芯衣州星海市涌泉学校函数的极限
教学目的：1、使学生掌握当0x x →时函数的极限；
2、理解：
A x f x x =→)(lim 0
的充分必要条件是A
x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0
教学重点：掌握当0x x →时函数的极限
教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念〞的理解。
教学过程：一、复习：
〔1〕=∞
→n
n q
lim ＿＿＿＿＿1 ∞→∈=N k x k x 〔3〕? lim 2 2 =→x x 二、新课 就问题〔3〕展开讨论：函数2x y =当x 无限趋近于2时的变化趋势 当x 从左侧趋近于2时〔-→2x 〕 当x 从右侧趋近于2时〔+→2x 〕 函数的极限有概念：当自变量x 无限趋近于0x 〔0x x ≠〕时，假设函数)(x f y =无限趋近于一个常数 A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0 。 特别地， C C x x =→0 lim ；0 lim x x x x =→ 三、例题 求以下函数在X ＝0处的极限 〔1〕121 lim 220---→x x x x 〔2〕x x x 0lim →〔3〕 =)(x f 0 ,10,00 ,22<+=>x x x x x 四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。 五、练习及作业： 1、对于函数12+=x y 填写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出 当1→x 时函数12+=x y 的极限 2、对于函数 12-=x y 填 写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数1 2-=x y 的极限 3* 1 21 lim 2 21---→x x x x 32302) 31()1(lim x x x x x +-+-→)cos (sin 2lim 22 x x x x --→ π 2 321lim 4 --+→x x x x a x a x -+→20lim 〔0>a 〕x x 1lim 0→ 芯衣州星海市涌泉学校函数的极限 教学目的：1、使学生掌握当0x x →时函数的极限； 2、理解： A x f x x =→)(lim 0 的充分必要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 0 教学重点：掌握当0x x →时函数的极限 教学难点：对“0x x ≠时，当0x x →时函数的极限的概念〞的理解。 教学过程：一、复习： 〔1〕=∞ →n n q lim ＿＿＿＿＿1 A ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是A ，记作A x f x x =→)(lim 0 。 特别地， C C x x =→0 lim ；0 lim x x x x =→ 三、例题 求以下函数在X ＝0处的极限 〔1〕121 lim 220---→x x x x 〔2〕x x x 0lim →〔3〕 =)(x f 0 ,10,00 ,22<+=>x x x x x 四、小结：函数极限存在的条件；如何求函数的极限。 五、练习及作业： 1、对于函数12+=x y 填写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于1时的变化趋势，说出 当1→x 时函数12+=x y 的极限 2、对于函数 12-=x y 填 写上上下表，并画出函数的图象，观察当x 无限趋近于3时的变化趋势，说出当3→x 时函数1 2-=x y 的极限 3* 1 21 lim 2 21---→x x x x 32302) 31()1(lim x x x x x +-+-→)cos (sin 2lim 22 x x x x --→ π 2 321lim 4 --+→x x x x a x a x -+→20lim 〔0>a 〕x x 1lim 0→ 1 / 5 张喜林制 [选取日期] 高三数学第二轮专题讲座复习：极限的概念及其运算 高考要求 极限的概念及其渗透的思想，在数学中占有重要的地位，它是人们研究许多问题的工具 旧教材中原有的数列极限一直是历年高考中重点考查的内容之一 本节内容主要是指导考生深入地理解极限的概念，并在此基础上能正确熟练地进行有关极限的运算问题 重难点归纳 1 学好数列的极限的关键是真正从数列的项的变化趋势理解数列极限 学好函数的极限的关键是真正从函数值或图象上点的变化趋势理解函数极限 2 运算法则中各个极限都应存在 都可推广到任意有限个极限的情况，不能推广到无限个 在商的运算法则中，要注意对式子的恒等变形，有些题目分母不能直接求极限 3 注意在平时学习中积累一些方法和技巧，如 )1|(|0lim ,0)1(lim <==-∞→∞→a a n n n n n ???? ?????><==++++++--∞→时当不存在时当时 当l k l k l k b a b x b x b a x a x a l l k k k n ,,0,lim 001110110 典型题例示范讲解 例1已知lim ∞ →x (12+-x x －ax －b )=0,确定a 与b 的值 命题意图在数列与函数极限的运算法则中，都有应遵循的规则，也有可利用的规律，既有章可循，有法可依 因而本题重点考查考生的这种能力 也就是本知识的系统掌握能力 知识依托 解决本题的闪光点是对式子进行有理化处理，这是求极限中带无理号的式子常用的一种方法 错解分析本题难点是式子的整理过程繁琐，稍不注意就有可能出错 技巧与方法 有理化处理 解 b ax x x b ax x x b ax x x x x +++-+-+-=--+-∞→∞→1)()1(lim )1(lim 22 22 b ax x x b x ab x a x +++--++--=∞→1)1()21()1(lim 2 222 要使上式极限存在，则1－a 2=0,当1－a 2=0时， 01)21(1)21(1111)21(lim 1)1()21(lim 222 22=++-++-= +++--++-=+++--+--=∞→∞→a ab a ab a x b x x x b ab b ax x x b x ab x x 由已知得上式 高三数学函数极限的运算法则2 第一篇：高三数学函数极限的运算法则2 函数极限的运算法则（4月30日） 教学目标：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限教学重点：运用函数极限的运算法则求极限 教学难点：函数极限法则的运用 教学过程： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如lim1=0,limx=xo.若求极限的函数比x→∞xx→xo 较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算.二、新课讲授 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）.说明：当C是常数，n是正整数时，lim[Cf(x)]=Climf(x)x→xox→xo x→xolim[f(x)]n=[limf(x)]n x→xo 这些法则对于x→∞的情况仍然适用.三典例剖析 例1 求lim(x+3x)x→2 22x3-x2+1例2 求lim x→1x+ 1x2-16 例3 求lim x→4x- 4x2-16 分析：当x→4时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则.注意函数y= x-4 在定义域x≠4内，可以将分子、分母约去公因式x-4后变成x+4，由此即可求出函数的极 限.3x2-x+ 3例4 求lim 2x→∞x+ 1分析：当x→∞时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以x，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：limC=C,limx=xo(k∈N),x→xo x→xo k k * limC=C,lim x→∞ =0(k∈N*)kx→∞x 2x2+x- 4例5 求lim 3x→∞3x-x2+ 1分析：同例4一样，不能直接用法则求极限.如果分子、分母都除以x，就可以运用法则计算了。 四课堂练习（利用函数的极限法则求下列函数极限） （1）lim(2x-3)；（2）lim(2x-3x+1) x→ 2x→2 2x2+ 1（3）lim[(2x-1)(x+3)]；（4）lim2 x→4x→13x+4x-1 x2-1x2-5x+6 （5）lim（6）lim 2x→3x→-1x+1x-9 2x2+x-22y2-y 第二讲 函数极限 一、定义： 1、0 00lim ()0,0:(,)|()|x x f x A x U x f x A εδδε→=??>?>∈?-<； 2、00lim ()0,0:0|()|x x f x A x x f x A εδδε→+ =??>?><-?><-?>>?-<； 5、lim ()0,0:|()|x f x A M x M f x A εε→-∞ =??>?><-?-<； 6、lim ()0,0:|||()|x f x A M x M f x A εε→∞ =??>?>>?-<； 7、0 0lim ()(,)0,0:(,) ()((),|()|) x x f x M x U x f x M f x M f x M δδ→=+∞-∞∞??>?>∈?><->； 8、 00lim ()(,)0,0:0()((),|()|) x x f x M x x f x M f x M f x M δδ →+ =+∞-∞∞??>?><-<->； 9、 00lim ()(,)0,0:0()((),|()|) x x f x M x x f x M f x M f x M δδ →- =+∞-∞∞??>?><-<->； 10、 lim ()(,)0,0:()((),|()|) x f x N M x M f x N f x N f x N →+∞ =+∞-∞∞??>?>>?><->； 11、 lim ()(,)0,0:()((),|()|) x f x N M x M f x N f x N f x N →-∞ =+∞-∞∞??>?><-?><->； 12、lim ()(,)0,0:||()((),|()|) x f x N M x M f x N f x N f x N →∞ =+∞-∞∞??>?>>?><->。 13、0000()lim (),()lim ()x x x x f x f x f x f x →+ →- +=-=。 14、0 00lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x A f x f x A →→+ →- =?== 二、性质： 1、 唯一性：若0 lim (),lim ().x x x x f x A f x B A B →→==?= 2、 局部有界性：若0 lim ()x x f x →存在，则00,0:0|||()|.M x x f x M δδ?>?><-则00:0||()0.x x f x δδ?><- 《数学分析》教案-第三章函数极限 第三章 函数极限 在《数学分析》中，所讨论的极限基本上分两部分，第一部分是“数列的极限”，第二部分是“函数的极限”.二者的关系到是“特殊”与“一般”的关系；数列极限是函数极限的特例. 通过数列极限的学习.应有一种基本的观念：“极限是研究变量的变化趋势的”或说：“极限是研究变量的变化过程，并通过变化的过程来把握变化的结果”.例如，数列{}n a 这种变量即是研究当n →+∞时，{}n a 的变化趋势. 我们知道，从函数角度看，数列{}n a 可视为一种特殊的函数f ，其定义域为N +，值域是{}n a ，即 :()n f N R n a +→→; 或 (),n f n a n N +=∈或()n f n a =. 研究数列{}n a 的极限，即是研究当自变量n →+∞时，函数()f n 变化趋势. 此处函数()f n 的自变量n 只能取正整数！因此自变量的可能变化趋势只有一种，即n →+∞.但是，如果代之正整数变量n 而考虑一般的变量为x R ∈，那么情况又如何呢？具体地说，此时自变量x 可能的变化趋势是否了仅限于x →+∞一种呢？ 为此，考虑下列函数: 1,0; ()0,0.x f x x ≠⎧=⎨ =⎩ 类似于数列，可考虑自变量x →+∞时，()f x 的变化趋势；除此而外，也可考虑自变量x →-∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x →∞时，()f x 的变化趋势；还可考虑自变量x a →时，()f x 的变化趋势, . 由此可见，函数的极限较之数列的极限要复杂得多，其根源在于自变量性质的变化.但同时我们将看到，这种复杂仅仅表现在极限定义的叙述有所不同.而在各类极限的性质、运算、证明方法上都类似于数列的极限. 下面，我们就依次讨论这些极限. §1 函数极限的概念 教学目标：掌握各种函数极限的分析定义，能够用分析定义证明和计算函数的极限． 高三数学 函数的极限（2） 一、教学目标： 1．使学生能从变化趋势理解函数在-+→→→000x x x x x x 、、时的极限的概念； 2．会求函数在某一点的极限或左、右极限，掌握函数在一点处的极限与左、右极限的关系； 3．利用函数的极限培养学生的观察分析能力； 4．通过对函数极限的学习，进一步渗透从量变到质变的辩证思维方法； 二、教学重点：第二类函数极限的概念和左右极限与点极限之间的联系； 教学难点：区分几种不同类型极限差别和正确理解极限的概念． 三、教学用具：投影仪或多媒体 四、教学过程： 1．复习引入，提出问题 回忆当-∞→+∞→∞→x x x 、、时的函数极限是如何定义的．我们可否用类似地思想和方法研究0x x →时的函数极限． 2．考察函数，比较特征 例1 考察函数2x y =，当x 无限趋近于2时，函数的变化趋势． 从表格上看：教科书第81页的表说明，自变量2 课题：函数的极限和连续性 教学目标：1.了解函数极限的概念；2.掌握极限的四则运算法则；会求某些数列与函数的极限；3.了解函数连续的意义；4.理解闭区间上连续函数有最大值和最小值的性质 （一） 主要知识及主要方法： 1.函数极限的定义: ()1当自变量x 取正值并且无限增大时，如果函数()f x 无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于正无穷大时，函数()f x 的极限是a ，记作：lim ()x f x a →+∞ =，或者当x →+∞时， ()f x a →；()2当自变量x 取负值并且绝对值无限增大时，如果函数()f x 无限趋近于一 个常数a ，就说当x 趋向于负无穷大时，函数()f x 的极限是a . 记作lim ()x f x a →-∞ =或者当当x →-∞时，()f x a → ()3如果lim ()x f x a →+∞=且lim ()x f x a →-∞ =，那么就说当x 趋向于无穷大时，函数()f x 的极限是a ，记作：lim ()x f x a →∞ =或者当x →∞时，()f x a → . 2.常数函数:()f x c =(x R ∈)，有lim ()x f x c →∞ =. lim ()x f x →∞ 存在，表示lim ()x f x →+∞ 和lim ()x f x →-∞ 都存在，且两者相等所以lim ()x f x →∞ 中的∞既 有+∞，又有-∞的意义，而数列极限lim n x a →∞ 中的∞仅有+∞的意义. 3.趋向于定值的函数极限概念：当自变量x 无限趋近于0x （0x x ≠）时，如果函数 )(x f y =无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向0x 时，函数)(x f y =的极限是a ，记作 lim ()x x f x a →=.特别地，C C x x =→0 lim ；00 lim x x x x =→. 4.0 lim ()lim ()lim ()x x x x x x f x a f x f x a -+→→→=⇔==. 其中0 lim ()x x f x a -→=表示当x 从左侧趋近于0x 时的左极限， 0lim ()x x f x a + →=表示当x 从右侧趋近于0x 时的右极限. 5.对于函数极限有如下的运算法则： 13.3 函数的极限 ●知识梳理 1.函数极限的概念：（1）如果+∞ →x lim f （x ）=a 且-∞ →x lim f （x ）=a ,那么 就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞ →x lim f （x ）=a , 也可记作当x →∞时，f （x ）→a. （2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0 lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a . （3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作 - →0lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近 于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作 + →0lim x x f （x ）=a . 2.极限的四则运算法则： 如果0 lim x x → f （x ）=a , 0 lim x x →g （x ）=b ,那么 lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; lim x x →)()(x g x f =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）上述法则对x →∞的情况仍成立； （2）0 lim x x →[Cf （x ）]=C 0 lim x x →f （x ）（C 为常数）; （3）0 lim x x →[f （x ）]n =[0 lim x x →f （x ）]n （n ∈N *）. ●点击双基 1. + →0lim x x f （x ）= - →0lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 2.f （x ）=⎩ ⎨ ⎧<≥,10, 12x x x 下列结论正确的是 A.)(lim 1x f x + →=- →1 lim x f （x ） B.)(lim 1x f x + →=2，)(lim 1x f x - →不存在 C.+ →1 lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x - →不存在 D.+ →1lim x f （x ）≠- →1lim x f （x ） 答案:D 3.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在点x 0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A 函数的极限及函数的连续性复习指导一、重点难点分析： ① 此定理非常重要，利用它证明函数是否存在极限。 ②要掌握常见的几种函数式变形求极限。 ③函数f(x)在x=x0处连续的充要条件是在x=x0处左右连续。 ④计算函数极限的方法，若在x=x0 处连续，则。 ⑤若函数在[a,b]上连续，则它在[a,b]上有最大值，最小值。 二、典型例题 例1．求下列极限 ① ② ③ ④ 解析：① 。 ②。 ③。 ④。 例2．已知，求m,n。 解：由可知x2+mx+2含有x+2这个因式， ∴x=-2是方程x2+mx+2=0的根，∴m=3代入求得n=-1。 例3．讨论函数的连续性。 解析：函数的定义域为(-∞,+∞)，由初等函数的连续性知，在非分界点处函数是连续的， 又， ∴ ，∴f(x)在x=1处连续。 由， 从而f(x)在点x=-1处不连续。∴f(x)在(-∞,-1),(-1,+∞)上连续，x=-1为函数的不连续点。 例4．已知函数, (a,b为常数)。 试讨论a,b为何值时，f(x)在x=0处连续。 解析：∵且，∴ ，∴a=1, b=0。 例5．求下列函数极限① ② 解析：① 。 ② 。 例6．设，问常数k 为何值时，有存在？ 解析：∵，。 要使 存在，只需，∴2k=1 ，故时，存在。 例7．求函数在x=-1处左右极限，并说明在x=-1处是否有极限？ 解析：由 ，， ∵，∴f(x)在x=-1处极限不存在。训练题： 1 ．已知 ，则 2 ．的值是_______。 3. 已知，则=______。 4 ．已知，2a+b=0，求a与b的值。 5 ．已知，求a的值。 参考答案：1. 3 2. 3. 4. a=2, b=-4 5. a=0 课程教案 课程教案附页 定理1：函数∕α∙)当Λ-→X0时极限存在的充要条件是左极限与右极限同时存在且相等，即 Iim f(x) = Iiin f(x). -V→Λo-V→⅞ 例 8∙P12 例 4、5. 2、自变量•、趋于无穷大时函数的极限 (1)A→+∞ 定义11：设函数/(_¥)在区间(α+oo)(d>0)内有立义.如果当x→+∞时，对应的函数值/(X)能够无限趋近于某个常数A ,则称A是函数/(x)当x→+oo时的极限，记作 Iinl f(x) = A,或者/(x) → A (X → +∞). .V→+M 例 9.P12 例 6. (2) A → -∞ 定义12：设函数/(X)在区间(-oc,α)(α 《函数极限的运算法则》教案 【教学目标】：掌握函数极限的运算法则，并会求简单的函数的极限 【教学重点】：运用函数极限的运算法则求极限 【教学难点】：函数极限法则的运用 【教学过程】： 一、引入： 一些简单函数可从变化趋势找出它们的极限，如o x x x x x x o ==→∞→lim ,01 lim .若求极限的函数比较复杂，就要分析已知函数是由哪些简单函数经过怎样的运算结合而成的，已知函数的极限与这些简单函数的极限有什么关系，这样就能把复杂函数的极限计算转化为简单函数的极限的计算. 二 、新课讲授 对于函数极限有如下的运算法则： 也就是说，如果两个函数都有极限，那么这两个函数的和、差、积、商组 成的函数极限，分别等于这两个函数的极限的和、差、积、商（作为除数的函数的极限不能为0）. 说明：当C 是常数，n 是正整数时，)(lim )]([lim x f C x Cf o o x x x x →→= n x x n x x x f x f o o )](lim [)]([lim →→= 这些法则对于∞→x 的情况仍然适用. 三 典例剖析 例1 求)3(lim 22 x x x +→ 例2 求1 1 2lim 231++-→x x x x 例3 求4 16 lim 24--→x x x 分析：当4→x 时，分母的极限是0，不能直接运用上面的极限运用法则. 注意函数4 16 2--=x x y 在定义域4≠x 内，可以将分子、分母约去公因式4-x 后变 成4+x ，由此即可求出函数的极限. 例4 求1 3 3lim 22++-∞→x x x x 分析：当∞→x 时，分子、分母都没有极限，不能直接运用上面的商的极限运算法则.如果分子、分母都除以2x ，所得到的分子、分母都有极限，就可以用商的极限运用法则计算。 总结：),(lim ,lim *N k x x C C k o k x x x x o o ∈==→→ )(01lim ,lim * N k x C C k x x ∈==∞→∞ → 高等数学复习资料大全 高等数学复习资料大全 一、函数的极限 1、函数极限的定义：当函数f(x)在x趋近于某一值时，函数值无限接近于某一确定的数值A，则称A为函数f(x)在x趋近于这一值时的极限。 2、函数极限的性质：（1）唯一性：若极限存在，则唯一。（2）局部有界性：在极限附近的函数值有界。（3）局部保号性：在极限附近，函数值的符号保持不变。（4）归结原则：若在某一区间内，f(x)恒等于A，则A为f(x)在该区间内的极限。 3、极限的四则运算：设、存在，则、也存在，且、、、。 4、复合函数的极限：设、存在，且g(x)在u=a处连续，则、存在，且、。 5、无穷小与无穷大：（1）无穷小：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的极限为0，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷小。（2）无穷大：若当x趋近于某一值时，函数f(x)的绝对值无限增大，则称f(x)为当x趋近于这一值时的无穷大。 6、两个重要极限：（1）sin x / x = 1 （x趋近于0）；（2）(1+k) ^ x / kx = e^k （k为常数且k趋近于0）。 二、导数与微分 1、导数的定义：设y=f(x)，若增量 / 趋于0时，之间的比值也趋于0，则称f(x)在处可导，称此比值为f(x)在处的导数。 2、导数的几何意义：函数在某一点处的导数就是曲线在该点处的切线的斜率。 3、微分的定义：设y=f(x)，若函数的增量可以表示为，其中A不依赖于，则称在处可微分，为f(x)在处的微分。 4、导数与微分的关系：若函数在某一点处可导，则在该点处必可微分；反之，若函数在某一点处可微分，则在该点处不一定可导。 5、导数的计算方法：（1）四则运算导数公式；（2）复合函数的导数；（3）隐函数求导法；（4）对数求导法；（5）高阶导数。 三、不定积分 1、不定积分的定义：设f(x)是一个函数，是一个常数，则对f(x) 进行积分所得的结果称为f(x)的不定积分，记为或。 2、不定积分的性质：（1）线性性质：和都存在，且；（2）恒等性质：都存在，且。 第二讲：函数的极限 一、知识提领与拓展 1、函数的有界性： 存在某两数M, N 使得：当(,)()N,x a b M f x ∈<<时，则称()f x 在区间[,]a b 上为有界的。 2、无穷极限：一般地，当x 取正值且无限增大时，如果函数()y f x =的值无限趋近于一个常数a ，就说当x 趋向于+∞时，函数()y f x =的极限为a 。记作：lim ()x f x a →+∞ =。 同理：lim ()x f x a →-∞ = 当lim ()x f x →+∞=lim ()x f x a →-∞=，则lim ()x f x a →∞ = 示例：求,,x y x x x x +=→+∞→-∞→∞21分别在时的极限。 3、函数在某一点极限：设函数)(x f y =在0x 的某去心邻域()00,U x δ内有定义，如果当x 无限趋近于0x 时，)(x f 无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为当0x x →时函数 )(x f 的极限，记作()A x f x x =→0 lim 4、单侧极限(左、右极限)：设函数)(x f y =在区间()00,x x δ-（或区间()00,x x δ+）内有定义，若当自变量x 从0x 的左（右）侧无限接近于0x ，记作-→0x x (+ →0x x )时，函数)(x f y =无限接近于一个确定的常数A ，则称常数A 为0x x →时的左（右）极限，记作A x f x x =-→)(lim 0，(A x f x x =+→)(lim 0 ). A x f x x =→)(lim 0的充要条件是=-→)(lim 0x f x x A x f x x =+→)(lim 0 . 示例：求,, ,,,x x y x x x x x x +-+>⎧⎪==→→→⎨⎪-<⎩ 100000010分别在时的极限。 5、函数极限的四则运算：同数列极限 6、两个重要的极限： (1) 0sin lim 1x x x →= (2) e x x x =+∞→)11(lim (e t t t =+→10 )1(lim ) 极 限 的 概 念 教学目的：理解数列和函数极限的概念； 教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限； 教学难点：数列和函数极限的理解 教学过程： 一、实例引入： 例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进行下去。（1）求第n 天剩余的木棒长度n a (尺)，并分析变化趋势；（2）求前n 天截下的木棒的总长度n b (尺)，并分析变化趋势。 观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数n 无限增大时，数列的项n a 无限趋近于某个常数A （即A a n -无限趋近于0）。n a 无限趋近于常数A ，意指“n a 可以任意地靠近A ，希望它有多近就有多近，只要n 充分大，就能达到我们所希望的那么近。”即“动点n a 到A 的距离A a n -可以任意小。 二、新课讲授 1、数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数A （即A a n -无限趋近于0） ，那么就说数列}{n a 的极限是A ，记作 A a n n =∞ →lim 注：①上式读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于A ”。“n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思。A a n n =∞ →lim 有时也记作当n →∞时，n a →A ②引例中的两个数列的极限可分别表示为_____________________，____________________ ③思考：是否所有的无穷数列都有极限？ 例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由 （1）1，21，31，…，n 1，…；（2）21，32，43，…，1 +n n ，…； （3）－2，－2，－2，…，－2，…，…，n )1.0(-，…； （5）－1,1，－1，…，n )1(-，…； 注：几个重要极限： （1）01 lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1 课 题：2.3函数的极限(一) 教学目的： 1.理解当x →+∞，x →－∞，x →∞时，函数f (x )的极限的概念. 2.从函数的变化趋势，理解掌握函数极限的概念. 3.会求当函数的自变量分别趋于+∞，－∞，∞时的极限 教学重点：从函数的变化趋势来理解极限的概念，体会极限思想. 教学难点：对极限概念如何可从变化趋势的角度来正确理解. 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 1.数列极限的定义： 一般地，如果当项数n 无限增大时，无穷数列}{n a 的项n a 无限趋近于．．．．．某个常数a （即n a a -无限趋近于0），那么就说数列}{n a 以a 为极限，或者说a 是数列}{n a 的极限．记作lim n n a a →∞ =，读作“当n 趋向于无穷大时，n a 的极限等于a ” “n →∞”表示“n 趋向于无穷大”，即n 无限增大的意思n a a →∞ =有时也记作：当n →∞时，n a →a ． 理解：数列的极限的直观描述方式的定义，只是对数列变化趋势的定性说明，而不是定量化的定义.“随着项数n 的无限增大，数列的项a n 无限地趋近于某个常数a ”的意义有两个方面：一方面，数列的项a n 趋近于a 是在无限过程中进行的，即随着n 的增大a n 越来越接近于a ；另一方面，a n 不是一般地趋近于a ，而是“无限”地趋近于a ，即|a n －a |随n 的增大而无限地趋近于0. 2.几个重要极限： （1）01lim =∞→n n （2）C C n =∞ →lim （C 是常数） （3）无穷等比数列}{n q （1 第2课时导数与函数的极值、最值 一、教材概念·结论·性质重现 1．函数的极值与导数 条件 f ′(x0)＝0 x0附近的左侧f ′(x)>0，右侧f ′(x)<0 x0附近的左侧f ′(x)<0，右侧 f ′(x)>0 图象 形如山峰形如山谷 极值 f (x0)为极大值 f (x0)为极小值 极值 点 x0为极大值点x0为极小值点 (1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定． (2)对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f (x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． (1)函数f (x)在[a，b]上有最值的条件 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f (x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f (x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数y＝f (x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f (x)的各极值与端点处的函数值f (a)，f (b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． (1)求函数的最值时，应注意极值点和所给区间的关系，关系不确定时，需要分类讨论，不可想当然认为极值就是最值． (2)若函数f (x)在区间[a，b]内是单调函数，则f (x)一定在区间端点处取得最值；若函数f (x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值点一定是函数的最值点． (3)函数最值是“整体”概念，而函数极值是“局部”概念，极大值与极小值之间没有必然的大小关系． 1．判断下列说法的正误，对的打“√”，错的打“×”． (1)函数的极大值不一定比极小值大．(√) (2)对可导函数f (x)，f ′(x0)＝0是x0点为极值点的充要条件．(×) (3)函数的极大值一定是函数的最大值．(×) (4)开区间上的单调连续函数无最值．(√) 2．f (x)的导函数f ′(x)的图象如图所示，则f (x)的极小值点的个数为() A．1B．2C．3D．4 A解析：由题意知在x＝－1处f ′(－1)＝0，且其两侧导数符号为左负右正，f (x)在x＝－1左减右增．故选A． 3．函数f (x)＝2x－x ln x的极大值是() A．1 e B． 2 e C．e D．e2 C解析：f ′(x)＝2－(ln x＋1)＝1－ln x．令f ′(x)＝0，得x＝e.当0 授课单元2教案 授课单元名称 极限与连续 授课学时 8 单元教学 目标 知识目标 1、理解极限的概念，掌握函数在一点处极限存在的充要条件； 2、掌握极限的运算法则和重要极限公式及常用的求极限方法； 3、理解无穷大与无穷小的概念，掌握它们的关系； 4、理解函数连续的概念，掌握初等函数的连续性，知道闭区间连续函数的性质。 能力目标 学会极限思想（求某些实际问题的精确 值），能利用极限思想解释一些实际现象 主要教学 知识点 1、极限的概念描述 2、无穷小与无穷大 3、函数极限的计 算、两个重要极限 4、函数连续性与性 质 教学难点 极限的概念及计算 教材处理 极限的定义只作描述性给出 参考资料 《分层数学》李德才 《高等数学》侯风波 教学资源 电子教案、课件 教学方法与手段 启发式、讲练结合 案例教学、多媒体 考核 评价点 极限的计算 连续的应用 教学内容 课题1函数的极限 引例 : 求圆的面积s 用圆内接正多变形的面积近似圆的面积 正四边形的面积1A , 正六边形的面积2A ，正八边形的面积3A ， ，正22 n 边形的面积 n A −−−−→−无限增大 当n s 当n 无限增大时，An 无限接近于某个确定的数值就为圆的面积 这类问题的要点是：为了计算某个量A 的精确值，先求A 一系列的近似值A1，A2，…An ，…（An 是n 的函数），当n 无限增大，从这些近似值的变化趋势中，可看到无限趋近确定值就是A ，这种方法称为极限方法，它是高等数学中一种基本方法。 一、 数列的极限 1、 问题的提出 [案例1]【设备折旧费】 某工厂对一生产设备的投资额是l 万元，每年的折旧费为该设备账面价格(即以前各年折旧费用提取后余下的价格)的一般地。那么这一设备的账面价 格(单位：万元)第一年为l ，第二年为 第三年为 第四年为 …, ，第n 年为 从它的变化趋势可以看出，随着年数的无限增大，账面价格无限接近于0，0叫数列 ,)10 9(,)109(,109, 11 2-n 的极限 即 【案例2】【洗涤效果】在用洗衣机清洗衣服时，清洗次数越多，衣服上残留的污质就越少．当洗涤次数无限增大时，衣服上的污质就趋于零． 2、数列的概念: 按照一定次序排列的一列数 x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅叫做数列, 记为{x n }, 其中第n 项x n 叫做数列的一般项. 数列的例子: {1+n n }: 21, 32, 43, ⋅ ⋅ ⋅ , 1 +n n ⋅ ⋅ ⋅; {2n }: 2, 4, 8, ⋅ ⋅ ⋅ , 2n , ⋅ ⋅ ⋅; {n 21}: 21, 41, 81, ⋅ ⋅ ⋅ , n 21, ⋅ ⋅ ⋅ ; {1)1(+-n }: 1, -1, 1, ⋅ ⋅ ⋅ , 1 )1(+-n , ⋅ ⋅ ⋅ ; 它们的一般项依次为1+n n , 2n , n 2 1, 1 )1(+-n 注意: （1）数列{x n }可以看作数轴上的一个动点, 它依次取数轴上的点x 1, x 2, x 3, ⋅ ⋅ ⋅ , x n , ⋅ ⋅ ⋅. （2）数列{x n }可以看作自变量为正整数n 的函数: x n =f (n ), 3、数列极限的定义 对于数列{x n }, 如果当n 无限增大时, 数列的一般项x n 无限地接近于某一确定的数值A , 则称常数A 是数列{x n }的极限, 或称数列{x n }收敛A . 记为A x n n =∞ →lim . 如果数列没有极限, 就说数列是发散的. 例如 11lim =+∞→n n n ,02 1lim =∞→n n , 而{2n }, { (-1)1 +n }, 是发散的. ,,,,,321n A A A A 高中三年级数学学案目录 模块一极限（数学选1-1，高三上；高二新下） 12．1 数学归纳法及其应用 13．2 数列极限 13．3 函数极限 模块二导数（数学选1-1，高三上；高二新下） 13．1 导数的概念、公式及其运算法则 13．2 导数的应用（一） 13．3 导数的应用（二） 模块三复数（数学选1-2，高三上；高二新下） 14．1 复数的相关概念和几何意义 14．2 复数的代数形式及其运算 模块一极限 【知识网络】 1．1 数学归纳法及其应用 【考点透视】 一、考纲指要 1．了解数学归纳法的原理，理解“归纳法”和“数学归纳法”的含意和本质． 2．能用数学归纳法证明一些简单的问题：与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列的通项与和问题、几何问题、整除性问题等等． 3．掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质． 二、命题落点 1．客观性试题主要考查学生对数学归纳法的实质的理解，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)，如例1． 2．解答题大多以考查数学归纳法内容为主，并涉及到函数、方程、数列、不等式等综合性的知识，在解题过程中通常用到等价转化，分类讨论等数学思想方法，是属于中高档难度的题目。和例3，例4． 3．“观察→归纳→猜想→证明”是一种十分重要的思维方法，运用这种思维方法既能发现 结论，又能证明结论的正确性．这是分析问题和解决问题能力的一个重要内容，也是近几年 高考的一个考查重点，如例2 4．数学归纳法是高考考查的重点内容之一.类比与猜想是应用数学归纳法所体现的比较突出的思想，抽象与概括，从特殊到一般是应用数学归纳法的一种主要思想方法. 在由n=k时命题成立，证明n=k+1命题也成立时，要注意设法化去增加的项，通常要用到拆项、组合、添项、减项、分解、化简等技巧。 【典例精析】 例1：（1994·上海）. 某个命题与自然数n有关，若n=k（k∈N+）时该命题成立，那么 可推得当n=k+1时该命题也成立，现已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得（）A．当n=6时该命题不成立B．当n=6时该命题成立 C．当n=4时该命题不成立D．当n=4时该命题成立 解析：原命题与逆否命题等价，若n＝k＋1时命题不成立，则n＝k命题不成立． 因为当n=k时，命题成立可推出n=k+1时成立，所以n=5时命题不成立，则n=4时，命题也一定不成立，故应当选C． 答案：C 例2：（1993·全国理）已知数列 81 13 22 · · ，…， 8 2121 22 · · n n n ()() -+ ，…。S n 为其前n 项和，求S 1、S 2 、S 3 、S 4 ，推测S n 公式，并用数学归纳法证明． 解析：本题的思路是从试验、观察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳 法进行严格证明，这是关于探索性问题的常见证法。但证明方法不唯一，除数学归纳法外，有时还可使用其他方法。 计算得S 1＝ 8 9 ，S 2 ＝ 24 25 ，S 3 ＝ 48 49 ，S 4 ＝ 80 81 ， 猜测S n ＝ () () 211 21 2 2 n n +- + (n∈N+)。 证明：当n＝1时，等式显然成立；高三数学复习教案——函数的极限
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