等差数列的性质及简单应用(33张)

等差数列的性质等差数列是指数列中相邻两项之差保持不变的数列。

在数学中，等差数列具有许多重要的性质和特点。

本文将从等差数列的定义、通项公式、前n项和以及应用等方面进行论述，以帮助读者全面了解等差数列的性质。

一、等差数列的定义等差数列是指在数列中，任意两个相邻的项之间的差保持不变。

设等差数列的首项为a₁，公差为d，那么数列的通项可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d，其中n为项数。

二、通项公式等差数列的通项公式是指通过数列的首项和公差，可以求得任意一项的数值。

对于等差数列来说，通项公式可以表示为：aₙ = a₁ + (n-1)d。

三、前n项和等差数列的前n项和是指数列中前n个项的和。

使用等差数列的前n项和可以快速计算出数列的和。

对于等差数列来说，前n项和的公式可以表示为：Sₙ = (n/2)(a₁ + aₙ)，其中Sₙ表示前n项和。

四、等差数列的性质1. 共线性：等差数列的图像上的点都在一条直线上，这是等差数列的一个重要特点。

2. 等差性：数列中相邻两项之差保持不变，即每一项与它的前一项之差等于公差d。

这个性质使得等差数列的计算更加简便。

3. 对称性：等差数列以其中间的项为对称轴，对称轴两边的元素之和相等。

4. 递推性：等差数列的每一项可以通过前一项的值加上公差得到。

五、等差数列的应用等差数列广泛应用于数学和实际生活中。

以下是一些常见的等差数列应用场景：1. 增长和衰减问题：等差数列可以应用于描述某一变量的增长或衰减过程，如财富的积累、人口的增长等。

2. 等距离问题：等差数列可以应用于描绘等距离问题，比如车辆在匀速行驶时的位置变化、航空飞行中的高度变化等。

3. 资金管理问题：等差数列可以应用于资金管理问题中，如每月存入固定金额的储蓄计划、还款计划等。

4. 数字排列问题：等差数列可以应用于数字排列问题中，如排队的位置、打印机打印的顺序等。

总结：等差数列作为一种常见的数列形式，在数学和实际生活中都发挥着重要作用。

等差数列的性质与应用等差数列是指数列中的每个数字与它前面的数字之差都相等。

它具有很多独特的性质和广泛的应用。

本文将探讨等差数列的性质以及在数学和现实生活中的应用。

一、等差数列的性质等差数列具有以下几个重要的性质：1. 公差等差数列的公差是指相邻两项之间的差值。

记为d，公差可以为正、负或零。

公差的大小决定了等差数列的增长趋势，如果公差大，则数列增长得快；如果公差小，则数列增长得慢。

2. 通项公式等差数列可以用通项公式来表示，通项公式可以帮助我们快速地找到数列中的任意一项。

通项公式如下：an = a1 + (n - 1) * d其中，an表示第n项，a1表示第一项，d表示公差。

3. 前n项和我们可以通过求等差数列的前n项和，来得到数列中若干项的总和。

前n项和的公式如下：Sn = (n/2) * (a1 + an)其中，Sn表示前n项和。

二、等差数列的应用1. 数学等差数列在数学中有广泛的应用。

它们可以用来解决各种问题，例如算术运算、图形和数学模型的建立等。

在数学建模中，等差数列可以用来表示各种数量的变化规律，从而帮助我们了解和解决实际问题。

2. 经济学等差数列在经济学中也有很多应用。

例如，我们可以通过等差数列来分析某个经济指标的变化趋势，从而预测未来的发展趋势。

另外，等差数列还可以用来计算复利、折旧等经济学中常见的概念。

3. 物理学在物理学中，等差数列也非常有用。

例如，当我们研究一个物体的运动规律时，可以将其位置与时间建立为等差数列，从而更好地描述和分析物体的运动过程。

此外，等差数列还可以用来解决一些关于波动、振动等问题。

4. 工程学在工程学中，等差数列有时用来分析和计算一些工程问题。

例如，在工程设计中，如果某个参数的变化规律可以用等差数列表示，我们可以通过计算等差数列的通项来得到不同情况下的参数取值，从而更好地指导工程设计和优化。

结论等差数列具有明确的数学定义和重要的性质，能够帮助我们理解和解决各种实际问题。

等差数列的性质和应用等差数列是数学中常见的一种数列，它具有一些独特的性质和广泛的应用。

本文将探讨等差数列的性质、相关公式以及它在实际生活中的应用。

一、等差数列的定义和性质等差数列是指数列中的相邻两项之差保持不变。

具体来说，对于一个数列a1, a2, a3, ..., an，如果它满足 a2 - a1 = a3 - a2 = ... = an - an-1 = d，其中d是常数，那么这个数列就是等差数列。

其中，d被称为等差数列的公差。

等差数列的性质如下：1. 常数差：等差数列的相邻两项之差是一个常数，即公差。

2. 通项公式：等差数列可以用一个通项公式来表示。

通项公式的一般形式是an = a1 + (n - 1)d，其中an是数列的第n项，a1是数列的首项，d是公差。

3. 项数和求和公式：等差数列前n项和的求和公式是Sn = (n/2)(a1+ an)，其中Sn是前n项和。

4. 对称性：等差数列中的任意两个项，以中间项为对称轴，其差相等。

二、几个经典的等差数列应用等差数列在数学中有着广泛的应用，下面列举几个经典的应用。

1. 数学题中的应用：等差数列经常出现在数学题目中，尤其是在初中和高中的代数题和数列题中。

通过理解等差数列的性质和公式，可以帮助我们解答相关的问题。

例如：已知等差数列前6项的和为45，首项为2，公差为3，求这个数列的第10项。

我们可以使用等差数列的前n项和求和公式来解决这个问题，将数值代入公式计算即可。

2. 经济学中的应用：等差数列在经济学中的应用比较常见，特别是在描述递增或递减的趋势时。

例如，某公司在过去几年里的年度营业额呈等差数列递增，通过观察前几年的营业额，我们可以推测未来几年的营业额，并作出相应的经营策略。

3. 物理学中的应用：等差数列在物理学中也有一定的应用。

例如，在描述速度随时间变化的问题时，如果速度每单位时间都以相同的增量或减量发生变化，那么我们可以将这个问题建模成等差数列，从而利用等差数列的性质进行求解。

根据等差数列的基本性质及基本运用等差数列是指数列中相邻两项之差保持恒定的数列。

它在数学中有着广泛的应用，能够帮助我们解决一系列的问题。

在本文档中，我们将探讨等差数列的基本性质以及其在实际问题中的基本运用。

1. 等差数列的基本性质等差数列的基本性质主要有以下几点：1.1 等差数列的通项公式等差数列的通项公式可以帮助我们找到数列中任意一项的值。

对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其通项公式为：$$a_n = a_1 + (n-1) \cdot d$$其中，$a_n$表示第$n$项的值，$a_1$表示第一项的值，$d$表示公差。

1.2 等差数列的前$n$项和公式等差数列的前$n$项和公式可以帮助我们求解数列前$n$项的和。

对于等差数列$a_1, a_2, a_3, ..., a_n$，其前$n$项和公式为：$$S_n = \frac{n}{2}(2a_1 + (n-1)d)$$其中，$S_n$表示前$n$项的和。

1.3 等差数列的性质等差数列还有许多其他性质，例如：任意两项之和与中间项之和相等；对于任意的正整数$m$和$n$，它们对应的项数为$a_m$和$a_n$，则第$(n+m)$项与第$(n-m)$项之和等于$2a_n$等等。

这些性质在求解实际问题时非常有用。

2. 等差数列的基本运用等差数列的基本运用包括以下几个方面：2.1 求解未知项当我们已知等差数列中的部分项及公差时，可以通过等差数列的通项公式来求解未知项的值。

2.2 求解前$n$项和当我们需要计算等差数列的前$n$项和时，可以通过等差数列的前$n$项和公式来求解。

2.3 求解问题等差数列在实际问题中有广泛的应用，例如：求解等差数列中某一项的值；求解等差数列中满足特定条件的项数等等。

这些问题都可以通过等差数列的性质和公式来解决。

在实际应用中，我们可以利用等差数列的基本性质和基本运用来解决一系列的问题，例如：计算利息、预测未来的数值等等。

等差数列及应用等差数列是一种非常常见且重要的数列，它在数学中有广泛的应用。

本文将介绍等差数列的概念和性质，并展示它们在实际问题中的应用。

一、等差数列的定义等差数列是指数列中相邻的两项之差都相等的数列。

它可以用以下公式来表示：an = a1 + (n-1)d，其中a1为首项，d为公差，n为项数。

在等差数列中，首项和公差是两个重要的参数，可以决定整个数列的特征。

例如，数列2，5，8，11，14就是一个等差数列，其中首项a1为2，公差d为3。

二、等差数列的性质1. 公差性质：等差数列中的任意一项与它前面的一项之差都相等。

即an - an-1 = d，对于任意的n>1。

2. 通项公式：等差数列的第n项可以通过通项公式an = a1 + (n-1)d来计算。

3. 首项和末项：等差数列的首项a1和末项an可以通过an = a1 + (n-1)d来计算。

4. 求和公式：等差数列的前n项和Sn可以通过求和公式Sn =(n/2)(a1 + an)来计算。

三、等差数列的应用等差数列在实际问题中有广泛的应用，下面将介绍几个常见的应用场景。

1. 资金计划问题假设某公司计划在未来几个月内按照等差数列的方式增加投入的资金，首月投入10000元，每个月递增500元。

我们可以利用等差数列的通项公式an = 10000 + (n-1)500来计算每个月的投入金额。

2. 等差数列的和假设某人每天存储一定数量的水资源，首日存储10升，每日增加3升。

如果想知道某个特定日子之前总共存储了多少水，可以使用等差数列的求和公式Sn = (n/2)(a1 + an)来计算。

3. 等差数列的平均值假设某班级一次数学考试中，学生们的成绩呈等差数列分布。

已知首位同学的得分为80分，末位同学得分为100分，共有20位学生。

我们可以使用等差数列的求和公式来计算平均分。

四、总结等差数列是指数列中相邻的两项之差相等的数列，具有公差、通项公式、求和公式等性质。

等差数列的性质及应用等差数列是指数列中相邻项之间的差值保持不变的数列。

它是数学中常见且重要的数列类型之一，在数学及其他领域都有着广泛的应用。

本文将探讨等差数列的性质及其在实际问题中的应用。

一、等差数列的定义与性质1. 定义：等差数列可以定义为一个数列，其中每一项与它的前一项之差等于一个常数d，称为等差数列的公差。

2. 通项公式：假设等差数列的首项为a₁，公差为d，则第n项可以表示为an = a₁ + (n-1)d。

3. 求和公式：假设等差数列的首项为a₁，末项为an，项数为n，则等差数列的和可以表示为Sn = (a₁ + an) * n / 2。

二、等差数列的应用1. 数学问题中的应用：等差数列在数学问题中经常出现。

例如，找出等差数列中的特定项、求等差数列的和等都可以通过等差数列的性质与公式进行解决。

2. 自然科学中的应用：等差数列在自然科学中也有着广泛的应用。

例如，物理学中的匀速直线运动、化学中的反应速率等都可以建立在等差数列的基础上，通过分析数值变化的规律来求解实际问题。

3. 经济学与金融学中的应用：等差数列在经济学与金融学中也有着重要的应用。

例如，研究某种商品价格的变化、计算贷款利息等都可以运用等差数列的概念。

三、实际问题中的等差数列应用举例1. 降雨量分析：假设某地区每年的降雨量以等差数列的形式增长，首年降雨量为100毫米，公差为10毫米。

求第5年的降雨量。

解答：根据等差数列的通项公式，第5年的降雨量可以表示为a₅ = a₁ + (5-1)d = 100 + 4*10 = 140毫米。

2. 平均成绩计算：某学生连续4次数学考试的成绩构成等差数列，首次考试得了80分，公差为4分。

求这4次考试的平均分。

解答：根据等差数列的求和公式，这4次考试的总分为S₄ = (80 +a₄) * 4 / 2，其中a₄为最后一次考试的成绩。

平均分可以表示为S₄ / 4，即(80 + a₄) * 2。

由此可得，平均分为(80 + a₄) * 2 / 4。

等差数列的性质与应用等差数列（Arithmetic Progression，简称AP）是数学中的重要概念之一，它是一种具有特定规律的数列。

本文将介绍等差数列的性质及其在实际问题中的应用。

一、等差数列的定义等差数列是指具有相同公差的数列。

公差（common difference）是指相邻两项之差的固定值，用d表示。

一般情况下，等差数列的首项用a1表示。

例如，数列1，4，7，10，13是一个等差数列，其公差为3，首项为1。

二、等差数列的性质1. 公差确定等差数列的性质之一是公差确定了数列的规律。

通过公差的取值，可以唯一确定一个等差数列。

2. 通项公式等差数列可以由通项公式来表示。

通项公式（general term formula）用an表示等差数列的第n项，首项为a1，公差为d，则通项公式可以表示为：an = a1 + (n-1)d。

通过通项公式，我们可以直接计算等差数列中的第n项的数值，而不需要一个一个进行递推。

3. 前n项和公式等差数列的前n项和公式（sum of the first n terms）是指等差数列的前n项和的计算公式。

设Sn表示等差数列的前n项和，则有Sn =(a1+an) * n / 2。

前n项和公式的应用非常广泛，可以用于计算各种等差数列的和，简化计算过程。

三、等差数列的应用等差数列是数学在实际问题中的重要应用之一，广泛用于各种领域。

1. 财务规划在财务规划中，我们经常需要计算一系列年度投资或者收益的总和。

如果投资或者收益之间存在固定的增长或者减少幅度，那么可以使用等差数列的前n项和公式来计算总和。

通过这种方式，可以快速计算出未来的财务状况。

2. 人口统计人口统计学中，经常需要计算一段时间内的人口总数或者增长率。

如果人口每年按照相同的比例增长或者减少，那么可以使用等差数列的前n项和公式来计算总数。

这在城市规划、人口迁移研究等领域中具有重要意义。

3. 流程控制在控制工程中，常常需要设计各种流程控制方案。

等差数列的性质及应用证明等差数列是数学中重要的概念之一，在许多数学和科学领域中都有广泛的应用。

在这篇文章中，我将介绍等差数列的性质，并对其应用进行证明。

首先，让我们回顾一下等差数列的定义。

等差数列是一个数列，其中每个相邻的两个数之间的差都是一个常数，这个常数被称为公差。

用数学符号表示就是：对于一个等差数列a1, a2, a3, ...，满足a2 - a1 = a3 - a2 = ... = d ，其中d为公差。

举个例子，1, 3, 5, 7, 9就是一个公差为2的等差数列。

现在让我们来看一下等差数列的一些性质。

首先，等差数列的第n项可以用一个公式来表示：an = a1 + (n - 1)d。

这个公式可以方便地用来求等差数列的任意一项。

另外，等差数列的前n项和也有一个简单的公式：Sn = (a1 + an)*n/2。

这个公式可以用来求等差数列的前n项和，这在实际问题中经常会被用到。

另外，等差数列的性质还包括：任意等差数列中任意三项的和都是一个算术平均数，这个性质在证明中也非常重要，我们将在后面的内容中对其进行详细解释。

现在让我们来看一下等差数列的应用证明。

其中一个使用等差数列的经典问题就是求等差数列的前n项和。

我们将用上面提到的公式Sn = (a1 + an)*n/2来证明这个问题。

假设我们有一个等差数列1, 3, 5, 7, 9，我们将用这个数列的前4项来进行证明。

首先，我们计算出数列的第4项an=1 + (4 - 1)*2 = 7。

接着，我们将公式Sn = (a1 + an)*n/2带入计算，得到Sn = (1 + 7)*4/2 = 16。

这个结果等于1 + 3 + 5 + 7 = 16，验证了我们的公式。

下面我们来证明等差数列的性质：任意等差数列中任意三项的和都是一个算术平均数。

我们可以用数学归纳法来证明这个结论。

首先，当n=3时，等差数列的前三项和就是这三项的算术平均数。

接着，我们假设当n=k时结论成立，即等差数列的前k项和是k倍前面的k项的算术平均数。

探究等差数列的性质及应用等差数列是数学中常见的数列形式之一，它在数学和实际应用中具有广泛的重要性。

本文旨在探究等差数列的性质及其应用，通过对其定义、通项公式、性质和实际应用的解析，以展示等差数列的价值和意义。

一、等差数列的定义和通项公式等差数列是指数列中相邻两项之间的差恒为一个常数的数列，这个常数称为公差。

等差数列可以用通项公式来表示，通项公式如下所示：an = a1 + (n-1)d其中，an表示等差数列的第n项，a1表示第一项，d表示公差。

通过通项公式，我们可以直接求解等差数列中任意一项的数值。

二、等差数列的性质1. 公差性质：等差数列中任意两项之间的差值都是一个常数，这是等差数列的基本性质。

2. 首项和末项相关性：等差数列的首项和末项与项数的关系为an =a1 + (n-1)d。

通过这个关系，我们可以通过已知条件求解等差数列中的未知项。

3. 项数和求和相关性：等差数列的项数n与前n项和Sn的关系为Sn = (n/2)(a1 + an)。

这个公式可以帮助我们计算等差数列的前n项和，进而探究数列的特性。

三、等差数列的应用等差数列在实际问题中具有广泛的应用，下面列举几个典型的例子。

1. 金融投资：在金融投资中，等差数列的应用非常常见。

例如，计算每月固定投资金额的情况下，多少个月可以达到一定的投资收益目标。

2. 工程建设：在工程建设中，等差数列可以用来描述某种资源的消耗情况，例如每天施工所需要的材料数量。

3. 经济增长：在经济增长分析中，等差数列可以用来表示某个指标（例如GDP）的增长规律，进而预测未来的发展趋势。

以上仅是等差数列在实际应用中的几个例子，实际上，等差数列的应用涉及到各个领域，如物理学、生物学、天文学等。

综上所述，等差数列作为数学中的常见数列形式，具有重要的性质和广泛的应用。

通过研究等差数列的定义、通项公式、性质和实际应用，我们能更好地理解数学的美妙之处，并在实际问题中灵活运用。

等差数列的概念、性质及其应用等差数列是数学中的一种常见数列形式，也是初等数学中较为基础的概念之一。

它在数学、物理等领域中都有广泛的应用。

本文将围绕等差数列展开，介绍等差数列的概念、性质及其应用。

一、等差数列的概念等差数列是指数列中的任意两个相邻项之间的差恒定的数列。

设数列的首项为a1，公差为d，则数列中的任意一项可以表示为an=a1+(n-1)d。

其中，a1为首项，d为公差，n为项数。

二、等差数列的性质1. 通项公式：等差数列的通项公式为an=a1+(n-1)d，通过这个公式可以计算出等差数列中任意一项的值。

2. 首项和末项：等差数列的首项为a1，末项为an，根据通项公式可得an=a1+(n-1)d。

3. 公差：等差数列中任意两个相邻项之间的差称为公差，常用字母d表示。

4. 项数：等差数列中项的个数称为项数，常用字母n表示。

5. 求和公式：等差数列的前n项和可以通过求和公式Sn=n/2*(a1+an)来计算。

三、等差数列的应用等差数列在实际应用中有着广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 金融领域：等差数列常用于计算利息、贷款等金融问题中。

例如，某人每月存款1000元，存款期限为10个月，假设存款的年利率为5%，那么可以通过等差数列的求和公式计算出存款的总金额。

2. 物理学：等差数列可以用来描述物体在匀速运动中的位移变化。

例如，某物体以每秒10米的速度匀速向前运动，可以通过等差数列的通项公式计算出物体在任意时间点的位置。

3. 数学研究：等差数列是数学中的一个重要概念，研究等差数列的性质有助于深入理解数列的规律和数学推理的方法。

等差数列是数学中的一个重要概念，它在数学、物理、金融等领域中都有广泛的应用。

通过等差数列的概念、性质及其应用的介绍，我们可以更好地理解等差数列的本质和作用，进一步拓展数学思维，并将其运用到实际问题中。

希望本文能对读者对等差数列有更深入的了解和应用提供帮助。

等差数列的性质及应用【提纲挈领】 主干知识归纳 等差数列的性质(1)若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，a m ＋a n ＝2a p ． (2)等差数列中，S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列．(3)等差数列的单调性：若公差d >0，则数列为递增数列；若d <0，则数列为递减数列；若d ＝0，则数列为常数列．(4)若等差数列{a n }共有2n 项，则S 偶-S 奇=nd ；若有2n-1项，则S 奇：S 偶=n:（n-1）． 方法规律总结1.等差数列的性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ． 2.等差数列和的性质：S 2n =n(a 1+a 2n )=…=n(a n +a n+1)；S 2n-1=(2n-1)a n ．3.求等差数列前n 项和的最值常用的方法：①利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；②把等差数列的前n 项和S n 看作关于n 的二次函数，根据二次函数的性质求最值．【指点迷津】【类型一】等差数列的性质【例1】： (1)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________． (2)在等差数列{a n }中，若a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝120，则2a 10－a 12的值为( ) A ．20 B ．22 C ．24 D ．28[解析]：(1)a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，∴a 5＝5，∴a 2＋a 8＝2a 5＝10. 答案：10(2)∵{a n }为等差数列，∴a 4＋a 6＋a 8＋a 10＋a 12＝5a 8＝120，∴a 8＝24，∴2a 10－a 12＝a 10＋a 10－a 12＝a 8＋a 12－a 12＝a 8＝24. 答案：C【例2】：(1)在等差数列{a n }中，a 2＝1，a 4＝5，则数列{a n }的前5项和S 5＝( ) A ．7 B ．15 C ．20 D ．25(2)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若a n b n ＝5n ＋102n ＋1，则S 7T 7＝________．【解析】：(1)S 5＝a 1＋a 52×5＝a 2＋a 42×5＝15.答案：B(2)S 7T 7＝7（a 1＋a 7）27（b 1＋b 7）2＝a 1＋a 7b 1＋b 7＝2a 42b 4＝5×4＋102×4＋1＝103.答案：103【例3】：在等差数列{a n }中，其前n 项和为S n ，若S 10＝S 15，求S 25的值． 【解析】： ∵S 10＝S 15，∴S 15－S 10＝a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0.又∵a 11＋a 15＝a 12＋a 14＝2a 13，∴5a 13＝0，即a 13＝0， ∴S 25＝25（a 1＋a 25）2＝25·a 13＝0.【类型二】等差数列性质的应用 【例1】：(1)已知{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，则使S n 取得最大值的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21(2)在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时S n 取得最大值，则d 的取值范围为________．【解析】：(1)因为a 1＋a 3＋a 5＝3a 3＝105，所以a 3＝35.由a 2＋a 4＋a 6＝3a 4＝99，得a 4＝33，于是可得a 1＝39，d ＝－2，所以S n ＝－n 2＋40n .因此当n ＝20时，S n 取得最大值． 答案：C(2)由题意可知，a 8>0且a 9<0，即7＋7d >0且7＋8d <0，所以871-<<-d . 答案：⎝⎛⎭⎫－1，－78 【例2】：设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围．(2)数列{a n }的前几项和最大？并说明理由．【解析】：(1)根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋12×112d >0，13a 1＋13×122d <0，a 1＋2d ＝12，整理得⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d >0，13a 1＋78d <0，a 1＋2d ＝12，解得－247<d <－3.(2)由(1)知，d <0，∴a 1>a 2>a 3>…>a 12>a 13>…， 而S 13＝13（a 1＋a 13）2＝13a 7<0，∴a 7<0.又S 12＝12（a 1＋a 12）2＝6(a 1＋a 12)＝6(a 6＋a 7)>0，∴a 6>0，∴数列{a n }的前6项和最大．【同步训练】【一级目标】基础巩固组 一、选择题1．已知等差数列{a n }满足a 2＝3，a n －1＝17(n ≥2)，S n ＝100，则n 的值为( ) A ．10 B ．9 C ．8 D ．11【解析】∵{a n }为等差数列，∴S n ＝（a 1＋a n ）·n 2＝（a 2＋a n －1）·n2＝100⇒10n ＝100⇒n ＝10.答案：A.2．等差数列{a n }的前n 项和记为S n ，若a 2＋a 4＋a 15的值是一个确定的常数，则数列{a n }中也为常数的项是( )A ．S 7B ．S 8C ．S 13D ．S 15【解析】：设a 2＋a 4＋a 15＝p (常数)，∴3a 1＋18d ＝p ，解a 7＝13p .∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13a 7＝133p .答案：C3．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【解析】：a 5＝S 5－S 4≤5，S 5＝a 1＋a 2＋…＋a 5＝5a 3≤15，a 3≤3，则a 4＝a 3＋a 52≤4，a 4的最大值为4.答案：C4．已知数列{a n }为等差数列，若a 11a 10<－1，且它们的前n 项和S n 有最大值，则使S n >0的n 的最大值为( ) A ．11 B ．19C ．20 D ．21【解析】：∵a 11a 10<－1，且S n 有最大值， ∴a 10>0，a 11<0，且a 10＋a 11<0， ∴S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19·a 10>0，S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)<0. 所以使得S n >0的n 的最大值为19. 答案：B5．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，则“－a m <a 1<－a m ＋1”是“S m >0，S m ＋1<0”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【解析】：由等差数列的前n 项和公式可知，若a 1＋a n >0，则S n ＝n （a 1＋a n ）2>0，若S n ＝n （a 1＋a n ）2>0，则a 1＋a n >0.所以若－a m <a 1，即a 1＋a m >0，则S m ＝m （a 1＋a m ）2>0；若S m ＝m （a 1＋a m ）2>0，则a 1＋a m >0，即－a m <a 1.同理可知，若a 1<－a m ＋1，即a 1＋a m ＋1<0，则S m ＋1＝（m ＋1）（a 1＋a m ＋1）2<0，反之也成立．故选C.答案：C 二、填空题6．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和， a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________. 【解析】：S 9＝9a 5＝－9， ∴a 5＝－1，S 16＝8(a 5＋a 12)＝－72. 答案：-727．已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为A n 和B n ，且A n B n ＝7n ＋45n ＋3，则a 6b 6＝________.【解析】：本题考查等差数列的基础知识，可直接由结论a n b n ＝A 2n －1B 2n －1求得。

等差数列的性质总结等差数列是一种常见的数学数列形式，其中每个项与前一项之间的差值是相等的。

在本文中，我将总结等差数列的一些性质，包括首项、公差、通项公式以及求和公式等。

通过了解这些性质，我们可以更好地理解和应用等差数列。

1. 首项（a）和公差（d）等差数列中的首项指的是数列的第一个数字，通常用字母a表示。

公差则是相邻两项之间的差值，通常用字母d表示。

首项和公差决定了等差数列的特征和规律。

2. 通项公式等差数列的通项公式用于求解数列中的任意一项。

对于等差数列a，其第n项可以用以下公式表示：an = a + (n-1)d其中an表示第n项，a表示首项，d表示公差。

3. 前n项和公式等差数列的前n项和公式用于求解数列中前n项的和。

对于等差数列a，前n项和Sn可以用以下公式表示：Sn = n/2 * (2a + (n-1)d)其中Sn表示前n项和，n表示项数，a表示首项，d表示公差。

4. 等差数列的性质（1）等差数列的任意三项可以构成一个等差数列，其中它们的公差相等。

（2）等差数列的相邻两项之和等于它们两倍的中间项。

（3）等差数列的相邻三项满足“大项-中项=中项-小项”的关系。

（4）等差数列的奇数项或偶数项本身也构成等差数列。

5. 应用举例例子1：求等差数列1，4，7，...的第10项。

首项a=1，公差d=4-1=3。

使用通项公式：an = a + (n-1)d可得第10项an = 1 + (10-1)3 = 1 + 9*3 = 28。

例子2：求等差数列5，10，15，...的前8项和。

首项a=5，公差d=10-5=5，项数n=8。

使用前n项和公式：Sn = n/2 * (2a + (n-1)d)可得前8项和Sn = 8/2 * (2*5 + (8-1)*5) = 4 * (10 + 7*5) = 4 * (10 + 35) = 4 * 45 = 180。

综上所述，等差数列具有许多有趣的性质，并且我们可以通过首项、公差、通项公式以及求和公式来描述和计算等差数列。

1．等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示．数学语言表达式：a n ＋1－a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，或a n －a n －1＝d (n ≥2，d 为常数)． 2．等差数列的通项公式与前n 项和公式(1)若等差数列{a n }的首项是a 1，公差是d ，则其通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ． 通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (m ，n ∈N *)． (2)等差数列的前n 项和公式S n ＝n （a 1＋a n ）2＝na 1＋n （n －1）2d (其中n ∈N *，a 1为首项，d 为公差，a n 为第n 项)．3．等差数列及前n 项和的性质(1)若a ，A ，b 成等差数列，则A 叫做a ，b 的等差中项，且A ＝a ＋b2．(2)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q (m ，n ，p ，q ∈N *)．(3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(4)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…也是等差数列． (5)S 2n －1＝(2n －1)a n .(6)若n 为偶数，则S 偶－S 奇＝nd2；若n 为奇数，则S 奇－S 偶＝a 中(中间项)． 4．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . 数列{a n }是等差数列∈S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 5．等差数列的前n 项和的最值高三数学学案第11期课题： 等差数列性质及应用第11课时第四部分 数列在等差数列{a n }中，a 1＞0，d ＜0，则S n 存在最大值；若a 1＜0，d ＞0，则S n 存在最小值．高频考点一 等差数列基本量的运算例1、(1)(2012·天津卷)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100＝( ) A.100 B.99C.98D.97(2)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 3＝6，S 4＝12，则S 6＝________.解得⎩⎪⎨⎪⎧A ＝1，B ＝－1，即S n ＝n 2－n ，则S 6＝36－6＝30.答案 (1)C (2)30【方法规律】(1)等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想来解决问题.(2)数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.【变式探究】 （2019年天津一中高三数学第一次质量检测）已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和.若S 8＝4S 4，则a 10等于( ) A.172 B.192C.10D.12解析 由S 8＝4S 4，得8a 1＋8×72×1＝4×⎝⎛⎭⎫4a 1＋4×32×1，解得a 1＝12，∈a 10＝a 1＋9d ＝192，故选B. 答案 B高频考点二 等差数列的判定与证明例2、已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝1a n －1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明 因为a n ＝2－1a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则f (x )在区间(－∞，72)和(72，＋∞)上为减函数．所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 【感悟提升】等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数．(2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2后，可递推得出a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ＝a n －a n －1＝a n －1－a n －2＝…＝a 2－a 1，根据定义得出数列{a n }为等差数列．(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，得a n ＋1－a n ＝p 对任意正整数n 恒成立，根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，根据S n ，a n 的关系，得出a n ，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列．【变式探究】(1)若{a n }是公差为1的等差数列，则{a 2n －1＋2a 2n }是( ) A ．公差为3的等差数列 B ．公差为4的等差数列 C ．公差为6的等差数列D ．公差为9的等差数列(2)在数列{a n }中，若a 1＝1，a 2＝12，2a n ＋1＝1a n ＋1a n ＋2(n ∈N *)，则该数列的通项为( )A ．a n ＝1nB ．a n ＝2n ＋1C ．a n ＝2n ＋2D ．a n ＝3n答案 (1)C (2)A1a n ＋1－1a n ＝1a n ＋2－1a n ＋1，知{1a n }是首项为1a 1＝1，公差为1a 2－1a 1＝2－1＝1的等差数列，所以1a n ＝n ，即a n ＝1n.高频考点三 等差数列的性质及应用例2、(1)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________. (2)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝10，S 20＝30，则S 30＝________. 答案 (1)10 (2)60解析 (1)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10.(2)∈S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列，且S 10＝10，S 20＝30，S 20－S 10＝20， ∈S 30－30＝10＋2×10＝30，∈S 30＝60.(2)求等差数列前n 项和S n 最值的两种方法：∈函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn ，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解． ∈邻项变号法：a ．当a 1＞0，d ＜0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧ a m ≥0，a m ＋1≤0的项数m 使得S n 取得最大值S m ；b ．当a 1＜0，d ＞0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m ≤0，a m ＋1≥0的项数m 使得S n 取得最小值S m .【举一反三】(1)若一个等差数列前3项的和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列的项数为( )A.13B.12C.11D.10(2)在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝25，则a 2＋a 8＝________.(2)因为{a n }是等差数列，所以a 3＋a 7＝a 4＋a 6＝a 2＋a 8＝2a 5，a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝25，即a 5＝5，a 2＋a 8＝2a 5＝10. 答案 (1)A (2)10高频考点四 等差数列前n 项和及其最值【例4】 (1)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝13，S 3＝S 11，当S n 最大时，n 的值是( ) A.5 B.6C.7D.8(2)设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N ＋)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.S n 取得最大值.(2)由a n ＝2n －10(n ∈N ＋)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0得n ≥5，∈n ≤5时，a n ≤0，当n >5时，a n >0，∈|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋100＝130. 答案 (1)C (2)130【方法规律】求等差数列前n 项和的最值，常用的方法：(1)利用等差数列的单调性，求出其正负转折项；(2)利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；(3)将等差数列的前n 项和S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)看作二次函数，根据二次函数的性质求最值.【变式探究】 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1>0且a 6a 5＝911，则当S n 取最大值时，n 的值为( )A.9B.10C.11D.12解析 由a 6a 5＝911，得S 11＝S 9，即a 10＋a 11＝0，根据首项a 1＞0可推知这个数列递减，从而a 10＞0，a 11＜0，故n ＝10时，S n 最大. 答案 B1. 【2016高考新课标1卷】已知等差数列前9项的和为27,,则 （ ） （A ）100 （B ）99 （C ）98 （D ）97 【答案】C 【解析】由已知,所以故选C.2【2016高考浙江理数】如图，点列{A n }，{B n }分别在某锐角的两边上，且，，（）.若（ ）A ．是等差数列B ．是等差数列C ．是等差数列D ．是等差数列 【答案】A{}n a 108a =100a =1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=1122,,n n n n n n A A A A A A n ++++=≠∈*N 1122,,n n n n n n B B B B B B n ++++=≠∈*N P Q P Q ≠表示点与不重合1n n n n n n n d A B S A B B +=，为△的面积，则{}n S 2{}n S {}n d 2{}n d3.【2016年高考北京理数】已知为等差数列，为其前项和，若，，则_______.. 【答案】6【解析】∈是等差数列，∈，，，， ∈，故填：6．4.【2016高考江苏卷】已知是等差数列，是其前项和.若，则的值是 . 【答案】【解析】由得，因此5.【2015高考重庆，理2】在等差数列中，若=4，=2，则= （ ） A 、-1 B 、0 C 、1 D 、6 【答案】B【解析】由等差数列的性质得，选B .6.【2015高考福建，理8】若 是函数 的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于（ ）A ．6B ．7C ．8D ．9 【答案】D{}n a n S n 16a =350a a +=6=S {}n a 35420a a a +==40a =4136a a d -==-2d =-616156615(2)6S a d =+=⨯+⨯-={}n a {S }n 21253,S =10a a +=-9a 20.510S =32a =2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯={}n a 2a 4a 6a 64222240a a a =-=⨯-=,a b ()()20,0f x x px q p q =-+>>,,2a b -p q +7.【2013高考天津，理6】设是等差数列. 下列结论中正确的是（ ） A ．若，则 B ．若，则 C ．若，则 D ．若，则 【答案】C【解析】先分析四个答案支，A 举一反例，而，A 错误，B 举同样反例，，而，B 错误，下面针对C 进行研究，是等差数列，若，则设公差为，则，数列各项均为正，由于，则C.8.【2015高考新课标2，理16】设是数列的前n 项和，且，，则________． 【答案】 【解析】由已知得，两边同时除以，得，故数列是以为首项，为公差的等差数列，则，所以．9.【2015高考广东，理10】在等差数列中，若，则{}n a 120a a +>230a a +>130a a +<120a a +<120a a <<2a >10a <()()21230a a a a -->1232,1,4a a a ==-=-120a a +>230+<a a 1232,1,4a a a ==-=-130a a +<120+>a a {}n a 120a a <<10,a >d 0d >22215111()(2)a a a a d a a d -=+-+22221111220a ad d a ad d =++--=>2113a a a >1a ⇒>n S {}n a 11a =-11n n n a S S ++=n S =1n-111n n n n n a S S S S +++=-=⋅1n n S S +⋅1111n nS S +=--1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1-1-11(1)n S n n =---=-1n S n=-{}n a 2576543=++++a a a a a 82a a += .【答案】10．10．（2014·天津卷）数列{a n}是等差数列，若a1＋1，a3＋3，a5＋5构成公比为q的等比数列，则q＝________.【答案】1【解析】因为数列{a n}是等差数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5也成等差数列．又a1＋1，a3＋3，a5＋5构为公比为q的等比数列，所以a1＋1，a3＋3，a5＋5为常数列，故q ＝1.。

等差数列的性质与应用等差数列是数学中重要的概念之一，它是指一个数列中的每个数与它的前一个数之差都相等。

等差数列在数学中有着广泛的应用，不仅可以帮助我们理解数学概念，还可以应用于实际生活中的问题。

本文将介绍等差数列的性质与应用，并探讨其在数学和现实世界中的作用。

一、等差数列的定义和性质等差数列的定义很简单，即一个数列中相邻两项之间的差是固定的常数，通常称为公差，记作d。

假设第一项为a₁，第二项为a₂，那么对于任意的正整数n，等差数列可以表示为：aₙ = a₁ + (n - 1)d等差数列的性质主要包括以下几点：1. 公差d决定了等差数列的增长或减少趋势。

如果d>0，数列递增；如果d<0，数列递减。

2. 等差数列的首项和末项的差等于n-1乘以公差d，即aₙ - a₁ = (n - 1)d。

3. 等差数列的前n项和Sn可以表示为Sn = (a₁ + aₙ) * n / 2，也可以用等差数列的首项a₁、公差d和项数n表示为Sn = n * (a₁ + aₙ) / 2。

4. 如果一个数列同时满足前两项差相等和后两项差相等的条件，那么这个数列一定是等差数列。

二、等差数列的应用等差数列在数学中有着广泛的应用，并且能够帮助我们解决许多实际问题。

以下是等差数列在数学和现实世界中的几个典型应用。

1. 数学中的等差数列应用：等差数列的性质使得它可以应用于数列求和、数列推导以及数列运算等方面。

通过对等差数列进行分析和处理，我们可以更好地理解和解决数学问题。

2. 经济学中的应用：在经济学中，等差数列可以用来描述公司的销售额、利润增长等指标的变化趋势。

通过分析等差数列的性质，可以帮助经济学家做出更准确的预测和决策。

3. 物理学中的应用：在物理学中，等差数列被广泛应用于描述初始速度、加速度和位移的关系。

通过对等差数列的运用，物理学家可以更好地理解物体的运动规律，并进行相关研究和实验。

4. 计算机科学中的应用：在计算机科学中，等差数列的性质被用于算法设计和数据处理。