高考数学中的函数的极限应用总结高考数学中函数的极限应用是一道难点，需要学生在掌握基本
概念的同时还需具备灵活的应用能力。本文将总结常见的函数的
极限应用，为学生备战高考提供参考。
一、极限的定义
在深入学习函数的极限应用之前，我们需要先掌握极限的定义。极限是指当自变量无限接近某一值时，函数值趋向于一个确定的值。其定义如下：
设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，$A$ 为常数，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数
$\delta$ 使得对于一切满足 $0<|x-x_0|<\delta$ 的 $x$，都有 $|f(x)-
A|<\varepsilon$ 成立，则称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于 $x_0$ 时有极限 $A$，记作 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$。
二、极限的性质
在应用函数的极限时，我们还需掌握极限的一些基本性质，包括：
1. 唯一性：如果 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在，那
么它唯一。
2. 保号性：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，且存
在极限 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$，若 $A>0$（或
$A<0$），则存在某一去心邻域，使得在这个邻域内，函数值
$f(x)$ 不为 $0$ 且同号于 $A$。
3. 局部有界性：若 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$，
则 $f(x)$ 在接近 $x_0$ 的位置上有界。
三、常见的函数的极限应用
1. 利用极限求导
在求导过程中，有时候我们需要利用函数的极限来求导。例如，对于函数 $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$，我们可以通过求
$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \dfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$ 的极限值，然后取其导数，从而求出 $f(x)$ 的导数
$\dfrac{d}{dx}(\dfrac{\sin x}{x})$。
2. 利用极限求极值
在函数的优化问题中，我们有时需要求函数的极值。例如，对于函数 $f(x) = x\ln x$，我们可以通过求 $\lim\limits_{x \rightarrow 0^+} f(x)$ 和 $\lim\limits_{x \rightarrow +\infty} f(x)$ 的极限值，然后比较它们与函数图像的变化，从而确定函数的最小值（当
$x=1/e$ 时）和最大值（当 $x=1$ 时）。
3. 利用极限求曲率
在曲率问题中，我们需要求一个曲线在某一点的曲率半径。例如，对于函数 $y=\sqrt{1-x^2}$ 所对应的半圆弧，我们可以通过求$\lim\limits_{h \rightarrow 0} \dfrac{2h}{(h^2+(1-x)^2)\sqrt{(1-
(x+h)^2)(1-x^2)}}$ 的极限值，从而求出该曲线在 $(x,y)$ 处的曲率半径。
4. 利用极限求面积
在计算面积问题中，有时候我们需要利用函数的极限来计算自变量的区间上的面积。例如，对于函数 $y=xe^{-x}$ 和 $y=0$ 所夹图形在 $x \in [0,+\infty)$ 区间上的面积，我们可以通过求
$\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \sum\limits_{i=1}^{n} \dfrac{e^{-i/n}-(i-1)/n}{n}$ 的极限值，从而求出该图形的面积。
四、总结
在高考数学中，函数的极限应用是一道难点，需要学生们多做练习，熟练掌握基本概念和应用技巧。同时，学生们还需注重总结，通过总结不同的应用场景和方法，帮助自己更好地理解函数的极限应用，进而在高考中取得优异的成绩。
极 限 考试内容： 教学归纳法．数学归纳法应用． 数列的极限． 函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性． 考试要求： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （2）了解数列极限和函数极限的概念． （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． （4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． §13. 极 限 知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立； ②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①a a n n =∞ →lim ②当∞→n 时，a a n →. ⑵几个常用极限： ①C C n =∞ →lim （C 为常数） ②),(01 lim 是常数k N k n k n ∈=∞→ ③对于任意实常数， 当1||πa 时，0lim =∞ →n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞ →∞→不存在 当1φa 时，n n a ∞ →lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果b b a a b n n n ==∞ →∞→lim ,lim ，那么
极限 一、数列的极限： 对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时，数列的相应项n x 无限趋近一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷时，数列{}n x 以A 为极限，记为 )(lim ∞→→=∞ →n A x A x n n n 或 式子中“→”读作“趋于”，这时也称数列{}n x 是收敛的，若数列{}n x 没有极限，则称数列{}n x 是发散的 二、函数的极限 1.当∞→x 时函数的极限 2.当+∞→x 或-∞→x 时函数的极限 · 得到一个充要条件是：A x f x =∞→)(lim 的充要条件是A x f x f x x ==-∞ →+∞→)(lim )(lim 3.当0x x →时函数的极限 4.当+→0x x 或- →0x x 时函数的极限 得到一个充要条件是：A x f x x =→)(lim 0的充要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 00 三、极限的运算法则 （1）极限的唯一性 如果极限)(lim 0x f x x →存在，则它只有一个极限，即若A x f x x =→)(lim 0 ，B x f x x =→)(lim 0,则A=B （2）极限的运算法则 设B x v A x u ==)(lim ,)(lim 则有 （1）" （2）[]B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )()(lim （3）[]B A x v x u x v x u ?=?=?)(lim )(lim )()(lim （4）当0)(lim ≠=B x v 时，B A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim 推论1 如果)(lim 0 x u x x →存在，c 为常数，则)(lim ))((lim 00x u c x cu x x x x →→= 推论2 如果)(lim 0x u x x →存在，N n ∈,则n x x n x x x u x u )](lim [)]([lim 0 0→→=
高等数学函数与极限知识点总结 高等数学是数学的重要分支之一，其中包括了函数与极限的内容。函数与极限是高等数学的基础，也是数学建模和应用的重要工具。本文将从函数的定义、性质和分类、极限的定义和性质等方面进行总结。 1. 函数的定义 函数是一种映射关系，它将一个集合中的每个元素唯一地对应到另一个集合中的元素。函数可以用数学表达式、图像或图表等形式来表示。在高等数学中，常见的函数有多项式函数、指数函数、对数函数、三角函数等。 2. 函数的性质和分类 函数具有很多性质，其中包括定义域、值域、奇偶性、周期性等。定义域是函数自变量的取值范围，而值域是函数因变量的取值范围。函数的奇偶性是指函数图像关于y轴对称或关于原点对称的性质。周期性是指函数在一定范围内的取值具有重复性。 根据函数的性质和表达式的特点，可以将函数分为多项式函数、有理函数、指数函数、对数函数、三角函数等不同类型。多项式函数是由常数和自变量的幂组成的函数，有理函数是两个多项式函数的比值，指数函数是以常数e为底的幂函数，对数函数是指数函数的反函数，三角函数是以角度或弧度为自变量的函数。
3. 极限的定义和性质 极限是函数与自变量趋于某一值时函数取值的稳定性。当自变量无限接近某一值时，函数的取值也趋于某一值，这个值就是函数的极限。极限可以用数列、函数或图像的趋势来描述。 函数的极限有以下性质： - 唯一性：函数的极限只有一个唯一值。 - 保序性：如果函数在某一点左侧的极限小于右侧的极限，则函数在该点不存在极限。 - 有界性：如果函数在某一点的左侧和右侧都有极限，则函数在该点存在极限。 - 代数运算性质：如果函数的极限存在，则函数的和、差、积、商的极限也存在。 4. 极限的计算方法 极限的计算方法有很多种，常见的方法包括代入法、夹逼法、无穷小量法、洛必达法则等。 - 代入法是将自变量的值代入函数中，计算函数在该点的取值。 - 夹逼法是通过找到两个函数，一个上面界和一个下面界，夹逼自变量的值，确定函数的极限。 - 无穷小量法是通过将函数化简为一个无穷小量的形式，确定函数的极限。 - 洛必达法则是通过求函数的导数，然后计算导数的极限，确定函
高考数学中的函数的极限应用总结高考数学中函数的极限应用是一道难点，需要学生在掌握基本 概念的同时还需具备灵活的应用能力。本文将总结常见的函数的 极限应用，为学生备战高考提供参考。 一、极限的定义 在深入学习函数的极限应用之前，我们需要先掌握极限的定义。极限是指当自变量无限接近某一值时，函数值趋向于一个确定的值。其定义如下： 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，$A$ 为常数，如果对于任意给定的正数 $\varepsilon$，总存在正数 $\delta$ 使得对于一切满足 $0<|x-x_0|<\delta$ 的 $x$，都有 $|f(x)- A|<\varepsilon$ 成立，则称 $f(x)$ 当 $x$ 趋于 $x_0$ 时有极限 $A$，记作 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$。 二、极限的性质
在应用函数的极限时，我们还需掌握极限的一些基本性质，包括： 1. 唯一性：如果 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x)$ 存在，那 么它唯一。 2. 保号性：若 $f(x)$ 在 $x_0$ 的某一去心邻域内有定义，且存 在极限 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$，若 $A>0$（或 $A<0$），则存在某一去心邻域，使得在这个邻域内，函数值 $f(x)$ 不为 $0$ 且同号于 $A$。 3. 局部有界性：若 $\lim\limits_{x \rightarrow x_0} f(x) = A$， 则 $f(x)$ 在接近 $x_0$ 的位置上有界。 三、常见的函数的极限应用 1. 利用极限求导 在求导过程中，有时候我们需要利用函数的极限来求导。例如，对于函数 $f(x) = \dfrac{\sin x}{x}$，我们可以通过求
【1】忽略高阶无穷小方法。 很多极限看起来很复杂，而且也不好使用洛必达法则，但是如果忽略掉次要部分，则会很容易计算。 比如，忽略掉比x低的无穷小项后为√x / √2x = 1/√2 再比如斐波那契数列， 忽略掉[(1-√5)/2]^n的次要项后， 可以求得lim a(n+1)/a(n) = (1+√5)/2 再比如lim(x->∞) (sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x)) 当x->∞的时候sinx和cosx是sinh(x)和cosh(x)的高阶无穷小 所以lim(x->∞) (sinh(x)+sinx)/(2Cosh(x)-3Cos(x)) = lim(x->∞) sinh(x)/2Cosh(x) = lim(x->∞) (e^x-e^(-x)) / 2(e^x+e^(-x)) = lim(x->∞) e^x / 2e^x =1 【2】取对数与洛必达法则 洛必达法则是求极限的时候用的最多的方法，但是很多题目都会饶下弯子，需要先对代数式进行一些变形，否则计算起来会越来越烦，常见的的代换包括取对数，等价无穷小代换，省略高阶无穷小部分，在用完这些方法后，再使用洛必达法则，可以有效的解决这类问题。 比如 这个直接用等价无穷小代换后会因为损失了高阶无穷小导致结果不正确，取对数后就会化成容易计算的形式了 lim(x->∞) x^2*ln(1+1/x) - x 再做代换t = 1/x
=lin(t->0) (ln(1+t)-t) / t^2 再用洛必达法则= lim(t->0) (1/(1+t) - 1) / 2t = -1/2 所以原式极限为e^(-1/2) 再比如tanx ^(1/lnx)在x->0+的时候的极限 这个极限是0^∞的形式 直接取对数得ln(tanx) / lnx ，现在是∞/∞的形式 用洛必达法则得= x / ( sinx cosx) = x/sinx * 1/cosx = 1 所以tanx^(1/lnx)在x->0+的时候的极限为e 【3】常用等价无穷小 经常用到的等价无穷小有 (1) tanx ~ sinx ~ acrsinx ~ arctanx ~ sinh(x) ~ acsinh(x) ~ x (x->0) (2) 1-cosx ~ x^2/2 (x->0) (3) e^x - 1 ~ x (x->0) (4) ln(1+x) ~ x (x->0) (5) (1+x)^a - 1 ~ ax (x->0) (6) e - (1+x)^(1/x) ~ ex / 2 (x->0) 【4】极限存在准则 有些极限问题直接计算很困难，但是合理地使用放缩，再利用极限存在准则，可以很容易的得到，这个方法在判别级数收敛，反常积分计算的时候更是经常用到。 比如 显然n/√(n^2+n) < ∑1/√(n^2+i) < n/√(n^2+1) 而limn/√(n^2+n) = limn/√(n^2+1) = 1 所以极限是1 再比如 显然 1 <= 2sin^2n + cos^2 n <= 2 所以1^(1/n) <= (2sin^2n + cos^2 n)^(1/n) <= 2^(1/n) 所以原式极限是1
极限知识点高三数学 在高中数学的学习过程中，极限是一个十分重要且常出现的概念。它不仅在解题过程中起到关键作用，而且在数学的其他分支中也有广泛的应用。本文将重点介绍高三数学中的极限知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。 一、极限的定义 极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。一般来说，我们用符号“lim”加上一个表达式来表示极限。例如 lim(x→a)f(x)表示当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限。 二、常见的极限运算法则 1. 有界性定理：如果一个函数在一个区间内有定义并且有界，那么它在这个区间内必有极限。 2. 四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，如果lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)存在且有限，则有以下极限运算法则： (1) lim(x→a)(f(x)+g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)
(2) lim(x→a)(f(x)-g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x) (3) lim(x→a)(f(x)g(x)) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x) (4) lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) (前提：lim(x→a)g(x) ≠ 0) 3. 复合函数极限法则：设y=f[g(x)]为由f(u)和g(x)构成的复合 函数，其中lim(x→a)g(x)=b，lim(u→b)f(u)=L，则有 lim(x→a)f[g(x)]=L。 4. 已知函数极限与极限运算法则可以联合使用。例如，如果 lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则有lim(x→a)(f(x)^g(x))=A^B。 三、例题分析 为了更好地理解和掌握极限的应用，我们来看几个例题： 例题1：求极限lim(x→0)(sinx/x)。 解析：由于在x→0时，sinx和x都趋近于0，我们可以利用泰 勒级数展开来计算该极限。根据泰勒展开公式，sinx可以展开为
高中数学中的极限运算知识点总结极限是高中数学中重要的概念和工具之一，具有广泛的应用领域。本文将对高中数学中的极限运算知识点进行总结，包括极限的概念、性质、计算方法以及实际应用等方面。 一、极限的概念 1. 定义：当自变量趋近于某个确定值时，函数的取值趋近于某个确定值。即极限是函数在某一点附近的局部性质。 2. 记号：用lim来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。 3. 无穷大与无穷小：当x趋近于无穷大时，函数的极限可能是无穷大或无穷小。 二、极限的性质 1. 唯一性：函数在某一点的极限若存在，则唯一。 2. 有界性：有界函数的极限存在，且极限值在该有界区间内。 3. 局部性：极限的存在只与该点附近的函数值有关，与整体函数的取值无关。 4. 保号性：如果函数在某一点的极限存在且不为零，且函数在该点附近连续，则函数在该点附近保持与极限相同的符号。 三、极限的计算方法
1. 代数运算法则：极限具有代数运算的性质，可以通过极限的加减乘除法则进行计算。 2. 数列极限法则：对于递推公式给定的数列，可以通过将递推公式的项逐项求极限来计算数列的极限。 四、常用的极限运算知识点 1. 常用极限： - sinx/x的极限lim(x→0) = 1； - a^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞； - e^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞； - ln(1+x)/x的极限lim(x→0) = 1。 2. 极限的四则运算： - 两个函数的和（差）的极限等于各自函数的极限之和（差）； - 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积； - 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，其中分母函数的极限不为0。 3. 极限的复合运算： - 实数函数与数列的极限运算； - 函数的函数与数列的极限运算。
高考数学中的函数与极限的概念及应用作为高中数学的重要组成部分，函数与极限是每位学生都需要认真学习掌握的内容。在高考中，函数与极限相关的考点占据了相当大的比重。同时，函数与极限在生活中也有着广泛的应用。因此，深入了解函数与极限的概念及应用至关重要。 1. 函数的基本概念 函数是一种特殊的关系，通常用y=f(x)表示。其中，y称为函数值，x 称为自变量，f表示函数的具体规则。函数的定义域是所有自变量的取值范围，而值域是所有函数值的可能取值范围。 函数的图像是一条曲线，它反映了函数关系的特征和规律。不同类型的函数图像也不同，如线性函数的图像是一条直线，二次函数的图像是一条抛物线等等。 函数可以用于描述各种现象和问题，如人口增长、温度变化、物理过程等。同时，在计算中也有广泛的应用，如积分、微分、统计等。因此，学好函数是数学学习的基础。 2. 极限的基本概念 极限是函数中的一个重要概念，它可以描述函数在某个点附近的趋势和变化。通常用lim f(x)=L表示。其中，x→a表示x无限靠近a，L表
示函数在该点的极限值。 极限可以分为左极限和右极限，分别表示x在a点左侧和右侧时的极限值。如果左右极限相等，则称函数在该点连续。否则，函数在该点不连续。 函数的极限可以用于求导、积分等计算中。同时，在物理、工程、金融等领域中也有广泛的应用，如电路设计、结构分析、投资决策等。 3. 函数与极限的常见应用 函数与极限在生活中也有很多应用。以下是其中几个常见的例子： （1）电路设计 电路是由各种电器元件组成的，它们之间的关系可以用函数表示。例如，电流与电阻的关系可以表达为I=V/R，其中I表示电流，V表示电压，R表示电阻。此外，电路的稳定性和效率等方面也与函数和极限有关。 （2）结构分析 建筑、桥梁、机器等结构体的稳定性和安全性需要进行分析。如果结构体在某个位置的压力过大，就会发生破坏。此时，可以用函数和极限分析结构体的应力分布，找出破坏点，并改进结构以提高稳定性。
函数极限总结 一．极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽可以追溯到古希腊时期和中国战国时期，但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中，牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述。但迟至18世纪下半叶，达朗贝尔等人才认识到，把微积分建立在极限概念的基础之上，微积分才是完善的，柯西最先给出了极限的描述性定义，之后，魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义（ε-δ和ε-N 定义）。 从此，各种极限问题才有了切实可行的判别准则，使极限理论成为了微积分的工具和基础。[1] 二．极限知识点总结 1. 极限定义 函数极限：设函数f(x)在点的x 0某一去心邻域内有定义，如果存在常数A ，对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x 满足不等式 时，对应的函数值 都满足不等式： 那么常数A 就叫做函数f(x) 当x →x 0时的极限，记作。[2] 单侧极限：①.左极限：或 ②.右极限：或 定理： 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相 δ<<|x -x |00ε <-|)(|A x f A x f x x =→)(lim 0 A x f x x =- →)(lim )()(左→→x A x f A x f x x =+ →)(lim )()(右→→x A x f A x f x f A x f x x ==⇔ =+-→)()()(lim 0 )()()()()(0000lim 0 x f x f x f x f x f x x ==⇔=+ -→)(x f 0x x →
高中求极限的方法总结 数学成绩是长期积累的结果，因此准备时间一定要充分。接下来小编为大家推荐的是高中求极限的方法总结，欢迎阅读。 1、等价无穷小的转化，（只能在乘除时候使用，但是不是说一定在加减时候不能用, 前提是必须证明拆分后极限依然存在,e的X次方-1或者（1+x）的a次方-1等价于Ax等等。全部熟记（x 趋近无穷的时候还原成无穷小）。 2、洛必达法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）。首先他的使用有严格的使用前提！必须是X趋近而不是N趋近!（所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下 的极限，当然n趋近是x趋近的一种情况而已，是必要条件（还有一点数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无 穷!）必须是函数的导数要存在!（假如告诉你g（x）, 没告诉你是否可导，直接用，无疑于找死!!）必须是0 比0 无穷大比无穷大! 当然还要注意分母不能为0。洛必达法则分为3 种情况：0 比0 无穷比无穷时候直接用;0 乘以无穷，无穷减去无穷（应为无穷大于无穷小成倒数的关系）所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后这样就能变成第一种的形式了;0 的0 次方，1 的无穷次方，无穷的0 次方。对于（指数幂数）方程方法主要是取指数还取对数的方法，这样就能把幂上的函数移下来了，就是写成0与无穷的形式了，（这就是为什么只有 3 种形式的原因，LNx 两端都趋近于无穷时候他的幂移下来趋近于
0，当他的幂移下来趋近于无穷的时候，LNX趋近于0）o 3、泰勒公式（含有e 的x 次方的时候, 尤其是含有正余弦的加减的时候要特变注意!）E 的x 展开sina ，展开cosa, 展开In1+x,对题目简化有很好帮助。 4、面对无穷大比上无穷大形式的解决办法, 取大头原则最大项除分子分母!!! 看上去复杂, 处理很简单! 5、无穷小于有界函数的处理办法, 面对复杂函数时候, 尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候, 一定要注 意这个方法。面对非常复杂的函数，可能只需要知道它的范围结果就出来了! 6、夹逼定理（主要对付的是数列极限!）这个主要是看见极限中的函数是方程相除的形式，放缩和扩大。 7、等比等差数列公式应用（对付数列极限）（q 绝对值符号要小于1）o 8、各项的拆分相加（来消掉中间的大多数）（对付的还是数列极限）可以使用待定系数法来拆分化简函数。 9、求左右极限的方式（对付数列极限）例如知道Xn 与Xn+1的关系，已知Xn的极限存在的情况下,xn的极限与xn+1 的极限时一样的，因为极限去掉有限项目极限值不变化。 10、两个重要极限的应用。这两个很重要！对第一个而 言是X趋近0时候的sinx与x比值。第2个就如果x趋近无穷大，无穷小都有对有对应的形式( 第 2 个实际上是用于函
2021年高考数学极限知识点总结2021高考复习已经开始，查字典数学网小编在此为大家整理了高考数学极限知识点，供大家参考，希望对高考生有所帮助。预祝大家取得理想的成绩! 考试内容：教学归纳法，数学归纳法应用，数列的极限. 函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性. 考试要求： (1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函数极限的概念. (3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限. (4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. 13. 极限知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确;②假设当 ( )时，结论正确，证明当时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果 ①当 ( )时，成立; ②假设当 ( )时，成立，推得时，也成立. 那么，根据①②对一切自然数时，都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ②当时， .
⑵几个常用极限： ① ( 为常数) ③对于任意实常数， 当时， 当时，若a = 1，则 ;若，则不存在 当时，不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果，那么 特别地，如果C是常数，那么 ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为 . (化循环小数为分数方法同上式) 注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限; ⑴当自变量无限趋近于常数 (但不等于 )时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为 .记作或当时， . 注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求 .(当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关. 函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.) 如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零.
掌握高考数学中的函数极限与连续性理解与 应用方法 函数极限与连续性是高考数学中的重要考点，也是考生必须要掌握的内容之一。正确理解和应用函数极限与连续性是解决数学问题的关键步骤。本文将从函数极限和连续性的基本概念入手，逐步介绍理解和应用函数极限与连续性的方法。 1. 函数极限的基本概念 函数极限是指当自变量趋近于某个特定值时，函数的取值也趋近于某个特定值。在数学表达中，可以用极限符号来表示：lim (x→a) f(x) = L。其中 lim 表示极限，x→a 表示自变量 x 趋近于 a，f(x) 表示函数 f 在 x 处的取值，L 表示极限的结果。 2. 函数极限的计算方法 常见的函数极限计算方法有代入法、夹逼准则、等价无穷小替换法等。代入法是指将自变量的值代入到函数中进行计算；夹逼准则用于求解复杂的极限问题，通过找到两个较为简单的函数夹逼住原函数，推导出极限的结果；等价无穷小替换法是将一个函数替换成与其等价的无穷小函数，从而得到更容易计算的极限结果。 3. 连续性的基本概念 函数连续性是指函数在定义域内的每一个点都与其附近的点接近，不存在跳跃、断裂的现象。在数学表达中，可以用连续函数的定义来
描述：若函数在某一点 a 处连续，则要求 f(a) 存在且lim (x→a) f(x) = f(a)。意即函数在 a 点的极限等于 a 点的函数值。 4. 连续性的应用方法 连续性的应用方法主要包括函数连续性的判断和连续函数的性质。 函数连续性的判断可以通过判断函数的定义域、有理函数、无理函数 等来确定函数的连续性。连续函数的性质包括介值定理、零点定理、 最值定理等，这些定理可以在求解实际问题时帮助我们快速找到函数 值或者解析表达式。 5. 函数极限与连续性的综合应用 函数极限与连续性是解决数学问题的重要工具，在高考中经常与其 他数学知识点结合运用。比如在求函数的渐近线、函数图像的特征等 问题中，函数极限与连续性的理解和应用都起到了至关重要的作用。 总之，掌握高考数学中的函数极限与连续性理解与应用方法对于提 高数学成绩至关重要。通过对函数极限和连续性的基本概念的理解， 运用不同的计算方法计算函数极限，判断函数的连续性，并灵活应用 到实际问题中，可以帮助我们更好地解决数学问题。在备考过程中， 我们要加强对函数极限与连续性的理解和应用，通过多做题、多总结 方法，提高解决数学问题的能力。这样才能在高考中取得更好的成绩。
函数极限的求法总结 函数极限是高等数学中的一个重要概念，其在微积分和数学分析中扮演着重要的角色。函数极限的求法相对而言较为复杂，但通过理解一些基本的求极限的方法和技巧，可以帮助我们更好地解决各种极限问题。下面将对函数极限的求法进行总结。 一、基本极限求法： 1. 代入法：直接将自变量的值代入函数中，得到一个数值。 2. 分子分母都趋于0的极限：在计算分子分母同时趋于0的极限时，可以根据问题的具体形式进行化简，然后再求极限。 3. 有界函数的极限：有界函数的极限一般可以通过夹逼定理进行求解。即通过构造两个函数，一个逼近于函数极限的上界，另一个逼近于函数极限的下界，然后利用夹逼定理求得函数的极限。 4. 无穷小量的性质：利用无穷小量的性质进行极限的推导和化简。 二、重要极限法则： 1. 基本极限法则： (1) 常数函数极限：lim c = c，其中c是常数； (2) 幂函数极限：lim x^n = a^n，其中a是常数，n是正整数； (3) 正比例函数极限：lim kx = ka，其中k是常数； (4) 正比例函数的乘积极限：lim k*g(x) = k*lim g(x)，其中k 是常数； (5) 正比例函数的商极限：lim [g(x)/h(x)] = lim g(x) / lim h(x)，其中h(x)≠0。
2. 极限的四则运算法则： (1) 和的极限：lim [f(x) + g(x)] = lim f(x) + lim g(x)； (2) 差的极限：lim [f(x) - g(x)] = lim f(x) - lim g(x)； (3) 积的极限：lim [f(x) * g(x)] = lim f(x) * lim g(x)； (4) 商的极限：lim [f(x) / g(x)] = lim f(x) / lim g(x)，其中lim g(x) ≠ 0。 3. 乘积极限法则：lim [f(x) * g(x)] = (lim f(x)) * (lim g(x))，其中极限存在。 4. 商的极限法则：lim [f(x) / g(x)] = (lim f(x)) / (lim g(x))，其中极限存在且lim g(x) ≠ 0。 5. 复合函数极限法则：复合函数的极限等于内外函数的极限的乘积，即lim f(g(x)) = lim f(u) * lim g(x)，其中lim g(x)存在且lim f(u)存在。 6. 极限的放缩法则：如果对于任意的x，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，并且lim g(x) = lim h(x) = a，则lim f(x) = a。 7. 极限算术根本定理：设函数h(x) = f(x) + g(x)，其中lim f(x)存在且lim g(x)存在。则lim h(x)存在，并且lim h(x) = lim f(x) + lim g(x)。 三、夹逼准则： 夹逼准则是指如果函数f(x)和g(x)在某点a的某个去心邻域内满足：g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，并且lim g(x) = lim h(x) = L，则lim
高考数学中的函数极限与连续性应用技巧数学作为高考重要科目之一，其中的函数极限与连续性是一项重要的考察内容。函数极限与连续性的应用在高考中占据较大的比重，下面将介绍一些应用技巧，帮助同学们更好地应对高考数学考试。 一、一元函数极限的应用技巧 在高考数学中，一元函数极限的应用经常涉及到函数的极限值、极值问题以及其他相关应用。为了解决这些问题，以下是一些技巧和方法。 1. 利用函数极限求函数的极值：当函数极限存在时，可以通过极限的定义来求取函数的极值。首先，找到函数的定义域和极限的边界条件；然后通过求导、求导数的零点以及边界点等方法，判断函数的极值存在性及其取值。 2. 利用函数极限解决趋向问题：对于一些趋向问题，我们可以利用函数极限的定义来解决。一般来说，我们可以先将问题转化为数学表达式，然后通过函数极限的性质和操作方法来求取问题的解。 3. 利用函数极限推导变量间的关系式：在一些复杂的高考数学问题中，函数极限的应用可以帮助我们建立变量间的关系式。通过对特定函数的极限进行分析，可以得到一定的关系式，进而解决问题。 二、连续函数的应用技巧
连续性是高考数学中另一个重要的概念，相对于函数极限，连续函 数的应用要略显复杂。以下是一些应用技巧。 1. 利用连续函数求函数值：当一个函数是连续的时，可以通过直接 将自变量的值代入函数表达式中，求得函数的函数值。对于较复杂的 函数，可以利用函数的性质和运算法则进行简化。 2. 利用连续函数解决函数存在性与唯一性问题：对于给定的方程或 不等式，我们可以通过构造连续函数来解决其存在性与唯一性问题。 通过建立恰当的连续函数，并利用连续函数不变性、介值定理等技巧，可以判断给定方程或不等式是否存在解，以及解的个数和范围。 3. 利用连续函数解决极值问题：在高考中，我们常常遇到一些求函 数的最大值和最小值的问题。对于连续函数来说，可以通过求取函数 的导数，找到导函数的零点和定义域的边界点，来判断函数的极值点 和取值。 总结 在高考数学中，函数极限与连续性的应用是一项重要且常见的考察 内容。通过合理运用函数极限的定义、性质和连续函数的性质，我们 可以解决很多与函数相关的问题。通过掌握一些技巧和方法，我们可 以更好地应对高考数学考试，获取更好的成绩。 注：以上内容仅供参考，具体的题型和应用问题可能会因题目的具 体要求而有所不同。同学们在备考过程中，应密切关注考纲和教材， 并结合练习题进行针对性的学习和练习，以达到更好的应试效果。
函数的24种极限总结 极限是微积分的核心概念之一，它在数学和物理等学科中具有重要的应用价值。本文将对24种极限进行总结，以帮助读者更好地理解和应用这一概念。 一、极限的基本概念 极限是指当自变量趋于某一特定值时，取值逐渐接近于一个确定的值。可以用数列逼近的思想进行理解。极限常用的符号表示是“lim”。 二、一元极限 1.常数函数极限 常数极限是其本身的值，即 lim(a) = a。 2.幂函数极限 幂极限取决于指数的大小关系。当指数小于1时，函数趋于无穷大；当指数等于1时，函数趋于1；当指数大于1时，函数趋于有限值或无穷大。 3.指数函数极限 指数极限是通过不同的底数和指数，对数值进行无穷逼近得到的。例如，底数为e时，指数极限是e；底数为2时，指数极限是2。
4.对数函数极限 对数极限是自然对数的极限。当自变量趋于无穷大时，对数极限趋近于无穷大。 5.三角函数极限 三角极限取决于自变量趋于无穷大时的周期性变化。对于正弦函数和余弦函数，它们的极限是区间[-1,1]内的一系列值。 6.反三角函数极限 反三角极限取决于自变量趋于无穷大时的周期性变化。对于正切函数和余切函数，它们的极限不存在；而对于正割函数和余割函数，它们的极限是一系列值。 7.指数对数函数极限 指数对数极限取决于底数和自变量之间的关系。当自变量趋于无穷大时，指数对数极限趋近于无穷大。 8.复合函数极限 复合极限是通过两个或多个极限运算得到的。根据复合特性，可以通过分解成多个简单函数，再对每个极限进行计算。 三、多元极限 9.二元函数极限 二元极限是自变量趋于某个点时，取值逐渐接近于一个确定的值。
高等数学函数的极限知识点归纳整理 引语：函数极限是高等数学最基本的概念之一，导数等概念都是在函数极限的定义上完成的。 1.定义 设函数在点 的某一去心邻域内有定义，如果存在常数A，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正数，使得当x满足不等式时，对应的函数值都满足不等式： 那么常数A就叫做函数当时的极限，记作 2.概念 函数极限可以分成 以的极限为例，f(x) 在点 以A为极限的定义是：对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数 ，使得当x满足不等式 时，对应的函数值f(x)都满足不等式： ，那么常数A就叫做函数f(x)当x→x。时的极限。 3. 数列的极限形式（1种）和函数极限形式（6种）：
附课堂老师提到的相关概念和知识 1.“ε－N”定义需要的时刻是自变量从此刻开始往无穷大（小）的方向变化； “ε－δ”定义需要的时刻是自变量从此刻开始往某一个点无穷接近的方向变化； 2.去心邻域： 在高等数学中，我们经常会用到一种特殊的开区间(a -δ，a + δ)，称这个开区间为点a 的邻域，记为U(a，δ)，即 U(a，δ) = (a - δ，a + δ)， 称点a为邻域的中心，δ为邻域的半径。 通常δ是较小的实数，所以，a的δ邻域表示的是a的邻近的点，如下图所示。 点a的邻域 有时候，我们只考虑点a邻近的点，不考虑点a，即考虑点集{x | a-δ 函数极限总结 函数极限是数学中重要的概念，它在微积分和数学分析等领域有 着广泛的应用。在这篇文章中，我将对函数极限进行总结，并介绍一 些相关概念和性质。 1. 极限的定义 函数极限描述了一个函数在某一点上的值趋近于某个特定值的情况。正式来说，给定一个函数 f(x)，当自变量 x 的取值趋近于某个 值 a 时，如果对于任意给定的正数ε，存在另一个正数δ，使得当 x 距离 a 的距离小于δ 时，函数值 f(x) 和极限值 L 的差的绝对 值小于ε，那么我们说函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限为 L。记作： lim (x→a) f(x) = L 2. 极限的性质 函数极限具有一些重要的性质。首先，极限是唯一的。也就是说，如果一个函数在某一点存在极限，那么这个极限是唯一确定的。其次，函数极限存在的条件是函数在该点的左右极限存在且相等。换句话说，函数在某一点上存在极限的充分必要条件是函数在该点的左右极限存 在且相等。 3. 常见类型的极限 在实际问题中，我们经常遇到一些常见类型的函数极限。这些极 限的计算方法需要使用一些特定的技巧。以下是几个常见类型的极限： a) 无穷大极限：当函数在自变量趋近于某个值 a 时，函数值趋 近于无穷大，记作lim (x→a) f(x) = ∞。 b) 无穷小极限：当函数在自变量趋近于某个值 a 时，函数值趋 近于零，记作lim (x→a) f(x) = 0。 c) 正无穷极限和负无穷极限：当函数在自变量趋近于某个值 a 时，函数值趋近于正无穷或负无穷。正无穷记作lim (x→a) f(x) = +∞，负无穷记作lim (x→a) f(x) = -∞。 d) 数列极限：函数极限的概念可以推广到数列。给定一个数列{an}，当 n 趋近于无穷大时，如果序列中的每一项都趋近于某个值 L，那么我们说该数列的极限为 L，记作lim (n→∞) an = L。 4. 极限定理 函数极限有一些重要的定理，可以帮助我们计算复杂问题的极限。以下是几个常用的极限定理： a) 四则运算法则：如果函数 f(x) 和 g(x) 在 x 趋近于 a 时 的极限都存在，那么它们的和、差、乘积和商（假设除数不为零）的 极限也存在，并且有相应的表达式。 b) 复合函数极限：如果函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限存 在且为 L，而函数 g(x) 在 x 趋近于 L 时的极限存在，那么复合函 数 g(f(x)) 在 x 趋近于 a 时的极限存在且为 g(L)。 c) 夹逼定理：如果函数 g(x) 和 h(x) 在 x 趋近于 a 时的极 限都存在，且对于所有的 x，有g(x) ≤ f(x) ≤ h(x)，那么函数 f(x) 在 x 趋近于 a 时的极限也存在，并且等于 g(x) 和 h(x) 的极 函数与极限总结 函数与极限是数学中非常重要的概念，它们在解决问题、研究物 理现象和工程应用中发挥着重要的作用。本文将对函数与极限进行总结，介绍其基本概念、性质以及应用。 一、函数的基本概念 函数是数学中一个非常重要的概念，它描述了两个集合之间的依 赖关系。简单来说，函数是一个输入-输出的关系。对于一个函数f(x)，x是输入，而f(x)是输出。 函数的定义域是指输入的取值范围，而值域是指输出的取值范围。一般来说，函数的定义域和值域可以是实数集、自然数集、整数集等。 函数有很多种类型，例如线性函数、二次函数、指数函数、对数 函数等等。不同类型的函数具有不同的性质和特点，在实际应用中有 着各自的用途。 二、极限的基本概念 极限是数学中一个重要的概念，它描述了函数在某一点附近的变 化趋势。对于函数f(x)，当自变量x无限接近某一点a时，函数f(x) 的值是否趋近于某个值L，就称L为函数f(x)在点a处的极限，记作 lim(x→a)f(x) = L。 极限的计算方法有很多种，例如代入法、夹逼准则、洛必达法则等。这些计算方法可以帮助我们求解函数的极限值，进而研究函数的 性质和应用。 三、函数与极限的性质与应用 1. 连续性 函数在某一点处连续，意味着该点的左右极限存在且相等，并且 函数值与极限值也相等。函数的连续性是函数学中非常重要的性质， 它在实际应用中有着广泛的应用。 2. 极值 函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值和最小值。我们 可以通过求函数的导数来确定函数的极值点，进而得到函数的极值。 极值在物理领域的应用非常广泛，例如通过求函数的极值点可以 确定物体的最大速度、最大加速度等。 3. 泰勒展开 泰勒展开是一种用多项式逼近函数的方法。通过泰勒展开我们可 以将一个复杂的函数近似为一个多项式，进而简化函数的运算和研究 过程。泰勒展开在工程应用中非常常见，例如信号处理、图像处理等 领域。 4. 应用领域 函数与极限在物理学、工程学、经济学等领域有着广泛的应用。 例如在物理学中，函数与极限可以帮助我们研究物体的运动规律、力 学性质等。在工程学中，函数与极限可以帮助我们分析电路的稳定性、设计滤波器等。在经济学中，函数与极限可以帮助我们研究市场的供 求关系、经济增长等。函数极限总结
函数与极限总结
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