不等式和它的基本性质
教学
建议
一、知识结构
二、重点、难点分析
本节
的重点是不等式的三条基本性质．难点是不等式的基本性质
3．不等式的三条基本性质是进一步学习一元一次不等式（组）的解法等后续知识的基础．
1．式的概念
用不等号（“＜”、“＞”或“≠”表示不等关系的式子，叫做不等式．
另外，（“≥”是把“＞”、“＝”）结合起来，读作“大于或等于”，或记作“≮”，亦即“不小于”）、（“≤”是把“＜”、“＝”结合起来，读作“小于或等于”，或记作“≯”，也就是“不大于”）等等，也都是不等式．
2．等式的两边都加上或乘以同一个正数或负数时，所得结果仍是不等式．但变形所得的不等式中不等号的方向，有的与原不等式中不等号的方向相同，有的则不相同．因而叙述时不能笼统说成“……仍是不等式”，而应明确变形所得的不等式中不等号的方向．
3．式成立与不等式不成立的意义
例如：在不等式中，字母表示未知数．当取某一数值时，的值小于2，我们就说当时，不等式成立；当取另外某一个数值时，的值不小于2，我们就说当时，不等式不成立．
4．式的三条基本性质是不等式变形的重要依据，性质
1、2类似等式性质，不等号的方向不改变，性质3不等号的方向改变，这是不等式独有的性质，也是初学者易错的地方，因此要特别注意．
一、素质
教育
目标
（－）知识
点
1．不等式的意义．
2．什么是不等式成立，掌握不等式是否成立的判定方法．
3．题意准确迅速地列出相应的不等式．
（二）能力训练点
1．学生运用类比方法研究相关内容的能力．
2．学生运用所学知识解决实际问题的能力．
（三）德育渗透点
通过引导学生分析问题、解决问题，培养他们积极的参与意识，竞争意识．
（四）美育渗透点
通过不等式的学习，渗透具有不等量关系的数学美．
二、学法引导
1．
方法：观察法、引导发现法、讨论法．
2．学法：只有准确理解不等号的几种形式的意义，才能在实际中进行灵活的运用．
三、重点·难点·疑点及解决办法
（一）重点
掌握不等式是否成立的判定方法；依题意列出正确的不等式．
（二）难点
依题意列出正确的不等式
（三）疑点
如何把题目中表示不等关系的词语准确地翻译成相应的数学符号．
（四）解决方法
在正确理解不等号的意义后，通过抓住体现不等量的关系的词语就能准确列出相应的不等式．
四、课时安排
一课时．
五、教具学具准备
投影仪或电脑、自制胶片．
六、师生互动活动设计
1．情境，通过复习有关等式的知识，自然导入新课的学习，激发学生的学习热情．
2．示的有关实验中，探究相应的不等量关系，从学生的讨论、分析中探究代数式的不等关系的几种常见形式．
3．生的互动讲解练习中掌握不等式的有关知识，并培养学生具有一定的灵活应用能力．
七、
步骤
（一）明确目标
本节课主要学习依题意正确迅速地列出不等式．
（二）整体感知
通过复习等式创设情境，自然过渡到不等式的学习过程当中，又通过细心的分析、审题寻找出正确的不等量关系，从而列出正确的不等式．
（三）
过程
1．情境，复习导入
我们已经学过等式和它的基本性质，请同学们观察下面习题，思考并回答：
（1）什么是等式？等式中“＝”两侧的代数式能否交换？“＝”是否具有方向性？
（2）已知数值：－5，，3，0，2，7，判断：上述数值哪些使等式成立？哪些使等式不成立？
学生活动：首先自己思考，然后指名回答．
教师
释疑：
①“＝”表示相等关系，它没有方向性，等号两例可以相互交换，有时不交换只是因为书写习惯，例如方程的解．
②判断数取何值，等式成立和不成立实质上是在判断给定的数值是否为方程的解，因为等式为一元一次方程，它只有惟一解，所以等式只有在时成立，此外，均不成立．
设置上述习题，目的是使学生温故而知新，为学习本节内容提供必要的知识准备．
2．新知，讲授新课
不等式和等式既有联系，又有区别，大家在学习时要自觉进行对比，请观察演示实验并回答：演示说明什么问题？
师生活动：
演示课本第54页天平称物重的两个实例（同时指出演示中物重为克，每个砝码重量均为1克），学生观察实验，思考后回答：演示中天平若不平衡说明天平两边所放物体的重量不相等．
结合实际生活中同类量之间具有一种不相等关系的实例引入不等式的知识，能激发学生的学习兴趣．
在实际生活中，像演示这样同类量之间具有不相等关系的例子是大量的、普遍的，这种关系需用不等式来表示．那么什么是不等式呢？请看：
，，
提问：（l）上述式子中有哪些表示数量关系的符号？
（2）这些符号表示什么关系？
（3）这些符号两侧的代数式可以随意交换位置吗？
（4）什么叫不等式？
学生活动：观察式予，思考并回答问题．
答案：
（1）分别使用“＜”“＞”“≠”．
（2）表示不等关系．
（3）不可以随意互换位置．
（4）用不等号表示不等关系的式子叫不等式．
不等号除了“＜”“＞”“≠”之外，还有无其他形式？
学生活动：同桌讨论，尝试得到结论．
①不等号除“＜”“＞”“≠”外，还有“≥”“≤”两种形式（“≥”是指“＞”与“＝”结合起来，读作“大于或等于”，也可理解成“不小于”；同理“≤”读作“小于或等于”，也可理解成“不大于”．）现在，我们来研究用“＞”“＜”表示的不等式．
②不等号“＞”“＜”表示不等关系，它们具有方向性，因而不等号两侧不可互交换，例如，不能写成．
①通过学生自己观察思考，进而猜测出不等式的意义，这种教法充分发挥了学生的主体作用．
②通过
释疑，学生对不等号的种类及其使用有了进一步的了解．
3．反馈，巩固知识
同类量之间的大小关系常用“＞”“＜”来表示，请同学们根据自己对不等式的理解，解答习题．
（1）用“＜”或“＞”境空．（抢答）
①4___－6；
②－1____0
③－8___－3；
④－4。5___－4．
（2）用不等式表示：
① 是正数；
② 是负数；
③ 与3的和小于6；
④ 与2的差大于－1；
⑤ 的4倍大于等于7；
⑥ 的一半小于3．
（3）学生独立完成课本第55页例1．
注意：不是所有同类量都可以比较大小，例如不在同一直线上的两个力，它们只有等与不等关系，而无大小关系，这一点无需向学生说明．
学生活动：第（l）题抢答；第
（2）题在练习本上完成，由两个学生板演，完成之后，由学生判断板演是否正确
活动：巡视辅导，统计做题正确的人数，同时给予肯定或鼓励．
①第
（1）题是为了调动积极性，强化竞争意识；第
（2）题则是为了训练学生书面表述能力．
②时要注意引导学生将题目中表示不等关系的词语翻译成相应的不等号，例如“小于”用“＜”表示，“大于等于”用“≥”表示．
下面研究什么使不等式成立，请同学们尝试解答习题：
已知数值；－5，，3，0，2，－2。5，5。2；
（1）判断：上述数值哪些使不等式成立？哪些使不成立？
（2）说出几个使不等式成立的的数值；说出几个使不成立的数值．
学生活动：同桌研究讨论，尝试得到答案．
活动：引导学生回答，使未知数的取值不仅有正整数，还有负数、零、小数．
师生总结：判定不等式是否成立的方法就是：如果不等号两侧数值的大小关系与不等另一致，称不等式成立；否则不成立．例如对于；当时，的值小于6，就说时不等式成立；当时，的值不小于6，就说时，不成立．
通过学生自己举例，培养他们运用已有的知识探索新知识的意识，同时也活跃了课堂气氛．
4．训练，培养能力
（1）当取下列数值时，不等式是否成立？
－7，0，0。5，1，，10
（2）
①用不等式表示：与3的和小于等于（不大于）6；
②写出使上述不等式成立的几个的数值；
③ 取何值时，不等式总成立？取何值时不成立？
学生在练习本上完成1题，2题，同桌订正；
抽查，强调注意事项．
①使学生进一步了解使不等式成立的未知数的值可以有多个，为6。2讲解不等式的解集做准备．
②强化思维能力和归纳总结能力．
（四）总结、扩展
学生小结，师生共同完善：
本节课的重点内容：
1．不等式是否成立的判断方法；
2．意列出正确的不等式．
注意：列不等式时，要注意把表示不等关系的词语用相庆的不等号来表示．例如“不大于”用“≤”表示，而不用“＜”表示，这一点学生容易出现错误．
八、布置作业
（一）必做题：P61 A组1，2，3．
（二）选做题：
1．选择
（1）绝对值小于3的非负整数有（）
A．1，2 B．0，1 C．0，1，2 D．0，1，3
（2）下列选项中，正确的是（）
A．不是负数，则
B．是大于0的数，则
C．不小于－1，则
D．是负数，则
2．意列不等式
（1）的3倍与7的差是非正数
（2）与6的和大于9且小于12
（3）A市某天的最低气温是－5℃，最高气温是10℃，设这天气温为℃，则满足的条件是____________________．
1．本节重点，巩固所学知识．
2．次性地布置作业，可以调动全体学生的学习积极性，这也是实施素质
的具体体现．
参考答案
1．＜，＜，＞，＞，＜，＜
2．5。2，6，8。3，11是的解，－10，－7，－4。 5，0，3不是解
3．
（1）
（3）
（4）
（二）1．
（1）C
（2）D
2．
九、
板书
设计
6。1 （一）
一、什么叫不等式？
用：“＞”“＜”“≠”“≥”“≤”表示不等关系的式子叫不等式．
重点研究“＞”“＜”
二、依题意列不等式
“大于”“＞”；“小于”“＜”；“不大于”“≤”；“不小于”“≥”；
三、不等式能否成立
时，（√）；时，（×）；
时，（×）
四、归纳总结重点
（一）依题意列不等式．
（二）会判断不等式是否成立．
十、背景知识与课外阅读
费马数
费马（P．de Fermat）是17世纪法国著名数学家，是法国南部土鲁斯议会的议员，他在数论、解析几何、概率论三个方面都有重要贡献．他无意发表自己的著作，平生没有完整的著作问世．去世后，人们才把他写在书页空白处和给朋友的书信中，以及一些陈旧手稿中的论述收集汇编成书．费马特别爱好数论，在这方面有好几项成就，如费马数、费马小定理、费马大定理等．
费马于前后，在验算了形如
的数当的值分别为
3，5，17，257，65537
后（请注意这些数均为质数）便宣称：对于为任何自然数，是质数．
大约过了，数学家欧拉（L．Euler）指出
．
从而否定了费马的上述结论（猜想）．
尔后，人们又对进行了大量研究，发现在中，除了上述五个质数外，人们尚未再发现新的质数．
不等式的基本性质、解不等式 【基础知识】 一、不等式的概念及基本性质 注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。如果遇到减法和除法，可以转化乘加法 和乘法，如：求a b -的范围可以转化成求()a b +-的范围，求 a b 的范围可以转化成求1 a b ?的范围。 ②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。 三、分式不等式和高次不等式 1、分式不等式的解法 把分式不等式通过移项、通分、因式分解等化成 () 0() f x g x ≥的形式→化成不等式组()0 ()()0 g x f x g x ≠?? ≥?→解不等式组得解集。 温馨提示：解分式不等式一定要考虑定义域。 2、高次整式不等式的解法（序轴标根法） 先把高次不等式分解因式化成123()()() ()0n x a x a x a x a ---->的形式 （x 的系数必须为正）→标记方程的实根（注意空心和实心之分）→穿针引线，从右往左，从上往下穿（奇 穿偶不穿）→写出不等式的解集。 实际上，序轴标根法适用于所有的整式不等式，根据它可以很快地写出整式不等式的解集。 四、绝对值不等式 1、解绝对值不等式 方法一：公式法 解只含有一个绝对值形如()ax b c +><的不等式，一般直接用公式 x a x a x a >?><-或 x a a x a <的不等式，常用零点讨论法和数形结合法。注意小分类求交大综合求并。 方法三：平方法 如果绝对值的不等式的两边都是非负数，如：3x >，可以用平方法。 2、绝对值三角不等式a b a b a b -≤±≤+ 绝对值三角不等式的运用主要体现在直接利用绝对值三角不等式证明不等式和求函数的最值。
高中数学——不等式的基本性质 高中数学——不等式的基本性质 不等式是高中数学中的一个重要概念，它用于表示两个数或表达式之间的大小关系。不等式在数学分析和解决实际问题中都有着广泛的应用。本文将介绍不等式的基本概念、性质和应用。 一、基本概念 不等式是一个数学表达式，用来表示两个数或表达式之间的不等关系。不等号（<, >）用来表示不等关系，而等号（=）则表示等关系。例如，3 < 5是一个不等式，表示3小于5；而3 = 5是一个等式，表 示3等于5。 二、不等式的性质 不等式有许多重要的性质，以下是几个常用的性质： 1、传递性：如果a < b且b < c，那么a < c。 2、加法单调性：如果a < b，而c为任意实数，那么a + c < b + c。 3、乘法单调性：如果a < b且c > 0，那么ac < bc。 4、乘法定理：如果a < b，c > 0，那么(ac) ^ n < (bc) ^ n（n为正整数）。
5、特殊性质：对于任意实数a和b，都有a <= b和a >= b同时成立，此时a = b。 这些性质在解决不等式问题时是非常有用的，它们可以帮助我们简化不等式、比较大小以及求解不等式。 三、不等式的应用 不等式在数学分析和解决实际问题中都有着广泛的应用。以下是一些常见的应用： 1、在数学分析中，不等式常常被用来估计函数的值域、定义域以及函数的单调性等。例如，利用不等式的性质可以估计三角函数的值域、求出函数的导数并判断函数的单调性等。 2、在实际生活中，不等式也常常被用来解决各种问题。例如，在经济学中，不等式可以用来表示两个公司之间的市场份额关系；在物理学中，不等式可以用来表示两个物体之间的力、速度和加速度等物理量之间的关系。 3、在计算机科学中，不等式也有着广泛的应用。例如，在算法分析中，不等式可以用来估计算法的时间复杂度和空间复杂度；在网络安全中，不等式可以用来表示两个节点之间的距离和通信延迟等关系。总之，不等式是数学中的一个重要概念，它在数学分析和解决实际问题中都有着广泛的应用。了解和掌握不等式的性质和应用对于我们解
1、不等式的基本性质: 不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。即如果a>b，那么a±c>b±c。 不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果 a>b，c>0，那么ac>bc（或）。 不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即如果 a>b，c<0，那么ac ①对称性； ②传递性： ③加法单调性：即同向不等式可加性： ④乘法单调性： ⑤同向正值不等式可乘性： ⑥正值不等式可乘方： ⑦正值不等式可开方： ⑧倒数法则。 不等式的基本性质和等式的基本性质的异同： ①相同点：无论是等式还是不等式，都可以在它的两边加（或减）同一个数或同一个整式； ②不同点：对于等式来说，在等式的两边乘（或除以）同一个正数（或同一个负数），等式仍然成立，但是对于不等式来说，却不大一样，在不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，而在不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向。 原理： ①不等式F（x）< G（x）与不等式G（x）>F（x）同解。 ②如果不等式F（x）< G（x）的定义域被解析式H（x ）的定义域所包含，那么不等式F（x） 不等式和它的基本性质 一、考点扫描： 1．了解不等式的意义。 2．掌握不等式的三条基本性质，并会运用这些基本性质将不等式变形。 二、名师精讲： 1．不等式的概念：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子，叫做不等式。 2．不等式的基本性质 （1）不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。用式子表示：如果a>b，那a+c>b+c（或a–c>b–c） （2）不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。用式子表示：如果a>b， 且c>0，那么ac>bc(或> ) （3）不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。用式子表示：如果a>b， 且c<0，那么ac [例1]我们已经学过的等式，方程是用"="连接式子，它表示数量间的相等关系，例如2+3=5，3x-1=2x+7， a+b=b+a等。事实上，在实际生活中，同类量之间具有不相等关系的例子是大量的，普遍的，例如：某天的气温最低是-2℃，最高是3℃说明气温不相等，两个同学们体重分别是95斤和87斤，也不相等，上述两个例子我们可以分别表示成-2＜3，95＞87，像这种用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式，常用的不等号有"＞""＜""＞""≥""≤""≠"。根据不等式的概念，请指出下列各式哪些是不等式：①x+y=y+x②4+x＞5③-3＜0④a+b≤c+b⑤a≠0⑥ 2x-7=5x+4 提示： 什么叫做不等式？常用的不等号有哪些？ 参考答案： ②③④⑤是不等式。 说明： （1）"＞"是大于号，"＜"是小于号，"≠"只表示"不等于"的意思，并没有肯定是大于还是小于，例如a≠b只否定了a与b之间的相等关系，并不明确a与b哪个大，而a＞b则肯定了a 比b大。用此，不等号"≠"、"＞"、"＜"的意义是各不相同的。 （2）符号≥表示"大于或等于"，也就是"不小于"的意思；符号"≤"表示"小于或等于"也就是"不大于"的意思，例如，"a不小于0"可写为a≥0, "a不大于-2"可写为a≤-2。 [例2]列出表示下列各数量关系的不等式： （1）a是正数； （2）y与2的差是非负数； （3）a与6的和大于7； （4）y的一半不小于3； 不等式及其性质（基础）知识讲解 知识梳理 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2)五种不等号的读法及其意义： (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 要点二、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b c c <)． 要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】 类型一、不等式的概念 1．用不等式表示： (1)x与-3的和是负数； (2)x与5的和的28％不大于-6; (3)m除以4的商加上3至多为5． 【思路点拨】列不等式时，应抓住“大于”、“不大于”、“不是”、“至多”、“非负数”等表示 一、不等式及其性质 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系； 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用； 3．理解并掌握一元一次不等式的概念及性质； 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2) (3) x表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 类型一、不等式的概念 例1.判断下列各式哪些是等式，哪些是不等式． （1）4＜5； （2）x2+1＞0； （3）x＜2x-5； （4）x=2x+3； （5）3a2+a； （6）a2+2a≥4a-2． 变式练习： 1.（2017春•城关区校级期末）贵阳市今年5月份的最高气温为27℃，最低气温为18℃，已知某一天的气温为t℃，则下面表示气温之间的不等关系正确的是（）A．18＜t＜27B．18≤t＜27C．18＜t≤27D．18≤t≤27 2.（2017春•未央区校级月考）下列式子：①a+b=b+a；②-2＞-5；③x≥-1；④ 3 1y-4＜1；⑤2m≥n；⑥2x -3，其中不等式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 3.（2017春•南山区校级月考）下面给出了6个式子： 3＞0； x+3y ＞0； x=3；④x -1；⑤x+2≤3；⑥2x≠0；其中不等式有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 4.（2017春•太原期中）学校组织同学们春游，租用45座和30座两种型号的客车，若租用45座客车x 辆，租用30座客车y 辆，则不等式“45x+30y≥500”表示的实际意义是（ ） A ．两种客车总的载客量不少于500人 B ．两种客车总的载客量不超过500人 C ．两种客车总的载客量不足500人 D ．两种客车总的载客量恰好等于500人 5.已知有理数m ，n 的位置在数轴上如图所示，用不等号填空． （1）n-m 0；（2）m+n 0；（3）m-n 0；（4）n+1 0；（5）m •n 0； （6）m+1 0． 例2．用不等式表示： (1)x 与-3的和是负数； (2)x 与5的和的28％不大于-6; (3)m 除以4的商加上3至多为5． 举一反三： 【变式】的值一定是（ ）． A. 大于零 B.小于零 C.不大于零 D. 不小于零 例3.下列叙述：①a 是非负数则a≥0；②“a 2减去10不大于2”可表示为a 2-10 ＜2； ③“x 的倒数超过10”可表示为＞10；④“a，b 两数的平方和为正数” 可表示为a 2+b 2＞0．其中正确的个数是（ ）. 个 个 个 D. 4个 要点二、一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，未知数的次数是一次的不等式，叫做一元一次不等式，例如，是一个一元一次不等式． 要点诠释： (1)一元一次不等式满足的条件：①左右两边都是整式(单项式或多项式)； ②只含有一个未知数； ③未知数的最高次数为1. (2) 一元一次不等式与一元一次方程既有区别又有联系： 相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的次数都是1，“左边”和“右边”都是整式． 不等式及其性质（基础）知识讲解 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系. 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2) (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 要点二、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b c c <)． 要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】 类型一、不等式的概念 不等式的基本性质、解不等式 【考纲要求】 1、不等关系 了解现实世界和日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景. 2、一元二次不等式 (1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. (2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. (3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图. 【基础知识】 一、不等式的概念及基本性质 1、实数运算性质与大小顺序关系 (1)a －b ＞0?a ＞b ；(2)a －b ＝0?a ＝b ；(3)a －b ＜0?a ＜b . 2、不等式的基本性质 (1)对称性：a ＞b ?b ＜a ； (2)传递性：a ＞b ，b ＞c ?a ＞c ； (3)可加性：a ＞b ?a ＋c ＞b ＋c ，a ＞b ，c ＞d ?a ＋c ＞b ＋d ； (4)可乘性：a ＞b ，c ＞0?ac ＞bc ；a ＞b ＞0，c ＞d ＞0?ac ＞bd ； (5)可乘方性：a ＞b ＞0?a n ＞b n (n ∈N ，n ≥2)； (6)可开方性：a ＞b ＞0?n a ＞n b (n ∈N ，n ≥2)． (7)叠加性：a ＞b ，c ＞d ?a+c ＞b+d （不等式同向可加） (8)叠乘性：a ＞b ≥0，c ＞d ≥0?ac ＞bd （不等式同向为正可乘） 注意：①不等式的基本性质，没有减法和除法。如果遇到减法和除法，可以转化乘加法和乘法。 如：求a －b 的范围可以转化成求a+(－b )的范围，求a b 的范围可以转化成求a ×1b 的范围。 ②方程和不等式的两边不能随便乘除，必须先研究这个数的性质，再乘除。 3、实数大小的比较 实数大小的比较一般用差比和商比。 (1)如果不知道实数是正数或负数，一般用差比，一般步骤是作差→变形（通分、因式分解、合并 同类项等）→与0比较→下结论。 (2)如果是正数，一般用商比，一般步骤是作商→变形（通分、因式分解、合并同类项等）→与1 比较→下结论。 4、?和?的含义 “P ?Q ”表示命题P 成立，命题Q 一定成立。 “P ?Q ”表示命题P 成立，命题Q 一定成立；命题Q 成立，命题P 一定成立。 二、一元一次不等式和一元二次不等式 1、一元一次不等式的解法 任何一个一元一次不等式经过不等式的同解变形后，都可以化为ax ＞b (a ≠0)的形式。 当a ＞0时，不等式的解集为{x|x ＞b a }；当a ＜0时，不等式的解集为{x|x ＜b a }. 2、一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0(a ≠0)的解法 解一元二次不等式最好的方法是图像法，充分体现了数形结合的思想。 (1)二次不等式f (x )=ax 2＋bx ＋c ≥0(a ＞0)的解法 当Δ＝b 2－4ac ＞0时，不等式的解集是{x |x ＞x 大或x ＜x 小}，简记为大于两边分，大于大根，小于小根。 当Δ＝b 2－4ac = 0时，不等式的解集是R. 基本不等式知识点归纳 基本不等式是数学中的重要概念，涉及到数值之间的大小关系。在 数学学习中，掌握基本不等式的知识点对于解决各类问题至关重要。 本文将对基本不等式的定义、性质以及常用的基本不等式进行归纳总结。 一、基本不等式的定义 基本不等式是指关于变量的不等关系式，通常形式为a ≤ b 或 a < b，其中 a、b 为实数，表示 a 与 b 之间的大小关系。 二、基本不等式的性质 1. 传递律：若a ≤ b 且b ≤ c，则a ≤ c。 2. 对称律：若a ≤ b，则b ≥ a。 3. 加法性：若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。 4. 减法性：若a ≤ b，则 a - c ≤ b - c（其中 c 为正数）。 5. 乘法性：若a ≤ b 且c ≥ 0，则ac ≤ bc。若c ≤ 0，则ac ≥ bc。 6. 除法性：若a ≤ b 且 c > 0，则a/c ≤ b/c。若 c < 0，则a/c ≥ b/c。 三、常用的基本不等式 1. 平均值不等式：对于任意非负实数 a₁、a₂、...、aₙ，有 (a₁ + a₂ + ... + aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。 该不等式表明，若 n 个非负实数的算术平均值大于等于它们的几 何平均值，那么这些数之间存在不等关系。 2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数 a₁、a₂、...、aₙ 和 b₁、 b₂、...、bₙ，有 (a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²)。 柯西-施瓦茨不等式表明了两个向量内积的平方与两个向量长度乘 积的平方之间的关系。该不等式在数学分析、线性代数等领域有广泛 应用。 3. 三角不等式：对于任意实数 a、b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。 三角不等式表明了两个实数之和的绝对值小于等于两个实数的绝 对值之和。 4. 拉格朗日中值定理：若函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区 间 (a, b) 内可导，则存在一个点 c ∈ (a, b)，使得 f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。 拉格朗日中值定理是微分学中的重要结果，可以推导出某些函数 的不等式关系。 四、应用举例 1. 判断多项式的根的范围：利用基本不等式，我们可以判断多项式 的根所在的范围。例如，对于二次多项式 ax² + bx + c（其中 a > 0）， 不等式的性质与证明方法总结 在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。 一、基本不等式性质 1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。这个性质是不等式推理的基础，可 以用于简化证明过程。 2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。这个性质表示在不等式两边同时加上 一个相同的数，不等式的大小关系不变。 3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。这个 性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。 4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。 二、常见不等式 1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立： (a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n) 平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。 2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立： (a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p) 其中p为大于0的实数。均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。 3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立： (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) 柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。 4. 夹逼定理：如果对于任意n，有a_n <= b_n <= c_n，并且lim(a_n) = lim(c_n) = L，则lim(b_n) = L。夹逼定理可以用于证明数列极限的存在与计算。 三、不等式的证明方法 1. 数学归纳法：对于一些特定的不等式，可以使用数学归纳法进行证明。数学 归纳法的基本思想是：先证明当n = 1时不等式成立，然后假设当n = k时不等式 成立，再证明当n = k + 1时不等式也成立。 2. 反证法：对于一些不等式，可以使用反证法进行证明。反证法的基本思想是：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原不等式成立。 3. 矛盾法：对于一些不等式，可以使用矛盾法进行证明。矛盾法的基本思想是：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原不等式成立。 4. 应用其他不等式：有时候，可以通过应用其他已知的不等式来证明目标不等式。例如，可以使用平均不等式、均值不等式、柯西不等式等来推导出目标不等式。 综上所述，不等式是数学中一种重要的工具，具有广泛的应用。了解不等式的 性质和证明方法，可以帮助我们更好地理解和应用不等式，解决实际问题。通过不断学习和练习，我们可以提高不等式的运用能力，为数学和其他学科的研究和应用做出更多贡献。 不等式的性质及解法 知识要点： 不等式与等式有许多不同，主要包括： 1、等式两边同乘（或除）以一个数（或式），等式仍然成立；不等式两边同乘（或除）以一个数（或式），不等式能否成立，要考虑该数（式）的符号， 即a b ac bc c ac bc c ac bc c >⇒>>>=<<⎧⎨⎪ ⎩⎪()()()000 2、解方程时允许出现不等价转化，出现增根时以验根弥补；解不等式要求必须是等价转化。 3、解方程组时，方程组中的方程之间允许进行加、减等运算，以达到消元目的；解不等式组时，不等式组中的不等式之间只能独立求解，再求交集。 不等式的性质可分为： 1）、公理a b a b a b a b >⇔-><⇔-<⎧⎨⎩ 0这也是将不等式问题——比较两个实数a 、b 的 大小，转化为恒等变形问题的依据。 2）、基本性质：（1）对称性a b b a >⇔<这个性质等式中也存在，即a b b a =⇔=，对称性说明了每一个已知的不等式都有两种形式，如： a b ab a b R +≥∈2(,)这个基本不等式本身就有a b ab 222+≥及222ab a b ≤+两种 形式，要能灵活运用。当然若进行等价转化还会有许多变式。 （2）传递性a b b c a c >>⇒>,这个性质是媒介法比较两个实数大小的依据，是放缩法证明不等式的依据。 （3）移项法则a b a c b c >⇔+>+如：x x +>⇔>-321，相当于在x +>32这个不等式两边同时加上－3得到的。 3、运算性质： （1）加法运算：a b c d a c b d >>⇒+>+, （2）减法运算：统一成加法运算a b c d a b d c a d b c >>⇒>->-⇒->-,, （3）乘法运算：a b o c d ac bd >>>>⇒>>,00 （4）除法运算：统一成乘法运算 a b c d a b d c a d b c >>>>⇒>>>>⇒>>0001100,, （由y x =1在（0，+∞）上是减函数，c d d c >>⇒>>011 0） （5）乘方运算：a b a b n N n n n >>⇒>∈≥02(,) 不等式的基本概念 不等式，在数学中是相对于等式而言的一种关系式。它揭示了数量 之间的大小关系，解决了许多实际问题，如优化、约束、分类等。作 为数学中一种重要的概念，不等式在各个领域中都发挥着不可替代的 作用。 一、不等式的定义 不等式是数学中描述数值大小关系的一种数学式子。以≤和≥表示的不 等式称为“不等式”，例如：3x+1>10，x≤3等式都是不等式。其中，“不 等于”符号≠不属于不等式范畴。 二、不等式的基本性质 1.加减均不等变性：两边同时加（减）一个数，不等的方向不发生改变，也就是说：若a>b，则a+c>b+c，a-c>b-c。 2.乘法不等性：若a>b，则a×c>b×c（c>0）或a×c 不等式解法主要有三种方法：代入法、绝对值法和图像法 1.代入法：将每一个解的可能取值都带入不等式进行判断，最后确定取值范围。 2.绝对值法：主要应用于一元一次不等式中，当不等式具有|x|的绝对值 形式时，应用不等式的绝对值概念，进行分情况讨论求解。 3.图像法：将不等式构成的图像绘制出来，通过分析图像来确定解的区间。 四、不等式的分类 1.一元一次不等式：其中的一元指的是变量只有一个，一次指的是变量出现的最高次数是1。这类不等式通常表示为ax+b>c，ax+b=c或 ax+b 2.1 等式性质与不等式性质 （基础知识+基本题型） 知识点一不等式的有关概念 1．不等式的定义 在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号， ，≥，≤，连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系．含有这些不等号的式子，叫做不等式． 2．同向不等式和异向不等式 对于两个不等式，如果每一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边或每一个不等式的左边都小于（或小于等于）右边，那么这两个不等式叫做同向不等式．例如，f x g x 与S x T x 是同向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≤也是同向不等式． 对于两个不等式，如果一个不等式的左边都大于（或大于等于）右边，而另一个不等式的左边小于（或 小于等于）右边，那么这两个不等式叫做异向不等式．例如，f x g x 与S x T x 是异向不等式，()()f x g x ≤与()()S x T x ≥也是异向不等式． 提示 文字语言 大于，高于，超过 小于，低于，少于 大于等于，至少，不低于 小于等于，至多， 不超过 符号语言≥≤ 知识点二比较实数大小的依据与方法 1．比较实数大小的依据 在数轴上，不同的点A与点B分别表示两个不同的实数a 与b，右边的点表示的数比左边的点表示的数大，从实数 减法在数轴上的表示（如图 3.11所示），可以看出a，b之间具有以下性质： 如果a b -等于零，那么 >；如果a b -是正数，那么a b a b；如果a b <．反之也成立．它是本章内容的理论基础，是不等式性质的证明、证-是负数，那么a b 明不等式和解不等式的主要依据． 简述不等式的4个基本性质 不等式是数学中一类非常重要的结构，其中内容涉及多个知识点，为研究和应用这类结构提供了有效的框架。其中，不等式的4个基本性质是很重要的，它们是：（1）不等式的交换性；（2）不等式的可分解性；（3）不等式的传递性；（4）不等式的联合性。本文旨在阐述这4个基本性质，并通过实例阐释它们的作用。 首先，让我们讨论不等式的交换性。它的定义是：对于任一不等式，如果其双边都是相同的，那么可以交换左右两边。比如，a>b， b 者从右到左传递这个不等式的结果，从而可以得到更精确的结果。 最后，让我们讨论不等式的联合性。它的定义是：当不等式上有满足某一条件的两个变量时，可以联合这两个变量，形成一个更大的范围。比如，x>2，y>3，那么有x和y同时大于2和3，即x、y>2、3。联合性的作用是，当不等式上有满足某一条件的两个变量时，可以将其联合，得到一个更大的范围，从而可以获得更精确的结果。 以上就是不等式的4个基本性质，它们都是为了有效研究和应用不等式所设计的。它们的作用是将一个单纯的不等式，拆分成多个更加精确的不等式，从而获得更精确的结果。 不等式的基本性质知识点 1．不等式的定义:a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a (4) c>0时，a>b ac>bc c<0时，a>b ac 不等式及其性质（基础）知识讲解 责编：杜少波 【学习目标】 1．了解不等式的意义，认识不等式和等式都刻画了现实世界中的数量关系. 2. 理解不等式的三条基本性质，并会简单应用. 【要点梳理】 要点一、不等式的概念 一般地，用“＜”、“＞”、“≤”或“≥”表示大小关系的式子，叫做不等式．用“≠”表示不等关系的式子也是不等式． 要点诠释： (1)不等号“＜”或“＞”表示不等关系，它们具有方向性，不等号的开口所对的数较大． (2) (3)有些不等式中不含未知数，如3＜4，-1＞-2；有些不等式中含有未知数，如2x＞5中，x 表示未知数，对于含有未知数的不等式，当未知数取某些值时，不等式的左、右两边符合不等号所表示的大小关系，我们说不等式成立，否则，不等式不成立． 【高清课堂：一元一次不等式370042不等式的基本性质】 要点二、不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式两边加(或减)同一个数(或式子)，不等号的方向不变．用式子表示：如果a＞b，那么a±c＞b±c 不等式的基本性质2：不等式两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变． 用式子表示：如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc(或a b c c >)． 不等式的基本性质3：不等式两边乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变． 用式子表示：如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc(或a b c c <)． 要点诠释： 对不等式的基本性质的理解应注意以下几点： (1)不等式的基本性质是对不等式变形的重要依据，是学习不等式的基础，它与等式的两条性质既有联系，又有区别，注意总结、比较、体会． (2)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质2和性质3的区别，在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号的方向要改变．【典型例题】 类型一、不等式的概念5不等式和它的基本性质
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