专题09 圆锥曲线综合问题（答题指导）
【题型解读】
▶▶题型一 圆锥曲线中的最值问题
1．圆锥曲线中的最值问题大致可分为两类：一是涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；二是求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时求解与之有关的一些问题． 2．最值问题的两类解法技巧
(1)几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决．
(2)代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解．
【例1】 (2017·浙江卷)如图，已知抛物线x 2
＝y ，点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，
14，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，94，抛物线上的点P (x ，y )⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＜x ＜32.过点B 作直线AP 的垂线，垂足为Q . (1)求直线AP 斜率的取值范围； (2)求|PA |·|PQ |的最大值．
【答案】见解析
【解析】(1)设直线AP 的斜率为k ，则k ＝x 2－
14x ＋12
＝x －1
2.
因为－12 2，所以直线AP 斜率的取值范围是(－1,1)． (2)联立直线AP 与BQ 的方程可得⎩⎪⎨⎪⎧ kx －y ＋12k ＋1 4 ＝0，x ＋ky －94k －3 2＝0， 解得点Q 的横坐标是x Q ＝－k 2 ＋4k ＋3 2k 2 ＋1. 因为|PA |＝1＋k 2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＝1＋k 2 (k ＋1)， |PQ |＝1＋k 2 (x Q －x )＝－ k －1 k ＋12 k 2＋1 ， 所以|PA |·|PQ |＝－(k －1)(k ＋1)3 . 令f (k )＝－(k －1)(k ＋1)3 ＝－k 4 －2k 3 ＋2k ＋1， 因为f ′(k )＝－(4k －2)(k ＋1)2 ， 所以f (k )在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，12上单调递增，在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上单调递减． 因此当k ＝12时，|PA |·|PQ |取得最大值27 16 . 【素养解读】 本例问题(1)中用x 表示k 考查了数学建模的核心素养，第(2)问将最值问题转化成函数的最值进行处理，分别考查了数学运算和数学建模的核心素养． 【突破训练1】 已知动圆过定点(2,0)，且在y 轴上截得的弦长为4，设动圆圆心的轨迹为 H ，点E (m,0)(m ＞0)为一个定点，过点E 作斜率分别为k 1，k 2的两条直线交H 于点A ，B ，C ，D ，且M ，N 分 别是线段AB ，CD 的中点． (1)求轨迹H 的方程； (2)若m ＝1，且过点E 的两条直线相互垂直，求△EMN 的面积的最小值． 【答案】见解析 【解析】(1)设动圆圆心的坐标为(x ，y )，由题意可以得到x －2 2 ＋y 2＝x 2＋4，化简得y 2 ＝4x ，所以 动圆圆心的轨迹H 的方程为y 2 ＝4x . (2)当m ＝1时，E 为抛物线y 2＝4x 的焦点，因为k 1k 2＝－1，所以AB ⊥CD .设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －1)， A (x 1，y 1)， B (x 2，y 2)． 由⎩⎪⎨ ⎪⎧ y ＝k 1(x-1)，y 2 ＝4x 得k 1y 2 －4y －4k 1＝0，则y 1＋y 2＝4k 1，y 1y 2＝－4，x 1＋x 2＝y 1＋y 2k 1＋2＝4k 21 ＋2. 因为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22，y 1＋y 22，所以M ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2k 21＋1，2k 1. 同理，可得N (2k 2 1＋1，－2k 1)． 所以S △EMN ＝12|EM |·|EN |＝ 1 2 ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 212＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫2k 12· 2k 21 2 ＋(－2k 1)2 ＝2 k 21＋1 k 21 ＋2≥2 2＋2＝4，当且仅当k 21＝1 k 21 ，即k 1＝±1时，△EMN 的面积取最小值4. ▶▶题型二 圆锥曲线中的定点与定值问题 1．定点、定值问题一般涉及曲线过定点、与曲线上的动点有关的定值问题以及与圆锥曲线有关的弦长、面积、横(纵)坐标等的定值问题． 2．圆锥曲线中定点、定值问题的解法 (1)定点问题的常见解法 ①假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求定点； ②从特殊位置入手，找出定点，再证明该点适合题意． (2)定值问题的常见解法 ①从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 【例2】 (2018·北京卷)已知抛物线C ：y 2 ＝2px 经过点P (1,2)，过点Q (0,1)的直线l 与抛物线C 有两个不同的交点A ，B ，且直线PA 交y 轴于M ，直线PB 交y 轴于N . (1)求直线l 的斜率的取值范围； (2)设O 为原点，QM → ＝λQO → ，QN → ＝μQO → ，求证：1λ＋1 μ 为定值． 【答案】见解析 【解析】(1)因为抛物线y 2 ＝2px 经过点P (1,2)，所以4＝2p ，解得p ＝2，所以抛物线的方程为y 2 ＝4x .由题意可知直线l 的斜率存在且不为0，设直线l 的方程为y ＝kx ＋1(k ≠0)． 由⎩⎪⎨⎪⎧ y 2 ＝4x ，y ＝kx ＋1 得k 2x 2 ＋(2k －4)x ＋1＝0. 依题意Δ＝(2k －4)2 －4×k 2 ×1＞0，解得k ＜0或0＜k ＜1.又PA ，PB 与y 轴相交，故直线l 不过点(1，－2)，从而k ≠－3.所以直线l 斜率的取值范围是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)． (2)证明：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．由(1)知x 1＋x 2＝－2k －4k 2，x 1x 2＝1k 2.直线PA 的方程为y －2＝y 1－2x 1－1(x － 1)． 令x ＝0，得点M 的纵坐标为y M ＝－y 1＋2x 1－1＋2＝－kx 1＋1 x 1－1＋2. 同理得点N 的纵坐标为y N ＝－kx 2＋1 x 2－1 ＋2. 由QM → ＝λQO →，QN → ＝μQO → 得λ＝1－y M ，μ＝1－y N . 所以1 λ＋1 μ＝11－y M ＋11－y N ＝x 1－1(k －1)x 1＋x 2－1(k －1)x 2＝1k －1· 2x 1x 2－x 1＋x 2 x 1x 2 ＝ 1k －1 2 k 2 ＋ 2k －4 k 2 1 k 2 ＝2.所以 1 λ ＋ 1 μ 为定值． 【素养解读】 本例考查了直线与抛物线的相交和平面向量的应用，综合性较强，解答中不仅要结合图象考虑它们相交的情况，还要考虑直线不过点(1，－2)这一条件，计算也比较复杂，因而它综合考查了逻辑推理、数学运算和直观想象的核心素养． 【突破训练2】 (2019·河南豫北名校联盟联考)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的离心率 是 2 2 ，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD → ＝－1. (1)求椭圆E 的方程； (2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB → ＋λPA →·PB → 为 定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 【答案】见解析 【解析】由已知得点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )． 又点P 的坐标为(0,1)，且PC → ·PD → ＝－1， 于是⎩⎪⎨⎪⎧ 1－b 2 ＝－1， c a ＝22， a 2 －b 2 ＝c 2 ， 解得a ＝2，b ＝2， 所以椭圆E 方程为x 24＋y 2 2 ＝1. (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为y ＝kx ＋1， A ， B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)． 联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 4＋y 2 2 ＝1，y ＝kx ＋1 得(2k 2＋1)x 2 ＋4kx －2＝0. 其判别式Δ＝(4k )2 ＋8(2k 2 ＋1)>0， 所以，x 1＋x 2＝－4k 2k 2＋1，x 1x 2＝－22k 2＋1 . 从而OA → ·OB → ＋λPA → ·PB → ＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)·(y 2－1)]＝(1＋λ)(1＋k 2 )x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝－ λ－12k 2 ＋1－λ－2.所以，当λ＝1时，－λ－1 2k 2＋1 －λ－2＝－3，OA →·OB →＋λPA →·PB → ＝－3为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时OA → ·OB → ＋λPA →·PB → ＝OC →·OD → ＋λPC → ·PD → ＝－2－λ＝－3， 故存在常数λ＝1. 综上可知，存在常数λ＝1，使得OA → ·OB → ＋λPA →·PB → 为定值－3. 【例3】 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2＝1(a ＞0)，过椭圆C 的右顶点和上顶点的直线与圆x 2＋y 2 ＝2 3 相切． (1)求椭圆C 的方程； (2)设M 是椭圆C 的上顶点，过点M 分别作直线MA ，MB 交椭圆C 于A ，B 两点，设这两条直线的斜率分别为 k 1，k 2，且k 1＋k 2＝2，证明：直线AB 过定点． 【答案】见解析 【解析】(1)因为直线过点(a,0)和(0,1)，所以直线的方程为x ＋ay －a ＝0，因为直线与圆x 2＋y 2 ＝23相切， 所以|－a | 1＋a 2 ＝63，解得a 2＝2，所以椭圆C 的方程为x 2 2＋y 2 ＝1. (2)证明：当直线AB 的斜率不存在时，设A (x 0，y 0)，则B (x 0，－y 0)，由k 1＋k 2＝2得 y 0－1x 0＋－y 0－1 x 0 ＝2，解得x 0＝－1.当直线AB 的斜率存在时，设AB 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠1)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，由 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2 2＋y 2＝1， y ＝kx ＋m ⇒(1＋2k 2 )x 2 ＋4kmx ＋2m 2 －2＝0，得x 1＋x 2＝－4km 1＋2k 2，x 1·x 2＝2m 2 －21＋2k 2， 由k 1＋k 2＝2⇒y 1－1 x 1 ＋ y 2－1x 2＝2⇒(kx 2＋m －1)x 1＋(kx 1＋m －1)x 2x 1x 2 ＝2，即(2－2k )x 1x 2＝(m －1)(x 1＋x 2)⇒(2－2k )(2m 2 －2)＝(m －1)(－4km )，即(1－k )(m 2 －1)＝－km (m －1)，由m ≠1得(1－k )(m ＋1)＝－km ⇒k ＝m ＋1，即y ＝kx ＋m ＝(m ＋1)x ＋m ⇒m (x ＋1)＝y －x ，故直线AB 过定点(－1，－1)．综上，直线AB 过定点(－1，－1)． 【素养解读】 本例问题(1)中用直接法求解椭圆方程考查了数学运算的核心素养；本例问题(2)中分类讨论斜率存在与不存在两种情况，再利用相应公式计算求解考查了逻辑推理和数学运算的核心素养． 【突破训练3】 已知抛物线C ：y 2 ＝2px (p ＞0)的焦点F (1,0)，O 为坐标原点，A ，B 是抛物 线C 上异于O 的两点． (1)求抛物线C 的方程； (2)若直线OA ，OB 的斜率之积为－1 2，求证：直线AB 过x 轴上一定点． 【答案】见解析 【解析】(1)因为抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点坐标为(1,0)，所以p 2 ＝1，所以p ＝2.所以抛物线C 的方程为 y 2＝4x . (2)证明：①当直线AB 的斜率不存在时，设A ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 2 4，t ，B ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫t 2 4，－t .因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所 以 t t 2 4· －t t 2 4 ＝－12，化简得t 2＝32.所以A (8，t )，B (8，－t )，此时直线AB 的方程为x ＝8. ②当直线AB 的斜率存在时，设其方程为y ＝kx ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，联立⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ y 2 ＝4x ， y ＝kx ＋b ，化简得ky 2 －4y ＋4b ＝0. 根据根与系数的关系得y 1y 2＝4b k ，因为直线OA ，OB 的斜率之积为－12，所以y 1x 1·y 2x 2＝－1 2，即x 1x 2＋2y 1y 2＝0， 即y 214·y 22 4＋2y 1y 2＝0，解得y 1y 2＝0(舍去)或y 1y 2＝－32. 所以y 1y 2＝4b k ＝－32，即b ＝－8k ，所以y ＝kx －8k ， 即y ＝k (x －8)．综上所述，直线AB 过定点(8,0)． ▶▶题型三 圆锥曲线中的范围问题 圆锥曲线的有关几何量的取值范围问题一直是高考的热点，解决这类问题的基本途径：先要恰当地引入变量(如点的坐标、角、斜率等)，建立目标函数，然后利用函数的有关知识和方法进行求解．一般有五种思考方法：(1)利用判别式来构造不等式，从而确定参数的取值范围；(2)利用已知参数的取值范围，求新参数的取值范围，解决这类问题的关键是在两个参数之间建立起相应的联系；(3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求参数的取值范围；(4)利用已知不等关系构造不等式，从而求参数的取值范围；(5)利用函数的值域，确定参数的取值范围． 【例4】 已知m ＞1，直线l ：x －my －m 2 2＝0，椭圆C ：x 2m 2＋y 2 ＝1，F 1，F 2分别为椭圆C 的左、右焦点． (1)当直线l 过右焦点F 2时，求直线l 的方程； (2)设直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，△AF 1F 2，△BF 1F 2的重心分别为G ，H ，若原点O 在以线段GH 为直径的圆内，求实数m 的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)因为直线l ：x －my －m 2 2＝0经过F 2(m 2 －1，0)， 所以m 2 －1＝m 2 2，得m 2 ＝2.又因为m ＞1，所以m ＝2， 故直线l 的方程为x －2y －1＝0. (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝my ＋m 2 2，x 2 m 2 ＋y 2 ＝1， 消去x ，得2y 2 ＋my ＋m 2 4 －1＝0， 则由Δ＝m 2 －8⎝ ⎛⎭ ⎪⎫m 2 4－1＝－m 2＋8＞0知m 2 ＜8，且有y 1＋y 2＝－m 2，y 1·y 2＝m 2 8－12.由F 1(－c,0)，F 2(c,0)，可 知G ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 13，y 13，H ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫x 23，y 2 3.因为原点O 在以线段GH 为直径的圆内，所以OH →·OG → ＜0，即x 1x 2＋y 1y 2＜0.所以x 1x 2 ＋y 1y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫my 1＋m 2 2⎝ ⎛⎭⎪⎫my 2＋m 2 2＋y 1y 2＝(m 2＋1)⎝ ⎛⎭ ⎪⎫m 2 8－12＜0，解得m 2＜4(满足m 2 ＜8)．又因为m ＞1，所以实数m 的取值范围是(1,2)． 【素养解读】 本题的解答通过方程的知识得到一个不等式，进而求得所求范围，考查了数学建模、逻辑推理和数学运算的核心素养． 【突破训练4】 (2018·浙江卷)如图，已知点P 是y 轴左侧(不含y 轴)一点，抛物线C ： y 2＝4x 上存在不同的两点A ，B 满足PA ，PB 的中点均在C 上． (1)设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； (2)若P 是半椭圆x 2 ＋y 2 4 ＝1(x ＜0)上的动点，求△PAB 面积的取值范围． 【答案】见解析 【解析】(1)设P (x 0，y 0)，A ⎝ ⎛⎭⎪⎫14y 21，y 1，B ⎝ ⎛⎭ ⎪⎫14y 22，y 2. 因为PA ，PB 的中点在抛物线上，所以y 1，y 2为方程⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋y 022＝4·14y 2 ＋x 02即y 2－2y 0y ＋8x 0－y 2 0＝0的两个不同的实数根．所以y 1＋y 2＝2y 0.因此，PM ⊥y 轴． (2)由(1)可知⎩⎪⎨ ⎪ ⎧ y 1＋y 2＝2y 0，y 1y 2＝8x 0－y 2 ， 所以|PM |＝18(y 21＋y 22)－x 0＝34 y 20－3x 0，|y 1－y 2|＝2①2(y 2 0－4x 0).因此，△ PAB 的面积S △PAB ＝12|PM |·|y 1－y 2|＝324(y 20－4x 0)32.因为x 20＋y 2 04＝1(－1≤x 0＜0)，所以y 20－4x 0＝－4x 2 0－4x 0 ＋4∈[4,5]．因此，△PAB 面积的取值范围是⎣ ⎢⎡ ⎦⎥⎤62，15104. ▶▶题型四 圆锥曲线中的探索性问题 1．圆锥曲线中的存在性问题具有开放性和发散性，此类问题的条件和结论不完备，要求考生结合已知条件或假设新的条件进行探究、观察、分析、比较、抽象、概括等，是高考中的常考题型，作为解答题的压轴题出现，难度一般较大，常和不等式、函数、直线、圆及圆锥曲线等知识结合在一起，对数学能力和数学思想有较高的要求． 2．圆锥曲线的探索性问题主要体现在以下几个方面：(1)探索点是否存在；(2)探索曲线是否存在；(3)探索命题是否成立．解决此类问题通常采用“肯定顺推法”，将不确定性问题明朗化．其步骤为假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在；否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在．反证法与验证法也是求解探索性问题常用的方法． 【例5】 (2015·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，曲线C ：y ＝x 2 4与直线l ：y ＝kx ＋a (a ＞0)交于M ，N 两点． (1)当k ＝0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM ＝∠OPN ？说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1)依题意求得x 与c 的交点不妨设为M (2a ，a )，N (－2a ，a )．又y ′＝x 2，故y ＝x 2 4在x ＝2a 处的导数值为a ，所以C 在点M (2a ，a )处的切线方程为y －a ＝a (x －2a )，即ax －y －a ＝0.y ＝x 2 4 在 x ＝－2a 处的导数值为－a ，所以C 在点N (－2a ，a )处的切线方程为y －a ＝－a (x ＋2a )，即ax ＋y ＋a ＝0. 故所求切线方程为ax －y －a ＝0和ax ＋y ＋a ＝0. (2)存在符合题意的点．证明如下：设P (0，b )为符合题意的点，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，直线PM ，PN 的斜率分别为k 1，k 2.将y ＝kx ＋a 代入C 的方程，得x 2 －4kx －4a ＝0.故x 1＋x 2＝4k ，x 1x 2＝－4a .从而可得k 1＋k 2＝ y 1－b x 1＋y 2－b x 2＝2kx 1x 2＋(a －b)(x 1＋x 2)x 1x 2＝k (a ＋b) a .当b ＝－a 时，有k 1＋k 2＝0，则直线PM 的倾斜角与直线PN 的倾斜角互补，故∠OPM ＝∠OPN ，所以点P (0，－a )符合题意． 【素养解读】 本例问题(1)中将解析几何的计算与导数应用结合起来求切线方程，考查了数学运算和数学抽象的核心素养；问题(2)中将角的关系转化为直线的斜率进行处理，考查了数学建模和直观想象的核心素养． 【突破训练5】 (2015·全国卷Ⅱ)已知椭圆C ：9x 2 ＋y 2 ＝m 2 (m ＞0)，直线l 不过原点O 且 不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M . (1)证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； (2)若l 过点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫m 3，m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能， 求此时l 的斜率； 若不能，说明理由． 【答案】见解析 【解析】(1)证明：设直线l ：y ＝kx ＋b (k ≠0，b ≠0)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，M (x M ，y M )．将y ＝kx ＋b 代入9x 2 ＋y 2 ＝m 2 ，得(k 2 ＋9)x 2 ＋2kbx ＋b 2 －m 2 ＝0，故x M ＝ x 1＋x 2 2 ＝ －kb k 2 ＋9，y M ＝kx M ＋b ＝9b k 2＋9 .于是直线OM 的斜率k O M ＝y M x M ＝－9 k ，即k O M ·k ＝－9.故直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值． (2)四边形OAPB 能为平行四边形．因为直线l 过点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫m 3，m ， 所以l 不过原点且与C 有两个交点的充要条件是k ＞0，k ≠3. 由(1)得OM 的方程为y ＝－9 k x .设点P 的横坐标为x P . 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝－9k x ，9x 2＋y 2＝m 2 得x 2 P ＝k 2m 29k 2＋81，即x P ＝±km 3k 2 ＋9 . 将点⎝ ⎛⎭ ⎪⎫m 3，m 的坐标代入直线l 的方程得b ＝ m (3－k) 3 ， 因此x M ＝ k (k －3)m 3(k 2 ＋9) .四边形OAPB 为平行四边形，当且仅当线段AB 与线段OP 互相平分，即x P ＝2x M . 于是±km 3k 2 ＋9 ＝2×k (k －3)m 3(k 2＋9)， 解得k 1＝4－7，k 2＝4＋7. 因为k i ＞0，k i ≠3，i ＝1,2，所以当直线l 的斜率为4－7或4＋7时，四边形OAPB 为平行四边形． 高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合（新高考卷）【母题来源】2022年新高考I卷 【母题题文】已知点A(2,1)在双曲线C:x2 a2−y2 a2−1 =1(a>1)上，直线l交C于P，Q 两点，直线AP，AQ的斜率之和为0． (1)求l的斜率; (2)若tan∠PAQ=2√2，求△PAQ的面积． 【答案】解：(1)将点A代入双曲线方程得4 a2−1 a2−1 =1，化简得a4−4a2+4=0 得： a2=2，故双曲线方程为x2 2 −y2=1; 由题显然直线l的斜率存在，设l:y=kx+m，设P(x1,y1)，Q(x2,y2)，则联立直线与双曲线得： (2k2−1)x2+4kmx+2m2+2=0，△>0， 故x1+x2=−4km 2k2−1，x1x2=2m2+2 2k2−1 ， k AP+k AQ=y1−1 x1−2+y2−1 x2−2 =kx1+m−1 x1−2 +kx2+m−1 x2−2 =0， 化简得：2kx1x2+(m−1−2k)(x1+x2)−4(m−1)=0， 故2k(2m2+2) 2k2−1+(m−1−2k)(−4km 2k2−1 )−4(m−1)=0， 即(k+1)(m+2k−1)=0，而直线l不过A点，故k=−1． (2)设直线AP的倾斜角为α，由tan∠PAQ=2√2，得tan∠PAQ 2=√2 2 ， 由2α+∠PAQ=π，得k AP=tanα=√2，即y1−1 x1−2 =√2， 联立y 1−1 x 1−2=√2，及x 12 2 −y 12=1得x 1=10−4√23 ，y 1=4√2−53 ， 同理，x 2=10+4√2 3，y 2= −4√2−5 3 ， 故x 1+x 2= 20 3 ，x 1x 2=689 而|AP|=√3|x 1−2|，|AQ|=√3|x 2−2|， 由tan∠PAQ =2√2，得sin∠PAQ = 2√2 3 ， 故S △PAQ =1 2|AP||AQ|sin∠PAQ =√2|x 1x 2−2(x 1+x 2)+4|= 16√2 9 ． 【母题来源】2022年新高考II 卷 【母题题文】.设双曲线C:x 2a 2−y 2 b 2=1(a >0,b >0)的右焦点为F(2,0)，渐近线方 程为y =±√3x. (1)求C 的方程; (2)经过F 的直线与C 的渐近线分别交于A ，B 两点，点P(x 1,y 1)，Q(x 2,y 2)在C 上，且x 1>x 2>0，y 1>0.过P 且斜率为−√3的直线与过Q 且斜率为√3的直线交于点M ，从下面三个条件 ① ② ③中选择两个条件，证明另一个条件成立： ①M 在AB 上; ②PQ//AB; ③|AM|=|BM|． 【答案】解：(1)由题意可得b a =√3，√a 2+ b 2=2，故a =1，b =√3． 因此C 的方程为x 2 − y 23 =1． (2)设直线PQ 的方程为y =kx +m(k ≠0)，将直线PQ 的方程代入C 的方程得(3−k 2)x 2−2kmx −m 2−3=0， 则x 1+x 2=2km 3−k 2，x 1x 2=−m 2+3 3−k 2 ， 圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程： 1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：22 13649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的 离心率2e 之比为 7 3 ，求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线2 8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0,13).±213e = 由127 3 e e =得113e =设双曲线的方程为2 2 221(,0)y x a b a b -=>则22222 13 139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪ ⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为 22194y x -= （2）解：设点00(,),(,)M x y P x y ，则00 62 2 x x y y +⎧ =⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩． 代入2008y x =得：2 412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、（1）ABC ∆的底边16=BC ，AC 和AB 两边上中线长之和为30，建立适当的坐标系求此三 角形重心G 的轨迹和顶点A 的轨迹．（2）△ABC 中，B(-5,0),C(5,0),且sinC-sinB=5 3sinA,求 点A 的轨迹方程． 解： （1）以BC 所在的直线为x 轴，BC 中点为原点建立直角坐标系．设G 点坐标为()y x ，，由20=+GB GC ，知G 点的轨迹是以B 、C 为焦点的椭圆，且除去轴上两点．因10=a ，8=c ， 有6=b ，故其方程为 ()0136 1002 2≠=+y y x ．设()y x A ，，()y x G ''，，则()01361002 2 ≠'='+'y y x ． ①由题意有⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧='='33 y y x x ，代入①，得A 的轨迹方程为()0132490022≠=+y y x ，其轨迹是椭圆（除去x 轴上两点）． （2）分析：由于sinA 、sinB 、sinC 的关系为一次齐次式，两边乘以2R （R 为外接圆半径），可转化为边长的关系． 解：sinC-sinB= 53sinA 2RsinC-2RsinB=5 3 ·2RsinA ∴BC AC AB 5 3 = - 即6=-AC AB （*） ∴点A 的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点） ∵2a=6，2c=10 ∴a=3， c=5， b=4 所求轨迹方程为 116 92 2=-y x （x>3） 点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲线右支） 3、如图，两束光线从点M （-4，1）分别射向直线y = -2上两点P （x 1，y 1）和Q （x 2，y 2）后， 反射光线恰好通过椭圆C ：122 22=+b y a x （a >b >0）的两焦点，已知椭圆的离心率 为 21 ，且x 2-x 1=5 6，求椭圆C 的方程. 解：设a =2k ，c =k ，k ≠0，则b =3k ，其椭圆的方程为13422 22=-k y k x . 由题设条件得： 1 14) 2(120x x k ----=--+， ① 2 24) 2(120x x k ----=--+， ② 圆锥曲线全国卷高考真题解答题 一、解答题 1，2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 已知曲线C ：y =2 2 x ，D 为直线y =12-上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ， B . （1）证明：直线AB 过定点： （2）若以E (0，5 2 )为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积. 2．2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅰ） 已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为3 2 的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |． 3．2014年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ） 已知点A (0，－2)，椭圆E ：22221x y a b += (a >b >0)F 是椭圆E 的右焦 点，直线AF ，O 为坐标原点. (1)求E 的方程； (2)设过点A 的动直线l 与E 相交于P ，Q 两点.当△OPQ 的面积最大时，求l 的方程. 已知椭圆222:9(0)C x y m m +=>,直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与l 的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点( ,)3 m m ，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边形？若能，求此时l 的斜率，若不能，说明理由． 5．2015年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标Ⅰ带解析） 在直角坐标系xoy 中，曲线C ：y=24 x 与直线(),0y kx a a =+>交与M,N 两点， （Ⅰ）当k =0时，分别求C 在点M 和N 处的切线方程； （Ⅱ）y 轴上是否存在点P ，使得当k 变动时，总有∠OPM =∠OPN ？说明理由. 6．2016年全国普通高等学校招生统一考试文科数学（新课标3） 已知抛物线：的焦点为，平行于轴的两条直线 分别交于 两点，交 的准线于 两点． （Ⅰ）若在线段上，是 的中点，证明； （Ⅱ）若的面积是 的面积的两倍，求 中点的轨迹方程. 7．2016年全国普通高等学校招生统一考试理科数学（新课标2卷） 已知椭圆E:22 13 x y t +=的焦点在x 轴上，A 是E 的左顶点，斜率为k （k > 0）的直 线交E 于A ，M 两点，点N 在E 上，MA ⊥NA ． （Ⅰ）当t=4，AM AN =时，求△AMN 的面积； （Ⅱ）当2AM AN =时，求k 的取值范围. 北师大版2021版高考数学（理）一轮复习 第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线的综合问题第2课时定点、定值、探索性 问题练习 [基础题组练] 1．已知直线l 与双曲线x 2 4－y 2 ＝1相切于点P ，l 与双曲线的两条渐近线交于M ，N 两点，则OM →·ON →的 值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．与P 的位置有关 解析：选A.依题意，设点P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中x 2 0－4y 2 0＝4，则直线l 的方程是 x 0x 4 － y 0y ＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y ＝±12 x . ①当y 0＝0时，直线l 的方程是x ＝2或x ＝－2.由?????x ＝2x 24 －y 2 ＝0，得?????x ＝2y ＝±1，此时OM →·ON →＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l 的方程是x ＝－2时，OM →·ON → ＝3. ②当y 0 ≠0时，直线l 的方程是y ＝1 4y 0 (x 0x －4)．由?????y ＝1 4y 0 （x 0 x －4）x 2 4－y 2 ＝0 ，得(4y 2 －x 20 )x 2 ＋8x 0 x －16＝ 0(*)，又x 20－4y 20＝4，因此(*)即是－4x 2 ＋8x 0x －16＝0，x 2－2x 0x ＋4＝0，x 1x 2＝4，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2－14x 1x 2＝3 4 x 1x 2＝3. 综上所述，OM →·ON → ＝3，故选A. 2．已知抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋ 1 k AC ＋ 1 k BC ＝________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ? ?? ??p 2，0，由FA → ＋FB →＝－FC →，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝ y 2－y 1x 2－x 1＝ 2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p ＋y 2＋y 3 2p ＝0. 答案：0 直线与圆锥曲线综合性问题（含答案） 一.考点分析。 ⑴直线与圆锥曲线的位置关系和判定 直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离 . 直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，经过消元得 到一个一元二次方程 ，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是 A >0、 A =0、△ < 0. ⑵直线与圆锥曲线相交所得的弦长 直线具有斜率 k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为 （1）1 AB 1= Jl+k' * 1 — 梵2 1= Jl + Q ? +黑2）2 或|AB|= Jl + p ? Ivi -73!= + * 丁（珀 + 兀）'-幻吐? 上面的公式实质上是由两点间距离公式推导出来的 （因为y i - y 2 =k （X i -X 2），运用韦达定理来进行计算 注: 1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既 熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化运算； 2. 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理，二是点差法； 3. 圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考 ：一是建立函数，用求值域的方法求范围 二是建立不等式，通过解不等式求范围 . 二.考试探究 圆锥曲线是解析几何的核心内容，也是高考命题的热点之一 .高考对圆锥曲线的考查，总体 上是以知识应用和问题探究为主， 一般是给出曲线方程，讨论曲线的基本元素和简单的几何 性质；或给出曲线满足的条件，判断（求）其轨迹；或给出直线与曲线、曲线与曲线的位置 关系，讨论与其有关的其他问题（如直线的方程、直线的条数、弦长、曲线中参变量的取值 范围等）；或考查圆锥曲线与其他知识综合（如不等式、函数、向量、导数等）的问题等 1. （2006年北京卷，文科，19） 2 2 椭圆C:务+^y 2 =1（a Ab A0）的两个焦点为F1,F2，点P 在椭圆C a b 标及直线方程，联立直线方程和椭圆方程后利用一元二次方程根与系数关系即可求出直线方 程，也可以利用“点差法”求出直线的斜率，然后利用点斜式求出直线方程 . A(X i ,y i ),B(X 2, y 2),则它的弦长 ，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已 当直线斜率不存在是，则AB =yi-y2. PF 1丄FF 』PF 彳4 PF 巳扌4 C 的方程； （I ）求椭圆 （n ）若直线I 过圆X +y +4x-2y=0的圆心M ，交椭圆C 于A 、B 两点，且 A 、B 对称，求直线 〖解析〗（I ）由椭圆的定义及勾股定理求出 a,b,c 的值即可，（n ）可以设出 A 、 关于点M I 的方程. B 点的坐 2015年高考数学真题分类汇编 专题09 圆锥曲线 文 1.【2015高考新课标1，文5】已知椭圆E 的中心为坐标原点，离心率为 1 2 ，E 的右焦点与抛物线2 :8C y x =的焦点重合，,A B 是C 的准线与E 的两个交点，则AB = ( ) （A ） 3 （B ）6 （C ）9 （D ）12 【答案】B 【解析】∵抛物线2 :8C y x =的焦点为（2,0），准线方程为2x =-，∴椭圆E 的右焦点为（2,0）， ∴椭圆E 的焦点在x 轴上，设方程为22 221(0)x y a b a b +=>>，c=2， ∵12 c e a ==，∴4a =，∴222 12b a c =-=，∴椭圆E 方程为2211612x y +=， 将2x =-代入椭圆E 的方程解得A （-2,3），B （-2，-3），∴|AB|=6，故选B. 【考点定位】抛物线性质；椭圆标准方程与性质 【名师点睛】本题是抛物线与椭圆结合的基础题目，解此类问题的关键是要熟悉抛物线的定义、标准方程与性质、椭圆的定义、标准方程与性质，先由已知曲线与待确定曲线的关系结合已知曲线方程求出待确定曲线中的量，写出待确定曲线的方程或求出其相关性质. 2.【2015高考重庆，文9】设双曲线22 221(a 0,b 0)x y a b -=>>的右焦点是F ， 左、右顶点分别是12A ,A ,过F 做12A A 的垂线与双曲线交于B ，C 两点，若 12A B A C ⊥,则双曲线的渐近线的斜率为（ ） (A) 1 2 ± (B) ± (C) 1± (D) 【答案】C 【解析】由已知得右焦点(,0)F c (其中)0,2 2 2 >+=c b a c ， )0,(),0,(21a A a A -，),(),,(2 2a b c C a b c B -， 第九节圆锥曲线的综合问题 最新考纲考情分析 1.掌握解决直线与椭圆、抛物线的位置关系的思想方法． 2．了解圆锥曲线的简单应用． 3．理解数形结合的思想.1.直线与椭圆、抛物线的位置关系是近几年高考命题的热点． 2．考查知识有直线与椭圆、抛物线相交，涉及弦长、中点、面积、对称、存在性问题． 3．题型主要以解答题的形式出现,属中高档题。 知识点一直线与圆锥曲线的位置关系 1．直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0（A,B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y（也可以消去x）得到一个关于变量x(或变量y）的 一元方程． 即错误!消去y，得ax2＋bx＋c＝0。 （1）当a≠0时,设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ,则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． （2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一元一次方程，则直线l 与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合．2．圆锥曲线的弦长 设斜率为k(k≠0）的直线l与圆锥曲线C相交于A,B两点,A(x1，y1），B（x2,y2),则 |AB｜＝错误!｜x1－x2|＝错误!·错误! ＝错误!·|y1－y2|＝错误!·错误!. 知识点二圆锥曲线中的最值与取值范围问题 圆锥曲线中的最值与取值范围问题一直是高考命题的热点，各种题型都有，命题角度很广,归纳起来常见的命题角度有：1．转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值； 2．利用三角函数有界性求最值； 3．数形结合利用几何性质求最值． 第九章 解析几何 第九节 直线与圆锥曲线的综合问题 第一课时 直线与圆锥曲线的位置关系 A 级·基础过关 |固根基| 1.(2019届厦门模拟)设F 1，F 2分别是椭圆x 2 a 2＋y 2 b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F 2的直线交椭圆于P ，Q 两点，若∠F 1PQ ＝60°，|PF 1|＝|PQ|，则椭圆的离心率为( ) A ．13 B ．23 C ．233 D ． 33 解析：选D ∵|PF 1|＝|PQ|，且∠F 1PQ ＝60°，∴△F 1PQ 为等边三角形，又周长为4a ，∴△F 1PQ 的边长为4a 3，在△PF 1F 2中，|PF 1|＝4a 3，|PF 2|＝2a 3，|F 1F 1|＝2c ，∴利用余弦定理得⎝ ⎛⎭⎪⎫4a 32＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a 32－2×4a 3×2a 3× cos 60°＝(2c)2 ，即a 2 ＝3c 2 ，∴e 2 ＝c 2 a 2＝13，∴e＝33 . 2．已知椭圆C ：x 29＋y 2 5＝1，若直线l 经过M(0，1)，与椭圆交于A ，B 两点，且MA → ＝－23MB →，则直线l 的方程为( ) A ．y ＝±1 2x ＋1 B ．y ＝±1 3x ＋1 C ．y ＝±x＋1 D ．y ＝±2 3 x ＋1 解析：选B 依题意，知斜率存在，可设直线l ：y ＝kx ＋1，点A(x 1，y 1)，B(x 2，y 2)，则由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，x 29＋y 2 5 ＝1，消去y ，整理得(9k 2 ＋5)x 2 ＋18kx －36＝0，Δ＝(18k)2 ＋4×36×(9k 2 ＋5)>0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－18k 9k 2＋5 ， x 1x 2 ＝－ 369k 2 ＋5，x 1 ＝－23x 2 ， 解得 k ＝±13，即直线l 的方程为y ＝±1 3 x ＋1，故选B ． 圆锥曲线的综合问题 点点突破 热门考点01 圆锥曲线中的定点问题 圆锥曲线中定点问题的求解方法 圆锥曲线中的定点问题往往与圆锥曲线中的“常数”有关，如椭圆的长、短轴，双曲线的虚、实轴，抛物线的焦参数等．解答这类题要大胆设参，运算推理，到最后参数必清． 【典例1】（2020·全国高考真题（理））已知A、B分别为椭圆E： 2 2 2 1 x y a +=（a>1）的左、右顶点，G为 E的上顶点，8 AG GB ⋅=，P为直线x=6上的动点，P A与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．（1）求E的方程； （2）证明：直线CD过定点. 【答案】（1） 2 21 9 x y +=；（2）证明详见解析. 【解析】 （1）依据题意作出如下图象： 由椭圆方程 2 2 2 :1(1) x E y a a +=>可得：(),0 A a-，(),0 B a，() 0,1 G ∴(),1AG a =，(),1GB a =- ∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a = ∴椭圆方程为：2219 x y += （2）证明：设()06,P y ， 则直线AP 的方程为：()()00 363y y x -= +--，即：()039 y y x =+ 联立直线AP 的方程与椭圆方程可得：()2 2019 39x y y y x ⎧+=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ ，整理得： ()2 2 2 2 000969810y x y x y +++-=，解得：3x =-或2020 327 9y x y -+=+ 将20203279y x y -+=+代入直线()0 39y y x =+可得：020 69y y y =+ 所以点C 的坐标为2002 2003276,99y y y y ⎛⎫ -+ ⎪++⎝⎭. 同理可得：点D 的坐标为2002 200332,11y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 当2 03y ≠时， ∴直线CD 的方程为：0 022******** 2000022006291233327331191 y y y y y y y x y y y y y y ⎛⎫-- ⎪++⎛ ⎫⎛⎫--⎝⎭-=- ⎪ ⎪-+-++⎝ ⎭⎝⎭ - ++， 整理可得：()()()2220000002224200000832338331116963y y y y y y y x x y y y y y +⎛⎫⎛⎫ --+=-=- ⎪ ⎪+++--⎝ ⎭⎝⎭ 整理得：() ()0002220004243323333y y y y x x y y y ⎛ ⎫= +=- ⎪---⎝⎭ 第九章 圆锥曲线 一．基础题组 1.【2007四川，文5】如果双曲线22 142 x y -=上一点P 到双曲线右焦点的距离是2，那么点P 到y 轴的距离是( ) (A) 3 6 4 (B) 3 6 2 (C)62 (D)32 【答案】()A 2.【2009四川，文13】抛物线2 4y x =的焦点到准线的距离是 . 【答案】2 3.【2010四川，文3】抛物线28y x =的焦点到准线的距离是（ ） (A )1 (B )2 (C )4 (D )8 【命题意图】本题主要考查抛物线的方程及性质. 4.【2012四川，文9】已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点0(2,)M y .若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则||OM =（ ） A 、 B 、 C 、4 D 、 5.【2013四川，文5】抛物线2 8y x =的焦点到直线0x =的距离是（ ） （A ） （B ）2 （C （D ）1 6.【2014四川，文11】双曲线2 214 x y -=的离心率等于____________. . 【考点定位】双曲线及其离心率. 7. 【2015高考四川，文7】过双曲线2 2 13 y x -=的右焦点且与x 轴垂直的直线交该双曲线的两条渐近线于A 、B 两点，则|AB |＝( ) (A (B (C )6 (D 【答案】D 【考点定位】本题考查双曲线的概念、双曲线渐近线方程、直线与直线的交点、线段长等基础知识，考查简单的运算能力. 二．能力题组 1.【2007四川，文10】已知抛物线2 3y x =-+上存在关于直线0x y +=对称的相异两点A 、B ，则AB 等于( ) A.3 B.4 C.【答案】()C 冲刺2023年高考二轮 圆锥曲线的综合问题强化训练 （原卷+答案） 考点一 证明问题——等价转化，直击目标 圆锥曲线中证明问题的两种常见类型 圆锥曲线中的证明问题，主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上，某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等；二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系(相等或不等)． 例 1已知椭圆E 的中心为坐标原点，对称轴为x 轴、y 轴，且过A (0，－2)，B (3 2，－1)两点． (1)求E 的方程； (2)设过点P (1，－2)的直线交E 于M ，N 两点，过M 且平行于x 轴的直线与线段 AB 交于点T ，点H 满足MT ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ＝TH ⃗⃗⃗⃗⃗ .证明：直线HN 过定点． 对点训练 已知直线y ＝3与曲线C ：x 2＋2py ＝0的两个公共点之间的距离为4√6. (1)求C 的方程； (2)设P 为C 的准线上一点，过P 作C 的两条切线，切点为A ，B ，直线P A ，PB 的斜率分别为k 1，k 2，且直线P A ，PB 与y 轴分别交于M ，N 两点，直线AB 的斜率为k 0.证明：k 1·k 2为定值，且k 1，k 0，k 2成等差数列． 考点二 定点问题——目标等式寻定点 解析几何中的定点问题一般是指与解析几何有关的直线或圆(其他曲线过定点太复杂，高中阶段一般不涉及)过定点的问题，其实质是：当动直线或动圆变化时，这些直线或圆相交于一点，即这些直线或圆绕着定点在转动，这类问题的求解一般分为以下三步： 一选：选择变量，定点问题中的定点，随某一个量的变化而固定，可选择这个量为变量(有时可选择两个变量，如点的坐标、斜率、截距等，然后利用其他辅助条件消去其中之一)． 二求：求出定点坐标所满足的方程，即把需要证明为定点的问题表示成关于上述变量的方程． 专题九 圆锥曲线 一、热身回顾 1. P 是椭圆 2 2 116 9 x y + =上的动点, 作PD ⊥y 轴, D 为垂足, 则PD 中点的轨迹方程为 . 2. 双曲线221mx y +=的虚轴长是实轴长的2倍，则m =_________. 3. 在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率__. 4. 直线3y x =-与抛物线24y x =交于,A B 两点，过,A B 两点向抛物线的准线作垂线，垂足分别为 ,P Q ，则梯形APQB 的面积为__________. 5. 若曲线2y ＝|x |＋1与直线y ＝kx ＋b 没有公共点，则k 、b 分别应满足的条件是 ． 二、典题精析 6. 已知椭圆 12 22 2=+ b y a x （a ＞b ＞0）,其右准线l 与x 轴交于点A ，英才苑椭圆的上顶点为B ，过它的右 焦点F 且垂直于长轴的直线交椭圆于点P ，直线AB 恰好经过线段FP 的中点D 。 （1）求椭圆的离心率；（2）设椭圆的左、右顶点分别是A 1、A 2，且321-=⋅BA BA ，求椭圆方程； 7. 在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2y ＝2x 相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→--OA → --⋅OB ＝3”是真命题； （2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由． 8. 设,A B 分别为椭圆222 2 1(,0)x y a b a b + =>的左、右顶点，椭圆长半轴的长等于焦距，且4x =为它的右 准线。（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设P 为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线,AP BP 分别与椭圆相交于异于,A B 的点M N 、，证明点B 在以M N 为直径的圆内。 专题九限时训练 圆锥曲线 1. 双曲线 222 2 1x y b a - =的两条渐近线互相垂直，那么该双曲线的离心率是__________. 2. 双曲线 22 14 x y k + =的离心率(1,2)e ∈，则k 的取值范围是 ______________. 20XX 年高考圆锥曲线综合训练题 一、求轨迹方程： 1、（1）已知双曲线1C 与椭圆2C ：2213649x y +=有公共的焦点，并且双曲线的离心率1e 与椭圆的离心率2e 之比为7 3， 求双曲线1C 的方程． （2）以抛物线2 8y x =上的点M 与定点(6,0)A 为端点的线段MA 的中点为P ，求P 点的轨迹方程． （1）解：1C 的焦点坐标为(0, 2e =由1273 e e = 得1e =设双曲线的方程为22 221(,0)y x a b a b -=>则 22222 13 139a b a b a ⎧+=⎪⎨+=⎪ ⎩ 解得229,4a b == 双曲线的方程为22194y x -= （2）解：设点00 (,),(,)M x y P x y ，则00 62 2 x x y y +⎧ =⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴00262x x y y =-⎧⎨=⎩． 代入2008y x =得：2 412y x =-．此即为点P 的轨迹方程． 2、设M 是椭圆22 : 1124 x y C +=上的一点，P 、Q 、T 分别为M 关于y 轴、原点、x 轴的对称点，N 为椭圆C 上异于M 的另一点，且MN ⊥MQ ，QN 与PT 的交点为E ，当M 沿椭圆C 运动时，求动点E 的轨迹方程． 解：设点的坐标112211(,),(,)(0),(,),M x y N x y x y E x y ≠ 则111111(,),(,),(,),P x y Q x y T x y ----……1分 2 2 112222 1,(1)124 1.(2) 124 x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩………3分 由（1）－（2）可得1.3 MN QN k k •=-…6分又MN ⊥MQ ， 111,,MN MQ MN x k k k y ⋅=-=- 所以11.3QN y k x =直线QN 的方程为1111()3y y x x y x =+-，又直线PT 的方程为11 .x y x y =-从而得1111 ,.22 x x y y ==-所以112,2.x x y y ==-代入（1）可得221(0),3x y xy +=≠此即为所求的轨迹方程. 二、中点弦问题： 3、已知椭圆22 221(0)y x a b a b +=>> 的一个焦点1(0,F - ，对应的准线方程为4y =-. （1）求椭圆的方程； （2）直线l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被点13,22P ⎛⎫ - ⎪⎝⎭ 平分，求直线l 的方程. 专题09 圆锥曲线 一．基础题组 1. 【2014上海,理3】若抛物线y 2 =2px 的焦点与椭圆15 92 2=+y x 的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为___________. 【答案】2x =-. 【考点】椭圆与抛物线的几何性质. 2. 【2013上海,理9】设AB 是椭圆Γ的长轴，在C 在Γ上，且∠CBA ＝4 π .若AB ＝4，BC Γ的两个焦点之间的距离为______． 【答案】 3 3. 【2011上海,理3】设m 是常数，若点F (0,5)是双曲线 22 =19 y x m -的一个焦点，则m ＝______. 【答案】16 4. 【2010上海,理3】若动点P 到点F （2，0）的距离与它到直线02=+x 的距离相等，则点P 的轨迹方程为_____________； 【答案】x y 82 = 【解析】由抛物线定义知：P 的轨迹为抛物线，易知焦参数4p =，所以点P 的轨迹方程为x y 82 =. 【点评】本题考查抛物线定义和轨迹方程的求法之——直接法，属基础概念题. 5. 【2010上海,理13】如图所示，直线2=x 与双曲线Γ：14 22 =-y x 的渐近线交于1E ，2E 两点，记11OE e =，22OE e =.任取双曲线Γ上的点P ，若12OP ae be =+（a 、b R ∈），则a 、b 满足的一个等式是 ； 【答案】41ab = 【点评】本题考查双曲线的几何性质，向量的坐标运算，平面向量基本定理等知识，把向量与解几结合命题，是全国各地高考题中的主流趋势. 6. (2009上海,理9)已知F 1、F 2是椭圆C:122 22=+b y a x (a ＞b ＞0)的两个焦点,P 为椭圆C 上一点,且 21PF PF ⊥.若△PF 1F 2的面积为9,则b=______________. 【答案】3 7. (2009上海,理14)将函数2642--+= x x y (x∈［0,6］)的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角 θ(0≤θ≤α),得到曲线 C.若对于每一个旋转角θ,曲线C 都是一个函数的图像,则α的最大值为_____________. 圆锥曲线的综合问题 直线和圆锥曲线问题解法的一般规律 “联立方程求交点，根与系数的关系求弦长，根的分布找范围，曲线定义不能忘”． 【一】．直线与圆锥曲线的位置关系 (1)从几何角度看，可分为三类：无公共点，仅有一个公共点及有两个相异的公共点． (2)从代数角度看，可通过将表示直线的方程代入二次曲线的方程消元后所得一元二次方程解的情况来判断． 1.设直线l 的方程为Ax ＋By ＋C ＝0，圆锥曲线方程f (x ，y )＝0. 由 Ax+0(,)0 {By c f x y +==，消元。如消去y 后得ax 2 ＋bx ＋c ＝0. ①若a ＝0，当圆锥曲线是双曲线时，直线l 与双曲线的渐近线平行或重合；当圆锥曲线是抛物线时，直线l 与抛物线的对称轴平行或重合． ②若a ≠0，设Δ＝b 2－4ac . a ．Δ ＞ 0时，直线和圆锥曲线相交于不同两点； b ．Δ ＝ 0时，直线和圆锥曲线相切于一点； c ．Δ ＜ 0时，直线和圆锥曲线没有公共点． 2.“点差法”的常见题型 求中点弦方程、求(过定点、平行弦)弦中点轨迹、垂直平分线问题．必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式Δ>0是否成立． 3．直线与圆锥曲线相交时的弦长问题 (1)斜率为k P 2(x 2，y 2)，则所得弦长|P 1P 2| |P 1P 2|(2)当斜率k (利用轴上两点间距离公式)． 4．圆锥曲线的中点弦问题 遇到中点弦问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解．在椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1中，以P (x 0， y 0)为中点的弦所在直线的斜率k ＝－b 2x 0a 2y 0；在双曲线x 2a 2－y 2 b 2＝1中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所 在直线的斜率k ＝b 2x 0 a 2y 0 ；在抛物线y 2＝2px (p >0)中，以P (x 0，y 0)为中点的弦所在直线的斜率k 圆锥曲线专题—夹角问题 1.求F 1、F 2分别是椭圆2 214 x y +=的左、右焦点. （Ⅰ）若r 是第一象限内该数轴上的一点，22125 4 PF PF +=-u u u r u u u u r ，求点P 的作标； （Ⅱ）设过定点M （0，2）的直线l 与椭圆交于同的两点A 、B ，且∠ADB 为锐角（其中O 为作标原点），求直线l 的斜率k 的取值范围. 解析：（Ⅰ）易知2a =，1b = ，c = ∴1(F ，2F ．设(,) P x y (0,0)x y >>．则 22 125(,,)34PF PF x y x y x y ⋅=--=+-=-u u u r u u u u r ，又2214 x y +=， 联立22 227414 x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ ，解得221134x x y y =⎧⎧=⎪⎪⇒⎨⎨== ⎪⎪⎩⎩(1, )2P ． （Ⅱ）显然0x =不满足题设条件．可设l 的方程为2y kx =+，设11(,)A x y ， 22(,)B x y ． 联立2 222221 4(2)4(14)161204 2x y x kx k x kx y kx ⎧+=⎪⇒++=⇒+++=⎨⎪=+⎩ ∴1221214x x k = +，1221614k x x k +=-+由22(16)4(14)120k k ∆=-⋅+⋅> 22163(14)0k k -+>，2430k ->，得23 4 k >．① 又AOB ∠为锐角cos 00AOB OA OB ⇔∠>⇔⋅>u u u r u u u r ， ∴ 12120 OA OB x x y y ⋅=+>u u u r u u u r 又 212121212(2)(2)2()4y y kx kx k x x k x x =++=+++ ∴ 1212x x y y +21212(1)2()4 k x x k x x =++++222 1216(1)2()41414k k k k k =+⋅ +⋅-+++ 22212(1)21641414k k k k k +⋅=-+++22 4(4)014k k -=>+∴2 144k -<<．② 1。 【2008高考北京理第4题】若点P 到直线1x =-的距离比它到点(20)， 的距离小1，则点P 的轨迹为（ ) A ．圆 B ．椭圆 C ．双曲线 D ．抛物线 【答案】 D 【解析】 试题分析：把P 到直线1x =-向左平移一个单位,两个距离就相等了,它就是抛物线的定义。 考点：抛物线的定义. 2. 【2013高考北京理第6题】若双曲线22 221x y a b -=3渐近线方程为（ ）． A ．y ＝±2x B ．2y x =± C ．12 y x =± D ．22 y x =± 【答案】B 考点：双曲线的简单几何性质. 3. 【2009高考北京理第12 题】椭圆22 192 x y +=的焦点为12,F F ，点P 在 椭圆上,若1 ||4PF =，则2 ||PF =_________；1 2 F PF ∠的小大为__________。 【答案】2,120︒ 【解析】 试题分析： ∵2 29,3a b ==， ∴ c = ∴ 12 F F = 又1 124,26PF PF PF a =+==， ∴2 2PF =， 又由余弦定理,得(2 2 2 1 2 241 cos 224 2 F PF +-∠= =- ⨯⨯， ∴1 2 120F PF ︒∠=,故应填2,120︒。 w 。w 。w 。.c 。o 。m 考点:圆的定义、焦点、长轴、短轴、焦距之间的关系以及余弦定理. 4. 【2010高考北京理第13 题】已知双曲线22 221x y a b -=的离心率为 2,焦 点与椭圆22 1259 x y +=的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为__________; 渐近线方程为__________． 【答案】 (±4，0) ±y ＝0 [］ 专题09 圆锥曲线 1. 【2008高考北京文第3题】“双曲线的方程为 22 1916 x y -=”是“双曲线的准线方程为9 5 x =±”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 【答案】A 2. 【2013高考北京文第7题】双曲线x 2 －2 y m ＝1的充分必要条件是 ( )． A ．m ＞ 1 2 B ．m ≥1 C ．m ＞1 D ．m ＞2 【答案】C 【解析】 试题分析：该双曲线离心率e =m ＞1，故选C. 3. 【2011高考北京文第8题】 已知点()0,2A ，()2,0B ，若点C 在函数2 y x =的图象上，则使得VABC 的面积为2的点 C 的个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】A 【解析】设( )2 ,C x x ，因为()0,2A ，()2,0B ，所以的直线AB 方程为122 x y +=，即 20 x y +-= ，AB==，由2 VABC S= 得 11 2 22 AB h ⨯=⨯==， 即h=，由点到直线的距离公 式=，即222 x x +-=±解 得1, x=-故选A. 4. 【2007高考北京文第4题】椭圆 22 22 1(0) x y a b a b +=>>的焦点为 1 F， 2 F，两条准线与x轴的交点分别为M N ，，若 12 MN F F ≤2，则该椭圆离心率的取值范围是（）Ａ．1 2 ⎛⎤ ⎥ ⎝⎦ ， Ｂ．0⎛ ⎝⎦ Ｃ． 1 1 2 ⎡⎫ ⎪ ⎢⎣⎭ ， Ｄ．1⎫⎪ ⎪ ⎣⎭ 【答案】D 【试题分析】 2 2a MN c =， 12 2 F F c =， 12 2 MN F F ≤，即 2 2 a c c ≤ ，该椭圆的离心率2 e≥ ，取值范围是,1 2 ⎫ ⎪⎪ ⎣⎭ ，故选D. 【考点】椭圆的离心率，椭圆准线 5. 【2005高考北京文第9题】抛物线y2=4x的准线方程是；焦点坐标 是． 【答案】1 x=-，() 1,0 【解析】241 2 p p=⇒=，所以抛物线的准线为1 x=-；焦点坐标为() 1,0。 6. 【2013高考北京文第9题】若抛物线y2＝2px的焦点坐标为(1,0)，则p＝__________；准线方程为__________． 【答案】2 x＝－ 1 7. 【2009高考北京文第13题】椭圆 22 1 92 x y +=的焦点为 12 , F F，点P在椭圆上，若高考数学最新真题专题解析—圆锥曲线综合(新高考卷)
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