不等式基本性质
不等式是数学分析中最重要的概念，它涉及到比较大小的问题，在现代数学的发展中起着至关重要的作用。一般而言，不等式就是给出一个不完全相同的两个数，并表示其大小关系，有时也包括一个不等式中的多个变量，尤其是在微积分和线性代数领域，研究大量不等式的性质。下面介绍一些被称为不等式基本性质的典型性质。
首先，不等式的交换性：也就是如果a≠b，则b≠a，也就是说，左边的数等于右边的数，而右边的数又等于左边的数，因此不等式的交换性得以成立。
其次，不等式的可加性：如果我们考虑两个数的不等式，那么我们可以把这两个数相加，其结果仍然是一个不等式，这就是不等式的可加性。
再次，不等式的超集性：也就是如果a 第四，不等式的对偶性：这是一种重要的对称性，即如果a＜b，则在相同的条件下，-a＞-b，而且与之相对应的如果a≥b，则-a≤-b。 最后，不等式的可代换性：这种性质是指可以用a的乘积或商来替代不等式中的a，而且不影响不等式的结果，如果a 以上总结了不等式的基本性质，包括交换性、可加性、超集性、对偶性和可代换性，这些基本性质可以简单明了地把控数学中不等式的大小，因为不等式在微积分和线性代数中有着重要的地位，只有深入掌握不等式的基本性质，才可以进行更深入的研究。 另外，不等式也与其他的数学元素有着千丝万缕的联系。比如解方程，求极限，需要用到不等式；在几何学中，通常需要使用不等式来 表示某种状态；在统计中，不等式也发挥着重要作用，可以运用不等式来定义一组统计数据的概率分布及相关特征。 总之，不等式是数学比较大小的重要基础，不等式基本性质是一个很重要的内容，深入研究不等式的基本性质可以更深入地理解不等式的性质，使我们在日常的数学计算中更轻松，更快捷地得出结论，从而推动数学的进一步发展。 不等式基本性质 不等式是数学分析中最重要的概念，它涉及到比较大小的问题，在现代数学的发展中起着至关重要的作用。一般而言，不等式就是给出一个不完全相同的两个数，并表示其大小关系，有时也包括一个不等式中的多个变量，尤其是在微积分和线性代数领域，研究大量不等式的性质。下面介绍一些被称为不等式基本性质的典型性质。 首先，不等式的交换性：也就是如果a≠b，则b≠a，也就是说，左边的数等于右边的数，而右边的数又等于左边的数，因此不等式的交换性得以成立。 其次，不等式的可加性：如果我们考虑两个数的不等式，那么我们可以把这两个数相加，其结果仍然是一个不等式，这就是不等式的可加性。 再次，不等式的超集性：也就是如果a 表示某种状态；在统计中，不等式也发挥着重要作用，可以运用不等式来定义一组统计数据的概率分布及相关特征。 总之，不等式是数学比较大小的重要基础，不等式基本性质是一个很重要的内容，深入研究不等式的基本性质可以更深入地理解不等式的性质，使我们在日常的数学计算中更轻松，更快捷地得出结论，从而推动数学的进一步发展。 1、不等式的基本性质: 不等式性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变。即如果a>b，那么a±c>b±c。 不等式性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。即如果 a>b，c>0，那么ac>bc（或）。 不等式性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。即如果 a>b，c<0，那么ac ①对称性； ②传递性： ③加法单调性：即同向不等式可加性： ④乘法单调性： ⑤同向正值不等式可乘性： ⑥正值不等式可乘方： ⑦正值不等式可开方： ⑧倒数法则。 不等式的基本性质和等式的基本性质的异同： ①相同点：无论是等式还是不等式，都可以在它的两边加（或减）同一个数或同一个整式； ②不同点：对于等式来说，在等式的两边乘（或除以）同一个正数（或同一个负数），等式仍然成立，但是对于不等式来说，却不大一样，在不等式的两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，而在不等式的两边乘（或除以）同一个负数，不等号要改变方向。 原理： ①不等式F（x）< G（x）与不等式G（x）>F（x）同解。 ②如果不等式F（x）< G（x）的定义域被解析式H（x ）的定义域所包含，那么不等式F（x） 不等式性质 在数学中，不等式是指一类逻辑表达，与等式有所不同，表达的是一种不同的含义，它描述的是两个数的大小关系而不是数值相等。理解不等式的本质，首先要搞清楚它所涉及的基本操作符号、指标符号以及其相关的操作性质，这就是不等式性质。 一般来说，不等式所用的操作符号有：大于号（>）、小于号（、大于等于号（≥）、小于等于号（≤），分别表示两个数之间的关系，即左边数是否大于右边数，或者判断两个数是否相等。而指标符号则用于表示一组未知数，其作用在于不等式中涉及到的未知数可以用指标符号表示出来，从而保证将不等式的特定部分隐藏起来。 不等式的性质主要分为四种，即一元不等式性质、多元不等式性质、乘法不等式性质以及基本不等式性质。 一元不等式的性质指的是一元不等式中涉及到的变量只有一个，其定义是一元不等式右侧各项的系数都为正，右端常数可以为正、负或零，若右端常数为零，则一元不等式转化为一元等式。 多元不等式的性质指的是一个不等式中涉及到的变量不止一个，多元不等式的系数都是正，而常数可以正、负或零，而多元不等式又可以分为无约束多元不等式和有约束多元不等式两种情况，如约束多元不等式可以写成“3x+4y≤6z-7”的形式。 乘法不等式的性质指的是两个不等式连接在一起，以乘法形式表达，即可以以“a>bc”的形式表示。这是由两个不等式连接起来，表示不等式左侧和右侧各项均为正，左侧与右侧各项的系数相乘，因此 也被称为乘法不等式。 基本不等式的性质指的是比较简单的几个不等式，如“x+y≥5”的形式，其中用号表示大于等于，此类不等式称为基本不等式。 通过上述介绍，我们可以看出不等式的性质可以分为四种：一元不等式性质、多元不等式性质、乘法不等式性质以及基本不等式性质。这些性质，是基础数学中不可或缺的内容，在中学课程中都有涉及，对数学能力的提升有着十分重要的作用。 此外，在解决实际问题时，也经常会遇到不等式相关的应用，因此，学习不等式也是解决实际问题的必备技能。不等式的性质之所以这么重要，是因为它涉及到诸多具体技巧性的内容，如对未知数取负，将等式转化为不等式，以及不等式的函数表达式等等。 在学习不等式性质时，学生首先要明确基本概念，如操作符号和指标符号，明白不同类型不等式的特点，以及各种不等式的性质，其次要有一定的训练，学会在实际中正确使用不等式，并运用不等式的性质来解决问题。 综上所述，我们可以明白，不等式是学习基础数学和解决实际问题中不可或缺的重要内容，了解不等式的性质，对学生来说有着重要的意义。 （1）一元一次不等式：只含有一个未知数且未知数的次数是一次的不等式叫做一元一次不等式。 （2）一元一次不等式的解法：求接方法与解一元一次方程类似，根据不等式性质将不等式变形，从而等到解集. （3）一般步骤：一、去分母；二、去括号；三、移项；四、合并，化成b ax >或b ax <的形式（其中0≠a ）；五、两边都除以未知数的系数，得到不等式的解集。 热身练习 1、判断下列各题是否正确？正确的打“√”，错误的打“×”。 （1） 不等式两边同时乘以一个整数，不等号方向不变.（ × ） （2） 如果a ＞b ，那么3－2a ＞3－2b.（ × ） （3） 如果a ＜b ，那么a 2 ＜b 2 .（ × ） （4） 如果a 为有理数，则a ＞－a.（ × ） （5） 如果a ＞b ，那么ac 2 ＞bc 2 .（ × ） （6） 如果－x ＞８，那么x ＞－8.（ × ） （7） 若a ＜b ，则a ＋c ＜b ＋c.（ √ ） 2、若x ＞ｙ，则ax ＞ay ，那么a 一定为（ A ）。[来源 A 、a ＞０ B 、ａ＜０ C 、ａ≥0 D 、a ≤0 3、有理数b 满足︱b ︱＜3，并且有理数a 使得a ＜b 恒成立，则a 得取值范围是（ C ）。 A 、小于或等于3的有理数 B 、小于3的有理数 C 、小于或等于－3的有理数 D 、小于－3的有理数 4、若b a <，则下列各式中一定成立的是（ B ） A 、0>-b a B 、0<-b a C 、0>ab D 、0 第八讲不等关系、不等式的基本性质 一、知识点精讲： （一）不等式的定义：用不等号把两个代数式连接起来，表示不等关系的式子叫不等式。不等符号常见的有5种：“＜”、“≤”、“＞”、“≥”及“≠”。 注意：“≠”也是不等号，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能确定哪个大，哪个小。“≤”表示“小于或等于”或“不大于”，“≥”表示“大于或等于”或“不小于”。（二）不等式的基本性质： 1、不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。 3、不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要变向。注意：等式性质与不等式性质的最大区别在于不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变 （三）不等式的解集： 1．不等式的解：使不等式成立的每一个未知数的值，叫做不等式的解． 2．不等式的解集：不等式的解的集合叫做不等式的解集．它包含两个方面的意思：第一，解集中的任何一个数值，都能使不等式成立；第二，解集外的任何一个数值，都不能使该不等式成立。因此，解集要达到不多不漏的严格要求。 3．不等式的解集可以在数轴上直观地表示出来，在表示的时候，要注意“两定”：一是定边界点，若边界点含于解集，为实心点，不含于解集为空心点；二是定方向，相对于边界点而言，“小于向左，大于向右”． 不等式的解集在数轴上的表示如下： ①当不等式的解集是x＞a时.(如图1－1) 图1－1 ②不等式的解集是x≥a时.(如图1－2) 图1－2 ③当不等式的解集是x＜a时.(如图1－3) 图1－3 第二节 1.2不等式的基本性质—目标导引 1.历经不等式基本性质探索，进一步体会不等式与等式的区别. 2.掌握并能灵活运用不等式的基本性质 1.2不等式的基本性质—内容全解 1.不等式的基本性质 不等式的基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变. 不等式的基本性质2：不等式的两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变. 不等式的基本性质3：不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要变向. 2.等式性质与不等式性质的区别 其最大区别在于不等式的两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向要改变 第二课时 ●课题 §1.2 不等式的基本性质 ●教学目标 （一）教学知识点 1.探索并掌握不等式的基本性质； 2.理解不等式与等式性质的联系与区别. （二）能力训练要求 通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力. （三）情感与价值观要求 通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，同时还加强了同学间的合作与交流. ●教学重点 探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用. ●教学难点 能根据不等式的基本性质进行化简. ●教学方法 类推探究法 即与等式的基本性质类似地探究不等式的基本性质. ●教具准备 投影片两张 第一张：（记作§1.2 A ） 第二张：（记作§1.2 B ） ●教学过程 Ⅰ.创设问题情境，引入新课 ［师］我们学习了等式，并掌握了等式的基本性质，大家还记得等式的基本性质吗？ ［生］记得. 等式的基本性质1：在等式的两边都加上（或减去）同一个数或整式，所得的结果仍是等式. 基本性质2：在等式的两边都乘以或除以同一个数（除数不为0），所得的结果仍是等式. ［师］不等式与等式只有一字之差，那么它们的性质是否也有相似之处呢？本节课我们将加以验证. Ⅱ.新课讲授 1.不等式基本性质的推导 ［师］等式的性质我们已经掌握了，那么不等式的性质是否和等式的性质一样呢？请大家探索后发表自己的看法. ［生］∵3＜5 ∴3+2＜5+2 3－2＜5－2 3+a ＜5+a 3－a ＜5－a 所以，在不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变. ［师］很好.不等式的这一条性质和等式的性质相似.下面继续进行探究. ［生］∵3＜5 ∴3×2＜5×2 3× 21＜5×2 1. 所以，在不等式的两边都乘以同一个数，不等号的方向不变. ［生］不对. 如3＜5 3×（－2）＞5×（－2） 所以上面的总结是错的. ［师］看来大家有不同意见，请互相讨论后举例说明. ［生］如3＜4 3×3＜4×3 不等式的性质与证明方法总结 在数学中，不等式是一种非常重要的数学工具，用于描述数值之间的大小关系。不等式可以帮助我们解决各种实际问题，同时也是数学推理和证明的基础。本文将总结一些常见的不等式性质和证明方法，帮助读者更好地理解和应用不等式。 一、基本不等式性质 1. 传递性：如果a < b，b < c，则有a < c。这个性质是不等式推理的基础，可 以用于简化证明过程。 2. 加法性：如果a < b，则a + c < b + c。这个性质表示在不等式两边同时加上 一个相同的数，不等式的大小关系不变。 3. 乘法性：如果a < b，c > 0，则ac < bc；如果a < b，c < 0，则ac > bc。这个 性质表示在不等式两边同时乘以一个正数或负数，不等式的大小关系会发生改变。 4. 对称性：如果a < b，则-b < -a。这个性质表示如果不等式两边同时取相反数，不等式的大小关系会发生改变。 二、常见不等式 1. 平均不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立： (a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1 * a2 * ... * an)^(1/n) 平均不等式可以用于证明其他不等式，如均值不等式、柯西不等式等。 2. 均值不等式：对于任意非负实数a1, a2, ..., an，有以下不等式成立： (a1 + a2 + ... + an) / n >= (a1^p + a2^p + ... + an^p)^(1/p) 其中p为大于0的实数。均值不等式可以用于证明其他不等式，如柯西不等式、夹逼定理等。 3. 柯西不等式：对于任意实数a1, a2, ..., an和b1, b2, ..., bn，有以下不等式成立： (a1b1 + a2b2 + ... + anbn)^2 <= (a1^2 + a2^2 + ... + an^2)(b1^2 + b2^2 + ... + bn^2) 柯西不等式可以用于证明向量内积的性质，以及其他不等式的推导。 4. 夹逼定理：如果对于任意n，有a_n <= b_n <= c_n，并且lim(a_n) = lim(c_n) = L，则lim(b_n) = L。夹逼定理可以用于证明数列极限的存在与计算。 三、不等式的证明方法 1. 数学归纳法：对于一些特定的不等式，可以使用数学归纳法进行证明。数学 归纳法的基本思想是：先证明当n = 1时不等式成立，然后假设当n = k时不等式 成立，再证明当n = k + 1时不等式也成立。 2. 反证法：对于一些不等式，可以使用反证法进行证明。反证法的基本思想是：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原不等式成立。 3. 矛盾法：对于一些不等式，可以使用矛盾法进行证明。矛盾法的基本思想是：假设不等式不成立，然后通过推理推导出矛盾的结论，从而证明原不等式成立。 4. 应用其他不等式：有时候，可以通过应用其他已知的不等式来证明目标不等式。例如，可以使用平均不等式、均值不等式、柯西不等式等来推导出目标不等式。 综上所述，不等式是数学中一种重要的工具，具有广泛的应用。了解不等式的 性质和证明方法，可以帮助我们更好地理解和应用不等式，解决实际问题。通过不断学习和练习，我们可以提高不等式的运用能力，为数学和其他学科的研究和应用做出更多贡献。 不等式的基本性质知识点 不等式的基本性质知识点 1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a<b。 ① 其实质是运用实数运算来定义两个实数的大小关系。它是本章的基础，也是证明不等式与解不等式的主要依据。 ②可以结合函数单调性的证明这个熟悉的知识背景，来认识作差法比大小的理论基础是不等式的性质。 作差后，为判断差的符号，需要分解因式，以便使用实数运算的符号法则。 如证明y=x3为单增函数， 设x1, x2∈(-∞,+∞), x1<x2， f(x1)-f(x2)=x13-x23=(x1-x2)(x12+x1x2+x22)=(x1-x2)[( x1+)2 +x22] 再由(x1+)2+x22>0, x1-x2<0,可得f(x1)<f(x2), ∴ f(x)为单增。 2．不等式的性质： ① 不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。 不等式基本性质有： (1) a>bb<a (对称性) (2) a>b, b>ca>c (传递性) (3) a>ba+c>b+c (c∈R) (4) c>0时，a>bac>bc c<0时，a>bac<bc。 运算性质有： (1) a>b, c>da+c>b+d。 (2) a>b>0, c>d>0ac>bd。 (3) a>b>0an>bn(n∈N, n>1)。 (4) a>b>0>(n∈N, n>1)。 应注意，上述性质中，条件与结论的逻辑关系有两种：“”和“”即推出关系和等价关系。一般地，证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此，要正确理解和应用不等式性质。 ② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的 不等式的基本性质与解法 不等式是数学中常见的一种数学关系，它描述了两个数之间的大小关系。在解决实际问题中，经常需要研究不等式的基本性质和解法。本文将介绍不等式的基本性质以及解决不等式的方法，并且给出一些例子来说明。 一、不等式的基本性质 1. 加减性性质：对于两个不等式，如果它们的左右两边分别相加或相减，那么它们的不等关系不变。 例如：对于不等式 2x < 6 和 3x > 9，我们可以将两个不等式的左右两边分别相加得到 2x + 3x < 6 + 9，即 5x < 15。不等式的不等关系保持不变。 2. 乘除性性质：对于不等式，如果两边都乘以一个正数，则不等关系保持不变；如果两边都乘以一个负数，则不等关系发生改变。 例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时乘以一个正数 3，我们得到 3 * 2x < 3 * 6，即 6x < 18，不等关系保持不变。但如果两边同时乘以一个负数 -3，我们得到 -3 * 2x > -3 * 6，即 -6x > -18，不等关系发生改变。 3. 反号性质：对于不等式，如果两边同时取负号，不等关系发生改变。 例如：对于不等式 2x < 6，如果两边同时取负号，我们得到 -2x > -6，不等关系发生改变。 4. 绝对值性质：对于不等式，如果绝对值符号"|" 出现在不等式中，我们需要分别讨论绝对值大于零和绝对值小于零的情况。 例如：对于不等式|2x - 4| < 6，我们可以将其分为两个部分来讨论。当 2x - 4 > 0 时，不等式简化为 2x - 4 < 6，解得 x < 5；当 2x - 4 < 0 时，不等式简化为 -(2x - 4) < 6，解得 x > -1。 二、不等式的解法 1. 图像法：对于一些简单的一元不等式，我们可以使用图像法来解决。将不等式转化为图像表示，通过观察图像来确定不等式的解集。 例如：对于不等式 2x - 5 > 3，我们可以将其转化为线性函数图像 y = 2x - 5。通过观察函数图像，在 y 坐标大于 3 的部分即为不等式的解集。所以不等式的解集为 x > 4。 2. 区间法：对于一些复杂的不等式，我们可以使用区间法来解决。 通过分析不等式中的关系，将解集表示为区间形式。 例如：对于不等式 2x - 3 < 6x + 1，我们可以将其转化为等式 2x - 3 = 6x + 1，进而解得 x = -1。然后我们取 x = -1 作为分界点，即可将不 等式的解集表示为两个区间。当 x < -1 时，不等式成立；当 x > -1 时，不等式不成立。 3. 值域法：对于一些含有绝对值的不等式，我们可以使用值域法来 解决。通过分析绝对值的取值范围，确定不等式的解集。 不等式基本概念与性质 不等式是数学中重要的概念之一，用于描述数值关系的符号不等于号（≠），不等式（<、≤、>、≥）用于表示两个数之间的大小关系。在学习不等式的过程中，我们需要了解不等式的基本概念与性质，以及如何利用它们解决实际问题。本文将介绍不等式的基本概念与性质，并举例说明其应用。 一、不等式的基本概念 1. 不等式的定义：不等式是数的比较关系的代数表达式，其形式为x>y或x 5. 除法性质：对于任意实数a、b和c，如果a>b，c>0，则a/c>b/c；如果a>b，c<0，则a/c7，求解x的范围。 解：将不等式进行等价变形，得到3x>7-2，即3x>5。再将不等式 两边都除以3，得到x>5/3。因此，x的解集为x∈(5/3, ∞)。 例题二：证明不等式5(x-1)-3(x-2)>2x。 解：将不等式进行展开化简，得到5x-5-3x+6>2x，即2x+1>2x。由 于2x始终大于2x+1，所以不等式恒成立。 总结： 通过本文的介绍，我们了解了不等式的基本概念与性质，并学会了 如何解决不等式以及如何应用不等式解决实际问题。不等式在数学中 具有广泛的应用，能够帮助我们描述和解决实际问题，同时也是其他 数学分支的基础。因此，掌握不等式的基本概念与性质对我们的学习 和应用具有重要意义。 不等式的基本性质知识点 1．不等式的定义：a-b>0a>b, a-b=0a=b, a-b<0a ② 关于不等式的性质的考察，主要有以下三类问题： (1)根据给定的不等式条件，利用不等式的性质，判断不等式能否成立。 (2)利用不等式的性质及实数的性质，函数性质，判断实数值的大小。 (3)利用不等式的性质，判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。 基本不等式知识点归纳 基本不等式是数学中的重要概念，涉及到数值之间的大小关系。在 数学学习中，掌握基本不等式的知识点对于解决各类问题至关重要。 本文将对基本不等式的定义、性质以及常用的基本不等式进行归纳总结。 一、基本不等式的定义 基本不等式是指关于变量的不等关系式，通常形式为a ≤ b 或 a < b，其中 a、b 为实数，表示 a 与 b 之间的大小关系。 二、基本不等式的性质 1. 传递律：若a ≤ b 且b ≤ c，则a ≤ c。 2. 对称律：若a ≤ b，则b ≥ a。 3. 加法性：若a ≤ b，则a + c ≤ b + c。 4. 减法性：若a ≤ b，则 a - c ≤ b - c（其中 c 为正数）。 5. 乘法性：若a ≤ b 且c ≥ 0，则ac ≤ bc。若c ≤ 0，则ac ≥ bc。 6. 除法性：若a ≤ b 且 c > 0，则a/c ≤ b/c。若 c < 0，则a/c ≥ b/c。 三、常用的基本不等式 1. 平均值不等式：对于任意非负实数 a₁、a₂、...、aₙ，有 (a₁ + a₂ + ... + aₙ)/n ≥ √(a₁a₂...aₙ)。 该不等式表明，若 n 个非负实数的算术平均值大于等于它们的几 何平均值，那么这些数之间存在不等关系。 2. 柯西-施瓦茨不等式：对于任意实数 a₁、a₂、...、aₙ 和 b₁、 b₂、...、bₙ，有 (a₁b₁ + a₂b₂ + ... + aₙbₙ)² ≤ (a₁² + a₂² + ... + aₙ²)(b₁² + b₂² + ... + bₙ²)。 柯西-施瓦茨不等式表明了两个向量内积的平方与两个向量长度乘 积的平方之间的关系。该不等式在数学分析、线性代数等领域有广泛 应用。 3. 三角不等式：对于任意实数 a、b，有|a + b| ≤ |a| + |b|。 三角不等式表明了两个实数之和的绝对值小于等于两个实数的绝 对值之和。 4. 拉格朗日中值定理：若函数 f(x) 在闭区间 [a, b] 上连续，在开区 间 (a, b) 内可导，则存在一个点 c ∈ (a, b)，使得 f(b) - f(a) = f'(c)(b - a)。 拉格朗日中值定理是微分学中的重要结果，可以推导出某些函数 的不等式关系。 四、应用举例 1. 判断多项式的根的范围：利用基本不等式，我们可以判断多项式 的根所在的范围。例如，对于二次多项式 ax² + bx + c（其中 a > 0）， 2.1 不等式的基本性质 知识点一、不等式的基本性质： 性质1 对称性：a b b a <⇔>； 性质2 传递性：b a >，c b >c a >⇒； 性质3 可加性：b a >⇒c b c a +>+； 性质4 可乘性：b a >，0>c ⇒bc ac >；b a >，0 一、实数（代数式）大小的比较 1、比较下列两组数的大小，并说明理由 （1）107+与143+ （2）当1>x 时，3x 与12+-x x 2、已知0>>b a ，比较2222b a b a +-与b a b a +-的大小. 3、已知a ，b ，c 是不全相等的实数，试比较222c b a ++与ca bc ab ++的大小关系． 4、已知0< 不等式的概念和基本性质重点：不等式的基本性质 难点：不等式基本性质的应用 主要内容： １．不等式的基本性质 〔１a>b bb,b>c a>c 〔３a+b 〔１a∈R,a2≥0 〔当且仅当a=0时取等号 〔２a,b∈R,a2+b2≥2ab 〔当且仅当a=b时取等号 〔３a,b∈R+,≥〔当且仅当a=b时取等号 〔４a,b,c∈R+,a3+b3+c3≥3abc 〔当且仅当a=b=c时取等号 〔５a,b,c∈R+,≥〔当且仅当a=b=c时取等号 〔６|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| ４．不等式的概念和性质是进行不等式的变换,证明不等式和解不等式的依据,应正确理解和运用不等式的性质,弄清每条性质的条件与结论,注意条件与结论之间的关系。基本不等式可以在解题时直接应用。 例１．对于实数a,b,c判断以下命题的真假 〔１若a>b, 则ac不等式基本性质
不等式的性质
不等式性质
不等式及其性质与解法
第九讲不等关系、不等式的基本性质
不等式的基本性质
不等式的性质与证明方法总结
不等式的基本性质知识点
不等式的基本性质与解法
不等式基本概念与性质
不等式的基本性质知识点
基本不等式知识点归纳
不等式的基本性质
不等式的概念和基本性质
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