高三数学 函数的极限（2）
一、教学目标：
1．使学生能从变化趋势理解函数在-+→→→000x x x x x x 、、时的极限的概念；
2．会求函数在某一点的极限或左、右极限，掌握函数在一点处的极限与左、右极限的关系；
3．利用函数的极限培养学生的观察分析能力；
4．通过对函数极限的学习，进一步渗透从量变到质变的辩证思维方法；
二、教学重点：第二类函数极限的概念和左右极限与点极限之间的联系；
教学难点：区分几种不同类型极限差别和正确理解极限的概念．
三、教学用具：投影仪或多媒体
四、教学过程：
1．复习引入，提出问题
回忆当-∞→+∞→∞→x x x 、、时的函数极限是如何定义的．我们可否用类似地思想和方法研究0x x →时的函数极限．
2．考察函数，比较特征
例1 考察函数2x y =，当x 无限趋近于2时，函数的变化趋势．
从表格上看：教科书第81页的表说明，自变量2 →2x ）时，y 都趋近于4． 从差式4-y 看：差式的值变得任意小（无限接近于0）． 从任何一方面看，当x 无限趋近于2时，函数2x y =的极限是4．记作4lim 22 =→x x ． 教师强调：2→x ，包括分别从左、右两侧趋近于2． 例2 考察函数)1(1 12≠--=x x x y ，当1→x 时的变化趋势． 例3 考察函数⎪⎩ ⎪⎨⎧<-=>+=时）（当时）（当时）（当0 10 00 1)(x x x x x x f 当-→0x 时，或+→0x 时函数的变化趋势． 教师略作分析后，出示预先用多媒体技术或其他方式制作2的表格和图象，让学生用同样的思想和研究方法分析两侧函数的变化趋势． 教师强调：例2虽然在1=x 处没有定义，但仍有极限．例3与上两例不同，x 从原点某一侧无限趋近于0，)(x f 也会无限趋近于一个确定的常数．但从不同一侧趋近于0，)(x f 趋近的值不同，这时)(x f 在0x 处无极限． 3．整理材料，明确概念 （1）请思考下面问题：当0x x →时，)(x f y =在0x x =处有定义，是不是一定有极限？)(x f y =在 0x x =处无定义，是不是一定有极限？ 0x x →包括两层意思：x 从0x 的左侧趋近于0x ，即-→0x x ；x 从0x 的右侧趋近于0x ，即+→0x x ．是 不是-→0x x 和+→0x x 时，)(x f 会趋近于同一个常数？ )(lim 0x f x x →在什么时候存在？ （2）教师归纳学生思考讨论的结果，得到： 当自变量x 无限趋近于常数0x （但0x x ≠）时，如果)(x f 无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做)(x f 的极限，记作a x f x x =→)(lim 0 ．如果x 从0x x =的单侧无限趋近于0x 时，)(x f 无限趋近于一个常数a ，那么a 叫做)(x f 单侧的极限．当-→0x x 时，)(x f 的极限1a 叫做左极限，记作1)(lim 0 a x f x x =-→；当+→0x x 时，)(x f 的极限2a 叫右极限，记作2)(lim 0a x f x x =+→．只有21a a =时，a x f x x =→)(lim 0 才存在．即 a x f x f a x f x x x x x x ==⇔=+-→→→)(lim )(lim )(lim 0 00． 显然，a x f x x =→)(lim 0 是双侧极限． 4．课堂练习，举例应用 （1）本课例1、例2中有左极限吗？有右极限吗？它们各是多少？为什么此两例中函数有极限？ （2）口答教科书第82页例2，并归纳出C C x x =→0 lim （C 为常数）； （3）口答教科书第83页练习中第2题； （4）口答教科书第85页练习中第1题； （5）讨论教科书第85页练习中第2题和习题2．4中第3题． 并要求把结果板演，以锻炼运用数学符号的能力．要求学生归纳出0x x =处极限不存原情况，让学生分析．具有)()(lim a f x f a x =→这一特点的函数，从图象上看，曲线有何特征？反之，曲线具有这一特征的函数是否有)()(lim a f x f a x =→？为以后的学习埋下伏笔． 5．比较概念，归纳小结 （1）a x f x x =→)(lim 0 存在的充要条件是什么？哪些是单侧极限？哪些是双侧极限？ （2）我们已学过哪7种不同类型的极限？它们的共同之处是什么？用数学符号来表达各有什么不同？ 五、布置作业 教科书习题2．4第2（5）、（6）、（7）、（8）题． 芯衣州星海市涌泉学校函数的极限 教学目的：1、使学生掌握当0x x →时函数的极限； 2、理解： A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0 教学重点：掌握当0x x →时函数的极限 教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念〞的理解。 教学过程：一、复习： 〔1〕=∞ →n n q lim ＿＿＿＿＿1 A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0 。 特别地， C C x x =→0 lim ；0 lim x x x x =→ 三、例题 求以下函数在X ＝0处的极限 〔1〕121 lim 220---→x x x x 〔2〕x x x 0lim →〔3〕 =)(x f 0 ,10,00 ,22<+=>x x x x x 四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。 五、练习及作业： 1、对于函数12+=x y 填写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出 当1→x 时函数12+=x y 的极限 2、对于函数 12-=x y 填 写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数1 2-=x y 的极限 3* 1 21 lim 2 21---→x x x x 32302) 31()1(lim x x x x x +-+-→)cos (sin 2lim 22 x x x x --→ π 2 321lim 4 --+→x x x x a x a x -+→20lim 〔0>a 〕x x 1lim 0→ 高三数学函数极限的运算法则2 第一篇：高三数学函数极限的运算法则2 函数极限的运算法则（4月30日） 教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如lim1=0,limx=xo.若求极限的函数比x→∞xx→xo 较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二、新课讲授 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C是常数，n是正整数时，lim[Cf(x)]=Climf(x)x→xox→xo x→xolim[f(x)]n=[limf(x)]n x→xo 这些法则对于x→∞的情况仍然适用.三典例剖析 例1 求lim(x+3x)x→2 22x3-x2+1例2 求lim x→1x+ 1x2-16 例3 求lim x→4x- 4x2-16 分析：当x→4时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数y= x-4 在定义域x≠4内，可以将分子、分母约去公因式x-4后变成x+4，由此即可求出函数的极 限.3x2-x+ 3例4 求lim 2x→∞x+ 1分析：当x→∞时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以x，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：limC=C,limx=xo(k∈N),x→xo x→xo k k * limC=C,lim x→∞ =0(k∈N*)kx→∞x 2x2+x- 4例5 求lim 3x→∞3x-x2+ 1分析：同例4一样，不能直接用法则求极限.如果分子、分母都除以x，就可以运用法则计算了。 四课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限） （1）lim(2x-3)；（2）lim(2x-3x+1) x→ 2x→2 2x2+ 1（3）lim[(2x-1)(x+3)]；（4）lim2 x→4x→13x+4x-1 x2-1x2-5x+6 （5）lim（6）lim 2x→3x→-1x+1x-9 2x2+x-22y2-y 高考数学中的极限及相关概念在高考数学中，极限是一项非常重要的概念。极限的定义是指 当自变量无限接近某一固定值时，函数的取值趋近于某一固定值，这个固定值即为极限。为了更好地理解极限及其相关概念，本文 将从以下几个方面进行分析。 一、函数的极限 函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值趋 近于某一特定值。例如，当x趋近于1时，y趋近于2。在高考数 学中，函数的极限是非常重要的，因为它可以帮助我们确定函数 的性质，从而更好地处理一些复杂的问题。 二、左极限和右极限 左极限和右极限是指在函数存在极限的情况下，自变量趋近于 这个极限时，函数的取值分别从左侧和右侧趋近于极限。例如， 当x趋近于2时，y趋近于3，此时左极限为3，右极限也为3。 在实际问题中，左极限和右极限的概念经常被用来描述物理或经 济现象中的变化规律。 三、连续性 连续性是指当自变量在某一固定点上发生微小变化时，函数的取值也随之发生微小变化。具体来说，如果函数在某一固定点上的极限存在，并且等于函数在这一点上的取值，那么这个函数就是连续的。连续性是数学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们更好地研究函数的变化规律。 四、无穷大与无穷小 无穷大与无穷小是指当自变量趋近于某一固定值时，函数的取值趋近于无穷大或无穷小。在实际问题中，我们经常需要讨论物理或经济现象中的最大值或最小值，因此无穷大与无穷小的概念也是非常重要的。 结语 本文从四个方面论述了高考数学中的极限及其相关概念。在实际应用中，极限与微积分、微分方程等数学学科密切相关，掌握 极限及其相关概念是现代数学研究的基础。希望读者在阅读本文后能够更好地理解极限及其相关概念，从而更好地应对高考数学考试。 高三数学函数极限试题答案及解析 1.已知定义在上的函数满足.当时.设在 上的最大值为，且数列的前项和为，则 . （其中） 【答案】 【解析】依题意可得函数.所以，，，…，. 所以数列是一个首项为1，公比为的等比数列.所以.所以. 【考点】1.函数的性质.2.数列的通项.3.函数的最值.4.极限问题. 2.若存在，则实数的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】我们知道存在的充要条件是，故本题中有，解之即得结论．【考点】存在的充要条件． 3.若存在，则不可能为（） A．；B．；C．；D．； 【答案】B 【解析】如果f(x)=|x|，则,所以不存在.所以不可能为. 4.函数在点处的切线方程为，则等于（）A．B．C．D． 【答案】D 【解析】∵函数在点处的切线方程为，∴，∴ ，故选D 5.函数在处的极限是（） A．不存在B．等于C．等于D．等于 【答案】A 【解析】分段函数在x=3处不是无限靠近同一个值，故不存在极限. [点评]对于分段函数，掌握好定义域的范围是关键。 6.已知，则_______ 【答案】-2 【解析】得，所以-2. 7.若展开式的第项为，则________ 【答案】 2 【解析】略 8.=" " ． 【答案】2 【解析】略 9.若,则的值为 A．0B．C．1D． 【答案】B 【解析】略 10._________________ 【答案】-1 【解析】略 11.___________ 【答案】 【解析】略 12.= 。 【答案】3 【解析】略 13.函数f (x)＝在点x=1和x=2处的极限值都为0，而在点x=-2处不连续，则x·f(x)<0的解集是（） A．（-2，0）∪（1，2）B．（-2，2） C．（－∞，-2）∪（1，2）D．（-2，0）∪（2，+∞） 【答案】A 【解析】略 14.（理）的值等于（） （）（）0 （）（）不存在 极 限 考试内容： 教学归纳法．数学归纳法应用． 数列的极限． 函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性． 考试要求： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （2）了解数列极限和函数极限的概念． （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． （4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． §13. 极 限 知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立； ②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①a a n n =∞ →lim ②当∞→n 时，a a n →. ⑵几个常用极限： ①C C n =∞ →lim （C 为常数） ②),(01 lim 是常数k N k n k n ∈=∞→ ③对于任意实常数， 当1||πa 时，0lim =∞ →n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞ →∞→不存在 当1φa 时，n n a ∞ →lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果b b a a b n n n ==∞ →∞→lim ,lim ，那么 高等数学 教学备课系统与《高等数学多媒体教学系统（经济类）》配套使用 教师姓名：________________________ 教学班级：________________________ 2005年9月1至2006年1月10 微积分是近代数学中最伟大的成就,对它的重要性无论做怎样的估计都不会过分. 冯. 诺伊曼 注：冯. 诺依曼（John von Neumann，1903-1957，匈牙利人），20世纪最杰出的数学家之一，在纯粹数学、应用数学、计算数学等许多分支，从集合论、数学基础到量子理论与算子理论等作多方面，他都作出了重要贡献. 他与经济学家合著的《博弈论与经济行为》奠定了对策论的基础，他发明的“流程图”沟通了数学语言与计算机语言，制造了第一台计算机，被人称为“计算机之父”. 第一章函数、极限与连续 函数是现代数学的基本概念之一，是高等数学的主要研究对象. 极限概念是微积分的理论基础，极限方法是微积分的基本分析方法，因此，掌握、运用好极限方法是学好微积分的关键. 连续是函数的一个重要性态. 本章将介绍函数、极限与连续的基本知识和有关的基本方法，为今后的学习打下必要的基础. 第一节函数概念 在现实世界中，一切事物都在一定的空间中运动着. 17世纪初，数学首先从对运动（如天文、航海问题等）的研究中引出了函数这个基本概念. 在那以后的二百多年里，这个概念在几乎所有的科学研究工作中占据了中心位置. 本节将介绍函数的概念、函数关系的构建与函数的特性. 内容分布图示 ★集合的概念★集合的运算 ★区间★例1 ★邻域 ★函数概念★例2 ★例3 ★例4 ★例5 ★例6 ★函数的表示法★分段函数举例★例7 ★函数关系的建立★例8 ★例9 函数的特性 ★有界性★例10 ★单调性★例11 ★奇偶性★例12 ★例13 ★周期性★例14 ★例15 ★内容小结★课堂练习 §2 二元函数的极限 一 二元函数的极限 定义1 设f 为定义在?D R 2二元函数，0P 为的D 一个聚点，A 是一个确定的实数。 若对任给正数ε，总存在某正数δ，使得当()D P U P o δ;0∈时，都 有 (),ε<-A P f 则称f 在．D ．上． 当0P P →时，以A 为极限，记作 ().lim 0 A P f D P P P =∈→ ()1 在对于D P ∈不致产生误解时，也可简单地写作 ().lim A P f P P =→ ()'1 当0,P P 分别用坐标()()00,,,y x y x 表示时，()'1也常写作 ().,lim )(),(0,0A y x f y x y x =→ ()"1 例1 依定义验证 .7)(lim 22)1,2(),(=++→y xy x y x 证 因为 722-++y xy x )1(2)4(22-+-+-=y xy x )1)(1()1(2)2()2)(2(-++-+-+-+=y y y y x x x .3122+-+++-≤y y y x x 先限制在点(2,1)的1=δ方邻域 (){}11,12,<-<-y x y x 内讨论，于是有 ,541413<+-≤+-=+y y y 5)1()2(2+-+-=++y x y x .7512<+-+-≤y x 所以 1527722-+-≤-++y x y xy x ).12(7-+- 极 限 的 概 念 教学目的：理解数列和函数极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限； 教学难点：数列和函数极限的理解 教学过程： 一、实例引入： 例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。 观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．． 某个常数A （即A a n -无限趋近于0） ，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞ →lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。A a n n =∞ →lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？ 例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1， 21，31，…，n 1，… ；（2）21，32，43，…，1 +n n ，…； 高三数学 函数的极限（2） 一、教学目标： 1．使学生能从变化趋势理解函数在-+→→→000x x x x x x 、、时的极限的概念； 2．会求函数在某一点的极限或左、右极限，掌握函数在一点处的极限与左、右极限的关系； 3．利用函数的极限培养学生的观察分析能力； 4．通过对函数极限的学习，进一步渗透从量变到质变的辩证思维方法； 二、教学重点：第二类函数极限的概念和左右极限与点极限之间的联系； 教学难点：区分几种不同类型极限差别和正确理解极限的概念． 三、教学用具：投影仪或多媒体 四、教学过程： 1．复习引入，提出问题 回忆当-∞→+∞→∞→x x x 、、时的函数极限是如何定义的．我们可否用类似地思想和方法研究0x x →时的函数极限． 2．考察函数，比较特征 例1 考察函数2x y =，当x 无限趋近于2时，函数的变化趋势． 从表格上看：教科书第81页的表说明，自变量2 极限知识点高三数学 在高中数学的学习过程中，极限是一个十分重要且常出现的概念。它不仅在解题过程中起到关键作用，而且在数学的其他分支中也有广泛的应用。本文将重点介绍高三数学中的极限知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。 一、极限的定义 极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。一般来说，我们用符号“lim”加上一个表达式来表示极限。例如 lim(x→a)f(x)表示当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限。 二、常见的极限运算法则 1. 有界性定理：如果一个函数在一个区间内有定义并且有界，那么它在这个区间内必有极限。 2. 四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，如果lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)存在且有限，则有以下极限运算法则： (1) lim(x→a)(f(x)+g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x) (2) lim(x→a)(f(x)-g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x) (3) lim(x→a)(f(x)g(x)) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x) (4) lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) (前提：lim(x→a)g(x) ≠ 0) 3. 复合函数极限法则：设y=f[g(x)]为由f(u)和g(x)构成的复合 函数，其中lim(x→a)g(x)=b，lim(u→b)f(u)=L，则有 lim(x→a)f[g(x)]=L。 4. 已知函数极限与极限运算法则可以联合使用。例如，如果 lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则有lim(x→a)(f(x)^g(x))=A^B。 三、例题分析 为了更好地理解和掌握极限的应用，我们来看几个例题： 例题1：求极限lim(x→0)(sinx/x)。 解析：由于在x→0时，sinx和x都趋近于0，我们可以利用泰 勒级数展开来计算该极限。根据泰勒展开公式，sinx可以展开为 13.3 函数的极限 ●知识梳理 1.函数极限的概念：（1）如果+∞ →x lim f （x ）=a 且-∞ →x lim f （x ）=a ,那么 就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞ →x lim f （x ）=a , 也可记作当x →∞时，f （x ）→a. （2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0 lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a . （3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作 - →0lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近 于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作 + →0lim x x f （x ）=a . 2.极限的四则运算法则： 如果0 lim x x → f （x ）=a , 0 lim x x →g （x ）=b ,那么 lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; lim x x →)()(x g x f =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）上述法则对x →∞的情况仍成立； （2）0 lim x x →[Cf （x ）]=C 0 lim x x →f （x ）（C 为常数）; （3）0 lim x x →[f （x ）]n =[0 lim x x →f （x ）]n （n ∈N *）. ●点击双基 1. + →0lim x x f （x ）= - →0lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 2.f （x ）=⎩ ⎨ ⎧<≥,10, 12x x x 下列结论正确的是 A.)(lim 1x f x + →=- →1 lim x f （x ） B.)(lim 1x f x + →=2，)(lim 1x f x - →不存在 C.+ →1 lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x - →不存在 D.+ →1lim x f （x ）≠- →1lim x f （x ） 答案:D 3.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在点x 0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 第三节 函数的极限 一、知识归纳 1、知识精讲： 1）当x →∞时函数f(x)的极限: 当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =+∞ →)(lim ,(或x →+∞时,f(x)→a) 当自变量x 取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =-∞ →)(lim ,(或x →-∞时,f(x)→a) 注：自变量x →+∞和x →-∞都是单方向的，而x →∞是双向的，故有以下等价命题 =+∞ →)(lim x f x a x f x =-∞ →)(lim ⇔a x f x =∞ →)(lim 2）当x →x 0时函数f(x)的极限: 当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x ≠x 0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于x 0时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x x =→)(lim 0 ,(或x →x 0时,f(x)→a) 注：a x f x x =→)(lim 0 与函数f （x ）在点x 0处是否有定义及是否等于f （x 0）都无关。 3）函数f(x)的左、右极限: 如果当x 从点x=x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。就说a 是函数f(x)的左极限，记作a x f x x =- →)(lim 0 。 如果当x 从点x=x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。就说a 是函数f(x)的右极限，记作a x f x x =+ →)(lim 0 。 注：=-→)(lim 0 x f x x a x f x x =+ →)(lim 0 ⇔a x f x x =→)(lim 0 。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工 具。 注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限≠- →)(lim 0 x f x x )(lim 0 x f x x +→； ②0x x →时，()±∞→x f ，③0x x →时，()→x f 的值不唯一。 4）函数极限的运算法则： 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 注：以上规则对于x →∞的情况仍然成立。 2、重点难点：对函数极限的定义的理解及求简单函数的极限的重点。思维方法：直接从常用的重要极限出发，运用函数极限的运算法则解题。 3.几个重要极限： 高三数学数列、函数的极限及函数的连续性 【本讲主要内容】 数列、函数的极限及函数的连续性 数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性 【知识掌握】 【知识点精析】 （一）数列极限 1. 概念 考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势： .,101 ,,101,101,10132 n ① .,1 ,,43,32,21 n n ② .,)1(,,31,21,1 n n ③ （1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a. （2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ． （3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ． 这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”． 定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列 n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n 无限地接近于0），那么就说数列 n a 以a 为极限，或者说a 是数列 n a 的极限。表示为a a lin n n 2. 数列极限的表示方法： ① a a n n lim ②当 n 时，a a n . 3. 几个常用极限： ①C C n lim （C 为常数）②),(01 lim 是常数k N k n k n ③对于任意实常数， 当1|| a 时，0lim n n a 当1 a 时，若a ＝1，则1lim n n a ；若1 a ，则n n n n a )1(lim lim 不存在 当1 a 时，n n a lim 不存在 （二）函数极限 研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限 考察函数f(x)＝ 1 ，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势 （1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x 的值无限趋近于0．就是说 函数y ＝ x 1上的极限为0，记作01lim x x （2）当 x 时，类似地可得函数x y 1 的值无限趋近于0，就是说，当 x 时， 函数x y 1 的极限为0，记作01lim x x （3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝ x 1无限趋近于0，这说明01lim x x (或01 lim x x ) 函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表： 函数极限总结 一。极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽能够追溯到古希腊时期和中国战国时期,但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中,牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述、但迟至18世纪下半叶,达朗贝尔等人才认识到,把微积分建立在极限概念的基础之上,微积分才是完善的,柯西最先给出了极限的描述性定义,之后,魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义(ε—δ和ε-N定义)。 从此,各种极限问题才有了切实可行的判别准则,使极限理论成为了微积分的工具和基础。［１] 二、极限知识点总结 1.极限定义 某一去心邻域内有定义,假如存在常数A,函数极限:设函数f(x)在点的ｘ 关于任意给定的正数ε(不管它多么小),总存在正数,使得当x满足不等式时,对应的函数值都满足不等式: 那么常数Ａ就叫做函数ｆ(x)当x→ｘ 时的极限,记作。［2］ 单侧极限:①。左极限:或 ②、右极限:或 定理: 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等即。 2.极限概念 函数极限能够分成以的极限为例,ｆ(x) 在点ｘ 以A为极限的定义是:关于 任意给定的正数ε(不管它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式时,对应的函数值ｆ(x)都满足不等式:|ｆ(x)—A|＜ε,那么常数A就叫做函数f(x)当ｘ→x。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3.存在准则 有些函数的极限特别难或难以直截了当运用极限运算法则求得,需要先判定、下面介绍几个常用的判定数列极限的定理、 准则Ⅰ。假如数列,及满足以下条件: （1）从某项起,即,当时,有; （2）;, 那么数列的极限存在,且 准则Ⅰ’假如(1)当(或)时, (2),, 那么存在,且等于。 夹逼定理:(1)当时,有成立 (2) ,那么,极限存在,且等于A 【准则Ⅰ,准则Ⅰ´合称夹逼定理】 准则Ⅱ:单调有界数列必有极限 准则Ⅱ＇ :设函数在点的某个左(右)邻域内单调同时有界,则在的左(右)极限必定存在［３］ 单调有界准则:单调增加(减少)有上(下)界的数列必定收敛。 柯西准则:数列收敛的充分必要条件是任给,存在,使得当,时,有成立。［2] 极限运算相关法则、定理及推论 （1）、设α、β为同一极限过程下的无穷小 (无穷小) （2）、穷小之积为无穷小 重要极限公式(二) 重要极限公式 极限定义 •极限定义：设函数f(x)在x0的某个去心邻域内有定义，若存在常数A，对于任意给定的正数ε，总存在正数δ，使得当0< |x−x0|<δ时，有|f(x)−A|<ε成立，则称函数f(x)当x趋于x0时极限为A，记作lim x→x0 f(x)=A。 基本极限公式 1.基本极限公式1：lim x→0sinx x =1 解释：这个公式表明，当x趋近于0时，函数sinx x 的极 限等于1。例如，可以通过逐渐取x的较小的值来验证这个公式， 当x非常接近于0时，sinx x 的值非常接近于1。 2.基本极限公式2：lim x→0 (1+x)1x=e 解释：这个公式表明，当x趋近于0时，函数(1+x)1 x 的极限等于自然常数e。例如，可以取一系列越来越接近于0的x 的值，计算(1+x)1 x的值，可以发现这些值逐渐接近于e。 3.基本极限公式3：lim x→∞(1+1 x ) x =e 解释：这个公式表明，当x趋近于正无穷时，函数 (1+1 x ) x 的极限等于自然常数e。例如，当x取非常大的值时， (1+1 x ) x 的值逼近于e。 4.基本极限公式4：lim x→∞(1+k x ) x =e k 解释：这个公式表明，当x趋近于正无穷时，函数 (1+k x ) x 的极限等于常数e k。例如，当x取非常大的值时， (1+k x ) x 的值逼近于e k。 推论和应用 1.由基本极限公式1可推得：lim x→0sinmx nx =m n ，其中m和 n为常数。 解释：这个推论说明了当x趋近于0时，函数sinmx nx 的 极限等于m n 。例如，当m=3，n=2时，可以通过逐渐取x的较 小的值来验证，sin3x 2x 的极限等于3 2 。 2.由基本极限公式3可推得：lim x→∞(1+1 nx ) mx =e m n，其 中m和n为常数。 解释：这个推论说明了当x趋近于正无穷时，函数 (1+1 nx ) mx 的极限等于e m n。例如，当m=3，n=2时，可以取一 系列越来越大的x的值来验证，(1+1 2x ) 3x 的极限等于e 3 2。 高三数学函数极限练习题及答案 一、单项选择题（每题2分，共40分） 1. 已知函数f(x) = 3x^2 + 2x - 1，求lim(x->2)(f(x))的值。 A. 16 B. 18 C. 20 D. 24 2. 已知函数g(x) = sin(2x) / x，求lim(x->0)(g(x))的值。 A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 3. 已知函数h(x) = (x^2 + x - 2) / (x - 1)，求lim(x->1)(h(x))的值。 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知函数k(x) = (x - 3) / (x^2 - 9)，求lim(x->3)(k(x))的值。 A. 1 B. 0 C. 1/3 D. 3 5. 已知函数m(x) = sqrt(x + 1) - 1，求lim(x->0)(m(x))的值。 A. 0 B. 1/2 C. 1 D. 2 6. 已知函数n(x) = e^x - 1，求lim(x->0)(n(x))的值。 A. 1 B. e C. 0 D. 2 7. 已知函数p(x) = ln(1 + x)，求lim(x->0)(p(x))的值。 A. 1 B. ln(2) C. -1 D. 0 8. 已知函数q(x) = (1 - cosx) / (x^2)，求lim(x->0)(q(x))的值。 A. 1/2 B. 1/3 C. 1/4 D. 1/5 9. 已知函数r(x) = tanx / x，求lim(x->0)(r(x))的值。 A. 1 B. 0 C. ∞ D. -∞ 10. 已知函数s(x) = x^2 / (1 - cosx)，求lim(x->0)(s(x))的值。 A. 0 B. 1 C. 2 D. ∞ 11. 已知函数t(x) = (x - sinx) / x^3，求lim(x->0)(t(x))的值。 A. 0 B. 1/2 C. 1 D. ∞ 12. 如果lim(x->a)(f(x))存在，则称函数f(x)在x=a处的极限存在。 A. 对 B. 错 13. lim(x->∞)(arctanx)的值为π/2。 A. 对 B. 错 14. lim(x->a)(sin^2x + cos^2x)的值为1。 A. 对 B. 错 15. lim(x->0)(e^x - 1) / x 的值为1。 A. 对 B. 错 16. lim(x->±∞)(e^x)的值为∞。 A. 对 B. 错 17. lim(x->0)(x^3 + x^2 + x + 1)的值为0。 A. 对 B. 错 二元函数极限证明 二元函数极限证明 第一篇： 二元函数极限证明 二元函数极限证明 设p=f教学目的： 掌握二元函数的极限的定义，了解重极限与累次极限的区别与联系． 教学内容： 二元函数的极限的定义；累次极限． 基本要求： 较高要求： 掌握重极限与累次极限的区别与联系，能用来处理极限存在性问题． 教学建议： 要求学生弄清一元函数极限与多元函数极限的联系与区别，教会他们求多元函数极 限的方法． 对较好学生讲清重极限与累次极限的区别与联系，通过举例介绍判别极限存在性的较完整的方法． 一二元函数的极限 先回忆一下一元函数的极限： limf时，f法则。类似地, 二元函数基本未定型的极限问题也有相似的洛泌达法则。为了叙述上的方便, 对它的特殊情形= ) 作出如下研究, 并得到相应的法则与定理。二元函数的极限是反映函数在某一领域内的重要属性的一个基本概念, 它刻划了当自变量趋向于某一个定值时, 函数 值的变化趋势。是高等数学中一个极其重要的问题。但是, 一 般来说, 二元函数的极限比起一元函数的极限, 无论从计算还 是证明都具有更大的难度。本文就二元函数极限的问题作如 下探讨。 第四篇： 二元函数的极限与连续 § 3 二元函数的极限与连续 定义 设二元函数有意义, 若存在 常数a, 都有 则称a是函数当点趋于点 或 或 趋于点时的极限,记作 。 的方式无关,即不,当（即）时，在点的某邻域内或 必须注意这个极限值与点 论p以什么方 向和路径（也可是跳跃式地，忽上忽下地）趋向 分接近, 就能使。只要p与充与a 接近到预先任意指定的程度。注意： 点p趋于点点方式可有无穷多 种,比一元函数仅有左,右两个单侧极限要复杂的多（图8-7）。 图8-7 同样我们可用归结原则,若发现点p按两个特殊的路径趋于点时, 极限 在该点 存在,但不相等, 则可以判定元函数极限不存在的重要方法之一。 极限不存在。这是判断多 一元函数极限中除了单调有界定理外,其余的有关性质和结论, 在二元函数极 限理论中都适用，在这里就不一一赘述了。例如若 有 , 其中 。 求多元函数的极限, 一般都是转化为一元函数的极限来求, 或利用夹逼定理 来计算。例4 求。解由于 , 而 函数的极限（二） 一．关于左、右极限（即单侧极限）的概念 如同x →∞时的函数极限有x →+∞和x →-∞两种情况一样，函数()f x 在0x x →的趋向下，我们也需要研究函数的单侧极限的问题，讨论从0x 的右侧（0x x >）或左侧（0x x <）无限 趋向0x 的过程中，函数()f x 的变化趋势。例如考虑0 x →0x +→。 如果x 是从0x 的右侧无限趋向于0x ，对应的函数值()f x 无限趋于常数A ，则称A 是0 x x →时函数()f x 的右极限。严格的描述这个极限过程的“εδ-”语言是：（即数学定义） 设函数()f x 在0x 的右侧区间0(,)x b 内有定义，对于任意给定的0ε>，总存在正数δ，使得当x 在00x x δ<-<时，恒有下列不等式成立 |()|f x A ε-<， 则称A 是0x x →时函数()f x 的右极限，记作0 lim ()x x f x A - →=。 同样，如果x 是从0x 的左侧无限趋向于0x ，对应的函数值()f x 无限趋于常数A ，则称A 是 0x x →时函数()f x 的左极限，“εδ-”定义是： 设函数()f x 在0x 的左侧区间0(,)a x 内有定义，对于任意给定的0ε>，总存在正数δ，使得当x 在00x x δ<-<时，恒有下列不等式成立 |()|f x A ε-<， 则称A 是0x x →时函数()f x 的左极限，记作0 lim ()x x f x A - →=。 例1.1 用定义证明： 1 l i 0x - →=。 证：对于任给0ε>，欲使 |()0||0|f x ε-==，即等于 x < 成立就可以了。但本题1x - →，故对于任给0ε>（取1ε<），取δ=，当 01x <-< 或 11x << 时，恒有 |()|f x ε<。这就证明了1 lim 0x - →=。 从例1.1 的证明过程看，单侧极限的证明其实与一般极限的验证过程并无太大的区别，只是在选定自变量的邻域时，需要注意它的取值范围要满足条件00x x δ<-<或00x x δ<-<。 例1.2 教科书上第49页的例9还是值得仔细琢磨的。它研究的是取整函数在端点0x n =处的左、右极限。请看书上第10页的图1-10。这个分段函数的解析式为 1,[1,) ()[], [,1)n x n n f x x n x n n -∈-⎧==⎨ ∈+⎩， 0,1,2, n =±±高三数学复习教案——函数的极限
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