当前位置：文档之家› 高三数学函数的极限

高三数学函数的极限

13.3 函数的极限

●知识梳理

1.函数极限的概念：（1）如果+∞

→x lim f （x ）=a 且-∞

→x lim f （x ）=a ,那么

就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞

→x lim f （x ）=a ,

也可记作当x →∞时，f （x ）→a.

（2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0

lim x

x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a .

（3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作

→0lim

x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近

于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作

→0lim

x x f （x ）=a .

2.极限的四则运算法则：如果0

lim x

x → f （x ）=a , 0

lim

x x →g （x ）=b ,那么

lim

x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ;

lim

x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ;

lim

x x →)()(x g x f =b

（b ≠0）.

特别提示

（1）上述法则对x →∞的情况仍成立；

（2）0

lim x x →[Cf （x ）]=C 0

lim x

x →f （x ）（C 为常数）; （3）0

lim x x →[f （x ）]n =[0

lim x

x →f （x ）]n

（n ∈N *）. ●点击双基 1.

→0lim

x x f （x ）=

→0lim

x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案:C 2.f （x ）=⎩

⎨

⎧<≥,10,

12x x x 下列结论正确的是 A.)(lim 1x f x +

→=-

→1

lim x f （x ） B.)(lim 1x f x +

→=2，)(lim 1x f x -

→不存在

C.+

→1

lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x -

→不存在 D.+

→1lim x f （x ）≠-

→1lim x f （x ）

答案:D

3.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在点x 0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件答案:A

4.（2005年西城区抽样测试） 1lim

→x x

x x x --+222

=________________. 解析:

1lim →x x

x x x --+222=1

lim →x )

1()2)(1(-+-x x x x =1

lim

→x x

x 2

+=3. 答案:3

5.若1lim →x 3

22+++x ax x =2,则

a =__________.

解析:

1lim →x 3

22+++x ax x =2, ∴4

4+a =2.∴a =4.

答案:4 ●典例剖析

【例1】求下列各极限：（1） 2

lim →x （

)214

---x x ；（2）∞

→x lim （

))((b x a x ++－x ）

；（3） 0

lim

→x |

|x x

；（4）

πlim

→

x .2

sin

2cos cos x x x

- 剖析:若f （x ）在x 0处连续，则应有0

lim x

x → f （x ）=f （x 0）,故求f （x ）在连续点x 0处的极限时，只需求f （x 0）即可；若f （x ）在x 0处不连续，可通过变形，消去x －x 0因式，转化成可直接求f （x 0）的式子.

解:（1）原式＝2lim

→x 4)2(42-+-x x ＝2lim →x 21

+-x =－4

1. （2）原式=∞

→x lim x

ab x b a x ab x b a ++++++)()(2

=a +b .

（3）因为+

→0lim

x |

|x x =1,而=-→0lim x ||x x

=－1，

→0lim x ||x x ≠-→0lim x |

|x x , 所以0lim →x |

|x x

不存在．

（4）原式=2

lim

→

x 2

sin

2cos 2sin 2cos 22

x x x x --＝2

lim →

x （cos 2x +sin 2

）＝2.

思考讨论

数列极限与函数极限的区别与联系是什么？

【例2】（1）设

f （x ）=⎪⎪

⎩⎪⎪

⎨⎧<+=>+→,

1;)(lim ,,00

020

x x f b x x b x x

x 存在使的值试确定;

（2）f （x ）为多项式,且∞→x lim

x x f 3

4)(-=1,0

lim

→x x

x f )

(=5,求f （x ）的表

达式.

解:（1）+

→0lim x f （x ）= +

→0lim x （2x +b ）=b ,-

→0lim x f （x ）= -

→0lim x （1+2x ）

=2,

当且仅当b =2时, +

→0lim x f （x ）= -

→0lim x f （x ）,

故b =2时,原极限存在. （2）由于

f （x ）是多项式,且∞→x lim

x x f 3

4)(-=1,

∴可设f （x ）=4x 3+x 2+ax +b （a 、b 为待定系数）. 又∵0lim

→x x

x f )

(=5, 即0

lim →x （4x 2+x +a +x

b ）=5, ∴a =5,b =0,即f （x ）=4x 3+x 2+5x .

评述:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同. （2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数

值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化.

【例3】讨论函数f （x ）= ∞

→n lim n

n x x 2211+-·x （0≤x ＜+∞）的连续

性，并作出函数图象.

部析:应先求出f （x ）的解析式，再判断连续性. 解:当0≤x ＜1时，f （x ）=

∞→n lim

⋅+-n

x x 2211x =x ; 当x ＞1时，f （x ）=

∞→n lim

x x 2211+-·x =∞→n lim 11

1122+-n

x x ·x =－x ;

当x =1时，f （x ）=0. ∴f

（x ）=⎪⎩

⎪⎨⎧>-=<≤).

1(),

1(0

10(x x x x x

i ∵+

→1lim x f （x ）=+

→1lim x （－x ）=－1,-

→1lim x f （x ）=

→1lim x x =1,

∴1

lim →x f （x ）不存在.

∴f （x ）在x =1处不连续，f （x ）在定义域内的其余点都连续. 图象如下图所示.

评述:分段函数讨论连续性，一定要讨论在“分界点”的左、右极限，进而判断连续性.

●闯关训练

夯实基础

1.已知函数f （x ）是偶函数,且-∞

→x lim f （x ）=a ,则下列结论一定正

确的是

A. +∞

→x lim f (x )=－a B. +∞

→x lim f （x ）=a

C. +∞

→x lim f (x )=|a | D. -∞

→x lim f （x ）=|a |

解析：∵f （x ）是偶函数,∴f （－x ）=f （x ）. 又-∞→x lim f （x ）=a ,

+∞

→x lim

f （－x ）=a ,f （x ）=f （－x ）,

∴+∞

→x lim f （－x ）= +∞

→x lim f （x ）=a .

答案：B 2. 1lim →x 5

2-+-+x x x x 等于 A.2

1 B.1 C.

D.4

解析:∵122lim ,52

)5)(1()2)(1(542→∴++=+-+-=-+-+x x x x x x x x x x x 5

422

2-+-+x x x x =2

答案:A

3.已知函数y =f （x ）在点x =x 0处存在极限,且

+→0

lim x x f （x ）=a

－2,

→0lim

x x f

（x ）=2a +1,则函数y =f （x ）在点x =x 0处的极限是____________.

解析:∵y =f （x ）在x =x 0处存在极限, ∴+→0

lim x x f （x ）=-→0

lim x x f （x ）,即

a 2－2=2a +1.∴a =－1或a =3.

∴

lim

x x → f （x ）=2a +1=－1或7.

答案:－1或7

4.若 f （x ）=

-+-+x x 在点x =0处连续，则 f （0）

=__________________.

解析:∵f （x ）在点x =0处连续， ∴f （0）=0

lim →x f （x ）,

lim →x f

（x ）= 0

lim →x 1

1113

-+-+x x

= 0

lim

→x 1

1)1(33

2++++++x x x =2

答案:2

5.已知函数f （x ）=∞

→n lim

n n n x x +-22，试求:

（1）f （x ）的定义域，并画出图象；（2）求-

-→2lim x f （x ）、+

-→2l

i m x f （x ）,并指出2

lim -→x f （x ）是否存在.

解:（1）当|x |＞2时，

∞→n lim

n n n

x x +-22=∞→n lim 1)2(1)2(+-n

x =－1; 当|x |＜2

时，∞→n lim n n n

x x +-22=∞

→n lim

x x )2

(1)2(1+-=1;

当x =2

时，∞→n lim n

n n

n x

x +-22=0; 当x =－2

时，∞→n lim n

n n

n x

x +-22不存在.

∴f

（x ）=⎪⎩

⎪⎨⎧<<-=-<>-).

22(1),

2(0

),22(1

x x x x 或

∴f （x ）的定义域为{x |x ＜－2或x =2或x ＞2}. 如下图

（2）∵-

-→2lim x f （x ）=－1,+

-→2lim x f （x ）=1.∴2

lim -→x f （x ）不存在.

6.设函数f （x ）=ax 2+bx +c 是一个偶函数,且1

lim →x f （x ）=0,2

lim -→x f （x ）

=－3,求出这一函数最大值.

解:∵f （x ）=ax 2+bx +c 是一偶函数, ∴f （－x ）=f （x ）, 即ax 2+bx +c =ax 2－bx +c . ∴b =0.∴f （x ）=ax 2+c .

又1

lim →x f （x ）= 1

lim →x ax 2+c =a +c =0, 2

lim -→x f （x ）=2

lim -→x ax 2+c =4a +c =－3,

∴a =－1,c =1. ∴f （x ）=－x 2+1. ∴f （x ）max =f （0）=1. ∴f （x ）的最大值为1. 培养能力

7.在一个以AB 为弦的弓形中,C 为

的中点,自A 、B 分别作弧AB

的切线,交于D 点,设x 为弦AB 所对的圆心角,求ABD

ABC

x S S ∆∆→0

lim

解：设

所在圆圆心为O ,则C 、D 、O 都在AB 的中垂线上,

∴∠AOD =∠BOD =2

x .设OA =r .

S △ABC =S 四边形AOBC －S △AOB =r 2

sin 2x

－21r 2sin x =r 2sin 2x （1－cos 2

x ）,

S △ABD =S 四边形AOBD －S △AOB =r 2tan 2x －2

1r 2sin x =r 2

cos 2sin 3

x x . ∴0

lim

→x ABD

ABC S S ∆∆=0lim

→x 2

cos

sin )

2cos 1(2sin 3

22x x

r x

x r -=0lim →x 2cos 12cos x x +=2

8.当a ＞0时,求0

lim

→x b

b x a a x -+-+2

22.

解:原式=0

lim

→x )

)()(())()((2

222222a a x b b x b b x b b x a a x a a x ++++-+++++-+

lim

→x ))(())((2

22222a a x b b x b b x a a x ++-+++-+

lim

→x a

a x

b b x ++++2222=

a b

b ++|||| =⎪⎩

⎪⎨⎧>≤).

0(),0(0时当时当b a b b

探究创新

9.设f （x ）是x 的三次多项式，已知

a x 2lim

→=

a x x f 2)

(-=a x 4lim →a

x x f 4)(-=1.

试求a x 3lim →a

x x f 3)(-的值（a 为非零常数）.

解:由于a x 2l i m →a

x x f 2)(-=1,可

知f （2a ）=0.

①

同理

（

）

=0.

②

由①②，可知f （x ）必含有（x －2a ）与（x －4a ）的因式，由于f （x ）是x 的三次多项式，故可设f （x ）=A （x －2a ）（x －4a ）（x －C ）.

这里A 、C 均为待定的常数. 由a x 2lim

→a

x x f 2)

(-=1,即

a x 2lim

→a

x C x a x a x A 2)

)(4)(2(---- =a

x 2lim →A （x －4a ）（x －C ）=1, 得A （2a －4a ）（2a －C ）=1, 即4a 2A

－2aCA =－ 1.

③

同理，由于a

x 4lim

→a

x x f 4)

(-=1, 得A （4a －2a ）（4a －C ）=1, 即8a 2A

－2aCA =1.

④

由③④得C =3a ,A =2

21a ,

因而f （x ）=2

21a （x －2a ）（x －4a ）（x －3a ）.

∴a

x 3lim →a x x f 3)

(-=a x 3lim →2

21a

（x －2a ）（x －4a ）

21a ·a ·（－a ）=－2

●思悟小结

1. ∞

→x lim f （x ）=A ⇔+∞

→x lim f （x ）= -∞

→x lim f （x ）=A ,

lim

x x →f （x ）=A ⇔

→0lim

x x f （x ）=

→0lim

x x f （x ）=A .

2.函数f （x ）在x 0处连续当且仅当满足三个条件：（1）函数f （x ）在x =x 0处及其附近有定义；

（2）0

lim x x →f （x ）存在；（3） 0lim x x →f （x ）=f （x 0）.

3.会熟练应用常见技巧求一些函数的极限.

●教师下载中心

教学点睛

1.在讲解过程中，要讲清函数极限与数列极限的联系与区别，借助于函数图象讲清连续性的意义.

2.函数极限比数列极限复杂之处在于它有左、右极限，并有趋近于无穷大和趋近于常数两类，需给予关注.

3.在求函数极限时，需观察，对不能直接求的可以化简后求，但提醒学生要注意类似于+∞→x lim

x x 12+与-∞→x lim x x 12+的区别. 拓展题例

【例1】设f （x ）=⎪⎩⎪⎨

⎧>≤+),0(e ),0(25x k x k x x 为常数问k 为何值时，有0

lim →x f （x ）存在？

解: -→0lim x f （x ）=2k , +→0lim x f （x ）=1, ∴要使0lim →x f （x ）存在，应有2k =1.∴k =2

1. 【例2】 a 为常数，若+∞→x lim （12-x －ax ）=0,求

a 的值. 解:∵+∞→x lim （12-x －ax ）= +∞→x lim ax x x a x +---1122

22=+∞

→x lim ax x x a +---11)1(222=0, ∴1－a 2=0.

∴a =±1.但a =－1时，分母→0,

∴a =1.

高三数学复习教案——函数的极限

芯衣州星海市涌泉学校函数的极限教学目的：1、使学生掌握当0x x →时函数的极限； 2、理解： A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0 教学重点：掌握当0x x →时函数的极限教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念〞的理解。教学过程：一、复习：〔1〕=∞ →n n q lim ＿＿＿＿＿1

A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0 。特别地， C C x x =→0 lim ；0 lim x x x x =→ 三、例题求以下函数在X ＝0处的极限〔1〕121 lim 220---→x x x x 〔2〕x x x 0lim →〔3〕 =)(x f 0 ,10,00 ,22<+=>x x x x x 四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。五、练习及作业： 1、对于函数12+=x y 填写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出当1→x 时函数12+=x y 的极限 2、对于函数 12-=x y 填写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数1 2-=x y 的极限 3* 1 21 lim 2 21---→x x x x 32302) 31()1(lim x x x x x +-+-→)cos (sin 2lim 22 x x x x --→ π 2 321lim 4 --+→x x x x a x a x -+→20lim 〔0>a 〕x x 1lim 0→

上海高考数学知识点极限

上海高考数学知识点极限数学是高考考试中一门重要的科目，尤其是在上海地区，数学考试的难度系数往往较高。在高考数学中，极限是一个重要的概念和知识点。下面我将从数列极限、函数极限、极限运算法则等几个方面来探讨上海高考数学知识点极限。一、数列极限数列极限是指当数列中的数值随着项数的增加趋于一个确定的数时，这个确定的数就是该数列的极限。数列极限的概念在高考数学中是非常重要的。在考试中，常常会涉及到数列的极限计算和性质运用。例如，求数列${{a}_{n}}$的极限，可以利用数列极限的定义来进行求解。假设数列${{a}_{n}}$的极限为$a$，那么对于充分大的$n$，数列中的元素${{a}_{n}}$都会无限接近$a$。通过运用数列极限的定义，可以利用数学方法进行具体的极限计算，并得到数列极限的结果。二、函数极限函数极限是指当自变量趋向于某个数或无穷大时，函数的值也趋于一个确定的数，称为函数极限。函数极限在高考数学中也是一个重要的知识点。在函数极限的计算中，常用的方法有极限的性质、夹逼定理、洛必达法则等。这些方法可以用来求解各种不同类型的函数极限，从而解决高考数学中的相关问题。

例如，计算函数${{f(x)}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}$在 $x\to+\infty$时的极限。可以利用洛必达法则来解决这个问题。按照洛必达法则的步骤，可以将函数的导数和极限进行运算，然后再进行计算，得到最后的结果。三、极限运算法则极限运算法则是指当已知多个函数的极限时，可以利用这些极限的性质来计算复合函数的极限。极限运算法则在高考数学中也是一个非常重要的知识点。常用的极限运算法则有四则运算法则、复合函数运算法则、乘方函数极限法则等。这些法则可以帮助我们快速计算复杂的极限，并得到准确的结果。例如，计算复合函数极限${{f(g(x))}}$在$x\to a$时的极限。可以先求得函数$g(x)$在$x\to a$时的极限，再将这个极限代入到函数$f(x)$中，从而得到复合函数的极限。综上所述，上海高考数学中的极限是一个非常重要的知识点。在考试中，能够熟练运用数列极限、函数极限和极限运算法则等知识，可以帮助我们解决各种复杂的数学问题。因此，我们在备考过程中应该注重对极限知识点的理解和掌握，灵活应用这些知识来解决实际问题。这样才能在高考数学中取得较好的成绩。

2019-2020年高三数学第78课时函数的极限和连续性教案

2019-2020年高三数学第78课时函数的极限和连续性教案教学目标：了解函数极限的概念；掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；了解函数连续的意义；理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质（一）主要知识及主要方法：函数极限的定义: 当自变量取正值并且无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于正无穷大时，函数的极限是，记作：，或者当时，；当自变量取负值并且绝对值无限增大时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限是. 记作或者当当时，如果且，那么就说当趋向于无穷大时，函数的极限是，记作：或者当时， . 常数函数: ()，有. 存在，表示和都存在，且两者相等所以中的既有，又有的意义，而数列极限中的仅有的意义. 趋向于定值的函数极限概念：当自变量无限趋近于（）时，如果函数无限趋近于一个常数，就说当趋向时，函数的极限是，记作.特别地，；. lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=?==. 其中表示当从左侧趋近于时的左极限，表示当从右侧趋近于时的右极限. 对于函数极限有如下的运算法则：如果，,那么, , . 当是常数，是正整数时:, 这些法则对于的情况仍然适用. 函数在一点连续的定义: 如果函数在点处有定义，存在，且，那么函数在点处连续. 函数在内连续的定义：如果函数在某一开区间内每一点处连续，就说函数在开区间内连续，或是开区间内的连续函数. 函数在上连续的定义：如果在开区间内连续，在左端点处有，在右端点处有就说函数在闭区间上连续,或是闭区间上的连续函数. 最大值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≥，那么在点处有最大值. 最小值：是闭区间上的连续函数，如果对于任意，≤，那么在点处有最小值. 最大值最小值定理如果是闭区间上的连续函数，那么在闭区间上有最大值和最小值. 极限问题的基本类型：分式型，主要看分子和分母的首项系数；指数型(和型），通过变形使得各式有极限；根式型(型)，通过有理化变形使得各式有极限；根的存在定理：若①函数在上连续，②，则方程至少有一根在区间内；若①函数在上连续且单调，②，则方程有且只有一根在区间内. （二）典例分析：问题1．求下列函数的极限：；；；

高考数学中的极限问题解析

高考数学中的极限问题解析高考数学中，极限问题是一个相对来说比较难的题型，但它是数字运算的基础，也是整个数学学科的核心概念之一。因此，掌握高考数学中的极限问题非常重要。一、极限的概念极限的概念是指数列或函数随着自变量趋近于某一值时所达到的极限值。数列和函数都有自变量，当自变量变化时，因变量也会相应地发生变化。极限的概念就是通过探究因变量的变化规律，来确定自变量趋近于某个值时因变量的取值。二、极限的性质极限有很多性质，以下主要介绍常用的几个。 1. 唯一性对于某个数列或函数，它的极限只有可能有一个，即不存在多个不同的极限值。

2. 保号性如果极限值为正数，则必然存在一个与其小但大于0的正数；如果极限值为负数，则必然存在一个与其小但小于0的负数；如果极限值为0，则必定存在一个与其小的正数和负数。 3. 夹逼定理如果某个数列或函数，对于一个自变量趋近于某个值的区间，存在两个数列或函数，一个递增且趋近于某个限值，另一个递减且趋近于相同的限值，则该数列或函数的极限就是这个限值。三、常见的极限计算方法 1. 直接代入法这是最简单、最常用的一种求极限的方法。当自变量趋近于某个数值的时候，可以直接将那个数值代入函数表达式中，看看函数是否有定义且取值有限，如果有，就代表它存在极限。

2. 替换法在求某个函数在某一点的极限时，一般可以用代数式子来替换函数式子，这样就可以直接用代数方式求值了。这种方法的关键是，被替换的函数式子需要符合极限的定义。 3. 等价无穷小代换法当函数的极限无法直接求得时，可以用等价无穷小代换法来解决。这种方法的核心是找到一个相对于极限值的无穷小量，以破除在求取某个函数极限时的不定性。 4. some other methods。。。还有很多其他的求极限方法，这里就不一一列举了。四、常见的极限问题类型 1. 无穷大类型

高三数学第二轮专题讲座复习：极限的概念及其运算

1 / 5 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：极限的概念及其运算高考要求极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题重难点归纳 1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限 2 运算法则中各个极限都应存在都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限 3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如 )1|(|0lim ,0)1(lim <==-∞→∞→a a n n n n n ???? ?????><==++++++--∞→时当不存在时当时当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 001110110 典型题例示范讲解例1已知lim ∞ →x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值命题意图在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依因而本题重点考查考生的这种能力也就是本知识的系统掌握能力知识依托解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法错解分析本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错技巧与方法有理化处理解 b ax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim )1(lim 22 22 b ax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim 2 222 要使上式极限存在，则1－a 2=0,当1－a 2=0时， 01)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 222 22=++-++-= +++--++-=+++--+--=∞→∞→a ab a ab a x b x x x b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式

高三数学函数极限的运算法则2

高三数学函数极限的运算法则2 第一篇：高三数学函数极限的运算法则2 函数极限的运算法则（4月30日）教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限教学难点：函数极限法则的运用教学过程：一、引入：一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如lim1=0,limx=xo.若求极限的函数比x→∞xx→xo 较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二、新课讲授也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C是常数，n是正整数时，lim[Cf(x)]=Climf(x)x→xox→xo x→xolim[f(x)]n=[limf(x)]n x→xo 这些法则对于x→∞的情况仍然适用.三典例剖析例1 求lim(x+3x)x→2 22x3-x2+1例2 求lim x→1x+ 1x2-16 例3 求lim x→4x- 4x2-16 分析：当x→4时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数y= x-4

在定义域x≠4内，可以将分子、分母约去公因式x-4后变成x+4，由此即可求出函数的极限.3x2-x+ 3例4 求lim 2x→∞x+ 1分析：当x→∞时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以x，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。总结：limC=C,limx=xo(k∈N),x→xo x→xo k k * limC=C,lim x→∞ =0(k∈N*)kx→∞x 2x2+x- 4例5 求lim 3x→∞3x-x2+ 1分析：同例4一样，不能直接用法则求极限.如果分子、分母都除以x，就可以运用法则计算了。四课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）（1）lim(2x-3)；（2）lim(2x-3x+1) x→ 2x→2 2x2+ 1（3）lim[(2x-1)(x+3)]；（4）lim2 x→4x→13x+4x-1 x2-1x2-5x+6 （5）lim（6）lim 2x→3x→-1x+1x-9 2x2+x-22y2-y

高考数学中的极限及相关概念

高考数学中的极限及相关概念在高考数学中，极限是一项非常重要的概念。极限的定义是指当自变量无限接近某一固定值时，函数的取值趋近于某一固定值，这个固定值即为极限。为了更好地理解极限及其相关概念，本文将从以下几个方面进行分析。一、函数的极限函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值趋近于某一特定值。例如，当x趋近于1时，y趋近于2。在高考数学中，函数的极限是非常重要的，因为它可以帮助我们确定函数的性质，从而更好地处理一些复杂的问题。二、左极限和右极限左极限和右极限是指在函数存在极限的情况下，自变量趋近于这个极限时，函数的取值分别从左侧和右侧趋近于极限。例如，当x趋近于2时，y趋近于3，此时左极限为3，右极限也为3。在实际问题中，左极限和右极限的概念经常被用来描述物理或经济现象中的变化规律。

三、连续性连续性是指当自变量在某一固定点上发生微小变化时，函数的取值也随之发生微小变化。具体来说，如果函数在某一固定点上的极限存在，并且等于函数在这一点上的取值，那么这个函数就是连续的。连续性是数学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们更好地研究函数的变化规律。四、无穷大与无穷小无穷大与无穷小是指当自变量趋近于某一固定值时，函数的取值趋近于无穷大或无穷小。在实际问题中，我们经常需要讨论物理或经济现象中的最大值或最小值，因此无穷大与无穷小的概念也是非常重要的。结语本文从四个方面论述了高考数学中的极限及其相关概念。在实际应用中，极限与微积分、微分方程等数学学科密切相关，掌握

极限及其相关概念是现代数学研究的基础。希望读者在阅读本文后能够更好地理解极限及其相关概念，从而更好地应对高考数学考试。

高三数学函数极限试题答案及解析

高三数学函数极限试题答案及解析 1.已知定义在上的函数满足.当时.设在上的最大值为，且数列的前项和为，则 . （其中）【答案】【解析】依题意可得函数.所以，，，…，. 所以数列是一个首项为1，公比为的等比数列.所以.所以. 【考点】1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题. 2.若存在，则实数的取值范围是_____________．【答案】【解析】我们知道存在的充要条件是，故本题中有，解之即得结论．【考点】存在的充要条件． 3.若存在，则不可能为（） A．；B．；C．；D．；【答案】B 【解析】如果f(x)=|x|，则,所以不存在.所以不可能为. 4.函数在点处的切线方程为，则等于（）A．B．C．D．【答案】D 【解析】∵函数在点处的切线方程为，∴，∴ ，故选D 5.函数在处的极限是（） A．不存在B．等于C．等于D．等于【答案】A 【解析】分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限. [点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。

6.已知，则_______ 【答案】-2 【解析】得，所以-2. 7.若展开式的第项为，则________ 【答案】 2 【解析】略 8.=" " ．【答案】2 【解析】略 9.若,则的值为 A．0B．C．1D．【答案】B 【解析】略 10._________________ 【答案】-1 【解析】略 11.___________ 【答案】【解析】略 12.= 。【答案】3 【解析】略 13.函数f (x)＝在点x=1和x=2处的极限值都为0，而在点x=-2处不连续，则x·f(x)<0的解集是（） A．（-2，0）∪（1，2）B．（-2，2） C．（－∞，-2）∪（1，2）D．（-2，0）∪（2，+∞）【答案】A 【解析】略 14.（理）的值等于（）（）（）0 （）（）不存在

高三数学重点难点函数的极限

第三节函数的极限一、知识归纳 1、知识精讲： 1）当x →∞时函数f(x)的极限: 当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =+∞ →)(lim ,(或x →+∞时,f(x)→a) 当自变量x 取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =-∞ →)(lim ,(或x →-∞时,f(x)→a) 注：自变量x →+∞和x →-∞都是单方向的，而x →∞是双向的，故有以下等价命题 =+∞ →)(lim x f x a x f x =-∞ →)(lim ⇔a x f x =∞ →)(lim 2）当x →x 0时函数f(x)的极限: 当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x ≠x 0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于x 0时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x x =→)(lim 0 ,(或x →x 0时,f(x)→a) 注：a x f x x =→)(lim 0 与函数f （x ）在点x 0处是否有定义及是否等于f （x 0）都无关。 3）函数f(x)的左、右极限: 如果当x 从点x=x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。就说a 是函数f(x)的左极限，记作a x f x x =- →)(lim 0 。如果当x 从点x=x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。就说a 是函数f(x)的右极限，记作a x f x x =+ →)(lim 0 。注：=-→)(lim 0 x f x x a x f x x =+ →)(lim 0 ⇔a x f x x =→)(lim 0 。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工具。注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限≠- →)(lim 0 x f x x )(lim 0 x f x x +→； ②0x x →时，()±∞→x f ，③0x x →时，()→x f 的值不唯一。 4）函数极限的运算法则：与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 注：以上规则对于x →∞的情况仍然成立。 2、重点难点：对函数极限的定义的理解及求简单函数的极限的重点。思维方法：直接从常用的重要极限出发，运用函数极限的运算法则解题。 3.几个重要极限：

高等数学中的极限概念在高考数学中的表现

高等数学中的极限概念在高考数学中的表现在高考数学中，极限概念是非常重要的一个概念。在数学领域中，极限概念是非常基础而又重要的一个概念，而在高等数学领域中，极限概念的应用更加广泛深入。在高考数学中，极限概念的考察通常体现在函数极限、数列极限等方面。下面将从基本概念、性质和应用等方面详细论述高等数学中的极限概念在高考数学中的表现。一、基本概念极限概念是指随着自变量趋近于某一个值时，函数值或者数列中的数值趋近于一个确定的值或趋于无限大或趋于无穷小。在高考数学中，研究的对象是数列或函数趋近一个数或无限大或无穷小的一种状态或方向。因此，高考数学中的极限通常是指数列或函数趋近某一数值、无限大或无穷小时的极限。二、极限的性质 1. 唯一性：若存在极限，那么它是唯一的。

2. 保序性：若a＜b且对于一切n，有an＜bn，则liman＜limbn。 3. 夹逼准则：设数列an≤bn≤cn，若an和cn的极限都是a，则 bn的极限也是a。 4. 有界性：如果数列有极限，则必定是有界的。 5. 收敛数列的四则运算：设数列{an}和{bn}都收敛，且liman ＝a，limbn＝b，那么有以下结论： (1) lim{an＋bn}＝a＋b； (2) lim{an－bn}＝a－b； (3) lim{an×bn}＝ab； (4) lim{an/bn}＝a/b（前提是bn≠0，b≠0）。

6. 收敛数列的夹逼原理：如果数列{an}、{bn}、{cn}满足 an≤bn≤cn，且liman＝limcn＝a，则{bn}收敛，其极限为a。三、极限的应用 1. 数列极限的应用数列极限的应用很广，如证明数列的单调性、求极限和数列求和等。例如，在一些综合类的题目中，考生需要使用递推公式求出一个数列的第n项，若数列发散，则完全可以利用数列的单调性以及极限的定义来证明其发散。而另外一些题目则需要考生求出数列的极限值来进一步求出其总和等其他性质。 2. 函数极限的应用函数极限的应用也非常广泛，如判断函数的连续性、求导数及求曲线等。例如，在绘制某一函数的曲线时，需要先求出该函数在某一特定点的导数，若该函数在该点处连续且可导，那么就可以通过导数的正负值及零点的情况来判断曲线在该点处的切线方

高考数学常考知识点之函数极限

极限考试内容：教学归纳法．数学归纳法应用．数列的极限．函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性．考试要求：（1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（2）了解数列极限和函数极限的概念．（3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限．（4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． §13. 极限知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立； ②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①a a n n =∞ →lim ②当∞→n 时，a a n →. ⑵几个常用极限： ①C C n =∞ →lim （C 为常数） ②),(01 lim 是常数k N k n k n ∈=∞→ ③对于任意实常数，当1||πa 时，0lim =∞ →n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞ →∞→不存在当1φa 时，n n a ∞ →lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则：如果b b a a b n n n ==∞ →∞→lim ,lim ，那么

高考数列极限知识点总结

高考数列极限知识点总结在高考数学中，数列极限是一个十分重要的知识点。掌握数列极限的概念、性质及计算方法可以帮助学生更好地理解数列的变化规律和数学思维方法。本文将从数列极限的定义出发，逐步介绍与之相关的重要概念和技巧。一、数列极限的定义数列极限是指当数列的项趋近于某个数时，数列的极限就是这个数。常用的记号是：lim(an)=A，其中a是数列的项，A是数列的极限。二、数列极限的性质 1. 唯一性：若数列的极限存在，则极限是唯一的。 2. 有界性：若数列的极限存在，则数列是有界的。反之，若数列是有界的，则数列的极限必定存在。

3. 保序性：若数列的项逐项小于等于另一个数列的项，并且这两个数列分别趋于同一个数，那么这两个数列的极限也满足这个关系。三、数列极限的计算方法 1. 数列的极限计算：我们可以通过直接观察数列的项与极限之间的关系进行计算。例如，对于等差数列an=2n+3，我们可以观察到当n趋近于无穷大时，数列的项趋近于无穷大。所以数列的极限为正无穷。 2. 常用数列的极限：对于一些常见的数列，我们可以利用公式或推导来计算它们的极限。例如，对于等比数列an=2^n，我们可以发现当n趋近于无穷大时，数列的项趋近于无穷大。所以数列的极限为正无穷。四、数列极限的判断方法 1. 夹逼准则：如果数列bn≤an≤cn，并且bn与cn的极限都是L，那么数列an的极限也是L。

2. 单调有界准则：如果数列单调递增并且有上界或者数列单调递减并且有下界，那么数列的极限存在。五、利用数列极限解题方法 1. 利用夹逼准则和单调有界准则判断数列极限是否存在。 2. 利用数列极限计算一些和式的极限，例如利用数列极限求解无穷级数的和。 3. 利用数列极限计算一些函数的极限，例如求函数在某点处的极限。六、数列极限在实际中的应用 1. 数列极限的应用在物理学、工程学等领域中十分广泛，例如在电路分析和振动力学中经常会涉及到数列极限的计算问题。

高三数学极限的概念

高三数学极限的概念极限的概念教学目的：理解数列和函数极限的概念；教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；教学难点：数列和函数极限的理解教学过程：一、实例引入：例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子・天下篇》引用过一句话："一尺之棰，日取其半，万世不竭。"也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第天剩余的木棒长度(尺)，并分析变化趋势；（2）求前天截下的木棒的总长度(尺)，并分析变化趋势。观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数无限增大时，数列的项无限趋近于某个常数A（即无限趋近于0）。无限趋近于常数A，意指"可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要充分大，就能达到我们所希望的那么近。"即"动点到A的距离可以任意小。二、新课讲授 1、数列极限的定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数A（即无限趋近于0），那么就说数列的极限是A，

记作注：①上式读作"当趋向于无穷大时，的极限等于A"。"∞" 表示"趋向于无穷大"，即无限增大的意思。有时也记作当∞时，A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为 _____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由（1）1，，，...，，... ；（2），，，...，，...；（3）－2，－2，－2，...，－2，...；（4）－0.1，0.01，－0.001，...，，...；（5）－1,1，－1，...，，...；注：几个重要极限：（1）（2）（C是常数）（3）无穷等比数列（）的极限是0，即： 2、当时函数的极限（1）画出函数的图像，观察当自变量取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当趋向于正无穷大时，函数的极限是0，记作：一般地，当自变量取正值且无限增大时，如果函数

高三数学数列、函数的极限及函数的连续性知识精讲

高三数学数列、函数的极限及函数的连续性【本讲主要内容】数列、函数的极限及函数的连续性数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性【知识掌握】【知识点精析】（一）数列极限 1. 概念考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势： .,101 ,,101,101,10132 n ① .,1 ,,43,32,21 +n n ② .,)1(,,31,21,1 n n --- ③ （1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a. （2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ．（3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ．这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”．定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以a 为极限，或者说a 是数列{}n a 的极限。表示为a a lin n n =∞ → 2. 数列极限的表示方法： ① a a n n =∞ →lim ②当∞→n 时，a a n →. 3. 几个常用极限：

①C C n =∞ →lim （C 为常数）②),(01 lim 是常数k N k n k n ∈=∞→ ③对于任意实常数，当1||a 时，n n a ∞ →lim 不存在（二）函数极限研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限考察函数f(x)＝ 1 ，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势（1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x 的值无限趋近于0．就是说函数y ＝ x 1上的极限为0，记作01 lim =+∞→x x （2）当-∞→x 时，类似地可得函数x y 1 =的值无限趋近于0，就是说，当-∞→x 时，函数x y 1=的极限为0，记作01 lim =-∞→x x （3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝ x 1无限趋近于0，这说明01lim =+∞→x x (或01 lim =-∞→x x ) 函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：