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直线与圆锥曲线中的探索性问题分类解析
作者：慕泽刚
来源：《高中生·高考指导》2014年第03期
一、探索直线与圆锥曲线的位置关系问题
例1 已知椭圆C： + =1（a>b>0）的焦距为4，且过点P（，）.
（Ⅰ）求椭圆C的方程.
（Ⅱ）设Q（x0，y0）（x0y0≠0）为椭圆C上的一点，过点Q作x轴的垂线，垂足为E，取点A（0，2 ），连接AE，过点A作AE的垂线交x轴于点D，点G是点D关于y轴的对称点，作直线QG.问：这样作出的直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点？请说明理由.
难度系数 0.26
分析解答第（Ⅰ）题时，我们可以根据题意确定半焦距c的大小，再将P（，）代入方程建立方程组，从而确定椭圆的方程.解答第（Ⅱ）题时，我们可以根据AD⊥AE确定出点D 的坐标，从而得到直线QG的方程，并对其进行化简.根据点Q在椭圆上，将点Q的坐标代入方程，得到关于x的二次方程，解出方程的根，则可判断直线QG是否与椭圆C一定有唯一的公共点.
解（Ⅰ）由于焦距为4，所以a2-b2= 4.又椭圆经过点P（，），所以有 + =1.
联立上述两个等式，可得a2=8，b2=4.
故椭圆C的方程是 + =1.
（Ⅱ）根据题意可知，点E的坐标为（x0，0）.设点D的坐标为（xD，0），则有 =
（x0，-2 ）， =（xD，-2 ）.
由AD⊥AE，可知 · = 0，即x0xD +8=0.由于x0xD≠0，所以xD =- .
由于点G是点D关于y轴的对称点，所以点G的坐标为（，0）.所以直线QG的斜率kQG= = .
又点Q（x0，y0）在椭圆上，所以x20+2y20=8，从而有kQG =- .故直线QG的方程为y=- （x- ）.将其代入椭圆C的方程有（x20+2y20）x2-16x0x+64-16y20=0，整理得x2-2x0x+x20=0.解得x=x0，y=y0，即直线QG与椭圆C一定有唯一的公共点.
圆锥曲线中的存在、探索性问题 一、考情分析 圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因 而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨． 二、经验分享 解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法． 三、知识拓展 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论及证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。 探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明： 1、条件追溯型 这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆及否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。 2、结论探索型 这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确及否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。
第3讲圆锥曲线中的热点问题 考情解读 1.本部分主要以解答题形式考查，往往是试卷的压轴题之一，一般以椭圆或抛物线为背景，考查弦长、定点、定值、最值、范围问题或探索性问题，试题难度较大.2.求轨迹方程也是高考的热点与重点，若在客观题中出现通常用定义法，若在解答题中出现一般用直接法、代入法、参数法或待定系数法，往往出现在解答题的第(1)问中． 1．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)直线与椭圆的位置关系的判定方法： 将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离． (2)直线与双曲线的位置关系的判定方法： 将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)． ①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离． ②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点． (3)直线与抛物线的位置关系的判定方法： 将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c ＝0)． ①当a≠0时，用Δ判定，方法同上． ②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点． 2．有关弦长问题 有关弦长问题，应注意运用弦长公式；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算． (1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长|P1P2|＝1＋k2|x2 －x1|或|P1P2|＝1＋1 k2|y2－y1|. (2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题 有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4．轨迹方程问题
关于圆锥曲线的中点弦问题 直线与圆锥曲线相交所得弦中点问题，是解析几何中的重要内容之一，也是高考的一个热点问题。这类问题一般有以下三种类型： （1）求中点弦所在直线方程问题； （2）求弦中点的轨迹方程问题； （3）求弦中点的坐标问题。其解法有代点相减法、设而不求法、参数法、待定系数法及中心对称变换法等。 一、求中点弦所在直线方程问题 例1 过椭圆14 162 2=+y x 内一点M （2，1）引一条弦，使弦被点M 平分，求这条弦所在的直线方程。 解法一：设所求直线方程为y-1=k(x-2)，代入椭圆方程并整理得： 016)12(4)2(8)14(2222=--+--+k x k k x k 又设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），则21,x x 是方程的两个根，于是 1 4) 2(82 221+-=+k k k x x ， 又M 为AB 的中点，所以21 4) 2(422 221=+-=+k k k x x ， 解得2 1 -=k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法二：设直线与椭圆的交点为A(11,y x )，B （22,y x ），M （2，1）为AB 的中点， 所以421=+x x ，221=+y y ， 又A 、B 两点在椭圆上，则1642 12 1=+y x ，1642 22 2=+y x ， 两式相减得0)(4)(2 22 12 22 1=-+-y y x x ， 所以 21)(421212121-=++-=--y y x x x x y y ，即21 -=AB k ， 故所求直线方程为042=-+y x 。 解法三：设所求直线与椭圆的一个交点为A(y x ,)，由于中点为M （2，1）， 则另一个交点为B(4-y x -2,)， 因为A 、B 两点在椭圆上，所以有???=-+-=+16 )2(4)4(1642 222y x y x ， 两式相减得042=-+y x ， 由于过A 、B 的直线只有一条， 故所求直线方程为042=-+y x 。 二、求弦中点的轨迹方程问题 例2 过椭圆 136 642 2=+y x 上一点P （-8，0）作直线交椭圆于Q 点，求PQ 中点的轨迹方程。 解法一：设弦PQ 中点M （y x ,），弦端点P （11,y x ），Q （22,y x ），
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 2 4+ y 23 =1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆 C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值. 2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程; (2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由. 3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2 a 2−y 2 b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程; (2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0
(1)求椭圆C 的方程; (2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1 λ+1 μ 为定值. 5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切. (1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程; (2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B. ①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB. 6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
专题 圆锥曲线综合应用（3）- 定点、定值、探索性问题 一、 高考题型特点： 定点、定值、探索性问题是高考圆锥曲线大题中的常考题型，难度中等偏上。 二、重难点： 1. 定点的探索与证明问题： (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b ， k 等量关系进行消元， 借助于直线系方程找出定点； (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况． 2. 解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握： (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以求出定值． 3. 存在性问题的解题步骤： (1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)． (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论． 三、易错注意点： 本部分对学生的能力要求较高，解题中主要数形结合及各种方法的综合应用，同时对数学推理运算能力有很高的要求。解决定值、定点问题，不要忘记特值法。 四、典型例题： 例1.（2019北京卷）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II) 设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直 线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点. 【解析】（I ）由抛物线2:2C x py =-经过点 ()2,1-，得2p =. 所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. （II ）抛物线C 的焦点为 ()0,1-，设直线l 的方程为()10y kx k =-≠. 由241 x y y kx ?=-?=-?，得2440x kx +-=. 设()()1122,,,,M x y N x y 则1 2 4x x =-.
第三章解析几何 专题14 圆锥曲线中的探索性问题 【压轴综述】 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等. 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解存在性和探索性问题等. 1.探究性问题求解的思路及策略 (1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． 在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别． 2.解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立. （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去. （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解. 【压轴典例】 例1.（2019·湖北高三开学考试（文））设O为坐标原点，动点M在椭圆E: 22 1 42 x y +=上，过点M作x 轴的垂线，垂足为N，点P满足2 NP NM =.
第3课时 证明与探索性问题 题型一 证明问题 例1(2017·全国Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2 2＋y 2 ＝1上，过M 作x 轴的垂线， 垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM → . (1)求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ → ＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . (1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)， NP → ＝(x －x 0，y )，NM → ＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM → 得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 2 2＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2 ＋y 2 ＝2. (2)证明 由题意知F (－1,0)． 设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ → ＝(－3，t )， PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF → ＝3＋3m －tn ， OP → ＝(m ，n )，PQ → ＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2 ＝1. 又由(1)知m 2 ＋n 2 ＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ， 所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法． 跟踪训练1 已知椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点A (0,1)，离心率e ＝63 ，圆C ：x 2＋y 2 ＝4，从圆C 上任意一点P 向椭圆T 引两条切线PM ，PN . (1)求椭圆T 的方程； (2)求证：PM ⊥PN .
【课本回眸】 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 【方法规律技巧】 1. 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围． 2.探索性问题和证明往往会涉及到定点、定值问题，可以通过特例找寻定点、定值，然后利用逻辑推理的方法去证明． 【例题与变式】 例1、 已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为249 - =y ，且离心率e 满足3 2，e ，3 4 成等比数列. (1)求椭圆的方程； (2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线2 1-=x 平分？若存在，求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由. （2）假设l 存在，因l 与直线2 1 - =x 相交，不可能垂直x 轴,因此可设l 的方程为：m kx y +=. 由2222 ,9()999 y kx m y x kx m x y =+⎧++=⎨+=⎩,消去得整理得:0)9(2)9(222=-+++m kmx x k ,
① 方程①有两个不等的实数根,∴22222244(9)(9)0,90k m k m m k ∆=-+->--<即. ② 设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴9 22 21+-= +k km x x ,∵线段 MN 恰被直线21 -=x 平分,∴19 2221221-=+-+=-k km x x 即, ∵0≠k ∴k k m 292+= ③ 把③代入② 得 0)9()29(222<+-+k k k ,∵092 >+k ,∴22 9104k k +-<,∴32>k ,解得3>k 或3- 10 以椭圆为情景的探索性问题 典例分析 角度一、以探索多边形形状为情景的问题 1、已知椭圆C ：()，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ， 线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由． 2.已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率. （1）求该椭圆的方程； （2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证： 轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有； （3）在（2）的条件下， 能否为等腰直角三角形？并证明你的结论. 角度二、以探索定点存在性为情景的问题 1、如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>> ，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两 点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为 （1）求椭圆E 的方程； （2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得 QA PA QB PB = 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2 2 2 9x y m +=0m >l l ( ,)3 m m 22 221(0)x y a b a b +=>>:10l x -=12e =P Q PQ T l x R P Q RP RQ =PQR ∆ 角度三、以探索直线与圆锥曲线位置关系为情景的问题 1、椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量 120BF BF ⋅=. （1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程； （2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由. 2、已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点. （1）若MN =l 的方程； （2）若1 2 MP MN = ，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 角度四、以探索定值存在性为情景的问题 1、已知定点()30A -, ，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1 9 -，记动点M 的轨迹为曲线C 。 （1）求曲线C 的方程； （2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由。 角度五、以探索最值存在性为情景的问题 1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心、过椭圆左顶点M 的圆与直线 3x －4y ＋12＝0相切于点N ，且满足MF 1―→＝12 F 1F 2―→ . (1)求椭圆C 的标准方程． (2)过椭圆C 右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于不同的A ，B 两点，问：△F 1AB 内切圆的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由． 角度六、以探索直线存在性为情景的问题 1、如图，已知A (−1,0)、B (1,0)，Q 、G 分别为△ABC 的外心，重心，QG //AB . 圆锥曲线中的探索性问题 一、常见基本题型： （1）探索图形的面积问题 1.斜率为2的直线BD 交椭圆22 : 124 x y C +=于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合。 则ABD ?面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （2）探索图形的形状问题 2.已知抛物线2:(0)C y mx m =>，焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线 C 于点Q ,是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的 直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理 由。 (3)探索点、直线的存在性 3.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点， 与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D． 当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由 4.已知B、C是曲线C：24(1) y x =+上不同两点，满足(0,) OB OC R λλλ =≠∈，在x轴上是否存在点(,0) A m，使得A B AC ⊥，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。 5.设椭圆 22 :1 43 x y C+=的左、右焦点分别为 12 ,F F，过右焦点 2 F作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点， 在x轴上是否存在点(,0) P m，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由。6.直线l与椭圆 2 21 4 y x +=交于 11 (,) A x y， 22 (,) B x y两点，已知 11 (2,) m x y =， 22 (2,) n x y =，若m n ⊥,试问：AOB ?的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 高考中的圆锥曲线问题题型一范围问题 例1 已知椭圆C：x 2 a2+y2 b2 =1（a＞b＞0）的离心率e=√3 2 ，直线x+√3y-1=0被 以椭圆C的短轴为直径的圆截得的弦长为√3. （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点M（4，0）的直线l交椭圆于A，B两个不同的点，且λ=|MA|∙|MB|，求λ的取值范围 思维总结：解决圆锥曲线中的取值范围问题需要从以下几个方面考虑： （1）利用圆锥曲线的几何关系或判别式构造不等关系，确定参数的取值范围（2）利用已知的范围求新参数范围时，着重去寻找并建立两个参数之间的等量关系式 （3）利用题目中隐含的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围 （4）利用题目中已知的不等关系构造不等式，确定参数的取值范围 （5）利用函数中求值域的方法，把需要求的量表示为其他相关变量的函数，求函数的值域，确定出参数的取值范围。 变式1 已知F1，F2是椭圆C：x 2 a2+y2 b2 =1（a＞b＞0）的两个焦点，P为C上的 点，O为坐标原点. （1）若△PO F2为等边三角形，求C的离心率 （2）如果存在点P，是的P F1⊥P F2，且△F1P F2的面积等于16，求b的值和a 的取值范围. 题型二最值问题 例2（几何法求最值）已知抛物线C1：y²=4x和C2：x²=2py（p＞0）的焦点分别为F1，F2，点P（-1，-1）且F1F2⊥OP（O为坐标原点）. （1）求抛物线C2的方程； （2）过点O的直线交C1的下半部分于点M，交C2的左半部分于点N，求△PMN 面积的最小值. 例3（代数法求最值）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，圆O交x轴于点F1，F2，交y轴于点B1，B2，以B1，B2为顶点，F1，F2分别为左右焦点的椭圆E恰好）. 经过点（1，√2 2 （1）求椭圆E的标准方程； （2）设经过点（-2，0）的直线l与椭圆E交于M、N两点，，求△F2MN面积的最大值. 思维总结：圆锥曲线最值问题的两种求解方法 1.利用几何法，利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质 等进行求解； 2.利用代数法，把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个（某些）参数的 函数（或解析式），利用函数方法或不等式等方法进行求解. 变式2 已知直线l1：4x-3y+6=0和直线l2：x=-1，抛物线y²=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 . 第11讲 定点、定值、探索性问题 圆锥曲线中的定值问题 [典例引领] (2018·昆明市教学质量检测)在直角坐标系xOy 中，已知定圆M ：(x ＋1)2 ＋y 2 ＝36，动圆N 过点F (1，0)且与圆M 相切，记动圆圆心N 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程； (2)设A ，P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线AP ，BP 分别交 x 轴于点S ，T ，证明：|OS |·|OT |为定值． 【解】 (1)因为点F (1，0)在圆M ：(x ＋1)2 ＋y 2 ＝36内， 所以圆N 内切于圆M ，则|NM |＋|NF |＝6＞|FM |， 由椭圆定义知，圆心N 的轨迹为椭圆，且2a ＝6，c ＝1，则a 2 ＝9，b 2 ＝8， 所以动圆圆心N 的轨迹方程为x 29＋y 2 8 ＝1. (2)证明：设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，S (x S ，0)，T (x T ，0)，则B (x 1，－y 1)，由题意知x 0≠± x 1， 则k AP ＝ y 1－y 0 x 1－x 0 ，直线AP 的方程为y －y 1＝k AP (x －x 1)， 令y ＝0，得x S ＝x 0y 1－x 1y 0 y 1－y 0 ， 同理x T ＝ x 0（－y 1）－x 1y 0（－y 1）－y 0＝x 0y 1＋x 1y 0 y 1＋y 0 ， 于是|OS |·|OT |＝|x S x T |＝ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪x 0y 1－x 1y 0y 1－y 0·x 0y 1＋x 1y 0y 1＋y 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20y 2 1－x 21y 2 0y 2 1－y 20， 又P (x 0，y 0)和A (x 1，y 1)在椭圆x 29＋y 2 8＝1上，故y 2 ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209，y 21＝8⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1－x 2 19， 则y 2 1 －y 20 ＝89(x 20－x 21)，x 20y 21－x 21y 20＝8x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219－8x 21⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1－x 2 09＝8(x 20－x 2 1)． 所以|OS |·|OT |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20y 21－x 21y 2 0y 21－y 20 ＝⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ 8（x 2 0－x 2 1）89（x 20－x 2 1）＝9. 圆锥曲线中的探索性问题是高考命题的热点，主要以解答题的形式出现，难度较大，一般作为压轴题．解决这类问题往往采用“假设反证法”或“假设检验法”，也可先用特殊情况得到所求值，再给出一般性的证明．考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，同时着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力． “大题规范解答——得全分”系列之(九 圆锥曲线中探索性问题的答题模板 [典例](2012福建高考·满分13分如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8. (1求椭圆E的方程； (2设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． [教你快速规范审题] 1．审条件，挖解题信息 ―→, 2．审结论，明解题方向 ―→―→ ．建联系，找解题突破口 1．审条件，挖解题信息 ―→， 2．审结论，明解题方向 ―→ ,·,＝0恒 成立 3．建联系，找解题突破口 [教你准确规范解题] (1因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，(1分 又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，(2分 所以4a＝8，a＝2. 又因为e＝，即＝，所以c＝1，(3分 所以b＝＝. 故椭圆E的方程是＋＝1.(4分 (2由消去y得(4k2＋3x2＋8kmx＋4m2－12＝0.(5分 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0，所以m≠0且Δ＝0，(6分 即64k2m2－4(4k2＋3(4m2－12＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(* (7分 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝， 所以P. (8分 由得Q(4,4k＋m． (9分 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上． (10分 设M(x1,0，则·＝0对满足(*式的m，k恒成立． 因为＝，＝(4－x1,4k＋m， 由·＝0， 得－＋－4x1＋x＋＋3＝0， 整理，得(4x1－4＋x－4x1＋3＝0.(** (11分 由于(**式对满足(*式的m，k恒成立， 所以解得x1＝1. (12分 故存在定点M(1,0，使得以PQ为直径的圆恒过点M. (13分 [常见失分探因] ————————————[教你一个万能模板]————————————————— 圆锥曲线的综合问题 直线和圆锥曲线问题解法的一般规律 “联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 【一】．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断． 1.设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0. 由 Ax+0(,)0 {By c f x y +==，消元。如消去y 后得ax 2 ＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac . a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点； c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2.“点差法”的常见题型 求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ>0是否成立． 3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为k P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2| |P 1P 2|(2)当斜率k (利用轴上两点间距离公式)． 4．圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0， y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所 在直线的斜率k ＝b 2x 0 a 2y 0 ；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k 专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题 纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨. 1.定点问题 求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是：把直线或圆锥曲线方程中的变量x ，y 看成常数，把方程的一端化为零，将方程转化为以参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过的定点。 【例】已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1,2)为抛物线C 上一点。 (1)求抛物线C 的方程。 (2)若点B (1，－2)在抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的两条弦BP 与BQ ，若k BP ·k BQ ＝－2， 求证：直线PQ 过定点。 【解析】(1)若抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，代入点A (1,2)， 可得a ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x 。 若抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，代入点A (1,2)， 可得m ＝12，所以抛物线方程为x 2＝12y 。 综上所述，抛物线C 的方程是y 2＝4x 或x 2＝1 2 y 。 (2)证明：因为点B (1，－2)在抛物线C 上，所以由(1)可得抛物线C 的方程是y 2＝4x 。 易知直线BP ，BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为y ＋2＝k (x －1)，将直线BP 的方程代入 y 2＝4x ，消去 y ，得 k 2x 2－(2k 2＋4k ＋4)x ＋(k ＋2)2＝0。设 P (x 1，y 1)，则x 1＝2 2 (2)k k +， 所以P 22(2)24k k k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，。用－2 k 替换点P 坐标中的k ，可得Q ((k －1)2，2－2k )，从而直线PQ 的斜率为 专题 圆锥曲线中的探索性问题 1．(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ： y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． 2．(2016·)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个 顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标； (2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2 ＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值． 高考必会题型 题型一 定值、定点问题 例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为1 2 ，直线l 经过椭圆C 的右焦 点F交椭圆于A、B两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交y轴于点M，且MA→＝λAF→，MB→＝μBF→，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由． 变式训练1 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点M(5，－2)的动直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为－1时，点M恰为AB的中点． (1)求抛物线的方程； (2)抛物线上是否存在一个定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型二定直线问题 例2 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝ 2py(p>0)相交于A，B两点． (1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值； (2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦 圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一） 存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。 一、是否存在这样的常数 例1．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2 212 x y +=有 两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围； （II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量 OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+ 代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫ +++= ⎪⎝⎭ ① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2 221844202k k k ⎛⎫ ∆=-+=-> ⎪⎝⎭ ， 解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为22⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ U ，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r ，， 由方程①，122 12x x k +=- +． ② 又1212()y y k x x +=++ ③ 而(01)(A B AB =u u u r ，，． 所以OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r 共线等价于1212)x x y y +=+， 将②③代入上式，解得k = ． 专题11：椭圆中的存在探索性问题 1．已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>，长轴为4，不过坐标原点O 且 不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值1 4 -. （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 过右焦点2F ，问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D 坐标，若不存在，请说明理由. 2．已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3 b ，椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过1F 的直线与椭圆相交于点C ，D （不与顶点重合），过右顶点B 分别作直线BC ，BD 与直线4x =-相交于N ，M 两点，以MN 为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 3．椭圆E ：22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2，0)，且离心率为2 . （1）求椭圆E 的方程； （2）过点P (4，0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知A 、B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a +=>的左顶点和下顶点，P 为 直线3x =上的动点，AP BP ⋅的最小值为594 ． （1）求E 的方程； （2）设PA 与E 的另一交点为D ，PB 与E 的另一交点为C ，问：是否存在点P ，使得四边形ABCD 为梯形，若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>． （1）求椭圆G 的方程； （2）过点(0,1)M 斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆G 于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点N 使得ANM BNM ∠=∠（点N 与点M 不重合），若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 6．已知椭圆22 2:1(0)3 x y C a a +=>的焦点在x 轴上，且经过点31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，左顶点为D ，右焦点为F ． （1）求椭圆C 的离心率和DEF 的面积； （2）已知直线1y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，过点B 作直线 (y t t =>的垂线，垂足为G ，判断是否存在常数t ，使得直线AG 经过y 轴上的定点？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 7．已知椭圆E ：()22 2210x y a b a b +=>>.左焦点()1,0F -，点()0,2M 在 椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且 NMF 的周长最大值为 4. （1）求椭圆E 的标准方程； （2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径高中数学圆锥曲线十大题型 专题10以椭圆为情景的探索性问题 (学生版+解析版)
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