第3讲圆锥曲线中的热点问题
【高考考情解读】 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中．
1．直线与圆锥曲线的位置关系
(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：
将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．
(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：
将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，
直线与双曲线相离．
②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．
(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：
将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．
①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．
②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．
2．有关弦长问题
有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．
(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2
|x2－x1|或|P1P2|＝1＋1
k2|y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关
系，即作如下变形：
|x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2，
|y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2.
(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．
3．弦的中点问题
有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．
考点一圆锥曲线的弦长及中点问题
例
1
已知椭圆G ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的离心
率为6
3，右焦点(22，0)，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于A ，B 两点，以AB 为底边作等腰三角形，顶点为P (－3,2)． (1)求椭圆G 的方程； (2)求△PAB 的面积．
解 (1)由已知得c ＝22，c a ＝6
3. 解得a ＝23，又b 2＝a 2－c 2＝
4. 所以椭圆G 的方程为x 212＋y 2
4＝1. (2)设直线l 的方程为y ＝x ＋m . 由⎩⎪⎨⎪
⎧
y ＝x ＋m ，x 212＋y 24
＝1.
得4x 2＋6mx ＋3m 2－12＝0.①
设A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)(x 1 所以PE 的斜率k ＝2－m 4 －3＋3m 4＝－1. 解得m ＝2. 此时方程①为4x 2＋12x ＝0. 解得x 1＝－3，x 2＝0. 所以y 1＝－1，y 2＝2. 所以|AB |＝3 2. 此时，点P (－3,2)到直线AB ： x －y ＋2＝0的距离d ＝|－3－2＋2|2＝32 2， 所以△PAB 的面积S ＝12|AB |·d ＝9 2. 解决直线与椭圆的位置关系的相关问 题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 椭圆x 22＋y 2＝1的弦被点⎝⎛⎭ ⎫12，12平分， 则这条弦所在的直线方程是____________． 答案 2x ＋4y －3＝0 解析 设弦的两个端点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝1，y 1＋y 2＝1. ∵A ，B 在椭圆上，∴x 212＋y 21＝1，x 22 2＋y 22＝1. x 1＋x 2x 1－x 2 2＋(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0， 即 y 1－y 2x 1－x 2＝－x 1＋x 22y 1＋y 2 ＝－12， 即直线AB 的斜率为－12. ∴直线AB 的方程为y －12＝－12⎝⎛⎭ ⎫ x －12， 即2x ＋4y －3＝0. 考点二 圆锥曲线中的定值、定点问题 例 2 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1经过点(0，3)， 离心率为1 2，直线l 经过椭圆C 的右焦点F 交椭圆于A 、B 两点，点A 、F 、B 在直线x ＝4上的射影依次为D 、K 、E . (1)求椭圆C 的方程； (2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF → ，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由； (3)连接AE 、BD ，试探索当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 是否相交于定点若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由． (1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数 建立直线方程，代入椭圆方程消y 后可得点A ，B 的横坐标的关系式，然后根据向量关系式MA →＝λAF →，MB →＝μBF → 把λ，μ用点A ，B 的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k 无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l 的斜率不存在 时的特殊情况，看两条直线AE ，BD 的交点坐标，如果直线AE ，BD 相交于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE ，BD 都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线就不相交于定点． 解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝1 2，a 2＝b 2＋c 2， ∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 的方程为x 24＋y 2 3＝1. (2)因直线l 与y 轴相交，故斜率存在，设直线l 方程为 y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )， 又F 坐标为(1,0)，设l 交椭圆于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪ ⎧ y ＝kx －1，x 24＋y 23 ＝1， 消去y 得(3＋4k 2)x 2－8k 2x ＋4k 2－12＝0， ∴x 1＋x 2＝8k 2 3＋4k 2，x 1x 2＝4k 2－123＋4k 2 ， 又由MA →＝λAF → ，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)， ∴λ＝x 11－x 1，同理μ＝x 2 1－x 2 ， ∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 2 1－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－x 1＋x 2＋x 1x 2 ＝8k 2 3＋4k 2－ 24k 2－123＋4k 21－8k 2 3＋4k 2＋ 4k 2－123＋4k 2 ＝－83. 所以当直线l 的倾斜角变化时，直线λ＋μ的值为定值－8 3. (3)当直线l 斜率不存在时，直线l ⊥x 轴，则ABED 为矩形，由对称性知，AE 与BD 相交 于FK 的中点N ⎝⎛⎭ ⎫52，0， 猜想，当直线l 的倾斜角变化时， AE 与BD 相交于定点N ⎝⎛⎭ ⎫52，0， 证明：由(2)知A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴D (4，y 1)，E (4，y 2)，当直线l 的倾斜角变化时，首先证直线 AE 过定点⎝⎛⎭ ⎫52，0， ∵l AE ：y －y 2＝y 2－y 1 4－x 1(x －4)， 当x ＝5 2时，y ＝y 2＋y 2－y 14－x 1·⎝⎛⎭⎫－32 ＝24－x 1·y 2－3y 2－y 1 24－x 1 ＝24－x 1·kx 2－1－3kx 2－x 1 24－x 1 ＝ －8k －2kx 1x 2＋5kx 1＋x 2 24－x 1 ＝－8k 3＋4k 2－2k 4k 2－12＋5k ·8k 224－x 1·3＋4k 2 ＝0. ∴点N ⎝⎛⎭ ⎫52，0在直线l AE 上． 同理可证，点N ⎝⎛⎭ ⎫52，0也在直线l BD 上． ∴当直线l 的倾斜角变化时，直线AE 与BD 相交于定点⎝⎛⎭ ⎫52，0. (1)定值问题就是在运动变化中寻找不 变量的问题，基本思想是使用参数表示要解决的问题，证明要解决的问题与参数无关．在这类试题中选择消元的方向是非常关键的． (2)由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式：y －y 0＝k (x －x 0)，则直线必过定点(x 0，y 0)；若得到了直线方程的斜截式：y ＝kx ＋m ，则直线必过定点(0，m )． (2013·陕西)已知动圆过定点A (4,0)，且 在y 轴上截得弦MN 的长为8. (1)求动圆圆心的轨迹C 的方程； (2)已知点B (－1,0)，设不垂直于x 轴的直线l 与轨迹C 交于不同的两点P ，Q ，若x 轴是∠PBQ 的角平分线，证明：直线l 过定点． (1)解 如图，设动圆圆心为O 1(x ，y )，由题意，得|O 1A |＝|O 1M |， 当O 1不在y 轴上时，过O 1作O 1H ⊥MN 交MN 于H ，则H 是MN 的中 点， ∴|O 1M |＝x 2＋42， 又|O 1A |＝x －42＋y 2， ∴ x －42＋y 2＝x 2＋42， 化简得y 2＝8x (x ≠0)． 又当O 1在y 轴上时，O 1与O 重合，点O 1的坐标为(0,0)也满足方程y 2＝8x ， ∴动圆圆心的轨迹C 的方程为y 2＝8x . (2)证明 由题意，设直线l 的方程为y ＝kx ＋b (k ≠0)， P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)， 将y ＝kx ＋b 代入y 2＝8x 中， 得k 2x 2＋(2bk －8)x ＋b 2＝0. 其中Δ＝－32kb ＋64>0. 由根与系数的关系得，x 1＋x 2＝8－2bk k 2， ① x 1x 2＝b 2 k 2， ② 因为x 轴是∠PBQ 的角平分线，所以y 1x 1＋1＝－y 2 x 2＋1 ， 即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0， (kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0， 2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0 ③将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0， ∴k＝－b，此时Δ>0， ∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)． 考点三圆锥曲线中的最值范围问题 例 3(2013·浙江)如图，点P(0，－1)是椭圆C1： x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0) 的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D. (1)求椭圆C 1的方程； (2)求△ABD 面积取最大值时直线l 1的方程． 解 (1)由题意得⎩ ⎪⎨⎪⎧ b ＝1， a ＝2. 所以椭圆C 1的方程为x 24＋y 2 ＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，D (x 0，y 0)． 由题意知直线l 1的斜率存在，不妨设其为k ， 则直线l 1的方程为y ＝kx －1. 又圆C 2：x 2＋y 2＝4， 故点O 到直线l 1的距离 d ＝ 1k 2＋1 ， 所以|AB |＝24－d 2＝2 4k 2＋3 k 2＋1 . 又l 2⊥l 1，故直线l 2的方程为x ＋ky ＋k ＝0. 由⎩ ⎪⎨⎪⎧ x ＋ky ＋k ＝0，x 2＋4y 2＝4. 消去y ，整理得(4＋k 2)x 2＋8kx ＝0， 故x 0＝－8k 4＋k 2. 所以|PD |＝8k 2＋1 4＋k 2 . 设△ABD 的面积为S ，则S ＝1 2·|AB |·|PD | ＝84k 2＋34＋k 2， 所以S ＝ 324k 2 ＋3＋ 134k 2＋3 ≤322 4k 2＋3· 134k 2＋3 ＝161313， 当且仅当k ＝±10 2时取等号． 所以所求直线l 1的方程为y ＝±10 2x －1. 求最值及参数范围的方法有两种：①根 据题目给出的已知条件列出一个关于参数的函数关系式，将其代入由题目列出的不等式(即为消元)，然后求解不等式；②由题目条件和结论建立目标函数，进而转化为求函数的值域． 已知椭圆C 1与抛物线C 2的焦点均在x 轴上且C 1的中心和C 2的顶点均为坐标原点O ，从每条曲线上的各取两个点，其坐标如下表所示： (1)求C 1，C 2(2)过点A (m,0)作倾斜角为π 6的直线l 交椭圆C 1于C ，D 两点，且椭圆C 1的左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部，求m 的取值范围． 解 (1)先判断出(－6，0)在椭圆上，进而断定点(1，－3)和(4，－6)在抛物线上，故(3， 1)在椭圆上，所以椭圆C 1的方程为x 26＋y 2 2＝1，抛物线C 2的方程为y 2＝9x . (2)设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)，直线l 的方程为y ＝3 3(x －m )， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝3 3x －m x 2 6＋y 2 2＝1， 消去y 整理得2x 2－2mx ＋m 2－6＝0， 由Δ>0得Δ＝4m 2－8(m 2－6)>0， 即－23 ① 而x 1x 2＝m 2－6 2，x 1＋x 2＝m ， 故y 1y 2＝33(x 1－m )·3 3(x 2－m ) ＝1 3[x 1x 2－m (x 1＋x 2)＋m 2] ＝m 2－66. 欲使左焦点F 在以线段CD 为直径的圆的外部， 则FC →·FD →>0， 又F (－2,0)，即FC →·FD →＝(x 1＋2，y 1)·(x 2＋2，y 2) ＝x 1x 2＋2(x 1＋x 2)＋y 1y 2＋4>0. 整理得m (m ＋3)>0， 即m <－3或m >0.② 由①②可得m 的取值范围是(－23，－3)∪(0,23)． 1． 求轨迹与轨迹方程的注意事项 (1)求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点P 的运动规律，即P 点满足的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变． (2)求出轨迹方程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解(即以该方程的某些解为坐标的点不在轨迹上)，又要检验是否丢解(即轨迹上的某些点未能用所求的方程表示)．检验方法：研究运动中的特殊情形或极端情形． 2． 定点、定值问题的处理方法 定值包括几何量的定值或曲线过定点等问题，处理时可以直接推理求出定值，也可以先通过特定位置猜测结论后进行一般性证明．对于客观题，通过特殊值法探求定点、定值能达到事半功倍的效果． 3． 圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法 (1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决； (2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立起目标函数，再求这个函数的最值，在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑： ①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系； ③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； ④利用基本不等式求出参数的取值范围； ⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围. 设直线l ：y ＝k (x ＋1)与椭圆x 2＋3y 2＝a 2(a >0)相交于A 、B 两个不同的点，与x 轴相交于点C ，记O 为坐标原点． (1)证明：a 2> 3k 2 1＋3k 2 ； (2)若AC →＝2CB → ，求△OAB 的面积取得最大值时的椭圆方程． (1)证明 依题意，直线l 显然不平行于坐标轴， 故y ＝k (x ＋1)可化为x ＝1 k y －1. 将x ＝1 k y －1代入x 2＋3y 2＝a 2，消去x ， 得⎝⎛⎭ ⎫3＋1k 2y 2－2y k ＋1－a 2＝0， ① 由直线l 与椭圆相交于两个不同的点，得 Δ＝4k 2－4⎝⎛⎭ ⎫1k 2＋3(1－a 2)>0， 整理得⎝⎛⎭⎫1k 2＋3a 2>3， 即a 2>3k 2 1＋3k 2 . (2)解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)由①， 得y 1＋y 2＝ 2k 1＋3k 2 ， 因为AC →＝2CB → ，得y 1＝－2y 2， 代入上式，得y 2＝－2k 1＋3k 2 . 于是，△OAB 的面积S ＝12|OC |·|y 1－y 2|＝3 2|y 2| ＝ 3|k |1＋3k 2≤3|k |23|k |＝3 2 . 其中，上式取等号的条件是3k 2＝1，即k ＝±3 3. 由y 2＝ －2k 1＋3k 2 ，可得y 2 ＝±3 3. 将k ＝33，y 2＝－33及k ＝－3 3， y 2＝3 3这两组值分别代入①， 均可解出a 2＝5. 所以，△OAB 的面积取得最大值的椭圆方程是x 2＋3y 2＝5. (推荐时间：70分钟) 一、选择题 1． 已知方程x 2k ＋1＋y 2 3－k ＝1(k ∈R )表示焦点在x 轴上的椭圆，则k 的取值范围是 ( ) A ．k <1或k >3 B ．1 C ．k >1 D ．k <3 答案 B 解析 若椭圆焦点在x 轴上，则⎩⎪⎨⎪ ⎧ k ＋1>03－k >0k ＋1>3－k ， 解得1 2． △ABC 的顶点A (－5,0)、B (5,0)，△ABC 的内切圆圆心在直线x ＝3上，则顶点C 的轨迹方 程是 ( ) －y 2 16＝1 －y 2 9＝1 －y 2 16＝1(x >3) －y 2 9＝1(x >4) 答案 C 解析 如图|AD |＝|AE |＝8，|BF |＝|BE |＝2，|CD |＝|CF |， 所以|CA |－|CB |＝8－2＝6. 根据双曲线定义，所求轨迹是以A 、B 为焦点，实轴长为6的双曲线 的右支，方程为x 29－y 2 16＝1(x >3)． 3． 设M (x 0，y 0)为抛物线C ：x 2＝8y 上一点，F 为抛物线C 的焦点，以F 为圆心，|FM |为半 径的圆和抛物线的准线相交，则y 0的取值范围是 ( ) A ．(0,2) B ．[0,2] C ．(2，＋∞) D ．[2，＋∞) 答案 C 解析 依题意得：F (0,2)，准线方程为y ＝－2， 又∵以F 为圆心，|FM |为半径的圆和抛物线的准线相交，且|FM |＝|y 0＋2|， ∴|FM |>4，即|y 0＋2|>4， 又y 0≥0，∴y 0>2. 4． 若点O 和点F 分别为椭圆x 24＋y 23＝1的中心和左焦点，点P 为椭圆上的任意一点，则OP →·FP → 的最大值为 ( ) A ．2 B ．3 C ．6 D ．8 答案 C 解析 设P (x 0，y 0)，则 x 204＋y 203＝1，即y 2 0＝3－3x 20 4， 又因为F (－1,0)， 所以OP →·FP → ＝x 0·(x 0＋1)＋y 20＝14x 20＋x 0＋3 ＝1 4(x 0＋2)2＋2， 又x 0∈[－2,2]，即OP →·FP → ∈[2,6]， 所以(OP →·FP →)max ＝6. 5． 已知中心在原点的椭圆与双曲线有公共焦点，左、右焦点分别为F 1、F 2，且两条曲线在 第一象限的交点为P ，△PF 1F 2是以PF 1为底边的等腰三角形，若|PF 1|＝10，椭圆与双曲线的离心率分别为e 1，e 2，则e 1·e 2的取值范围是 ( ) A ．(0，＋∞) B ．(1 3，＋∞) C ．(1 5，＋∞) D ．(1 9，＋∞) 答案 B 解析 设椭圆与双曲线的半焦距为c ， PF 1＝r 1，PF 2＝r 2. 由题意知r 1＝10，r 2＝2c ， 且r 1>r 2,2r 2>r 1， ∴2c <10,2c ＋2c >10， ∴52 c 2<4， ∴e 2＝2c 2a 双＝2c r 1－r 2＝2c 10－2c ＝c 5－c ； e 1＝ 2c 2a 椭＝2c r 1＋r 2＝2c 10＋2c ＝c 5＋c . ∴e 1·e 2＝c 225－c 2 ＝125c 2－1>1 3. 二、填空题 6． 直线y ＝kx ＋1与椭圆x 25＋y 2 m ＝1恒有公共点，则m 的取值范围是________． 答案 m ≥1且m ≠5 解析 ∵方程x 25＋y 2 m ＝1表示椭圆， ∴m >0且m ≠5. ∵直线y ＝kx ＋1恒过(0,1)点， ∴要使直线与椭圆总有公共点，应有： 025＋12 m ≤1，m ≥1， ∴m 的取值范围是m ≥1且m ≠5. 7． 设F 1、F 2为椭圆x 24＋y 2 ＝1的左、右焦点，过椭圆中心任作一直线与椭圆交于P ，Q 两点， 当四边形PF 1QF 2面积最大时，PF →1·PF → 2的值等于________． 答案 －2 解析 易知当P ，Q 分别在椭圆短轴端点时，四边形PF 1QF 2面积最大． 此时，F 1(－3，0)，F 2(3，0)，不妨设P (0,1)， ∴PF →1＝(－3，－1)，PF → 2＝(3，－1)， ∴PF →1·PF →2＝－2. 8． 已知抛物线方程为y 2＝4x ，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，在抛物线上有一动点P 到y 轴 的距离为d 1，P 到直线l 的距离为d 2，则d 1＋d 2的最小值为________． 答案 52 2－1 解析 过点P 作抛物线的准线的垂线，垂足为A ，交y 轴于B ，由抛物线方程为y 2＝4x 得焦点F 的坐标为(1,0)，准线为x ＝－1，则由抛物线的定义可得 d 1＋d 2＝|PA |－|AB |＋d 2＝|PF |－1＋d 2， |PF |＋d 2大于或等于焦点F 点P 到直线l ， 即|PF |＋d 2的最小值为|1－0＋4|2＝52 2， 所以d 1＋d 2的最小值为52 2－1. 9． (2013·安徽)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 答案 [1，＋∞) 解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2＝a ， 由⎩ ⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2x 2＋y －a 2＝a 得y 2＋(1－2a )y ＋a 2－a ＝0. 即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩⎪⎨⎪⎧ a >0a －1≥0， 解得a ≥1. 三、解答题 10．已知直线x －2y ＋2＝0经过椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左顶点A 和上顶点D ，椭圆C 的右顶点为B ，点S 是椭圆C 上位于x 轴上方的动点，直线AS ，BS 与直线l ：x ＝10 3分别交于M ，N 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)求线段MN 的长度的最小值． 解 (1)如图，由题意得椭圆C 的左顶点为A (－2,0)，上顶点为 D (0,1)，即a ＝2，b ＝1. 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2 ＝1. (2)直线AS 的斜率显然存在且不为0， 设直线AS 的方程为y ＝k (x ＋2)(k ＞0)，解得M (103，16k 3)，且将直线方程代入椭圆C 的方程， 得(1＋4k 2)x 2＋16k 2x ＋16k 2－4＝0. 设S (x 1，y 1)，由根与系数的关系得(－2)·x 1＝16k 2－4 1＋4k 2. 由此得x 1＝2－8k 21＋4k 2，y 1＝4k 1＋4k 2，即S (2－8k 21＋4k 2 ，4k 1＋4k 2)． 又B (2,0)，则直线BS 的方程为y ＝－1 4k (x －2)， 联立直线BS 与l 的方程解得N (103，－1 3k )． ∴|MN |＝ ⎪⎪⎪⎪16k 3＋13k ＝16k 3＋13k ≥216k 3·13k ＝83. 当且仅当16k 3＝13k ，即k ＝14时等号成立，故当k ＝14时，线段MN 的长度的最小值为8 3. 11．在平面直角坐标系中，点P (x ，y )为动点，已知点A (2，0)，B (－2，0)，直线PA 与PB 的斜率之积为－1 2. (1)求动点P 的轨迹E 的方程； (2)过点F (1,0)的直线l 交曲线E 于M ，N 两点，设点N 关于x 轴的对称点为Q (M 、Q 不重合)，求证：直线MQ 过x 轴上一定点． (1)解 由题知：y x ＋2·y x －2＝－1 2. 化简得x 22＋y 2 ＝1(y ≠0)． (2)证明 方法一 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)， l ：x ＝my ＋1，代入x 22＋y 2 ＝1(y ≠0)整理得 (m 2＋2)y 2＋2my －1＝0. y 1＋y 2＝ －2m m 2＋2，y 1y 2 ＝－1 m 2＋2 ， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2 x 1－x 2(x －x 1)， 令y ＝0， 得x ＝x 1＋y 1x 2－x 1 y 1＋y 2 ＝my 1＋1＋my 1y 2－y 1y 1＋y 2＝2my 1y 2 y 1＋y 2＋1＝2. ∴直线MQ 过定点(2,0)． 方法二 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，Q (x 2，－y 2)， l ：y ＝k (x －1)，代入x 22＋y 2 ＝1(y ≠0)整理得 (1＋2k 2)x 2－4k 2x ＋2k 2－2＝0， x 1＋x 2＝4k 2 1＋2k 2，x 1x 2＝2k 2－21＋2k 2， MQ 的方程为y －y 1＝y 1＋y 2 x 1－x 2(x －x 1)， 令y ＝0，得x ＝x 1＋y 1x 2－x 1 y 1＋y 2 ＝x 1＋kx 1－1x 2－x 1 kx 1＋x 2－2 ＝ 2x 1x 2－x 1＋x 2 x 1＋x 2－2 ＝2. ∴直线MQ 过定点(2,0)． 12．(2013·课标全国Ⅰ)已知圆M ：(x ＋1)2＋y 2＝1，圆N ：(x －1)2＋y 2＝9，动圆P 与圆M 外 切并且与圆N 内切，圆心P 的轨迹为曲线C . (1)求C 的方程； (2)l 是与圆P ，圆M 都相切的一条直线，l 与曲线C 交于A 、B 两点，当圆P 的半径最长时，求|AB |. 解 (1)设圆P 的半径为r ， 则|PM |＝1＋r ，|PN |＝3－r ， ∴|PM |＋|PN |＝4>|MN |， ∴P 的轨迹是以M 、N 为焦点的椭圆，左顶点除外， 圆锥曲线中面积的最值问题 高考真题分析 【例1】（2019全国II 理21）已知点A (?2,0)，B (2,0)，动点M (x ,y )满足直线AM 与BM 的斜率之积为?．记 M 的轨迹为曲线C ． （1）求C 的方程，并说明C 是什么曲线； （2）过坐标原点的直线交C 于P ，Q 两点，点P 在第一象限，PE ⊥x 轴，垂足为E ，连结QE 并延长交C 于点G ． （i ）证明：是直角三角形； （ii ）求面积的最大值． 【解析】（1）由题设得 ，化简得， 所以C 为中心在坐标原点，焦点在x 轴上的椭圆，不含左右顶点． （2）（i ）设直线PQ 的斜率为k ，则其方程为． 由得，记，则． 于是直线的斜率为 ，方程为． 由得．① 设，则和是方程①的解，故，由此得． 从而直线的斜率为． 所以，即是直角三角形． 12 PQG △PQG △1222y y x x ?=-+-22 1(||2)42 x y x +=≠(0)y kx k =>2 2142 y kx x y =???+ =? ?x = u =(,),(,),(,0)P u uk Q u uk E u --QG 2k ()2 k y x u =-22 (),2142 k y x u x y ? =-????+=??22222 (2)280k x uk x k u +-+-=(,)G G G x y u -G x 22(32)2G u k x k +=+3 2 2G uk y k =+PG 3 2 22 12(32)2uk uk k u k k u k -+=-+-+PQ PG ⊥PQG △ （ii ）由（i ）得，， 所以△PQG 的面积． 设t =k + ，则由k >0得t ≥2，当且仅当k =1时取等号． 因为在[2，+∞）单调递减，所以当t =2，即k =1时，S 取得最大值，最大值为． 因此，△PQG 面积的最大值为 ． 【例2】 如图，抛物线C ：()2 20x py p =>的焦点为F ，以()()111,0A x y x ≥为直角顶点的等腰 直 角ABC △的三个顶点A ，B ，C 均在抛物线C 上． （1）过()0,3Q -作抛物线C 的切线l ，切点为R ，点F 到切线l 的距离为2，求抛物线C 的方程； （2）求ABC △面积的最小值． 【解析】（1）过点()0,3Q -的抛物线C 的切线l ：3y kx =-， 联立抛物线C ：()2 20x py p =>，得2 260x pkx p -+=， 224460p k p ?=-?=，即26pk =． ∵(0,)2 p F ，F 到切线l 的距离为|3|2p d +==， 化简得() ( ) 2 2 6161p k +=+，∴() ()2 1666616(1)p p p p ++=+=， ∵0p >，∴60p +>，得()()2 616820p p p p +-=+-=， ∴2p =，∴抛物线方程为2 4x y =． ||2PQ = 2 2||2PG k =+2 222 18() 18(1)||12(12)(2)12()k k k k S PQ PG k k k k ++===++++‖1 k 2812t S t = +16 9 16 9 八、圆锥曲线 1.圆锥曲线的两个定义： （1）第一定义中要重视“括号”内的限制条件： （1）已知定点)0,3(),0,3(21F F -，在满足下列条件的平面上动点P 的轨迹中是椭圆的是 A ．421=+PF PF B ．6 21=+PF PF C ．10 21=+PF PF D ．122221=+PF PF （答：C ）； （2）方程8表示的曲线是_____（答：双曲线的左支） （2）第二定义 已知点)0,22(Q 及抛物线4 2 x y =上一动点P （x ,y ）,则y+|PQ|的最小值是_____ （答：2） 2.圆锥曲线的标准方程 （1）椭圆： （1）已知方程1232 2=-++k y k x 表示椭圆，则k 的取值范围为____ （答：11(3,)(,2)22 ---）； （2）若R y x ∈,，且62322=+y x ，则y x +的最大值是____，22y x +的最小值是___ 2） （2）双曲线： （1）双曲线的离心率等于2 5，且与椭圆14922=+y x 有公共焦点，则该双曲线的方程_______（答：2 214 x y -=）； （2）设中心在坐标原点O ，焦点1F 、2F 在坐标轴上，离心率2=e 的双曲线C 过点)10,4(-P ，则C 的方程为_______（答：226x y -=） （3）抛物线： 3.圆锥曲线焦点位置的判断： 椭圆：已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是__（答：)2 3,1()1,( --∞） 4.圆锥曲线的几何性质： （1）椭圆 （1）若椭圆1522=+m y x 的离心率5 10=e ，则m 的值是__（答：3或325）； （2）以椭圆上一点和椭圆两焦点为顶点的三角形的面积最大值为1时，则椭圆长轴的最小值为__（答：22） （2）双曲线 （1）双曲线的渐近线方程是023=±y x ，则该双曲线的离心率等于______ （答：2或3 ）； 圆锥曲线的综合问题 1．已知椭圆x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的离心率e ＝33，左、右焦点分别为F 1，F 2，且F 2与抛物线y 2 ＝4x 的焦点重 合． (1)求椭圆的标准方程； (2)若过F 1的直线交椭圆于B ，D 两点，过F 2的直线交椭圆于A ，C 两点，且AC ⊥BD ，求|AC |＋|BD |的最小值． 解 (1)抛物线y 2 ＝4x 的焦点坐标为(1,0)，所以c ＝1， 又因为e ＝c a ＝1a ＝3 3，所以a ＝3， 所以b 2 ＝2， 所以椭圆的标准方程为x23＋y2 2＝1. 由题意知AC 的斜率为－1 k ， 所以|AC |＝43? ??? ?1k2＋13×1k2 ＋2＝43() k2＋12k2＋3. |AC |＋|BD |＝43()k2＋1? ?? ? ?13k2＋2＋12k2＋3 ＝203()k2＋12()3k2＋2()2k2＋3≥203()k2＋12?????? ()3k2＋2＋()2k2＋322 ＝ 203()k2＋12＋4 ＝163 5. 当且仅当3k 2 ＋2＝2k 2 ＋3，即k ＝±1时，上式取等号， 故|AC |＋|BD |的最小值为163 5. ②当直线BD 的斜率不存在或等于零时， 可得|AC |＋|BD |＝1033>163 5. 综上，|AC |＋|BD |的最小值为163 5 . 2．已知椭圆 C ：x2a2＋y2b2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，离心率为1 3，点P 在椭圆C 上，且△PF 1F 2 的面积的最大值为2 2. (2)已知直线l ：y ＝kx ＋2(k ≠0)与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，若在x 轴上存在点G ，使得|GM |＝|GN |，求点G 的横坐标的取值范围． 解 (1)由已知得????? c a ＝1 3 ，1 2×2c×b＝22，c2＝a2－b2， 解得a 2 ＝9，b 2 ＝8，c 2 ＝1， ∴椭圆C 的方程为x29＋y2 8 ＝1. (2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，MN 的中点为E (x 0，y 0)，点G (m ，0)，使得|GM |＝|GN |， 则GE ⊥MN . 由???? ? y ＝kx ＋2，x29＋y2 8 ＝1，得()8＋9k2x 2 ＋36kx －36＝0， 由Δ>0，得k ∈R 且k ≠0. ∴x 1＋x 2＝－36k 9k2＋8 ， 圆锥曲线整理 1．圆锥曲线的定义： (1)椭圆：|MF 1|＋|MF 2|＝2a (2a >|F 1F 2|)； (2)双曲线：||MF 1|－|MF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)； (3)抛物线：|MF |＝d . 圆锥曲线的定义是本部分的一个重点内容，在解题中有广泛的应用，在理解时 要重视“括号”内的限制条件：椭圆中，与两个定点F 1，F 2的距离的和等于常数2a ，且此常数2a 一定要大于21F F ，当常数等于21F F 时，轨迹是线段F 1F 2，当常数小于21F F 时，无轨迹；双曲线中，与两定点F 1，F 2的距离的差的绝对值等于常数2a ，且此常数2a 一定要小于|F 1F 2|，定义中的“绝对值”与2a ＜|F 1F 2|不可忽视。若2a ＝|F 1F 2|，则轨迹是以F 1，F 2为端点的两条射线，若2a ﹥|F 1F 2|，则轨迹不存在。若去掉定义中的绝对值则轨迹仅表示双曲线的一支。 2.圆锥曲线的标准方程（标准方程是指中心（顶点）在原点，坐标轴为对称轴时的标准位置的方程）： （1）椭圆：焦点在x 轴上时12222=+b y a x （0a b >>）,焦点在y 轴上时22 22b x a y +＝1 （0a b >>）。 % （2）双曲线：焦点在x 轴上：2222b y a x - =1，焦点在y 轴上：22 22b x a y -＝1（0,0a b >>）。 （3）抛物线：开口向右时22(0)y px p =>，开口向左时2 2(0)y px p =->，开口向上时22(0)x py p =>，开口向下时22(0)x py p =->。 注意：1.圆锥曲线中求基本量，必须把圆锥曲线的方程化为标准方程。 2.圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 椭圆：由x 2 ,y 2 分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 双曲线：由x 2 ,y 2 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 在椭圆中，a 最大，222a b c =+，在双曲线中，c 最大，222 c a b =+。 | 3．与双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1有相同渐近线的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2 b 2＝λ(λ≠0)，渐近线方程为y ＝±b a x 的双曲线方程也可设为x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)．要求双曲线x 2a 2－y 2b 2＝λ(λ≠0)的渐近线，只需令λ＝0即可． 4．直线与圆锥曲线的位置关系的判断是利用代数方法，即将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，根据方程组解的个数判断直线与圆锥曲线的位置关系． 解决直线与圆锥曲线问题的通法 (1)设方程及点的坐标． (2)联立直线方程与曲线方程得方程组，消元得方程． (3)应用韦达定理及判别式． (4)结合已知、中点坐标公式、斜率公式及弦长公式求解． — 5．若直线与圆锥曲线交于两点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)，且直线P 1P 2的斜率为k ， 则弦长|P 1P 2|＝1＋k 2|x 1－x 2|＝ 1＋1 k 2|y 1－y 2|(k ≠0)．|x 1－x 2|，|y 1－y 2|的求法， 通常使用根与系数的关系，需要作下列变形：|x 1－x 2|＝x 1＋x 2 2－4x 1x 2，|y 1 －y 2|＝ y 1＋y 2 2－4y 1y 2. 6．与圆锥曲线的弦的中点有关的问题 (1)通法．联立方程利用根与系数的关系 (2)“点差法”．点差法的作用是用弦的中点坐标表示弦所在直线的斜率． 点差法的步骤： ①将两交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)的坐标代入曲线的方程． ②作差消去常数项后分解因式得到关于x 1＋x 2，x 1－x 2，y 1＋y 2，y 1－y 2的关系式． 圆锥曲线中的热点问题 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0 时，直线与双曲线相离． ②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)． ①当a≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2．有关弦长问题 有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2 |x2－x1|或|P1P2|＝1＋1 k2 |y2－y1|，其中求|x2－x1|与|y2－y1|时通常使用根与系数的关系，即作如下变形： |x2－x1|＝x1＋x22－4x1x2， |y2－y1|＝y1＋y22－4y1y2. (2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)． 3．弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算． 考点一圆锥曲线的弦长及中点问题 《圆锥曲线的离心率》热点题型探究 圆锥曲线的离心率是圆锥曲线的固有性质，不会随着建系的不同而变化．离心率是一个比值，在椭圆和双曲线中，能得到a ，b ，c 的一个等量关系就可以求出离心率．但要注意椭圆的离心率0 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题) 热点一 最值问题 求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键 (1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等； (2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程； (3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值. 例1 (2019·曲靖模拟)设F 1，F 2分别是离心率为22的椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的左、右 焦点，经过点F 2且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为 2. (1)求椭圆E 的方程； (2)设直线l ：y ＝x ＋m 与椭圆E 交于A ，B 两点，线段AB 的垂直平分线交x 轴于点P ，当m 变化时，求△P AB 面积的最大值. 解 (1)由椭圆的离心率e ＝c a ＝2 2， 得a ＝2c ，b 2＝a 2－c 2＝c 2， ∴a ＝2b ，由经过点F 2且与x 轴垂直的直线被椭圆截得的弦长为2， 得2b 2 a ＝2，解得a ＝2，则 b ＝1， ∴椭圆E 的标准方程为x 22＋y 2 ＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 联立????? x 2 2＋y 2＝1，y ＝x ＋m ，得3x 2＋4mx ＋2m 2－2＝0. ∵直线与椭圆有两个不同的交点， ∴Δ＝(4m )2－12(2m 2－2)＞0，即－3＜m ＜3，且m ≠0， 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝2m 2－23 ， 设AB 的中点为C ，则C 点横坐标为x C ＝x 1＋x 22＝－2m 3，纵坐标为y C ＝x C ＋m ＝m 3. ∴C ??? ?－2m 3，m 3， ∴线段AB 的垂直平分线方程为y －m 3＝－????x ＋2m 3， ∴P 点坐标为????－m 3，0，P 到直线AB 的距离d ＝??? ?23m 2 . 由弦长公式得|AB |＝2·(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝2 3 ·24－8m 2. ∴S △P AB ＝12× ??? ?23m 2 × 23 ×24－8m 2 ＝ 229 m 2(3－m 2)≤229×m 2＋3－m 22＝2 3 . 当且仅当m 2＝32，即m ＝±6 2∈(－3，0)∪(0，3)时等号成立. ∴△P AB 面积的最大值为 2 3 . 跟踪演练1 (2019·成都诊断)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0) 的左、右焦点分别为F 1，F 2，且|F 1F 2|＝2.P 是椭圆C 上任意一点，满足|PF 1|＋|PF 2|＝2 2. (1)求椭圆C 的标准方程； (2)设直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 相交于A ，B 两点，且|AB |＝2，M 为线段AB 的中点，求|OM |的最大值. 解 (1)由椭圆定义可知2a ＝22， ∴a ＝2， 由|F 1F 2|＝2可得c ＝1， ∴b 2＝a 2－c 2＝1， 故椭圆C 的标准方程为x 22 ＋y 2 ＝1. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立????? y ＝kx ＋m ， x 2＋2y 2＝2， 圆锥曲线大题题型归纳梳理 圆锥曲线中的求轨迹方程问题 解题技巧 求动点的轨迹方程这类问题可难可易是高考中的高频题型，求轨迹方程的主要方法有直译法、相关点法、定义法、参数法等。 【例1.】已知平面上两定点),,(),,(2020N M -点P 满足MN MP =•求点P 的轨迹方程。 【例2.】已知点P 在椭圆14 22 =+y x 上运动，过P 作y 轴的垂线，垂足为Q ，点M 满足,PQ PM 3 1 =求动点M 的轨迹方程。 【例3.】已知圆),,(,)(:023622 2 B y x A =++点P 是圆A 上的动点，线段PB 的中垂线交 PA 于点Q ，求动点Q 的轨迹方程。 【例4.】过点),(10的直线l 与椭圆14 2 2 =+y x 相交于B A ,两点，求AB 中点M 的轨迹方程。 巩固提升 1. 在平面直角坐标系xOy 中，点()(),,,,4010B A 若直线02++-m y x 上存在点P ,使得 ,PB PA 2 1 = 则实数m 的取值范围为_________________. 2. 已知()Q P ,,24-为圆42 2 =+y x O :上任意一点，线段PQ 的中点为,M 则OM 的取值 范围为________________. 3. 抛物线x y C 42 :的焦点为,F 点A 在抛物线上运动，点P 满足,FA AP 2-=则动点P 的轨迹方程为_____________________. 4. 已知定圆,)(:10042 2 =++y x M 定点),,(40F 动圆P 过定点F 且与定圆M 内切，则动圆圆心P 的轨迹方程为____________________. 5. 已知定直线,:2-=x l 定圆,)(:442 2 =+-y x A 动圆H 与直线l 相切，与定圆A 外切，则动圆圆心H 的轨迹方程为____________________ 6. 直线033=+-+t y tx l :与抛物线x y 42=的斜率为1的平行弦的中点轨迹有公共点，则实数t 的取值范围为_________________. 7. 抛物线y x 42 =的焦点为,F 过点),(10-M 作直线l 交抛物线于B A ,两点，以BF AF ,为邻边作平行四边形,FARB 求顶点R 的轨迹方程。 8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 与椭圆112 242 2=+y x C : 相交于B A ,两点，O 为坐标原点。 （1）若直线l 的方程为,062=-+y x 求OB OA •的值； （2）若,12-=•OB OA 求线段AB 的中点M 的轨迹方程。 圆锥曲线高考热点题型归纳 山东 王光天 圆锥曲线的考题一般以两个选择、一个填空、一个解答题，客观题的难度为中等，解答题目相对较难，同时平面向量的介入，增加了本专题高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大亮点，备受命题者的青睐，本专题还经常结合函数、方程、不等式、数列、三角等知识进行综合考查。 下面对圆锥曲线在高考中出现的热点题型作简单的探究： 一、圆锥曲线的定义与标准方程： 例1、设12F F ，分别是双曲线2 2 19y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上，且120PF PF =，则12PF PF +=（ ） A B ． C D ．解析．设12F F ，分别是双曲线2 219 y x +=的左、右焦点．若点P 在双曲线上， 且120PF PF =，则12PF PF +=2||PO =12||F F =B 。 点评：圆锥曲线的定义反映了它们的图形特点，是画图、解题的依据和基础，在实际问题中 正确的使用定义可以使问题的解决更加灵活。同时平面向量与圆锥曲线的有机结合也是考查的重点和难点，是高考常常考查的重要内容之一。 变式练习：已知12,F F 是椭圆2 214 x y +=的两个焦点，P 是椭圆上一个动点，则12PF PF ⋅的最大值为（ ） （A ） 1 （B ） 2 （C ） 3 （D ） 4 解析：本题主要考查了椭圆的定义，根据条件124PF PF +=， 所以2 121242PF PF PF PF ⎛+⎫⋅≤= ⎪⎝⎭ ，所以12PF PF ⋅的最大值为4 故答案选 D 二、圆锥曲线的几何性质： 例2、设F 1，F 2分别是双曲线22 221x y a b -=的左、右焦点。若双曲线上存在点A ，使∠F 1AF 2=90º，且|AF 1|=3|AF 2|，则双曲线离心率为 (A) (B) (C) (D) 专题5 圆锥曲线中的定点问题 一、考情分析 定点问题一直是圆锥曲线中的热点问题，高考主要考查直线过定点问题，有时也会涉及圆过定点问题． 二、解题秘籍 (一) 求解圆锥曲线中定点问题的思路与策略 1．处理定点问题的思路： (1)确定题目中的核心变量（此处设为k ） (2)利用条件找到k 与过定点的曲线(),0F x y = 的联系，得到有关k 与,x y 的等式 (3)所谓定点，是指存在一个特殊的点()00,x y ，使得无论k 的值如何变化，等式恒成立。此时要将关于k 与 ,x y 的等式进行变形，直至易于找到00,x y 。常见的变形方向如下： ① 若等式的形式为整式，则考虑将含k 的项归在一组，变形为“()k ⋅”的形式，从而00,x y 只需要先让括 号内的部分为零即可 ② 若等式为含k 的分式， 00,x y 的取值一方面可以考虑使其分子为0，从而分式与分母的取值无关；或者考虑让分子分母消去k 的式子变成常数（这两方面本质上可以通过分离常数进行相互转化，但通常选择容易观察到的形式） 2．处理定点问题两个基本策略： (1)引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点． (2)特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关． 【例1】（2022届北京大学附属中学高三12月月考）已知点()11,0F -，()21,0F ，曲线C 上的动点M 满足 12122MF MF F F +=． （1）求曲线C 的方程； （2）若直线1MF 与曲线C 相交于另一点N ，当直线MN 不垂直于x 轴时，点M 关于x 轴的对称点为P ，证明：直线PN 恒过一定点． 【分析】（1）由题意得出12124MF MF F F +=>，根据椭圆的定义可知曲线C 是以1F ，2F 为焦点，长轴长为4的椭圆，从而可求出椭圆方程； 椭圆题型总结 一、 椭圆的定义和方程问题 (一) 定义: 1. 命题甲:动点P 到两点B A ,的距离之和);,0(2常数>=+a a PB PA 命题乙:P 的轨迹是以A 、B 为焦 点的椭圆,则命题甲是命题乙的 < B > A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 2. 已知1F 、2F 是两个定点,且421=F F ,若动点P 满足421=+PF PF 则动点P 的轨迹是〔 D A.椭圆 B.圆 C.直线 D.线段 3. 已知1F 、2F 是椭圆的两个焦点,P 是椭圆上的一个动点,如果延长P F 1到Q ,使得2PF PQ =,那么动 点Q 的轨迹是< B > A.椭圆 B.圆 C.直线 D.点 4. 椭圆 19 252 2=+y x 上一点M 到焦点1F 的距离为2,N 为1MF 的中点,O 是椭圆的中心,则ON 的值是 4 。 5. 选做：F 1是椭圆15 92 2=+y x 的左焦点,P 在椭圆上运动,定点A 〔1,1,求||||1PF PA +的最小值。 解：26||2||2||||||221-=-≥-+=+AF a PF a PA PF PA (二) 标准方程求参数范围 1. 试讨论k 的取值范围,使方程1352 2=-+-k y k x 表示圆,椭圆,双曲线。 〔略 2. 轴上的椭圆”的表示焦点在”是“方程“y ny mx n m 102 2=+>>< C > A.充分而不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 3. 若方程1cos sin 2 2 =+ααy x 表示焦点在y 轴上的椭圆,α所在的象限是〔 A A.第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 方程2 31y x -=所表示的曲线是 椭圆的右半部分 . 5. 已知方程22 2 =+ky x 表示焦点在X 轴上的椭圆,则实数k 的范围是 k>1 (三) 待定系数法求椭圆的标准方程 1. 根据下列条件求椭圆的标准方程： 〔1两个焦点的坐标分别为〔0,5和〔0,－5,椭圆上一点P 到两焦点的距离之和为26； 〔2长轴是短轴的2倍,且过点〔2,－6； 〔3已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴,且经过两点)2,3(),1,6(21--P P ,求椭圆方程. 2. 简单几何性质 1． 求下列椭圆的标准方程〔1 32,8= =e c ； 〔2过〔3,0点,离心率为 36 = e 。 〔3椭圆的对称轴为坐标轴上,短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形,焦点到椭圆的最近距离是3。 〔4椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为5,焦点到椭圆中心的距离为3,则椭圆的标准方程为 〔5已知P 点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,点P 到两焦点的距离分别为354和3 52,过P 作长轴的垂线恰好过椭圆的一个焦点。 高三理科数学二轮复习专题 圆锥曲线中的热点问题 之 定值（点）问题 临澧县第一中学 于坤华 备考要点： 1、在圆锥曲线的综合性问题中定值（点）问题一直是我们学习的难点。特别是2015年的高考中，全国卷I 卷的第20题的第II 问和全国卷的II 卷 的第20题第I 问都是与定值定点相关的问题． 2、解析几何中几何量的定值和曲线系(直线系)过定点等问题，处理时通常有以下两种处理方案： ①从特殊入手，求出定点和定值，再证明这个点（值）与变量无关； （即特值检验思想） ②可以直接计算推理，在计算中消去变量，从而得到求出定值（点）． （先引入参数，再演绎推理消去参数） 3、对于客观试题，通过特值法探求定值更能达到事半功倍的效果． 典例精析： 【例1】（1）椭圆 221a b +上两点A 、B 与中心O 的连线互相垂直，则2211OB OA +的值为（ ） A. 221b a + B. 221b a C. 2222b a b a + D. 2 222b a b a + （2）过点)0(， p M 任作一条直线交抛物线)0(22>=p px y 于P 、Q 两点,则2211 MQ MP +的值为 （ ） A. 241p B. 221p C. 22p D. 21p （3）如图，过抛物线y ＝14x 2的焦点的直线交抛物线 与圆x 2＋(y －1)2＝1于A 、B 、C 、D 四点，则 |AB |·|CD |＝ ． （4）已知抛物线C 的方程为y ＝x 2－2m 2x －(2m 2＋1) (m ∈R)，则抛物线C 恒过定 点 ． 【例2】 已知椭圆C 经过点A (1，32)，两个焦点为(－1，0)，(1 ①求椭圆C 的方程； ②设E ，F 是椭圆C 上的两个动点，如果直线AE 与 AF 的斜率互为相反数，证明直线EF 并求出这个定值． 思 考：（1）将本例②条件不变，改为证明与共线，可以处理吗？ （其中G 为C 的左顶点） （2）将本例②条件不变，改为求AEF 的面积的最大值，可以处理吗？ 【例3】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为12，过点N (0，3)，A 1为椭圆C 的 右端点． ①求椭圆C 的方程； ②若直线l ：y ＝kx ＋m 与椭圆C 交于A 、B 两点 (A 、B 不是左、右端点)且满足AA 1⊥BA 1， 试证明直线l 过定点，并求出定点坐标． 思 考：（1）将本例②条件不变，改为判断点O 与以AB 为直径的圆的位置关系？ （2）将本例②改为以AB 为直径的圆是否恒过定点，可以处理吗？ 强化练习：（见二轮配套同步资料）+ 补充以下两题： 学生姓名 年级 授课时间 教师姓名 课时 2h 课 题 圆锥曲线综合复习 教学目标 1. 求轨迹方程 2. 直线与椭圆的位置关系 3. 弦长问题 4. 中点弦问题 5. 焦点三角形（定义和余弦定理或勾股定理） 6. 最值问题 【知识点梳理】 一、直线与圆锥曲线的位置关系 注意：直线与椭圆、抛物线联立后得到的方程一定是一元二次方程（二次项系数a 不为0），但直线与双曲线联立后得到的不一定是一元二次方程，因此需分类讨论。 即： 1． 一次方程，只有一个解，说明直线与双曲线相交，只有一个交点，此时直线与渐进性平行； 2． 二次方程，⎪⎩ ⎪⎨⎧>∆=∆<∆，有两个交点（相交），有一个交点（相切）无解，没有交点00,0 因此在做题过程中，若直线与双曲线 ①没有交点：00<∆≠且a ②有一个交点：000=∆≠=且或者a a ③有两个交点：00>∆≠且a 此外，在设直线方程时，要注意直线斜率不存在的情况。 二、直线与圆锥曲线相交的弦长公式 设直线l :y=kx+n ，圆锥曲线：F(x,y)=0，它们的交点为P 1 (x 1,y 1)，P 2 (x 2,y 2)， 且由⎩⎨⎧+==n kx y y x F 0),(，消去y →ax 2+bx+c=0（a ≠0），Δ=b 2 －4ac >0。 则弦长公式为： 4)(1 ||1||212212122x x x x k x x k AB ⋅-+⋅+=-⋅+=。 三、用点差法处理弦中点问题 设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。我们称这种代点作差的方法为“点差法”。 【典型例题】 题型一 直线与圆锥曲线的交点问题 例1 k 为何值时，直线2y kx =+和曲线22 236x y +=有两个公共点有一个公共点没有公共点 例2． 已知直线y=kx+2与双曲线622=-y x 的右支交于不同的两点，求k 的取值范围。 圆锥曲线高考考查热点分析 热点六：弦或弦长为定值、最值问题 1、已知△OFQ 的面积为26，OF FQ m ⋅= （1646m ≤≤，求OFQ ∠正切值的取值范围； （2）设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过点Q （如图），26 ||,(1)OF c m c ==- 当 ||OQ 取得最小值时，求此双曲线的方程。 解析：（1）设OFQ θ∠= ||||cos()1 ||||sin 6 2 OF FQ m OF FQ πθθ⎧⋅-=⎪ ⎨⋅⋅=⎪⎩46tan θ⇒= 646m ≤≤ 4tan 1θ-≤≤- （2）设所求的双曲线方程为22 1111221(0,0),(,),(,)x y a b Q x y FQ x c y a b -= >> =-则 ∴11||||262OFQ S OF y ∆= ⋅=146 y = 又∵OF FQ m ⋅=，∴21116 (,0)(,)()( 1OF FQ c x c y x c c c ⋅=⋅-=-⋅= ) 222 11126963,||12.8 c x OQ x y c ∴= ∴=+=+≥ 当且仅当4c =时，||OQ 最小，此时Q 的坐标是(6,6)或(6,6) 2222 2266 141216 a a b b a b ⎧⎧-==⎪⎪ ∴ ⇒⎨⎨=⎪⎩⎪+=⎩ ，所求方程为22 1.412x y -= 2、已知椭圆14 22 2=+y x 两焦点分别为F 1、F 2，P 是椭圆在第一象限弧上一点，并满足121=⋅PF PF ，过P 作 倾斜角互补的两条直线PA 、PB 分别交椭圆于A 、B 两点.（Ⅰ）求P 点坐标；（Ⅱ）求证直线AB 的斜率为定值；（Ⅲ）求△PAB 面积的最大值. 解：（Ⅰ）由题可得)2,0(1F ，)20(2-F ，设)0,0(),(00000>>y x y x P 则)2,(001y x PF --=， )2,(001y x PF ---=， ∴1)2(20 2 21=--=⋅y x PF PF ，∵点),(00y x P 在曲线上，则1422020=+y x ，∴2 42 02 0y x -=，从而1)2(2 4202 0=---y y ，得20=y .则点P 的坐标为)2,1(. （Ⅱ）由题意知，两直线PA 、PB 的斜率必存在，设PB 的斜率为)0(>k k ，则BP 的直线方程为：)1(2--x k y .由⎪⎩⎪ ⎨⎧=+ -=-14 2)1(222y x x k y 得x k k x k )2(2)2(22-++ 04)2(2=--+k ，设),(B B y x B ，则 2222222212)2(2,2)2(21k k k k k k x k k k x B B +--=-+-=+-=+，同理可得2 22)222k k k x A +-+=，则2 224k k x x B A +=-，228)1()1(k k x k x k y y B A B A +=----=-.所以：AB 的斜率2=--=B A B A AB x x y y k 为定值. （Ⅲ）设AB 的直线方程：m x y +=2.由⎪⎩⎪ ⎨⎧=+ +=14 2222y x m x y ，得0422422=-++m mx x ， 由0)4(16)22(22>--=∆m m ，得2222<<-m P 到AB 的距离为3 | |m d = ， 则3 ||3)214(21||212m m d AB S PAB ⋅ ⋅-=⋅=∆2)28(81)8(812222 2=+-≤+-=m m m m 。 当且仅当() 22,222-∈±=m 取等号∴三角形PAB 面积的最大值为2。 3、已知椭圆2 212 x y +=的左焦点为F ，O 为坐标原点。 （I ）求过点O 、F ，并且与椭圆的左准线l 相切 的圆的方程；（II ）设过点F 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆于A 、B 两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴交 2021高考数学热点题型专题03解析几何理 热点一 圆锥曲线中的最值问题 圆锥曲线中的最值问题是高考中的热点问题，常涉及不等式、函数的值域问题，综合性比较强，解法灵活多变，但总体上要紧有两种方法：一是利用几何方法，即利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（些）参数的函数（解析式），然后利用函数方法、不等式方法等进行求解. 题型一 利用几何性质求最值 【例1】设P 是椭圆x 225＋y 2 9＝1上一点，M ，N 分别是两圆：(x ＋4)2＋y 2＝1和(x －4)2＋y 2 ＝1上的点，则|PM | ＋|PN |的最小值、最大值分别为( ) A ．9，12 B ．8，11 C ．8，12 D ．10，12 答案 C 【类题通法】 利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解，也叫做几何法． 【对点训练】 如图所示，已知直线l ：y ＝kx －2与抛物线C ：x 2 ＝－2py (p >0)交于A ，B 两点，O 为坐标原点，OA ＋OB ＝(－4，－12)． (1)求直线l 和抛物线C 的方程； (2)抛物线上一动点P 从A 到B 运动时，求△ABP 面积的最大值． 解析 (1)由⎩ ⎪⎨⎪⎧ y ＝kx －2， x 2 ＝－2py ，得x 2 ＋2pkx －4p ＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝－2pk ，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)－4＝－2pk 2 －4. 因为OA ＋OB ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)＝(－2pk ，－2pk 2 －4)＝(－4，－12)，因此⎩ ⎪⎨⎪⎧ －2pk ＝－4， －2pk 2 －4＝－12，解得 ⎩⎪⎨⎪⎧ p ＝1， k ＝2. (自己整理)圆锥曲线常考题型总结-配有大 题及练习 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 圆锥曲线大综合 第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题 一．常考题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题 题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题 题型十：范围为题（本质是函数问题） 题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆） 二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题 2.交点与中点弦问题 3.弦长及面积问题 4.对称问题 5.范围问题 6.存在性问题 7.最值问题 8.定值，定点，定直线问题 第二部分 知识储备 一． 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题） 1. 判别式：24b ac ∆=- 2. 韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则 12b x x a +=- ，12c x x a ⋅= 3. 求根公式：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则 1,2x =二．与直线相关的知识 1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式 2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈； ②点到直线的距离公式： d =（一般式）或d = （斜截 式） 3. 弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 1212)AB x AB y =-==-或 4. 两直线1111122222: ,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系： ① 12121l l k k ⊥⇔⋅=- ②121212//l l k k b b ⇔=≠且 5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则 111 2 ,22 x x y y x y ++= = 三．圆锥曲线的重要知识 考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线 1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。 2. 圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程 ②双曲线的标准方程 ③抛物线的标准方程 3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数,,a b c 三者的关系，p 的几何意义等 4. 圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆22b a ，双曲线2 2b a ，抛物线2p ②焦点三角形的面积：p 在椭圆上时12 2tan 2 F PF S b θ =⋅ . 高三数学专题复习 圆锥曲线中的最值问题和范围的求解策略 最值问题是圆锥曲线中的典型问题,它是教学的重点也是历年高考的热点。解决这类问题不仅要紧紧把握圆锥曲线的定义,而且要善于综合应用代数、平几、三角等相关知识。以下从五个方面予以阐述。 一．求距离的最值或范围： 例1.设AB 为抛物线y=x 2 的一条弦,若AB=4,则AB 的中点M 到直线y+1=0的最短距离为, 解析：抛物线y=x 2 的焦点为F 〔0 , 41,准线为y=41-,过A 、B 、M 准线y=4 1 -的垂线,垂足分别是A 1、B 1、M 1,则所求的距离d=MM 1+43=212020高考热点圆锥曲线面积的最值问题
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