高考数列极限知识点总结
在高考数学中，数列极限是一个十分重要的知识点。掌握数列极限的概念、性质及计算方法可以帮助学生更好地理解数列的变化规律和数学思维方法。本文将从数列极限的定义出发，逐步介绍与之相关的重要概念和技巧。
一、数列极限的定义
数列极限是指当数列的项趋近于某个数时，数列的极限就是这个数。常用的记号是：lim(an)=A，其中a是数列的项，A是数列的极限。
二、数列极限的性质
1. 唯一性：若数列的极限存在，则极限是唯一的。
2. 有界性：若数列的极限存在，则数列是有界的。反之，若数列是有界的，则数列的极限必定存在。
3. 保序性：若数列的项逐项小于等于另一个数列的项，并且这
两个数列分别趋于同一个数，那么这两个数列的极限也满足这个
关系。
三、数列极限的计算方法
1. 数列的极限计算：我们可以通过直接观察数列的项与极限之
间的关系进行计算。例如，对于等差数列an=2n+3，我们可以观
察到当n趋近于无穷大时，数列的项趋近于无穷大。所以数列的
极限为正无穷。
2. 常用数列的极限：对于一些常见的数列，我们可以利用公式
或推导来计算它们的极限。例如，对于等比数列an=2^n，我们可
以发现当n趋近于无穷大时，数列的项趋近于无穷大。所以数列
的极限为正无穷。
四、数列极限的判断方法
1. 夹逼准则：如果数列bn≤an≤cn，并且bn与cn的极限都是L，那么数列an的极限也是L。
2. 单调有界准则：如果数列单调递增并且有上界或者数列单调递减并且有下界，那么数列的极限存在。
五、利用数列极限解题方法
1. 利用夹逼准则和单调有界准则判断数列极限是否存在。
2. 利用数列极限计算一些和式的极限，例如利用数列极限求解无穷级数的和。
3. 利用数列极限计算一些函数的极限，例如求函数在某点处的极限。
六、数列极限在实际中的应用
1. 数列极限的应用在物理学、工程学等领域中十分广泛，例如在电路分析和振动力学中经常会涉及到数列极限的计算问题。
2. 数列极限也在经济学、金融学中有着重要的应用，例如在利率、股票市场的分析中，需要掌握数列极限的计算方法。
总结：数列极限是高中数学中非常重要的概念之一，在高考中
也占有相当的比重。通过掌握数列极限的定义、性质、计算方法
和判断方法，我们能够更好地理解数列的变化规律，提高解题的
能力。同时，数列极限在实际问题中的应用也展示了数学的实用
价值，培养了学生的数学思维能力和解决实际问题的能力。因此，深入学习数列极限是我们在数学学习中不可忽视的重要环节。
上海高考数学知识点极限 数学是高考考试中一门重要的科目，尤其是在上海地区，数学考试 的难度系数往往较高。在高考数学中，极限是一个重要的概念和知识点。下面我将从数列极限、函数极限、极限运算法则等几个方面来探 讨上海高考数学知识点极限。 一、数列极限 数列极限是指当数列中的数值随着项数的增加趋于一个确定的数时，这个确定的数就是该数列的极限。数列极限的概念在高考数学中是非 常重要的。在考试中，常常会涉及到数列的极限计算和性质运用。 例如，求数列${{a}_{n}}$的极限，可以利用数列极限的定义来进行求解。假设数列${{a}_{n}}$的极限为$a$，那么对于充分大的$n$，数 列中的元素${{a}_{n}}$都会无限接近$a$。通过运用数列极限的定义，可以利用数学方法进行具体的极限计算，并得到数列极限的结果。 二、函数极限 函数极限是指当自变量趋向于某个数或无穷大时，函数的值也趋于 一个确定的数，称为函数极限。函数极限在高考数学中也是一个重要 的知识点。 在函数极限的计算中，常用的方法有极限的性质、夹逼定理、洛必 达法则等。这些方法可以用来求解各种不同类型的函数极限，从而解 决高考数学中的相关问题。
例如，计算函数${{f(x)}=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}}$在 $x\to+\infty$时的极限。可以利用洛必达法则来解决这个问题。按照洛 必达法则的步骤，可以将函数的导数和极限进行运算，然后再进行计算，得到最后的结果。 三、极限运算法则 极限运算法则是指当已知多个函数的极限时，可以利用这些极限的 性质来计算复合函数的极限。极限运算法则在高考数学中也是一个非 常重要的知识点。 常用的极限运算法则有四则运算法则、复合函数运算法则、乘方函 数极限法则等。这些法则可以帮助我们快速计算复杂的极限，并得到 准确的结果。 例如，计算复合函数极限${{f(g(x))}}$在$x\to a$时的极限。可以先 求得函数$g(x)$在$x\to a$时的极限，再将这个极限代入到函数$f(x)$中，从而得到复合函数的极限。 综上所述，上海高考数学中的极限是一个非常重要的知识点。在考 试中，能够熟练运用数列极限、函数极限和极限运算法则等知识，可 以帮助我们解决各种复杂的数学问题。因此，我们在备考过程中应该 注重对极限知识点的理解和掌握，灵活应用这些知识来解决实际问题。这样才能在高考数学中取得较好的成绩。
本卷第1页（共7页） 第五部分 数列与极限 35、等差数列{n a }中，通项b dn a n +=，前n 项和cn n d S n +=22 （d 为公差，N n ∈）.证明某数列是等差（比）数列，通常利用等差（比）数列的定义加以证明，即证：n n a a -+1是常数)(N n ∈(1n n a a +=常数，)n N ∈，也可以证明连续三项成等差（比）数列.即对于任意的自然数n 有：n n n n a a a a -=-+++112（n n n n a a a a 112+++=）. ［举例］数列}{n a 满足：)(2 2,111N n a a a a n n n ∈+==+. （1）求证：数列}1{n a 是等差数列；（2）求}{n a 的通项公式. 分析：注意是到证明数列}1{n a 是等差数列，则要证明n n a a 111-+是常数.而n n n a a a 2211+=+，所以2111 1=-+n n a a .即数列}1{n a 是等差数列.又111=a ，则21)1(2111+=-+=n n a n ，所以1 2+=n a n . 36、等差数列前n 项和、次n 项和、再后n 项和（即连续相等项的和）仍成等差数列；等比数列前n 项和（和不为0）、次n 项和、再后n 项和仍成等比数列.类比还可以得出：等比数列的前n 项的积、次n 项的积、再后n 项的积仍成等比数列. ［举例1］已知数列}{n a 是等差数列，n S 是其前n 项的和，20,884==S S ，则=12S ＿； 分析：注意到812484,,S S S S S --是等差数列的连续4项的和，它们成等差数列.可以得到16812=-S S ，所以3612=S . ［举例2］已知数列}{n a 是等比数列，n T 是其前n 项的积，20,584==T T ，则=12T ＿. 分析：由812484,,T T T T T 成等比，则8124248)(T T T T T ?=，所以64)(34 812==T T T . 37、在等差数列}{n a 中，若),,,(N q p n m q p n m ∈+=+，则q p n m a a a a +=+；在等
数列与函数的极限（1） 一、知识回顾 1、 数列极限定义 （1）定义：设{a n }是一个无穷数列，a 是一个常数，如果对于预先给定的任意小的正数ε，总存在正整数N ，使得只要正整数n>N ，就有|a n -a|<ε，那么就称数列{a n }以a 为极限，记作 lim ∞ →n a n =a 。 对前任何有限项情况无关。 *（2）几何解释：设ε>0，我们把区间(a-ε，a+ε)叫做数轴上点a 的ε邻域；极限定义中的不等式|a n -a|<ε也可以写成a-ε0，则特别地 01 lim =∞→n n ③设q ∈(-1，1)，则lim ∞→n q n =0；;1lim ,1==∞ →n n q q ,1-=q 或n n q q ∞ →>lim ,1不存在。 若无穷等比数列1,,,,1 1<-q aq aq a n 叫无穷递缩等比数列，其所有项的和（各项的 和）为：q a s s n n -= =∞ →1lim 1 3、数列极限的运算法则 如果lim ∞→n a n =A ，lim ∞→n b n =B ，那么(1)lim ∞→n (a n ±b n )=A ±B (2)lim ∞→n (a n ·b n )=A ·B (3)lim ∞ →n n n b a =B A (B ≠0) 极限不存在的情况是1、±∞=∞ →n n a lim ；2、极限值不唯一，跳跃，如1，-1，1，-1…. 注意：数列极限运算法则运用的前提: (1)参与运算的各个数列均有极限; (2)运用法则,只适用于有限个数列参与运算,当无限个数列参与运算时不能首先套用. 二.基本训练 1、n n n n 2312lim 22++∞→= ；22322 lim n n n n n →∞+++= 2、135(21) lim 2462n n n →∞+++???+-+++???+=_________________
高考数列极限知识点总结 在高考数学中，数列极限是一个十分重要的知识点。掌握数列极限的概念、性质及计算方法可以帮助学生更好地理解数列的变化规律和数学思维方法。本文将从数列极限的定义出发，逐步介绍与之相关的重要概念和技巧。 一、数列极限的定义 数列极限是指当数列的项趋近于某个数时，数列的极限就是这个数。常用的记号是：lim(an)=A，其中a是数列的项，A是数列的极限。 二、数列极限的性质 1. 唯一性：若数列的极限存在，则极限是唯一的。 2. 有界性：若数列的极限存在，则数列是有界的。反之，若数列是有界的，则数列的极限必定存在。
3. 保序性：若数列的项逐项小于等于另一个数列的项，并且这 两个数列分别趋于同一个数，那么这两个数列的极限也满足这个 关系。 三、数列极限的计算方法 1. 数列的极限计算：我们可以通过直接观察数列的项与极限之 间的关系进行计算。例如，对于等差数列an=2n+3，我们可以观 察到当n趋近于无穷大时，数列的项趋近于无穷大。所以数列的 极限为正无穷。 2. 常用数列的极限：对于一些常见的数列，我们可以利用公式 或推导来计算它们的极限。例如，对于等比数列an=2^n，我们可 以发现当n趋近于无穷大时，数列的项趋近于无穷大。所以数列 的极限为正无穷。 四、数列极限的判断方法 1. 夹逼准则：如果数列bn≤an≤cn，并且bn与cn的极限都是L，那么数列an的极限也是L。
2. 单调有界准则：如果数列单调递增并且有上界或者数列单调递减并且有下界，那么数列的极限存在。 五、利用数列极限解题方法 1. 利用夹逼准则和单调有界准则判断数列极限是否存在。 2. 利用数列极限计算一些和式的极限，例如利用数列极限求解无穷级数的和。 3. 利用数列极限计算一些函数的极限，例如求函数在某点处的极限。 六、数列极限在实际中的应用 1. 数列极限的应用在物理学、工程学等领域中十分广泛，例如在电路分析和振动力学中经常会涉及到数列极限的计算问题。
高三数学第二章数列的极限知识点总结 极限，是指无限趋近于一个固定的数值。以下是查字典数学网为大家整理的高三数学第二章数列的极限知识点，希望可以解决您所遇到的相关问题，加油，查字典数学网一直陪伴您。 1、连续、间断点以及间断点的分类：判断间断点类型的基础是求函数在间断点处的左右极限; 2、可导和可微，分段函数在分段点处的导数或可导性，一律通过导数定义直接计算或检验存在的定义是极限存在; 3、渐近线，(垂直、水平或斜渐近线); 4、多元函数积分学，二重极限的讨论计算难度较大，常考查证明极限不存在. 下面我们重点讲一下数列极限的典型方法. 重要题型及点拨 1.求数列极限 求数列极限可以归纳为以下三种形式. ★抽象数列求极限 这类题一般以选择题的形式出现, 因此可以通过举反例来排除. 此外,也可以按照定义、基本性质及运算法则直接验证. ★求具体数列的极限,可以参考以下几种方法： a.利用单调有界必收敛准则求数列极限.
首先,用数学归纳法或不等式的放缩法判断数列的单调性和有界性,进而确定极限存在性;其次,通过递推关系中取极限，解方程, 从而得到数列的极限值. b.利用函数极限求数列极限 如果数列极限能看成某函数极限的特例,形如,则利用函数极限和数列极限的关系转化为求函数极限,此时再用洛必达法则求解. ★求项和或项积数列的极限,主要有以下几种方法： a.利用特殊级数求和法 如果所求的项和式极限中通项可以通过错位相消或可以转化为极限已知的一些形式,那么通过整理可以直接得出极限结果. l b.利用幂级数求和法 若可以找到这个级数所对应的幂级数,则可以利用幂级数函数的方法把它所对应的和函数求出,再根据这个极限的形式代入相应的变量求出函数值. c.利用定积分定义求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项可用一个通项表示, 则可以考虑用定积分定义求解数列极限. d.利用夹逼定理求极限 若数列每一项都可以提出一个因子,剩余的项不能用一个通项表示,但是其余项是按递增或递减排列的,则可以考虑用
高三数学数列、函数的极限及函数的连续性 【本讲主要内容】 数列、函数的极限及函数的连续性 数列与函数的极限定义、极限的四则运算、函数的连续性 【知识掌握】 【知识点精析】 （一）数列极限 1. 概念 考察以下三个数列当n 无限增大时，项a n 的变化趋势： .,101 ,,101,101,10132 n ① .,1 ,,43,32,21 n n ② .,)1(,,31,21,1 n n ③ （1）随着n 的增大，从数值变化趋势上看，a n 有三种变化方式：数列①是递减的,② 是递增的，③是正负交替地无限趋近于a. （2）随着n 的增大，从数轴上观察项a n 表示的点的变化趋势，也有三种变化方式:① 是从点a 右侧，②是从点a 左侧，③是从点a 两侧交替地无限趋近于a ． （3）随着n 的增大，从差式∣a n －a ∣的变化趋势上看，它们都是无限地接近于0，即a n 无限趋近于a ． 这三个数列的共同特性是：不论这些变化趋势如何，“随着项数n 的无限增大，数列项a n 无限地趋近于常数a （即∣a n －a ∣无限地接近于0）”． 定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列 n a 的项n a 无限地趋近于某个常数a 时，（即a a n 无限地接近于0），那么就说数列 n a 以a 为极限，或者说a 是数列 n a 的极限。表示为a a lin n n 2. 数列极限的表示方法： ① a a n n lim ②当 n 时，a a n . 3. 几个常用极限：
①C C n lim （C 为常数）②),(01 lim 是常数k N k n k n ③对于任意实常数， 当1|| a 时，0lim n n a 当1 a 时，若a ＝1，则1lim n n a ；若1 a ，则n n n n a )1(lim lim 不存在 当1 a 时，n n a lim 不存在 （二）函数极限 研究函数的极限，首先考虑自变量x 的变化方式有哪些． 1. x →∞时，函数)(x f 的极限 考察函数f(x)＝ 1 ，当x →＋∞和x →－∞时，函数的变化趋势 （1）当x →＋∞时，从图象和表格上看，函数y ＝x 的值无限趋近于0．就是说 函数y ＝ x 1上的极限为0，记作01lim x x （2）当 x 时，类似地可得函数x y 1 的值无限趋近于0，就是说，当 x 时， 函数x y 1 的极限为0，记作01lim x x （3）还可以从差式│y －0│上看，随着x →＋∞ (或x →－∞),差式无限趋近于0，即函数y ＝ x 1无限趋近于0，这说明01lim x x (或01 lim x x ) 函数f(x)的变化趋势与极限的关系见下表：
考试内容：教学归纳法，数学归纳法应用，数列的极限. 函数的极限.根限的四则运算.函数的连续性. 考试要求： (1)理解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题. (2)了解数列极限和函数极限的概念. (3)掌握极限的四则运算法则;会求某些数列与函数的极限. (4)了解函数连续的意义，了解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质. §13. 极限知识要点 1. ⑴第一数学归纳法：①证明当取第一个时结论正确;②假设当( )时，结论正确，证明当时，结论成立. ⑵第二数学归纳法：设是一个与正整数有关的命题，如果 ①当( )时，成立; ②假设当( )时，成立，推得时，也成立. 那么，根据①②对一切自然数时，都成立. 2. 函数极限;
⑴当自变量无限趋近于常数(但不等于)时，如果函数无限趋进于一个常数，就是说当趋近于时，函数的极限为.记作或当时，. 注：当时，是否存在极限与在处是否定义无关，因为并不要求.(当然，在是否有定义也与在处是否存在极限无关. 函数在有定义是存在的既不充分又不必要条件.) 如在处无定义，但存在，因为在处左右极限均等于零. ⑵函数极限的四则运算法则： 如果，那么 ① ② ③ 特别地，如果C是常数，那么 . ( ) 注：①各个函数的极限都应存在. ②四则运算法则可推广到任意有限个极限的情况，但不能推广到无限个情况.
⑶几个常用极限： ① ②(0< <1); ( >1) ③ ④，( ) 4. 函数的连续性： ⑴如果函数f(x)，g(x)在某一点连续，那么函数在点处都连续. ⑵函数f(x)在点处连续必须满足三个条件： ①函数f(x)在点处有定义;②存在;③函数f(x)在点处的极限值等于该点的函数值，即. ⑶函数f(x)在点处不连续(间断)的判定： 如果函数f(x)在点处有下列三种情况之一时，则称为函数f(x)的不连续点. ①f(x)在点处没有定义，即不存在;②不存在;③存在，但. 5. 零点定理，介值定理，夹逼定理： ⑴零点定理：设函数在闭区间上连续，且.那么在开区间内至少有函数的一个零点，即至少有一点( < < )使.
高考中的高数知识点总结 高考是每个学生所经历的一场重要考试，而高数是高考中最为重要的科目之一。高数的知识点繁多，涉及的内容广泛，对于学生来说是一大挑战。为了帮助广大考生更好地备考高考高数，本文将对高考中的高数知识点进行总结和梳理，旨在帮助大家更全面地掌握高数的重要概念和考点。 一、函数与极限 1. 函数的性质与基本性质：奇偶性、周期性、增减性等。 2. 一元函数的极限与连续性：定义、性质、极限运算法则，连续函数的判定及相关性质。 3. 导数与微分：导数的概念、求导法则、高阶导数、微分的定义与应用。 4. 函数的求极值与最值：极值的定义、求解极值的条件、最值的概念与求解方法。 二、数列与级数 1. 数列的概念与性质：等差数列、等比数列等常见数列的通项公式与求和公式。 2. 数列极限与无穷级数：数列极限的定义与性质，无穷级数的定义、级数审敛法和级数的收敛性判别法。
3. 函数项级数：幂级数的收敛区间和求和公式，傅里叶级数的基本概念与性质。 三、导数与微分 1. 函数与导数的关系：导数与函数的图形、导数与曲线的切线方程。 2. 导数的应用：极值问题、函数的单调性和曲线的凹凸性。 3. 微分的应用：局部线性近似、近似计算、泰勒公式。 四、不定积分与定积分 1. 不定积分的定义与基本性质：不定积分的定义与运算法则，基本积分表。 2. 定积分的定义与性质：二次定理、中值定理等相关定理的应用。 3. 定积分的应用：曲线与曲面的面积、长度、物理问题中的应用。 五、常微分方程 1. 常微分方程的基本概念：微分方程的定义、解的概念与分类。 2. 一阶常微分方程：可分离变量方程、齐次方程、一阶线性方程等求解方法。 3. 二阶常微分方程：常系数齐次线性方程、非齐次线性方程的
高考数学中的极限与数列精品题解答高考是很多学生人生中的一个重要时刻，而数学作为其中重要 的科目之一，对于学生来说也是一个不容忽视的考点。其中，极 限与数列作为高考数学中的重点、难点内容，也是很多学生普遍 疏忽的方面。本文将带您深入了解高考数学中的极限与数列，为 您解析一些精品题目和答案。 一、极限 为了准确理解极限的概念，我们可借鉴高中教材中的解释： “若 x 无限靠近 a 时，函数 f(x) 的取值也无限地趋近于某一值 L， 则称函数 f(x) 当 x 趋近于 a 时的极限为 L，记作：lim (x→a) f(x) = L。”极限与连续、导数合称微积分的三大基本概念，是高中数学、大学数学的重点难点内容之一。 1. 例题：已知函数 y = f(x) = (x + |x|) / 2，讨论其在 x = 0 处的连续性。 解析：当 x < 0 时，y = f(x) = 0，当0 ≤ x < ∞ 时，y = f(x) = x， 于是我们有：
lim (x→0⁻) f(x) = 0，lim (x→0⁺) f(x) = 0，lim (x→0) f(x) = 0 因此，y = f(x) 在 x = 0 处连续。 2. 例题：设 a 为正数，对于任意正整数 n，设 a[n] = a ^ (a ^ (...(a)))，其中 a 的指数 n 次，即 a[n] = a^(a^(..(a)))，求 lim a[n+1] / a[n] 的值。 解析：不难发现，极限的值只与 a 有关。当 a > e（即自然对数 的底数）时，lim a[n+1] / a[n] = a，当a ≤ e 时，lim a[n+1] / a[n] = e。因此，答案为： 若 a > e，lim a[n+1] / a[n] = a；否则，lim a[n+1] / a[n] = e。 二、数列 数列作为数学中的重要分支，它的数学模型几乎涉及到数学的 各个分支，可谓难点众多。其中的等差数列、等比数列和数列的
开封高三数学知识点归纳 高三数学知识点归纳 高三学生是面临着重要的高考的一年，而数学作为其中的一门 科目，对于学生来说也是最具挑战性的科目之一。在这一年里， 学生需要对之前学过的数学知识进行系统地梳理和归纳，掌握重点、难点知识，为高考做好准备。下面将对高三数学常见的知识 点进行归纳与总结。 一、函数与方程 1. 函数：函数是数学中的重要概念，学生需要掌握函数的定义、性质和图像，能够准确地进行函数的分类与判断。 2. 一次函数与二次函数：学生需要掌握一次函数与二次函数的 定义、性质和图像，能够进行函数的求值、求导等相关操作。 3. 指数与对数：学生需要掌握指数与对数的定义、运算性质和 应用，能够解决指数与对数方程、不等式等问题。 二、数列与数列极限
1. 数列的概念：学生需要了解数列的定义、常见类型以及数列 的性质，能够判断数列的收敛性。 2. 数列的通项公式：学生需要掌握求解数列的通项公式的方法，能够应用通项公式解决数列相关问题。 3. 数列极限：学生需要理解数列极限的定义与性质，能够判断 数列的极限存在与计算数列的极限值。 三、三角函数 1. 三角函数的定义：学生需要掌握三角函数的定义、性质和图像，能够进行角度的转换与等价替换。 2. 三角函数的运算：学生需要了解三角函数的运算性质，能够 进行三角函数的求值、解方程等运算。 3. 三角函数的应用：学生需要理解三角函数在几何、物理等领 域中的应用，能够解决相关问题。 四、解析几何 1. 直线与平面：学生需要了解直线的位置关系、平面的性质和 相关定理，能够应用直线与平面的性质解决几何问题。
2. 圆锥曲线：学生需要掌握圆锥曲线的定义、性质和图像，能够识别和分析圆锥曲线的类型。 3. 空间几何体：学生需要了解空间几何体的定义、性质和相关定理，能够进行空间几何体的计算和判断。 五、概率与统计 1. 概率论基础：学生需要掌握基本概率论的概念、性质和计算方法，能够解决概率问题。 2. 统计学基础：学生需要了解统计学中的基本概念和统计分析方法，能够应用统计学方法进行数据处理和分析。 综上所述，高三数学知识点归纳的目的是帮助学生对数学知识进行系统整理和复习，掌握重点、难点知识，为高考做好准备。希望同学们能够认真复习，不断巩固知识，提高解题能力，取得优异的成绩。
高三数学数列知识点归纳总结数列是高中数学中的一个重要知识点，对于高三学生来说，熟练掌握数列的概念、性质和应用是至关重要的。为了帮助同学们更好地复习和总结数列知识，下面将对高三数学数列知识点进行归纳总结，希望对同学们的学习有所帮助。 一、基础概念 数列是按照一定的规律排列成的一列数，通常用字母a、b、c 等表示。其中，a1为数列的第一个数，an为数列的第n个数，n 为自然数。 二、等差数列 1. 定义：等差数列是指数列中的相邻两项之差为常数，该常数称为公差，通常用字母d表示。 2. 求通项公式：设等差数列的首项为a1，公差为d，则第n项an可表示为an=a1+(n-1)d。 3. 求和公式：等差数列的前n项和Sn可表示为Sn=(a1+an)×n/2 或 Sn=n/2×[2a1+(n-1)d]。
三、等比数列 1. 定义：等比数列是指数列中的相邻两项之比为常数，该常数 称为公比，通常用字母q表示。 2. 求通项公式：设等比数列的首项为a1，公比为q，则第n项 an可表示为an=a1×q^(n-1)。 3. 求和公式：等比数列的前n项和Sn可表示为Sn=a1×[1- q^n]/(1-q)。 四、等差数列与等比数列的比较 1. 差别：等差数列的相邻两项之差为常数，等比数列的相邻两 项之比为常数。 2. 公式：等差数列的通项公式中含有公差d，等比数列的通项 公式中含有公比q。 3. 求和：等差数列的求和公式中含有首项a1、末项an和项数n，等比数列的求和公式中同样含有首项a1和项数n，但末项an与公 比q有关。 五、数列的应用
1. 等差数列的应用：等差数列常应用于描述一些增长或减少的 情况，如成绩的变化、人口的增长等。 2. 等比数列的应用：等比数列常应用于描述指数增长或指数衰 减的情况，如病毒传播、存款利息等。 六、数列的性质 1. 递推关系：数列的递推关系是指通过前一项与公式计算得出 后一项的关系。 2. 递归公式：数列的递归公式是指通过前一项与前两项计算得 出后一项的关系。 3. 有界性：数列可能是有界的（即存在上界或下界），也可能 是无界的（即没有上界或下界）。 4. 单调性：数列可能是递增的、递减的或者单调不变的。 5. 极限存在性：数列可能存在极限，也可能不存在极限。 以上就是对高三数学数列知识点的归纳总结，希望能够帮助同 学们回顾和梳理数列的概念、性质和应用。在复习过程中，同学 们可以结合教材中的例题进行练习，加深对知识点的理解和掌握。希望同学们都能在数学学习中取得好成绩！
数列高考知识点大全汇总 1. 数列的定义和性质 数列是按照一定顺序排列的一组数，其中每个数称为该数列的项。在高考中，我们常常需要了解数列的基本定义和性质。 2. 等差数列和等差数列的通项公式 等差数列是指相邻两项之差相等的数列。其通项公式为an = a1 + (n-1)d，其中an表示第n项，a1表示首项，d表示公差。 3. 等差数列的求和公式 等差数列的前n项和公式为Sn = (n/2)(a1 + an)，其中Sn表示前n项和。 4. 等比数列和等比数列的通项公式 等比数列是指相邻两项之比相等的数列。其通项公式为an = a1 * r^(n-1)，其中an表示第n项，a1表示首项，r表示公比。 5. 等比数列的求和公式
等比数列的前n项和公式为Sn = (a1 * (1 - r^n))/(1 - r)，其中Sn 表示前n项和。 6. Fibonacci数列 Fibonacci数列是指从1开始，每一项都等于前两项之和的数列。其通项公式为Fn = Fn-1 + Fn-2，其中F0 = 0，F1 = 1。 7. 等差数列与等比数列的应用 等差数列和等比数列在实际问题中有广泛的应用，如利润的增长、人口的增长等等。通过应用数列的概念和公式，可以解决各 种与数列相关的实际问题。 8. 数列的递推关系和递推公式 数列的递推关系是指通过前一项或多项来确定后一项的关系。 递推公式则是表达这种关系的公式。 9. 递归数列
递归数列是指通过前一项或多项来确定后一项的关系，并且该关系可以通过数列的前几项来求解后一项。递归数列常常需要利用递推公式进行求解。 10. 等比数列的极限 等比数列的极限即公比的绝对值小于1时，数列趋于无穷时的极限值。等比数列的极限值可以通过递推公式和求和公式进行求解。 11. 数列的综合题 高考中常常出现一些综合题，涉及数列的多个性质和公式，需要综合运用数列的知识来解答问题。 12. 数列与函数的关系 数列可以看作是离散的函数，函数可以看作是连续的数列。使用函数的方法来研究数列的性质和问题也是高考中的常见考点。 通过对数列的各个知识点的了解，我们可以更加熟练地应用数列的概念和公式来解决高考中的各种数列问题。同时，数列作为
高三数学知识点总结数列 数列是数学中一种重要的概念，广泛应用于各个领域，尤其在高中数学中占据着重要的地位。数列可以说是高三数学的基础知识，熟练掌握数列的相关概念和性质，不仅能够解决各种数学题目，还对于日后的学习和工作都有很大的帮助。本文将对高三数学中的数列进行总结，希望能够帮助广大高三学子更好地理解和应用数列知识。 一、数列的概念 数列是按照一定规律排列的一组数的有序集合。通常用字母表示数列的一般项，例如：$a_1, a_2, a_3, ... , a_n$。其中，$a_n$表示数列的第n项。 二、数列的分类 1. 等差数列 等差数列是指数列中的相邻两项之差恒定。设数列的首项为$a_1$，公差为$d$，则等差数列的通项公式为： $a_n = a_1 + (n-1)d$
2. 等比数列 等比数列是指数列中的相邻两项之比恒定。设数列的首项为$a_1$，公比为$r$，则等比数列的通项公式为： $a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}$ 3. 递推数列 递推数列是指数列中的每一项都是前一项根据某种规则计算得到的。通常表示为：$a_{n+1} = f(a_n)$，其中$f$表示递推规则。 三、数列的性质 1. 有界性 数列的有界性是指该数列从某项开始，后面的所有项都在一定的范围内，分为上有界、下有界和有界性三种情况。 2. 单调性 数列的单调性是指数列中的项按照一定的顺序排列。分为递增数列和递减数列两种情况。 3. 极限
数列的极限是指数列在n逐渐增大的情况下，趋向于一个确定的值。包括数列的正无穷极限和负无穷极限。 四、数列的应用 1. 数列在数学中的应用 数列广泛应用于数学中各个分支，例如在计算机科学中用于算法设计和复杂度分析，在离散数学中用于组合数学和图论等方面的问题。 2. 数列在物理中的应用 数列在物理学中也有很多应用，例如在运动学中，速度数列和加速度数列是研究物体运动规律的重要工具。 3. 数列在经济学中的应用 数列在经济学中也有很多应用，例如在经济预测和金融市场分析等方面经常使用到数列的概念和性质。 综上所述，数列是高三数学中一个非常重要的知识点，熟练掌握数列的相关概念和性质，对于解决各种数学题目和理解其他数
高考数学中的数学归纳法和数列极限高考数学是考生们最关注的一门考试科目，其中数学归纳法和数列极限是高考数学中不可忽视的重点内容。本文将从数学归纳法的基本原理及应用，数列极限的概念、性质和计算方法等多个方面进行分析和探讨，以期对广大高中生的数学学习有所帮助。 一、数学归纳法 数学归纳法是高中数学中重要的证明方法。归纳法的基本思想是证明当$x$满足某种条件时，命题$P(x)$成立，再证明当$x$不满足该条件时，命题$P(x)$依然成立。下面介绍具体的数学归纳法思想及其应用。 1.1 数学归纳法的基本思想 数学归纳法是一种用自然数的递增法证明表达式的方法。它的基本思想是先证明当$n=1$时，命题成立，再证明当$n=k$时命题成立，则可以证明当$n=k+1$时也成立。用公式表示为：如果 $P(1)$成立且对于任意正整数$k$，只要$P(k)$成立，就有 $P(k+1)$成立，那么对于所有正整数，$P(n)$都成立。
1.2 数学归纳法的应用 数学归纳法广泛应用于高中数学中的数列、函数、不等式等问题的证明中，也是高考数学中的常见命题证明方法。常见的应用如下： (1)证明数列性质：证明数列$a_{n+1}=f(a_n)$，$a_1$满足某些条件，则$a_n$满足某些性质。 (2)证明不等式：证明某个不等式在正整数范围内成立。 (3)证明等式：证明某个等式在正整数范围内成立。 二、数列极限 数列极限是高中数学中的重要概念之一。它是计算机科学、物理学、工程学等学科中的基础知识。下面将从基本概念、性质和计算方法三个方面对数列极限进行分析和探讨。
2.1 基本概念 数列极限是数学分析中用来描述数列等无限序列的一种重要概念。常用的数列有等差数列、等比数列、Fibonacci数列等。一个数列的极限是指随着$n$无限增大，数列的值逐渐接近某个值，称为这个数列的极限。用数学符号表示为： $\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=a$，表示当$n$趋近于无穷大时，数列$a_n$的极限为$a$。 2.2 性质 数列极限有着一些重要的性质： (1)数列极限的唯一性：如果数列$a_n$有极限，那么这个极限是唯一的。 (2)数列极限的保号性：如果$\lim\limits_{n\to\infty}{a_n}=a$，且$a>0$，则存在$N_1$，对于一切$n>N_1$，有$a_n>0$。
第92-93课时：第十二章 极限——数列的极限、数学归纳法 课题：数列的极限、数学归纳法 一知识要点 （一） 数列的极限 1定义：对于无穷数列{a n }，若存在一个常数A ，无论预选指定多么小的正数，都能在数列中找到一项a N ，使得当n>N 时，|an-A| A a n n =∞ →lim lim n n a →∞ lim n n b →∞ lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ±=±lim()lim lim n n n n n n n a b a b →∞ →∞ →∞ ⋅=⋅)0lim (lim lim lim ≠=∞→∞ →∞→∞→n n n n n n n n n b b a b a S=⎪⎩ ⎪⎨⎧-=>=<=∞→)11()1(1 ) 1(0lim a a a a a n n 或不存在 数分别是 0n =112322+++n n n n n n b ∞→lim 122lim n n n a a a n b →∞ ++ +n a +222221lim() 111 n n n n n →∞-+++ +++) 2(lim 2n n n n -+∞ →n n n a a a a a a 24221 lim ++++++∞→ 1)1 1 (lim 2=--++∞→b an n n n lim() n n n A S n →∞-1 (1,2,) n n S n S +=n n T ∞ →lim n )3 1 (1A 2 A | |||lim 11n n n n n A A A A -+∞→) 1,(,12131211>∈<-++++n N n n n 12) 1(+n n n 131211++++ n 2131211++++ 2 2+n n a a a a ,,,,321 n b b b b ,,,,321 n n n n b b b b B a a a a A ++++== 321321,2 ) (1n a a n +b b b b 112101145 =+++=，…a b n a n =+⎛⎝ ⎫ ⎭ ⎪ log 111 3 1log a n b +n n S ∞ →lim )]2 1 1()511)(411)(311([lim +----∞→n n n n n n a 1S lim = ∞ →122321 222)2221(lim -∞→+++++++n n n n n n C C C n n n S S 1 lim +∞→⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛++⋯++++∞→32323221lim n n n n n n n n n n n S na lim ∞→n n n 1 i 1i i n S lim 则,a a 1 ∞ →=+∑ =n n a ∞ →lim 94 23lim = +-∞→n n n a a n n a ∞ →lim 1 1)2(3)2(3lim +-∞ →-+-+n n n n n )1n 2n 1n 31n 21n 1(lim 2222n ++++++++∞→ n 876n 321n a a a a a a a a lim ++++++++∞→ n n n n n a a a a --∞→+-lim • •8100.0
本文为自本人珍藏 版权所有 仅供参考 13.2 数列的极限 ●知识梳理 1.数列极限的定义：一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列{a n }的项a n 无限地趋近于某个常数a （即|a n －a |无限地接近于0），那么就说数列{a n }以a 为极限. 注：a 不一定是｛a n ｝中的项. 2.几个常用的极限：①∞ →n lim C =C （C 为常数）;②∞ →n lim n 1 =0;③∞→n lim q n =0（|q |＜1）. 3.数列极限的四则运算法则：设数列｛a n ｝、｛b n ｝， 当∞ →n lim a n =a , ∞ →n lim b n =b 时，∞ →n lim （a n ±b n ）=a ±b ; ∞ →n lim （a n ·b n ）=a ·b ; ∞ →n lim n n b a =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）a n 、b n 的极限都存在时才能用四则运算法则； （2）可推广到有限多个. ●点击双基 1.下列极限正确的个数是 ①∞→n lim αn 1 =0（α＞0） ②∞→n lim q n =0 ③∞ →n lim n n n n 3232+-=－1 ④∞ →n lim C =C （C 为常数） A.2 B.3 C.4 D.都不正确 解析:①③④正确. 答案:B 2. ∞ →n lim ［n （1－ 31）（1－41）（1－51）…（1－2 1+n ）］等于 A.0 B.1 C.2 D.3 解析: ∞→n lim ［n （1－31）（1－41）（1－51）…（1－2 1 +n ）］ =∞→n lim ［n ×32×43×54×…×2 1 ++n n ］ =∞→n lim 2 2+n n =2. 答案:C 3.下列四个命题中正确的是 A.若∞ →n lim a n 2＝A 2，则∞ →n lim a n ＝A
数列极限和数学归纳法练习(有-答案)
数列极限和数学归纳法 一、 知识点整理： 数列极限：数列极限的概念、数列极限的四则运算法则、常见数列的极限公式以及无穷等比数列各项的和 要求：理解数列的概念，掌握数列极限的四则运算法则和常见数列的极限，掌握公比q 当01q <<时无穷等比数列前n 项和的极限公式及无穷等比数列各项和公式，并用于解决简单的问题。 1、理解数列极限的概念：2 1,(1),n n n -等数列的极限 2、极限的四则运算法则：使用的条件以及推广 3、常见数列的极限：1lim 0,lim 0(1),lim →+∞ →+∞ →+∞ ==<=n n n n q q C C n 4、无穷等比数列的各项和：1 lim (01)1→+∞ == <<-n n a S S q q 数学归纳法：数学归纳法原理，会用数学归纳法证明恒等式和整除性问题，会利用“归纳、猜想和证明”处理数列问题 （1）、证明恒等式和整除问题（充分运用归纳、假设，拆项的技巧，如证明22 389n n +--能被64整除， 2438(1)9k k +-+-）22 9(389)64(1)k k k +=--++） ，证明的目标非常明确； （2）、“归纳－猜想－证明”，即归纳要准确、猜想要合理、证明要规范，这类题目也是高考考察数列的重点内容。 二、 填空题 1、 计算：1 12 32 3lim -+∞ →+-n n n n n =_____3_____。
2、 有一列正方体，棱长组成以1为首项、21为公比的等比数列，体积分别记为 ，，，，n V V V 2 1 = +++∞ →)(lim 2 1 n n V V V 87 . 3、 20lim ______ 313n n n →∞+=+13 4、 数列的通项公式 ，前项 和为，则 =______32_______. 5、 设 {} n a 是公比为 2 1 的等比数列，且 4 )(lim 12531=+⋅⋅⋅+++-∞ →n n a a a a ，则=1 a 3 ． 6、 在等比数列{}n a 中，已知123432,2 a a a a ==，则()1 2 lim n n a a a →∞ +++=_16±______. 7、 数列{}n a 的通项公式是1 3(2)--+=+-n n n a ，则 )(lim 2 1n n a a a +++∞ → =___7 6 ____ . 8、已知数列{}n a 是无穷等比数列，其前n 项和是n S ，若2 32a a +=，341a a +=， 则lim n n S →∞ 的值为 16 3 . 9、设数列{}n a 满足当2 n a n >（*N n ∈）成立时，总可以推出2 1 (1)n a n +>+成立．下列四个命题： （1）若93≤a ，则164≤a ．（2）若310a =，则5 25a >．（3）若255 ≤a ，则164 ≤a ． （4）若2(1)n a n ≥+，则2 1 n a n +>．其中正确的命题是 （2）（3） （4） .（填写你认为正确的所有命题序号） {}n a *1 , 1 () 1 , 2(1)n n a n N n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪+⎩ n n S lim n n S →∞
专题三数列与极限 【考点聚焦】 考点1：数列的有关概念，简单的递推公式给出的数列； 考点2：等差、等比数列的概念，等差、等比数列的通项公式，前n项和公式，并运用它们解决一些问题； 考点3：数列极限的意义，极限的四则运算，公比的绝对值小于1的无穷等比数列的前n项和的极限； 考点4：数学归纳法 【自我检测】 1、＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿叫做数列。 2、等差数列、等比数列定义及性质
3、无穷等比数列公比｜q|＜1，则各项和S＝＿＿＿＿＿＿。 4、求数列前n项和的方法：（1）直接法；（2）倒序相加法；（3）错位相减法；（4） 分组转化法；（5）裂项相消法. 【重点•难点•热点】 问题1：等差、等比数列的综合问题 “巧用性质、减少运算量”在等差、等比数列的计算中非常重要，但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，既要充分合理地运用条件，又要时刻注意题的目标，往往能取得与“巧用性质”解题相同的效果 例1：设等比数列{a n}的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的4倍，且第二项与第四项的积是第3项与第4项和的9倍，问数列{lg a n}的前多少项和最大？(取lg2=03,lg3=04) 思路分析突破本题的关键在于明确等比数列各项的对数构成等差数列，而等差数列中前n项和有最大值，一定是该数列中前面是正数，后面是负数，当然各正数之和最大；另外，等差数列S n是n的二次函数，也可由函数解析式求最值
解法一设公比为q ,项数为2m ,m ∈N *,依题意有 ⎪⎩⎪ ⎨ ⎧+=⋅--⋅=--⋅)(9)()(1)1(1)1(312131122121q a q a q a q a q q q a q q a m m ，化简得⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧+==+10831 , ),1(9114121 a q q q a q q 解得 设数列{lg a n }前n 项和为S n ,则 S n =lg a 1+lg （a 1q 2）+…+lg （a 1q n －1）=lg （a 1n ·q 1+2+…+(n － 1)） =n lg a 1+ 21n (n －1)·lg q =n (2lg2+lg3)－21 n (n －1)lg3 =(－23lg )·n 2+(2lg2+2 7lg3)·n 可见，当n =3lg 3lg 272lg 2+时，S n 最大而4 .024.073.043lg 3 lg 272lg 2⨯⨯+⨯= +=5, 故{lg a n }的前5项和最大 解法二接前，3 1,1081= =q a ,于是lg a n =lg ［108(31)n －1］=lg108+(n －1)lg 31, ∴数列{lg a n }是以lg108为首项，以lg 3 1 为公差的等差数列， 令lg a n ≥0,得2lg2－(n －4)lg3≥0， ∴n ≤4 .04 .043.023lg 3lg 42lg 2⨯+⨯=+=55 由于n ∈N *,可见数列{lg a n }的前5项和最大 点评本题主要考查等比数列的基本性质与对数运算法则，等差数列与等比数列之间的联系以及运算、分析能力 演变1 等差数列{a n }的前m 项和为30，前2m 项和为100，则它前3m 项的和为_______ 点拨与提示：本题可以回到数列的基本量，列出关于d 1和a 的方程组，然后求解；或运用等差数列的性质求解. 问题2：函数与数列的综合题 数列是一特殊的函数，其定义域为正整数集，且是自变量从小到大变化时函数值的序列。注意深刻理解函数性质对数列的影响，分析题目特征，探寻解题切入点. 例2：已知函数f (x )= 4 12 -x (x <－2) (1) 求f (x )的反函数f -－ 1(x )； (2) 设a 1=1, 1 1+n a =－f －-1 (a n )(n ∈N *),求a n ;