数学人教A版 ·必修5
第二章
第 2 课时 等差数列的性质
在理解、掌握等差数列定义和通项公式的基础上，探索发 现等差数列的性质，并能够运用这些性质灵活地解决一些实际 问题．
等差数列{an}的一些性质： (1)对于任意正整数 n，都有 an＋1－an＝d(定义式)． (2)对于任意正整数 n、m(n≥m)都有 an－am＝__(n_－__m__)_d，(通项公式的推广式)． (3)对于任意正整数 n(n>1)都有 an＋1－an＝an－an－1 即 2an ＝an＋1＋an－1.
[答案] 74
[解析] a2＋a4＋a6＋a8＝2(a3＋a7)＝2×37＝74.
命题方向 等差数列的应用. [例 3] 甲、乙两人连续 6 年对某县农村养鸡规模进行 调查，提供两个不同的信息如图．
甲调查表明：从第 1 年平均每个养鸡场生产 1 万只肉鸡 上升到第 6 年平均每个养鸡场生产 2 万只肉鸡．
2．等差数列{an}中，通项是 n 的一次函数，可借助直线方 程的斜率知识理解 d＝amm－－ann及相关性质．
3．若数列{an}是公差为 d 的等差数列，当 d＝n}递增，当 d<0 时，{an}递减．
命题方向 等差数列的性质
[例 1] 等差数列{an}中，a4＋a5＋a6＋a7＝56，a4·a7＝ 187，求 a1 和 d.
(7)等差数列{an}的相邻 k 项的和仍为等差数列．如 a1＋a2， a2＋a3，a3＋a4，…，an－1＋an，……成等差数列；a1＋a2，a3 ＋a4，a5＋a6，…，an＋an＋1，……成等差数列；a1＋a2＋…＋ am，a2＋a3＋…＋am＋1，a3＋a4＋…＋am＋2，…，ak＋ak＋1＋…＋ ak＋m－1…成等差数列等等．
(4)对任意正整数 p、q、r、s，若 p＋q＝r＋s，则 ap＋aq＝ar＋as. 特别地对任意正整数 p、q、r 若 p＋q＝2r，则 ap＋aq＝2_a_r_. (5)对于任意非零常数 b，若数列{an}成等差，公差为 d， 则{ban}也成等差，且公差为_b_d___. (6)若{an}与{bn}都是等差数列，cn＝an＋bn，dn＝an－bn 则 {cn}，{dn}都是等差数列．
[分析] 由等差数列的性质及 4＋7＝5＋6 可将条件式 a4 ＋a5＋a6＋a7＝56 化为 a4 与 a7 的关系式．
[解析] ∵a4＋a5＋a6＋a7＝2(a4＋a7)＝56，∴a4＋a7＝28， 又 a4·a7＝187，∴aa47＝＝1117 或aa47＝＝1117 ，
∴ad1＝＝25 或ad1＝＝－232 .
[解析] (1)设第 n 年饲养鸡 an 万只，养鸡场为 bn 个，由 条件知，{an}、{bn}均为等差数列，n∈N*且 1≤n≤6.
a1＝1，a6＝2，∴an＝0.2n＋0.8，b1＝30，b6＝10， ∴bn＝－4n＋34，∴a2＝1.2，b2＝26，a2b2＝31.2(万只)， ∴第二年有养鸡场 26 个．饲养鸡 31.2 万只． (2)a1b1＝30，a6b6＝20<a1b1，∴第六年出产的肉鸡数比第 一年减少了．
在等差数列{an}中，a18＝95，a32＝123，an＝199，则 n＝ ________.
[答案] 70
[解析] ∵a32－a18＝(32－18)d＝123－95，∴d＝2，又 a18 ＝a1＋17d＝95，∴a1＝61，∴an＝a1＋(n－1)d＝61＋2(n－1) ＝199，∴n＝70.
98,3,6,9，…，99，可利用等差数列下标成等差的项的和构成等
差数列求解．
[答案] D
[解析] a3＋a6＋a9＋…＋a99＝(a1＋2d)＋(a4＋2d)＋(a7＋ 2d)＋……＋(a97＋2d)＝(a1＋a4＋a7＋…＋a97)＋2d×33＝50＋ (－4)×33＝－82.
(2011·重庆理，11)在等差数列{an}中，a3＋a7＝37，则 a2 ＋a4＋a6＋a8＝________.
重点：等差数列的性质． 难点：应用等差数列的性质解决一些实际问题．
1．学习本节的关键要抓住：等差数列中，下标成等差数 列的项成等差数列．即：若{an}为等差数列，则 m、n、k 成等 差⇔am、an、ak 成等差．在应用性质解决问题过程中，要紧紧 抓住下标这个关键点，灵活运用通项公式和性质，很多问题就 能很方便地得到解决．
[点评] 在求得 d＝2 后，可直接由 an＝a18＋(n－18)·d 得 199＝95＋2(n－18)，∴n＝70.
[例 2] 设公差为－2 的等差数列，如果 a1＋a4＋a7＋…＋
a97＝50，那么 a3＋a6＋a9＋…＋a99＝( )
A．－182
B．－78
C．－148
D．－82
[分析] 观察其下标的构成规律：1,4,7，…，97,2,5,8，…，
乙调查表示：由第 1 年养鸡场个数 30 个减少到第 6 年的 10 个．
请你根据提供的信息解答下列问题： (1)第二年的养鸡场的个数及全县生产肉鸡的只数各是多 少？ (2)到第 6 年这个县出产的肉鸡数比第一年出产的肉鸡数 增加了还是减少了？
[分析] 若设第 n 年饲养鸡 an 万只，养鸡场 bn 个，观察 图形可以发现点(n，an)在同一条直线上，点(n，bn)在同一条 直线上，故{an}，{bn}都是等差数列．
(8)等差数列{an}的等间隔的项(或其相同项数的和)仍为等 差数列．如 a1，a3，a5，…，a2n－1，……成等差数列；a1，a4， a7，…，a3n－2，……成等差数列．即下标成等差数列的项仍为 等差数列．
(9)在等差数列{an}中，a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…＝ ai＋an－i＋1.
[例 4] 已知两个等差数列 5,8,11…和 3,7,11…都有 100 项， 问它们有多少共同项？
[分析] 设两个等差数列公差分别为 d，d′，其公共项组 成的数列为{cn}，令 D＝cn＋1－cn，则 D 是 d 的整数倍，也是 d′ 的整数倍，因此是 d 与 d′的公倍数，又因为 cn＋1 与 cn 是相邻 的两项，所以 D 是 d 与 d′的最小公倍数．故{cn}是以 d 与 d′ 的最小公倍数为公差的等差数列．
