高中数学第三讲柯西不等式与排序不等式3.3排序不等式教案新人教A版选修4_5

人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式教学设计一、教学目标1.理解柯西不等式和排序不等式的概念和基本性质。

2.能够应用柯西不等式和排序不等式解决实际问题。

3.培养学生的数学思维能力、解决问题的能力和团队协作精神。

二、教学内容1.柯西不等式的定义和证明。

2.柯西不等式及其应用。

3.排序不等式的定义和证明。

4.排序不等式及其应用。

三、教学重点和难点1.理解柯西不等式和排序不等式的定义和基本性质。

2.掌握柯西不等式的证明方法，理解其应用。

3.熟练掌握排序不等式的证明方法，能够应用排序不等式解决实际问题。

四、教学方法和手段1.教师引导学生自主发现和探究柯西不等式和排序不等式。

2.采用运用举例的方法，引导学生理解和记忆柯西不等式和排序不等式，提高学生举一反三的能力。

3.推崇探究式学习方法，鼓励学生主动探究，组织学生研究、合作探讨，提升学生的团队合作能力。

五、教学流程1.柯西不等式的引入通过真实生活中的例子，引出两个变量之间的关系，小组探究两正数之积的最大值、两负数之积的最大值、正数与负数之积的最小值。

教授柯西不等式的定义和证明。

2.柯西不等式的应用通过计算题目，引出使用柯西不等式求出积分值最大值的方法，题目的复杂程度逐渐加深，教授柯西不等式在解题中的应用。

3.排序不等式引入介绍排序不等式的定义和证明过程，并从生活中的例子引出排序不等式的应用场景。

4.排序不等式的应用通过计算题目，引导学生掌握人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式的解题方法，解决实际问题。

六、教学评价1.通过出题考核，检测学生掌握柯西不等式和排序不等式的基础知识和应用能力。

2.通过实际应用问题，检验学生对柯西不等式和排序不等式的理解和应用能力。

七、小组探究设计在小组合作过程中，让学生组织实验、调查等自主探究柯西不等式和排序不等式。

小组探究产生的报告可作为课后作业，让学生进行总结和讨论。

最后，本课程旨在为学生提供基本数学知识和运用能力，建立实际生活场景与知识的联系。

3.3 排序不等式课堂导学三点剖析一、利用排序不等式证明不等式【例1】 已知a,b,c∈R +,求证:23≥+++++b a c c a b c b a .证明：不妨设a≥b≥c>0,①则0<b+c≤c+a≤a+b,从而有b a ac c b +≥+≥+111.②对①②应用排序原理,得c b ba c cb a ac b a a c b b a c+++++≥+++++,③c b ca c ab a bc b a a c b b a c +++++≥+++++,④③+④,得2(c b a a c b b a c +++++)≥(b a b b a a +++)+(a c aa c c+++)+(c b cc b b+++)=3. ∴23≥+++++b a cc a bc b a(当且仅当a=b=c 时等号成立).各个击破类题演练1设a,b,c 都是正数,证明2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++.证明:不妨设a≥b≥c>0,①则a+b≥a+c≥b+c>0,b ac a c b +≥+≥+111>0,b a cc a bc b a+≥+≥+>0,②对①②应用排序原理,得b a caa c bcc b abb ac c a b c b a +++++≥+++++222,③b a cba c bac b acb ac c a b c b a +++++≥+++++222,④③+④,得2(b a c c a b c b a +++++222)≥a+b+c, ∴2222cb a b ac a c b c b a ++≥+++++(当且仅当a=b=c 时,等号成立).二、利用排序不等式证明条件不等式【例2】 设a,b,c,d 是满足ab+bc+cd+da=1的非负实数,求证:313333≥+++++++++++c b a d d b a c d c a b d c b a . 证明:不妨设a≥b≥c≥d≥0,①则a+b+c≥a+b+d≥a+c+d≥b+c+d>0,得cb a d d b acd c a b d c b a ++≥++≥++≥++2222≥0,② 令S=cb a d d b acd c a b d c b a +++++++++++3333, 对于①②应用排序原理,得 S≥cb a a d d b a dcd c a c b d c b b a +++++++++++2222,③ S≥cb a b d d b a acd c a d b d c b c a +++++++++++2222,④ S≥cb acd d b a b c d c a a b d c b d a +++++++++++2222,⑤ ③+④+⑤,可得3S≥a 2+b 2+c 2+d 2=222222222222a d d c c b b a +++++++≥ab+bc+cd+da=1. ∴S≥31(当且仅当a=b=c=d=21时,等号成立). 类题演练2 设a 1,a 2,…，a n 是1,2,…,n 的一个排列,求证:21+32+…+n n a a a a a a n n 132211-+++≤-Λ. 证明:设b 1,b 2,…,b n-1是a 1,a 2,…,a n-1的一个排列,且b 1<b 2<…<b n-1;c 1,c 2,…,c n-1是a 2,a 3,…,a n 的一个排列,且c 1<c 2<…<c n-1, 则121111->>>n c c c Λ且b 1≥1,b 2≥2,…,b n-1≥n -1;c 1≤2,c 2≤3,…,c n-1≤n. 利用排序不等式有nn a a a a a a 13221-+++Λ≥n n c b c b c b n n 132********-+++≥+++--ΛΛ. 变式提升1设实数x 1≥x 2≥…≥x n ,y 1≥y 2≥…≥y n ,z 1,z 2,…,z n 是y 1,y 2,…,y n 的一个置换,证明∑=-n i i i y x1)(2≤∑=-n i i i z x 1)(2. 证明:显然所需证明之不等式等价于∑∑==≥n i i in i i i z x y x 11,这由排序不等式可直接得到.三、利用排序不等式解决其他问题【例3】 有十个人各拿一只水桶去打水,设水龙头灌满第i 个人的水桶需要t i 分钟,且这些t i (i=1,2,…,10)各不相等,试问:(1)只有一只水龙头供水时,应如何安排这十个人打水的次序,使他们的总的花费时间最少?这个最少时间是多少?(2)若有两个相同的水龙头供水时,应如何安排这十个人的次序,使他们的总的花费时间最少?这个最少时间是多少?解析：(1)设按某次序打水时水龙头灌满第i 个人的水桶需要s i 分钟,则第一人花费的时间为s 1分钟,第二人花费的时间为(s 1+s 2)分钟,…,第十人花费的时间为(s 1+s 2+…+s 10)分钟,总的花费时间为s 1+(s 1+s 2)+…+(s 1+s 2+…+s 10)=10s 1+9s 2+…+2s 9+s 10.其中,序列s 1,s 2,…,s 10是t 1,t 2,…,t 10的一个排列.由题设,这些t i 各不相同,不妨设t 1<t 2<…<t 10,则由排序原理知10s 1+9s 2+…+2s 9+s 10≥10t 1+9t 2+…+2t 9+t 10，即按任意一个次序打水花费的总时间不小于按如下顺序打水的时间:先按打水所需时间从小到大依次排队,然后逐个打水,此时花费时间最省,总的花费时间为(10t 1+9t 2+…+2t 9+t 10)分钟.(2)如果有两个水龙头,设总时间最少时有m 个人在第一个水龙头打水,设依次所用时间为p 1,p 2,…,p m ;有10-m 个人在第二个水龙头打水,依次所需时间设为q 1,q 2,…,q 10-m .显然必有一个水龙头的打水人数不少于5人,不妨设为第一个水龙头,也不可能有一个水龙头没人去打水,则5≤m<10.由(1)知p 1<p 2<…<p m ,q 1<q 2<…<q 10-m .总的花费时间为T=mp 1+(m-1)p 2+…+p m +(10-m)q 1+(9-m)q 2+…+q 10-m .其中{p 1,p 2,…,p m ,q 1,q 2,…,q 10-m }={t 1,t 2,…,t 10},t 1<t 2<…<t 10.首先我们来证明m=5.若不然,即m>5,我们让在第一个水龙头打水的第一人到第二个水龙头的第一位去,则总的花费时间变为T′=(m -1)p 2+…+p m +(11-m)p 1+(10-m)q 1+…+q 10-m .所以T-T′=(2m -11)p 1>0,即当m>5时,我们让第一个水龙头的第一人到第二个水龙头去后,总时间减少.故在m=5时,总时间可能取得最小值.由于m=5,故两个水龙头人一样多.总用时为T=(5p 1+4p 2+3p 3+2p 4+p 5)+(5q 1+4q 2+3q 3+2q 4+q 5). 由于p 1<p 2<…<p 5,q 1<q 2<…<q 5.不妨设p 1=t 1.下证q 1<p 2.否则我们交换用时为q 1,p 2的两人的位置后,总用时变为T″=(5p 1+4q 1+3p 3+2p 4+p 5)+(5p 2+4q 2+3q 3+2q 4+q 5),则T-T″=q 1-p 2>0,即经交换后总时间变少.因此q 1<p 2,也即q 1=t 2.类似地,我们可以证明p i <q i <q i +1(i=1,2,3,4),p 5<q 5.从而最省时的打水顺序为 水龙头一:t 1,t 3,t 5,t 7,t 9;水龙头二:t 2,t 4,t 6,t 8,t 10.其中t 1<t 2<…<t 10.类题演练3设a 1,a 2,…,a n 是n 个正数,证明n n n a a a n a a a •••≥+++ΛΛ2121,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时等号成立.证法一:记G=n n a a a •••Λ21,令b i =G a i (i=1,2,…,n),则原不等式b 1+b 2+…+b n ≥n,其中b 1·b 2·…·b n =1.取x 1,x 2,…,x n ,使b 1=21x x ,b 2=32x x ,…,b n-1=n n x x 1-,则b n =1x x n ,由排序不等式易证 b 1+b 2+…+b n =21x x +32x x +…+nn x x 1-≥n,当且仅当x 1=x 2=…=x n 时等号成立. 所以所证不等式成立,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时等号成立.证法二:令t i =a ii G a a a Λ21(i=1,2,…,n),则t n =1.从而正数序列t 1,t 2,…,t n 及nt t t 1,,1,121Λ对应两项大小次序正好相反,由排序原理得 n=t 1·11t +t 2·21t +…+t n ·n t 1≤t 1·n t 1+t 2·11t +…+t n ·11-n t , 即n≤G a G a G a n +++Λ21=Ga a a n +++Λ21, 从而G≤na a a n +++Λ21,当且仅当a 1=a 2=…=a n 时等号成立. 变式提升2设a,b,c 是某三角形的三边长,T 是该三角形的面积,证明a 2+b 2+c 2≥34T,并问何时取等号?证明:根据Heron 公式,需证明不等式等价于(a 2+b 2+c 2)2≥3(a+b+c)(b+c -a)(c+a-b)(a+b-c)=3［(b+c)2-a 2］·［a 2-(b-c)2］=3［(2bc)2-(a 2-b 2-c 2）2］,这又等价于要证明a 4+b 4+c 4≥a 2b 2+b 2c 2+c 2a 2,它由排序不等式可立即得到,这就证明了a 2+b 2+c 2≥34T,等号当且仅当a 2=b 2=c 2,即a=b=c 时成立.。

1 三 排序不等式一览众山小诱学·导入材料：赫农王为埃及国王制造了一条船，体积大，相当重，因为不能挪动，搁浅在海岸上很多天.阿基米德设计了一套复杂的杠杆滑轮系统安装在船上，将绳索的一端交到赫农王手上.赫农王轻轻拉动绳索，奇迹出现了，大船缓缓地挪动起来，最终下到海里.国王惊讶之余，十分佩服阿基米德，并派人贴出告示“今后，无论阿基米德说什么，都要相信他.”阿基米德也自豪地说过：“假如给我一个支点，我就能橇动地球.”问题：我们当然不敢奢想撬动地球，但如果试想这可以成为事实，所有的人运用一个杠杆去撬地球，那应该如何安排人的位置，才会使这种推动的可能性更大一点？ 导入：我们可以想象把a 1,a 2,…,a n 理解为这个杠杆从支点到它上面安放的力量为c 1,c 2,…,c n 的人的距离.很容易可以判断，要想获得最大的力矩，即使a 1c 1+a 2c 2+…+a n c n 取得最大值，那么应该如何安排呢？生活经验告诉我们，应该把力量最大的人安置在离支点最远的位置.温故·知新1.二维柯西不等式的内容是什么？答：柯西不等式有如下几种不同形式，在学习中，应理解它们的几何意义.（1）证明：柯西不等式向量形式|α||β|≥|α·β|.（2）证明：(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac+bd)2.（3）证明：232232221221)()()()(y y x x y y x x -+-+-+- 331231)()(y y x x -+-≥（通常称作平面三角不等式）.2.一般形式的柯西不等式的内容是什么？答：对任意的实数a 1,a 2,…,a n 及b 1,b 2,…,b n 有(∑=n i i i b a 1)2≤∑∑==n i i n i i b a 1212,其中等号当且仅当2211b a b a ==…=nn b a 时成立.。

一、教学目标１．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．２．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．二、课时安排１课时三、教学重点１．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．２．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．四、教学难点１．掌握三维形式和多维形式的柯西不等式．２．会利用一般形式的柯西不等式解决简单问题．五、教学过程（一）导入新课已知实数x，y，z满足x＋２y＋z＝１，求t＝x２＋４y２＋z２的最小值．【解】由柯西不等式得（x２＋４y２＋z２）（１＋１＋１）≥（x＋２y＋z）２.∵x＋２y＋z＝１，∴３（x２＋４y２＋z２）≥１，即x２＋４y２＋z２≥错误!.当且仅当x＝２y＝z＝错误!，即x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!时等号成立．故x２＋４y２＋z２的最小值为错误!.（二）讲授新课教材整理１三维形式的柯西不等式设a１，a２，a３，b１，b２，b３∈R，则（a错误!＋a错误!＋a错误!）·（b错误!＋b错误!＋b错误!）≥.当且仅当或存在一个数k，使得a i＝kb i（i＝１,２,３）时，等号成立．我们把该不等式称为三维形式的柯西不等式．教材整理２一般形式的柯西不等式设a１，a２，a３，…，a n，b１，b２，b３，…，b n是实数，则（a错误!＋a错误!＋…＋a错误!）（b错误!＋b错误!＋…＋b错误!）≥ .当且仅当b i＝0（i＝１,２，…，n）或存在一个数k，使得a i＝（i＝１,２，…，n）时，等号成立．（三）重难点精讲题型一、利用柯西不等式求最值例１已知a，b，c∈（0，＋∞），错误!＋错误!＋错误!＝２，求a＋２b＋３c的最小值及取得最小值时a，b，c的值．【精彩点拨】由于错误!＋错误!＋错误!＝２，可考虑把已知条件与待求式子结合起来，利用柯西不等式求解．【自主解答】∵a，b，c∈（0，＋∞），∴错误!·（a＋２b＋３c）＝[错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!][（错误!）２＋（错误!）２＋（错误!）２]≥错误!错误!＝（１＋２＋３）２＝３6．又错误!＋错误!＋错误!＝２，∴a＋２b＋３c≥１8，当且仅当a＝b＝c＝３时等号成立，综上，当a＝b＝c＝３时，a＋２b＋３c取得最小值１8．规律总结：利用柯西不等式求最值时，关键是对原目标函数进行配凑，以保证出现常数结果．同时，要注意等号成立的条件．[再练一题]１．已知x＋４y＋9z＝１，求x２＋y２＋z２的最小值．【解】由柯西不等式，知（x＋４y＋9z）２≤（１２＋４２＋9２）（x２＋y２＋z２）＝98（x２＋y２＋z２）．又x＋４y＋9z＝１，∴x２＋y２＋z２≥错误!，（*）当且仅当x＝错误!＝错误!时，等号成立，∴x＝错误!，y＝错误!，z＝错误!时，（*）取等号．因此，x２＋y２＋z２的最小值为错误!.题型二、运用柯西不等式求参数的取值范围例２已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式错误!＋错误!＋错误!≤λ恒成立，求λ的取值范围．【精彩点拨】“恒成立”问题需求错误!＋错误!＋错误!的最大值，设法应用柯西不等式求最值．【自主解答】∵x>0，y>0，z>0．且x＋y＋z＝xyz.∴错误!＋错误!＋错误!＝１．又错误!＋错误!＋错误!≤错误!错误!＝错误!错误!≤错误!当且仅当x＝y＝z，即x＝y＝z＝错误!时等号成立．∴错误!＋错误!＋错误!的最大值为错误!.故错误!＋错误!＋错误!≤λ恒成立时，应有λ≥错误!.因此λ的取值范围是错误!.规律总结：应用柯西不等式，首先要对不等式形式、条件熟练掌握，然后根据题目的特点“创造性”应用定理．[再练一题]２．已知实数a，b，c，d满足a＋b＋c＋d＝３，a２＋２b２＋３c２＋6d２＝５，试求a的取值范围.【解】由a＋b＋c＋d＝３，得b＋c＋d＝３—a，由a２＋２b２＋３c２＋6d２＝５，得２b２＋３c２＋6d２＝５—a２，（２b２＋３c２＋6d２）错误!≥（b＋c＋d）２，即２b２＋３c２＋6d２≥（b＋c＋d）２.由条件可得，５—a２≥（３—a）２，解得１≤a≤２，所以实数a的取值范围是[１,２]．题型三、利用柯西不等式证明不等式例３已知a，b，c∈R＋，求证：错误!错误!＋错误!＋错误!≥9．【精彩点拨】对应三维形式的柯西不等式，a１＝错误!，a２＝错误!，a３＝错误!，b１＝错误!，b２＝错误!，b３＝错误!，而a１b１＝a２b２＝a３b３＝１，因而得证．【自主解答】∵a，b，c∈R＋，由柯西不等式，知错误!错误!＝[错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!]×[错误!错误!＋错误!错误!＋错误!错误!]≥错误!错误!＝（１＋１＋１）２＝9，∴错误!错误!≥9．规律总结：１．当a i，b i是正数时，柯西不等式变形为（a１＋a２＋…＋a n）（b１＋b２＋…＋b n）≥（错误!＋错误!＋…＋错误!）２.２．本题证明的关键在于构造两组数，创造使用柯西不等式的条件．在运用柯西不等式时，要善于从整体上把握柯西不等式的结构特征，正确配凑出公式两侧的数组．[再练一题]３．已知函数f（x）＝m—|x—２|，m∈R，且f（x＋２）≥0的解集为[—１,１]．（１）求m的值；（２）若a，b，c∈R＋，且错误!＋错误!＋错误!＝m，求证：a＋２b＋３c≥9．【解】（１）因为f（x＋２）＝m—|x|，f（x＋２）≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|—m≤x≤m}．又f（x＋２）≥0的解集为[—１,１]，故m＝１．（２）证明：由（１）知错误!＋错误!＋错误!＝１．又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋２b＋３c ＝（a＋２b＋３c）错误!≥错误!错误!＝9．（四）归纳小结一般形式的柯西不等式—错误!（五）随堂检测１．设a＝（—２,１,２），|b|＝6，则a·b的最小值为（）A．１8 B．6 C．—１8 Ｄ．１２【解析】|a·b|≤|a||b|，∴|a·b|≤１8．∴—１8≤a·b≤１8，当a，b反向时，a·b最小，最小值为—１8．【答案】C２．若a错误!＋a错误!＋…＋a错误!＝１，b错误!＋b错误!＋…＋b错误!＝４，则a１b１＋a２b２＋…＋a n b n的取值范围是（）A．（—∞，２）B．[—２,２] C．（—∞，２] Ｄ．[—１,１]【解析】∵（a错误!＋a错误!＋…＋a错误!）（b错误!＋b错误!＋…＋b错误!）≥（a１b１＋a２b２＋…＋a n b n）２，∴（a１b１＋a２b２＋…＋a n b n）２≤４，∴|a１b１＋a２b２＋…＋a n b n|≤２，即—２≤a１b１＋a２b２＋…＋a n b n≤２，当且仅当a i＝错误!b i（i＝１,２，…，n）时，右边等号成立；当且仅当a i＝—错误!b i（i＝１,２，…，n）时，左边等号成立，故选Ｂ．【答案】B３．设a，b，m，n∈R，且a２＋b２＝５，ma＋nb＝５，则错误!的最小值为________．【解析】根据柯西不等式（ma＋nb）２≤（a２＋b２）（m２＋n２），得２５≤５（m２＋n２），m２＋n２≥５，错误!的最小值为错误!.【答案】错误!六、板书设计３．２一般形式的柯西不等式七、作业布置同步练习：３．２一般形式的柯西不等式八、教学反思。

3.3排序不等式一、教学目标1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．二、课时安排1课时三、教学重点1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．四、教学难点1．了解排序不等式的数学思想和背景．2．理解排序不等式的结构与基本原理，会用排序不等式解决简单的不等式问题．五、教学过程（一）导入新课某班学生要开联欢会，需要买价格不同的礼品4件，5件和2件．现在选择商店中单价分别为3元，2元和1元的礼品，则至少要花________元，最多要花________元．【解析】取两组实数(2,4,5)和(1,2,3)，则顺序和为2×1＋4×2＋5×3＝25，反序和为2×3＋4×2＋5×1＝19.所以最少花费为19元，最多花费为25元．【答案】19 25（二）讲授新课教材整理1 顺序和、乱序和、反序和的概念设a1≤a2≤a3≤…≤a n，b1≤b2≤b3≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，是b1，b2，…，b n 的任一排列，则称a i与b i(i＝1,2，…，n)的相同顺序相乘所得积的和为顺序和，和为乱序和，相反顺序相乘所得积的和称为反序和．教材整理2 排序不等式设a1≤a2≤…≤a n，b1≤b2≤…≤b n为两组实数，c1，c2，…，是b1，b2，…，b n的任一排列，则≤≤，当且仅当a1＝a2＝…＝a n或b1＝b2＝…＝b n时，反序和等于顺序和，此不等式简记为≤≤顺序和．（三）重难点精讲题型一、用排序不等式证明不等式(字母大小已定)例1已知a ，b ，c 为正数，a ≥b ≥c ，求证：(1)1bc ≥1ca ≥1ab； (2)a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c 2. 【精彩点拨】 由于题目条件中已明确a ≥b ≥c ，故可以直接构造两个数组．【自主解答】 (1)∵a ≥b >0，于是1a ≤1b. 又c >0，∴1c >0，从而1bc ≥1ca， 同理，∵b ≥c >0，于是1b ≤1c ，∴a >0，∴1a >0，于是得1ca ≥1ab， 从而1bc ≥1ca ≥1ab. (2)由(1)知1bc ≥1ca ≥1ab>0且a ≥b ≥c >0， ∴1b 2c 2≥1c 2a 2≥1a 2b 2，a 2≥b 2≥c 2. 由排序不等式，顺序和≥乱序和得a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥b 2b 2c 2＋c 2c 2a 2＋a 2a 2b 2＝1c 2＋1a 2＋1b 2＝1a 2＋1b 2＋1c 2， 故a 2b 2c 2＋b 2c 2a 2＋c 2a 2b 2≥1a 2＋1b 2＋1c 2. 规律总结：利用排序不等式证明不等式的技巧在于仔细观察、分析所要证明的式子的结构，从而正确地构造出不等式中所需要的带有大小顺序的两个数组．[再练一题]1．本例题中条件不变，求证：a 5b 3c 3＋b 5c 3a 3＋c 5a 3b 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c 3. 【证明】 ∵a ≥b ≥c ≥0，∴a 5≥b 5≥c 5，1c ≥1b ≥1a ＞0.∴1bc ≥1ac ≥1ba， ∴1b 3c 3≥1a 3c 3≥1b 3a 3，由顺序和≥乱序和得a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥b 5b 3c 3＋c 5a 3c 3＋a 5b 3a 3＝b 2c 3＋c 2a 3＋a 2b 3， ∴a 5b 3c 3＋b 5a 3c 3＋c 5b 3a 3≥c 2a 3＋a 2b 3＋b 2c 3. 题型二、字母大小顺序不定的不等式证明例2设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab. 【精彩点拨】 (1)题目涉及到与排序有关的不等式；(2)题目中没有给出a ，b ，c 的大小顺序．解答本题时不妨先设定a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明．【自主解答】 不妨设0<a ≤b ≤c ，则a 3≤b 3≤c 3，0<1bc ≤1ca ≤1ab ，由排序原理：乱序和≤顺序和，得a 3·1ca ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab， a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab. 将上面两式相加得a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab ， 将不等式两边除以2，得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab. 规律总结：在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况：(1)要根据各字母在不等式中地位的对称性，限定一种大小关系．(2)若给出的字母不具有对称性，一定不能直接限定字母的大小顺序，而要根据具体环境分类讨论．2．设a 1，a 2，…，a n 为正数，求证：a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 【证明】 不妨设0＜a 1≤a 2≤…≤a n ，则a 21≤a 22≤…≤a 2n ，1a 1≥1a 2≥…≥1a n . 由排序不等式知，乱序和不小于反序和，所以a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 21·1a 1＋a 22·1a 2＋…＋a 2n ·1a n，即 a 21a 2＋a 22a 3＋…＋a 2n －1a n ＋a 2n a 1≥a 1＋a 2＋…＋a n . 题型三、利用排序不等式求最值例3 设A ，B ，C 表示△ABC 的三个内角，a ，b ，c 表示其对边，求aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c的最小值(A ，B ，C 用弧度制表示)．【精彩点拨】 不妨设a ≥b ≥c ＞0，设法构造数组，利用排序不等式求解．【自主解答】 不妨设a ≥b ≥c ，则A ≥B ≥C .由排序不等式，得 aA ＋bB ＋cC ＝aA ＋bB ＋cC ，aA ＋bB ＋cC ≥bA ＋cB ＋aC ，aA ＋bB ＋cC ≥cA ＋aB ＋bC ，将以上三式相加，得3(aA ＋bB ＋cC )≥(a ＋b ＋c )·(A ＋B ＋C )＝π(a ＋b ＋c )，当且仅当A ＝B ＝C ＝π3时，等号成立． ∴aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c ≥π3， 即aA ＋bB ＋cC a ＋b ＋c 的最小值为π3. 规律总结：1．分析待求函数的结构特征，构造两个有序数组．2．运用排序原理求最值时，一定要验证等号是否成立，若等号不成立，则取不到最值．3．已知x ，y ，z 是正数，且x ＋y ＋z ＝1，求t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值． 【解】 不妨设x ≥y ≥z >0，则x 2≥y 2≥z 2，1z ≥1y ≥1x. 由排序不等式，乱序和≥反序和． x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥x 2·1x ＋y 2·1y ＋z 2·1z＝x ＋y ＋z .又x ＋y ＋z ＝1，x 2y ＋y 2z ＋z 2x≥1， 当且仅当x ＝y ＝z ＝13时，等号成立． 故t ＝x 2y ＋y 2z ＋z 2x的最小值为1. 题型四、利用排序不等式求解简单的实际问题例4 若某网吧的3台电脑同时出现了故障，对其维修分别需要45 min,25 min 和30 min ，每台电脑耽误1 min ，网吧就会损失0.05元．在只能逐台维修的条件下，按怎样的顺序维修，才能使经济损失降到最小？【精彩点拨】 这是一个实际问题，需要转化为数学问题．要使经济损失降到最小，即三台电脑维修的时间与等候的总时间之和最小，又知道若维修第一台用时间t 1 min 时，三台电脑等候维修的总时间为3t 1 min ，依此类推，等候的总时间为3t 1＋2t 2＋t 3 min ，求其最小值即可．【自主解答】 设t 1，t 2，t 3为25,30,45的任一排列，由排序原理知3t 1＋2t 2＋t 3≥3×25＋2×30＋45＝180(min)，所以按照维修时间由小到大的顺序维修，可使经济损失降到最小．规律总结：1．首先理解题意，实际问题数学化，建立恰当模型．2．三台电脑的维修时间3t 1＋2t 2＋t 3就是问题的数学模型，从而转化为求最小值(运用排序原理)．[再练一题]4．有5个人各拿一只水桶到水龙头接水，如果水龙头注满这5个人的水桶需要时间分别是4 min,8 min,6 min,10 min,5 min ，那么如何安排这5个人接水的顺序，才能使他们等待的总时间最少？【解】 根据排序不等式的反序和最小，可得最少时间为4×5＋5×4＋6×3＋8×2＋10×1＝84(min)．即按注满时间为4 min,5 min,6 min,8 min,10 min 依次等水，等待的总时间最少．（四）归纳小结排序不等式—⎪⎪⎪—反序和、乱序和、顺序和—排序原理—排序原理的应用（五）随堂检测1．已知x ≥y ，M ＝x 4＋y 4，N ＝x 3y ＋y 3x ，则M 与N 的大小关系是( ) A ．M >N B ．M ≥N C ．M <N D.M ≤N 【解析】 由排序不等式，知M ≥N . 【答案】 B 2．设a ，b ，c 为正数，P ＝a 3＋b 3＋c 3，Q ＝a 2b ＋b 2c ＋c 2a ，则P 与Q 的大小关系是( )A ．P >QB ．P ≥QC ．P <Q D.P ≤Q【答案】 B3．已知两组数1,2,3和4,5,6，若c 1，c 2，c 3是4,5,6的一个排列，则c 1＋2c 2＋3c 3的最大值是________，最小值是________.【解析】 由排序不等式，顺序和最大，反序和最小，∴最大值为1×4＋2×5＋3×6＝32，最小值为1×6＋2×5＋3×4＝28.【答案】 32 28六、板书设计七、作业布置八、教学反思。

人教版高中选修4-5第三讲柯西不等式与排序不等式课程设计
一、课程目标
1.1 掌握柯西不等式的概念及其意义；
1.2 学会在实际问题中应用柯西不等式；
1.3 掌握排序不等式的概念及应用；
1.4 学会在实际问题中应用排序不等式。

二、教学内容
2.1 柯西不等式的概念与应用；
2.2 排序不等式的概念与应用；
2.3 利用柯西不等式、排序不等式解决实际问题。

三、教学重点与难点
3.1 教学重点：柯西不等式、排序不等式的概念及应用。

3.2 教学难点：如何在实际问题中应用柯西不等式、排序不等式。

四、教学过程设计
教学环节教学内容教学目标与要
求
教师活动与学生活动
1。

3.3 排序不等式课堂探究1．对排序不等式的证明的正确理解剖析：在排序不等式的证明中，用到了“探究——猜想——检验——证明”的思维方法，这是探索新知识、新问题常用到的基本方法，对于数组涉及的“排序”及“乘积”的问题，又使用了“一一搭配”这样的描述，这实质上也是使用最接近生活常识的处理问题的方法，所以可以结合像平时班级排队等一些常识的事例来理解．对于出现的“逐步调整比较法”，则要引起注意，研究数组这种带“顺序”的乘积的和的问题时，这种方法对理解相关问题时是比较简单易懂的．2．排序不等式的思想剖析：在解答数学问题时，常常涉及一些可以比较大小的量，它们之间并没有预先规定大小顺序，那么在解答问题时，我们可以利用排序不等式的思想方法，将它们按一定顺序排列起来，继而利用不等关系来解题．因此，对于排序不等式，我们要记住的是处理问题的这种思想及方法，同时要学会善于利用这种比较经典的结论来处理实际问题．题型一 构造数组利用排序不等式证明【例1】设a ，b ，c 都是正数，求证：bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c . 分析：不等式的左边，可以分为数组ab ，ac ，bc 和1c ，1b ，1a ，排出顺序后，可利用排序不等式证明．证明：由题意不妨设a ≥b ≥c ＞0，由不等式的单调性，知ab ≥ac ≥bc ，1c ≥1b ≥1a. 由排序不等式，知ab ×1c ＋ac ×1b ＋bc ×1a≥ab ×1b ＋ac ×1a ＋bc ×1c， 即所证不等式bc a ＋ca b ＋ab c≥a ＋b ＋c 成立． 反思 要利用排序不等式解答相关问题，必须构造出相应的数组，并且要排列出大小顺序，因此比较出数组中的数之间的大小关系是解答问题的关键和基础.题型二 需要对不等式中所给字母的大小顺序作出假设的情况【例2】设a ，b ，c 为正数，求证：a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab. 分析：解答本题时不妨先设定0＜a ≤b ≤c ，再利用排序不等式加以证明．解：不妨设0＜a ≤b ≤c ，则a 3≤b 3≤c 3.0＜1bc ≤1ca ≤1ab， 由排序不等式：乱序和≤顺序和，得a 3·1ca ＋b 3·1ab ＋c 3·1bc ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab，① a 3·1ab ＋b 3·1bc ＋c 3·1ca ≤a 3·1bc ＋b 3·1ca ＋c 3·1ab.② 将①②两式相加，得a 2＋b 2c ＋b 2＋c 2a ＋c 2＋a 2b ≤2⎝ ⎛⎭⎪⎫a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab ， 将不等式两边除以2，得a 2＋b 22c ＋b 2＋c 22a ＋c 2＋a 22b ≤a 3bc ＋b 3ca ＋c 3ab. 反思 在排序不等式的条件中需要限定各数值的大小关系，对于没有给出大小关系的情况，要限定一种大小关系．。