等差数列的前项和性质及应用优秀课件

解 a n： S nS n 1(n2 ) a nn 2 2 n (n 1 )22 (n 1 )2 n 3(n2 （ )* ）
又当 n1时， a1 S1 1适合 (*) an 2n3，此a时 n1an 2 an为等差数 . 列
16
思考 :若此题S改 n n为 22n2, 试判断{a数 n}是 列否成数 等列 ?差
解 :由题意得 :
a1 S1 1, a2 1, a3 3 而2a2 a1 a3 ,
故{an }不成等差数列.
事实a上 n 12， n3
n1 n2
17
评注：
1.利用 an S n S n1 (n 2)解题时 一定 要注意 验 证 a1是否适合通项公式 .
19
例3:设等差{数 an}的 列前 n项和S为 n, 若a5 5a3,则SS95 ______
解：
9(a1 a9)
S9 2 9a5 959
S5 5(a1a5) 5 a3 5
2
评注：S在n
a1
an 2
n中可利用性质
将a1 an转换成数列中另外之两和.项
20
例4:若数{a列 n}为等差数列 Sp ， Sq,且
(pq, p,qN) 求Spq
解:
Sp
Sq pa1
Sk,S2kSk,S3kS2k成等差数列？ 。如何证
略证S：k a1
ak 2
k
(1)
S2kSk
ak1

ak2
a2k
ak1 a2k 2
k
(2)
(S31k )(S23k得 )a2S k： k 12a(S 3k3kkS2k)k 2a1aka2k(13)a3k
解：由推广的通项公 知式 ：

(3)由(2)知，当 n≤17 时，an≥0； 当 n≥18 时，an<0. 所以当 n≤17 时，Sn′＝b1＋b2＋…＋bn ＝|a1|＋|a2|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋an＝Sn＝33n－n2. 当 n≥18 时，
Sn′＝|a1|＋|a2|＋…＋|a17|＋|a18|＋…＋|an| ＝a1＋a2＋…＋a17－(a18＋a19＋…＋an) ＝S17－(Sn－S17)＝2S17－Sn ＝n2－33n＋544. 故 Sn′＝3n32－n－33nn2＋n≤54147n，≥18.
第四章 数 列
4.2.2等差数列的前n项和公式（2）
学习目标
1.等差数列掌握等差数列前n项和的性质及应用(重点). 2.会求等差数列前n项和的最值(重点).
课前小测
1．思考辨析
(1)若 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，则数列Snn也是等差数列．(
)
(2)若 a1>0，d<0，则等差数列中所有正项之和最大．( )
归纳总结
1.在等差数列中，求Sn的最小(大)值的方法： (1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的
各项和为最大(小)． (2)借助二次函数的图象及性质求最值． 2．寻求正、负项分界点的方法： (1)寻找正、负项的分界点来寻找． (2)利用到y＝ax2＋bx(a≠0)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴
跟踪训练
跟踪训练1. 某抗洪指挥部接到预报，24小时后有一洪峰到达，为确保安全， 指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线．经计算，除 现有的参战军民连续奋战外，还需调用20台同型号翻斗车，平均每辆车工 作24小时．从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑 成第二道防线？

。
等差数列在实际问题中的应用
物理学中的周期问题
在物理学中，很多周期性问题可以用等差数 列来表示和解决。例如，摆动问题、振动问 题、波动问题等。
统计学中的数据分组
在统计学中，数据分组是常见的数据处理方 法。而等差数列可以用来表示数据的组距和 分组范围。例如，将一组数据分成若干组， 每组的组距相等，就可以用等差数列来表示 各组的范围。
题目二
等差数列的通项公式是什么？ 如何推导？
题目三
等差数列的前n项和公式是什 么？如何推导？
题目四
等差数列的性质有哪些？请举 例说明。
习题答案与解析
答案一
等差数列是指每一项与它前一项的差等于同一个常数的数列。例如：1, 4, 7, 10, 13...，其 中每一项与前一项的差为3。
解析一
通过举例说明等差数列的定义，帮助学生理解等差数列的基本概念。
总结词：严谨规范
详细描述：等差数列的一般形式是 a_n=a_1+(n-1)d，其中 a_n 是第 n 项的值，a_1 是首项，d 是公 差，n 是项数。
等差数列的图像表示
总结词：直观形象
详细描述：等差数列的图像是一条直线，任意两个相邻的点在这条直线上等距。首项 a_1 是图像在 y 轴上的截距，公差 d 控 制着直线的斜率。
答案二
等差数列的通项公式为$a_n=a_1+(n-1)d$，其中$a_1$是首项，$d$是公差，$n$是项 数。推导过程如下：$a_n=a_1+(n-1)d=a_1+a_2+(n-2)d=...=a_1+a_2+...+a_{n1}+nd=S_n+nd$，其中$S_n$为前n项和。
习题答案与解析

故n=13时，Sn有最大值169.
……………………12分
【误区警示】对解答本题时易犯错误的具体分析如下：
1.在等差数列{an}中，已知a1=4，a6=6，则前6项和S6=（ ）
（A）70 （Ｂ）35 （Ｃ）30 （Ｄ）12
【解析】选Ｃ．S6＝（6 a1 a6）＝6＝（340．6）
2
2
2.等差数列{an}的前ｎ项和为Sn，若a3＋a17＝10，则
1 099 100
11=0 -110190. (
2
11 50
)
故此数列的前110项之和为-110.
方法二:数列S10,S20-S10,S30-S20,…,S100-S90,S110-S100成等差 数列,设其公差为D,前10项和为10S10+102 9·D=S100=10 D=-22,∴S110-S100=S10+(11-1)D =100+10×(-22)=-120.
②若共有2n+1项，则S2n+1=（2n+1）an+1； S偶-S奇=-an+1；S偶∶S奇=n∶（n+1）； ③“片段和”性质： 等差数列{an}中，公差为d，前k项的和为Sk，则Sk，S2k-Sk， S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为k2d的等差数列.
【例2】Sn是等差数列{an}的前n项和，且S10=100，S100=10， 求S110. 【审题指导】题目给出等差数列{an}中的S10=100， S100=10，欲求S110，可由等差数列前n项和公式列出方程 组，求出a1和d，然后求出S110.或由等差数列“片段和”性 质Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Smk-S（m-1）k,…构成公差为 k2d的等差数列求出公差，然后求出S110.

创设和谐，互动的课堂环境，组织引导学生自主学习与合作探究相结合地探索新知.
三、教学分析---(二)学法分析
问题情景
观察、探究、反思、交流
知识、技能、核心素养
三、教学分析---(三)教学思路
环节一：重温经典算法，归纳“探”公式
本节课首先从古希腊毕达哥斯拉学派的数学家常用小石子在沙
滩上摆成各种形状来研究数.比如：他研究

三、教学分析---(三)教学思路
环节六：分层作业，应用迁移
1.基础性作业
（1）必做题：教材第22-23页练习第1,2,3题.；
（2）选做题：类比等差数列的通项公式与一次函数的关系，思
考等差数列前n项和公式与一元二次函数之间有什么关系？从函
数的角度可以发现哪些差数列前n项和公式的性质？
三、教学分析---(四)板书设计
定．等差数列的通项公式和前n项和公式中，共有“a1，d ，n，an，
Sn”五个量，故知三可求其二．
学生经历从历史到现实，特殊到一般，数与形的探究过程，最终提炼出一
般公式，提炼出等差数列前n项和的五个决定量，感受了数学研究的一般过程。
三、教学分析---(三)教学思路
环节三：运用公式，巩固理解
例6 已知数列{an}是等差数列.
探究方法：经历了研究函数的一般路径
能力水平：学生已经具备一定的抽象、推理、类比等能力
障碍分析：公式的灵活应用能力不足、从实际情境中建立数
学模型的能力还有待提升.
二、教学目标分析---（三）教学目标和重、难点
教学目标：
经历几种求和方法的比较
，体会历史与现实，简单到
复杂，特殊到一般，数与形
的有机结合，培养学生化归
重公式与函数之间的联系，强化对等差数列的整体认识，

＝a1＋(n－1)－631a1≥0，可得 n≤634＝2113，所以数列
{an}的前 21 项都是正数，以后各项都是负数，故 Sn 取
最大值时，n 的值为 21.
答案：21
2．已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2－6n，则{|an|}的 前 6 项和 T6＝________. 解析：由 Sn＝n2－6n 得{an}是等差数列，且首项为－5， 公差为 2.所以 an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，当 n≤3 时， an<0；当 n>3 时，an>0；所以 T6＝－a1＋(－a2)＋(－a3) ＋a4＋a5＋a6＝5＋3＋1＋1＋3＋5＝18. 答案：18
2．求等差数列前 n 项和 Sn 最值的 2 种方法 (1)函数法：利用等差数列前 n 项和的函数表达式 Sn＝ an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． (2)邻项变号法：
nan＝1，∴2an＝an－1＋an＋1(n≥2)，
∴数列{an}为等差数列．
[变式 3] 若母题变为：已知数列{an}中，a1＝2，an＝2－an1－1 (n≥2，n∈N*)，设 bn＝an－1 1(n∈N*)．求证：数列{bn}是 等差数列．
证明：∵an＝2－an1－1，∴an＋1＝2－a1n. ∴bn＋1－bn＝an＋11－1－an－1 1 ＝2－a11n－1－an－1 1＝aann－－11＝1， ∴{bn}是首项为 b1＝2－1 1＝1， 公差为 1 的等差数列．
考点一 等差数列的基本运算基础送分型考点——自主练透 [题组练透]
1．(2015·全国卷Ⅰ改编)已知{an}是公差为 1 的等差数列， Sn 为{an}的前 n 项和，若 S8＝4S4，则 a10＝________.

S偶
an1
性质4:(2)若项数为奇数2n－1,则 S2n-1=(2n－ 1)an (an为中间项),
此时有:S偶－S奇= an ,
S奇 S偶
n n1
Sn 性质5: { } 为等差数列. n
两等差数列前n项和与通项的关系
性质6:若数列{an}与{bn}都是等差数列,且 a n S 2 n 1 前n项的和分别为Sn和Tn,则 bn T2 n 1
等差数列{an}前n项和的性质 在等差数列{an}中,其前n项的和为Sn,则有 性质1:Sn,S2n－Sn,S3n－S2n, …也是等差数列 ,公差为 n2d 性质2:若Sm=p,Sp=m(m≠p),则Sm+p= － (m+p) 性质3:若Sm=Sp (m≠p),则 Sp+m= 0 性质4:(1)若项数为偶数2n,则 S2n=n(a1+a2n)=n(an+an+1) (an,an+1为中 间两项), S奇 an 此时有:S偶－S奇= nd ,
2: 若数列{an}的前ｎ项和Sn满足 Sn=an2+bn,试判断{an}是否是等差数列 。 3、设等差数列{an}的前ｎ项和为Sn， 已知a3=12, S12>0, S13<0。 (1)求公差d的取值范围; (2)指出S1 , S2, … , S12中哪个值最大，
95 25a 5b 1、 设Sn=an2+bn, 则有： 。 200 64a 8b
等差数列{an}前n项和的性质 例8.设等差数列的前n项和为Sn,已知 a3=12,S12>0,S13<0. (1)求公差d的取值范围; (2)指出数列{Sn}中数值最大的项,并说明 理由. a1+2d=12 解:(1)由已知得 12a1+6×11d>0

即Sn=a+n an-1+an-2+…+a3+ a2 +a1,
+得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1).
由等差数列的性质：当m+n=p+q时，am+an=ap+aq 知： a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以式可化为： 2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an) = n(a1+an).
an = Sn - Sn-1
= n2 + 1 n -[（n - 1）2 + 1（n - 1）]= 2n - 1 .
2
2
2
当n = 1时，
a1
=
S1
=
12
+
1×1 2
=
3 ，也满足上式. 2
所以数列an 的通项公式为an
=
2n
-
1. 2
由此可知，数列an
是一个首项为3 2
，公差为2的等差数列.
技巧方法：
下面来看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.
设S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100 作
+ +++
+ + +加
反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2 + 1 法

在线性规划问题中，目标函数往往可以表示为等差数列的形式，通过求解等差 数列的最值，可以得到目标函数的最优解。
等差数列与约束条件的结合
将等差数列的性质与线性规划的约束条件相结合，可以简化问题的求解过程， 提高求解效率。
经济学领域应用举例
等差数列在分期付款中的应用
在分期付款中，每期付款金额相同，形
A
例题 1
已知等差数列 ${ a_n }$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_1 = 2, S_4 = 20$，求 $a_4$ 和 $S_6$。
C
例题 2
已知等差数列 ${ a_n }$ 的前 $n$ 项和为 $S_n$，且 $a_3 + a_7 = 10, S_{13} = 130$，求首项 $a_1$ 和公差 $d$。
针对学生自我评价报告的反馈
教师应根据学生的自我评价报告，对学生的学习情况进行点评，肯定学生的优点和进步，指出存在的问题和不足，并 提出改进的建议和措施。
对等差数列知识点的补充和拓展
教师可以根据学生的实际情况和需求，对等差数列相关知识点进行补充和拓展，例如引入一些复杂的等差数列问题， 让学生了解更多的解题技巧和方法。
解析
由 $S_4 = 20$ 可得 $frac{4}{2} [2 times 2 + (4-1)d] = 20$，解得 $d = 2$。因此 ，$a_4 = a_1 + 3d = 2 + 3 times 2 = 8$ ，$S_6 = frac{6}{2} [2 times 2 + (6-1) times 2] = 42$。
06 总结回顾与课堂互动环节
关键知识点总结回顾
等差数列的定义及通项公式
等差数列是指从第二项起，每一项与它的前一项的差等于 同一个常数的一种数列。其通项公式为an=a1+(n-1)d， 其中a1为首项，d为公差，n为项数。

所以 a10＝60－9×12＝55.5， a20＝60－19×12＝50.5. 所以 S20＝12×(a1＋a20)×20
＝10×(60＋50.5)＝1 105. 所以实际共付1 105＋150＝1 255(万元).
跟踪训练1 《张邱建算经》卷上第22题为：今有女善织，日益功疾，
且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第1天织5尺布，现在 16
反思感悟 利用等差数列前n项和的性质简化计算 (1)在解决等差数列问题时，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基 本解法，有时运算量大些. (2) 等差数列前n项和Sn的有关性质在解题过程中，如果运用得当可以 达到化繁为简、化难为易、事半功倍的效果. (3)设而不求，整体代换也是很好的解题方法.
随堂演练
反思感悟 (1)等差数列前n项和Sn最大(小)值的情形 ①若a1>0，d<0，则Sn存在最大值，即所有非负项之和； ②若a1<0，d>0，则Sn存在最小值，即所有非正项之和. (2)求等差数列前n项和Sn最值的方法 ①寻找正、负项的分界点，可利用等差数列性质或利用
an≥0， an＋1≤0
或aann＋≤1≥0，0
由aann＋＝1＝－－2n2＋n2＋7≥1＋0，27≤0
得n≤1312， n≥1212.
又因为n∈N*，
所以当n＝13时，Sn有最大值为169. 方法三 因为S8＝S18， 所以a9＋a10＋…＋a18＝0. 由等差数列的性质得a13＋a14＝0. 因为a1>0，所以d<0. 所以a13>0，a14<0.
来寻找；
②运用二次函数求最值.
三、等差数列中的片段和问题
知识梳理
1.设等差数列{an}的公差为d，Sn为其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－ S2m，…仍构成等差数列，且公差为m2d. 2.若d数列{an}是公差为d的等差数列，则数列Snn 也是等差数列，且公差 为2 . 3.在等差数列中，若Sn＝m，Sm＝n，则Sm＋n＝－(m＋n).

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6．一物体从 1960m 的高空降落，如果第 1 秒降落 4.90 m，以后每秒比前一秒多 降落 9.80 m，那么经过________秒落到地面． 解析：设物体经过 t 秒降落到地面． 物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为 4.90，公差为 9.80 的等差数列． 所以 4.90t＋12t(t－1)×9.80＝1 960， 即 4.90t2＝1 960，解得 t＝20. 答案：20
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题型分类 深度剖析
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题型一 等差数列基本量的运算
1．(2019·全国Ⅰ)记 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和．已知 S4＝0，a5＝5，则( )
A．an＝2n－5 C．Sn＝2n2－8n
B．an＝3n－10 D．Sn＝12n2－2n
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题组三 易错排查
4．一个等差数列的首项为215，从第 10 项起开始比 1 大，则这个等差数列的公差
d 的取值范围是( ) A．d>785
B．d<235
83 C.75<d<25
D．785<d≤235
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解析：由题意可得aa19≤ 0>11，， 即221155＋＋89dd≤>11，， 所以785<d≤235.故选 D. 答案：D
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跟踪训练 1 (1)已知等差数列{an}，a2＝2，a3＋a5＋a7＝15，则数列{an}的公差 d
等于( )
A．0
B．1

};
(2
){an
2
};
(3
1 ){
an
};
(4){an
an1};
(5){a2k1}
第15页/共26页
第16页/共26页
【变式与拓展1】
1．已知等差数列{an}的前 3 项依次为 a－1，a＋1, 2a＋3， 则此数列的通项 an 为( B )
A．2n－5
B．2n－3
C．2n－1
D．2n＋1
2．数列{an}为等差数列，a2 与 a6 的等差中项为 5，a3 与 a7 的等差中项为 7，则数列的通项 an 为___2_n_－__3_．
第17页/共26页
题型2 等差数列性质及应用 例2：在等差数列{an}中， (1)已知 a2＋a3＋a23＋a24＝48，求a13； (2)已知 a2＋a3＋a4＋a5＝34，a2·a5＝52，求公差d.
自主解答：(1)根据已知条件 a2＋a3＋a23＋a24＝48， 得 4a13＝48，∴a13＝12. (2)由 a2＋a3＋a4＋a5＝34， 得 2(a2＋a5)＝34，即 a2＋a5＝17. 解aa22·＋a5a＝5＝521，7， 得aa25＝ ＝41， 3 或aa52＝ ＝41.3， ∴d＝a55－ －2a2＝13－ 3 4＝3 或 d＝a55－ －2a2＝4－313＝－3.
第25页/共26页
感谢您的观看！
第26页/共26页
C．2
D．1或2
解析：由于2b＝a＋c，则4b2－4ac＝(a＋ c)2－4ac＝(a－c)2≥0，故选D.
答案：D
第23页/共26页
【例 3】
等差数列an的首项为
1，且an
从第
9
项开始各项均大于 25，求公差 d 的取值范围． 错解：设an的公差为 d，第 n 项为 an，则 a9

1 (n∈N*),
an 1
所以
bn1
bn
1 an1 1
1 an 1
(2
1 1
) 1
1 an 1
an 1 1.
an
an 1 an 1
15
又
b1
a1
1
, 2
所以数列{bn}是以 5 为首项,以1为公差的等差数列.
2
②由①知bn=n-
7 2
,
则an=
1
1 bn
1
2. 2n 7
设f(x)= 1 2 ,
{a2n-1+2a2n}是 (
)
A.公差为3的等差数列
B.公差为4的等差数列
C.公差为6的等差数列
D.公差为9的等差数列
(2)(2015·太原模拟)已知数列{an}中,
a1
3 5
,an
2 1 a n1
数列{bn}满足bn=
1 an 1
(n∈N*).
①求证:数列{bn}是等差数列;
(n≥2,n∈N*),
2.等差数列设项技巧 若奇数个数成等差数列且和为定值时,可设中间三项为a-d,a,a+d;若偶 数个数成等差数列且和为定值时,可设中间两项为a-d,a+d,其余各项再 依据等差数列的定义进行对称设元.
考点2 等差数列的判定与证明
【典例2】(1)(2015·防城港模拟)若{an}是公差为1的等差数列,则
②若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}(n∈N*)是等差数列. ③Sm,S2m,S3m分别为{an}的前m项,前2m项,前3m项的和,则Sm,S2m-Sm, S_3_m_-_S_2_m成等差数列.
④两个等差数列{an},{bn}的前n项和Sn,Tn之间的关系为

2.3.1 等差数列的前n项和
请翻到教材P42 ！
●三维目标 1．知识与技能 (1)掌握等差数列前 n 项和公式，理解公式的推导方法． (2)能较熟练应用等差数列前 n 项和公式求和．
2．过程与方法 经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验 从特殊到一般的研究方法，培养观察、归纳、反思和逻辑推 理的能力． 3．情感、态度与价值观 通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望， 树立学生求真的勇气和自信心，增强学生学好数学的心理体 验，产生热爱数学的情感，体验在学习中获得成功．
●教学流程
演示结束
1.了解等差数列前n项公
课 标 解 读
式的推导过程．(难点) 2.掌握等差数列前n项和 公式及其应用．(重点) 3.能灵活应用等差数列前 n项和的性质解题．(难点、
易错点)
等差数列的前n项和公式
【问题导思】 1．你知道高斯求和的故事吗？请同学们交流一下，高斯 是怎样求 1＋2＋3＋…＋100 的结果的？ 【提示】 对于这个问题，著名数学家高斯十岁时就能 很快求出它的结果．当时他的思路和解答方法是：S＝1＋2 ＋3＋…＋99＋100，把加数倒序写一遍 S＝100＋99＋98＋… ＋2＋1.
∴an＝25n－1
n＝1， n≥2.
忽略 Sn 与 an 的关系致误 已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝n2＋n－1，试判断 {an}是否为等差数列，为什么？ 【错解】 an＝Sn－Sn－1＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1) －1]＝2n. 又 an－an－1＝2n－2(n－1)＝2， 即数列{an}的每一项与前一项的差是同一个常数， 所以{an}是等差数列．
(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式 an，或是求前 n 项 和 Sn，还是求项数 n.

三、教学分析---(五)教学效果预测
（1）注重培养学生的自主学习习惯教师可在课前为学生准备导学案，使学生带着问题进行自主预习，逐步形成能学习、会学习、善学习的优良态势；（2）注重联系，突出转化，强化对等差数列的整体认识本单元以概念和公式为主，因此，在教学设计时不仅要注重概念公式的形成过程，更要注重公式之间的联系，注重公式与函数之间的联系，强化对等差数列的整体认识，体会数学的整体性.
教学中根据建构主义理论，采用诱思导学探究法，以问题驱动,促使学生独立思考，层层铺垫,由特殊到一般的方法启发学生,并在合作探究中得到充分的交流与表达.
三、教学分析---(二)学法分析
问题情景
知识、技能、核心素养
观察、探究、反思、交流
教学中,让学生在问题情境中,经历知识的形成和发展,通过观察、探索、交流、反思参与学习,认识和理解数学知识,学会学习,提升能力，发展数学核心素养.
三、教学分析---(六)课程资源开发与利用建议
一、教材内容分析---（二）育人价值
在探究等差数列性质的过程中，学生会用等差数列的通项公式、方程的思想和基本量的方法来证明等差数列的性质，有助于发展学生推理、运算能力。另外，还从数形结合的角度展示了等差数列的性质，满足了学生的探究欲望，提升学生对数列特殊规律的研究能力.
二、教学目标分析---（一）课程标准
课程目标：
1.掌握等差数列的性质；2.能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系， 并解决相应的问题.
二、教学目标分析---（二）学情分析
数列是一类特殊的函数，而学生在高一时经历了研究函数的一般路径，在知识、经验方面有所积累,并且学生通过前面的学习，对等差数列的概念、通项公式也有了初步的理解,这些都为本课时的应用提供了探究方法和理论基础；在能力水平方面，学生已经具备一定的抽象、推理、类比等能力，但公式的灵活应用能力不足、从实际情境中建立数学模型的能力还有待提升.

∴ 当n≥2 时，由①-②得an=2pn+q-p........④ 又当n=1 时 ，a₁=S₁=p+q+r.........③ ∴ 当r=0 时，③式也适合④式，则an=2pn+q-p;
当r≠0 时，③式不适合④式，则
由等差数列与一次函数的关系，当r=0 时，{an}是等差 数列；当r≠0 时，{an}不是等差数列.
新知探究 (四)数列的递推公式
变 式 4 .在通常情况下，从地面到10 km高空，高度每增加1 km, 气温就下降某一个固定数值.如果1 km 高度的气温是8.5℃,5 km高度的气温是一17.5℃,求2 km,4 km,8 km高度的气温.
【解析】由题意，从地面到10 km高空，气温关于高度n(km) 成 等差数列.设{an}表示自下而上n km高度的气温，则a₁=8.5,a₅ =—17.5.由等差数列的通项公式，a₅=a₁+4d=8.5+4d= 一 17.5,解得d=—6.5
.........③
又 当n=1 时，
也满足③式.
∴数列{a,}的通项公式为
典例突破 ( 一 )通过S,求a,
变式1-1.已知数列{a,}的前n项和为Sn=n²+n+1, 求数列{an}
的通项公式.
【解析】由题意
..........①
∴ 当n≥2 时，由①-②得
.........③
又 当n=1 时 ，
【解析】(1)由a₁=8,d=5-8=—3,n=20, 得a₂o=8+(20—1)×(一3)=—49;
(2)由a₁ =—5,d=—9— (一5) = — 4 , 得 这 个 数 列 的 通 项 公 式 为an=—5+(n—1)× (一4)= — 4n—1.

sn
(a1
an)n 2
（补成平行四边形）
.
11
例1． 某长跑运动员7天里每天的训 练量（单位：m）是：
7500, 8000 , 8500 , 9000 , 9500 , 10000 ,10500
这位运动员7天共跑了多少米？ 解：这位长跑运动员每天的训练量成等差数列，
记为｛an}, 其中 a1=7500, a7=10500.
an=a1+ (n-1) d 已知第m项am和公差d,则有:
an=am+ (n-m) d (2) 等差数列的性质:
在等差数列﹛an﹜中,如果m+n=p+q (m,n,p,q∈N*),那么: am+ an = ap+aq
.
2
问题呈现
问题1
泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世 纪莫卧儿帝国皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建，她宏伟壮观，纯白大理石砌建而成的 主体建筑叫人心醉神迷，成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰，图案之细致令 人叫绝。
的前n项和，则有a1=－10, d=－6－(－10)=4
设该数列前n 项和为54
n(n- 1) 根据等差数列前n项和公式： sn=na1+ 2 d
×4=54成立
整 理 后 ,得 n 2-6 n -2 7=0
解得 n1=9, n２=－3(舍去) 因此等差数列－10,－6,－2,2，．．．前9项的和是 54.
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14
小结：
1.推导等差数列前 n项和公式的方法 -------倒序相加法
2.公式的应用中的数学思想.
-------方程思想
3.公式中五个量a1, d, an, n, sn, 已知 其中三个量，可以求其余两个 -------知三求二