不等式及其性质（基础）知识讲解
【学习目标】
1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系.
2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用.
【要点梳理】
要点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
要点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b
c c >)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b
c c <)．
要点诠释：
对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】
类型一、不等式的概念
1．用不等式表示：
(1)x 与-3的和是负数；
(2)x 与5的和的28％不大于-6;
(3)m 除以4的商加上3至多为5．
【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．
【答案与解析】
解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34m +≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x≥0；若x 是非正数，则x≤0；若x 大于y ，则有x-y ＞0；若x 小于y ，则有x-y ＜0等．
举一反三：
【变式】a a +的值一定是（ ）．
A.大于零
B.小于零
C.不大于零
D. 不小于零
【答案】D.
2.下列叙述：①a 是非负数则a≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为1x
＞10；④“a ，b 两数的平方和为正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.
A.1个
B.2个
C.3个
D. 4个
【答案与解析】
①非负数是大于等于零的实数，即a≥0．故①正确；
②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10≤2；故②错误；
③“x 的倒数超过10”就是“③“x 的倒数大于10”，可表示为1x
＞10．故③正确； ④“a ，b 两数的平方和为正数”，即“；④“a ，b 两数的平方和大于零”，可表示为a 2+b 2＞0．故④正确．
综上所述，正确的说法有3个．故选C ．
【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠． 类型二、不等式的基本性质
3.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；
（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；
（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；
（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；
（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．
（6）若a ＞b ＞0，则＜． ．
【答案与解析】
解：（1）若由b﹣3a＜0，移项即可得到b＜3a，故正确；
（2）如果﹣5x＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；
（3）若a＞b，当c=0时则ac2＞bc2错误，故错误；
（4）由ac2＞bc2得c2＞0，故正确；
（5）若a＞b，根据c2+1，则a（c2+1）＞b（c2+1）正确．
（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．
故答案为：√、×、×、√、√、√．
【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．
4.（2020•青浦区一模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）
A．a2＜b2B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b
【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．
【答案】D.
【解析】
解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；
B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；
C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；
D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确.
【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．
举一反三：
【变式】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞3
m
”，则m的取值范围是．
【答案】m＜0.
解：∵将“mx＜3”变形为“x＞3
m ”，
∴m的取值范围是m＜0．故答案为：m＜0．
苏教版七年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 不等式及其性质（基础）知识讲解 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系. 2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 要点二、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点诠释： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言，x ＜a 或x ≤a 向左画． 注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【一元一次不等式370042 不等式的基本性质】 要点三、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc (或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc (或 a b c c <)． 要点诠释： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【典型例题】 类型一、不等式的概念 1．用不等式表示： (1)x 与-3的和是负数； (2)x 与5的和的28％不大于-6； (3)m 除以4的商加上3至多为5． 【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式． 【答案与解析】 解：(1)x -3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34 m +≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，
不等式及其性质（基础）知识讲解 责编：杜少波 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系. 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 【一元一次不等式的基本性质】 要点二、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不
变． 用式子表示：如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或 a b c c <)． 要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【典型例题】 类型一、不等式的概念 1．用不等式表示： (1)x 与-3的和是负数； (2)x 与5的和的28％不大于-6; (3)m 除以4的商加上3至多为5． 【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式． 【答案与解析】 解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34 m +≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x-y ＞0；若x 小于y ，则有x-y ＜0等． 举一反三： 【变式】a a +的值一定是（ ）．
第1讲、不等关系、不等式的基本性质(A) 姓名：____________ 一、新知讲解 1.不等式的定义：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子叫做不等式。 不等号常见的有5种：“＜”、“≤”、“＞”、“≥”及“≠”。 注意：“≠”也是不等号，它说明两个量之间的关系是不等的，但它不能确定哪个大，哪个小。“≤”表示“小于或等于”或“不大于”，“≥”表示“大于或等于”或“不小于”。 基本题型一：利用文字叙述合理构建不等式 例1 ：用不等式表示。 （1）23 x 的与5的差小于1 （2）x 与6的和大于9 （3）8 与y 的2倍的和是正数 （4）a 的3倍与7的差是负数 （5）45x 的与1的和小于-2 （6）x 与8的差的 2 3 不大于0 即学即练： 1、x 与4的和的2倍不大于x 的二分之一与3的差，用不等式表示为（ ） A 、12(4)32x x +< - B 、1423 2x x +?≤- C 、12(4)32x x +≤- D 、1 2(4)(3)2x x +≤- 2、用不等式表示： （1）5与x 的3倍的差是正数； （2）a 与b 的平方和不大于3； （3）a 与b 的和的平方不等于a 与b 的平方和； 2．不等式基本性质： （1）基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变； （用字母表示：若b a >，则c b c a ±>±；若b a <，则c b c a ±<±） （2）基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （用字母表示：若0,>>c b a ，则bc ac >，或 c b c a >；若0,>
不等式的基本性质、解不等式 【考纲要求】 1、不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2、一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 【基础知识】 一、不等式的概念及基本性质 1、实数运算性质与大小顺序关系 (1)a －b ＞0?a ＞b ；(2)a －b ＝0?a ＝b ；(3)a －b ＜0?a ＜b . 2、不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ?b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c ； (3)可加性：a ＞b ?a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ＞bd ； (5)可乘方性：a ＞b ＞0?a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方性：a ＞b ＞0?n a ＞n b (n ∈N ，n ≥2)． (7)叠加性：a ＞b ，c ＞d ?a+c ＞b+d （不等式同向可加） (8)叠乘性：a ＞b ≥0，c ＞d ≥0?ac ＞bd （不等式同向为正可乘） 注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。如果遇到减法和除法，可以转化乘加法和乘法。 如：求a －b 的范围可以转化成求a+(－b )的范围，求a b 的范围可以转化成求a ×1b 的范围。 ②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。 3、实数大小的比较 实数大小的比较一般用差比和商比。 (1)如果不知道实数是正数或负数，一般用差比，一般步骤是作差→变形（通分、因式分解、合并 同类项等）→与0比较→下结论。 (2)如果是正数，一般用商比，一般步骤是作商→变形（通分、因式分解、合并同类项等）→与1 比较→下结论。 4、?和?的含义 “P ?Q ”表示命题P 成立，命题Q 一定成立。 “P ?Q ”表示命题P 成立，命题Q 一定成立；命题Q 成立，命题P 一定成立。 二、一元一次不等式和一元二次不等式 1、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式。 当a ＞0时，不等式的解集为{x|x ＞b a }；当a ＜0时，不等式的解集为{x|x ＜b a }. 2、一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)的解法 解一元二次不等式最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想。 (1)二次不等式f (x )=ax 2＋bx ＋c ≥0(a ＞0)的解法 当Δ＝b 2－4ac ＞0时，不等式的解集是{x |x ＞x 大或x ＜x 小}，简记为大于两边分，大于大根，小于小根。 当Δ＝b 2－4ac = 0时，不等式的解集是R.
不等式及其性质（基础）知识讲解 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系. 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2) (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 要点二、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b c c <)． 要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】 类型一、不等式的概念
不等式及其性质 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系. 2. 理解不等式的基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号读法意义 “≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小 “＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大 “≤”读作“小于等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥”读作“大于等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 要点二、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b c c <)． 不等式的基本性质4：如果a＞b，那么b＜a. 不等式的基本性质5：如果a＞b，b＞c，那么a＞c. 要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．
七年级下册不等式及其基本性质讲义 --------------------------------------------------------------------------作者: _____________
环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念： 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。 注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x- 7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。 提示：注意一个数的"和"，"差"，"倍"，"分"的表示法以及"大于"，"不小于"，"不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0，负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞
例3.对于不等式x+2＜6，字母x表示未知数，当x取某一个数值a（例如3）时，x+2的值小于6，我们就说当x=a时，不等式x+2＜6成立，当x取某一个数值b（例如5）时，x+2的值不小于6，我们就说当x=b时，不等式x+2＜6不成立，说明当x取下列数值时，不等式2x+1＜5是否成立？ -1，0，3，-2.5，+4，-4，4.5 提示：把下列各值分别代入不等式的左边计算2x+1的值，若小于5则不等式成立；若不小于5则不等式不成立。 参考答案：当x=-1,0,-2.5,-4时，不等式2x+1＜5成立。 说明：因为当x=1，0，-2.5,-4时，不等式2x+1＜5成立，当x=2,+4,4.5时，不等式 2x+1＜5不成立，所以同方程类似，我们可以说-1，0，-2.5-4是不等式2x+1＜5的解，而2，+4，4.5不是不等式2x+1＜5的解。 例4.指出下面变形是根据不等式的哪一条基本性质。 （1）由2a＞5，得a＞（2）由a-7＞，得a＞7 （3）由- a＞0，得a＜0 （4）由3a＞2a-1,得a＞-1。 例5.设a＞b；用"＞"或"＜"号填空： （1）（2）a-5 b- 5 （3）- a - b （4）6a 6b （5）-（6）- a -b 参考答案：（1）＞（2）＞（3）＜（4）＞（5）＜（6）＜ 例5.试比较下列两个代数式值的大小： （1）5a+2与4a+2 （2）x3+3x2-7与x3+2x2-7 提示：我们知道，若a-b＞0,则a＞b；若a-b=0,则a=b；若a-b＜0,则a＜b,所以要比较a与b 的大小，可以先求出a与b的差，再看这个差是正数、负数还是零。 参考答案：（1）(5a+2)-(4a+2)=5a+2-4a-2=a
不等式的基本概念与性质 在数学中，不等式是表示两个数或者两个代数式之间大小关系的数学表达式。不等式通过使用不等于号（≠）、小于号（<）、小于等于号（≤）、大于号（>）和大于等于号（≥）等符号，来描述数值的相对大小关系。不等式的概念和性质在数学中起到了重要的作用，对于解决实际问题和进行数学推理都具有重要意义。 一、不等式的基本概念 1. 不等式的定义 不等式是一个数学表达式，通过使用不等于号、小于号、小于等于号、大于号和大于等于号等符号来比较两个数或者两个代数式的大小关系。 2. 不等式的符号及其含义 （1）≠：不相等。表示两个数或两个代数式不相等。 （2）<：小于。表示第一个数或者代数式小于第二个数或代数式。 （3）≤：小于等于。表示第一个数或代数式小于等于第二个数或代数式。 （4）>：大于。表示第一个数或代数式大于第二个数或代数式。 （5）≥：大于等于。表示第一个数或代数式大于等于第二个数或代数式。
3. 不等式的解集 不等式的解集是使得不等式成立的数的集合。解集可以是无穷集合、有限集合或为空集。 二、不等式的性质 1. 不等式的传递性 如果a＜b，b＜c，那么a＜c。即如果两个数的大小关系成立，并且第二个数与第三个数的大小关系也成立，那么第一个数与第三个数之 间的大小关系也成立。 2. 不等式的加减性 如果a＜b，那么a±c＜b±c。即不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向保持不变。 3. 不等式的乘除性 （1）如果a＜b，且c＞0，那么ac＜bc。 即不等式两边同时乘以一个正数，不等式的方向保持不变。 （2）如果a＜b，且c＜0，那么ac＞bc。 即不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向发生改变。 4. 不等式的倒置性 如果a＜b，那么-b＜-a。
环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念： 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。 注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。 提示：注意一个数的"和"，"差"，"倍"，"分"的表示法以及"大于"，"不小于"，"不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0，负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数"可表示为"＜0"，"非负数"可表示为"≥0"。 参考答案： （1）a＞0 (2)y-2≥0 (3)a+6＞7 (4) ≥3 (5)8+3x≤1 注意：列不等式时应注意两点：
①"是正数"表示为＞0"，"是负数"表示为＜0"；"非正数"表示为"≥0"。 ②"不大于"用"≤"表示，"不小于"用"≥"表示。 2．不等式的基本性质 （1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，那a+c>b+c （或a –c>b –c ） （2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ， c b c a >。 （3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么ac 不等式及其性质 基础知识 1．不等关系与不等式 (1)不等式中自然语言与符号语言之间的转换. __不等号__ 思考1：不等式“a≤b”的含义是什么？只有当“a 思考3：利用不等式性质应注意哪些问题？ 基础自测 1．已知－1 高中数学知识点：不等式的基本性质高中数学知识点：不等式的基本性质 不等式的基本性质 1.不等式的定义：a-b>0a>b,a-b=0a=b,a-b<0a ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质： ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1)a>bb (2)a>b,b>ca>c(传递性) (3)a>ba+c>b+c(c∈R) (4)c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac 运算性质有： (1)a>b,c>da+c>b+d。 (2)a>b>0,c>d>0ac>bd。 (3)a>b>0an>bn(n∈N,n>1)。 (4)a>b>0>(n∈N,n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行 一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的`等价变换。因此， 要正确理解和应用不等式性质。 (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能 否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的 大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分 或必要关系。 小学卷子数学打包 小学卷子数学打包 一、我会填(每题1分，共21分) 1.在括号里填上合适的数% 2.5600立方分米=()立方米7.12升=()毫升 3.李明有ɑ张邮票，张华的邮票张数是李明的，李明和张华共有()张邮票. 4.把一个棱长为2分米的正方形切成两个体积相等的长方形，其中一个长方形的表面积是()平方分米。 5.松树的棵数比柳树少，松树的棵数是柳树的()。 6.25克盐放入100克水中，那么盐水的含盐率是()。 7.某班男生有27人，女生有23人，男生人数占全班人数的()%，女生人数占全班人数的()%。 8.一辆汽车每小时行驶45千米，这辆汽车小时行驶()千米。 9.吨的是()吨;小时的是()小时。 10.已知a=b=c，其中a、b、c是不为零的自然数，若按从大到 小的顺序将a、b、c排列起来应是()()()。 11.五(2)班有50人，今天有2人请假，该班今天的出勤率是() 得分阅卷人 12.一个正方体的棱长之和是48厘米，它的表面积是()平方厘米;它的体积是()。 二、我会判断。(正确的在括号里打，错误的打每小题1分，共 5分) 高中数学不等式的基本性质知识点归纳高中数学不等式的基本性质知识点归纳 1.不等式的定义：a-b>0a>b,a-b=0a=b,a-b<0a ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的`知识背景，来认识作 差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质： ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1)a>bb (2)a>b,b>ca>c(传递性) (3)a>ba+c>b+c(c∈R) (4)c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac 运算性质有： (1)a>b,c>da+c>b+d。 (2)a>b>0,c>d>0ac>bd。 (3)a>b>0an>bn(n∈N,n>1)。 (4)a>b>0>(n∈N,n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行 一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此， 要正确理解和应用不等式性质。 (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能 否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的 大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分 或必要关系。 初级统计师《统计法规》知识点：统计法的基本 原则 2017初级统计师《统计法规》知识点：统计法的基本原则 1保障统计工作统一性原则? 包括以下几方面? 统计管理体制应当是集中统一的?国家建立集中统一的统计系统，实行统一领导、分级负责的统计管理体制。 统计制度和统计标准应当是统一的 统计资料应当依法统一管理和公布 2保障统计工作的独立性原则: 包括以下两方面: 一是统计机构依法独立行使职权,不受任何机关、社会团体和个 人非法干涉?统计机构和统计人员依照统计法规定独立行使统计调查、统计报告、统计监督的职权，不受侵犯。《统计法》第六条第二款 明确规定了领导干部的“三个不得”，即地方各级政府、政府统计 机构和有关部门以及各单位的负责人，不得自行修改统计机构和统 计人员依法搜集、整理的统计资料，不得以任何方式要求统计机构、统计人员及其他机构、人员伪造、篡改统计资料，不得对依法履行 职责或者拒绝、抵制统计违法行为的统计人员打击报复。 二是县级以上政府统计机构独立单设 3统计机构依法履行职责原则 包括以下几方面: 一是统计机构的职责是法定的。 不等式的基础知识讲解 不等式是数学中非常重要的一个概念，它可以用来描述两个数之间的大小关系。在实际生活和学习中，不等式经常会被用到，例如求解方程、证明定理、最优化等。本文将介绍不等式的基础知识，包括不等式的定义、不等式的性质、不等式的解法以及不等式在实际中的应用等。 一、不等式的定义及常见符号 不等式是一个数学语句，用来描述两个数之间的大小关系。通常用符号“<、>、≤、≥、=”来表示不等式，其中“<”表示小于，“>”表示大于，“≤”表示小于或等于，“≥”表示大于或等于，“=”表示相等。 对于一个不等式： a < b a和b都是实数。其中，a称为不等式的左边，b称为不等式的右边。符号“<”表示a小于b，读作“a小于b”。 二、不等式的性质 和等式类似，不等式也有一些基本性质。 1. 反对称性 如果a≥b，且b≥a，那么a=b。这个性质叫做反对称性。 2. 传递性 如果a≤b，且b≤c，那么a≤c。这个性质叫做传递性。 3. 加法性 如果a≤b，那么a+c≤b+c。如果a≥b，那么a+c≥b+c。这个性质叫做加法性。 4. 减法性 如果a≤b，那么a-c≤b-c。如果a≥b，那么a-c≥b-c。这个性质叫做减法性。 5. 乘法性 如果c>0，那么乘以c不改变大小关系。如果c<0，那么乘以c 会改变大小关系。这个性质叫做乘法性。 6. 等价性 如果两个不等式左右两边分别相等，那么它们是等价的，可以互相替换。 三、不等式的解法 不等式的解法有两种常见方法：代数法和图形法。 1. 代数法 代数法就是利用数学基本运算法则将不等式的未知数从不等式中解出来，从而确定其范围。 以不等式x-3>2为例： 首先利用加法法则将式子变形，得到x-3+3>2+3，即x>5。 因此，x的范围是大于5的所有实数，即x∈(5,+∞)。 2. 图形法 图形法就是将不等式用图形的方式表示出来，进而确定合法的范围。 以不等式x-3>2为例： 首先将不等式化为等式x-3=2，即x=5。 高中数学知识点：不等式的基本性质 高中数学知识点：不等式的基本性质 在日复一日的学习中，大家对知识点应该都不陌生吧？知识点就是一些常考的内容，或者考试经常出题的地方。哪些知识点能够真正帮助到我们呢？以下是店铺精心整理的高中数学知识点：不等式的基本性质，欢迎阅读与收藏。 高中数学知识点：不等式的基本性质篇1 不等式的基本性质 1.不等式的定义：a-b>0a>b,a-b=0a=b,a-b<0a ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质： ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1)a>bb (2)a>b,b>ca>c(传递性) (3)a>ba+c>b+c(c∈R) (4)c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac 运算性质有： (1)a>b,c>da+c>b+d。 (2)a>b>0,c>d>0ac>bd。 (3)a>b>0an>bn(n∈N,n>1)。 (4)a>b>0>(n∈N,n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“” 即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ②关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 高中数学知识点：不等式的基本性质篇2 1、在学习本节时，要与一元一次方程结合起来，用比较、类比的方法去学习，弄清其区别与联系。 2、为加深对不等式解集的理解，应将不等式的解集在数轴上直观地表示出来，它可以形象认识不等式解集的几何意义和它的无限性。在数轴上表示不等式的解集是数形结合的具体体现。 3、熟练掌握不等式的基本性质，特别是性质3.不等式的性质是正确解不等式的基础 本节课较好的方面： 1、本节课能结合学生的实际情况明确学习目标，注意分层教学的开展; 2、课程内容前后呼应，前面练习能够为后面的例题作准备 3、能安排有小测等对学生学习的知识进行检查; 不足方面： 1、引入部分练习所用时间太长，讲评一元一次不等式的概念太细致，导致了后段时间紧，部分内容不能完成 2、课容量少，害怕学生听不懂、学不会，所以上课时喜欢给学生反复讲，结果课堂上大部分时间由我占据，而留给学生自己独立思考，讨论的时间较少。我深感，只有当学生真正获得了课堂上属于自己学习的主权时，他们个性的形成与个体的发展才有了可能。本课在现场 初中数学学科知识：2.1不等式及其根 本性质 第二章不等式 核心考点提示 1.掌握不等式的根本性质，以及不等式证明的根本方法，熟记常见的重要不等式。 2.掌握求解常见不等式方程(分式不等式、绝对值不等式、一元二次不等式、指数不等式、对数不等式等)的根本方法。 3.了解不等式的根本应用以及简单的线性规划问题的根本方法。 第一节不等式及其根本性质 一、不等式的概念★ 用不等号“>〞“<〞“≥〞“≤〞或“≠〞连接两个代数式表示不等关系的式子叫不等式。不等式分为严格不等式和非严格不等式。 二、不等式的根本性质★ 1.如果x>y，那么yy;(对称性) 2.如果x>y，y>z;那么x>z;(传递性) 3.如果x>y，而z为任意实数或整式，那么x+z>y+z;(加法法那么) 4.如果x>y，z>0，那么xz>yz;如果x>y，z<0，那么xz 不等式及其基本性质 【课时安排】 2课时 【第一课时】 【教学目标】 1．通过实际问题中的数量关系的分析，体会到现实世界中有各种各样的数量关系的存在，不等关系是其中的一种。 2．了解不等式及其概念；会用不等式表示数量之间的不等关系。 【教学重难点】 重点：了解不等式的意义，用不等式表示具体问题中的数量关系。 难点：正确分析数量关系，列出表示数量关系的不等式。 【教学过程】 （一）导入新课 在古代，我们的祖先就懂得了翘翘板的工作原理，并且根据这一原理设计出了一些简单机械，并把它们用到了生活实践当中。由此可见，“不相等”处处可见。 从今天起，我们开始学习一类新的数学知识：不等式。 （二）新课讲解 1．提纲： （1）认真看书的内容。 （2）举出生活中一个不等量关系的例子。 （3）注意表示不等关系的词语如“不大于”、“不高于”等等。 2．合作学习： 问题1：用适当的符号表示下列关系： （1）2x与3的和不大于6； （2）x的5倍与1的差小于x的3倍； （3）a与b的差是正数。 问题2：雷电的温度大约是28000℃，比太阳表面温度的4.5倍还要高。设太阳表面温度 为t ℃，那么t 应满足这样的关系式？ 问题3：一种药品每片为0.25g ，说明书上写着“每日用量0.75~2.25g ，分3次服用”。设某人一次服用x 片，那么x 应满足怎样的关系式？ 根据题意，我们可以得到下列式子： 2x+3≤6 5x -1<3x a-b>0 4.5t<28000 0.75≤3×0.25x ≤2.25 像上面那些式子，用不等号（>、≥、<、≤或≠）表示不等关系的式子，就叫做不等式。 注：不大于，即小于或等于，用“≤”表示； 不小于，即大于或等于，用“≥”表示。 （三）课堂检测 1．用不等式表示下列关系 （1）亮亮的年龄（记为x ）不到14岁。_____________ （2）七年级（1）班的男生数（记为y ）不超过30人。_____________ （3）某饮料中果汁的含量（记为x ）不低于20%。_____________ 2．甲市某天最低气温为-1℃，最高气温为5℃，设该市这天某一时刻的气温为t ℃，求t 应满足的数量关系。 3．某段长为30km 的公路AB ，对行驶汽车限速为（不超过）60km/h ，一辆汽车从A 到B 的行驶时间为th ，求t 满足的数量关系。 （四）总结归纳 不等式的定义：用不等号（>、≥、<、≤或≠）表示不等关系的式子，就叫做不等式。 【作业布置】 1．用代数式表示：比x 的5倍大1的数不小于x 的21 与4的差_____________。 2．某种植物生长的适宜温度不能低于18℃。也不能高于22℃。如果该植物生长的适宜温度为x ℃。则有不等式_____________。 3．用不等式表示： （1）a 是非负数。 （2）a 的2倍与7的和小于-2。 （3）a 的20%与a 的和不大于a 的2倍减去1的差。 （4）x 的31 与1的和大于0。 不等式及其基本性质 不等式及其基本性质 教学内容分析 本节内容主要有：不等式的概念、不等式的基本性质。教材首先以实际问题为例，结合问题中的不等关系，引出不等式的概念；然后类比等式的基本性质，对不等式的基本性质进行了讨论，得出不等式的五条基本性质，并运用他们解简单的不等式。解不等式就是求出对其中未知数的大小的限制，有了这样的目标，再加上对不等式性质的认识，解不等式的方法就能很自然地产生。教学中可以类比方程、等式的性质来讨论不等式及其性质。 教学环境分析 利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律．根据如今我校实际教学环境及本节课的实际教学需要，我选择一体机多媒体教学系统辅助教学，另外借助一定的教学软件，如“几何画板”，“Powerpoint”等将有关教学内容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握。 课时分配 1课时 教学目标 教学重点：掌握不等式的五条基本性质。 教学难点：正确应用不等式的五条基本性质进行不等式变形。 教学方法 采用启发诱导、实例探究、讲练结合的教学方法，揭示知识的发生和形成过程。这种教学方法以“生动探索”为基础，先“引导发现”，后“讲评点拨”，让学生在克服困难与障碍的过程中充分发挥自己的观察力和想象力。 教学过程 一、创设情境，凸显问题 （设计说明：通过实例创设情境，从“等”过渡到“不等”，培养学生的观察能力，激发学生的学习兴趣。） 问题1：两个体重相同的孩子正在跷跷板上做游戏。现在换了一个小胖纸上去，跷跷板发生了倾斜，游戏无法继续进行下去了，这是什么原因呢？ 分析：原来的平衡状态被破坏了，产生了一种不等关系，所以游戏无法继续进行下去了。 问题2：一辆匀速行驶的汽车在11:20时距离A 地50千米。要在12:00以前驶过A 地，车速应该具备什么条件？ 分析：若设车速为每小时X 千米，从时间上看，以这个车速行驶50千米所用时间不到32小时，列式为 X 50<32；以这个车速行驶32小时的路程要超过50千米，列公式为32 X>50。 问题3：一种药品每片0.25克，说明书上写着：“每日用量不等式及其性质教学讲义(新版教材)
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