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等差数列前n项和的性质及应用张PPT

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等差数列前n项和的公式 PPT

等差数列前n项和的公式 PPT

(2)当m+n=p+q时， am+an=ap+aq
1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出 这一结果，如何算的呢？
高斯， (1777— 1855） 德国 著名数学家。
我们先看下面的问题。
怎样才能快速 计算出一堆钢管有 多少根呢？
一 二
4+10=14 5+9=14
三 四
6+8=14 7+7=14
1( 2
？首项 + ？尾项 )
？项数
Sn
n(a1 an) 2
以下证明 {an}是等差数列，Sn是前n项和，则
Sn
n(a1 an) 2
证：
Sn= 即Sn=
aa1+n+aa2n-+1+a3an+-2+…+a+a1…ana+-n21+a++na-32++aan-21++aan11
把+得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)
n(n-1)
2
×4 =54
整理得： n 2－6n－27=0
解得： n1=9, n2=－3（舍去）
答： 等差数列－10，－6，－2，2，···前9项的和 是54。
.
例3 一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上 每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支. 这个V 形架上共放着多少支铅笔？
多媒体教学课件

1.2.2等差数列的前n项和 课件 (共15张PPT)

1.2.2等差数列的前n项和 课件 (共15张PPT)

1+2+3+…+98+99+100=？
高斯10岁时曾很快算出这一结果，如何算的呢？
情景二 计算： 1＋ 2＋ 3 ＋… ＋ 99 ＋ 100 高斯算法的高明之处在于他发现这100 个数可以分为50组： 中间的一 第一个数与最后一个数一组； 组数是什 首尾 么呢？ 第二个数与倒数第二个数一组； 配对 第三个数与倒数第三个数一组，…… 相加 法 每组数的和均相等，都等于101，50个 101 就等于 5050 了。高斯算法将加法问题 转化为乘法运算，迅速准确得到了结果.
Sn 4n n(n 1) 6 3n 2 n 2
例3.等差数列－10，－6， －2，2，…前多少项和是54?
解：∵a1=-10,d=-6－(-10)=4 ∴-10n+[n(n-1) ／2] ×4=54 解得n=9，n=-3(舍) ∴前9项的和是54
变式训练：求等差数列13，15，17，…81的各项和 1645
Sn a1 a2 a3 an
其中
a1 an a2 an1 a3 an2 an a1
Sn a1 a2 a3 an
Sn an an13 an2 a1
2Sn a 1 an a 1 an a 1 an a 1 an
思考：图案中，第1层到第21层一共有多少颗 宝石？
借助几何图形之 直观性，把这个“全 等三角形”倒置，与 原图补成平行四边形。
思考：图案中，第1层到第21层一共有多少颗 宝石？
2 1 21 20 19
3
获得算法：
(1 21) 21 s21 2
1
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ

等差数列前n项求和ppt

等差数列前n项求和ppt

公式理解
01
公式意义
等差数列的前n项和公式表示等 差数列前n项的和，其中首项为 a1，公差为d，项数为n。
公式结构
02
03
公式参数
公式由首项、公差、项数和求和 符号组成，反映了等差数列的特 性。
首项a1表示等差数列的第一项， 公差d表示相邻两项的差，项数n 表示等差数列的项数。
公式应用
应用场景一
等差数列前n项求和
目录
• 等差数列的定义与性质 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列求和的常见方法 • 等差数列求和的实际应用 • 等差数列求和的注意事项
01
等差数列的定义与性质
定义
总结词
等差数列是一种常见的数列，其特点是任意两个相邻项的差是一个常数。
详细描述
等差数列是一种有序的整数集合，其中任意两个相邻项的差都等于一个常数，这个常数被称为公差。等差数列的 一般形式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是第一项，d 是公差。
02
等差数列的前n项和公式
公式推导
公式推导方法一
利用等差数列的性质，将前n项和表示为n/2乘以首项与末项的平均值，再利用等差数列的通项公式， 推导出前n项和公式。
公式推导方法二
利用等差数列的求和公式，将前n项和表示为首项与末项的和乘以项数再除以2，同样利用等差数列的通 项公式，推导出前n项和公式。
日常生活中的应用
购物清单
在购物时，等差数列求和公式可用于计算购 物清单中商品的总价，以便快速计算出总花 费。
工资计算
在工资计算中，等差数列求和公式可用于计算工资 总额，以便计算税款和扣除项。
日常理财
在理财中，等差数列求和公式可用于计算定 期存款、基金定投等理财产品的收益。

高中数学《等差数列前n项和的性质及应用》课件

高中数学《等差数列前n项和的性质及应用》课件

16
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
【跟踪训练 2】 (1)一个等差数列共 2011 项，求它的
奇数项和与偶数项和之比；
(2)一个等差数列前 20 项和为 75，其中的奇数项和与偶
数项和之比为 1∶2，求公差 d.
解 (1)等差数列{an}共有 1006 个奇数项，1005 个偶数 项，
解法三：∵S17＝S9， ∴a10＋a11＋…＋a17＝0. ∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0. ∵a1＝25>0，∴a13>0，a14<0. ∴S13 最大．最大值为 169.
21
课前自主预习
课堂互动探究
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
解法四：∵a1＝25>0，
由aann＋＝1＝252－5－2n2－ n≤10≥. 0，
随堂达标自测
课后课时精练
数学 ·必修5
探究 4 等差数列前 n 项和的比例问题 例 4 (1)已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn， Tn 且TSnn＝7nn＋＋32，则ab55＝___61_52____； (2)一个等差数列的前 12 项和为 354，前 12 项中偶数项 的和与奇数项和的比为 32∶27，求该数列的公差 d. 答案 (2)见解析
(5)数列{an}为等差数列⇔Sn＝an2＋bn(a，b 为常数)⇔数 列Sn为等差数列．
n
5
课前自主预习
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1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则 Sn 一定同时存 在最大值和最小值．( × ) (2)若等差数列{an}的前 n 项和为 Sn，则数列 Sm，S2m， S3m，…(m∈N*)为等差数列．( × ) (3)若等差数列{an}的公差 d>0，则该数列 Sn 一定有最小 值，d<0 则该数列 Sn 一定有最大值．( √ )

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

等差数列前n项和(公开课)PPT课件
几何等领域。
组合数学
等差数列的前n项和公式可以应 用于组合数学中，解决一些组合 问题，如计算组合数的公式等。
数列求和
等差数列的前n项和公式是数列 求和的一种重要方法，可以用于
解决等差数列的求和问题。
在物理中的应用
力学
在物理学中，等差数列的 前n项和公式可以应用于求 解一些力学问题，如计算 多自由度振动的周期等。
简化计算
等差数列的前n项和公式在日常生活 和科学研究中有着广泛的应用，如计 算存款利息、解决生产计划问题等。
对于一些较大的等差数列，使用前n 项和公式可以大大简化计算过程，提 高计算效率。
验证答案
使用前n项和公式可以快速验证一些 等差数列求和问题的答案，确保计算 的准确性。
实例解析
简单实例
例如，一个等差数列1, 4, 7, 10... ，使用前n项和公式可以快速求出
统计学
在统计学中，等差数列的 前n项和公式可以用于计算 平均值、中位数等统计指 标。
信号处理
在信号处理中，等差数列 的前n项和可以用于计算信 号的频谱、滤波等操作。
在计算机科学中的应用
数据结构
在计算机科学中，等差数列的前n项和公式可以应用于一些数据结 构的设计，如数组、链表等。
算法设计
等差数列的前n项和公式可以用于设计一些算法，如排序算法、查 找算法等。
详细描述
等差数列是一种特殊的数列，其中任意两个相邻的项之间的 差是一个固定的值，这个值被称为公差。等差数列的通项公 式为 a_n = a_1 + (n-1)d，其中 a_n 是第 n 项，a_1 是首项 ，d 是公差。
性质
总结词
等差数列具有一些重要的性质，包括对称性、中项性质和等差中项性质等。

等差数列的前n项和公式的性质及应用 课件

等差数列的前n项和公式的性质及应用 课件

因为 S2k＝2ka1＋12×2k(2k－1)d＝8a1＋42，
所以 8a1＋42＝54，故 a1＝32，
所以此数列的首项是32，公差是32，项数为 8.
法二：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k(k∈N*)，
S奇＝24， 根据题意，得S偶＝30，
a2k－a1＝221，
12ka1＋a2k－1＝24， 即12ka2＋a2k＝30，
和 30，最后一项与第一项之差为221，求此数列的首项、公差以及项数． [解析] 法一：设此数列的首项为 a1，公差为 d，项数为 2k(k∈N*)，
S奇＝24， 由已知得S偶＝30，
a2k－a1＝221，
S偶－S奇＝6， 所以a2k－a1＝221，
kd＝6，
k＝4，
即2k－1d＝221， 解得d＝32.
②若项数为 2n－1，则 S2n－1＝(2n－1)an(an 为中间项)且 S 奇－S 偶＝ an ， n－1
SS偶 奇＝___n____.
(3)若 Sn 为数列{an}的前 n 项和，则{an}为等差数列等价于Snn是等差 数列． (4)若{an}、{bn}都为等差数列，Sn、Sn′为它们的前 n 项和，则abmm＝ SS′2m2－ m1－1. (5)项数(下标)的“等和”性质： Sn＝na12＋an＝nam＋2an－m＋1.
()
A．130
B．65
C．70
D．以上都不对
解析：S13＝a1＋2 a13×13＝a5＋2 a9×13＝130.
答案：A
3．已知某等差数列共 20 项，其所有项和为 75，偶数项和为 25，则
公差为( )
A．5
B．－5
C．－2.5
D．2.5

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

数学建模
等差数列的前n项和公式也可以用于数学建模，例如在解决一 些实际问题时，可以利用等差数列的前n项和来建立数学模型 ，从而更好地理解和解决这些问题。
在物理中的应用
物理学中的等差数列
在物理学中，有些物理量呈等差数列 分布，例如光的波长、音阶的频率等 ，等差数列的前n项和公式可以用于 计算这些物理量的总和。
物理学中的级数求和
在物理学中，有些级数的求和问题可 以用等差数列的前n项和公式来解决 ，例如在求解一些物理问题的近似解 时，可以利用等差数列的前n项和来 简化计算。
在经济中的应用
金融投资
在金融投资中，有些投资组合的收益 呈等差数列分布，例如定期存款、基 金定投等，等差数列的前n项和公式 可以用于计算这些投资组合的总收益 。
CHAPTER 02
等差数列的前n项和公式
等差数列前n项和的定义
01
02
03
定义
等差数列的前n项和是指 从第一项到第n项的所有 项的和。
符号表示
记作Sn，其中S表示总和 ，n表示项数。
举例
对于等差数列2, 4, 6, ..., 2n，前n项和为Sn = 2 + 4 + 6 + ... + 2n。
等差数列前n项和(公开 课)ppt课件
汇报人：可编辑
2023-12-23
CONTENTS
目录
• 等差数列的概念 • 等差数列的前n项和公式 • 等差数列前n项和的特例 • 等差数列前n项和的应用 • 习题与解答
CHAPTER 01
等差数列的概念
等差数列的定义
等差数列是一种常见的数列，其 中任意两个相邻项的差是一个常
等差数列前n项和的公式推导
推导方法

等差数列的前n项求和公式ppt课件


则 2Sn nn 1
Sn
nn 1
2
4
推导
下面对等差数列前n项公式进行推导
设等差数列 a1,a2,a3,… 它的前n 项和是 Sn=a1+a2+…+an-1+an (1) 若把次序颠倒是 Sn=an+an-1+…+a2+a1 (2) 由(1)+(2) 得 2Sn=(a1+an）+(a2+an-1）+(a3+an-2)+.. 由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=… 由(1)+(2) 得 2Sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+..
高斯的问题，可以看成是求等差数列 1，2，3，…， n，…的前100项的和，求:1+2+3+4+…+n=?
如果令 Sn=1 + 2 + 3 + ... +（n-2）+（n-1）+ n
颠倒顺序得 Sn=n+(n-1)+(n-2)+ ... + 3 + 2 + 1
将两式相加 2Sn=（1+n）+（2+n-1）+...+（n+1）
例2 已知一个等差数列{an}的前10项的和是310，前
20项的和是1220 .求等差数列的前n项和的公式
例3 求集合M={m|m=7n, n是正整数, 且m<100}的元素
个数, 并求这些元素的和.
7
解：将题中的等差数列记为｛an｝，Sn代表该数列的前n项

等差数列前n项和(公开课)PPT课件

所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =25。
04
第二题答案：16；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有4a + 6d = 12，解得a+d=2，所 以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +4 =16。
感谢您的观看
THANKS
习题答案与解析
进阶习题答案与解析
01
输标02入题
第一题答案：42；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 10d = 25，解得a+d=5， 所以第6项到第10项的和为5a+35d=42。
03
第三题答案：25；解析：设等差数列的首项为a，公 差为d，根据题意有5a + 20d = 80，解得a+4d=8，
第二题答案：18；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有3a + 3d = 15，解得a+d=5，所以这个等差数列共有(a+d)×(n-2)/2 +3 =18。
习题答案与解析
• 第三题答案：30；解析：设等差数列的首项为a，公差为d，根据题意有5a + 45d = 200，解得a+d=5，所以这个等差数 列共有(a+d)×(n-2)/2 +10 =30。
公式5
$S_n - S_{n-1} = a_n$
公式6
$S_n = S_{n-1} + a_n$
公式之间的联系与区别
联系
公式1、2、3都是求等差数列前n项 和的基本公式，而公式4、5、6则是 基于这些基本公式的推导或变种。
区别
公式1和公式2形式较为简洁，而公式 3则更便于观察等差数列的对称性质。 公式4、5、6则更注重于相邻两项和 之间的关系，可以用于求解某些特定 问题。

等差数列前n项和的性质及应用PPT11.30课件


项的和分别为Sn和Tn,则
an bn
S2n1 T2 n 1
例4.两等差数列{an} 、{bn}的前n项和分
别是Sn和Tn,且 Sn 7n 1
求 a5 和 an .
b5
bn
Tn 4n 27
a5 64 an 14n 6 b5 63 bn 8n 23
课堂练习
1，等差数列{an}
{bn}的前
5,4
2 7
,3
4 7
的前 n 项和
为 Sn，求使得 Sn 最大的序号 n 的值。
分析：
等差数列的前n项和公式可以写成Sn
d 2
n2
(a1
d 2
)n
，
所
以Sn可
以
看
成
函
数
y
d 2
x2
(a1
d )x 2
( x N )当x n时的函数值。另一方面，容易知道Sn关于 n的图象是一条抛物线的一些点。因此，我们可以利用
例1.设等差数列{an}的前n项和为Sn,若
S3=9,S6=36,则a7+a8+a9=( B )
A.63 B.45 C.36 D.27 例2.一个等差数列的前10项的和为100, 前100项的和为10,则它的前110项的和 为 －110 .
学导17页典例一
等差数列的前n项的最值问题
例题3：已知等差数列
1
1
313 3 2 d 1113 1110 d
2
2
S
∴ d=－12
n
Sn 13n 2 n(n 1) (2)
n2 14n (n 7)2 49
n
3 71
∴当n=7时,Sn取最大值49.
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
(2)方法1：∵S奇＝a1＋a3＋…＋a2n＋1 ＝n＋1a21＋a2n＋1， S偶＝a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋2 a2n， 又∵a1＋a2n＋1＝a2＋a2n， ∴SS奇偶＝n＋n 1，选B.
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
[点评] 综合上面的方法我们可以得到求数列前n项和 的最值问题的方法：(1)运用配方法转化为二次函数，借助 函数的单调性以及数形结合，从而使问题得解；(2)通项公 式法：求使an≥0(或an≤0)成立的最大n即可．这是因为： 当an<0时，Sn<Sn－1，即单调递减．
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第二章 2.3 第2课时
方法2：∵项数为奇数， ∴SS奇 偶＝项 项数 数＋ －11＝22nn＋ ＋11＋ －11＝2n2＋n 2＝n＋n 1，选B.
答案：(1)2 (2)B
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
类型四 等差数列前n项和的最值问题 [例4] 等差数列{an}中，a1＝25，S17＝S9，问数列前 多少项之和最大，并求此最大值．
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
新知初探
等差数列前n项和的性质 数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和具有下列 性质： 1．Sn＝a1＋a2＋…＋an， S2n－Sn＝an＋1＋an＋2＋…＋a2n，
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
S3n－S2n＝a2n＋1＋a2n＋2＋…＋a3n， 则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n是公差为n2d的等差数列，且有 Sn＋S3n－S2n＝2(S2n－Sn)．
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第二章 数列
第二章 数列
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系列丛书
2.3 等差数列的前n项和
第二章 数列
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第2课时 等差数列前n项和的性质及应用
课前自主预习
课堂互动探究
随堂知能训练
课时作业
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
目标了然于胸，让讲台见证您的高瞻远瞩
1.进一步了解等差数列的定义，通项公式及前n项和公 式．
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
当a1>0，d<0时，满足
an≥0， an＋1≤0
的项数n，使Sn取最大
值；
当a1<0，d>0时，满足
an≤0， an＋1≥0
的项数n，使Sn取最小
值．
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
课堂 互 动 探 究
系列丛书
一般地，等差数列{an}中，若a1>0，且Sp＝Sq(p≠q)，
则①当p＋q为偶数时，则n＝
p＋q 2
时，Sn最大；②当p＋q为
奇数时，则n＝p＋q2－1或n＝p＋q2＋1时，Sn最大．
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第二章 2.3 第2课时
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变式训练4 已知{an}是一个等差数列，且a2＝1，a5＝ －5.
(1)求{an}的通项an； (2)求{an}前n项和Sn的最大值．
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第二章 2.3 第2课时
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解：(1)设{an}的公差为d， 由已知条件，aa11＋＋d4＝d＝1，－5， 解出a1＝3，d＝－2， 所以an＝a1＋(n－1)d＝－2n＋5. (2)Sn＝na1＋nn－ 2 1d ＝－n2＋4n＝4－(n－2)2. 所以n＝2时，Sn取到最大值4.
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[例1]
若Sn表示等差数列的前n项和，
S4 S8
＝
1 3
，则
S8 S16
＝
________.
[分析]
可以设出首项a1与公差d，代入条件
S4 S8
，进一
步求
S8 S16
的值．但是，我们注意到序号为4、8、16，可以考
虑用性质来解．
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第二章 2.3 第2课时
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[解] ∵SS48＝13，故设S4＝x，则S8＝3x. 由于S4，S8－S4，S12－S8，S16－S12成等差数列，且S4＝ x，S8－S4＝3x－x＝2x， ∴新数列公差为x. ∴S12－S8＝3x，S16－S12＝4x， ∴S12＝3x＋S8＝3x＋3x＝6x，而S16＝S12＋4x＝6x＋4x ＝10x. ∴SS186＝130xx＝130.
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
[解]
方法1：
a1＝25， S17＝S9.
则17a1＋
17×16 2
d＝9a1＋
9×2 8d，d＝－2.
从而Sn＝25n＋nn－ 2 1(－2)＝－(n－13)2＋169.
故前13项之和最大，最大值是169.
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⇒SS偶 奇＝ ＝119622， ，
∴S偶－S奇＝6d＝30，∴d＝5.
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第二章 2.3 第2课时
系列丛书
变式训练3 (1)等差数列{an}中，S10＝120，在这10项
中，SS奇 偶＝1113，求公差d.
(2)含2n＋1个项的等差数列其奇数项的和与偶数项的
和之比为( )
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第二章 2.3 第2课时
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[解] 由等差数列性质：
an＝a1＋2a2n－1，bn＝b1＋2b2n－1，
a1＋a2n－1 2n－1a1＋a2n－1
∴abnn＝b1＋2b2n－1＝2n－1b21＋b2n－1＝AB22nn－－11
2
2
＝4722nn－－11＋＋217＝184nn＋－263.
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2．若项数为2n，则 S偶－S奇＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－a1－a3－a5－…－a2n－1 ＝d＋d＋…＋d＝nd， SS奇偶＝n2n2aa1＋2＋aa2n2－n1＝22aan＋n 1＝aan＋n 1.
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思考感悟 等差数列前n项和Sn在什么情况下取得最值？如何求Sn 的最值？
提示：(1)在等差数列{an}中，若a1>0，d<0，则Sn必有 最大值；若a1<0，d>0，则Sn必有最小值．
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(2)Sn的最值的求法 ①用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝An2＋Bn，通 过配方或求二次函数最值的方法求得． ②在等差数列中有关Sn的最值问题除了借助二次函数 图象求解，还常用邻项变号法来求解．
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(2)Sn＝25，S2n＝100.设S3n＝x. 由于Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列， ∴25,100－25，x－100成等差数列． ∴(x－100)＋25＝2(100－25)． ∴x－100＋25＝150. ∴x＝225，∴S3n＝225.
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3．若项数为2n－1，则
S偶＝a2＋a4＋a6＋…＋a2n－2＝
n－1 2
(a2＋a2n－2)＝
n－1 2
×2an＝(n－1)an，
S奇＝a1＋a3＋a5＋…＋a2n－1＝n2×2an＝nan，
S奇－S偶＝nan－(n－1)an＝an(这里an＝a中)，
SS奇偶＝n－na1nan＝n－n 1.
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[点评] 恰当的应用等差中项可以简化解题过程．
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变式训练2 设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a5＝ 5a3，则SS59＝________.
9a1＋a9 解析：SS95＝5a12＋a5＝95·aa35＝95×5＝9.
例 练 结 合 ········································· 素 能 提 升
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典例导悟 类型一 等差数列的部分和Sn，S2n－Sn，S3n－Sn，… 仍成等差数列
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[解] 方法1：设等差数列的首项和公差分别为a1和d， 则12a1＋12×2 11d＝354， 6a61a＋1＋d6＋×265×22d52d＝3227，∴d＝5.
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S奇＋S偶＝354， 方法2：SS偶 奇＝3227，
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方法2：Sn＝d2n2＋(a1－d2)n(d<0)， Sn的图象是开口向下的抛物线上一群离散的点，最高 点的纵坐标为9＋217，即S13最大．如图所示，最大值为169.
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方法3：∵S17＝S9， ∴a10＋a11＋…＋a17＝0. ∴a10＋a17＝a11＋a16＝…＝a13＋a14＝0. ∵a1＝25>0，∴a13>0，a14<0. ∴S13最大，最大值为169.