第三节 函数的极限
一、知识归纳 1、知识精讲：
1）当x →∞时函数f(x)的极限:
当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =+∞
→)(lim ,(或x →+∞时,f(x)→a)
当自变量x 取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =-∞
→)(lim ,(或x →-∞时,f(x)→a)
注：自变量x →+∞和x →-∞都是单方向的，而x →∞是双向的，故有以下等价命题
=+∞
→)(lim x f x a x f x =-∞
→)(lim ⇔a x f x =∞
→)(lim
2）当x →x 0时函数f(x)的极限:
当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x ≠x 0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于x 0时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x x =→)(lim 0
,(或x →x 0时,f(x)→a)
注：a x f x x =→)(lim 0
与函数f （x ）在点x 0处是否有定义及是否等于f （x 0）都无关。
3）函数f(x)的左、右极限:
如果当x 从点x=x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。就说a 是函数f(x)的左极限，记作a x f x x =-
→)(lim 0
。
如果当x 从点x=x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。就说a 是函数f(x)的右极限，记作a x f x x =+
→)(lim 0
。
注：=-→)(lim 0
x f x x a x f x x =+
→)(lim 0
⇔a x f x x =→)(lim 0
。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工
具。
注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限≠-
→)(lim 0
x f x x )(lim 0
x f x
x +→； ②0x x
→时，()±∞→x f ，③0x x →时，()→x f 的值不唯一。
4）函数极限的运算法则：
与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞
→∞
→那么
B A b a n n n +=+∞
→)(lim B A b a n n n -=-∞
→)(lim
B A b a n n n .).(lim =∞
→ )0(lim
≠=∞→B B A
b a n
n n
注：以上规则对于x →∞的情况仍然成立。
2、重点难点：对函数极限的定义的理解及求简单函数的极限的重点。思维方法：直接从常用的重要极限出发，运用函数极限的运算法则解题。
3.几个重要极限：
（1）01
lim
=∞→n n （2）C C n =∞
→lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n
q （1 →q q n n 例1．求下列各极限 220241 (1)lim()42 (2)) (3)lim cos (4)lim cos sin 22 x x x x x x x x x x x x π→→∞ →→ ----- 解：(1)原式=lim 2→x 4 1 21-=+-x (2)原式=∞ →x lim b a x ab x b a x ab x b a +=++++++)()(2 (3)因为1||lim 0=+ →x x x ，而1||lim 0-=-→x x x ，≠+ →| |lim x x x ||lim 0x x x - →，所以| |lim 0x x x →不存在。 (4)原式=2 sin 2cos 2sin 2cos lim 22 2x x x x x --→ π=2)2sin 2(cos lim 2=+→x x x π （5）0)31(lim =+∞→x x ，但-∞→x 时，x )31(→+∞。可知∞→x 时，lim ∞→x x )3 1(不存在。 【思维点拨】①解此类问题常用的手段是“消因子”与“因式有理化”。 ②第（5）小题易与数列极限lim ∞→n n )3 1(相混，数列极限中∞→n 特指+∞→n ，而函 数极限中的∞→x 包括了+∞→x 与-∞→x 。 例2 求下列极限： 222235721 (1)lim()1111 n n n n n n →∞+++++++++； 1 1 .1242(2)lim()1393n n n --→∞++++++++ 解：（1） )1 1 2171513( lim 2222+++++++++∞→n n n n n n 2 2222 2[3(21)] 1357(21)22lim lim lim lim 111111n n n n n n n n n n n n n n →∞→∞→∞→∞+++++++++=====++++（2） 11212[()]1242212(21)33lim()lim lim lim 011139331(31)123 n n n n n n n n n n n n n --→∞→∞→∞→∞-++++--====++++--- ()()()0 320203(1)0(0)(): 120 ()4() (2)(),1,5,()x x b x f x x f x x f x x f x f x f x x x →→∞→⎧+>⎪ ==⎨⎪+>⎩-==x x x 例设试确定b 的值,使lim 存在为多项式且lim lim 求的表达式解:（1）+→0 lim x f （x ）= +→0 lim x （2x +b ）=b ,-→0 lim x f （x ）= -→0 lim x （1+2x ）=2, 当且仅当b =2时, +→0 lim x f （x ）= -→0 lim x f （x ）, 故b =2时,原极限存在. （2）由于f （x ）是多项式,且∞→x lim x x x f 34)(-=1, ∴可设f （x ）=4x 3+x 2+ax +b （a 、b 为待定系数）. 又∵0lim →x x x f ) (=5, 即0lim →x （4x 2+x +a +x b ）=5, ∴a =5,b =0,即f （x ）=4x 3+x 2+5x . 评述:（1）函数在某点处有极限,与其在该点处是否连续不同. （2）初等函数在其定义域内每点的极限值就等于这一点的函数值,也就是对初等函数而言,求极限就是求函数值,使极限运算大大简化. 练习：设⎪⎩ ⎪ ⎨⎧<+=>+=0,10,00,)(x e x x b ax x f x ，问a ，b 为何值时，)(lim 0 x f x →存在。 解：b b ax x f x x =+=++→→)(lim )(lim 0 ，2)1(lim )(lim 0 =+=--→→x x x e x f 。当b=2时有)(lim )(lim 0 0x f x f x x -+→→=， 与a 无关。故当b=2，a 为任何实数时，)(lim 0 x f x →存在。 【思维点拨】)(lim 0 x f x x →存在⇔=-→)(lim 0 x f x x )(lim 0 x f x x + → 4.(0),x x →∞•≤<∞2n 2n n 1-x 例讨论函数f(x)=的连续性1+x 并作出函数图象 lim 部析:应先求出f （x ）的解析式，再判断连续性. 解:当0≤x ＜1时，f （x ）= ∞→n lim ⋅+-n n x x 2211x =x ; 当x ＞1时，f （x ）= ∞→n lim n n x x 2211+-·x =∞→n lim 11 1122+-n n x x ·x =－x ; 当x =1时，f （x ）=0. ∴f （x ）=⎪⎩ ⎪ ⎨⎧>-=<≤). 1(), 1(0 ), 10(x x x x x i ∵+→1 lim x f （x ）=+→1 lim x （－x ）=－1,-→1 lim x f （x ）= -→1 lim x x =1, ∴1 lim →x f （x ）不存在. ∴f （x ）在x =1处不连续，f （x ）在定义域内的其余点都连续. 图象如下图所示. x - 评述:. 例5：已知,2 2 lim 22 n x mx x x =+++-→求n m , 解法一： ,2 2lim 22 n x mx x x =+++-→2-=∴x 为方程022=++mx x 的一根，得3=m ， 代人可得1-=n 解法二：)2(lim 2 2++-→mx x x =()=++++-→222lim 22x mx x x x ()002 2lim 2lim 2 2 2=⋅=+++⋅+-→-→n x mx x x x x ()()302222 =⇒=+-+-∴m m ，代人可得1-=n 例6：)(x f 为多项式，且5)(lim ,14)(lim 023==-→∞→x x f x x x f x x ，求)(x f 。 解：∵)(x f 是多项式，且14)(lim 23=-∞→x x x f x ，∴b ax x x x f ++=-2 34)(，b a ,为待定系数，即b ax x x x f +++=2 3 4)(，又5)(lim =→x x f x ，即5)4(lim 20=+++→x b a x x x ，∴⎩⎨ ⎧==0 5b a ， 即x x x x f 54)(2 3 ++=。 【思维点拨】待定系数法是求函数解析式的常用方法。 三、课堂小结 小结 ：有限个函数的和（或积）的极限等于这些函数的和（或积）；两个（或几个）函数的极限至少有一个不存在时，他们的和、差、积、商的极限不一定不存在. 在求几个函数的和（或积）的极限时，一般要化简，再求极限 .求函数的极限要掌握几种基本的方法.①代入法；②因式分解法；③分子、分母同除x 的最高次幂；④有理化法 四、布置作业 芯衣州星海市涌泉学校函数的极限 教学目的：1、使学生掌握当0x x →时函数的极限； 2、理解： A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0 教学重点：掌握当0x x →时函数的极限 教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念〞的理解。 教学过程：一、复习： 〔1〕=∞ →n n q lim ＿＿＿＿＿1 A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0 。 特别地， C C x x =→0 lim ；0 lim x x x x =→ 三、例题 求以下函数在X ＝0处的极限 〔1〕121 lim 220---→x x x x 〔2〕x x x 0lim →〔3〕 =)(x f 0 ,10,00 ,22<+=>x x x x x 四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。 五、练习及作业： 1、对于函数12+=x y 填写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出 当1→x 时函数12+=x y 的极限 2、对于函数 12-=x y 填 写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数1 2-=x y 的极限 3* 1 21 lim 2 21---→x x x x 32302) 31()1(lim x x x x x +-+-→)cos (sin 2lim 22 x x x x --→ π 2 321lim 4 --+→x x x x a x a x -+→20lim 〔0>a 〕x x 1lim 0→ 高三数学函数极限的运算法则2 第一篇：高三数学函数极限的运算法则2 函数极限的运算法则（4月30日） 教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如lim1=0,limx=xo.若求极限的函数比x→∞xx→xo 较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二、新课讲授 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C是常数，n是正整数时，lim[Cf(x)]=Climf(x)x→xox→xo x→xolim[f(x)]n=[limf(x)]n x→xo 这些法则对于x→∞的情况仍然适用.三典例剖析 例1 求lim(x+3x)x→2 22x3-x2+1例2 求lim x→1x+ 1x2-16 例3 求lim x→4x- 4x2-16 分析：当x→4时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数y= x-4 在定义域x≠4内，可以将分子、分母约去公因式x-4后变成x+4，由此即可求出函数的极 限.3x2-x+ 3例4 求lim 2x→∞x+ 1分析：当x→∞时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以x，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：limC=C,limx=xo(k∈N),x→xo x→xo k k * limC=C,lim x→∞ =0(k∈N*)kx→∞x 2x2+x- 4例5 求lim 3x→∞3x-x2+ 1分析：同例4一样，不能直接用法则求极限.如果分子、分母都除以x，就可以运用法则计算了。 四课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限） （1）lim(2x-3)；（2）lim(2x-3x+1) x→ 2x→2 2x2+ 1（3）lim[(2x-1)(x+3)]；（4）lim2 x→4x→13x+4x-1 x2-1x2-5x+6 （5）lim（6）lim 2x→3x→-1x+1x-9 2x2+x-22y2-y 高考数学中的极限及相关概念在高考数学中，极限是一项非常重要的概念。极限的定义是指 当自变量无限接近某一固定值时，函数的取值趋近于某一固定值，这个固定值即为极限。为了更好地理解极限及其相关概念，本文 将从以下几个方面进行分析。 一、函数的极限 函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值趋 近于某一特定值。例如，当x趋近于1时，y趋近于2。在高考数 学中，函数的极限是非常重要的，因为它可以帮助我们确定函数 的性质，从而更好地处理一些复杂的问题。 二、左极限和右极限 左极限和右极限是指在函数存在极限的情况下，自变量趋近于 这个极限时，函数的取值分别从左侧和右侧趋近于极限。例如， 当x趋近于2时，y趋近于3，此时左极限为3，右极限也为3。 在实际问题中，左极限和右极限的概念经常被用来描述物理或经 济现象中的变化规律。 三、连续性 连续性是指当自变量在某一固定点上发生微小变化时，函数的取值也随之发生微小变化。具体来说，如果函数在某一固定点上的极限存在，并且等于函数在这一点上的取值，那么这个函数就是连续的。连续性是数学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们更好地研究函数的变化规律。 四、无穷大与无穷小 无穷大与无穷小是指当自变量趋近于某一固定值时，函数的取值趋近于无穷大或无穷小。在实际问题中，我们经常需要讨论物理或经济现象中的最大值或最小值，因此无穷大与无穷小的概念也是非常重要的。 结语 本文从四个方面论述了高考数学中的极限及其相关概念。在实际应用中，极限与微积分、微分方程等数学学科密切相关，掌握 极限及其相关概念是现代数学研究的基础。希望读者在阅读本文后能够更好地理解极限及其相关概念，从而更好地应对高考数学考试。 第三节 函数的极限 一、知识归纳 1、知识精讲： 1）当x →∞时函数f(x)的极限: 当自变量x 取正值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于正无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =+∞ →)(lim ,(或x →+∞时,f(x)→a) 当自变量x 取负值并且无限增大时,如果函数f(x)无限趋近于一个常数a,就说当x 趋向于负无穷大时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x =-∞ →)(lim ,(或x →-∞时,f(x)→a) 注：自变量x →+∞和x →-∞都是单方向的，而x →∞是双向的，故有以下等价命题 =+∞ →)(lim x f x a x f x =-∞ →)(lim ⇔a x f x =∞ →)(lim 2）当x →x 0时函数f(x)的极限: 当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x ≠x 0）时，如果函数f(x)无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于x 0时, 函数f(x)的极限是a,记作a x f x x =→)(lim 0 ,(或x →x 0时,f(x)→a) 注：a x f x x =→)(lim 0 与函数f （x ）在点x 0处是否有定义及是否等于f （x 0）都无关。 3）函数f(x)的左、右极限: 如果当x 从点x=x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。就说a 是函数f(x)的左极限，记作a x f x x =- →)(lim 0 。 如果当x 从点x=x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近于x 0时，函数f(x)无限趋近于常数a 。就说a 是函数f(x)的右极限，记作a x f x x =+ →)(lim 0 。 注：=-→)(lim 0 x f x x a x f x x =+ →)(lim 0 ⇔a x f x x =→)(lim 0 。并且可作为一个判断函数在一点处有无极限的重要工 具。 注：极限不存在的三种形态：①左极限不等于右极限≠- →)(lim 0 x f x x )(lim 0 x f x x +→； ②0x x →时，()±∞→x f ，③0x x →时，()→x f 的值不唯一。 4）函数极限的运算法则： 与函数极限的运算法则类似, 如果,lim ,lim B b A a n n n n ==∞ →∞ →那么 B A b a n n n +=+∞ →)(lim B A b a n n n -=-∞ →)(lim B A b a n n n .).(lim =∞ → )0(lim ≠=∞→B B A b a n n n 注：以上规则对于x →∞的情况仍然成立。 2、重点难点：对函数极限的定义的理解及求简单函数的极限的重点。思维方法：直接从常用的重要极限出发，运用函数极限的运算法则解题。 3.几个重要极限： 常量与变量 变量的定义 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。 注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。 变量的表示 如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。 在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 函数的定义 如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。 注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的. 注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 函数的有界性 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的. 函数的单调性 极 限 考试内容： 教学归纳法．数学归纳法应用． 数列的极限． 函数的极限．根限的四则运算．函数的连续性． 考试要求： （1）理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． （2）了解数列极限和函数极限的概念． （3）掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限． （4）了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质． §13. 极 限 知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当n 取第一个0n 时结论正确；②假设当k n =（0,n k N k ≥∈+）时，结论正确，证明当1+=k n 时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设)(n P 是一个与正整数n 有关的命题，如果 ①当0n n =（+∈N n 0）时，)(n P 成立； ②假设当k n ≤（0,n k N k ≥∈+）时，)(n P 成立，推得1+=k n 时，)(n P 也成立. 那么，根据①②对一切自然数0n n ≥时，)(n P 都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ①a a n n =∞ →lim ②当∞→n 时，a a n →. ⑵几个常用极限： ①C C n =∞ →lim （C 为常数） ②),(01 lim 是常数k N k n k n ∈=∞→ ③对于任意实常数， 当1||πa 时，0lim =∞ →n n a 当1=a 时，若a = 1，则1lim =∞→n n a ；若1-=a ，则n n n n a )1(lim lim -=∞ →∞→不存在 当1φa 时，n n a ∞ →lim 不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果b b a a b n n n ==∞ →∞→lim ,lim ，那么 高三数学数列、函数的极限及函数的连续性 【本讲主要内容】 数列、函数的极限及函数的连续性 数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性 【知识掌握】 【知识点精析】 （一）数列极限 1. 概念 考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势： .,101 ,,101,101,10132 n ① .,1 ,,43,32,21 +n n ② .,)1(,,31,21,1 n n --- ③ （1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a. （2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ． （3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ． 这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”． 定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{}n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n -无限地接近于0），那么就说数列{}n a 以a 为极限，或者说a 是数列{}n a 的极限。表示为a a lin n n =∞ → 2. 数列极限的表示方法： ① a a n n =∞ →lim ②当∞→n 时，a a n →. 3. 几个常用极限： ①C C n =∞ →lim （C 为常数）②),(01 lim 是常数k N k n k n ∈=∞→ ③对于任意实常数， 当1||a 时，n n a ∞ →lim 不存在 （二）函数极限 研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限 考察函数f(x)＝ 1 ，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势 （1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x 的值无限趋近于0．就是说 函数y ＝ x 1上的极限为0，记作01 lim =+∞→x x （2）当-∞→x 时，类似地可得函数x y 1 =的值无限趋近于0，就是说，当-∞→x 时， 函数x y 1=的极限为0，记作01 lim =-∞→x x （3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝ x 1无限趋近于0，这说明01lim =+∞→x x (或01 lim =-∞→x x ) 函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表： 高三数学 函数的极限（2） 一、教学目标： 1．使学生能从变化趋势理解函数在-+→→→000x x x x x x 、、时的极限的概念； 2．会求函数在某一点的极限或左、右极限，掌握函数在一点处的极限与左、右极限的关系； 3．利用函数的极限培养学生的观察分析能力； 4．通过对函数极限的学习，进一步渗透从量变到质变的辩证思维方法； 二、教学重点：第二类函数极限的概念和左右极限与点极限之间的联系； 教学难点：区分几种不同类型极限差别和正确理解极限的概念． 三、教学用具：投影仪或多媒体 四、教学过程： 1．复习引入，提出问题 回忆当-∞→+∞→∞→x x x 、、时的函数极限是如何定义的．我们可否用类似地思想和方法研究0x x →时的函数极限． 2．考察函数，比较特征 例1 考察函数2x y =，当x 无限趋近于2时，函数的变化趋势． 从表格上看：教科书第81页的表说明，自变量2 极限知识点高三数学 在高中数学的学习过程中，极限是一个十分重要且常出现的概念。它不仅在解题过程中起到关键作用，而且在数学的其他分支中也有广泛的应用。本文将重点介绍高三数学中的极限知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。 一、极限的定义 极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。一般来说，我们用符号“lim”加上一个表达式来表示极限。例如 lim(x→a)f(x)表示当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限。 二、常见的极限运算法则 1. 有界性定理：如果一个函数在一个区间内有定义并且有界，那么它在这个区间内必有极限。 2. 四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，如果lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)存在且有限，则有以下极限运算法则： (1) lim(x→a)(f(x)+g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x) (2) lim(x→a)(f(x)-g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x) (3) lim(x→a)(f(x)g(x)) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x) (4) lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) (前提：lim(x→a)g(x) ≠ 0) 3. 复合函数极限法则：设y=f[g(x)]为由f(u)和g(x)构成的复合 函数，其中lim(x→a)g(x)=b，lim(u→b)f(u)=L，则有 lim(x→a)f[g(x)]=L。 4. 已知函数极限与极限运算法则可以联合使用。例如，如果 lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则有lim(x→a)(f(x)^g(x))=A^B。 三、例题分析 为了更好地理解和掌握极限的应用，我们来看几个例题： 例题1：求极限lim(x→0)(sinx/x)。 解析：由于在x→0时，sinx和x都趋近于0，我们可以利用泰 勒级数展开来计算该极限。根据泰勒展开公式，sinx可以展开为 13.3 函数的极限 ●知识梳理 1.函数极限的概念：（1）如果+∞ →x lim f （x ）=a 且-∞ →x lim f （x ）=a ,那么 就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞ →x lim f （x ）=a , 也可记作当x →∞时，f （x ）→a. （2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0 lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a . （3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作 - →0lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近 于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作 + →0lim x x f （x ）=a . 2.极限的四则运算法则： 如果0 lim x x → f （x ）=a , 0 lim x x →g （x ）=b ,那么 lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; lim x x →)()(x g x f =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）上述法则对x →∞的情况仍成立； （2）0 lim x x →[Cf （x ）]=C 0 lim x x →f （x ）（C 为常数）; （3）0 lim x x →[f （x ）]n =[0 lim x x →f （x ）]n （n ∈N *）. ●点击双基 1. + →0lim x x f （x ）= - →0lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 2.f （x ）=⎩ ⎨ ⎧<≥,10, 12x x x 下列结论正确的是 A.)(lim 1x f x + →=- →1 lim x f （x ） B.)(lim 1x f x + →=2，)(lim 1x f x - →不存在 C.+ →1 lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x - →不存在 D.+ →1lim x f （x ）≠- →1lim x f （x ） 答案:D 3.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在点x 0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 高考中的高数知识点总结 高考是每个学生所经历的一场重要考试，而高数是高考中最为重要的科目之一。高数的知识点繁多，涉及的内容广泛，对于学生来说是一大挑战。为了帮助广大考生更好地备考高考高数，本文将对高考中的高数知识点进行总结和梳理，旨在帮助大家更全面地掌握高数的重要概念和考点。 一、函数与极限 1. 函数的性质与基本性质：奇偶性、周期性、增减性等。 2. 一元函数的极限与连续性：定义、性质、极限运算法则，连续函数的判定及相关性质。 3. 导数与微分：导数的概念、求导法则、高阶导数、微分的定义与应用。 4. 函数的求极值与最值：极值的定义、求解极值的条件、最值的概念与求解方法。 二、数列与级数 1. 数列的概念与性质：等差数列、等比数列等常见数列的通项公式与求和公式。 2. 数列极限与无穷级数：数列极限的定义与性质，无穷级数的定义、级数审敛法和级数的收敛性判别法。 3. 函数项级数：幂级数的收敛区间和求和公式，傅里叶级数的基本概念与性质。 三、导数与微分 1. 函数与导数的关系：导数与函数的图形、导数与曲线的切线方程。 2. 导数的应用：极值问题、函数的单调性和曲线的凹凸性。 3. 微分的应用：局部线性近似、近似计算、泰勒公式。 四、不定积分与定积分 1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的定义与运算法则，基本积分表。 2. 定积分的定义与性质：二次定理、中值定理等相关定理的应用。 3. 定积分的应用：曲线与曲面的面积、长度、物理问题中的应用。 五、常微分方程 1. 常微分方程的基本概念：微分方程的定义、解的概念与分类。 2. 一阶常微分方程：可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程等求解方法。 3. 二阶常微分方程：常系数齐次线性方程、非齐次线性方程的 高三数学最难的三章知识点高三是学生们备战高考的关键年级，各个学科的学习都变得更加紧张而复杂。在数学这门学科中，有三个章节被普遍认为是最难掌握的。本文将深入研究和探讨这三个章节，帮助同学们更好地理解和应对这些难点。 第一章：向量与立体几何 向量与立体几何是高中数学中的一大难点。向量的概念和运算需要清晰的几何思维和逻辑推理能力。学生往往在确定向量的方向、模长以及向量的加减法运算时容易犯错误。为了克服这一难点，我们建议同学们多进行练习，尤其是做一些立体几何相关的应用题，在几何图形中真实体会向量的运用和含义。 第二章：函数与极限 函数与极限是高三数学中另一大难题。函数的概念和性质需要同学们具备较高的抽象思维和数学推导能力。而极限则需要同学们熟练掌握极限的定义、性质以及相关的计算方法。要克服这一难点，同学们需要进行大量的练习，熟练掌握函数与极限的基本 概念和相关的计算方法。此外，理解极限的思想和思维也是非常 重要的，可以通过阅读数学相关的书籍和文献来提升自己。 第三章：微积分与导数 微积分与导数是高三数学中的最后一个难点。微积分的概念和 计算方法需要同学们具备较强的逻辑推理和计算能力。其中最重 要的就是掌握导数的定义和性质，以及熟练掌握常见函数的导数。对于这一难点，同学们可以通过大量的练习和思考来逐步提升自 己的能力。此外，建议同学们多利用互联网资源，寻找一些与微 积分相关的视频教程和在线习题，加深对微积分的理解和应用。 总结： 高三数学中最难的三个章节是向量与立体几何、函数与极限以 及微积分与导数。为了更好地掌握这些难点，同学们可以通过多 做练习、查阅相关资料、提高抽象思维和逻辑推理能力来强化自 己的数学知识和技能。高三阶段是学生们最后冲刺的时刻，只有 克服这些难题，才能更好地应对高考，取得理想的成绩。祝愿同 学们在学业上取得突破，取得好成绩！ 函数的极限及函数的连续性复习指导一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ②要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。 ④计算函数极限的方法，若在x=x0 处连续，则。 ⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。 二、典型例题 例1．求下列极限 ① ② ③ ④ 解析：① 。 ②。 ③。 ④。 例2．已知，求m,n。 解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式， ∴x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴m=3代入求得n=-1。 例3．讨论函数的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的， 又， ∴ ，∴f(x)在x=1处连续。 由， 从而f(x)在点x=-1处不连续。∴f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。 例4．已知函数, (a,b为常数)。 试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。 解析：∵且，∴ ，∴a=1, b=0。 例5．求下列函数极限① ② 解析：① 。 ② 。 例6．设，问常数k 为何值时，有存在？ 解析：∵，。 要使 存在，只需，∴2k=1 ，故时，存在。 例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？ 解析：由 ，， ∵，∴f(x)在x=-1处极限不存在。训练题： 1 ．已知 ，则 2 ．的值是_______。 3. 已知，则=______。 4 ．已知，2a+b=0，求a与b的值。 5 ．已知，求a的值。 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 高中数学中的极限运算知识点总结极限是高中数学中重要的概念和工具之一，具有广泛的应用领域。本文将对高中数学中的极限运算知识点进行总结，包括极限的概念、性质、计算方法以及实际应用等方面。 一、极限的概念 1. 定义：当自变量趋近于某个确定值时，函数的取值趋近于某个确定值。即极限是函数在某一点附近的局部性质。 2. 记号：用lim来表示极限，例如lim(x→a) f(x) = L，表示当x趋近于a时，函数f(x)的极限为L。 3. 无穷大与无穷小：当x趋近于无穷大时，函数的极限可能是无穷大或无穷小。 二、极限的性质 1. 唯一性：函数在某一点的极限若存在，则唯一。 2. 有界性：有界函数的极限存在，且极限值在该有界区间内。 3. 局部性：极限的存在只与该点附近的函数值有关，与整体函数的取值无关。 4. 保号性：如果函数在某一点的极限存在且不为零，且函数在该点附近连续，则函数在该点附近保持与极限相同的符号。 三、极限的计算方法 1. 代数运算法则：极限具有代数运算的性质，可以通过极限的加减乘除法则进行计算。 2. 数列极限法则：对于递推公式给定的数列，可以通过将递推公式的项逐项求极限来计算数列的极限。 四、常用的极限运算知识点 1. 常用极限： - sinx/x的极限lim(x→0) = 1； - a^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞； - e^x(x趋于无穷大)的极限lim(x→∞) = ∞； - ln(1+x)/x的极限lim(x→0) = 1。 2. 极限的四则运算： - 两个函数的和（差）的极限等于各自函数的极限之和（差）； - 两个函数的乘积的极限等于各自函数的极限之积； - 两个函数的商的极限等于各自函数的极限之商，其中分母函数的极限不为0。 3. 极限的复合运算： - 实数函数与数列的极限运算； - 函数的函数与数列的极限运算。 高三函数最难的部分知识点 高三函数是数学学科中的重要内容，也是学生们学习的难点之一。在函数的学习中，有一些知识点被认为是最难的部分。本文 将重点讨论高三函数中最具挑战性的知识点，包括函数的极限、 导数和积分。 函数的极限是高三函数中最难理解和掌握的知识之一。极限理 论是微积分的基础，涉及到函数在某一点的趋近性质。在学习极 限时，学生需要理解函数在无穷接近某一点的情况下的运算规律。比如，当函数的自变量无限接近某一特定值时，函数的取值将会 趋近于一个确定的值。此外，学生还需要学习极限的运算法则和 求极限的方法，包括用代数方法、图像方法和数值方法求解。掌 握函数的极限概念和运算方法对于理解和应用导数和积分都至关 重要。 导数是高三函数中另一个难点知识点。导数描述了函数在某一 点的变化率，是函数在该点切线的斜率。学生需要理解导数的定 义及其几何意义，并学习求导的基本方法和规则。求导涉及到多 种不同类型的函数，如多项式函数、三角函数和指数函数等。在 求导的过程中，学生需要运用乘法法则、链式法则和复合函数求 导等技巧。另外，学生还需要学习应用导数解决实际问题的方法， 如求极值、确定函数的增减性和凹凸性等。掌握导数的概念和运算技巧对于高三函数的学习和应用至关重要。 积分是高三函数中最具挑战性的知识点之一。积分是导数的逆运算，描述了函数在一定区间上的累积变化量。学生需要理解积分的定义及其几何意义，并学习求积分的基本方法和规则。求积分涉及到不定积分和定积分两种情况，分别用于求函数的原函数和计算函数在区间上的面积。在积分的运算过程中，学生需要掌握换元法、分部积分法和定积分的性质等技巧。此外，学生还需要学习应用积分解决实际问题的方法，如计算定积分、求曲线下的面积和确定函数的平均值等。掌握积分的概念和运算技巧对于高三函数的深入理解和应用非常重要。 综上所述，高三函数中的极限、导数和积分是最难掌握的知识点。通过深入学习和练习这些知识，学生们可以逐渐提升对函数的理解和运用能力。在学习过程中，建议学生结合具体的例题进行思考和分析，勤于总结和思考，不断提升解题的技巧和方法。相信通过努力，学生们一定能够攻克高三函数中最具挑战性的知识点，取得优异的成绩。 2019年高考数学极限相关知识点整理 2019年高考一轮复习已经开始了，查字典数学网小编在此为大家整理了高考数学极限相关知识点，供大家参考，希望对高考生有所帮助。预祝大家取得理想的成绩! 考试内容：教学归纳法，数学归纳法应用，数列的极限. 函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性. 考试要求： (1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函数极限的概念. (3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限. (4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. 13. 极限知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确;②假设当 ( )时，结论正确，证明当时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果 ①当 ( )时，成立; ②假设当 ( )时，成立，推得时，也成立. 那么，根据①②对一切自然数时，都成立. 2. ⑴数列极限的表示方法： ②当时， . ⑵几个常用极限： ① ( 为常数) ③对于任意实常数， 当时， 当时，若a = 1，则 ;若，则不存在 当时，不存在 ⑶数列极限的四则运算法则： 如果，那么 特别地，如果C是常数，那么 ⑷数列极限的应用： 求无穷数列的各项和，特别地，当时，无穷等比数列的各项和为 . (化循环小数为分数方法同上式) 注：并不是每一个无穷数列都有极限. 3. 函数极限; ⑴当自变量无限趋近于常数 (但不等于 )时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为 .记作或当时， . 注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求 .(当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关. 函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.) 如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零. 高三函数最难学的知识点 在高三数学学习中，函数是一个重要而复杂的概念。学生们往 往认为函数是数学中最难学的知识点之一。在学习函数的过程中，有几个知识点经常使学生感到困惑。本文将重点介绍高三函数学 习中最难理解的三个知识点：极限、导数和积分。 一、极限 极限是函数学习中最重要的概念之一。在学习极限的过程中， 学生们经常遇到以下问题： 1. 理解极限的定义：学生们常常对极限的严格定义感到困惑。 极限的定义是：当一个函数的自变量趋于某个特定值时，函数的 值是否趋于一个确定的数值。这种思维方式与我们平常直观的理 解不太相同，因此对学生来说很难理解。 2. 计算极限的方法：计算极限是学习函数的基础。然而，对于 一些复杂的函数，学生经常不知道该如何使用正确的方法计算。 例如，使用洛必达法则、泰勒公式等技巧进行计算。 二、导数 导数是函数学习中的一个重要工具，它描述了函数在某一点的 变化率。学生们普遍认为导数是高三数学中最困难的知识点之一，因为： 1. 理解导数的定义：导数的定义是函数在某一点的极限。学生 们要理解导数的定义，并将其应用于实际问题中进行计算，这对 他们来说是一项具有挑战性的任务。 2. 导数的计算：对于一些复杂的函数，求导数的计算过程往往 非常复杂，需要灵活运用求导法则和基本函数的性质。这需要学 生具备扎实的数学功底和较强的逻辑思维能力。 三、积分 积分是函数学习中的另一个重要工具，它求解了函数在某一区 间上的面积或曲线长度。学生们通常认为积分是高三数学中最抽 象和难以理解的知识点之一，原因如下： 1. 理解积分的定义：积分的定义是函数的逆运算，是求出函数某一区间上的面积或曲线长度。学生们需要理解这一定义，并掌握求解积分的方法，如不定积分、定积分等。 2. 积分计算的技巧：对于一些复杂的函数或曲线，积分的计算往往较为繁琐。学生们需要掌握常见的积分计算技巧，如换元积分法、分部积分法等，才能解决问题。 尽管高三函数学习中存在这些难点，但通过认真学习和练习，同学们一定能够克服困难，掌握这些知识点。在学习过程中，建议同学们多做相关的练习题，并及时向老师寻求帮助。相信只要坚持不懈，每位同学都能够在高三函数学习中取得好成绩。 函数与极限重点知识归纳(总 15页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1 -CAL-本页仅作为文档封面，使用请直接删除 常量与变量 变量的定义 我们在观察某一现象的过程时，常常会遇到各种不同的量，其中有的量在过程中不起变化,我们把其称之为常量；有的量在过程中是变化的，也就是可以取不同的数值，我们则把其称之为变量。 注：在过程中还有一种量，它虽然是变化的，但是它的变化相对于所研究的对象是极其微小的，我们则把它看作常量。 变量的表示 如果变量的变化是连续的，则常用区间来表示其变化范围。 在数轴上来说，区间是指介于某两点之间的线段上点的全体。 区间的名 称区间的满足的不等式区间的记号区间在数轴上的表示 闭区间a≤x≤b[a，b] 开区间a＜x＜b（a，b） 半开区间a＜x≤b或a≤x＜b（a，b]或[a，b） 以上我们所述的都是有限区间，除此之外，还有无限区间： [a，+∞)：表示不小于a的实数的全体，也可记为：a≤x＜+∞； (-∞，b)：表示小于b的实数的全体，也可记为：-∞＜x＜b； (-∞，+∞)：表示全体实数R，也可记为：-∞＜x＜+∞ 注：其中-∞和+∞，分别读作"负无穷大"和"正无穷大",它们不是数,仅仅是记号。 邻域 设α与δ是两个实数，且δ＞0.满足不等式│x-α│＜δ的实数x的全体称为点α的 δ邻域，点α称为此邻域的中心，δ称为此邻域的半径。 函数 函数的定义 如果当变量x在其变化范围内任意取定一个数值时，量y按照一定的法则总有确定的数值与它对应，则称y是x的函数。变量x的变化范围叫做这个函数的定义域。通常x叫做自变量，y叫做因变量。 注：为了表明y是x的函数，我们用记号y=f(x)、y=F(x)等等来表示.这里的字母"f"、"F"表示y与x之间的对应法则即函数关系,它们是可以任意采用不同的字母来表示的. 注：如果自变量在定义域内任取一个确定的值时，函数只有一个确定的值和它对应，这种函数叫做单值函数，否则叫做多值函数。这里我们只讨论单值函数。 函数的有界性 如果对属于某一区间I的所有x值总有│f(x)│≤M成立，其中M是一个与x无关的常数，那么我们就称f(x)在区间I有界，否则便称无界。 注意：一个函数，如果在其整个定义域内有界，则称为有界函数 例题：函数cosx在(-∞,+∞)内是有界的.高三数学复习教案——函数的极限
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