不等式及其性质（基础）知识讲解
知识梳理
要点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)五种不等号的读法及其意义：
(3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
要点二、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b
c c >)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b
c c <)．
要点诠释：
对不等式的基本性质的理解应注意以下几点：
(1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会．
(2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】
类型一、不等式的概念
1．用不等式表示：
(1)x与-3的和是负数；
(2)x与5的和的28％不大于-6;
(3)m除以4的商加上3至多为5．
【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示
不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式．
【答案与解析】
解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34
m +≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x-y ＞0；若x 小于y ，则有x-y ＜0等．
举一反三：
【变式】a a +的值一定是（ ）．
A.大于零
B.小于零
C.不大于零
D. 不小于零
【答案】D.
2.下列叙述：①a 是非负数则a ≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10
＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为
1x ＞10；④“a ，b 两数的平方和为正数”可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.
A.1个
B.2个
C.3个
D. 4个
【答案与解析】
①非负数是大于等于零的实数，即a ≥0．故①正确；
②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10≤2；故②错误；
③“x 的倒数超过10”就是“③“x 的倒数大于10”，可表示为1x
＞10．故③正确；
④“a ，b 两数的平方和为正数”，即“；④“a ，b 两数的平方和大于零”，可
表示为a 2+b 2＞0．故④正确．
综上所述，正确的说法有3个．故选C ．
【总结升华】考查了不等式的定义．一般地，用不等号表示不相等关系的式子叫做不等式．解答此类题关键是要识别常见不等号：＞、＜、≤、≥、≠． 类型二、不等式的基本性质
3.（2015春•天津期末）判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；
（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；
（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2
；
（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；
（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．
（6）若a ＞b ＞0，则＜． ．
【答案与解析】
解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确；
（2）如果﹣5x ＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；
（3）若a ＞b ，当c=0时则 ac 2＞bc 2错误，故错误；
（4）由ac 2＞bc 2得c 2＞0，故正确；
（5）若a ＞b ，根据c 2+1，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）正确．
（6）若a＞b＞0，如a=2，b=1，则＜正确．
故答案为：√、×、×、√、√、√．
【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．
4.如果a＞b，c＜0，那么下列不等式成立的是( ).
A．a+c＞b+c B．c-a＞c-b C．ac＞bc D．a b c c
【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．
【答案】A.
【解析】
A、在不等式的两边同时加上c不等号方向不变，故本选项正确；
B、在不等式的两边同时乘以-1，加上c后不等号方向改变，故本选项错误；
C、两边同时乘以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；
D、两边同时除以负数c，不等号方向改变，故本选项错误；
【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．
举一反三：
【变式】（2015春•秦淮区期末）根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞3
m
”，
则m的取值范围是．【答案】m＜0.
解：∵将“mx＜3”变形为“x＞3
m
”，
∴m的取值范围是m＜0．故答案为：m＜0．
苏教版七年级下册数学 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 不等式及其性质（基础）知识讲解 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系. 2. 知道不等式解集的概念并会在数轴上表示解集. 3. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 要点二、不等式的解及解集 1.不等式的解： 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 2.不等式的解集： 对于一个含有未知数的不等式，它的所有解组成这个不等式的解集．
3.不等式的解集的表示方法 （1）用最简的不等式表示:一般地，一个含有未知数的不等式有无数个解，其解集是一个范围，这个范围可用最简单的不等式来表示．如：不等式x-2≤6的解集为x ≤8． (2)用数轴表示:不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，形象地表明不等式的无限个解．如图所示： 要点诠释： 借助数轴可以将不等式的解集直观地表示出来，在应用数轴表示不等式的解集时，要注意两个“确定”：一是确定“边界点”，二是确定方向．(1)确定“边界点”：若边界点是不等式的解，则用实心圆点，若边界点不是不等式的解，则用空心圆圈；(2)确定“方向”：对边界点a 而言，x ＞a 或x ≥a 向右画；对边界点a 而言，x ＜a 或x ≤a 向左画． 注意：在表示a 的点上画空心圆圈，表示不包括这一点． 【一元一次不等式370042 不等式的基本性质】 要点三、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c ． 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc (或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc (或 a b c c <)． 要点诠释： 不等式的基本性质的掌握注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【典型例题】 类型一、不等式的概念 1．用不等式表示： (1)x 与-3的和是负数； (2)x 与5的和的28％不大于-6； (3)m 除以4的商加上3至多为5． 【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式． 【答案与解析】 解：(1)x -3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34 m +≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，
不等式的性质知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、不等式的基本性质 不等式的性质是证明和解不等式的主要依据.运用时，对每一条性质要弄清条件和结论，注意条件加强和放宽厚条件和结论之间的变化；不仅要记住不等式运算法则的结论形式，还要掌握法则成立的条件，避免由于忽略某些限制条件而造成解题失误. 1. 两个不等式的同向合成，一律为“”（充分不必要条件） （1）（传递性，注意找中间量） （2）（同向可加性） （3）（同正可乘性，注意条件为正） 注：如，其逆命题不成立，如但是. 2. 一个不等式的等价变形，一律为“”（充要条件），这是不等式解法的理论依据 （1）. （2）（对称性） （3）（乘正保号性） （4） （5）（不等量加等量） （6）（乘方保号性，注意条件为正） （7）（开方保号性，注意条件为正） （8）（同号可倒性）；. 最为重要的3条不等式性质为：①；②； ③，在不等式问题中都有重要的应用，但应注意他们的适用条件，可以用口诀“同． 向同正可乘 ．．．．．．．”来记忆. ．．．．．；同号取倒需反向 题型归纳及思路提示 题型1 不等式的性质 思路提示 应用不等式的基本性质，不能忽视其性质成立的条件，解题时要做到言必有据，特别提醒的是在解决有关不等式的判断题时，有时可用特殊值验证法，以提高解题的效率. 例7.1 对于实数，有以下命题：①若，则；②若，则；③若则；④若，则；⑤若，则. 其中真命题的个数是（） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 分析：判断命题的真假，要紧扣不等式的性质，应注意条件与结论之间的联系. 解析：①中值的正负或是否为零未知，因而判断不等关系缺乏依据，故该命题是假命题；②中，由 可知，则，故该命题是真命题；③中，不等式两边同乘，可得，若 同乘，可得，易知成立，故该命题为真命题；④中，由可知，
不等式及其性质（基础）知识讲解 责编：杜少波 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系. 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 【一元一次不等式的基本性质】 要点二、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不
变． 用式子表示：如果a ＞b ，那么a ±c ＞b ±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或 a b c c <)． 要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变． 【典型例题】 类型一、不等式的概念 1．用不等式表示： (1)x 与-3的和是负数； (2)x 与5的和的28％不大于-6; (3)m 除以4的商加上3至多为5． 【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示不等关系的关键性词语，进而根据这些关键词的内涵列出不等式． 【答案与解析】 解：(1)x-3＜0；(2)28％(x+5)≤-6；(3)34 m +≤5． 【总结升华】在不等式及其应用的题目中，经常会出现一些表示不等关系的词语．正确理解这些关键词很重要．如：若x 是非负数，则x ≥0；若x 是非正数，则x ≤0；若x 大于y ，则有x-y ＞0；若x 小于y ，则有x-y ＜0等． 举一反三： 【变式】a a +的值一定是（ ）．
第二节不等式的基本性质 要点精讲 1、实数的运算性质与大小顺序之间的关系 不等式的等价性：两个实数a、b比较大小，有大于、等于、小于之别，且有 （1）a＞b a－b＞0； （2）a=b a－b=0； （3）a＜b a－b＜0． 等价符号左边不等式反映的是实数的大小顺序，右边不等式反映的则是实数的运算性质，合起来就成为实数的运算性质与大小顺序之间的关系，它是不等式这一章的理论基础，是不等式性质的证明，证明不等式以及解不等式的主要依据. 本周学习的另一重点是用作差法比较两实数的大小. 用作差法比较两实数的大小，其步骤为①作差；②变形；③判断差的正负．在解题中应加强化归意识，把比较大小与实数减法运算联系起来，利用实数的运算性质解决比较大小的问题. 2、不等式的性质、推论 （1）a＞b b＜a；（反身性） （2）a＞b，b＞c a＞c；（传递性） （3）a＞b a＋c＞b＋c；（两边同加数号不变） （4）；（两边同乘正数号不变） （5）；（两边同乘负数号改变） （6）；（同向相加） （7）；（异向相减） （8）；（同向相乘） （9）；（异向相除） （10）a＞b（倒数关系） （11）a＞b＞0an＞bn（n∈N*）；（不等式的幂）
（12）a＞b＞0（n∈N*）；（不等式的方根） 典型例题 【例1】列出下列不等式 (1)x的立方的3倍是非负数． 【答案】(1)3x3≥0 【解析】非负数指的是正数或零，也就是大于或等于零的数，不大于就是小于或等于，用符号表示即“≤”．这两个概念清楚了，问题便迎刃而解了．顺便说明：不小于就是大于或等于，符号表示即为“≥”． 【例2】根据不等式的基本性质，把下列不等式化成x＞a或x＜a的形式： (1)x－3＜8(2)3x＜2x＋4 【答案】(1)根据不等式基本性质1，不等式的两边都加上3，不等号的方向不变，所以x－3＋3＜8＋3 x＜11； (2)根据不等式基本性质1，不等式的两边都减去2x，不等号的方向不变，所以 3x－2x＜2x＋4－2x x＜4； (3)根据不等式基本性质3，不等式的两边都除以－8，不等号的方向改变，所以 (4)根据不等式基本性质2，不等式的两边都乘以2，不等号的方向不变，所以 x＜－6． 【解析】一定要注意不等式基本性质3的运用，不等式的两边都除以(或乘以)同一个负数，不等号的方向改变．
第1讲、不等关系、不等式的基本性质(A) 姓名：____________ 一、新知讲解 1.不等式的定义：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子叫做不等式。 不等号常见的有5种：“＜”、“≤”、“＞”、“≥”及“≠”。 注意：“≠”也是不等号，它说明两个量之间的关系是不等的，但它不能确定哪个大，哪个小。“≤”表示“小于或等于”或“不大于”，“≥”表示“大于或等于”或“不小于”。 基本题型一：利用文字叙述合理构建不等式 例1 ：用不等式表示。 （1）23 x 的与5的差小于1 （2）x 与6的和大于9 （3）8 与y 的2倍的和是正数 （4）a 的3倍与7的差是负数 （5）45x 的与1的和小于-2 （6）x 与8的差的 2 3 不大于0 即学即练： 1、x 与4的和的2倍不大于x 的二分之一与3的差，用不等式表示为（ ） A 、12(4)32x x +< - B 、1423 2x x +?≤- C 、12(4)32x x +≤- D 、1 2(4)(3)2x x +≤- 2、用不等式表示： （1）5与x 的3倍的差是正数； （2）a 与b 的平方和不大于3； （3）a 与b 的和的平方不等于a 与b 的平方和； 2．不等式基本性质： （1）基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变； （用字母表示：若b a >，则c b c a ±>±；若b a <，则c b c a ±<±） （2）基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； （用字母表示：若0,>>c b a ，则bc ac >，或 c b c a >；若0,>
不等式的基本性质、解不等式 【考纲要求】 1、不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2、一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 【基础知识】 一、不等式的概念及基本性质 1、实数运算性质与大小顺序关系 (1)a －b ＞0?a ＞b ；(2)a －b ＝0?a ＝b ；(3)a －b ＜0?a ＜b . 2、不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ?b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c ； (3)可加性：a ＞b ?a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ＞bd ； (5)可乘方性：a ＞b ＞0?a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方性：a ＞b ＞0?n a ＞n b (n ∈N ，n ≥2)． (7)叠加性：a ＞b ，c ＞d ?a+c ＞b+d （不等式同向可加） (8)叠乘性：a ＞b ≥0，c ＞d ≥0?ac ＞bd （不等式同向为正可乘） 注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。如果遇到减法和除法，可以转化乘加法和乘法。 如：求a －b 的范围可以转化成求a+(－b )的范围，求a b 的范围可以转化成求a ×1b 的范围。 ②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。 3、实数大小的比较 实数大小的比较一般用差比和商比。 (1)如果不知道实数是正数或负数，一般用差比，一般步骤是作差→变形（通分、因式分解、合并 同类项等）→与0比较→下结论。 (2)如果是正数，一般用商比，一般步骤是作商→变形（通分、因式分解、合并同类项等）→与1 比较→下结论。 4、?和?的含义 “P ?Q ”表示命题P 成立，命题Q 一定成立。 “P ?Q ”表示命题P 成立，命题Q 一定成立；命题Q 成立，命题P 一定成立。 二、一元一次不等式和一元二次不等式 1、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式。 当a ＞0时，不等式的解集为{x|x ＞b a }；当a ＜0时，不等式的解集为{x|x ＜b a }. 2、一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)的解法 解一元二次不等式最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想。 (1)二次不等式f (x )=ax 2＋bx ＋c ≥0(a ＞0)的解法 当Δ＝b 2－4ac ＞0时，不等式的解集是{x |x ＞x 大或x ＜x 小}，简记为大于两边分，大于大根，小于小根。 当Δ＝b 2－4ac = 0时，不等式的解集是R.
基本不等式知识点 1、不等式的基本性质 ①（对称性）a b b a >?> ②（传递性）,a b b c a c >>?> ③（可加性）a b a c b c >?+>+ （同向可加性）d b c a d c b a +>+?>>, （异向可减性）d b c a d c b a ->-?<>, ④（可积性）bc ac c b a >?>>0, bc ac c b a 0, ⑤（同向正数可乘性）0,0a b c d ac bd >>>>?> （异向正数可除性）0,0a b a b c d c d >>< ⑥（平方法则） 0(,1)n n a b a b n N n >>?>∈>且 ⑦（开方法则）0,1)a b n N n >>∈>且 ⑧（倒数法则） b a b a b a b a 110;110>?<<> 2、几个重要不等式 ①()222a b ab a b R +≥∈，,（当且仅当a b =时取""=号）. 变形公式：22 .2a b ab +≤ ②（基本不等式） 2a b +≥()a b R +∈，,（当且仅当a b =时取到等号）. 变形公式： a b +≥ 2 .2a b ab +??≤ ??? 用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. ③（三个正数的算术—几何平均不等式） 3a b c ++≥()a b c R +∈、、（当且仅当a b c ==时取到等号）.
④()222a b c ab bc ca a b R ++≥++∈， （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑤ 3333(0,0,0)a b c abc a b c ++≥>>> （当且仅当a b c ==时取到等号）. ⑥0,2b a ab a b >+≥若则（当仅当a=b 时取等号） 0,2b a ab a b <+≤-若则（当仅当a=b 时取等号） ⑦b a n b n a m a m b a b <++<<++<1，（其中000)a b m n >>>>，， 规律：小于1同加则变大，大于1同加则变小. ⑧220;a x a x a x a x a >>?>?<->当时，或 22. x a x a a x a
不等式的性质及一元二次不等式 考纲解读 1.利用不等式的性质判断不等式成立或比较大小；2.根据二次函数求解给定的一元二次不等式；3.利用三个“二次”间的关系求参数或不等式恒成立问题． [基础梳理] 1．不等式的基本性质 (1)对称性：a >b ?b b ，b >c ?a >c . (3)可加性：a >b ?a ＋c >b ＋c . (4)可乘性：a >b ，c >0?ac >bc ；a >b ，c <0?ac [三基自测] 1．下列四个结论，正确的是( ) ①a >b ，c 初中数学不等式知识点总结 在初中数学学习中，不等式是比较常见的一种数学表达方式，它描述了数值之间的大小关系。掌握不等式的基本概念、性质以及解决不等式问题的方法，对于理解和运用数学知识具有重要意义。本文将对初中数学不等式知识点进行总结，并介绍解决不等式问题的一些常用方法。 一、不等式的基本概念和性质 1. 不等式的定义：不等式是通过不等号进行比较的数学表达式，例如"a>b"表示a大于b。 2. 不等式的性质： (1) 传递性：如果a>b，b>c，则a>c。 (2) 对称性：如果a>b，则b 2. 代数法：通过将不等式转化为等价的形式，进行常用运算来求解。主要的方 法有： (1) 加减法：将不等式两边同时加减一个数。 (2) 乘除法：将不等式两边同时乘除一个正数(或负数)。 (3) 移项法：通过移项将未知数的系数归整，将不等式转化为关于未知数的等价不等式。 三、一元二次不等式 一元二次不等式是由一个未知数的二次项、一次项和常数项构成的不等式。解 决一元二次不等式问题的常用方法有图像法、代数法和求根法。 1. 图像法：可以通过绘制一元二次函数的图像，确定不等式的解集。 2. 代数法：可以通过移项、配方法、求根等代数运算，将一元二次不等式转化 为关于未知数的等价不等式，从而求得解集合。 3. 求根法：将一元二次不等式化简为一个二次方程，并求出方程的根，再根据 根的位置和符号变化来确定不等式的解集。 四、一元有理不等式 一元有理不等式是由一个未知数的有理函数构成的不等式。解决一元有理不等 式问题的常用方法有图像法和代数法。 1. 图像法：可以通过绘制有理函数的图像，确定不等式的解集。 2. 代数法：通过将有理不等式转化为多项式不等式，并利用不等式的基本性质，来确定不等式的解集。 五、不等式组 不等式的基础知识讲解 不等式是数学中非常重要的一个概念，它可以用来描述两个数之间的大小关系。在实际生活和学习中，不等式经常会被用到，例如求解方程、证明定理、最优化等。本文将介绍不等式的基础知识，包括不等式的定义、不等式的性质、不等式的解法以及不等式在实际中的应用等。 一、不等式的定义及常见符号 不等式是一个数学语句，用来描述两个数之间的大小关系。通常用符号“<、>、≤、≥、=”来表示不等式，其中“<”表示小于，“>”表示大于，“≤”表示小于或等于，“≥”表示大于或等于，“=”表示相等。 对于一个不等式： a < b a和b都是实数。其中，a称为不等式的左边，b称为不等式的右边。符号“<”表示a小于b，读作“a小于b”。 二、不等式的性质 和等式类似，不等式也有一些基本性质。 1. 反对称性 如果a≥b，且b≥a，那么a=b。这个性质叫做反对称性。 2. 传递性 如果a≤b，且b≤c，那么a≤c。这个性质叫做传递性。 3. 加法性 如果a≤b，那么a+c≤b+c。如果a≥b，那么a+c≥b+c。这个性质叫做加法性。 4. 减法性 如果a≤b，那么a-c≤b-c。如果a≥b，那么a-c≥b-c。这个性质叫做减法性。 5. 乘法性 如果c>0，那么乘以c不改变大小关系。如果c<0，那么乘以c 会改变大小关系。这个性质叫做乘法性。 6. 等价性 如果两个不等式左右两边分别相等，那么它们是等价的，可以互相替换。 三、不等式的解法 不等式的解法有两种常见方法：代数法和图形法。 1. 代数法 代数法就是利用数学基本运算法则将不等式的未知数从不等式中解出来，从而确定其范围。 以不等式x-3>2为例： 首先利用加法法则将式子变形，得到x-3+3>2+3，即x>5。 因此，x的范围是大于5的所有实数，即x∈(5,+∞)。 2. 图形法 图形法就是将不等式用图形的方式表示出来，进而确定合法的范围。 以不等式x-3>2为例： 首先将不等式化为等式x-3=2，即x=5。 初一数学知识点：不等式的基本性质知识点 初一数学知识点：不等式的基本性质知识点 多阅读和积累,可以使学生增长知识，使学生在学习中做到举一反三。在此查字典数学网为您提供不等式的基本性质知识点，希望给您学习带来帮助，使您学习更上一层楼! 不等式与不等式组 1、知识概念 1.用符号“”“≤ ”“≥”表示大小关系的式子叫做不等式。 2.不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 3.不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。 4.一元一次不等式：不等式的左、右两边都是整式，只有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式，叫做一元一次不等式。 5.一元一次不等式组：一般地，关于同一未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成 6.了一个一元一次不等式组。 不等式的性质： 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变。 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个 正数，不等号的方向不变。 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 考点一、不等式的概念 1、不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 3、对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 4、求不等式的解集的过程，叫做解不等式。 5、用数轴表示不等式的方法。 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。 4、说明：①在一元一次不等式中，不像等式那样，等号是不变的，是随着加或乘的运算改变。②如果不等式乘以0，那么不等号改为等号所以在题目中，要求出乘以的数，那么就要看看题中是否出现一元一次不等式，如果出现了，那么 不等式的概念及性质知识点详解及练习 一、不等式的概念及列不等式 不等式⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧→→≤≥≠→→表示出不等关系列出代数式设未知数步骤列不等式””、“”、“”、“”、““不等号概念πφ 1、不等式的概念及其分类 （1）定义：用“＞”、“﹤”、“≠”、“≥”及“≤”等不等号把代数式连接起来，表示不等关系的式子。 a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a 不等式及其性质（基础）知识讲解 知识梳理 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 要点二、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b c c <)． 要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】 类型一、不等式的概念 1．用不等式表示： (1)x与-3的和是负数； (2)x与5的和的28％不大于-6; (3)m除以4的商加上3至多为5． 【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示 高中数学不等式的基本性质知识点归纳高中数学不等式的基本性质知识点归纳 1.不等式的定义：a-b>0a>b,a-b=0a=b,a-b<0a ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的`知识背景，来认识作 差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质： ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1)a>bb (2)a>b,b>ca>c(传递性) (3)a>ba+c>b+c(c∈R) (4)c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac 运算性质有： (1)a>b,c>da+c>b+d。 (2)a>b>0,c>d>0ac>bd。 (3)a>b>0an>bn(n∈N,n>1)。 (4)a>b>0>(n∈N,n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行 一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此， 要正确理解和应用不等式性质。 (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能 否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的 大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分 或必要关系。 初级统计师《统计法规》知识点：统计法的基本 原则 2017初级统计师《统计法规》知识点：统计法的基本原则 1保障统计工作统一性原则? 包括以下几方面? 统计管理体制应当是集中统一的?国家建立集中统一的统计系统，实行统一领导、分级负责的统计管理体制。 统计制度和统计标准应当是统一的 统计资料应当依法统一管理和公布 2保障统计工作的独立性原则: 包括以下两方面: 一是统计机构依法独立行使职权,不受任何机关、社会团体和个 人非法干涉?统计机构和统计人员依照统计法规定独立行使统计调查、统计报告、统计监督的职权，不受侵犯。《统计法》第六条第二款 明确规定了领导干部的“三个不得”，即地方各级政府、政府统计 机构和有关部门以及各单位的负责人，不得自行修改统计机构和统 计人员依法搜集、整理的统计资料，不得以任何方式要求统计机构、统计人员及其他机构、人员伪造、篡改统计资料，不得对依法履行 职责或者拒绝、抵制统计违法行为的统计人员打击报复。 二是县级以上政府统计机构独立单设 3统计机构依法履行职责原则 包括以下几方面: 一是统计机构的职责是法定的。 高中数学知识点：不等式的基本性质高中数学知识点：不等式的基本性质 不等式的基本性质 1.不等式的定义：a-b>0a>b,a-b=0a=b,a-b<0a ①其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 2.不等式的性质： ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1)a>bb (2)a>b,b>ca>c(传递性) (3)a>ba+c>b+c(c∈R) (4)c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac 运算性质有： (1)a>b,c>da+c>b+d。 (2)a>b>0,c>d>0ac>bd。 (3)a>b>0an>bn(n∈N,n>1)。 (4)a>b>0>(n∈N,n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行 一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的`等价变换。因此， 要正确理解和应用不等式性质。 (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能 否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的 大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分 或必要关系。 小学卷子数学打包 小学卷子数学打包 一、我会填(每题1分，共21分) 1.在括号里填上合适的数% 2.5600立方分米=()立方米7.12升=()毫升 3.李明有ɑ张邮票，张华的邮票张数是李明的，李明和张华共有()张邮票. 4.把一个棱长为2分米的正方形切成两个体积相等的长方形，其中一个长方形的表面积是()平方分米。 5.松树的棵数比柳树少，松树的棵数是柳树的()。 6.25克盐放入100克水中，那么盐水的含盐率是()。 7.某班男生有27人，女生有23人，男生人数占全班人数的()%，女生人数占全班人数的()%。 8.一辆汽车每小时行驶45千米，这辆汽车小时行驶()千米。 9.吨的是()吨;小时的是()小时。 10.已知a=b=c，其中a、b、c是不为零的自然数，若按从大到 小的顺序将a、b、c排列起来应是()()()。 11.五(2)班有50人，今天有2人请假，该班今天的出勤率是() 得分阅卷人 12.一个正方体的棱长之和是48厘米，它的表面积是()平方厘米;它的体积是()。 二、我会判断。(正确的在括号里打，错误的打每小题1分，共 5分) 环球雅思教育学科教师讲义年级：上课次数： 学员姓名：辅导科目：学科教师： 课题 课型□预习课□同步课复习课□习题课 授课日期及时段 教学内容 【基础知识网络总结与新课讲解】 知识点一、不等式的有关概念： 1.不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。 注意：常见的不等号有五种：“≠”、“>”、“<”、“≥”、“≤”． 例1.请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥2x-7=5x+4 例2.列出表示下列各数量关系的不等式：（1）a是正数；（2）y与2的差是非负数；（3）a与6的和大于7；（4）y的一半不小于3；（5）8与x的3倍的和不大于1。 提示：注意一个数的"和"，"差"，"倍"，"分"的表示法以及"大于"，"不小于"，"不大于"应该用哪一个不等号来表示，另外。正数都大于0，负数都小于0，所以"是正数"可表示为"＞0"，"是负数"可表示为"＜0"，"非负数"可表示为"≥0"。 参考答案： （1）a＞0 (2)y-2≥0 (3)a+6＞7 (4) ≥3 (5)8+3x≤1 注意：列不等式时应注意两点： ①"是正数"表示为＞0"，"是负数"表示为＜0"；"非正数"表示为"≥0"。 ②"不大于"用"≤"表示，"不小于"用"≥"表示。 2．不等式的基本性质 （1）不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，那a+c>b+c （或a –c>b –c ） （2）不等式的基本性质2：不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 用式子表示：如果a>b ，且c>0，那么ac>bc ， c b c a >。 （3）不等式的基本性质3：不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 用式子表示：如果a>b ，且c<0，那么ac 不等式及其性质 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都可以用来刻画现实世界中的数量关系. 2. 理解不等式的基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： 符号读法意义 “≠”读作“不等于”它说明两个量之间的关系是不相等的，但不能确定哪个大，哪个小 “＜”读作“小于”表示左边的量比右边的量小 “＞”读作“大于”表示左边的量比右边的量大 “≤”读作“小于等于”即“不大于”，表示左边的量不大于右边的量 “≥”读作“大于等于”即“不小于”，表示左边的量不小于右边的量 (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 要点二、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b c c <)． 不等式的基本性质4：如果a＞b，那么b＜a. 不等式的基本性质5：如果a＞b，b＞c，那么a＞c. 要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．初中数学不等式知识点总结
不等式的基础知识讲解
初一数学知识点：不等式的基本性质知识点
不等式概念及性质知识点详解与练习
不等式及其性质(基础)知识讲解
高中数学不等式的基本性质知识点归纳
高中数学知识点：不等式的基本性质
七年级下册不等式及其基本性质讲义
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