高三数学极限的概念

高三数学极限的概念

极限的概念

教学目的：理解数列和函数极限的概念；

教学重点：会判断一些简单数列和函数的极限；

教学难点：数列和函数极限的理解

教学过程：

一、实例引入：

例：战国时代哲学家庄周所著的《庄子・天下篇》引用过一

句话："一尺之棰，日取其半，万世不竭。"也就是说一根长

为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限制地进

行下去。（1）求第天剩余的木棒长度(尺)，并分析变化趋势；（2）求前天截下的木棒的总长度(尺)，并分析变化趋势。

观察以上两个数列都具有这样的特点：当项数无限增大时，

数列的项无限趋近于某个常数A（即无限趋近于0）。无限趋近于常数A，意指"可以任意地靠近A，希望它有多近就有多近，只要充分大，就能达到我们所希望的那么近。"即"动点

到A的距离可以任意小。

二、新课讲授

1、数列极限的定义：

一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于

某个常数A（即无限趋近于0），那么就说数列的极限是A，

记作

注：①上式读作"当趋向于无穷大时，的极限等于A"。"∞"

表示"趋向于无穷大"，即无限增大的意思。有时也记作当∞时，A

②引例中的两个数列的极限可分别表示为

_____________________，____________________

③思考：是否所有的无穷数列都有极限？

例1：判断下列数列是否有极限，若有，写出极限；若没有，说明理由

（1）1，，，...，，... ；（2），，，...，，...；

（3）－2，－2，－2，...，－2，...；（4）－0.1，0.01，－0.001，...，，...；

（5）－1,1，－1，...，，...；

注：几个重要极限：

（1）（2）（C是常数）

（3）无穷等比数列（）的极限是0，即：

2、当时函数的极限

（1）画出函数的图像，观察当自变量取正值且无限增大时，函数值的变化情况：函数值无限趋近于0，这时就说，当趋

向于正无穷大时，函数

的极限是0，记作：

一般地，当自变量取正值且无限增大时，如果函数

的值无限趋近于一个常数A，就说当趋向于正无穷大时，函

数的极限是A，记作：

也可以记作，当时，

（2）从图中还可以看出，当自变量取负值而无限增大时，函数的值无限趋近于0，这时就说，当趋向于负无穷大时，函

数的极限是0，记作：

一般地，当自变量取负值而无限增大时，如果函数的值无限

趋近于一个常数A，就说当趋向于负无穷大时，函数的极限

是A，记作：

也可以记作，当时，

（3）从上面的讨论可以知道，当自变量的绝对值无限增大时，函数的值都无限趋近于0，这时就说，当趋向于无穷大时，

函数的极限是0，记作

一般地，当自变量的绝对值无限增大时，如果函数的值无限

趋近于一个常数A，就说当趋向于无穷大时，函数的极限是A，记作：

也可以记作，当时，

特例：对于函数（是常数），当自变量的绝对值无限增大时，函数的值保持不变，所以当趋向于无穷大时，函数的极

限就是，即

例2：判断下列函数的极限：

（1）（2）

（3）（4）

三、课堂小结

1、数列的极限

2、当时函数的极限

四、练习与作业

1、判断下列数列是否有极限，若有，写出极限

（1）1，，，...，，... ；（2）7，7，7，...，7，...；（3）；（4）2，4，6，8，...，2n，...；

（5）0.1，0.01，0.001，...，，...；

（6）0，...，，...；

（7）...，，...；

（8）...，，...；

（9）－2, 0，－2，...，,...，

2、判断下列函数的极限：

（1）（2）

（3）（4）

（5）（6）

（7）（8）

补充：3、如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分别是AB、PC的中点。（1）求证：MN⊥AB；

（2）若平面PCD与平面ABCD所成的二面角为θ，

能否确定θ，使得MN是异面直线AB与PC的公垂线？若可以确定，试求θ的值；若不能，说明理由。

高考数学中的极限及相关概念

高考数学中的极限及相关概念在高考数学中，极限是一项非常重要的概念。极限的定义是指 当自变量无限接近某一固定值时，函数的取值趋近于某一固定值，这个固定值即为极限。为了更好地理解极限及其相关概念，本文 将从以下几个方面进行分析。 一、函数的极限 函数的极限是指当自变量趋近于某一特定值时，函数的取值趋 近于某一特定值。例如，当x趋近于1时，y趋近于2。在高考数 学中，函数的极限是非常重要的，因为它可以帮助我们确定函数 的性质，从而更好地处理一些复杂的问题。 二、左极限和右极限 左极限和右极限是指在函数存在极限的情况下，自变量趋近于 这个极限时，函数的取值分别从左侧和右侧趋近于极限。例如， 当x趋近于2时，y趋近于3，此时左极限为3，右极限也为3。 在实际问题中，左极限和右极限的概念经常被用来描述物理或经 济现象中的变化规律。

三、连续性 连续性是指当自变量在某一固定点上发生微小变化时，函数的取值也随之发生微小变化。具体来说，如果函数在某一固定点上的极限存在，并且等于函数在这一点上的取值，那么这个函数就是连续的。连续性是数学中非常重要的一个概念，它可以帮助我们更好地研究函数的变化规律。 四、无穷大与无穷小 无穷大与无穷小是指当自变量趋近于某一固定值时，函数的取值趋近于无穷大或无穷小。在实际问题中，我们经常需要讨论物理或经济现象中的最大值或最小值，因此无穷大与无穷小的概念也是非常重要的。 结语 本文从四个方面论述了高考数学中的极限及其相关概念。在实际应用中，极限与微积分、微分方程等数学学科密切相关，掌握

极限及其相关概念是现代数学研究的基础。希望读者在阅读本文后能够更好地理解极限及其相关概念，从而更好地应对高考数学考试。

高等数学中的极限概念在高考数学中的表现

高等数学中的极限概念在高考数学中的表现在高考数学中，极限概念是非常重要的一个概念。在数学领域中，极限概念是非常基础而又重要的一个概念，而在高等数学领域中，极限概念的应用更加广泛深入。在高考数学中，极限概念的考察通常体现在函数极限、数列极限等方面。下面将从基本概念、性质和应用等方面详细论述高等数学中的极限概念在高考数学中的表现。 一、基本概念 极限概念是指随着自变量趋近于某一个值时，函数值或者数列中的数值趋近于一个确定的值或趋于无限大或趋于无穷小。在高考数学中，研究的对象是数列或函数趋近一个数或无限大或无穷小的一种状态或方向。因此，高考数学中的极限通常是指数列或函数趋近某一数值、无限大或无穷小时的极限。 二、极限的性质 1. 唯一性：若存在极限，那么它是唯一的。

2. 保序性：若a＜b且对于一切n，有an＜bn，则liman＜limbn。 3. 夹逼准则：设数列an≤bn≤cn，若an和cn的极限都是a，则 bn的极限也是a。 4. 有界性：如果数列有极限，则必定是有界的。 5. 收敛数列的四则运算：设数列{an}和{bn}都收敛，且liman ＝a，limbn＝b，那么有以下结论： (1) lim{an＋bn}＝a＋b； (2) lim{an－bn}＝a－b； (3) lim{an×bn}＝ab； (4) lim{an/bn}＝a/b（前提是bn≠0，b≠0）。

6. 收敛数列的夹逼原理：如果数列{an}、{bn}、{cn}满足 an≤bn≤cn，且liman＝limcn＝a，则{bn}收敛，其极限为a。 三、极限的应用 1. 数列极限的应用 数列极限的应用很广，如证明数列的单调性、求极限和数列求和等。例如，在一些综合类的题目中，考生需要使用递推公式求出一个数列的第n项，若数列发散，则完全可以利用数列的单调性以及极限的定义来证明其发散。而另外一些题目则需要考生求出数列的极限值来进一步求出其总和等其他性质。 2. 函数极限的应用 函数极限的应用也非常广泛，如判断函数的连续性、求导数及求曲线等。例如，在绘制某一函数的曲线时，需要先求出该函数在某一特定点的导数，若该函数在该点处连续且可导，那么就可以通过导数的正负值及零点的情况来判断曲线在该点处的切线方

极限概念解析及其应用

极限概念解析及其应用 极限是微积分的核心概念之一，是描述函数在某一点附近行为的重 要工具。它不仅在数学理论中有着重要地位，而且在物理、工程等应 用领域也扮演着关键角色。本文将对极限的概念进行详细解析，并讨 论其在实际问题中的应用。 一、极限的定义 在数学中，极限可以理解为函数在某一点无穷接近某个值的趋势。 更精确地说，给定函数f(x)，当自变量x无限接近某个值a时，若对应 的函数值f(x)无论怎么变动，总能无限接近某个固定的数L，则称函数 f(x)在自变量趋于a时的极限为L，记作lim[f(x)] = L，或者写成x→a 时f(x)的极限等于L。 换言之，对于任意小的正数ε，存在一个正数δ，当0 < |x - a| < δ时，有|f(x) - L| < ε。这个定义表明，在自变量趋近于a的过程中，函数值会 越来越接近L，同时可以无限接近L而不超过某个给定的精度。 二、极限的性质 极限具有以下基本性质： 1. 唯一性：若lim[f(x)]存在，则极限唯一。 2. 局部有界性：若lim[f(x)] = L，则f(x)在x→a时在某个邻域内有界。

3. 保号性：若lim[f(x)] = L > 0，则在x充分接近a时，f(x)大于0； 若lim[f(x)] = L < 0，则在x充分接近a时，f(x)小于0。 4. 四则运算性质：设lim[f(x)] = A，lim[g(x)] = B，则有lim[f(x) + g(x)] = A + B，lim[f(x) - g(x)] = A - B，lim[f(x) * g(x)] = A * B，lim[f(x) / g(x)] = A / B（若B≠0）。 三、极限的应用 极限在实际问题中有着广泛的应用。以下列举几个典型例子： 1. 切线与切线斜率：切线是一条通过曲线上某一点的直线，切线斜 率表示曲线在该点的斜率。通过极限，我们可以准确求出曲线在某一 点的切线斜率，进而研究曲线的变化趋势并进行相关推导。 2. 物理运动问题：在物理学中，往往需要研究物体的运动状态，包 括位移、速度和加速度等。利用极限的概念，我们可以通过速度的极 限求出物体的位移，通过加速度的极限求出物体的速度，从而更全面 地描述物体的运动过程。 3. 统计学中的极限分布：在统计学中，极限分布是一类重要的分布，它描述了大样本量下统计量的分布情况。通过极限概念的运用，可以 推导出中心极限定理、大数定律等重要结果，为统计推断提供了坚实 的理论基础。 四、总结 极限作为数学的重要概念，不仅有着精确的定义和性质，而且在实 际问题中也有广泛的应用。通过深入理解极限概念的本质并灵活运用，

高考数列极限知识点总结

高考数列极限知识点总结 在高考数学中，数列极限是一个十分重要的知识点。掌握数列极限的概念、性质及计算方法可以帮助学生更好地理解数列的变化规律和数学思维方法。本文将从数列极限的定义出发，逐步介绍与之相关的重要概念和技巧。 一、数列极限的定义 数列极限是指当数列的项趋近于某个数时，数列的极限就是这个数。常用的记号是：lim(an)=A，其中a是数列的项，A是数列的极限。 二、数列极限的性质 1. 唯一性：若数列的极限存在，则极限是唯一的。 2. 有界性：若数列的极限存在，则数列是有界的。反之，若数列是有界的，则数列的极限必定存在。

3. 保序性：若数列的项逐项小于等于另一个数列的项，并且这 两个数列分别趋于同一个数，那么这两个数列的极限也满足这个 关系。 三、数列极限的计算方法 1. 数列的极限计算：我们可以通过直接观察数列的项与极限之 间的关系进行计算。例如，对于等差数列an=2n+3，我们可以观 察到当n趋近于无穷大时，数列的项趋近于无穷大。所以数列的 极限为正无穷。 2. 常用数列的极限：对于一些常见的数列，我们可以利用公式 或推导来计算它们的极限。例如，对于等比数列an=2^n，我们可 以发现当n趋近于无穷大时，数列的项趋近于无穷大。所以数列 的极限为正无穷。 四、数列极限的判断方法 1. 夹逼准则：如果数列bn≤an≤cn，并且bn与cn的极限都是L，那么数列an的极限也是L。

2. 单调有界准则：如果数列单调递增并且有上界或者数列单调递减并且有下界，那么数列的极限存在。 五、利用数列极限解题方法 1. 利用夹逼准则和单调有界准则判断数列极限是否存在。 2. 利用数列极限计算一些和式的极限，例如利用数列极限求解无穷级数的和。 3. 利用数列极限计算一些函数的极限，例如求函数在某点处的极限。 六、数列极限在实际中的应用 1. 数列极限的应用在物理学、工程学等领域中十分广泛，例如在电路分析和振动力学中经常会涉及到数列极限的计算问题。

极限知识点高三数学

极限知识点高三数学 在高中数学的学习过程中，极限是一个十分重要且常出现的概念。它不仅在解题过程中起到关键作用，而且在数学的其他分支中也有广泛的应用。本文将重点介绍高三数学中的极限知识点，帮助同学们更好地理解和掌握这一概念。 一、极限的定义 极限是指当自变量趋近于某个值时，函数值的变化趋势。一般来说，我们用符号“lim”加上一个表达式来表示极限。例如 lim(x→a)f(x)表示当自变量x趋近于a时，函数f(x)的极限。 二、常见的极限运算法则 1. 有界性定理：如果一个函数在一个区间内有定义并且有界，那么它在这个区间内必有极限。 2. 四则运算法则：对于两个函数f(x)和g(x)，如果lim(x→a)f(x)和lim(x→a)g(x)存在且有限，则有以下极限运算法则： (1) lim(x→a)(f(x)+g(x)) = lim(x→a)f(x) + lim(x→a)g(x)

(2) lim(x→a)(f(x)-g(x)) = lim(x→a)f(x) - lim(x→a)g(x) (3) lim(x→a)(f(x)g(x)) = lim(x→a)f(x) × lim(x→a)g(x) (4) lim(x→a)(f(x)/g(x)) = lim(x→a)f(x) / lim(x→a)g(x) (前提：lim(x→a)g(x) ≠ 0) 3. 复合函数极限法则：设y=f[g(x)]为由f(u)和g(x)构成的复合 函数，其中lim(x→a)g(x)=b，lim(u→b)f(u)=L，则有 lim(x→a)f[g(x)]=L。 4. 已知函数极限与极限运算法则可以联合使用。例如，如果 lim(x→a)f(x)=A，lim(x→a)g(x)=B，则有lim(x→a)(f(x)^g(x))=A^B。 三、例题分析 为了更好地理解和掌握极限的应用，我们来看几个例题： 例题1：求极限lim(x→0)(sinx/x)。 解析：由于在x→0时，sinx和x都趋近于0，我们可以利用泰 勒级数展开来计算该极限。根据泰勒展开公式，sinx可以展开为

高三数学函数的极限

13.3 函数的极限 ●知识梳理 1.函数极限的概念：（1）如果+∞ →x lim f （x ）=a 且-∞ →x lim f （x ）=a ,那么 就说当x 趋向于无穷大时，函数f （x ）的极限是a ,记作∞ →x lim f （x ）=a , 也可记作当x →∞时，f （x ）→a. （2）一般地，当自变量x 无限趋近于常数x 0（但x 不等于x 0）时，如果函数f （x ）无限趋近于一个常数a ,就说当x 趋近于x 0时，函数f （x ）的极限是a ,记作0 lim x x →f （x ）=a ,也可记作当x →x 0时，f （x ）→a . （3）一般地，如果当x 从点x =x 0左侧（即x ＜x 0）无限趋近于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数f （x ）在点x 0处的左极限，记作 - →0lim x x f （x ）=a .如果从点x =x 0右侧（即x ＞x 0）无限趋近 于x 0时，函数f （x ）无限趋近于常数a ,就说a 是函数 f （x ）在点x 0处的右极限，记作 + →0lim x x f （x ）=a . 2.极限的四则运算法则： 如果0 lim x x → f （x ）=a , 0 lim x x →g （x ）=b ,那么 lim x x →[f （x ）±g （x ）]=a ±b ; lim x x →[f （x ）·g （x ）]=a ·b ; lim x x →)()(x g x f =b a （b ≠0）. 特别提示 （1）上述法则对x →∞的情况仍成立；

（2）0 lim x x →[Cf （x ）]=C 0 lim x x →f （x ）（C 为常数）; （3）0 lim x x →[f （x ）]n =[0 lim x x →f （x ）]n （n ∈N *）. ●点击双基 1. + →0lim x x f （x ）= - →0lim x x f （x ）=a 是f （x ）在x 0处存在极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:C 2.f （x ）=⎩ ⎨ ⎧<≥,10, 12x x x 下列结论正确的是 A.)(lim 1x f x + →=- →1 lim x f （x ） B.)(lim 1x f x + →=2，)(lim 1x f x - →不存在 C.+ →1 lim x f （x ）=0, )(lim 1x f x - →不存在 D.+ →1lim x f （x ）≠- →1lim x f （x ） 答案:D 3.函数f （x ）在x 0处连续是f （x ）在点x 0处有极限的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案:A

数学中极限的名词解释

数学中极限的名词解释 数学是一门精深的科学，其中极限是一项基础概念。在数学推理中，极限可以说是起到承上启下的作用，它关乎着数学发展的方向与深度。因此，本文将详细解释数学中极限这一概念的涵义以及其在数学中的应用。 一、极限的定义 在数学中，极限主要用于描述一个数列或者函数在自变量趋近于某个数时的变化情况。对于数列来说，当数列中的项在无限接近某个值时，我们称该值为数列的极限；对于函数来说，当自变量无限接近某个值时，函数的值也无限接近某个值，我们称该值为函数的极限。 极限的数学定义是具有严格的数学形式，数学家们使用Δ-ε语言，即“对于任意的ε>0，存在一个Δ>0，使得当0

三、极限的应用 极限作为数学中重要的概念，在各个数学领域以及其他学科中都得到了广泛应用。 1. 微积分：微积分是数学的一个重要分支，而极限则是微积分的基础。在微积 分中，我们通过极限的概念来定义导数和积分，进而解决曲线的切线问题、物体的速度和加速度问题等。 2. 数列与级数：极限理论在数列与级数的研究中有重要地位。通过分析数列或 级数在极限情况下的变化，我们可以了解其发散或收敛的性质，并对其进行求和或逼近。 3. 工程学：极限的概念在工程学中也有重要意义。比如在设计桥梁或建筑物时，工程师需要通过极限荷载来保证结构的安全性；在电路设计中，通过极限电压和电流来优化电路性能。 4. 统计学：在统计学中，极限理论是重要的推理工具。例如，中心极限定理指出，当样本容量足够大时，样本均值的分布将逼近正态分布，这对于统计推断和估计具有重要意义。 四、从极限看数学的发展 极限概念的引入和发展是数学发展的重要里程碑之一。自从极限的概念提出以来，数学家们在各个数学领域中运用极限来研究新的问题，解决难题。 通过极限的引入，数学发展出微积分、实分析、复分析等多个分支，并为其他 领域的发展提供了坚实的理论基础。极限的应用贯穿于数学的始终，推动着数学的不断发展和深入探索。 总结

高中数学极限知识点

极限 一、数列的极限： 对于数列{}n x ，如果当n 无限增大时，数列的相应项n x 无限趋近一个确定的常数A ，则称当n 趋于无穷时，数列{}n x 以A 为极限，记为 )(lim ∞→→=∞ →n A x A x n n n 或 式子中“→”读作“趋于”，这时也称数列{}n x 是收敛的，若数列{}n x 没有极限，则称数列{}n x 是发散的 二、函数的极限 1.当∞→x 时函数的极限 2.当+∞→x 或-∞→x 时函数的极限 得到一个充要条件是：A x f x =∞→)(lim 的充要条件是A x f x f x x ==-∞ →+∞→)(lim )(lim 3.当0x x →时函数的极限 4.当+→0x x 或- →0x x 时函数的极限 得到一个充要条件是：A x f x x =→)(lim 0的充要条件是A x f x f x x x x ==-+→→)(lim )(lim 00 三、极限的运算法则 （1）极限的唯一性 如果极限)(lim 0x f x x →存在，则它只有一个极限，即若A x f x x =→)(lim 0，B x f x x =→)(lim 0,则A=B （2）极限的运算法则 设B x v A x u ==)(lim ,)(lim 则有 （1）[]B A x v x u x v x u ±=±=±)(lim )(lim )()(lim （2）[]B A x v x u x v x u •=•=•)(lim )(lim )()(lim （3）当0)(lim ≠=B x v 时，B A x v x u x v x u ==)(lim )(lim )()(lim 推论1 如果)(lim 0 x u x x →存在，c 为常数，则)(lim ))((lim 00x u c x cu x x x x →→= 推论2 如果)(lim 0x u x x →存在，N n ∈,则n x x n x x x u x u )](lim [)]([lim 0 0→→= 四、函数的间断点 间断点的分类：

高数极限的定义

高数极限的定义 高数中的极限是指函数在某个点上的取值趋近于一个确定的数，这个确定的数就是该点的极限。在高等数学中，极限是一个非常重要的概念，它在微积分、数学分析、实变函数等学科中都有广泛的应用。 首先，我们来看一下高数中极限的定义。设函数f(x)在x0的 某个去心邻域内有定义，如果存在常数L，对于任意给定的正 数ε（无论它多么小），总存在正数δ（也许很小），使得当 0<|x-x0|<δ时，都有|f(x)-L|<ε成立，那么就称函数f(x)当x趋近于x0时以L为极限，记作limx→x0f(x)=L。 其中，x0是函数f(x)的自变量，L是函数f(x)的因变量。ε和 δ都是正数，ε表示我们所要求的精度，δ表示自变量x与 x0的距离。当自变量x趋近于x0时，函数f(x)的取值趋近于L。 接下来，我们来看一下极限的性质。极限具有唯一性、局部有界性、保号性、保序性、四则运算法则和复合函数极限法则等性质。 唯一性：如果limx→x0f(x)=L1，limx→x0f(x)=L2，则L1=L2。

局部有界性：如果limx→x0f(x)=L，则存在常数M和δ>0， 使得当0<|x-x0|<δ时，有|f(x)|≤M成立。 保号性：如果limx→x0f(x)=L>0，则存在常数δ>0，使得当 0<|x-x0|<δ时，有f(x)>0成立。同理，如果limx→x0f(x)=L<0，则存在常数δ>0，使得当0<|x-x0|<δ时，有f(x)<0成立。 保序性：如果limx→x0f(x)=L1，limx→x0g(x)=L2，则当x足 够靠近x0时，有f(x)≤g(x)成立，则L1≤L2。 四则运算法则：设limx→x0f(x)=L1，limx→x0g(x)=L2，则有limx→x0[f(x)+g(x)]=L1+L2，limx→x0[f(x)-g(x)]=L1-L2，limx →x0[f(x)g(x)]=L1L2（如果L1和L2都不为零），limx→ x0[f(x)/g(x)]=L1/L2（如果L2不为零）。 复合函数极限法则：设limy→uφ(y)=v，limx→uψ(x)=w，则 有limx→u[φ(ψ(x))]=v，也就是说，当自变量趋近于u时， 函数复合后的极限等于先对内层函数取极限再对外层函数取极限。 最后，我们来看一下极限的应用。在微积分中，极限是求导和积分的基础；在数学分析中，极限是研究函数性质的基础；在

极限的概念及性质

极限的概念及性质 极限是数学中的重要概念之一，它具有深刻的内涵和广泛的应用。本文将介绍极限的定义、性质以及在数学和物理等领域的应用。 一、极限的定义 在数学中，极限是指一个函数或序列在自变量逼近某个确定值时，其函数值或序列项无限接近于一个确定的值。正式地说，对于函数而言，当自变量趋于某个指定的值时，函数的值趋于某个确定的值；对于序列而言，当项数趋于无穷大时，序列的项趋于某个确定的值。 二、极限的性质 1. 唯一性：极限是唯一的，即一个函数或序列只能有一个极限值。 2. 有界性：如果一个函数或序列存在极限，那么它一定是有界的，即其函数值或序列项在一定范围内。 3. 保号性：如果一个函数在某个点的左、右两边的极限存在且不相等，那么这个点就是函数的间断点。 4. 夹逼准则：如果一个函数在某点的左、右两边的极限存在，并且存在另一个函数作为中间函数，这个中间函数在这个点的函数值介于两个边界函数在该点的函数值之间，那么这个点的函数极限也存在且相等。 三、极限的应用

极限在数学和物理等领域都有广泛的应用，下面将介绍其中几个重要的应用领域。 1. 微积分 微积分是极限的重要应用领域之一。通过极限的概念，可以定义导数和积分，进而研究函数的变化率、曲线的斜率以及曲线下的面积等重要问题。微积分的发展对于数学和物理学的发展起到了重要的推动作用。 2. 物理学 在物理学中，极限的概念被广泛应用于研究物体的运动、变化以及物理定律的推导等问题。例如，研究物体的速度、加速度等与时间的关系时，需要使用到极限的概念，从而得出重要的物理方程。 3. 统计学 在统计学中，极限定理是统计推断的重要基础。中心极限定理是指当独立随机变量的和趋于无穷大时，这些随机变量的均值的分布趋近于正态分布。这一理论在统计推断中起到了重要的作用，使得通过样本数据对总体进行推断成为可能。 4. 工程学 在工程学领域，极限的概念被应用于结构力学、电路分析、信号处理等问题中。例如，通过极限分析结构的荷载承载能力，进行结构设计和优化；在电路分析中，通过极限分析电路的稳定性和性能；在信号处理中，通过极限分析信号的频谱特性等。

高数 数学极限总结

函数极限总结 一。极限的产生 极限理论是研究关于极限的严格定义、基本性质和判别准则等问题的基础理论。 极限思想的萌芽能够追溯到古希腊时期和中国战国时期,但极限概念真正意义上的首次出现于沃利斯的《无穷算数》中,牛顿在其《自然哲学的数学原理》一书中明确使用了极限这个词并作了阐述、但迟至18世纪下半叶,达朗贝尔等人才认识到,把微积分建立在极限概念的基础之上,微积分才是完善的,柯西最先给出了极限的描述性定义,之后,魏尔斯特拉斯给出了极限的严格定义(ε—δ和ε-N定义)。 从此,各种极限问题才有了切实可行的判别准则,使极限理论成为了微积分的工具和基础。［１] 二、极限知识点总结 1.极限定义 某一去心邻域内有定义,假如存在常数A,函数极限:设函数f(x)在点的ｘ 关于任意给定的正数ε(不管它多么小),总存在正数,使得当x满足不等式时,对应的函数值都满足不等式: 那么常数Ａ就叫做函数ｆ(x)当x→ｘ 时的极限,记作。［2］ 单侧极限:①。左极限:或 ②、右极限:或 定理: 函数当时极限存在的充分必要条件是左、右极限各自存在且相等即。 2.极限概念 函数极限能够分成以的极限为例,ｆ(x) 在点ｘ 以A为极限的定义是:关于

任意给定的正数ε(不管它多么小),总存在正数δ,使得当x满足不等式时,对应的函数值ｆ(x)都满足不等式:|ｆ(x)—A|＜ε,那么常数A就叫做函数f(x)当ｘ→x。时的极限。 函数极限具有唯一性、局部有限性、局部保号性[2] 3.存在准则 有些函数的极限特别难或难以直截了当运用极限运算法则求得,需要先判定、下面介绍几个常用的判定数列极限的定理、 准则Ⅰ。假如数列,及满足以下条件: （1）从某项起,即,当时,有; （2）;, 那么数列的极限存在,且 准则Ⅰ’假如(1)当(或)时, (2),, 那么存在,且等于。 夹逼定理:(1)当时,有成立 (2) ,那么,极限存在,且等于A 【准则Ⅰ,准则Ⅰ´合称夹逼定理】 准则Ⅱ:单调有界数列必有极限 准则Ⅱ＇ :设函数在点的某个左(右)邻域内单调同时有界,则在的左(右)极限必定存在［３］ 单调有界准则:单调增加(减少)有上(下)界的数列必定收敛。 柯西准则:数列收敛的充分必要条件是任给,存在,使得当,时,有成立。［2] 极限运算相关法则、定理及推论 （1）、设α、β为同一极限过程下的无穷小 (无穷小) （2）、穷小之积为无穷小

高中数学中的数列极限定义及其求解法则

高中数学中的数列极限定义及其求解法则 数列极限是高中数学课程中的一个重要内容，也是大学数学中 的基础概念之一。在高中阶段，我们需要学习数列极限的定义、 判定和求解法则，理解其本质和应用，为进一步深入学习数学打 好基础。 一、数列的极限定义 在数学中，数列是按照一定规律排列的数的序列，表示为{an}，其中an表示数列中第n个数。如1，2，3，4……即为一个自然数 数列。当数列中的数逐渐趋向于一个确定的数L时，我们称L为 该数列的极限，也称数列的极限存在。数学上表示为：lim（n→∞）an = L 其中lim表示“当n无限趋近于正无穷时的极限值”，an表示数 列中的第n个数，L为数列的极限值。 二、常用的数列极限判定法则

1. 夹逼准则 夹逼准则是求解数列极限的常用方法，其核心思路是通过夹逼 使得数列趋近于某个范围内的值。具体来说，对于数列{an}，如 果有： an ≤ bn ≤ cn, 且lim（n→∞）an = lim（n→∞）cn = L，则有lim（n→∞）bn = L。 其中，an和cn是分别代表着L的下限和上限的数列。该方法 的原理是利用如果一个数列逼近L，同时另外两个数列且夹在中间，则这两个数列同样逼近L。 例如：求解数列an =（n+2）/（2n+1）的极限。将分子分母同 时除以n，得到an = 1/2+3/（4n+2）。由于lim（n→∞）3/（4n+2）= 0，所以an的极限等于lim（n→∞）1/2=1/2。 2. 单调有界准则

单调有界准则是指如果数列{an}单调递增（或递减），且有一个数M使得|an|≤ M对于所有n成立，则该数列有极限。此时，数列的极限就是其单调递增（或递减）的极限。 例如：求解数列an =（n+1）/n²的极限。由于当n≥1时，有an ≤（n+1）/n，所以an为单调递减的数列。同时，1/n是单调递减的有界数列，其最小值为0，所以an也是单调有界的。因此，数列an有极限，其极限值等于an的单调递减极限：lim（n→∞） an=lim（n→∞）（n+1）/n²=0。 3. 常用极限公式 除了以上两种常用的数列极限判定法则，还有很多常用的极限公式，如指数函数、对数函数、三角函数等。这些公式可以在复杂的求解中起到重要的辅助作用。 例如：求解数列an = 2^n/ 3^n 的极限。对于任意正整数n，有2^n < 3^n，所以an <1。又因为 2^n> 1，3^n> 1，所以an > 0。根据夹逼准则可得lim（n→∞）an = 0。

高中数学知识点：极限

高中数学知识点：极限 1. 什么是极限？ 答：极限是一个变量趋近于某一值时（通常是无穷大或无穷小）的过程。 2. 举例说明什么是极限。 答：比如当x趋近于无穷大时，1/x的极限为0。 3. 什么是单侧极限？ 答：当变量趋近于某一点时，如果左右两侧的极限不相等，那么就存在单侧极限。 4. 什么是无穷小？ 答：当变量趋近于某一值时，如果该变量趋近于0，那么该变量被称为无穷小。 5. 无穷小与极限有何关系？ 答：无穷小是用来描述极限过程中变量的行为，也就是当变量趋近于某一值时的表现。 6. 极限存在的条件是什么？ 答：当左右两侧的极限相等时，极限才存在。 7. 极限不存在的情况有哪些？ 答：1）当左右两侧的极限不相等时；2）当左右两侧的极限均不存在时。 8. 极限的运算规则有哪些？ 答：1）极限的加减法：若lim f(x)=a，lim g(x)=b，则lim

[f(x)±g(x)]=a±b； 2）极限的乘法：若lim f(x)=a，lim g(x)=b，则lim [f(x)g(x)]=ab； 3）极限的除法：若lim f(x)=a，lim g(x)=b（b≠0），则lim [f(x)/g(x)]=a/b。 以上规则仅在极限存在的情况下成立。 9. 什么是函数的连续性？ 答：函数在某一点处连续，当且仅当该点左右两侧的极限相等，且该点处的函数值等于其极限值。 10. 极限的应用有哪些？ 答：极限在微积分中有广泛的应用，如求导、积分等。 练习题： 1. 求limx→1 (x^2-1)/(x-1)。 答：limx→1 (x^2-1)/(x-1) = limx→1 (x+1) = 2。 2. 求limx→∞ (2x+1)/(4x-2)。 答：limx→∞ (2x+1)/(4x-2) = limx→∞ (2+1/x)/(4-2/x) = 1/2。 3. 求极限limx→2 (2x+5)/|x-2|。 答：左极限：limx→2^- (2x+5)/|x-2| = -7/0^- = 无穷大；右极限：limx→2^+ (2x+5)/|x-2| = 9/0^+ = 无穷大。故该极限不存在。 4. 求limx→0 (1-cosx)/x。 答：limx→0 (1-cosx)/x = limx→0 (sinx/x)(sinx+cosx)/(1+cosx) = 1。