一、不等式及其性质
【学习目标】
1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系；
2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用；
3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质；
【要点梳理】
要点一、不等式的概念
一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式．
要点诠释：
(1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大．
(2)
(3)
x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立．
类型一、不等式的概念
例1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式．
（1）4＜5；
（2）x2+1＞0；
（3）x＜2x-5；
（4）x=2x+3；
（5）3a2+a；
（6）a2+2a≥4a-2．
变式练习：
1.（2017春•城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A．18＜t＜27B．18≤t＜27C．18＜t≤27D．18≤t≤27
2.（2017春•未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a；②-2＞-5；③x≥-1；④
3
1y-4＜1；⑤2m≥n；⑥2x -3，其中不等式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个
3.（2017春•南山区校级月考）下面给出了6个式子： 3＞0； x+3y ＞0； x=3；④x -1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有（ ）
A ．2个
B ．3个
C ．4个
D ．5个
4.（2017春•太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x 辆，租用30座客车y 辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（ ）
A ．两种客车总的载客量不少于500人
B ．两种客车总的载客量不超过500人
C ．两种客车总的载客量不足500人
D ．两种客车总的载客量恰好等于500人
5.已知有理数m ，n 的位置在数轴上如图所示，用不等号填空．
（1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）m •n 0；
（6）m+1 0．
例2．用不等式表示：
(1)x 与-3的和是负数；
(2)x 与5的和的28％不大于-6;
(3)m 除以4的商加上3至多为5．
举一反三：
【变式】的值一定是（ ）．
A. 大于零
B.小于零
C.不大于零
D. 不小于零
例3.下列叙述：①a 是非负数则a≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10
＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为＞10；④“a，b 两数的平方和为正数”
可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）.
个 个 个 D. 4个
要点二、一元一次不等式的概念
只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式．
要点诠释：
(1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)；
②只含有一个未知数；
③未知数的最高次数为1.
(2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系：
相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式．
不同点：一元一次不等式表示不等关系，由不等号“＜”、“≤”、“≥”或“＞”连接，不等号有方向；一元一次方程表示相等关系，由等号“＝”连接，等号没有方向． 例1.（2017春•沧州期末）下列各式中，一元一次不等式是（ ） A.x x 5> B ．2x ＞1-x 2
C ．x+2y ＜1
D ．2x+1≤3x
变式练习
2．（2017春•平川区校级期中）下列是一元一次不等式的是（ ）
11..>+x x A B ．x 2
-2＜1 C ．3x+2 D ．2＜x-2
3．（2016春•永丰县期中）若不等式2x a ＜1是关于x 的一元一次不等式，则a 符合（
） A ．a≠1 B ．a=0 C ．a=1 D ．a=2
4.若（m+1）x |m|+2＞0是关于x 的一元一次不等式，则m=（ ）
A ．±1
B ．1
C ．-1
D ．0
5.下列不等式中，是一元一次不等式的有（ ）个．
①x＞-3；②xy≥1；③x 2＜3；④132≤-x
x ；⑤11
>+x x ；
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
要点三、不等式的基本性质
不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或整式)，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a ＞b ，那么a±c＞b±c .
不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变．
用式子表示：如果a ＞b ，c ＞0，那么ac ＞bc(或)．
不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变．
用式子表示：如果a ＞b ，c ＜0，那么ac ＜bc(或)．
例1.判断以下各题的结论是否正确（对的打“√”，错的打“×”）．
（1）若 b ﹣3a ＜0，则b ＜3a ；
（2）如果﹣5x ＞20，那么x ＞﹣4；
（3）若a ＞b ，则 ac 2＞bc 2；
（4）若ac 2＞bc 2，则a ＞b ；
（5）若a ＞b ，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）．
（6）若a ＞b ＞0，则＜． ．
【答案与解析】
解：（1）若由b ﹣3a ＜0，移项即可得到b ＜3a ，故正确；
（2）如果﹣5x ＞20，两边同除以﹣5不等号方向改变，故错误；
（3）若a ＞b ，当c=0时则 ac 2＞bc 2错误，故错误；
（4）由ac 2＞bc 2得c 2＞0，故正确；
（5）若a ＞b ，根据c 2+1，则 a （c 2+1）＞b （c 2+1）正确．
（6）若a ＞b ＞0，如a=2，b=1，则＜正确．
故答案为：√、×、×、√、√、√．
【总结升华】本题考查了不等式的性质，两边同乘以或除以一个不为零的负数，不等号方向改变．
例4.（2017•青浦区一模）已知a＞b，下列关系式中一定正确的是（）
A．a2＜b2 B．2a＜2b C．a+2＜b+2 D．﹣a＜﹣b
【思路点拨】根据不等式的性质分析判断．
【答案】D.
【解析】
解：A，a2＜b2，错误，例如：2＞﹣1，则22＞（﹣1）2；
B、若a＞b，则2a＞2b，故本选项错误；
C、若a＞b，则a+2＞b+2，故本选项错误；
D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故本选项正确.
【总结升华】不等式的性质是不等式变形的重要依据．关键要注意不等号的方向．性质1和性质2类似于等式的性质但性质3中，当不等式两边乘以或除以同一个负数时，不等号的方向要改变．
举一反三：
【变式】根据不等式的基本性质，将“mx＜3”变形为“x＞”，则m的取值范围是．【答案】m＜0.
解：∵将“mx＜3”变形为“x＞”，
∴m的取值范围是m＜0．
故答案为：m＜0．
【巩固练习】
一、选择题
1. （2016春•北京期末）在式子﹣3＜0，x≥2，x=a，x2﹣2x，x≠3，x+1＞y中，是不等式的有（）
A．2个B．3个C．4个 D．5个
2．下列不等式表示正确的是( ).
A．a不是负数表示为a＞0 B．x不大于5可表示为x＞5
C．x与1的和是非负数可表示为x+1＞0 D．m与4的差是负数可表示为m-4＜0 3.式子“①x+y=1；②x＞y；③x+2y；④x-y≥1；⑤x＜0”属于不等式的有（）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
4．已知a＜b，则下列不等式一定成立的是( )
A．a+3＞b+3 B．2a＞2b C．-a＜-b D．a-b＜0
5．若图示的两架天平都保持平衡，则对a、b、c三种物体的重量判断正确的是（）.
>c 6．下列变形中，错误的是（）. A．若3a+5＞2，则3a＞2-5 B．若，则 C．若，则x＞-5 D．若，则 二、填空题 7．（2016秋•太仓市校级期末）如果a＜b，则﹣3a ﹣3b（用“＞”或“＜”填空）．8．用不等式表示“x与a的平方差不是正数”为． 9．在-l，，0，，2中，能使不等式5x＞3x+3成立的x的值是________；________是不等式-x＞0的解． 10．假设a＞b，请用“＞”或“＜”填空 (1)a-1________b-1； (2)2a______2b； (3)_______； (4)a+l________b+1． 11．已知a＞b，且c≠0，用“＞”或“＜”填空． (1)2a________a+b (2)_______ (3)c-a_______c-b (4)-a|c|_______-b|c| 12. k的值大于-1且不大于3，则用不等式表示k的取值范围是_______．（使用形如a≤x≤b的类似式子填空．） 三、解答题 13．现有不等式的性质： ①在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变； ②在不等式的两边都乘以同一个数（或整式），乘的数（或整式）为正时不等号的方向不变，乘的数（或整式）为负时不等式的方向改变． 请解决以下两个问题： （1）利用性质①比较2a与a的大小（a≠0）； （2）利用性质②比较2a与a的大小（a≠0）． 14. ①当a=3，b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是_______； ②当a=-3，b=5时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是__________； ③当a=1，b=1时用不等式表示a2+b2与2ab的大小是________； ④根据上述数学实验你猜想a2+b2与2ab的大小关系_______； ⑤用a、b的其他值检验你的猜想______． 15．已知x＜y，比较下列各对数的大小． (1)8x-3和8y-3； (2)和； (3) x-2和y-1． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】C； 【解析】解：﹣3＜0是不等式，x≥2是不等式，x=a是等式，x2﹣2x是代数式，x≠3是不等式，x+1＞y是不等式．不等式共有4个．故选C. 2. 【答案】D； 【解析】a不是负数应表示为a≥0，故A错误； x不大于5应表示为x≤5，故B错误； x与1的和是非负数应表示为x+1≥0，故C错误； m与4的差是负数应表示为 m-4＜0，故D正确。 3.【答案】B. 4.【答案】D； 【解析】从不等式a＜b入手，由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都加上3后，不等 号的方向不变，得a+3＜b+3，故选项A不成立；由不等式的性质2，不等式a＜b的两边都乘以2后，不等号的方向不变，得2a＜2b，故选项B不成立；由不等式的性质3，不等式a ＜b的两边都乘以-1后，不等号的方向改变，得-a＞-b，故选项C也不成立；由不等式的性质1，不等式a＜b的两边都减去b后，不等号的方向不变，得a-b＜0．故应选D． 5.【答案】A. 6.【答案】B； 【解析】B错误，应改为：，两边同除以，可得：。 二、填空题 7. 【答案】＞. 【解析】在a＜b的两边同时乘以﹣3，得：﹣3a＞﹣3b，两边同时加上，得：﹣3a＞﹣3b．故答案为：＞． 8.【答案】x2﹣a2≤0； 9.【答案】2；-1、 【解析】一一代入验证. 10．【答案】(1)＞ (2)＞ (3)＜ (4) ＞； 11.【答案】 (1)＞ (2)＞ (3)＜ (4)＜； 【解析】利用不等式的性质进行判断。 12.【答案】-1＜k≤3． 三、解答题 13.【解析】 解：（1）a＞0时，a+a＞a+0，即2a＞a， a＜0时，a+a＜a+0，即2a＜a； （2）a＞0时，2＞1，得2•a＞1•a，即2a＞a； a＜0时，2＞1，得2•a＜1•a，即2a＜a． 14.【解析】 解：①当a=3，b=5时， a2+b2=34，2ab=30， ∵34＞30， ∴a2+b2＞2ab； ②当a=-3，b=5时， a2+b2=34，2ab=-30， ∵34＞-30， ∴a2+b2＞2ab； ③当a=1，b=1时 a2+b2=2，2ab=2， ∵1=1， ∴a2+b2=2ab； ④综合①②③得出结论：a2+b2≥2ab（a=b时，取“=”）． 证明：∵（a-b）2≥0（a=b时，取“=”）， ∴a2+b2-2ab≥0， ∴a2+b2≥2ab． ⑤设a=2，b=2，则a2+b2=2ab=8，上述结论正确； 设a=5，b=3，则a2+b2=34，2ab=30，所以a2+b2＞2ab， 综上所述，a2+b2≥2ab（a=b≠0时，取“=”）正确． 15.【解析】 解： (1)∵ x＜y ∴ 8x＜8y，∴ 8x-3＜8y-3． (2)∵ x＜y，∴， ∴． (3)∵ x＜y，∴ x-2＜y-2，而y-2＜y-1， ∴ x-2＜y-1． 拓展： 类型一、不等式的概念 1．有数颗等重的糖果和数个大、小砝码，其中大砝码皆为5克、小砝码皆为1克，且下图是将糖果与砝码放在等臂天平上的两种情形．判断下列正确的情形是( ). 【思路点拨】根据图示可知1个糖果的质量＞5克，3个糖果的质量＜16克，依此求出1个糖果的质量取值范围，再在4个选项中找出情形正确的． 【答案】D. 【解析】 解：由图(1)知，每一个糖果的重量大于5克，由图(2)知：3个糖果的重量小于16克，即每一个糖果的重量小于克．故A选项错；两个糖果的重量小于克故B选项错；三个糖果的重量大于15克小于16克故C选项错，四个糖果的重量小于克故D选项对． 【总结升华】观察图示，确定大小．本题涉及的知识点是不等式，涉及的数学思想是数形结合思想，解决问题的基本思路是根据图示信息列出不等式． 举一反三： 【变式】设“▲”、“●”、“■”分别表示三种不同的物体，现用天平秤两次，情况如图所示，那么▲、●、■这三种物体按质量从大到小排列应为（）. A．■、●、▲B．▲、■、●C．■、▲、●D．●、▲、■ 【答案】C. 类型二、不等式的基本性质 2.下面四个命题：（1）,则；（2），则；（3）若，则；（4）若，则.其中正确的个数是（）. A. 1个个 C. 3个 D. 4个 【答案】B. 【解析】(1)由得，因为>0,所以，正确； （2）因为，当时，，所以错误； （3）因为，当时，没有意义，而当时，，所以错误； （4）因为，所以，，正确. 【总结升华】不等式的基本性质是不等式变形的主要依据，要认真弄清楚不等式的基本性质与等式的基本性质的异同点，特别是不等式两边同时乘以（或除以）同一个数时，不仅要考虑这个数不等于0，而且先必须确定这个数是正数还是负数. 举一反三： 【变式1】a、b是有理数，下列各式中成立的是( )． A．若a＞b，则a2＞b2； B．若a2＞b2，则a＞b C．若a≠b，则｜a｜≠|b| D．若｜a｜≠|b|，则a≠b 【答案】D. 【变式2】若点P（1﹣m，m）在第一象限，则（m﹣1）x＞1﹣m的解集为．【答案】x＜﹣1. 解：∵点P（1﹣m，m）在第一象限， ∴1﹣m＞0， 即m﹣1＜0； ∴不等式（m﹣1）x＞1﹣m， ∴（m﹣1）x＞﹣（m﹣1）， 不等式两边同时除以m﹣1，得： x＜﹣1， 故答案为：x＜﹣1． 3.设a＞0＞b＞c，且a+b+c=-1，若M＝，N＝，P＝， 试比较M、N、P的大小． 【答案与解析】∵a+b+c=-1， ∴b+c=-1-a， ∴M==−1−， 同理可得N=−1−，P=−1−； 又∵a＞0＞b＞c， ∴＞0＞＞， ∴−1−＜−1＜−1−＜−1− 即M＜P＜N． 【总结升华】本题考查不等式的基本性质，关键是M、N、P的等价变形，利用了整体思想消元，转化为a、b、c的大小关系． 4.（2016春•唐河县期中）【提出问题】已知x﹣y=2，且x＞1，y＜0，试确定x+y的取值范围． 【分析问题】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x 的取值范围，最后利用不等式性质即可获解． 【解决问题】解：∵x﹣y=2，∴x=y+2． 又∵x＞1，∴y+2＞1，∴y＞﹣1． 又∵y＜0，∴﹣1＜y＜0，…① 同理得1＜x＜2…② 由①+②得﹣1+1＜y+x＜0+2． ∴x+y的取值范围是0＜x+y＜2． 【尝试应用】已知x﹣y=﹣3，且x＜﹣1，y＞1，求x+y的取值范围． 【思路点拨】先根据已知条件用一个量如y取表示另一个量如x，然后根据题中已知量x的 取值范围，构建另一量y的不等式，从而确定该量y的取值范围，同法再确定另一未知量x 的取值范围，最后利用不等式性质即可获解． 【答案与解析】 解：∵x﹣y=﹣3， ∴x=y﹣3． 又∵x＜﹣1， ∴y﹣3＜﹣1， ∴y＜2． 又∵y＞1， ∴1＜y＜2，…① 同理得﹣2＜x＜﹣1…② 由①+②得1﹣2＜y+x＜2﹣1． ∴x+y的取值范围是﹣1＜x+y＜1． 【总结升华】此题主要考查了等量代换及不等式的基本性质（1）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变；（3）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变． 【巩固练习】 一、选择题 1．下列不等式中，一定成立的有( ). ①5＞-2；②；③x+3＞2；④+1≥1；⑤． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2.若a+b＞0，且b＜0，则a，b，-a，-b的大小关系为（）. A．-a＜-b＜b＜a B．-a＜b＜-b＜a C．-a＜b＜a＜-b D．b＜-a＜-b＜a 3．若a＜b，则下列不等式：①；②； ③．其中成立的有( ). A．1个 B．2个 C．3个 D．0个 4．若0＜x＜1，则x，，x2的大小关系是( ). A． B． C． D． 5.已知a、b、c、d都是正实数，且<，给出下列四个不等式： ①；②；③；④ 其中不等式正确的是（）. A.①③B．①④C．②④D．②③ 6．（2016春•丰台区期末）下列不等式变形正确的是（） A．由a＞b，得a﹣2＜b﹣2 B．由a＞b，得﹣a＜﹣b C．由a＞b，得D．由a＞b，得ac＞bc 二、填空题 7．在行驶中的汽车上，我们会看到一些不同的交通标志图形，它们有着不同的意义，如图所示，如果汽车的宽度为x m，则用不等式表示图中标志的意义为________． 8．(1)若，则a_________b； (2)若m＜0，ma＜mb，则a_________b． 9．已知，若y＜0，则m________． 10．已知关于x的方程3x-(2a-3)=5x+(3a+6)的解是负数，则a的取值范围是________．11．（2016春•济南校级期末）下列判断中，正确的序号为． ①若﹣a＞b＞0，则ab＜0；②若ab＞0，则a＞0，b＞0；③若a＞b，c≠0，则ac＞bc；④若a＞b，c≠0，则ac2＞bc2；⑤若a＞b，c≠0，则﹣a﹣c＜﹣b﹣c． 12．如果不等式3x-m≤0的正整数解有且只有3个，那么m的取值范围是________． 三、解答题 13．用不等式表示： (1)某工人5月份计划生产零件198个，前16天平均每天生产6个，后来改进技术，提前3天，并超额完成任务，设他16天之后平均每天生产零件x个，请写出满足条件的x的关系式； (2)今年，小明x岁、小强y岁、爷爷m岁；明年，小明年龄的3倍与小强年龄的6倍之和大于爷爷的年龄． 14．若a＞b，讨论ac与bc的大小关系． 15．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法．若A-B＞0，则A ＞B；若A-B＝0，则A＝B；若A-B＜0，则A＜B．这种比较大小的方法称为“作差法比较大小”，请运用这种方法尝试解决下列问题． (1)比较3a2-2b+1与5+3a2-2b+b2的大小； (2)比较a+b与a-b的大小； (3)比较3a+2b与2a+3b的大小． 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B； 【解析】一定成立的是：①④⑤； 2. 【答案】B. 3. 【答案】A ； 【解析】根据不等式的性质可得，只有①成立. 4. 【答案】C； 【解析】∵0＜x＜1，∴ x2≤x≤. 5.【答案】A； 【解析】∵<，a、b、c、d都是正实数， ∴ad＜bc， ∴ac+ad＜ac+bc，即a（c+d）＜c（a+b）， ∴，所以①正确，②不正确； ∵<，a、b、c、d都是正实数， ∴ad＜bc， ∴bd+ad＜bd+bc，即d（a+b）＜b（d+c）， ∴，所以③正确，④不正确． 故选A． 6.【答案】B． 【解析】A、a＞b，得a﹣2＞b﹣2，错误； B、a＞b，得﹣a＜﹣b，正确； C、a＞b，得，错误； D、当c为负数和0时不成立，故本选项错误，故选B. 二、填空题 7. 【答案】x≤4； 8. 【答案】(1)＜， (2)＞； 【解析】（1）两边同乘以（）；（2）两边同除以. 9. 【答案】＞8； 【解析】由已知可得：x＝4，y＝2x-m＝8-m＜0，所以m＞8. 10．【答案】. 11.【答案】①④⑤ 【解析】解：∵﹣a＞b＞0，∴a＜0，b＞0，∴ab＜0，①正确；∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，②错误； ∵a＞b，c≠0，∴c＞0时，ac＞bc；c＜0时，ac＜bc；③错误；∵a＞b，c≠0，∴c2＞0，∴ac2＞bc2，④正确； ∵a＞b，c≠0，∴﹣a＜﹣b，∴﹣a﹣c＜﹣b﹣c，⑤正确． 综上，可得正确的序号为：①④⑤． 12.【答案】9≤m＜12； 【解析】3x-m≤0，x≤，3≤＜4，∴ 9≤m＜12. 三、解答题 13.【解析】 解：(1)16×6+(31-16-3)x＞198; (2)3(x+1)+6(y+1)＞m+1. 14.【解析】 解：a＞b， 当c＞0时，ac＞bc， 当c=0时，ac=bc， 当c＜0时，ac＜bc． 15.【解析】 解：(1)． ∴． (2)a+b-(a-b)＝a+b-a+b＝2b，当b＞0时，a+b-(a-b)＝2b＞0，a+b＞a-b； 当b＝0时，a+b-(a-b)＝2b＝0，a+b=a-b； 当b＜0时，a+b-(a-b)＝2b＜0，a+b＜a-b． (3)3a+2b-(2a+3b)＝a-b 当a＞b时，3a+2b＞2a+3b； 当a＝b时，3a+2b＝2a+3b； 当a＜b，3a+2b＜2a+3b． 不等式及其基本性质 设u=f(x1，x2，…，x n)，v=g(x1，x2，…，x n)是两个取值为实数的函数，若u－v是正数，就说u大于v，记成u＞v，也说v小于u，记成v＜u． 用记号“＞”、“＜”、“≥”或“≤”连结两个这样的函数所组成的式子，叫做不等式． 设上面两个函数的定义域分别为D f，D g，则称D f∩D g为下列不等式的允许值集： f(x1，x2，…，x n)＞g(x1，x2，…，x n) (或f(x1，x2，…，x n)＜g(x1，x2，…，x n)， 或f(x1，x2，…，x n)≥g(x1，x2，…，x n)， 或f(x1，x2，…，x n)≤g(x1，x2，…，x n)． 不等式两边的函数，如果都是代数函数，则称这个不等式为代数不等式；如果至少有一个是超越函数，则称这个不等式为超越不等式．前者可以划分为有理不等式(整式不等式和分式不等式)和无理不等式；后者包括指数不等式、对数不等式、三角不等式和反三角不等式等． 不等式具有如下的基本性质(本文所用字母除特别声明以外，均表示实数)． 定理1 若a＞b，b＞c，则a＞c． 定理2 在a＞b，a=b，a＜b中有且只有一个成立． 定理3 若a＞b，则a＋c＞b＋c． 推论1 可以把不等式中任何一项变为相反的符号后，从一边移到另一边． 推论2 若a＞b，c＞d，则a＋c＞b＋d． 一般地，若a i＞b i，i=1，2，…，n，则 a1＋a2＋…＋a n＞b1＋b2＋…＋b n． 推论3 若a≥b，c＜d，则a－c＞b－d． 定理4若a＞b，则当c＞0时，ac＞bc；当c＜0时，ac＜bc；当c=0时，ac=bc． 推论1 若a＞b＞0，c＞d＞0，则ac＞bd． 一般地，若a i＞b i＞0，i=1，2，…，n，则 a1a2…a n＞b1b2…b n． 推论2 若a≥b＞0，0＜c＜d，则a/c＞b/d． 推论3 若a＞b＞0，整数n＞1，则a n＞b n． 含有绝对值符号的不等式还具有如下的常用性质． 定理5 设a＞0，则|x|＜a的充要条件是－a＜x＜a；|x|＞a的充要条件是x ＞a或x＜－a． 定理6 |a＋b|≤|a|＋|b|， 其中等号当且仅当ab≥0时成立． 推论1|a＋b|≥||a|－|b||． 推论2 |a1±a2±…±a n|≤|a1|＋|a2|＋…＋|a n|． 1、不等式的基本性质: 不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。即如果a>b，那么a±c>b±c。 不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果 a>b，c>0，那么ac>bc（或）。 不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即如果 a>b，c<0，那么ac ①对称性； ②传递性： ③加法单调性：即同向不等式可加性： ④乘法单调性： ⑤同向正值不等式可乘性： ⑥正值不等式可乘方： ⑦正值不等式可开方： ⑧倒数法则。 不等式的基本性质和等式的基本性质的异同： ①相同点：无论是等式还是不等式，都可以在它的两边加（或减）同一个数或同一个整式； ②不同点：对于等式来说，在等式的两边乘（或除以）同一个正数（或同一个负数），等式仍然成立，但是对于不等式来说，却不大一样，在不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，而在不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向。 原理： ①不等式F（x）< G（x）与不等式G（x）>F（x）同解。 ②如果不等式F（x）< G（x）的定义域被解析式H（x ）的定义域所包含，那么不等式F（x） （1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。 （2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集. （3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。 热身练习 1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。 （1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ） （3） 如果a ＜b ，那么a 2 ＜b 2 .（ × ） （4） 如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ） （5） 如果a ＞b ，那么ac 2 ＞bc 2 .（ × ） （6） 如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ） （7） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ） 2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。[来源 A 、a ＞０ B 、ａ＜０ C 、ａ≥0 D 、a ≤0 3、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。 A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数 4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、0 不等式知识点归纳 1.不等式的基本性质 不等式的性质可分为单向性质和双向性质两类．在解不等式时，只能用双向性质； 在证明不等式时，既可用单向性质，也可用双向性质． （1） a b b a 对称性 （2）c a c b b a >?>>,传递性 （3）c b c a b a +>+?>加法单调性 （4）d b c a d c b a +>+?>>,同向不等式相加 （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. 或 c b c a > （乘法单调性） （7）bc ac c b a 0, 或 c b c a < （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>?<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且平方法则 （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且开方法则 倒数性质 ①a>b,ab>0 . 1 1b a b>0,0 不等式的概念和基本性质 重点：不等式的差不多性质 难点：不等式差不多性质的应用 要紧内容： １．不等式的差不多性质 （１）a>b bb,b>c a>c （３）a+b 例１．关于实数a,b,c判定以下命题的真假 （１）若a>b, 则ac 不等式的基本性质、解不等式 【考纲要求】 1、不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2、一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 【基础知识】 一、不等式的概念及基本性质 1、实数运算性质与大小顺序关系 (1)a －b ＞0?a ＞b ；(2)a －b ＝0?a ＝b ；(3)a －b ＜0?a ＜b . 2、不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ?b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c ； (3)可加性：a ＞b ?a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ＞bd ； (5)可乘方性：a ＞b ＞0?a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方性：a ＞b ＞0?n a ＞n b (n ∈N ，n ≥2)． (7)叠加性：a ＞b ，c ＞d ?a+c ＞b+d （不等式同向可加） (8)叠乘性：a ＞b ≥0，c ＞d ≥0?ac ＞bd （不等式同向为正可乘） 注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。如果遇到减法和除法，可以转化乘加法和乘法。 如：求a －b 的范围可以转化成求a+(－b )的范围，求a b 的范围可以转化成求a ×1b 的范围。 ②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。 3、实数大小的比较 实数大小的比较一般用差比和商比。 (1)如果不知道实数是正数或负数，一般用差比，一般步骤是作差→变形（通分、因式分解、合并 同类项等）→与0比较→下结论。 (2)如果是正数，一般用商比，一般步骤是作商→变形（通分、因式分解、合并同类项等）→与1 比较→下结论。 4、?和?的含义 “P ?Q ”表示命题P 成立，命题Q 一定成立。 “P ?Q ”表示命题P 成立，命题Q 一定成立；命题Q 成立，命题P 一定成立。 二、一元一次不等式和一元二次不等式 1、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式。 当a ＞0时，不等式的解集为{x|x ＞b a }；当a ＜0时，不等式的解集为{x|x ＜b a }. 2、一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)的解法 解一元二次不等式最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想。 (1)二次不等式f (x )=ax 2＋bx ＋c ≥0(a ＞0)的解法 当Δ＝b 2－4ac ＞0时，不等式的解集是{x |x ＞x 大或x ＜x 小}，简记为大于两边分，大于大根，小于小根。 当Δ＝b 2－4ac = 0时，不等式的解集是R. 不等式的性质与证明方法总结 在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。 一、基本不等式性质 1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。这个性质是不等式推理的基础，可 以用于简化证明过程。 2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。这个性质表示在不等式两边同时加上 一个相同的数，不等式的大小关系不变。 3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。这个 性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。 4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。 二、常见不等式 1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立： (a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n) 平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。 2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立： (a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p) 其中p为大于0的实数。均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。 3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立： (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) 柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。 4. 夹逼定理：如果对于任意n，有a_n <= b_n <= c_n，并且lim(a_n) = lim(c_n) = L，则lim(b_n) = L。夹逼定理可以用于证明数列极限的存在与计算。 三、不等式的证明方法 1. 数学归纳法：对于一些特定的不等式，可以使用数学归纳法进行证明。数学 归纳法的基本思想是：先证明当n = 1时不等式成立，然后假设当n = k时不等式 成立，再证明当n = k + 1时不等式也成立。 2. 反证法：对于一些不等式，可以使用反证法进行证明。反证法的基本思想是：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原不等式成立。 3. 矛盾法：对于一些不等式，可以使用矛盾法进行证明。矛盾法的基本思想是：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原不等式成立。 4. 应用其他不等式：有时候，可以通过应用其他已知的不等式来证明目标不等式。例如，可以使用平均不等式、均值不等式、柯西不等式等来推导出目标不等式。 综上所述，不等式是数学中一种重要的工具，具有广泛的应用。了解不等式的 性质和证明方法，可以帮助我们更好地理解和应用不等式，解决实际问题。通过不断学习和练习，我们可以提高不等式的运用能力，为数学和其他学科的研究和应用做出更多贡献。 不等式的基本概念与性质 在数学中，不等式是表示两个数或者两个代数式之间大小关系的数学表达式。不等式通过使用不等于号（≠）、小于号（<）、小于等于号（≤）、大于号（>）和大于等于号（≥）等符号，来描述数值的相对大小关系。不等式的概念和性质在数学中起到了重要的作用，对于解决实际问题和进行数学推理都具有重要意义。 一、不等式的基本概念 1. 不等式的定义 不等式是一个数学表达式，通过使用不等于号、小于号、小于等于号、大于号和大于等于号等符号来比较两个数或者两个代数式的大小关系。 2. 不等式的符号及其含义 （1）≠：不相等。表示两个数或两个代数式不相等。 （2）<：小于。表示第一个数或者代数式小于第二个数或代数式。 （3）≤：小于等于。表示第一个数或代数式小于等于第二个数或代数式。 （4）>：大于。表示第一个数或代数式大于第二个数或代数式。 （5）≥：大于等于。表示第一个数或代数式大于等于第二个数或代数式。 3. 不等式的解集 不等式的解集是使得不等式成立的数的集合。解集可以是无穷集合、有限集合或为空集。 二、不等式的性质 1. 不等式的传递性 如果a＜b，b＜c，那么a＜c。即如果两个数的大小关系成立，并且第二个数与第三个数的大小关系也成立，那么第一个数与第三个数之 间的大小关系也成立。 2. 不等式的加减性 如果a＜b，那么a±c＜b±c。即不等式两边同时加上或减去同一个数，不等式的方向保持不变。 3. 不等式的乘除性 （1）如果a＜b，且c＞0，那么ac＜bc。 即不等式两边同时乘以一个正数，不等式的方向保持不变。 （2）如果a＜b，且c＜0，那么ac＞bc。 即不等式两边同时乘以一个负数，不等式的方向发生改变。 4. 不等式的倒置性 如果a＜b，那么-b＜-a。 不等式及不等式的基本性质 知识要点： 1、 不等式：表示不相等关系的式子。 2、 不等式的分类：绝对不等式、条件不等式、矛盾不等式。 3、 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 4、 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 5、 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 6、 不等的互逆性和传递性：若a>b,则bb,b>c,则a>c 。 示例: 1、 判断下列各式哪些是等式，哪些不是等式，哪些即不是等式也不是不等式。 ①x+y; ②3x>7 ③5=2x+3; ④02≥x ； ⑤2x －3y=1; ⑥52. 2、 根据下面的数量关系，列不等式： （1） x 的3 1与x 的2倍的和是非负数学； （2） 一个数除以2的商加上2，和最多为5； （3） a 与b 两数和的平方不可能大于3. 3、 若a 6、某市化工厂现有A 种原料290千克、B 种原料212千克，计划利用这两种原料生产C,D 两种产品共80件，生产一件C 产品需要A 种原料5千克、B 种原料1.5千克，生产一件D 种产品需要A 种原料2.5千克、B 种原料3.5千克，若该市化工厂现有的原料能保证生产，试写出满足生产C 产品x 件的关系式。 7、解不等式： 13 3222<--+x x 8、如果x －y 不等式的基本概念与性质 不等式是数学中一种重要的关系表达式，描述了两个或多个数之间 的大小关系。不等式与等式不同，它表示两个数之间的大小关系，可 以是大于、小于、大于等于、小于等于等。 一、不等式的基本概念 1. 不等式符号 不等式符号是表示数之间大小关系的符号，常见的不等式符号有以 下几种： - 小于号：<，表示小于的关系，如a < b表示a小于b。 - 大于号：>，表示大于的关系，如a > b表示a大于b。 - 小于等于号：≤，表示小于等于的关系，如a ≤ b表示a小于等于b。 - 大于等于号：≥，表示大于等于的关系，如a ≥ b表示a大于等于b。 - 不等号：≠，表示不等的关系，如a ≠ b表示a不等于b。 2. 不等式的解集 不等式的解集是满足不等式条件的数值范围。解集可以表示为一个 区间或多个不等式的交集或并集。例如，不等式x > 3的解集可以表示 为(3, +∞)，表示 x 的取值范围大于3，不包括3本身。 3. 不等式的性质 - 不等式的传递性：如果 a < b 且 b < c，那么有 a < c，这是不等式的传递性质。例如，如果 x < y 且 y < z，则可以推断出 x < z。 - 不等式的加法性：如果 a < b，那么有 a + c < b + c，其中 c 是任意实数。例如，如果 x < y，则可以推断出 x + 1 < y + 1。 - 不等式的乘法性：如果 a < b 且 c > 0，那么有 ac < bc，其中 c 是正实数；如果 a < b 且 c < 0，那么有 ac > bc，其中 c 是负实数。例如，如果 x < y 且 z > 0，则可以推断出 xz < yz。 - 不等式的取反性：如果 a < b，则有 -a > -b。例如，如果 x < y，则可以推断出 -x > -y。 二、一元一次不等式 一元一次不等式是以一个变量为未知数的一次不等式。一元一次不等式的基本形式为ax + b < c 或 ax + b > c，其中 a、b、c 是已知实数，且a ≠ 0。 1. 一元一次不等式的解法 为了求解一元一次不等式，可以使用以下步骤： - 将不等式转化为等式：将不等式中的不等号改为等号，得到一个等式。 - 求解等式：求解所得到的等式，得到变量的值。 - 确定解的范围：根据不等式的符号关系，确定变量的取值范围，得到不等式的解集。 第十讲不等式及其性质 【学习目标】 1．会用不等式(组)表示实际问题中的不等关系。 2．会用比较法比较两实数的大小。 3．掌握不等式的性质。 4．能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式的证明。5．通过类比等式与不等式的性质，探索两者之间的共性与差异。 【基础知识】 一、实数大小比较 1．文字叙述： (1)如果a－b是正数，那么a>b； (2)如果a－b等于0，那么a＝b； (3)如果a－b是负数，那么a 推论5：如果a >b >0，那么a >b . 2．注意事项： (1)推论1表明，不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后，从不等式的一边移到另一边． (2)推论2表明，两个同向不等式的两边分别相加，所得到的不等式与原不等式同向． (3)推论3表明，n 个两边都是正数的同向不等式的两边分别相乘，所得到的不等式与原不等式同向． 3．常用的结论 (1)a >b ，ab >0⇒1a <1b ； (2)b <01b ； (3)a >b >0，c >d >0⇒a d >b c ； (4)若a >b >0，m >0，则a b >a ＋m b ＋m ；a b 0)；b a b －m a －m (b －m >0)． 三、不等式的证明方法 1．作差法：通过比较两式之差的符号来判断两式的大小． 2．综合法：从已知条件出发，综合利用各种结果，经过逐步推导最后得到结论的方法． 3．反证法：首先假设结论的否定成立，然后由此进行推理得到矛盾，最后得出假设不成立． 4．分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立． 【考点剖析】 考点一：数、式大小的比较 例1 (1)已知a ，b 为正数，且a ≠b ，比较a 3＋b 3与a 2b ＋ab 2的大小； (2)已知a >0，试比较a 与1a 的大小． 不等式的性质与解集 不等式是数学中的一种基本关系，用于描述数值之间的大小关系。 与等式不同，不等式存在多种形式和性质。本文将探讨不等式的性质 和解集，并分析其应用。 一、不等式的基本性质 1.1 不等式的传递性 在不等式a < b和b < c成立的前提下，根据数学的传递性，可推导 出a < c。这意味着如果一个不等式关系成立，那么经过有限次传递， 可以得到更多的大小关系。 1.2 不等式的加减性质 对于不等式a < b，若两边同时加上（或减去）一个正数或负数，不等式的关系不会改变。即a + c < b + c对于任意正数或负数c成立。 1.3 不等式的乘除性质 对于不等式a < b，若两边同乘以一个正数，或同除以一个正数（负数），不等式的关系不会改变。即a * c < b * c，若c > 0；a * c > b * c，若c < 0。 二、一元不等式的解集表示 一元不等式是指只含有一个未知数的不等式，通常用x表示。它的 解集表示了不等式中使得不等式成立的所有实数值。 2.1 严格不等式的解集表示 对于形如a < x < b的严格不等式，解集表示为(a, b)，即大于a且小于b的一切实数值构成了解集。 2.2 非严格不等式的解集表示 对于形如a ≤ x ≤ b的非严格不等式，解集表示为[a, b]，即大于等于a且小于等于b的一切实数值构成了解集。 三、二元不等式的解集表示 二元不等式是指含有两个未知数的不等式，通常用x和y表示。解集表示了使得不等式成立的所有实数对。 3.1 不等式的图解法 可以通过将二元不等式转化为平面直角坐标系上的区域来直观地表示解集。通常在坐标系上绘制不等式相关的线条，然后确定位于线条上或线条所构成的区域内的点为解集的一部分。 3.2 不等式的符号法表示 对于形如ax + by < c的二元不等式，符号法表示解集是平面上位于不等式所确定的曲线或区域的一侧的所有点的集合。 四、不等式求解的应用 不等式求解在实际问题中有着广泛的应用。 不等式的性质及其解法 不等式在数学中起着重要的作用，它用于描述数值之间的大小关系。本文将介绍不等式的性质以及解法，帮助读者更好地理解和运用不等式。 一、不等式的基本性质 不等式的基本性质主要包括加减性、乘除性和倒数性。 1. 加减性： 对于不等式中的任意实数a、b和c，若a < b，则有a + c < b + c和 a - c < b - c。这意味着可以在不等式的两边同时加减一个数，不等号的 方向保持不变。 2. 乘除性： 对于不等式中的任意实数a和正实数b，若a < b，则有a * c < b * c （c > 0），若a > b，则有a * c > b * c（c > 0）。这意味着可以在不等 式的两边同时乘除一个正实数，不等号的方向保持不变。 3. 倒数性： 对于不等式中的任意实数a和正实数b，若a < b，则有1 / b < 1 / a，若a > b，则有1 / b > 1 / a（a > 0，b > 0）。这意味着可以对不等式的 两边取倒数，不等号的方向会发生变化。 二、不等式的解法 根据不等式的形式和题目要求，我们可以采用不同的方法来解不等式。以下将介绍常见的不等式解法。 1. 图像法： 当不等式中含有一次函数或二次函数时，可以通过绘制函数图像，直观地找出不等式的解集。首先，将不等式转化为方程，画出相应函数的图像，然后根据图像确定函数的取值范围，最终得到不等式的解集。 2. 代入法： 对于较为复杂的不等式，我们可以通过设定合适的变量代入，将不等式转化为方程。然后，通过解方程得到解集，在最后将代入的变量范围转换回原始不等式的变量范围，得到最终的解集。 3. 区间法： 当不等式中含有一次函数、二次函数或分式函数时，可以通过判断函数在不同区间的正负性来确定不等式的解集。首先，将不等式转化为方程，然后确定各个因子的零点，将数轴根据这些零点分成若干个区间，在每个区间内求解函数的正负性，最终得到不等式的解集。 4. 分类讨论法： 对于具有特殊性质或是较为复杂的不等式，可以采用分类讨论的方法解题。根据不等式的结构特点，将不等式拆分成若干个简单的不等式，然后逐个求解，最后将所有的解集综合起来得到原始不等式的解集。 不等式性质及运算规律 不等式是数学中常见的一种表示符号，它描述了数值之间的关系。对于不等式，我们需要了解其性质和运算规律，才能正确地应用和解决问题。本文将对不等式的性质和运算规律进行探讨，帮助读者更好地理解和运用不等式。 一、不等式的性质 1. 传递性：如果a > b，并且b > c，则有a > c。这是不等式的传递性质，可以用来推导多个不等式的关系。 2. 反对称性：如果a > b，并且b > a，则有a = b。这是不等式的反对称性质，表示如果两个数的大小关系相反，那么它们一定相等。 3. 保号性：如果a > b，并且c > 0，则有ac > bc。这是不等式的保号性质，表示不等式两边同乘一个正数，不等号的方向不变。 4. 倒置性：如果a > b，则有-b > -a。这是不等式的倒置性质，表示不等式两边同时取相反数，不等号的方向发生改变。 5. 乘法性：如果a > b，并且c > 0，则有ac > bc，如果c < 0，则有ac < bc。这是不等式的乘法性质，表示不等式两边同乘一个正数或负数，不等号的方向发生改变。 二、不等式的运算规律 1. 加减法：对于不等式，两边同时加上（或减去）一个数，不等号的方向不发生改变。例如，如果a > b，则有a + c > b + c。 2. 乘法：如果a > b，并且c > 0，则有ac > bc，如果c < 0，则有ac < bc。这是不等式的乘法性质，可以应用到不等式的乘法运算中。 3. 除法：对于不等式，两边同时除以一个正数时，不等号的方向不发生改变。例如，如果a > b，并且c > 0，则有a/c > b/c。 4. 倒数性：如果a > b，并且a和b都是正数，则有1/a < 1/b。这是不等式的倒数性质，表示不等式两边同时取倒数，不等号的方向发生改变。 5. 平方性：如果a > b，并且a和b都是正数，则有a^2 > b^2。这是不等式的平方性质，表示不等式两边同时取平方，不等号的方向不发生改变。 三、例题解析 为了更好地理解不等式的性质和运算规律，我们来解析几个例题。 例题1：已知a > b，证明a^2 > b^2。 解析：根据不等式的平方性质，两边同时取平方不改变不等号的方向。所以，可以得到a^2 > b^2，证明完成。 例题2：已知a > b，并且c > 0，证明ac > bc。 解析：根据不等式的乘法性质，可以得到ac > bc，证明完成。 例题3：已知a > b，并且a和b都是正数，证明1/a < 1/b。 解析：根据不等式的倒数性质，可以得到1/a < 1/b，证明完成。 不等式的性质及解法 知识要点： 不等式与等式有许多不同，主要包括： 1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号， 即a b ac bc c ac bc c ac bc c >⇒>>>=<<⎧⎨⎪ ⎩⎪()()()000 2、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须 是等价转化。 3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的；解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。 不等式的性质可分为： 1、公理a b a b a b a b >⇔-><⇔-<⎧⎨⎩ 0这也是将不等式问题——比较两个实数a 、b 的大小， 转化为恒等变形问题的依据。 2、基本性质： （1） 对称性 a b b a >⇔< 这个性质等式中也存在，即a b b a =⇔=， 对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如：a b ab a b R +≥∈2(,) 这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许多变式。 （2） 传递性 a b b c a c >>⇒>, 这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。 （3） 移项法则 a b a c b c >⇔+>+ 如：x x +>⇔>-321,相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。 3、运算性质： （1）加法运算：a b c d a c b d >>⇒+>+, （2）减法运算：统一成加法运算 a b c d a b d c a d b c >>⇒>->-⇒->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>⇒>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算 a b c d a b d c a d b c >>>>⇒>>>>⇒>>0001100,, （由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c >>⇒>>011 0） （5）乘方运算：a b a b n N n n n >>⇒>∈≥02(,) （6）开方运算：a b a b n N n n n >>⇒>∈≥02(,) 第1节不等式的基本性质 一、不等式的基本性质 1.实数的大小顺序与实数的运算性质之间的 关系 设a,b∈R,则 (1)a>b⇔a-b>0; (2)a=b⇔a-b=0; (3)a 解析:∵a2+a<0,即(a+1)a<0,∴-1不等式及其基本性质
不等式的性质
不等式及其性质与解法
不等式知识点归纳
不等式的概念和基本性质
不等式的基本性质、解不等式
不等式的性质与证明方法总结
不等式的基本概念与性质
不等式及不等式的基本性质
不等式的基本概念与性质
第十讲 不等式及其性质
不等式的性质与解集
不等式的性质及其解法
不等式性质及运算规律
高中数学知识点不等式的性质及解法
不等式的基本性质
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