不等式的基本性质与基本不等式
郭浴琼
目标： 掌握不等式的基本性质及常用的不等式性质，如自反性、传递性、可加性、
可乘性等，并能证明这些基本性质；掌握两个基本不等式，并能用于解决一
些简单问题．
重难点：
不等式的可加性、可乘性；基本不等式的应用及其证明． 一、 知识要点
1、 比较两数大小的基本方法
（1）作差法 0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔=
（2）作商法 若0,0a b >>，则1a a b b >⇔>；1a a b b <⇔<；1a a b b
=⇔= 2、 不等式的基本性质
性质1：a b b a >⇔<（对称性）
性质2：若,a b b c >>，则a c >（传递性）
性质3：若a b >，则a c b c +>+
性质4：若,0a b c >>，则ac bc >；若,0a b c ><，则ac bc <
结论1：若,a b c d >>，则a c b d +>+
结论2：若0a b >>，则n n a b >()
*n N ∈ 结论3：若0a b >>，则()
*,1n n a b n N n >∈> 3、 基本不等式（均值不等式）
对任意,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号
均值不等式：若a 、b 为正数，则2
a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号 变式：2
22
()22a b a b ab ++≥≥ 二、 例题精讲
例1、有三个条件：（1）22ac bc >；(2)c a ＞c
b ；(3)22a b >，其中能成为a b >的充分条件的个数有几个，是哪几个？
例2、已知三个不等式：①0ab > ②bc ad > ③a c >b
d ，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题．
例3、实数a 、b 满足条件ab ＜0，那么（ ） A. a b -b a - C. a b +
例4、某收购站分两个等级收购棉花，一级棉花a 元/kg ，二级棉花b 元/kg ()b a <，现有一级棉花x kg ，二级棉花y kg ()x y >，若以两种价格平均数收购，对棉农公平吗？其理由可用不等式表示为 ．
例5、若12a b -<<<，则3a b -的取值范围是 ．
例6、已知实数,a b 判断下列不等式中哪些一定是正确的？
（1）ab b a ≥+2
； （2）ab b a 222-≥+； （3）ab b a ≥+22； （4）2≥+b a a b （5）21≥+
a a ； （6） 2≥+a
b b a （7）222)(2b a b a +≥+）（
例7、（1）若a R b ∈,，且221a b +=，则a b +的最大值是 ，最小值是
（2）设0,0,x y >>且21x y +=，则11x y
+的最小值为 （3）若01,x <<则491y x x
=+-的最小值为 （4）若+
∈R x ，则x x 212+有最 值，且值为 （5）若13,3
a a a >+-有最 值，是 ，此时a = （6）若1x <，则2231
x x x -+-有最 值，值为
例8、（1）若a ,b R +∈，且2222a b +=，则2
1a b +的最大值是
（2）设1a >，1b >，且()1ab a b -+=，那么（ ）
A 、a b +有最小值)12(2+
B 、a b +有最大值2)12(+
C 、ab 有最大值12+
D 、ab 有最小值)12(2+
例9、一批救灾物资随26辆汽车从某市以/v km h 的速度直达灾区，已知两地公路长400km ，为了安全起见，两车的间距不得小于220v km ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，求这批物资全部运到灾区至少要多少小时？（不计车身长度）
三、 课堂练习
1、,x y R ∈，且112,144x y -<-<，则x y
的取值范围是 ． 2、若()2f x a x c =
-，且()()411,125f f -≤≤--≤≤，则()3f 的取值范围是 ． 3、若22221,1,a b c d a b c d R +=+=∈、、、，则abcd 的最大值是 ．
4、函数()()log 310,1a y x a a =+->≠的图像恒过定点A ，若点A 在直线10mx ny ++=上，其中0mn >，则12m n
+的最小值为 ． 5、设x R ∈，[]x 表示不大于x 的最大整数，如[]3π=，[]1.22-=-，102⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，则使213x ⎡⎤-=⎣⎦
成立的x 的取值范围是 ． 四、课后作业
一、填空题
1、已知,22π
π
απβπ<<<<，则αβ-的取值范围是 ，2βα-的取值范
围是 ．
2、已知三个不等式：①0ab >；②c d a b
-<-；③bc ad >，以其中两个作条件，余下一个作结论，则可以组成 个正确命题．
3、已知,x y R +∈，2312x y +=，则lg lg x y +的最大值为 ．
4、已知0a b >>，2c a b
=+且1ab =，若log ,log ,log c c c l a m d n ab ===，则将l m n 、、按从小到大的顺序用不等号连接可得 ．
5、已知222sin sin sin 1αβγ++=（,,αβγ均为锐角），那么cos cos cos αβγ的最大值等于 ．
6、三个同学对问题“关于x 的不等式232255x x x ax ++-≥在[]1,12上恒成立，求实数a
的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只需不等式左边的最小值不小于右边的最大值”；
乙说：“把不等式变形为左边含变量x ，右边仅含常数，求函数的最值”；
丙说：“把不等式两边看成关于x 的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a 的取值范围是 ．
二、选择题
7、已知不等式()19a x y x y ⎛⎫++≥
⎪⎝⎭对任意正实数,x y 恒成立，则正实数a 的最小值为（ ）
A 、2
B 、4
C 、6
D 、8 8、若正数,a b 满足3ab a b =++，则a b +的取值范围是（ ）
A 、[)9,+∞
B 、[)6,+∞
C 、(]0,9
D 、()0,6
9、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是（ ）
A 、22a b <
B 、22a b ab <
C 、2211ab a b <
D 、b a a b
< 三、解答题
10、当1x >-时，求2311
x x y x -+=+的最小值； 11、（1）设集合()(){}()11,|0,,|M a b ab a b N a b a b ⎧⎫=
->=<⎨⎬⎩⎭，试讨论M 与N 的关系；
（2）求实数a 的取值范围，使不等式()22lg lg lg lg xy x y a ≤
+⋅对一切满足1,1x y >>的
实数恒成立．
12、某商场预计全年分批购入每台价值为2000元的电视机共3600台，每批都购入x台（x 是正整数），且每批均需付运费400元．储存购入的电视机全年所付保管费与每批购入电视机的总价值（不含运费）成正比．若每批购入400台，则全年需用去运费和保管费用43600元．现在全年只有24000元资金可以用于支付这笔费用，请问能否恰当安排每批进货的数量，使资金够用？写出你的结论，并说明理由．
不等式的性质和基本不等式 [优质专题] 1．不等式的基本性质 2．两个实数比较大小的方法 (1)作差法⎩⎨⎧ a － b >0⇔a >b a － b ＝0⇔a ＝b a － b <0⇔a
(2)作商法⎩⎪⎨⎪⎧ a b >1⇔a >b a b ＝1⇔a ＝b a b <1⇔a 0) 3．基本(均值)不等式ab ≤ a ＋b 2 (1)基本(均值)不等式成立的条件：a >0，b >0. (2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号． 4．几个重要的不等式 (1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )．(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)． (3)ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22 (a ，b ∈R )．(4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 5．算术平均数与几何平均数 设a >0，b >0，则a ，b 的算术平均数为a ＋b 2，几何平均数为ab ，基本(均值)不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 6．利用基本(均值)不等式求最值问题 已知x >0，y >0，则： (1)如果积xy 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，x ＋y 有最小值是2p .(简记：积定和最小) (2)如果和x ＋y 是定值p ，那么当且仅当x ＝y 时，xy 有最大值是p 2 4.(简记：和定积最大) [优质试题] 题型一 不等式的性质应用 例1 (1)给出下列命题：
①若ab >0，a >b ，则1a <1 b ； ②若a >b ， c > d ，则a －c >b －d ； ③对于正数a ，b ，m ，若a Q B ．P ≥Q C ．P b ，且1a >1 b ，则a >0，b <0 B ．若a >b ，b ≠0，则a b >1 C ．若a >b ，且a ＋ c >b ＋ d ，则c >d D ．若a >b ，且ac >bd ，则c >d 2．已知1≤a －b ≤2且2≤a ＋b ≤4，求4a －2b 的取值范围． 3.已知实数a ，b ，c 满足b ＋c ＝6－4a ＋3a 2，c －b ＝4－4a ＋a 2，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c ≥b >a B ．a >c ≥b
第七章 不等式 知识网络 . 第1讲 不等关系与不等式 ★ 知 识 梳理 ★ 1.比较原理： 两实数之间有且只有以下三个大小关系之一：a>b;a
（3）可加性:a b >?. a c b c +>+ 移项法则:a b c a c b +>?>- 推论：同向不等式可加. ,a b c d >>? a c b d +>+ （4）可乘性:bc ac c b a >?>>0,，,0a b c >>>>?ac bd > 推论2：可乘方(正):0a b >>? n n a b >` (,2)n N n * ∈≥ (5) 可开方(正):0a b >>? >(,2)n N n *∈≥ 第4讲 基本不等式 ★ 知 识 梳理 ★ 1.基本形式: ,a b R ∈,则222a b ab +≥; 0,0a b >>, 则a b +≥,当且仅当a b =时等号成立. 2求最值: 当ab 为定值时,22 ,a b a b ++有最小值; 当a b +或22a b +为定值时,ab 有最大值(0,0a b >>). 3.拓展：若0,0a b >>时 ,2 112a b a b +≤≤+,当且仅当a b =时等号成立. ★ 热 点 考 点 题 型 探 析★ 考点1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 题型1. 当积ab 为定值时,求和a b +最小值 例1 . 已知0,0x y >>且满足 281x y +=,求x y +的最小值. 【解题思路】利用281x y +=，构造均值不等式 解析：∵2828()1()()28y x x y x y x y x y x y +=+?=+?+=+++,0,0x y >>,∴280,0y x x y >> 1018x y +≥+=,当且仅当28y x x y =时等号成立,即224y x =,∴2y x =,又281x y +=, ∴6,12x y == ∴当6,12x y ==时,x y +有最小值18. 【名师指引】利用基本不等式求最值要注意“一正二定三相等”即（1)要求各数均为正
不等式的基本性质1．比较两个实数的大小 （1）a－b＞0?a＞b；a－b＝0?a＝b；a－b＜0?a＜b. （2）若b＞0，则有a b ＞1?a＞b； a b ＝1?a＝b； a b ＜1?a＜b. 2．不等式的性质 (1)对称性：a ＞b?b＜a； (2)传递性：a＞b，b＞c?a＞c； (3)可加性：a＞b?a＋c＞b＋c，a＞b，c＞d?a＋c＞b＋d； (4)可乘性：a＞b，c＞0?ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0?ac＞bd； (5)可乘方：a＞b＞0?a n＞b n(n∈N，n≥2)； (6)可开方：a＞b＞0?n a＞ n b(n∈N，n≥2)． 3.两条常用性质(1)倒数性质： ①a＞b，ab＞0?1 a ＜ 1 b ；②a＜0＜b? 1 a ＜ 1 b ；③a＞b＞0,0＜c＜d? a c ＞ b d ； ④0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0?1 b ＜ 1 x ＜ 1 a . (2)若a＞b＞0，m＞0，则 ①真分数的性质：②假分数的性质： b a ＜ b＋m a＋m ； b a ＞ b－m a－m (b－m＞0)； a b ＞ a＋m b＋m ； a b ＜ a－m b－m (b－m＞0)． 判别式 Δ＝b2－4ac Δ＞0Δ＝0Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图 象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 (a＞ 0)的根有两相异实根 x 1 ，x2(x1＜x2) 有两相等实根 x 1 ＝x2＝－ b 2a 没有实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a ＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1} ?? ? ?? ?? ? ?? x|x≠－ b 2a R ax2＋bx＋c＜0 (a ＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2}??
不等式的概念和基本性质 重点：不等式的差不多性质 难点：不等式差不多性质的应用 要紧内容： １．不等式的差不多性质 （１）a>b bb,b>c a>c （３）a+b
例１．关于实数a,b,c判定以下命题的真假 （１）若a>b, 则ac
不等式的基本性质与基本不等式 郭浴琼 目标： 掌握不等式的基本性质及常用的不等式性质，如自反性、传递性、可加性、 可乘性等，并能证明这些基本性质；掌握两个基本不等式，并能用于解决一 些简单问题． 重难点： 不等式的可加性、可乘性；基本不等式的应用及其证明． 一、 知识要点 1、 比较两数大小的基本方法 （1）作差法 0a b a b ->⇔>；0a b a b -<⇔<；0a b a b -=⇔= （2）作商法 若0,0a b >>，则1a a b b >⇔>；1a a b b <⇔<；1a a b b =⇔= 2、 不等式的基本性质 性质1：a b b a >⇔<（对称性） 性质2：若,a b b c >>，则a c >（传递性） 性质3：若a b >，则a c b c +>+ 性质4：若,0a b c >>，则ac bc >；若,0a b c ><，则ac bc < 结论1：若,a b c d >>，则a c b d +>+ 结论2：若0a b >>，则n n a b >() *n N ∈ 结论3：若0a b >>，则() *,1n n a b n N n >∈> 3、 基本不等式（均值不等式） 对任意,a b R ∈，222a b ab +≥，当且仅当a =b 时取等号 均值不等式：若a 、b 为正数，则2 a b ab +≥，当且仅当a b =时取等号 变式：2 22 ()22a b a b ab ++≥≥ 二、 例题精讲 例1、有三个条件：（1）22ac bc >；(2)c a ＞c b ；(3)22a b >，其中能成为a b >的充分条件的个数有几个，是哪几个？ 例2、已知三个不等式：①0ab > ②bc ad > ③a c >b d ，以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成多少个正确的命题？并写出这些命题．
不等式的基本性质、解不等式 【考纲要求】 1、不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2、一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 【基础知识】 一、不等式的概念及基本性质 1、实数运算性质与大小顺序关系 (1)a －b ＞0?a ＞b ；(2)a －b ＝0?a ＝b ；(3)a －b ＜0?a ＜b . 2、不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ?b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c ； (3)可加性：a ＞b ?a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ＞bd ； (5)可乘方性：a ＞b ＞0?a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方性：a ＞b ＞0?n a ＞n b (n ∈N ，n ≥2)． (7)叠加性：a ＞b ，c ＞d ?a+c ＞b+d （不等式同向可加） (8)叠乘性：a ＞b ≥0，c ＞d ≥0?ac ＞bd （不等式同向为正可乘） 注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。如果遇到减法和除法，可以转化乘加法和乘法。 如：求a －b 的范围可以转化成求a+(－b )的范围，求a b 的范围可以转化成求a ×1b 的范围。 ②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。 3、实数大小的比较 实数大小的比较一般用差比和商比。 (1)如果不知道实数是正数或负数，一般用差比，一般步骤是作差→变形（通分、因式分解、合并 同类项等）→与0比较→下结论。 (2)如果是正数，一般用商比，一般步骤是作商→变形（通分、因式分解、合并同类项等）→与1 比较→下结论。 4、?和?的含义 “P ?Q ”表示命题P 成立，命题Q 一定成立。 “P ?Q ”表示命题P 成立，命题Q 一定成立；命题Q 成立，命题P 一定成立。 二、一元一次不等式和一元二次不等式 1、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式。 当a ＞0时，不等式的解集为{x|x ＞b a }；当a ＜0时，不等式的解集为{x|x ＜b a }. 2、一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)的解法 解一元二次不等式最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想。 (1)二次不等式f (x )=ax 2＋bx ＋c ≥0(a ＞0)的解法 当Δ＝b 2－4ac ＞0时，不等式的解集是{x |x ＞x 大或x ＜x 小}，简记为大于两边分，大于大根，小于小根。 当Δ＝b 2－4ac = 0时，不等式的解集是R.
不等式的性质与证明方法总结 在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。 一、基本不等式性质 1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。这个性质是不等式推理的基础，可 以用于简化证明过程。 2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。这个性质表示在不等式两边同时加上 一个相同的数，不等式的大小关系不变。 3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。这个 性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。 4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。 二、常见不等式 1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立： (a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n) 平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。 2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立： (a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p) 其中p为大于0的实数。均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。
3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立： (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) 柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。 4. 夹逼定理：如果对于任意n，有a_n <= b_n <= c_n，并且lim(a_n) = lim(c_n) = L，则lim(b_n) = L。夹逼定理可以用于证明数列极限的存在与计算。 三、不等式的证明方法 1. 数学归纳法：对于一些特定的不等式，可以使用数学归纳法进行证明。数学 归纳法的基本思想是：先证明当n = 1时不等式成立，然后假设当n = k时不等式 成立，再证明当n = k + 1时不等式也成立。 2. 反证法：对于一些不等式，可以使用反证法进行证明。反证法的基本思想是：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原不等式成立。 3. 矛盾法：对于一些不等式，可以使用矛盾法进行证明。矛盾法的基本思想是：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原不等式成立。 4. 应用其他不等式：有时候，可以通过应用其他已知的不等式来证明目标不等式。例如，可以使用平均不等式、均值不等式、柯西不等式等来推导出目标不等式。 综上所述，不等式是数学中一种重要的工具，具有广泛的应用。了解不等式的 性质和证明方法，可以帮助我们更好地理解和应用不等式，解决实际问题。通过不断学习和练习，我们可以提高不等式的运用能力，为数学和其他学科的研究和应用做出更多贡献。
不等式的基本概念与性质 在数学中，不等式是表示两个数或者两个代数式之间大小关系的数学表达式。不等式通过使用不等于号（≠）、小于号（<）、小于等于号（≤）、大于号（>）和大于等于号（≥）等符号，来描述数值的相对大小关系。不等式的概念和性质在数学中起到了重要的作用，对于解决实际问题和进行数学推理都具有重要意义。 一、不等式的基本概念 1. 不等式的定义 不等式是一个数学表达式，通过使用不等于号、小于号、小于等于号、大于号和大于等于号等符号来比较两个数或者两个代数式的大小关系。 2. 不等式的符号及其含义 （1）≠：不相等。表示两个数或两个代数式不相等。 （2）<：小于。表示第一个数或者代数式小于第二个数或代数式。 （3）≤：小于等于。表示第一个数或代数式小于等于第二个数或代数式。 （4）>：大于。表示第一个数或代数式大于第二个数或代数式。 （5）≥：大于等于。表示第一个数或代数式大于等于第二个数或代数式。
3. 不等式的解集 不等式的解集是使得不等式成立的数的集合。解集可以是无穷集合、有限集合或为空集。 二、不等式的性质 1. 不等式的传递性 如果a＜b，b＜c，那么a＜c。即如果两个数的大小关系成立，并且第二个数与第三个数的大小关系也成立，那么第一个数与第三个数之 间的大小关系也成立。 2. 不等式的加减性 如果a＜b，那么a±c＜b±c。即不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向保持不变。 3. 不等式的乘除性 （1）如果a＜b，且c＞0，那么ac＜bc。 即不等式两边同时乘以一个正数，不等式的方向保持不变。 （2）如果a＜b，且c＜0，那么ac＞bc。 即不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向发生改变。 4. 不等式的倒置性 如果a＜b，那么-b＜-a。
基本不等式知识点归纳 基本不等式是数学中的重要概念，涉及到数值之间的大小关系。在 数学学习中，掌握基本不等式的知识点对于解决各类问题至关重要。 本文将对基本不等式的定义、性质以及常用的基本不等式进行归纳总结。 一、基本不等式的定义 基本不等式是指关于变量的不等关系式，通常形式为a ≤ b 或 a < b，其中 a、b 为实数，表示 a 与 b 之间的大小关系。 二、基本不等式的性质 1. 传递律：若a ≤ b 且b ≤ c，则a ≤ c。 2. 对称律：若a ≤ b，则b ≥ a。 3. 加法性：若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。 4. 减法性：若a ≤ b，则 a - c ≤ b - c（其中 c 为正数）。 5. 乘法性：若a ≤ b 且c ≥ 0，则ac ≤ bc。若c ≤ 0，则ac ≥ bc。 6. 除法性：若a ≤ b 且 c > 0，则a/c ≤ b/c。若 c < 0，则a/c ≥ b/c。 三、常用的基本不等式 1. 平均值不等式：对于任意非负实数 a₁、a₂、...、aₙ，有 (a₁ + a₂ + ... + aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。
该不等式表明，若 n 个非负实数的算术平均值大于等于它们的几 何平均值，那么这些数之间存在不等关系。 2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数 a₁、a₂、...、aₙ 和 b₁、 b₂、...、bₙ，有 (a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²)。 柯西-施瓦茨不等式表明了两个向量内积的平方与两个向量长度乘 积的平方之间的关系。该不等式在数学分析、线性代数等领域有广泛 应用。 3. 三角不等式：对于任意实数 a、b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。 三角不等式表明了两个实数之和的绝对值小于等于两个实数的绝 对值之和。 4. 拉格朗日中值定理：若函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区 间 (a, b) 内可导，则存在一个点 c ∈ (a, b)，使得 f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。 拉格朗日中值定理是微分学中的重要结果，可以推导出某些函数 的不等式关系。 四、应用举例 1. 判断多项式的根的范围：利用基本不等式，我们可以判断多项式 的根所在的范围。例如，对于二次多项式 ax² + bx + c（其中 a > 0），
基本不等式知识点 1、不等式的基本性质 ①(对称性)a b b a >⇔> ②（传递性),a b b c a c >>⇒> ③（可加性）a b a c b c >⇔+>+ (同向可加性)d b c a d c b a +>+⇒>>, (异向可减性)d b c a d c b a ->-⇒<>, ④（可积性)bc ac c b a >⇒>>0, bc ac c b a <⇒<>0, ⑤（同向正数可乘性)0,0a b c d ac bd >>>>⇒> （异向正数可除性)0,0a b a b c d c d >><<⇒> ⑥(平方法则) 0(,1)n n a b a b n N n >>⇒>∈>且 ⑦( 开方法则）0,1)a b n N n >>⇒∈>且 ⑧（倒数法则) b a b a b a b a 110;110>⇒<<<⇒ >> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,(当且仅当a b =时取""=号). 变形公式:22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式) 2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥2 .2a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭ 用基本不等式求最值时(积定和最小,和定积最大）,要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③(三个正数的算术—几何平均不等式 ) 3a b c ++≥()a b c R +∈、、(当且仅当a b c ==时取到等号)．
④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， (当且仅当a b c ==时取到等号）． ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号). ⑥0,2b a ab a b >+≥若则(当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则(当仅当a=b 时取等号) ⑦ b a n b n a m a m b a b <++<<++<1,（其中000)a b m n >>>>，， 规律:小于1同加则变大,大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>⇔>⇔<->当时，或 22. x a x a a x a <⇔<⇔-<< ⑨绝对值三角不等式 . a b a b a b -≤±≤+ ３、几个著名不等式 ①平均不等式：1122a b a b --+≤≤≤+,,a b R +∈,当且仅当a b =时取"" =号). (即调和平均≤几何平均≤算术平均≤平方平均). 变形公式: 2 22;22a b a b ab ++⎛⎫≤≤ ⎪⎝⎭222().2a b a b ++≥ ②幂平均不等式： 222212121...(...).n n a a a a a a n +++≥+++ ③二维形式的三角不等式 : ≥1122(,,,). x y x y R ∈ ④二维形式的柯西不等式: 22222()()()(,,,).a b c d ac bd a b c d R ++≥+∈当且仅当ad bc =时,等号成立.
第四讲不等式的性质/基本不等式 课前练习： 已知命题p ：方程0222=-+ax x a 在[－1，1]上有解；命题q ：只有一个实数x 满足不等式 2220x ax a ++≤，若命题“p 或q ”是假命题，求实数a 的取值范围． 解： 一、知识要点 （一）不等式的性质 1、实数比较大小的方法（作差比较法）： 原理：0>-⇔>b a b a ；0=-⇔=b a b a ；0<-⇔，b c >，那么a c >（传递性）。 （2）如果a b >，那么a c b c +>+（加法单调性）。 （3）如果a b >，0c >，那么ac bc >；如果a b >，0c <，那么ac bc <（乘法单调性）。 ( 4) 如果a b >，c d >，那么a c b d +>+（同向相加性）。 ( 5) 如果0a b >>，0c d >>，那么ac bd >（同向相乘性）。 (6)如果0,>>ab b a ，那么 a b 1 1>（倒数改向性） (7) 如果0a b >>，那么()n n a b n N * >∈（乘方性质）。 (8) 如果0a b >>,n N *> ∈1)n >（开方性质）。 例1、已知0>>b a ，0<
例3、如果2 2 π π αβ-<<< ，求2αβ-的取值范围。 解： 巩固与提高1 1、有三个不等式（1）0>ab ，（2） b d a c >， （3）ad bc >。以其中两个作为条件，余下一个作为结论，可组成正确命题有几个？ 2、若的大小试比较1,1,1--=-+=>c c b c c a c 。 解： 3、 设b a ,是两个实数，给出下列条件：○11>+b a ；○22=+b a ；○32>+b a ；○4222>+b a ；○ 51>ab 。其中能推出“b a ,中至少有一个数大于1”的条件是. 4、“2 2 1x y +<”是“1xy x y +>+”成立的条件。 5、已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是( ) A 、22a b < B 、22a b ab < C 、 2211ab a b < D 、b a a b < 6、若a
不等式的基本概念与性质 不等式是数学中常见的一种关系表示形式，用于描述数值的大小关系。与等式不同的是，不等式中的符号表示的是不等关系，包括大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）和小于等于（≤）等。 一、基本概念 1. 不等式的定义：不等式是数学中一种描述数值大小关系的表达式，由一个或多个代数式组成，用不等号连接。 例如：a > b、x + y ≤ 10 2. 不等式的解：满足不等式的数值范围即为不等式的解。与等式一样，不等式的解也可以是一个数、一组数或数的区间。 例如：不等式 x > 3 的解为 x > 3，不等式2x ≤ 10 的解为0 ≤ x ≤ 5 3. 不等式中的常见符号：不等式中常见的符号有大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）。符号的意义如下：- 大于（>）：表示左侧的数大于右侧的数。 - 小于（<）：表示左侧的数小于右侧的数。 - 大于等于（≥）：表示左侧的数大于或等于右侧的数。 - 小于等于（≤）：表示左侧的数小于或等于右侧的数。 二、不等式的性质
1. 加减法性质：对不等式两侧同时加减一个数，不等式的大小关系保持不变。 例如：若 a > b，则 a + c > b + c，a - c > b - c（其中 c 为任意实数） 2. 乘法性质：对不等式两侧同时乘以一个正数，不等式的大小关系保持不变；对不等式两侧同时乘以一个负数，则不等式的大小关系反转。 例如：若 a > b，则 ac > bc（其中 c > 0）；若 a > b，则 ac < bc（其中 c < 0） 3. 不等式的翻转：不等式两边同时取负号，则不等式的大小关系发生翻转。 例如：若 a > b，则 -a < -b 4. 绝对值不等式性质： - 若 |a| < c，则 -c < a < c - 若 |a| > c，则 a < -c 或 a > c 5. 平方不等式性质： - 若 a > b（a、b 非负数），则 a^2 > b^2 - 若 a < b（a、b 非负数），则 a^2 < b^2 6. 合并与分离不等式：两个不等式通过“且”或“或”连接，可以合并成一个不等式；一个复合不等式可以分离成两个不等式。
基本不等式 一、基础知识 ☐基本不等式：在不等式的应用中，有一些很基本而十分重要的不等式，如平均值不等式和三角不等式等，我们将其统称为基本不等式． ☐平均值不等式：两个正数的算术平均值大于等于它们的几何平均值，即对于任意的正数a 、b ，有 2 a b ab ，且等号当且仅当a b 时成立. 证明：对于正数a 、b ，要证明定理所述之平均值不等式，只要证明 2a b ab ， 即 20a b ab . 由 2 2a b ab a b . 上式显然成立，且只有当a b 时，原不等式两边才相等. ☐常用不等式：对于任意的正数a 、b ，有 2 2 a b ab ，且等号当且仅当a b 时成立. ☐三角不等式：对于任意的实数a 、b ，有a b a b ，且等号当且仅当0ab 时成立. 证明：为证明a b a b ，只需证明 2 2 a b a b ， 即2 22222a ab b a ab b ，也即22ab ab ，这是显然的，且等号当且仅当a 、b 同号，即0 ab 时成立. 二、拓展知识 ☐基本不等式：如果a ，b ，c R ，那么333 3a b c abc （当且仅当a b c 时取“”） 证明： 3 3333223333a b c abc a b c a b ab abc 2 2 3a b c a b a b c c ab a b c
22223a b c a ab b ac bc c ab 222a b c a b c ab bc ac 2 2 2 1 2 a b c a b a c b c a ， b ，c R ， 2 2 2 1 02 a b c a b a c b c 从而3 33 3a b c abc ☐推论：如果a ，b ，c R ，那么 3 3 a b c abc （当且仅当a b c 时取“”） ☐基本不等式： 12 12 n n a a a a a a n ，*n N ，i a R ，1i n . 证明可用数学归纳法，二项式定理证明，这里证明省略； ☐柯西不等式：2 22 22221122 1212n n n n a b a b a b a a a b b b ,1,2,,i i a b R i n ，等号当且仅当12 0n a a a 或i i b ka 时成立（k 为常数，1,2,,i n ） 证明：构造二次函数 2 2 2 11 22 n n f x a x b a x b a x b 22 22222121122 122n n n n a a a x a b a b a b x b b b 22 2 120n a a a 又 0f x 恒成立 2 22 222 2 1122 1212440n n n n a b a b a b a a a b b b 即2 222 22 211221212n n n n a b a b a b a a a b b b 当且仅当0i i a x b x （1,2,,i n ）即 1 21 2 n n a a a b b b 时等号成立. ☑ 一个重要的不等式链：2 112a b a b +≤≤≤+． ☑函数()()0,0b f x ax a b x =+ >>图象及性质 （1）函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象大致如下图（x x x f 1)(+=）所示：
不等式的知识要点 1.不等式的基本概念 2.不等式的基本性质 （1）a b b a <⇔>（对称性） （2）c a c b b a >⇒>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+⇒>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+⇒>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-⇒<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >⇒>> 0,. （7）bc ac c b a <⇒<>0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >⇒>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><<⇒ >（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>⇒ <（倒数关系） （11）)1,(0>∈>⇒>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)(0*2N n a n ∈≥（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）非负式：0,0||,2≥≥∈a a R a 则若；.0,0≥≥a a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）二元均值不等式：如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +（当仅当a=b 时取等号） 常用为：a b +≥a=b 时取等号），2()2 a b ab +≤（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等. 不等式链：如果a ,b 都是正数，那么 2 112a b a b +≤+（当仅当a=b 时取等号） ,3 a b c a b c R +++∈(4)三元均值不等式：若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 4.几个著名不等式 （1）柯西不等式： 时取等号当且仅当（则 若n n n n n n n n b a b a b a b a b b b b a a a a b a b a b a b a R b b b b R a a a a ====+++++++≤++++∈∈ 332211223222122322212332211321321))(();,,,,,,,,
不等式及不等式的基本性质 知识要点： 1、 不等式：表示不相等关系的式子。 2、 不等式的分类：绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式。 3、 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 4、 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 5、 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 6、 不等的互逆性和传递性：若a>b,则bb,b>c,则a>c 。 示例: 1、 判断下列各式哪些是等式，哪些不是等式，哪些即不是等式也不是不等式。 ①x+y; ②3x>7 ③5=2x+3; ④02≥x ； ⑤2x －3y=1; ⑥52. 2、 根据下面的数量关系，列不等式： （1） x 的3 1与x 的2倍的和是非负数学； （2） 一个数除以2的商加上2，和最多为5； （3） a 与b 两数和的平方不可能大于3. 3、 若a
6、某市化工厂现有A 种原料290千克、B 种原料212千克，计划利用这两种原料生产C,D 两种产品共80件，生产一件C 产品需要A 种原料5千克、B 种原料1.5千克，生产一件D 种产品需要A 种原料2.5千克、B 种原料3.5千克，若该市化工厂现有的原料能保证生产，试写出满足生产C 产品x 件的关系式。 7、解不等式： 13 3222<--+x x 8、如果x －y
第六章 不等式 §6.1不等式的性质与基本不等式 知识梳理 1、比较原理 两实数b a ,之间有且只有以下三个大小关系之一： 、 、 。 其中0>-⇔>b a b a ；⇔b a 。 （2）传递性：⇒>>c b b a , 。 （3）不等式加等量：c a b a +⇔> c b +。 （4）不等式乘正量：⇒>>0,c b a 。 不等式乘负量：⇒<>0,c b a 。 （5）同向不等式相加：⇒>>d c b a , 。 （6）异向不等式相减：⇒<>d c b a , 。 （7）同向不等式相乘：⇒>>>>0,0d c b a 。 （8）异向不等式相除：⇒<<>>d c b a 0,0 。 （9）不等式取倒数：a ab b a 10,⇒>> b 1 （10）不等式的乘方：⇒>>0b a 。 （11）不等式的开方：⇒>>0b a 。 （12）真分数性质：0,0___b b m a b m a a m +>>>⇒ + 3、重要不等式和基本不等式 （1）如果0,0>>b a ，那么 叫做这两个正数的算术平均数。 （2）如果0,0>>b a ，那么 叫做这两个正数的几何平均数。 （3）基本不等式：0,0>>b a ，则 ，当且仅当b a =时取等号，即两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。 注：①用基本不等式求最值时注意三个条件：“ ” ②基本不等式的几何解释:在直角三角形中,直角三角形斜边上的 不小于 ,如图所示. （4）常见变形：① （,a R b R ∈∈取等条件： ） ② （,a R b R ∈∈取等条件： ） ③ （,a R b R ∈∈取等条件： ）
不等式的性质与基本不等式1 教学目标 (a)知识与技能：掌握实数的运算性质与大小顺序间关系，进一步了解数形结合思想；掌握 求差法比较两实数或代数式大小.理解两个实数的平方和不小于它们之积的2倍的不等式的 证明；理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释 (b)情感与价值：培养学生举一反三的逻辑推理能力，并通过不等式的几何解释，丰富学生 数形结合的想象力 教学重点、难点 教学重点：基本不等式的应用 教学难点：理解“当且仅当a=b 时取等号”的数学内涵 教学过程： （一）复习：两实数的大小关系。 我们知道，实数与数轴上的点是一一对应的，在数轴上不同的两点中，右边的点表示的 实数比左边的点表示的实数大．例如，在图6一1中，点A 表示实数a ，点B 表示实数b , 点A 在点B 右边，那么a b >． 我们再看图6一1，a b >表示a 减去b 所得的差是一个大于0的数即正数. 一般地： 若a b >，则a b -是正数；逆命题也正确． 类似地，若a b <，则a b -是负数；若a b =，则0a b -=；它们的逆命题都正确. 这就是说： 0a b a b >⇔->； 0a b a b =⇔-=； 0a b a b <⇔-<． 由此可见，要比较两个实数的大小，只要考察它们的差就可以了. （二）新课讲解： 1.比较两实数大小的方法——求差比较法： 比较两个实数a 与b 的大小，归结为判断它们的差a b -的符号；比较两个代数式的大 小，实际上是比较它们的值的大小，而这又归结为判断它们的差的符号. 例题分析： 例1．比较(3)(5)a a +-与(2)(4)a a +-的大小. 分析：此题属于两代数式比较大小，实际上是比较它们的值的大小，可以作差，然后展开， 合并同类项之后，判断差值正负，并根据实数运算的符号法则来得出两个代数式的大小． 解：)4)(2()5)(3(-+--+a a a a 22 (215)(28)70a a a a =-----=-< ∴(3)(5)(2)(4)a a a a +-<+-． 2.不等式的性质 ⑴(对称性或反身性)a b b a >⇔<; ⑵(传递性)a b b c a c >>⇒>，; ⑶(可加性)a b a c b c >+>+⇒,此法则又称为移项法则; (同向可相加)a b c d a c b d ⇒>>+>+， ⑷(可乘性)0a b c ac bc ⇒>>>，； 0a b c ac bc ⇒><<，. (正数同向可相乘)00a b c d ac bd ⇒>>>>>， ⑸(乘方法则)00n n a b n N a b >>∈⇔>>（ ） ⑹(开方法则 )0,20a b n N n >>∈⇔>>（≥） A B b a ∙ ∙ 图6—1