q ≤2.【精彩点拨】 为了利用柯西不等式的向量形式，可分别构造两个向量． 【自主解答】 设m ＝p 32，q 32，n ＝(p 12，q 12)，则 p 2＋q 2＝p 32p 12＋q 32q 12＝|m ·n |≤|m ||n | ＝p3＋q3·p ＋q ＝2p ＋q.又∵(p ＋q )2≤2(p 2＋q 2)，∴2()2p q +≤p 2＋q 2≤2p ＋q ，∴2()2p q +≤2·p ＋q ，则(p ＋q )4≤8(p ＋q )．又p ＋q >0，∴(p ＋q )3≤8，故p ＋q ≤2. 规律总结：使用二维柯西不等式的向量形式证明不等式，关键是合理构造出两个向量．同时，要注意向量模的计算公式|a |＝x2＋y2对数学式子变形的影响．[再练一题]1．若本例的条件中，把“p 3＋q 3＝2”改为“p 2＋q 2＝2”，试判断结论是否仍然成立？ 【解】 设m ＝(p ，q )，n ＝(1,1)，则p ＋q ＝p ·1＋q ·1＝|m ·n |≤|m |·|n |＝p2＋q2·12＋12. 又p 2＋q 2＝2. ∴p ＋q ≤2·2＝2. 故仍有结论p ＋q ≤2成立. 题型二、运用柯西不等式求最值例2 若2x ＋3y ＝1，求4x 2＋9y 2的最小值．【精彩点拨】 由2x ＋3y ＝1以及4x 2＋9y 2的形式，联系柯西不等式，可以通过构造(12＋12)作为一个因式而解决问题．【自主解答】 由柯西不等式得(4x 2＋9y 2)(12＋12)≥(2x ＋3y )2＝1. ∴4x 2＋9y 2≥12，当且仅当2x ×1＝3y ×1， 即x ＝14，y ＝16时取等号．∴4x 2＋9y 2的最小值为12.规律总结：1．利用柯西不等式求最值，不但要注意等号成立的条件，而且要善于配凑，保证出现常数结果． 2．常用的配凑的技巧有：①巧拆常数；②重新安排某些项的次序；③适当添项；④适当改变结构，从而达到运用柯西不等式求最值的目的．[再练一题]2．若3x ＋4y ＝2，试求x 2＋y 2的最小值及最小值点.【解】 由柯西不等式(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，得25(x 2＋y 2)≥4.所以x 2＋y 2≥425，当且仅当x 3＝y4时，“＝”成立．为求最小值点，需解方程组⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋4y ＝2，x 3＝y4，∴⎩⎨⎧x ＝625，y ＝825.因此，当x ＝625，y ＝825时，x 2＋y 2取得最小值，最小值为425，最小值点为⎝⎛⎭⎫625，825. 题型三、二维柯西不等式代数形式的应用 例3已知|3x ＋4y |＝5，求证：x 2＋y 2≥1.【精彩点拨】 探求已知条件与待证不等式之间的关系，设法构造柯西不等式进行证明． 【自主解答】 由柯西不等式可知(x 2＋y 2)(32＋42)≥(3x ＋4y )2，所以(x 2＋y 2)≥(3x ＋4y )232＋42.又因为|3x ＋4y |＝5， 所以(3x ＋4y )232＋42＝1，即x 2＋y 2≥1. 规律总结：1．利用二维形式的柯西不等式证明时，要抓住柯西不等式的结构特征，必要时，需要将数学表达式适当变形．2．变形往往要求具有很高的技巧，必须善于分析题目的特征，根据题设条件，综合地利用添、拆、分解、组合、配方、变量代换、数形结合等方法才能发现问题的本质，找到突破口．[再练一题]3．设a ，b ∈R ＋且a ＋b ＝2.求证：a22－a ＋b22－b ≥2.【证明】 根据柯西不等式，有[(2－a )＋(2－b )]⎝⎛⎭⎫a22－a ＋b22－b ＝[(2－a)2＋(2－b)2]⎝⎛⎭⎪⎫a 2－a 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 2－b 2≥⎝⎛⎭⎪⎫2－a·a 2－a ＋2－b·b 2－b 2＝(a ＋b )2＝4. ∴a22－a ＋b22－b ≥4(2－a )＋(2－b )＝2， 当且仅当2－a·b 2－b ＝2－b·a2－a， 即a ＝b ＝1时等号成立． ∴a22－a ＋b22－b≥2. （四）归纳小结二维柯西不等式—⎪⎪⎪⎪—代数形式—向量形式—三角形式—柯西不等式求最值（五）随堂检测 1．设x ，y ∈R ，且2x ＋3y ＝13，则x 2＋y 2的最小值为()A.13B ．169C ．13D.0【解析】 (2x ＋3y )2≤(22＋32)(x 2＋y 2)， ∴x 2＋y 2≥13. 【答案】 C2．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则(4a ＋1＋4b ＋1)2的最大值是() A ．26B.6C ．6D.12 【解析】 (4a ＋1＋4b ＋1)2 ＝(1×4a ＋1＋1×4b ＋1)2≤(12＋12)(4a ＋1＋4b ＋1)＝2[4(a ＋b )＋2] ＝2×(4×1＋2)＝12， 当且仅当4b ＋1＝4a ＋1， 即a ＝b ＝12时等号成立．故选D.【答案】 D3．平面向量a ，b 中，若a ＝(4，－3)，|b |＝1，且a ·b ＝5，则向量b ＝________.【解析】 |a |5，且 |b |＝1， ∴a ·b ＝|a |·|b |，因此，b 与a 共线，且方向相同， ∴b ＝⎝⎛⎭⎫45，－35. 【答案】 ⎝⎛⎭⎫45，－35 六、板书设计七、作业布置同步练习：3.1二维形式的柯西不等式八、教学反思。
柯西不等式教案
一､教学目标:
1､学问目标:
(1)熟悉二维柯西不等式的两种形式: O 1 代数形式: O2向量形式;
(2)学会二维柯西不等式的两种证明方法: O 1 代数方法: O2向量方法:
(3)明白一般形式的柯西不等式, 并学会应用及探究其证明过程:
2､才能目标:
(1)学会运用柯西不等式解决一些简洁问题:
(2)学会运用柯西不等式证明不等式:
(3) 培育同学学问迁移､自主探究才能:
3､情感､态度､价值观目标:
通过对柯西不等式的学习,使同学感受数学的精妙,提高数学素养, 激发学习爱好;
二､教学重点与难点:
1､教学重点:
(1)二维柯西不等式的两种形式及其证明: 0 1 代数形式: O2向量形式:
(2)探究一般的柯西不等式形式:
2､教学难点:
(1)柯西不等式的证明思路:
(2)运用柯西不等式解决问题: 三､教学方法:探究法､叙述法: 四､教学过程及内容:
五､板书设计。
选修4_5 不等式选讲柯西不等式目的要求：理解二维形式柯西不等式及其结构背景，在了解二维形式柯西不等式结构特点基础上，会用二、三维柯西不等式进行简单的证明与求一类函数最值。
重点难点：重点：用二维柯西不等式进行简单的证明与求最值；难点：柯西不等式的结构与应用背景；背景变化下的“正反”灵活应用。
教学方法：观察分析，启发变式，题组练习。
教学流程：复习引入—了解结构--典例分析--变式引申--小结推广--巩固提高。
教学过程：一、复习引入，看清结构在上节初步了解柯西不等式基础上，本节将进一步分析研讨柯西不等式的应用，看到柯西不等式是进一步学习数学或解题的重要工具。
1、复习柯西不等式：给出二维形式定理：（柯西不等式的代数形式）设d c b a ,,,均为实数，则22222)())((bd ac d c b a +≥++，其中等号当且仅当bc ad =时成立。
（1）推广形式：设d c b a ,,,ac bd ≥+；ac bd +；其中等号当且仅当bc ad =时成立。
教师提问：柯西不等式的代数形式中两边不等式结构各有什么特点？ 你能用自己的语言叙述？（2）结构特点：左边是d c b a ,,,字母的“方和积”，右边是字母对应的“积和方”； 柯西不等式的语言叙述：“方和积”不小于“积和方” 应用时是看“方和积”还是“积和方”？依具体问题而定。
二、观察典例，变式应用例1、已知+∈R b a ,，求证：b a ab b a +≥+22； 分析：从题目结论看，没有出现“方和积”，因此，左边要构造出一个“方和积”； ])()[(22a b b a +只有乘以？可得到b a +。
知？=22)()(a b +。
∴ ])()[(22abb a+[22)()(a b +]2)(b a +≥，即：b a a b b a +≥+22。
教师提问：等号何时成立？例2 已知R y x ∈,且0,>b a ，求证：ba y x ab by x a ++≥+⋅2)2(2222分析：原不等式通过“变形、重组”有：222)2()2)(2(y x ab by x a b a +≥+⋅+；即：222)2()2)(2(y x abby x a b a +≥+⋅+，亦：222)2()2)(21(y x by x a b a +≥+⋅+； 而它满足柯西不等式，所以原不等式得证。
