高三数学函数极限的运算法则2
第一篇：高三数学函数极限的运算法则2
函数极限的运算法则（4月30日）
教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限
教学难点：函数极限法则的运用
教学过程：
一、引入：
一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如lim1=0,limx=xo.若求极限的函数比x→∞xx→xo
较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二、新课讲授
也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C是常数，n是正整数时，lim[Cf(x)]=Climf(x)x→xox→xo
x→xolim[f(x)]n=[limf(x)]n x→xo
这些法则对于x→∞的情况仍然适用.三典例剖析
例1 求lim(x+3x)x→2
22x3-x2+1例2 求lim x→1x+
1x2-16
例3 求lim
x→4x-
4x2-16
分析：当x→4时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数y=
x-4
在定义域x≠4内，可以将分子、分母约去公因式x-4后变成x+4，由此即可求出函数的极
限.3x2-x+
3例4 求lim 2x→∞x+
1分析：当x→∞时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以x，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。
总结：limC=C,limx=xo(k∈N),x→xo
x→xo
k
k
*
limC=C,lim
x→∞
=0(k∈N*)kx→∞x
2x2+x-
4例5 求lim
3x→∞3x-x2+
1分析：同例4一样，不能直接用法则求极限.如果分子、分母都除以x，就可以运用法则计算了。
四课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限）
（1）lim(2x-3)；（2）lim(2x-3x+1)
x→
2x→2
2x2+
1（3）lim[(2x-1)(x+3)]；（4）lim2
x→4x→13x+4x-1
x2-1x2-5x+6
（5）lim（6）lim 2x→3x→-1x+1x-9
2x2+x-22y2-y
（7）lim3（8）lim
3x→∞3x-3x2+1y→∞y-
5五小结有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；函数的运算法则成立的前提条件是函数f(x),g(x)Λ的极限存在，在进行极限运算时，要特别注意这一点.3 两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在.在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限.六作业（求下列极限）
2xx2+5
（1）lim(2x+3x+4)（2）lim2（3）lim2
x→-1x→1x+x+1x→2x-3
x2-3x+1x2-33x3+x2
+1)（5）4（4）lim(（6）lim5 242x→0x→0x→3x-4x+x+1x+3x-2x
x-2x+1x3+3x2+2x
（7）lim2（8）lim2（9）lim
x→2x-4x→-1x-1x→-2x2-x-6
11(x+m)2-m2x2+1
（10）lim（11）lim(2-+2)（12）lim2
x→∞x→0x→∞2x+2x-1xxx
x3+x2x3+123x2-11x+6)（15）lim2（13）lim4（14）lim(3
2x→∞x+3x+1
（16）lim3x2-11x+6x→∞2x2-5x-3x→23x-217）limx-x2-6x3x→02x-5x2-3x3
x→12x-5x-3
x-x2-6x3
18）limx→∞2x-5x2-3x3（（
第二篇：习题课2—函数极限2009
《数学分析I》第2次习题课教案
第二次习题课（函数极限、无穷小比较）
一、内容提要
1.函数极限定义，验证limx+1=
2.x→
32.极限性质（唯一性、局部有界性、局部保号性、保不等式）.e3x-e-2x
3.极限四则运算.求lim.x→0x
4.收敛准则（迫敛准则、柯西收敛准则、归结原则）.
5.无穷小与无穷大（无穷小比较、等价无穷小替换定理、渐近线的求法）.
6.重要极限与常用等价无穷小.二、客观题
1.当x→0时，下列四个无穷小中，（）是比其它三个更高阶的无穷小.为什么？
2（A）x2；(B)1-cosx；(C)-x-1；(D)tanx-sinx
2.已知limsinx(cosx-b)=5，则a=(),b=().x→0ex-a
23.当x→0 时，x-sinx 是 x 的（）.(A)低阶无穷小；(B)高阶无穷小；(C)等价无穷小；(D)同阶无穷小但非等价无穷小.4.设f(x)=lim3nx,则它的连续区间是（）.n→∞1-nx
25.当x→0时下列变量中与x是等价无穷小量的有[].(A)sinx；
(B)ln(1+x)；(C)x2 ；(D)2x2-x.+x2-17.设f(x)=，则x=0是f(x)的间断点，其类型是__________ __．x
三、解答题
1利用重要极限求下列函数极限
1xn+1ann!⎛x+7⎫（1）lim （二重），（2）设xn=，求极限lim，（3）求极限lim(cosx)x2，⎪nn→∞x→∞x+1x→0nxn⎝⎭
cosx-
1xx-1解：lim(cosxx=lim(1+(cosx-1))x→0x→011cosx-1⋅cosx-1x=ex→0lim=e -1
22.利用等价无穷小的性质求下列极限：
《数学分析I》第2次习题课教案
sinax+x2ln(1-3x)+xsinx-1（1）lim；（2）lim，b≠0；（3）lim.x2x→0x→0x→0sinxtanbxe-1
3.利用连续函数求下列极限：
ex-1ln(1+ax)2(1)lim；(2)lim(提示：令t=ex-1)；（3）lim1+3tanxx→0x→0x→0xx()cot2x.4.利用函数极限的归结原则求数列极限
2⎛12⎫（1）limnsin，（2）lim 1++2⎪.x→∞n→∞n⎝nn⎭n
⎧sinax⎪5.设f(x)=⎨x⎪⎩x+[x]x<0x≥0，应怎样选取数a，才能f(x)使处处连续？
x3+1(-ax-b)=1，求常数a,和b。6.已知lim（极限分析）x→∞x2+1
四、证明题
1.若f(x)为周期函数，且limf(x)=0，试证明f(x)≡0,x∈(-∞,+∞).x→∞
2.利用函数极限的归结原则证明limcosx不存在.x→∞
3.设f(x)~g(x)(x→x0),证明：f(x)-g(x)=o(f(x)).
4.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)=A，证明：f(x)≡A，x→+∞x∈(0,+∞).f(x)=limf(x)=f(1)，证明：5．设函数f在(0,+∞)上满足方程f(x2)=f(x)，且lim+x→0x→+∞
f(x)≡f(1)，x∈(0,+∞).
第三篇：函数极限
《数学分析》教案
第三章函数极限
xbl
第三章函数极限
教学目的：
1.使学生牢固地建立起函数极限的一般概念，掌握函数极限的基本性质；
2.理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性；
3.掌握两个重要极限
和，并能熟练运用；
4.理解无穷小（大）量及其阶的概念，会利用它们求某些函数的极限。教学重（难）点：
本章的重点是函数极限的概念、性质及其计算；难点是海涅定理与柯西准则的应用。
教学时数：16学时
§ 1 函数极限概念（3学时）
教学目的：使学生建立起函数极限的准确概念；会用函数极限的定义证明函数极限等有关命题。
教学要求：使学生逐步建立起函数极限的ε-δ定义的清晰概念。会应用函数极限的ε-δ定义证明函数的有关命题，并能运用ε-δ语言正确表述函数不以某实数为极限等相应陈述。
教学重点：函数极限的概念。
教学难点：函数极限的ε-δ定义及其应用。
一、复习：数列极限的概念、性质等
二、讲授新课：
（一）时函数的极限：
《数学分析》教案
第三章函数极限
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例4 验证
例5 验证
例6 验证
证由 =
为使
需有
需有
为使
于是, 倘限制 , 就有
例7 验证
例8 验证(类似有
（三）单侧极限:
1．定义：单侧极限的定义及记法.几何意义: 介绍半邻域
《数学分析》教案
第三章函数极限
xbl
我们引进了六种极限:.以下以极限，为例讨论性质.均给出证明或简证.二、讲授新课：
（一）函数极限的性质: 以下性质均以定理形式给出.1.唯一性:
2.局部有界性:
3.局部保号性:
4.单调性(不等式性质):
Th 4 若使，证设
和都有 =
(现证对都存在, 且存在点的空心邻域)，有
註: 若在Th 4的条件中, 改“ 就有
5.6.以
迫敛性:
”为“ 举例说明.”, 未必
四则运算性质:(只证“+”和“ ”)
（二）利用极限性质求极限：已证明过以下几个极限：
《数学分析》教案
第三章函数极限
xbl
例8
例9
例10 已知
求和
补充题:已知
求和（）§ 3 函数极限存在的条件（4学时）
教学目的：理解并运用海涅定理与柯西准则判定某些函数极限的存在性。教学要求：掌握海涅定理与柯西准则，领会其实质以及证明的基本思路。教学重点：海涅定理及柯西准则。教学难点：海涅定理
及柯西准则运用。
教学方法：讲授为主，辅以练习加深理解，掌握运用。本节介绍函数极限存在的两个充要条件.仍以极限
为例.一.Heine归并原则——函数极限与数列极限的关系：
Th 1 设函数在,对任何在点
且的某空心邻域
内有定义.则极限都存在且相等.(证)
存Heine归并原则反映了离散性与连续性变量之间的关系,是证明极限不存在的有力工具.对单侧极限,还可加强为
单调趋于
.参阅[1]P70.例1 证明函数极限的双逼原理.7 《数学分析》教案第三章函数极限
xbl
教学难点：两个重要极限的证明及运用。
教学方法：讲授定理的证明，举例说明应用，练习。一．
（证）（同理有）
例1
例2.例3
例4
例5 证明极限不存在.二.证对
有
例6
特别当等.例7
例8
《数学分析》教案
第三章函数极限
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三．等价无穷小：
Th 2(等价关系的传递性).等价无穷小在极限计算中的应用: Th 3(等价无穷小替换法则)
几组常用等价无穷小:（见[2]）
例3 时, 无穷小
与
是否等价? 例4
四.无穷大量:
1.定义:
2.性质:
性质1 同号无穷大的和是无穷大.性质2 无穷大与无穷大的积是无穷大.性质3 与无界量的关系.无穷大的阶、等价关系以及应用, 可仿无穷小讨论, 有平行的结果.3.无穷小与无穷大的关系:
无穷大的倒数是无穷小,非零无穷小的倒数是无穷大
习题课（2学时）
一、理论概述：
《数学分析》教案
第三章函数极限
xbl
例7.求
.注意时, 且
.先求
由Heine归并原则
即求得所求极限
.例8 求是否存在.和.并说明极限
解;
可见极限不存在.--32
第四篇：函数极限
习题
1.按定义证明下列极限:
(1)limx→+∞6x+5=6;(2)lim(x2-6x+10)=2;x→2x
x2-5=1;(4)lim-(3)lim2x→+∞x-1x→2
(5)limcos x = cos x0 x→x04-x2=0;
2.根据定义2叙述limf(x)≠ A.x→x0
3.设limf(x)= A.,证明limf(x0+h)= A.x→x0h→0
4.证明:若limf(x)= A,则lim| f(x)| = |A|.当且仅当A为何值时反之也成立? x→x0x→x0
5.证明定理3.1
6.讨论下列函数在x0→0 时的极限或左、右极限:(1)f(x)=x
x;(2)f(x)= [x]
⎧2x;x>0.⎪(3)f(x)=⎨0;x=0.⎪1+x2,x<0.⎩
7.设 limf(x)= A,证明limf(x→+∞x→x01)= A x
8.证明:对黎曼函数R(x)有limR(x)= 0 , x0∈[0,1](当x0=0或1时,考虑单侧极限).x→x0
习题
1．求下列极限：
x2-1（1）lim2（sinx－cosx－x）;(2)lim;πx→02x2-x-1x→22 x2-1(x-1)+(1-3x);
lim(3)lim;(4)
x→12x2-x-1x→0x2+2x3
xn-1(5)limm(n,m 为正整数)；（6）lim
x→1xx→4-1
（7）lim
x→0
+2x-3x-2
70；
a2+x-a(3x+6)(8x-5).（a>0）;(8)lim
x→+∞x5x-190
2．利用敛性求极限：(1)lim
x→-∞
x-cosxxsinx
;(2)lim2
x→0xx-4
3．设 limf(x)=A, limg(x)=B.证明：
x→x0
（1）lim[f(x)±g(x)]=A±B;
x→x0
（2）lim[f(x)g(x)]=AB;
x→x0
（3）lim
x→x0
f(x)A
=(当B≠0时)g(x)B
4．设
a0xm+a1xm-1+Λ+am-1x+am
f(x)=,a0≠0,b0≠0,m≤n,nn-1
b0x+b1x+Λ+bn-1x+bn
试求 limf(x)
x→+∞
5．设f(x)>0, limf(x)=A.证明
x→x0
x→x0
lim
f(x)=A，其中n≥2为正整数.6.证明limax=1(0
x→0
7.设limf(x)=A, limg(x)=B.x→x0
x→x0
(1)若在某∪(x0)内有f(x)< g(x)，问是否必有A < B ? 为什么？
（2）证明：若A>B,则在某∪(x0)内有f(x)> g(x).8.求下列极限（其中n皆为正整数）：(1)lim -
x→0
x
lim;(2);nn+x→0x1+xx1+x
x+x2+Λ+xn-n
(3)lim;(4)lim
x→0x→0x-1
+x-1
x
(5)lim
x→∞
[x](提示：参照例1)
x
x→0
x→0
x→0
9．（1）证明：若limf(x3)存在，则limf(x)= lim f(x3)（2）若limf(x2)存在，试问是否成立limf(x)=limf(x2)?
x→0
x→0
x→0
习题
1.叙述函数极限limf(x)的归结原则,并应用它证明limcos x不存在.n→+∞
n→+∞
2.设f 为定义在[a,+∞)上的增(减)函数.证明: lim= f(x)存在的充要条件是f在n→+∞
[a,+∞)上有上(下)界.3.(1)叙述极限limf(x)的柯西准则;
n→-∞
(2)根据柯西准则叙述limf(x)不存在的充要条件,并应用它证明limsin x不存在.n→-∞
n→-∞
4.设f在∪0(x0)内有定义.证明:若对任何数列{xn}⊂∪0(x0)且limxn=x0,极限limf(xn)都
n→∞
n→∞
存在,则所有这极限都相等.提示: 参见定理3.11充分性的证明.5设f为∪0(x0)上的递减函数.证明:f(x0－0)和f(x0+0)都存在,且f(x0－0)=supf(x),f(x0+0)=
0x∈u-
(x0)
0x∈un(x0)
inff(x)
6.设 D(x)为狄利克雷函数,x0∈R证明limD(x)不存在.x→x0
7.证明:若f为周期函数,且limf(x)=0,则f(x)=0
x→+∞
8.证明定理3.9
习题
1.求下列极限
sin2xsinx3
(1)lim;(2)lim
x→0x→0sinx2x
(3)lim
x→
cosxx-
π
tanx-sinxarctanx
lim(5)lim;(6);3x→0x→0xx
sin2x-sin2a1
(7)limxsin;(8)lim;
x→+∞x→axx-a
;(4)lim
x→0
tanx
;x
-cosx2
(9)lim;(10)lim
x→0x→01-cosxx+1-1
sin4x
2.求下列极限
12-x
(1)lim(1-);(2)lim(1+ax)x(a为给定实数);
n→∞x→0x
x
(3)lim(1+tanx)
x→0
cotx
;(4)lim
⎛1+x⎫
⎪;
x→01-x⎝⎭
(5)lim（x→+∞
3x+22x-1α);(6)lim(1+)βx(α,β为给定实数)
n→+∞3x-1x
3.证明:lim⎨lim⎢cosxcoxcos
4.利用归结原则计算下列极限:(1)limnsin
n→∞
⎡
x→0n→∞
⎩⎣
⎧
x2
xx⎤⎫Λcos=1 2n⎥⎬22⎦⎭
π
n
;(2)
习题
1．证明下列各式
(1)2x－x2=O(x)(x→0);(2)x sinx=O(x)(x→0);
+
(3)+x-1=o(1)(x→0);
(4)(1+x)n= 1+ nx+o(x)(x→0)(n 为正整数)(5)2x3 + x2=O(x3)(x→∞);
(6)o(g(x))±o(g(x))=o(g(x))(x→x0)
(7)o(g1(x))·0(g2(x))=o(g1(x)g2(x))(x→x0)2．应用定理3.12求下列极限：
+x2-1x(1)lim(2)lim x→01-cosxx→∞x-cosx
x3．证明定理3.13
4．求下列函数所表示曲线的渐近线：
13x3+4
(1)y =;(2)y = arctan x;(3)y = 2
xx-2x
5．试确定a的值，使下列函数与xa当x→0时为同阶无穷小量：
(1)sin2x－2sinx;(2)
－(1－x);1+x
(3)+tanx--sinx;(4)
x2-4x3
6．试确定a的值，使下列函数与xa当x→∞时为同阶无穷大量：
(1)
x2+x5;(2)x+x2(2+sinx);
(3)(1+x)(1+x2)…(1+xn).7．证明：若S为无上界数集，则存在一递增数列{xn}⊂s，使得xn→+∞(n→∞)
8．证明：若f为x→r时的无穷大量，而函数g在某U0(r)上满足g(x)≥K>0，则fg为x→r
时的无穷大量。
9．设f(x)~g(x)(x→x0)，证明：
f(x)－g(x)= o(f(x))或 f(x)－g(x)= o(g(x))
总练习题
1．求下列极限：
-1
(x-[x])lim([x]+1)(1)lim;(2)-+
x→3
x→1
(3)lim（x→+∞
a+xb+x-a-xb-x)
xx-a
(4)lim
x→+∞
(5)lim
xx-a
x→-∞
(6)lim
+x--x+x--x
x→0
(7)lim
n⎫⎛m,m,n 为正整数-n⎪x→11-xm1-x⎭⎝
2．分别求出满足下述条件的常数a与b：
⎛x2+1⎫
(1)lim -ax-b⎪⎪=0 x→+∞x+1⎝⎭
x(3)limx
(2)lim
x→-∞x→+∞x→2
)-x+1-ax-b)=0
-x+1-ax-b=0
x→2
3．试分别举出符合下列要求的函数f：
(1)limf(x)≠f(2)；(2)limf(x)不存在。
4．试给出函数f的例子，使f(x)>0恒成立，而在某一点x0处有limf(x)=0。这同极限的x→x0
局部保号性有矛盾吗？
5．设limf(x)=A，limg(u)=B，在何种条件下能由此推出
x→a
g→A
limg(f(x))=B?
x→a
6．设f(x)=x cos x。试作数列
(1){xn} 使得xn→∞(n→∞), f(xn)→0(n→∞);(2){yn} 使得yn→∞(n→∞), f(yn)→0(n→∞);(3){zn} 使得zn→∞(n→∞), f(zn)→0(n→∞).7．证明：若数列{an}满足下列条件之一，则{an}是无穷大数列：
(1)liman=r>1
n→∞
(2)lim
an+1
=s>1(an≠0,n=1,2,…)
n→∞an
n2
n2
8．利用上题（1）的结论求极限：
(1)lim 1+
⎛n→∞
⎝1⎫⎛1⎫⎪(2)lim 1-⎪
n→∞n⎭⎝n⎭
9．设liman=+∞，证明
n→∞
(1)lim
(a1+a2+Λ+an)=+∞ n→∞n
n→∞
(2)若an > 0(n=1,2,…),则lima1a2Λan=+∞ 10.利用上题结果求极限：
(1)limn!(2)lim
n→∞
In(n!)
n→∞n
11.设f为U-0(x0)内的递增函数。证明：若存在数列{xn}⊂U-0(x0)且xn→x0(n→∞)，使得
limf(xn)=A，则有
n→∞
f(x0－0)=
supf(x)=A
0x∈U-(x0)
12.设函数f在(0,+∞)上满足方程f(2x)=f(x)，且limf(x)=A。证明：f(x)≡A，x∈(0,+∞)
x→+∞
13.设函数f在(0,+∞)此上满足方程f(x2)= f(x)，且
f(x)=limf(x)=f(1)lim+
x→0
x→+∞
证明：f(x)≡f(1)，x∈(0,+∞)
14.设函数f定义在(a,+∞)上，f在每一个有限区间内(a,b)有界，并满足
x→+∞
lim(f(x+1)-f(1))=A证明
x→+∞
lim
f(x)
=A x
第五篇：函数极限
数学之美2006年7月第1期
函数极限的综合分析与理解
经济学院财政学任银涛 0511666
数学不仅仅是工具，更是一种能力。一些数学的方法被其它学科广泛地运用。例如，经济学中的边际分析、弹性分析等方法。函数极限是高等数学中的一个重要问题。极限可以与很多的数学问题相联系。例如，导数从根本上是求极限；函数连续首先要求函数在某一点的左极限等于右极限。有鉴于函数极限的重要性，结合自己的学习心得，笔者写下了此文。其目的在于归纳和总结解决函数极限问题的实用方法和技巧，以期对函数极限问题的学习有所帮助。局限于笔者的认知水平，缺点和不足在所难免，欢迎批评指正。
一、函数极限的定义和基本性质
函数极限可以分成x→x0，x→∞两类，而运用ε-δ定义更多的见诸于已知
极限值的证明题中。掌握这类证明对初学者深刻理解运用极限定义大有裨益。以x→x0的极限为例，f(x)在点x0以A极限的定义是：∀ε>0,∃δ>0,使当0 函数极限性质的合理运用。常用的函数极限的性质有函数极限的唯一性、局部有界性、保序性以及函数极限的运算法则和复合函数的极限等等。如函数极限的唯一性（若lim存在，则在该点的极限是唯一的）可以体现在用海涅定理证明x→x0 ''即如果f(xn)→A，fxn，f(x)在x0处的极限不存在。→B （n→∞,xn和xn→x0）() 则f(x)在x0处的极限不存在。 运用函数极限的性质可以方便地求出一些简单函数的极限值。例如对于有理分式f(x)=P(x)P(x),Q(x)均为多项式，Q(x)≠0）。设P(x)的次数为n,Q(x)的Qx次数为m，当x→∞时，若n 二、运用函数极限的判别定理 最常用的判别定理包括单调有界定理和夹挤定理，在运用它们去求函数的极限时尤需注意以下关键之点。一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值，参见附例2。二是应用夹挤定理的关键是找到极限值相同的函数g(x)与 h(x)，并且要满足g(x)≤f(x)≤h(x)，从而证明或求得函数f(x)的极限值。 三、应用等价无穷小代换求极限 掌握常用的等价无穷小很重要。等价无穷小代换可以将复杂的极限式变的简单明了，让求解过程变得简明迅速。 x→0时，sinx与x，tanx与x，arcsinx与x，arctanx与x，1-cosx与x2，xa，ax-1与xlna，(1+a)与ax（a≠0）等等可ln(1+x)与x，loga(1+x)与lna 以相互替换。特别需要注意的是，等价无穷小代换只能用于分子、分母中的乘积 sinx-x 因子，而对于加减法运算则不能运用。例如lim，不能直接把sinx 替换 x→0x 3sinx-x 1=-成x，得出极限值为0，实际上lim。 x→0x36 芯衣州星海市涌泉学校函数的极限 教学目的：1、使学生掌握当0x x →时函数的极限； 2、理解： A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0 教学重点：掌握当0x x →时函数的极限 教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念〞的理解。 教学过程：一、复习： 〔1〕=∞ →n n q lim ＿＿＿＿＿1 A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0 。 特别地， C C x x =→0 lim ；0 lim x x x x =→ 三、例题 求以下函数在X ＝0处的极限 〔1〕121 lim 220---→x x x x 〔2〕x x x 0lim →〔3〕 =)(x f 0 ,10,00 ,22<+=>x x x x x 四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。 五、练习及作业： 1、对于函数12+=x y 填写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出 当1→x 时函数12+=x y 的极限 2、对于函数 12-=x y 填 写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数1 2-=x y 的极限 3* 1 21 lim 2 21---→x x x x 32302) 31()1(lim x x x x x +-+-→)cos (sin 2lim 22 x x x x --→ π 2 321lim 4 --+→x x x x a x a x -+→20lim 〔0>a 〕x x 1lim 0→ 上海高考数学知识点极限 数学是高考考试中一门重要的科目，尤其是在上海地区，数学考试 的难度系数往往较高。在高考数学中，极限是一个重要的概念和知识点。下面我将从数列极限、函数极限、极限运算法则等几个方面来探 讨上海高考数学知识点极限。 一、数列极限 数列极限是指当数列中的数值随着项数的增加趋于一个确定的数时，这个确定的数就是该数列的极限。数列极限的概念在高考数学中是非 常重要的。在考试中，常常会涉及到数列的极限计算和性质运用。 例如，求数列${{a}_{n}}$的极限，可以利用数列极限的定义来进行求解。假设数列${{a}_{n}}$的极限为$a$，那么对于充分大的$n$，数 列中的元素${{a}_{n}}$都会无限接近$a$。通过运用数列极限的定义，可以利用数学方法进行具体的极限计算，并得到数列极限的结果。 二、函数极限 函数极限是指当自变量趋向于某个数或无穷大时，函数的值也趋于 一个确定的数，称为函数极限。函数极限在高考数学中也是一个重要 的知识点。 在函数极限的计算中，常用的方法有极限的性质、夹逼定理、洛必 达法则等。这些方法可以用来求解各种不同类型的函数极限，从而解 决高考数学中的相关问题。 例如，计算函数${{f(x)}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}$在 $x\to+\infty$时的极限。可以利用洛必达法则来解决这个问题。按照洛 必达法则的步骤，可以将函数的导数和极限进行运算，然后再进行计算，得到最后的结果。 三、极限运算法则 极限运算法则是指当已知多个函数的极限时，可以利用这些极限的 性质来计算复合函数的极限。极限运算法则在高考数学中也是一个非 常重要的知识点。 常用的极限运算法则有四则运算法则、复合函数运算法则、乘方函 数极限法则等。这些法则可以帮助我们快速计算复杂的极限，并得到 准确的结果。 例如，计算复合函数极限${{f(g(x))}}$在$x\to a$时的极限。可以先 求得函数$g(x)$在$x\to a$时的极限，再将这个极限代入到函数$f(x)$中，从而得到复合函数的极限。 综上所述，上海高考数学中的极限是一个非常重要的知识点。在考 试中，能够熟练运用数列极限、函数极限和极限运算法则等知识，可 以帮助我们解决各种复杂的数学问题。因此，我们在备考过程中应该 注重对极限知识点的理解和掌握，灵活应用这些知识来解决实际问题。这样才能在高考数学中取得较好的成绩。 高考数学中的极限问题解析 高考数学中，极限问题是一个相对来说比较难的题型，但它是 数字运算的基础，也是整个数学学科的核心概念之一。因此，掌 握高考数学中的极限问题非常重要。 一、极限的概念 极限的概念是指数列或函数随着自变量趋近于某一值时所达到 的极限值。数列和函数都有自变量，当自变量变化时，因变量也 会相应地发生变化。极限的概念就是通过探究因变量的变化规律，来确定自变量趋近于某个值时因变量的取值。 二、极限的性质 极限有很多性质，以下主要介绍常用的几个。 1. 唯一性 对于某个数列或函数，它的极限只有可能有一个，即不存在多 个不同的极限值。 2. 保号性 如果极限值为正数，则必然存在一个与其小但大于0的正数；如果极限值为负数，则必然存在一个与其小但小于0的负数；如果极限值为0，则必定存在一个与其小的正数和负数。 3. 夹逼定理 如果某个数列或函数，对于一个自变量趋近于某个值的区间，存在两个数列或函数，一个递增且趋近于某个限值，另一个递减且趋近于相同的限值，则该数列或函数的极限就是这个限值。 三、常见的极限计算方法 1. 直接代入法 这是最简单、最常用的一种求极限的方法。当自变量趋近于某个数值的时候，可以直接将那个数值代入函数表达式中，看看函数是否有定义且取值有限，如果有，就代表它存在极限。 2. 替换法 在求某个函数在某一点的极限时，一般可以用代数式子来替换函数式子，这样就可以直接用代数方式求值了。这种方法的关键是，被替换的函数式子需要符合极限的定义。 3. 等价无穷小代换法 当函数的极限无法直接求得时，可以用等价无穷小代换法来解决。这种方法的核心是找到一个相对于极限值的无穷小量，以破除在求取某个函数极限时的不定性。 4. some other methods。。。 还有很多其他的求极限方法，这里就不一一列举了。 四、常见的极限问题类型 1. 无穷大类型 高三数学函数极限的运算法则2 第一篇：高三数学函数极限的运算法则2 函数极限的运算法则（4月30日） 教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如lim1=0,limx=xo.若求极限的函数比x→∞xx→xo 较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二、新课讲授 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C是常数，n是正整数时，lim[Cf(x)]=Climf(x)x→xox→xo x→xolim[f(x)]n=[limf(x)]n x→xo 这些法则对于x→∞的情况仍然适用.三典例剖析 例1 求lim(x+3x)x→2 22x3-x2+1例2 求lim x→1x+ 1x2-16 例3 求lim x→4x- 4x2-16 分析：当x→4时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数y= x-4 在定义域x≠4内，可以将分子、分母约去公因式x-4后变成x+4，由此即可求出函数的极 限.3x2-x+ 3例4 求lim 2x→∞x+ 1分析：当x→∞时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以x，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：limC=C,limx=xo(k∈N),x→xo x→xo k k * limC=C,lim x→∞ =0(k∈N*)kx→∞x 2x2+x- 4例5 求lim 3x→∞3x-x2+ 1分析：同例4一样，不能直接用法则求极限.如果分子、分母都除以x，就可以运用法则计算了。 四课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限） （1）lim(2x-3)；（2）lim(2x-3x+1) x→ 2x→2 2x2+ 1（3）lim[(2x-1)(x+3)]；（4）lim2 x→4x→13x+4x-1 x2-1x2-5x+6 （5）lim（6）lim 2x→3x→-1x+1x-9 2x2+x-22y2-y 高等数学中的极限概念在高考数学中的表现在高考数学中，极限概念是非常重要的一个概念。在数学领域中，极限概念是非常基础而又重要的一个概念，而在高等数学领域中，极限概念的应用更加广泛深入。在高考数学中，极限概念的考察通常体现在函数极限、数列极限等方面。下面将从基本概念、性质和应用等方面详细论述高等数学中的极限概念在高考数学中的表现。 一、基本概念 极限概念是指随着自变量趋近于某一个值时，函数值或者数列中的数值趋近于一个确定的值或趋于无限大或趋于无穷小。在高考数学中，研究的对象是数列或函数趋近一个数或无限大或无穷小的一种状态或方向。因此，高考数学中的极限通常是指数列或函数趋近某一数值、无限大或无穷小时的极限。 二、极限的性质 1. 唯一性：若存在极限，那么它是唯一的。 2. 保序性：若a＜b且对于一切n，有an＜bn，则liman＜limbn。 3. 夹逼准则：设数列an≤bn≤cn，若an和cn的极限都是a，则 bn的极限也是a。 4. 有界性：如果数列有极限，则必定是有界的。 5. 收敛数列的四则运算：设数列{an}和{bn}都收敛，且liman ＝a，limbn＝b，那么有以下结论： (1) lim{an＋bn}＝a＋b； (2) lim{an－bn}＝a－b； (3) lim{an×bn}＝ab； (4) lim{an/bn}＝a/b（前提是bn≠0，b≠0）。 6. 收敛数列的夹逼原理：如果数列{an}、{bn}、{cn}满足 an≤bn≤cn，且liman＝limcn＝a，则{bn}收敛，其极限为a。 三、极限的应用 1. 数列极限的应用 数列极限的应用很广，如证明数列的单调性、求极限和数列求和等。例如，在一些综合类的题目中，考生需要使用递推公式求出一个数列的第n项，若数列发散，则完全可以利用数列的单调性以及极限的定义来证明其发散。而另外一些题目则需要考生求出数列的极限值来进一步求出其总和等其他性质。 2. 函数极限的应用 函数极限的应用也非常广泛，如判断函数的连续性、求导数及求曲线等。例如，在绘制某一函数的曲线时，需要先求出该函数在某一特定点的导数，若该函数在该点处连续且可导，那么就可以通过导数的正负值及零点的情况来判断曲线在该点处的切线方 极 限 考试内容： 教学归纳法．数学归纳法应用． 数列的极限． 函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性． 考试要求： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （2）了解数列极限和函数极限的概念． （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． （4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． §13. 极 限 知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立； ②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①a a n n =∞ →lim ②当∞→n 时，a a n →. ⑵几个常用极限： ①C C n =∞ →lim （C 为常数） ②),(01 lim 是常数k N k n k n ∈=∞→ ③对于任意实常数， 当1||πa 时，0lim =∞ →n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞ →∞→不存在 当1φa 时，n n a ∞ →lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果b b a a b n n n ==∞ →∞→lim ,lim ，那么 高三数学 函数的极限（2） 一、教学目标： 1．使学生能从变化趋势理解函数在-+→→→000x x x x x x 、、时的极限的概念； 2．会求函数在某一点的极限或左、右极限，掌握函数在一点处的极限与左、右极限的关系； 3．利用函数的极限培养学生的观察分析能力； 4．通过对函数极限的学习，进一步渗透从量变到质变的辩证思维方法； 二、教学重点：第二类函数极限的概念和左右极限与点极限之间的联系； 教学难点：区分几种不同类型极限差别和正确理解极限的概念． 三、教学用具：投影仪或多媒体 四、教学过程： 1．复习引入，提出问题 回忆当-∞→+∞→∞→x x x 、、时的函数极限是如何定义的．我们可否用类似地思想和方法研究0x x →时的函数极限． 2．考察函数，比较特征 例1 考察函数2x y =，当x 无限趋近于2时，函数的变化趋势． 从表格上看：教科书第81页的表说明，自变量2 课题：函数的极限和连续性 教学目标：1.了解函数极限的概念；2.掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；3.了解函数连续的意义；4.理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 （一） 主要知识及主要方法： 1.函数极限的定义: ()1当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数()f x 无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数()f x 的极限是a ，记作：lim ()x f x a →+∞ =，或者当x →+∞时， ()f x a →；()2当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数()f x 无限趋近于一 个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数()f x 的极限是a . 记作lim ()x f x a →-∞ =或者当当x →-∞时，()f x a → ()3如果lim ()x f x a →+∞=且lim ()x f x a →-∞ =，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数()f x 的极限是a ，记作：lim ()x f x a →∞ =或者当x →∞时，()f x a → . 2.常数函数:()f x c =(x R ∈)，有lim ()x f x c →∞ =. lim ()x f x →∞ 存在，表示lim ()x f x →+∞ 和lim ()x f x →-∞ 都存在，且两者相等所以lim ()x f x →∞ 中的∞既 有+∞，又有-∞的意义，而数列极限lim n x a →∞ 中的∞仅有+∞的意义. 3.趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数 )(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作 lim ()x x f x a →=.特别地，C C x x =→0 lim ；00 lim x x x x =→. 4.0 lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==. 其中0 lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限， 0lim ()x x f x a + →=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限. 5.对于函数极限有如下的运算法则： 极限知识点高三数学 在高中数学的学习过程中，极限是一个十分重要且常出现的概念。它不仅在解题过程中起到关键作用，而且在数学的其他分支中也有广泛的应用。本文将重点介绍高三数学中的极限知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。 一、极限的定义 极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。一般来说，我们用符号“lim”加上一个表达式来表示极限。例如 lim(x→a)f(x)表示当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限。 二、常见的极限运算法则 1. 有界性定理：如果一个函数在一个区间内有定义并且有界，那么它在这个区间内必有极限。 2. 四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，如果lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)存在且有限，则有以下极限运算法则： (1) lim(x→a)(f(x)+g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x) (2) lim(x→a)(f(x)-g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x) (3) lim(x→a)(f(x)g(x)) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x) (4) lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) (前提：lim(x→a)g(x) ≠ 0) 3. 复合函数极限法则：设y=f[g(x)]为由f(u)和g(x)构成的复合 函数，其中lim(x→a)g(x)=b，lim(u→b)f(u)=L，则有 lim(x→a)f[g(x)]=L。 4. 已知函数极限与极限运算法则可以联合使用。例如，如果 lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则有lim(x→a)(f(x)^g(x))=A^B。 三、例题分析 为了更好地理解和掌握极限的应用，我们来看几个例题： 例题1：求极限lim(x→0)(sinx/x)。 解析：由于在x→0时，sinx和x都趋近于0，我们可以利用泰 勒级数展开来计算该极限。根据泰勒展开公式，sinx可以展开为 13.3 函数的极限 ●知识梳理 1.函数极限的概念：（1）如果+∞ →x lim f （x ）=a 且-∞ →x lim f （x ）=a ,那么 就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞ →x lim f （x ）=a , 也可记作当x →∞时，f （x ）→a. （2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0 lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a . （3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作 - →0lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近 于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作 + →0lim x x f （x ）=a . 2.极限的四则运算法则： 如果0 lim x x → f （x ）=a , 0 lim x x →g （x ）=b ,那么 lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; lim x x →)()(x g x f =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）上述法则对x →∞的情况仍成立； （2）0 lim x x →[Cf （x ）]=C 0 lim x x →f （x ）（C 为常数）; （3）0 lim x x →[f （x ）]n =[0 lim x x →f （x ）]n （n ∈N *）. ●点击双基 1. + →0lim x x f （x ）= - →0lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 2.f （x ）=⎩ ⎨ ⎧<≥,10, 12x x x 下列结论正确的是 A.)(lim 1x f x + →=- →1 lim x f （x ） B.)(lim 1x f x + →=2，)(lim 1x f x - →不存在 C.+ →1 lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x - →不存在 D.+ →1lim x f （x ）≠- →1lim x f （x ） 答案:D 3.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在点x 0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 高中三年级数学学案目录 模块一极限（数学选1-1，高三上；高二新下） 12．1 数学归纳法及其应用 13．2 数列极限 13．3 函数极限 模块二导数（数学选1-1，高三上；高二新下） 13．1 导数的概念、公式及其运算法则 13．2 导数的应用（一） 13．3 导数的应用（二） 模块三复数（数学选1-2，高三上；高二新下） 14．1 复数的相关概念和几何意义 14．2 复数的代数形式及其运算 模块一极限 【知识网络】 1．1 数学归纳法及其应用 【考点透视】 一、考纲指要 1．了解数学归纳法的原理，理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质． 2．能用数学归纳法证明一些简单的问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列的通项与和问题、几何问题、整除性问题等等． 3．掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质． 二、命题落点 1．客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，如例1． 2．解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目。和例3，例4． 3．“观察→归纳→猜想→证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现 结论，又能证明结论的正确性．这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年 高考的一个考查重点，如例2 4．数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧。 【典例精析】 例1：（1994·上海）. 某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N+）时该命题成立，那么 可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立 C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立 解析：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立． 因为当n=k时，命题成立可推出n=k+1时成立，所以n=5时命题不成立，则n=4时，命题也一定不成立，故应当选C． 答案：C 例2：（1993·全国理）已知数列 81 13 22 · · ，…， 8 2121 22 · · n n n ()() -+ ，…。S n 为其前n 项和，求S 1、S 2 、S 3 、S 4 ，推测S n 公式，并用数学归纳法证明． 解析：本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳 法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法。但证明方法不唯一，除数学归纳法外，有时还可使用其他方法。 计算得S 1＝ 8 9 ，S 2 ＝ 24 25 ，S 3 ＝ 48 49 ，S 4 ＝ 80 81 ， 猜测S n ＝ () () 211 21 2 2 n n +- + (n∈N+)。 证明：当n＝1时，等式显然成立； 高三数学第二章数列的极限知识点总结 极限，是指无限趋近于一个固定的数值。以下是查字典数学网为大家整理的高三数学第二章数列的极限知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。 1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限; 2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在; 3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线); 4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限. 首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性;其次,通过递推关系中取极限，解方程, 从而得到数列的极限值. b.利用函数极限求数列极限 如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解. ★求项和或项积数列的极限,主要有以下几种方法： a.利用特殊级数求和法 如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式,那么通过整理可以直接得出极限结果. l b.利用幂级数求和法 若可以找到这个级数所对应的幂级数,则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出,再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值. c.利用定积分定义求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示, 则可以考虑用定积分定义求解数列极限. d.利用夹逼定理求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项不能用一个通项表示,但是其余项是按递增或递减排列的,则可以考虑用 高考数学知识点总结2023年 （经典版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 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