高考热点题型：圆锥曲线中的探索性问题

圆锥曲线中的探索性问题

【必备知识】

1．将直线y kx m =+代入椭圆22

221(0)x y a b a b +=>>方程，化为关于x 的二次方程，即为

222222()b x a kx m a b ++=，亦即222222222()20b a k x kma x a m a b +++-=．

2．将直线y kx m =+代入抛物线2

2(0)y px p =>方程，得 2

2

2

2()0k x km p x m +-+=，注意对k 分0k =（对应于直线与对称轴平行）与0k ≠（对应于直线与对称轴不平行）两类进行讨论．

3．过点1112212(,),(,,)()P x y P x y x x ≠的直线斜率为12

21

21

P P y y k x x -=-．

4．点00(,)P x y 到直线0Ax By C ++=的距离为002

2

d A B

=

+．

5．直线l ：y kx m =+与圆锥曲线相交所得弦长2

22

1212121||1()4L k x x k x x x x =+-=+?+-＝

21||

k a ?

+?

． 【技巧点拨】

解答圆锥曲线中探索性问题，一般可分为以下步骤： （1）假设结论成立；

（2）以假设为条件，进行推理求解；

（3）明确规范结论，若能推出合理结论，经验证成立即可肯定正确；若推出矛盾，即否定假设； （4）回顾反思解题过程． 【典例展示】

【题型一】探索直线、曲线间的位置关系问题

【例1】已知椭圆C :2

2

33x y +=，过点()1,0D 且不过点()2,1E 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，

直线AE 与直线3x =交于点M ．

（Ⅰ）若AB 垂直于x 轴，求直线BM 的斜率；

（Ⅱ）试判断直线BM 与直线DE 的位置关系，并说明理由．

【解析】（Ⅰ）因为AB 过点(1,0)D 且垂直于x 轴，所以可设1(1,)A y ，1(1,)B y -． 直线AE 的方程为11(1)(2)y y x -=--．令3x =，得1(3,2)M y -． 所以直线BM 的斜率11

2131

BM y y k -+=

=-．

（Ⅱ）直线BM 与直线DE 平行．证明如下： 当直线AB 的斜率不存在时，由（Ⅰ）可知1BM k =．

高考热点题型

又因为直线DE 的斜率10

121

DE k -=

=-，所以BM DE ．

当直线AB 的斜率存在时，设其方程为(1)(1)y k x k =-≠． 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则直线AE 的方程为111

1(2)2

y y x x --=

--． 令3x =，得点1113

(3,

)2

y x M x +--．

由2233(1)

x y y k x ?+=?=-?，得2222(13)6330k x k x k +-+-=．直线BM 的斜率112

12

3

2

3BM

y x y x k x +---=

- 因为()()()()()

()()

11122121131232132k x x k x x x x k x x BM -+--------=

--

()()()()

12122112332k x x x x x x --++-????=--()()()222221331213131332k k k k k x x ??-+-+- ?++??=

--0=，

所以D 1k k BM E ==．所以BM

DE ．

综上可知，直线BM 与直线DE 平行．

【思维导图】

【特别点拨】围绕点的坐标确定是解答本题的关键．

1．已知圆C 的圆心为)3)(0,(

22:1x y E a b +=

(0)a b >>有一个交点为(3,1)A ，21,F F 分别是椭圆的左、右焦点．

（Ⅰ）求圆C 的标准方程；

（Ⅱ）若点P 的坐标为()4,4，试探究斜率为k 的直线1PF 与圆C 能否相切，若能，求出椭圆E 和直线1PF 的方程；若不能，请说明理由．

1．【解析】（1）由已知可设圆C 的方程为2

2

()5(3)x m y m -+=<，

将点A 的坐标代入圆C 的方程，得2

2

(3)15m -+=，即2

(3)4m -=，解得1m =或5m =.

∵3m <，∴1m =，∴圆C 的方程为2

2

(1)5x y -+=.

(2)依题意，可得直线1PF 的方程为(4)4y k x =-+，即440kx y k --+=. 若直线1PF 与圆C 相切，则

2

51

k =+

0112442=+-∴k k ，解得112k =或12

k = .

当112=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为36011>，不合题意，舍去．

当1

2

=k 时，直线1PF 与x 轴的交点横坐标为－4， ∴124,(4,0),(4,0)c F F =-，

∴由椭圆的定义得2222122||||(34)1(34)152262a AF AF =+=+++-+=+=

∴32a =，即218a =，222

2b a c =-=．

直线1PF 能与圆C 相切，直线1PF 的方程为240x y -+=，椭圆E 的方程为

221182

+=x y ． 【题型二】探索与平面图形形状相关的问题

【例2】设椭圆()22

22:10x y C a b a b

+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，上顶点为A ，过点A 与2AF 垂

直的直线交

x 轴负半轴于点Q ，且1F 恰是2QF 的中点，若过2,,A Q F 三点的圆恰好与直线

:330l x y --=相切．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若直线2:1+=x y l 与椭圆C 交于H G ,两点，在x 轴上是否存在点)0,(m P ，使得以PH PG ,为邻边的平行四边形是菱形．如果存在，求出m 的值；如果不存在，请说明理由．

【解析】（1）设椭圆C 的半焦距为()0c c >，由1F 为线段2F Q 中点，2AQ AF ⊥， 所以2,,A Q F 三点圆的圆心为()1,0F c -，半径为2c a =． 又因为该圆与直线l 相切，所以

3212

c c c --=∴=．

所以2

2

4,3a b ==，故所求椭圆方程为22

143

x y +=； （2）将直线2:1+=x y l 代入22

143

x y +=得041672=++x x ． 设),(),,(2211y x H y x G ，则74

,7162121=-

=+x x x x ， ∴7

12422212121=++=+++=+x x x x y y ，∴GH 的中点)76

,78(-M ，

由于菱形对角线互相垂直，则1-=?CM PM k k ，∴117

80

76-=?---m ，解得72-=m ．

即存在满足题意的点P ，且m 的值为7

2

-．

【思维导图】（1

3．已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在x 轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点，过右焦点F 与x 轴不垂直的直线l 交椭圆于P Q ，两点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）当直线l 的斜率为1时，求POQ ?的面积；

（Ⅲ）在线段OF 上是否存在点)0,(m M ，使得以MP MQ ，为邻边的平行四边形是菱形？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．

3．【解析】（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为)0(122

22>>=+b a b

y a x ．

因为两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，所以2,1=

==a c b ．

所求椭圆方程为12

22

=+y x ． （Ⅱ）因为直线l 过椭圆右焦点)0,1(F ，且斜率为1，所以直线l 的方程为1-=x y ．

设),(),,(2211y x Q y x P ．由???-==+,

1,2222x y y x 得01232

=-+y y ，解得31,121=-=y y ，

所以3

2

||21||||212121=-=-?=

?y y y y OF S POQ ． （Ⅲ）假设在线段OF 上存在点)10)(0,(<

因为直线l 与x 轴不垂直，所以设直线l 的方程为)0)(1(≠-=k x k y ．

由???-==+),

1(,2222x k y y x 可得0224)21(2222=-+-+k x k x k ， 因为0)1(8)22)(21(4162

2

2

4

>+=-+-=?k k k k ，所以2

2212221212

2,214k

k x x k k x x +-=+=+． 设PQ y x Q y x P ),,(),,(2211的中点为),(00y x N ，所以2

022021,212k

k y k k x +-=+=， 因为以MP ，MQ 为邻边的平行四边形是菱形，所以MN ⊥PQ ，1-=?k k MN ，

所以1212212

2

2-=?-++-=?k m

k k

k k

k k MN

，整理得m k k k k ++-=+-222221221， 2

2

2

2221212k

k k k k m +=++-=

，所以)0(2122≠+=k k k m ，所以210<

【例3】已知椭圆()2222:10x y C a b a b

+=>>

，短轴长为2．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）若,A B 是椭圆C 上的两个动点，O 为坐标原点，,OA OB 的斜率分别为12,k k ，问是否存在非零常数λ使12k k λ?=时，AOB ?的面积S 为定值？若存在，求λ的值；否则说明理由．

【解析】（1）

∵,222c e b a ===，∴222

a b c =+，∴2,1,a b ==椭圆C 的方程为：2214

x y +=；

（2）假设存在这样的常数λ使12k k λ=时AOB S ?为定值，

设直线的方程为： ,y kx m =+且AB 与2

214

x y +=的交点坐标为()()1122,,,A x y B x y ． 因为12,k k λ=所以，()()121212120,x x y y x x kx m kx m λλ-=-+++0=， 化为()

221212()0k x x km x x m λ-+++=．

将,y kx m =+代入2

214

x y +=，消去y 得：()222148440k x kmx m +++-=．

由韦达定理得：12x x +2

814km

k

-=+，12x x 224414m k -=+， ∴(

)

2

21212()0k x x km x x m λ-+++=，可化为()22

414k m λλ

-=

-．

因为点O 到直线AB

的距离为d =

，

所以

1211

22AOB

S

d AB x x m ==-= 2

2

AOB

S ???= ???()()()()()

2222222(14)41441414k k k k λλλλ??+?----????-+＝()()4222426416141168114k k k k λλλλ-++?-?++- 要使上式为定值，只需26411641681λλλ-+-==，得，14λ=-，此时2

2AOB S ???

= ???

14，即1AOB S ?=， 故存在非零常数1

4

λ=-

，此时1AOB S ?=． 【思维导图】（1

（2

3．已知平面直角坐标系上一动点(,)P x y 到点(2,0)A -的距离是点P 到点(1,0)B

的距离的

2倍．

（1）求点P 的轨迹方程；

（2）过点A 的直线l 与点P 的轨迹C 相交于,E F 两点，点(2,0)M ，则是否存在直线l ，使EFM S △取得最大值，若存在，求出此时l 的方程，若不存在，请说明理由．

3．【解析】（1= ∴2

2

40x x y -+=，即2

2

(2)4x y -+=，

（2）由题意知l 的斜率一定存在，不妨假设存直线l 的斜率为k ，且1122(,),(,)E x y F x y 。

则:(2)l

y k x =+

，联立方程：2222

22

(2)(1)4(1)40(2)4y k x k x k x k x y =+??++-+=?-+=?

， ∴2

2

2

2

16(1)4(1)40k k k k =--+?>?<<△

又∵直线l 不经过点(2,0)M ，则33(,0)(0,)k ∈-

． ∵点(2,0)M 到直线

l 的距离21

d k =

+，2||24EF d =-，

∴2221

||4(2)42

EFM S EF d d d d =

?=-?=--+△， ∵22

222

216161

,(0,)(0,4)113

1k d k d k k

==∈?∈++， ∴当2

2d =时，EFM

S △取得最大值2，此时，2221617

217k k k k =?=?=±

+ ∴直线l 的方程为720720x y x y -+=++=或。 【题型四】探索与直线斜率相关的问题

【例4】如图，椭圆C ：22221(0)x y a b a b +=>>经过点3(1,)2P ，离心率1

2

e =，直线l 的方程为4x =．

（1）求椭圆C 的方程；

（2）设过椭圆C 右焦点的直线AB 与直线l 相交于点M ，记直线,,PA PB PM 的斜率分别为

123,,k k k ，问：是否存在常数λ，使得123k k k λ+=？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

【解析】（1）由3(1,)2P 在椭圆上，得22

1914a b += ①， 又1

2

c e a =

=，得22224,3a c b c == ②， 由①②，得2

1c =，2

4a =，2

3b =，故椭圆C 的方程为22

143

x y +=． （2）设直线AB 的方程为1122(1),(,),(,)y k x A x y B x y =-

由22(1)143

y k x x y =-???+

=??2222(43)84120k x k x k ?+-+-=，∴2122

843k x x k +=+，2

12241243k x x k -=+，

∴12121212123333

(1)(1)22221111

y y k x k x k k x x x x -

-----+=

+=+----123112()211k x x =-+-- 1212122322()1x x k x x x x +--?-++2

222

2

28234322141282

14343

k k k k k k k k -+=-?=---+++． 又将4x =代入(1)y k x =-得(4,3)M k ，∴3331232

k k k -

==-，∴1232k k k +=． 故存在常数2λ=符合题意．

【思维导图】（1

（2

3k

4．椭圆1C 与2C 的中心在原点，焦点分别在x 轴与y 轴上，它们有相同的离心率2

2

=e

，并且2C 的短轴为1C 的长轴，1C 与2C 的四个焦点构成的四边形面积是22．

（Ⅰ）求椭圆1C 与2C 的方程；

（Ⅱ）设P 是椭圆2C 上非顶点的动点，P 与椭圆1C 长轴两个顶点A ，B 的连线PA ，PB 分别与椭圆1C 交于点E ，F ．

（1）求证：直线PA ，PB 斜率之积为常数；

（2）直线AF 与直线BE 的斜率之积是否为常数？若是，求出该值；若不是，说明理由．

4．【解析】（Ⅰ）依题意22

=e ，设1C ：122222=+b y b x ，2C ：1422

222=+b

y b x ．

由对称性，四个焦点构成的四边形为菱形，且面积222222

1

=??=

b b S ，解得：12=b ， 所以椭圆1C ：122

2=+y x ，2C ：14

222=+y x ． （Ⅱ）（1）设),(00y x P ，则14

22

20=+y x ，)0,2(-A ，)0,2(B ， 2

00+=

x y k PA ，2

00-=

x y k PB ，所以：22

242202

02020-=--=-=?x x x y k k PB

PA ， 直线PA ，PB 斜率之积为常数2-．

（2）设),(11y x E ，则122121=+y x ，211+=x y k EA ，2

11

-=x y k EB ， 所以：212

2112202

1

2121-=--

=-=?x x x y k k EB

EA ，

同理：21-

=?FB FA k k ，所以：4

1

.=??FB FA EB EA k k k k ，由PA EA k k =，PB FB k k =， 结合（1）有8

1

-=?FB EA k k ．

【题型五】探索与距离相关的问题

【例2】已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3)，且点F (2,0)为其右焦点． （1）求椭圆C 的方程；

（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．

【解析】（1）依题意，可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2

b

2＝1(a >b >0)，且可知其左焦点为F ′(－2,0)．

从而有????? c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得?

????

c ＝2，a ＝4.

又a 2＝b 2＋c 2，所以b 2＝12，故椭圆

C 的方程为x 216＋y 2

12

＝1.

（2）假设存在符合题意的直线l ，设其方程为y ＝3

2

x ＋t .

由???

y ＝3

2

x ＋t ，x 2

16＋y

2

12＝1，

得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0.

因为直线l 与椭圆C 有公共点，所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0，解得－43≤t ≤4 3. 另一方面，由直线OA 与l 的距离d ＝4，得

|t |

94

＋1＝4，解得t ＝±213.

由于±213?[－43，43]，所以符合题意的直线l不存在．

【思维导图】（1

（2

）

5．已知点)0,1(

),

0,1

(

2

1

F

F-分别是椭圆C：)0

(1

2

2

2

2

>

>

=

+b

a

b

y

a

x

的左、右焦点，点

)

2

2

,1(P在椭圆C上．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）设直线

1

l：m

kx

y+

=，

2

l：m

kx

y-

=，若

1

l、

2

l均与椭圆C相切，试探究在x轴上是否存在定点M，点M到1l、2l的距离之积恒为1？若存在，请求出点M坐标；若不存在，请说明理由．5．【解析】（1）由)0,1(

),

0,1

(

2

1

F

F-，得1

=

c，

?

?

?

??

?

?

+

=

=

+

1

1

2

1

1

2

2

2

2

b

a

b

a，

1

,2=

=b

a，

∴椭圆C的方程为1

2

2

2

=

+y

x

．

（2）把

1

l的方程代入椭圆方程得0

2

2

4

)1

2(2

2

2=

-

+

+

+m

mkx

x

k．

∵直线

1

l与椭圆C相切，∴0

)2

2

)(1

2(4

162

2

2

2=

-

+

-

=

?m

k

m

k，化简得2

22

1k

m+

=．

同理把

2

l的方程代入椭圆方程也得2

22

1k

m+

=．

设在x轴上存在点)0,(t

M，点B到直线

1

l、

2

l的距离之积为1，则1

1

|

|

1

|

|

2

2

=

+

-

?

+

+

k

m

kt

k

m

kt

，即1

|

|2

2

2

2+

=

-k

m

t

k，把2

22

1k

m+

=代入并去绝对值整理，2

)3

(2

2=

-

t

k或0

)1

(2

2=

-

t

k．前式显然不恒成立；而要使得后式对任意的R

k∈恒成立，则0

1

2=

-

t，解得1±

=

t；

综上所述，满足题意的定点M存在，其坐标为)0,1(

),

0,1

(-．

【题型六】探索与圆相关的问题

【例6】已知椭圆

22

22

1(0)

x y

a b

a b

+=>>的左、右焦点分别为

1

F、

2

F，短轴两个端点为A、B，且

四边形

12

F AF B是边长为2的正方形.

（1）求椭圆的方程；

（2）若C 、D 分别是椭圆长轴的左、右端点，动点M 满足MD CD ⊥，连结CM ，交椭圆于点P .证明：OM OP ?为定值；

（3）在（2）的条件下，试问x 轴上是否存在异于点C 的定点Q ，使得以MP 为直径的圆恒过直线

,DP MQ 的交点，若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，说明理由.

【解析】（1）由题意得，2222b c ==，∴2b c ==

2a =，

∴所求的椭圆方程为22

142

x y +=. （2）由（1）知，(2,0)C -，(2,0)D ．由题意可设CM ：(2)y k x =+,11(,)P x y ，

∵MD CD ⊥，∴(2,4)M k ．由22

142

(2)x y y k x ?+=???=+?整理得2222

(12)8840k x k x k +++-=． ∵21284212k x k --=+，∴211122244,(2)1212k k x y k x k k -==+=++，所以222

244(,)1212k k

P k k -++， ∴22222

2444(12)

244121212k k k OM OP k k k k -+?=?

+?==+++，即OM OP ?为定值． （3）设0(,0)Q x ，则02x ≠-．

若以MP 为直径的圆恒过,DP MQ 的交点，则MQ DP ⊥，∴0MQ DP ?=恒成立．

由（2）可知0(2,4)QM x k =-，222

84(

,)1212k k

DP k k -=++， ∴202284(2)401212k k QM DP x k k k -?=-?+?=++，即2

28012k x k

=+恒成立，∴00x =， ∴存在(0,0)Q 使得以MP 为直径的圆恒过直线,DP MQ 的交点．

【思维导图】（1）根据题意求得,b c 的值→求出a 的值→求出椭圆方程；（2）求出,C D 的坐标→设

的坐标→利用向量数量积运算公式使问题得证；（3）先假设存在→利用直径所对的角为直角知

6．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率12e =，且过点31,2M ??

???

(Ⅰ)求椭圆C 的方程；

(Ⅱ)椭圆C 长轴两端点分别为A 、B ，点P 为椭圆上异于A 、B 的动点，定直线4x =与直线PA 、

PB 分别交于M 、N 两点，又()7,0E ，过E 、M 、N 三点的圆是否过x 轴上不同于点E 的定点？若

经过，求出定点坐标；若不经过，请说明理由．

6．【解析】(Ⅰ)∵e=21?a=2c ，∵a 2=b 2+c 2?b 2=43a 2

，∴椭圆的方程为22a x +2

234a y =1． ∵()1,32

M )在椭圆上，∴2

4a =，∴所求椭圆的方程为13422=+y x ． (Ⅱ)设PA PB 、的斜率分别为k 1、k 2，),(00y x p ，则4

3

21-

=k k ， 则PA ：)2(1+=x k y ，则)6,4(1k M ，PB ：)2(2-=x k y ，则)2,4(2k N ， ∴11

23

6k k k EM -=-

=，322k k EN -=?1-=EN EM k k ，

设圆过定点(),0F m ，则

142462

1-=--m

k m k ，则1m =或7m =(舍)

故过点E M N 、、三点的圆是以MN 为直径的圆过点(1,0)F ． 【题型七】探索与平面向量相关的问题

【例7】已知12,F F 分别为椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>的两个焦点，1,2??

? ???

P 是椭圆上一点，

1122,F F 成等差数列．

（1）求椭圆C 的标准方程；

（2）已知动直线l 过点F ，且与椭圆C 交于,A B 两点，试问x 轴上是否存在定点Q ，使得

7

16

QA QB ?=-

恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．

【解析】（11122,F F 成等差数列，所以)12122=+F F PF PF ，

将12122,2PF PF a F F c +==，代入化简，得a =

，

所以，由2222211

1?=?

?+=???=+?

a a b

a b c

，解得1,1a c b ===，所以椭圆的标准方程为2212x y +=． （2）假设在x 轴上存在点(),0Q m ，使得7

16QA QB ?=-恒成立．

①当直线l

的斜率不存在时，,1,?? ????A B

，由于7

11,16??-?-=- ????

m m ，解得54m =

或3

4

m =； ②当直线l 的斜率为0

时，

)(),A

B

，则

)()

7

,0,016

?=-

m m ，解得54

m =±，

由①②可得54m =

.下面证明54m =时，716

QA QB ?=-恒成立，当直线l 的斜率为0时，结论成立； 当直线l 的斜率不为0时，设直线l 的方程为()()11221,,,,=+x ty A x y B x y ．

由1x ty =+及2

212

x y +=，得()222210++-=t y ty ，所以0?>， ∴121222

21

,22

t y y y y t t +=-

=-++． ∵11221,1x ty x ty =+=+， ∴()()2112212121212551111,,14444416?

????

???-

?-=--+=+-++= ? ? ????????

???x y x y ty ty y y t y y t y y ()()

222

22211212217

124216161622--+-++?+=+=-+++t t t t t t t t ．

综上所述，在x 轴上存在点5,04??

???

Q 使得716QA QB ?=-恒成立．

【思维导图】（1

P

（2）假设存在满足条件的Q

7．设椭圆)0,(1:22

22>=+b a b

y a x E 过)1,6(),2,2(N M 两点，O 为坐标原点．

（1）求椭圆E 的方程；

（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点B A ,，且

OB OA ⊥？若存在，写出该圆的方程，若不存在说明理由．

7．【解析】（1）因为椭圆)0,(1:22

22>=+b a b

y a x E 过)1,6(),2,2(N M 两点，

所以?????=+=+1161242222b a b a 解得?????=

=41181

122b

a ，所以???==4822

b a ，所以椭圆E 的方程为

1482

2=+y x ． （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点B A ,，且

⊥．设该圆的切线方程为m kx y +=，解方程组?????=++=148

22y x m

kx y ，得8)(22

2=++m kx x ，

即0824)21(2

2

2

=-+++m kmx x k ，则0)48(8)82)(21(4162

2

2

2

2

2

>+-=-+-=?m k m k m k ，

即04822>+-m k ，???

????

+-=+-=+,

2182,21422

21221k m x x k km x x 2

222

2222222

21212

212121821421)82()())((k k m m k m k k m k m x x km x x k m kx m kx y y +-=++-+-=+++=++=

要使⊥，需使02121=+y y x x ，即

021*******

222=+-++-k k m k m ， 所以08832

2

=--k m ，所以08

8

322

≥-=

m k 又04822>+-m k ， 所以???≥>8

3222m m ，所以382

≥m ，即362≥m 或362-≤m ，

因为直线m kx y +=为圆心在原点的圆的一条切线，所以圆的半径为

36

2,388

8311,122222

2==-+

=+=+=r m m k m r k m

r ，

所求的圆为3

8

22=

+y x ，此时圆的切线m kx y +=都满足362≥m 或362-≤m ，

而当切线的斜率不存在时切线为362±=x 与椭圆

14822=+y x 的两个交点为)362,362(±或)3

6

2,362(±-

满足OB OA ⊥． 综上，存在圆心在原点的圆3

8

22=

+y x ，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点B A ,，且OB OA ⊥.

【巩固练习】

高考圆锥曲线中的定点和定值问题(题型总结超全)

专题08 解锁圆锥曲线中的定点与定值问题 一、解答题 1．【省市第二中学2018届高三上学期期中】已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为；圆过椭圆的三个顶点.过点且斜率不为0的直线与椭圆交于两点. （Ⅰ）求椭圆的标准方程； （Ⅱ）证明：在轴上存在定点，使得为定值；并求出该定点的坐标. 【答案】（1）（2） 【解析】试题分析：（Ⅰ）设圆过椭圆的上、下、右三个顶点，可求得，再根据椭圆的离心率求得，可得椭圆的方程；（Ⅱ）设直线的方程为，将方程与椭圆方程联立求得两点的坐标，计算得。设x轴上的定点为，可得，由定值可得需满足，解得可得定点坐标。 解得。 ∴椭圆的标准方程为. （Ⅱ）证明： 由题意设直线的方程为， 由消去y整理得， 设，，

要使其为定值，需满足， 解得. 故定点的坐标为. 点睛：解析几何中定点问题的常见解法 (1)假设定点坐标，根据题意选择参数，建立一个直线系或曲线系方程，而该方程与参数无关，故得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即所求定点； (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点符合题意． 2．【省市第七中学2017-2018学年高二上学期半期考】已知斜率为k 的直线l 经过点()1,0-与抛物线 2:2C y px =（0,p p >为常数）交于不同的两点,M N ，当1 2 k = 时，弦MN 的长为415. （1）求抛物线C 的标准方程； （2）过点M 的直线交抛物线于另一点Q ，且直线MQ 经过点()1,1B -，判断直线NQ 是否过定点？若过定点，求出该点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】（1）2 4y x =;（2）直线NQ 过定点()1,4- 【解析】试题分析：（1）根据弦长公式即可求出答案； （2）由（1）可设()()() 2221122,2,,2,,2M t t N t t Q t t ，则1 2 MN k t t =+， 则()11:220MN x t t y tt -++=； 同理： ()22:220MQ x t t y tt -++= ()1212:220NQ x t t y t t -++=. 由()1,0-在直线MN 上1 1 t t ?=（1）； 由()1,1-在直线MQ 上22220t t tt ?+++=将（1）代入()121221t t t t ?=-+- （2） 将（2）代入NQ 方程()()12122420x t t y t t ?-+-+-=，即可得出直线NQ 过定点．

【2020届】高考数学圆锥曲线专题复习：圆锥曲线解答题12大题型解题套路归纳

【高考数学中最具震撼力的一个解答题！】注：【求解完第一问以后，】→WILL COME ACROSS圆锥曲线题10大题型：（1）弦长问题（2）中点问题（3）垂直问题（4）斜率问题（5）对称问题（6）向量问题（7）切线问题（8）面积问题（9）最值问题（10）焦点三角形问题。中的2-----4类；分门别类按套路求解； 1.高考最重要考：直线与椭圆，抛物线的位置关系。第一问最高频考（总与三个问题有关）：（1）———————；（2）——————————；（3）—————————； 2.圆锥曲线题，直线代入圆锥曲线的“固定3步走”：---------------------------------------------------; ——————————————————————————————————————； 3.圆锥曲线题固定步骤前9步：-------------------；---------------------------------------------；————————————；—————————；——————————；—————————————————；———————————；——————————————； 4.STEP1:首先看是否属于3种特殊弦长：（1）圆的弦长问题；（2）中点弦长问题（3）焦点弦长问题；→（1）圆的弦长问题：（2法）首选方法：垂径定理+勾

股定理：图示：--------------------------------；公式为：-------------------------；其中求“点线距”的方法：———————；次选：弦长公式；→（2） 中点弦长问题：（2法）首选方法：“点差法” 椭圆：（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；副产品：两直线永远不可能垂直！原因：___________；【两直线夹角的求法：（夹角公式）___________；】双曲线（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；抛物线：形式一：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；形式2：___________；（公式一）--------------------------------；（公式二）--------------------------------；附：“点差法”步骤：椭圆：“点”_______________________;___________________________;“差”__________________________________;“设而不求法”_______________________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________________;___________;___________;→得公式：（公式一）-------------------；（公式二）---------------------；附：“点差法”步骤：抛物线；形式一___________;：“点”_______________________;_____________________;“差”_________________________;“设而不求法”___________________;“斜率公式”+“中点公式”_____________;___________;___________;→得公式：（公式一）---------------------；（公式二）--------------------；附：“点差法”步骤：

圆锥曲线题型归类大全 17

高考圆锥曲线的常见题型 典型例题 题型一：定义的应用 例1、动圆M 与圆C 1:(x+1)2+y 2=36内切,与圆C 2:(x-1)2+y 2 =4外切,求圆心M 的轨迹方程。 例2、方程 表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由,分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由, 项系数的正负决定，焦点在系数为正的坐 标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程 1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的 取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 的曲线：(1)是椭圆;(2)是双曲线. 题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题

1、椭圆焦点三角形面积2 tan 2α b S = ；双曲线焦点三角形面积 2 cot 2α b S = 2、常利用第一定义和正弦、余弦定理求解 3、22,,,n m mn n m n m +-+四者的关系在圆锥曲线中的应用； 典型例题 例1、 椭圆x a y b a b 222210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角∠F P F 12= α， 求证：△F 1PF 2的面积为b 22 tan α 。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且， ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的范围；

高考数学圆锥曲线大题集大全

高考二轮复习专项：圆锥曲线 1. 如图，直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线，交点是A ，点B 、D 在直线l1 上(B 、D 位于点A 右侧)，且|AB|=4，|AD|=1，M 是该平面上的一个动点，M 在l1上的射影点是N ，且|BN|=2|DM|. 2. (Ⅰ) 建立适当的坐标系，求动点M 的轨迹C 的方程． (Ⅱ)过点D 且不与l1、l2垂直的直线l 交(Ⅰ)中的轨迹C 于E 、F 两点；另外平面上的点G 、H 满足： ○1(R);AG AD λλ=∈u u u r u u u r ○22;GE GF GH +=u u u r u u u r u u u r ○30.GH EF ?=u u u r u u u r 求点G 的横坐标的取值范围． 2. 设椭圆的中心是坐标原点，焦点在x 轴上，离心率 23=e ，已知点)3,0(P 到这个椭圆上的点的最远距离是4，求这个椭圆的方程. 3. 已知椭圆)0(1:22221>>=+b a b y a x C 的一条准线方程是, 425=x 其左、右顶点分别 是A 、B ；双曲线1 :22 222=-b y a x C 的一条渐近线方程为3x －5y=0. （Ⅰ）求椭圆C1的方程及双曲线C2的离心率； （Ⅱ）在第一象限内取双曲线C2上一点P ，连结AP 交椭圆C1于点M ，连结PB 并延长交椭圆C1于点N ，若=. 求证：.0=? B A D M B N l2 l1

4. 椭圆的中心在坐标原点O,右焦点F （c,0）到相应准线的距离为1，倾斜角为45°的直线交椭圆于A ，B 两点.设AB 中点为M ，直线AB 与OM 的夹角为αa. （1）用半焦距c 表示椭圆的方程及tg α; （2）若2

圆锥曲线的七种常考题型详解【高考必备】

圆锥曲线的七种常考题型 题型一：定义的应用 1、圆锥曲线的定义： （1）椭圆 （2）双曲线 （3）抛物线 2、定义的应用 （1）寻找符合条件的等量关系 （2）等价转换，数形结合 3、定义的适用条件： 典型例题 例1、动圆M 与圆C 1：()2 2 136x y ++=内切,与圆C 2：()2 2 14x y -+=外切,求圆心M 的 轨迹方程。 例2、8=表示的曲线是 题型二：圆锥曲线焦点位置的判断（首先化成标准方程，然后再判断）： 1、椭圆：由2 2 x y 、分母的大小决定，焦点在分母大的坐标轴上。 2、双曲线：由2 2 x y 、系数的正负决定，焦点在系数为正的坐标轴上； 3、抛物线：焦点在一次项的坐标轴上，一次项的符号决定开口方向。 典型例题 例1、已知方程1212 2=-+-m y m x 表示焦点在y 轴上的椭圆，则m 的取值范围是 例2、k 为何值时,方程 1592 2=---k y k x 表示的曲线： (1)是椭圆；(2)是双曲线.

题型三：圆锥曲线焦点三角形（椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形）问题 1、常利用定义和正弦、余弦定理求解 2、12PF m PF n ==，，2 2 m n m n mn m n +-+，，，四者的关系在圆锥曲线中的应用 典型例题 例1、椭圆x a y b a b 222 210+=>>()上一点P 与两个焦点F F 12，的张角α=∠21PF F ， 求21PF F ?的面积。 例2、已知双曲线的离心率为2，F 1、F 2是左右焦点，P 为双曲线上一点，且ο 6021=∠PF F ， 31221=?PF F S ．求该双曲线的标准方程 题型四：圆锥曲线中离心率，渐近线的求法 1、a,b,c 三者知道任意两个或三个的相等关系式，可求离心率，渐进线的值； 2、a,b,c 三者知道任意两个或三个的不等关系式，可求离心率，渐进线的最值或范围； 3、注重数形结合思想不等式解法 典型例题 例1、已知1F 、2F 是双曲线122 22=-b y a x （00>>b a ，）的两焦点，以线段21F F 为边作 正三角形21F MF ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） A. 324+ B. 13- C. 2 1 3+ D. 13+ 例2、双曲线)00(122 22>>=-b a b y a x ，的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其 上一点，且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为 A. (1，3) B.(]13， C.(3,+∞) D.[)3,+∞

(完整版)高考圆锥曲线题型归类总结(最新整理)

）直接法：直接利用条件建立之间的关系； 和直线的距离之和等于 ），端点向圆作两条切线

的距离比它到直线的距离小于 ：和⊙：都外切，则动圆圆心 代入转移法：动点依赖于另一动点的变化而变化，并且又在某已知曲线上，则可先用的代数式表示，再将代入已知曲线得要求的轨 是抛物线上任一点，定点为,分所成的比为 参数法：当动点坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程）。 过抛物线的焦点作直线交抛物线于

?OA OB ⊥?121K K ?=-?0OA OB ?= ?12120 x x y y += ②“点在圆内、圆上、圆外问题” “直角、锐角、钝角问题” “向量的数量积大于、等于、小于0问题”?? >0； ?1212x x y y + ③“等角、角平分、角互补问题” 斜率关系（或）；?120K K +=12K K = ④“共线问题” （如： 数的角度：坐标表示法；形的角度：距离转化法）； AQ QB λ= ?（如：A 、O 、B 三点共线直线OA 与OB 斜率相等）；? ⑤“点、线对称问题” 坐标与斜率关系；? ⑥“弦长、面积问题” 转化为坐标与弦长公式问题（提醒：注意两个面积公式的合理选择）；?六、化简与计算；七、细节问题不忽略； ①判别式是否已经考虑；②抛物线问题中二次项系数是否会出现0.基本解题思想： 1、“常规求值”问题：需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2、“是否存在”问题：当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3、证明定值问题的方法：⑴常把变动的元素用参数表示出来，然后证明计算结果与参数无关；⑵也可先在特殊条件下求出定值，再给出一般的证明。 4、处理定点问题的方法：⑴常把方程中参数的同次项集在一起，并令各项的系数为零，求出定点；⑵也可先取参数的特殊值探求定点，然后给出证明 5、求最值问题时：将对象表示为变量的函数，几何法、配方法（转化为二次函数的最值）、三角代换法（转化为三角函数的最值）、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等再解决； 6、转化思想：有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 7、思路问题：大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而

圆锥曲线历年高考题(整理)附答案

数学圆锥曲线测试高考题 、选择题： 2. （2006全国 II ）已知△ ABC 的顶点 B 、C 在椭圆 x 3 2＋y 2 ＝1上，顶点 A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点 3 在 BC 边上，则△ ABC 的周长是 （ A ）2 3 （B ） 二、填空题： 1 设点 A 1, ，则求该椭圆的标准方程为 1. （2006 全国 II ）已知双曲线 a 2 b 2 （C ）54 A)5 3 x 2 y 2 4 1的一条渐近线方程为 y ＝ 3x ，则双曲线的离心率为（ (D)3 2 C) 4 3 D)12 3. （2006全国卷 I ）抛物线 y x 2 上的点到直线 4x 3y 0距离的最小值是（ A ． 4 3 ．3 4．（ 2006 广东高考卷） 已知双曲线 3x 2 y 2 9 ，则双曲线右支上的点 P 到右焦点的距离与点 P 到右准线的距离之比等 于( ) 22 A. 2 B. C. 2 D. 4 5. 2006 辽宁卷）方程 2x 2 5x 0 的两个根可分别作为（ Ａ．一椭圆和一双曲线的 离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 6. 2006 辽宁卷）曲线 10 m 2 y 6m 2 1(m 6) 与曲线 x 5m 2 y 1(5 m 9) 的( ) 9m 7． 8. （A ）焦距相等 （B ） 离心率相等 （C ）焦点相同 （D ）准线相同 2 2 x 2006 安徽高考卷）若抛物线 y 2 2 px 的焦点 与椭圆 6 A ． 2 ．4 1的右焦点重合，则 p 的值为（ 22 2006 辽宁卷）直线 y 2k 与曲线 y 2 18k 2 x (k R,且k 0） 的公共点的个数为（ (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 9. （2006 全国卷 I ）双曲线 mx 2 1的虚轴长是实轴长的 2 倍，则 m 10. （2006 上海卷 ）已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆， 它的中心在原点， 左焦点为 F （ 3,0） , 右顶点为 D （2,0） ,

2020年高考圆锥曲线部分大题解析

1.【2018浙江21】如图，已知点P 是y 轴左侧（不含y 轴）一点，抛物线 2:4C y x =上存在不同的两点,A B 满足,PA PB 的中点均在C 上。 （1） 设AB 中点为M ，证明：PM 垂直于y 轴； （2） 若P 是半椭圆2 2 1(0)4 y x x +=<上的动点，求PAB ?面积的取值范围。 解析：（1）设2200112211(,),(,),(,)44 P x y A y y B y y AP 中点满足：2 2 102014( )4()22 y x y y ++= BP 中点满足：2 2 202024:( )4()22 y x y y BP ++= 所以12,y y 是方程2 2 0204()4()22 y x y y ++=即22000 280y y y x y -+-=的两个根，所以 12 02 y y y +=，故PM 垂直于y 轴。 （2）由（1）可知212012002,8y y y y y x y +=?=- 所以222 1200013||()384 PM y y x y x =+-= - ,12||y y -= 因此，3 2212001||||4)24 PAB S PM y y y x ?=?-=- 因为2 2 0001(0)4 y x x +=<，所以2200004444[4,5]y x x x -=--+∈ 因此，PAB ? 面积的取值范围是

1. 距离型问题 2.【2018全国3 理20】已知斜率为k 的直线l 与椭圆22 :143 x y C +=交于,A B 两点，线段AB 的中点为(1,)(0)M m m > （1）证明：1 2 k <- ； （2）设F 为C 的右焦点，P 为C 上一点且0FP FA FB ++=，证明：,,FP FA FB 为等差数列，并求出该数列的公差。 解析：（1）由中点弦公式22OM b k k a ?=-，解得34k m =- 又因为点M 在椭圆内，故302m << ，故1 2 k <- （2）由题意知2,2FA FB FM FP FM +==-，故(1,2)P m - 因为点P 在椭圆上，代入可得3,14m k = =-，即3||2 FP = 根据第二定义可知，1211||2,||222 FA x FB x =- =- 联立22 212121114371402,4287 4 x y x x x x x x y x ?+=???-+=?+==? ?=-+?? 即121 ||||4()32 FA FB x x +=- += 故满足2||||||FP FA FB =+，所以,,FP FA FB 为等差数列 设其公差为d ，因为,A B 的位置不确定，则有

圆锥曲线高考常见题型与分析

圆锥曲线高考常见题型与分析 湖南 黄爱民 有关圆锥曲线的高考命题一般紧扣课本，突出重点，全面考查．既有对基础知识的考查，又有与其他知识的综合考查，通过知识的重组与链接，使知识形成网络，下面例谈圆锥曲线高考题常见类型． 一、轨迹问题 例1 椭圆方程为2 2 14y x +=，过点(01)M ，的直线l 交椭圆于点A B O ，，是坐标原点，点P 满足1()2 OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r ，当l 绕点M 旋转时，求动点P 的轨迹方程． 解：设()P x y ，，11()A x y ，，22()B x y ，， 由题意，得122x x x +=，122 y y y +=，21211y y y x x x --=-． 又∵A B ，在椭圆上， 代入椭圆方程并相减，得121212121()()()()04x x x x y y y y -++-+=． 当12x x ≠时，有121212121()04y y x x y y x x -++ +=-g ． 即112204y x y x -+=g g ， 整理，得2240x y y +-=；① 当12x x =时，点A B ，的坐标分别为(02)，，(02)-，，这时点P 的坐标为(00)，，也满足①． 故点P 的轨迹方程为：2 212111 1616 y x ??- ???+=． 评析：本题主要考查椭圆的方程和性质等基础知识及轨迹的求法与应用和综合解题能力．利用点差法是求解的关键． 二、对称问题 例2 已知椭圆C 的方程22 143 x y +=，试确定m 的取值范围，使得C 上有不同的两点关于直线4y x m =+对称． 解：设椭圆上两点为11()A x y ，，22()B x y ，， 代入椭圆方程并相减，得121212123()()4()()0x x x x y y y y +-++-=．①

历年高考数学圆锥曲线试题汇总

高考数学试题分类详解——圆锥曲线 一、选择题 1.设双曲线22 221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）的渐近线与抛物线y=x 2 +1相切，则该双曲线的离心率等于( C ) （A （B ）2 （C （D 2.已知椭圆2 2:12 x C y +=的右焦点为F ,右准线为l ，点A l ∈，线段AF 交C 于点B ，若3F A F B =,则||AF = (A). (B). 2 (D). 3 3.过双曲线22 221(0,0)x y a b a b -=>>的右顶点A 作斜率为1-的直线，该直线与双曲线的两条渐近线 的交点分别为,B C ．若1 2 AB BC =，则双曲线的离心率是 ( ) A B C D 4.已知椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左焦点为F ，右顶点为A ，点B 在椭圆上，且BF x ⊥轴， 直 线AB 交y 轴于点P ．若2AP PB =，则椭圆的离心率是（ ） A B ．2 C ．13 D ．12 5.点P 在直线:1l y x =-上，若存在过P 的直线交抛物线2 y x =于,A B 两点，且 |||PA AB =，则称点P 为“ 点”，那么下列结论中正确的是 （ ） A ．直线l 上的所有点都是“点” B ．直线l 上仅有有限个点是“点” C ．直线l 上的所有点都不是“ 点” D ．直线l 上有无穷多个点（点不是所有的点）是“ 点” 6.设双曲线12222=-b y a x 的一条渐近线与抛物线y=x 2 +1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为 ( ). A. 4 5 B. 5 C. 25 D.5 7.设斜率为2的直线l 过抛物线2 (0)y ax a =≠的焦点F,且和y 轴交于点A,若△OAF(O 为坐标原点)

高考数学圆锥曲线综合题型归纳解析

圆锥曲线综合题型归纳解析 【知识点精讲】 一、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决.证明过程可总结为“变量——函数——定值”，具体操作程序如下： （1）变量——选择适当的量为变量； （2）函数——把要证明为定值的量表示成变量的函数； （3）定值——化简得到函数的解析式，消去变量得到定值。 求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，在证明定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算过程中消去变量，从而得到定值。 二、求最值问题常用的两种方法 （1）几何法：题中给出的条件有明显的几何特征，则考虑用几何图形的性质来解决。 （2）代数法：题中给出的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，在求该函数的最值。求函数的最值常见的方法有基本不等式法、单调性法、导数法、和三角换元等，这是代数法。 三、求定值、最值等圆锥曲线综合问题的“三重视” （1）重视定义在解题中的应用（优先考虑）； （2）重视曲线的几何特征特别是平面几何的性质与方程的代数特征在解题中的作用； （3）重视根与系数的关系（韦达定理）在解题中的应用（涉及弦长、中点要用）。 四、求参数的取值范围 根据已知条件及题目要求建立等量或不等量关系，再求参数的范围。 题型一、平面向量在解析几何中的应用 【思路提示】解决平面向量在解析几何中的应用问题要把几何特征转化为向量关系，并把向量用坐标表示。常见的应用有如下两个： （1）用向量的数量积解决有关角的问题： ①直角12120a b x x y y ?=+=r r g ； ②钝角10||||a b a b ?-<= == r r r r g r r g 。

高考专题-：圆锥曲线题型方法归纳

高考二轮小专题：圆锥曲线题型归纳 1基础知识： 1．直线与圆的方程； 2．椭圆、双曲线、抛物线的定义与标准方程公式； 3．椭圆、双曲线、抛物线的几何性质等相关知识：、、、、、渐近线。 4. 常用结论，特征三角形性质。 2基本方法： 1．待定系数法：求所设直线方程中的系数，求标准方程中的待定系数、、、、等等； 2．齐次方程法：解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题； 3．韦达定理法：直线与曲线方程联立，交点坐标设而不求，用韦达定理写出转化完成。要注意：如果方程的根很容易求出，就不必用韦达定理，而直接计算出两个根； 4．点差法：弦中点问题，端点坐标设而不求。也叫五条等式法：点满足方程两个、中点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式； 5．距离转化法：将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的距离问题、比例问题、坐标问题； 3基本思想： 1．“常规求值”问题需要找等式，“求范围”问题需要找不等式； 2．“是否存在”问题当作存在去求，若不存在则计算时自然会无解； 3．证明“过定点”或“定值”，总要设一个或几个参变量，将对象表示出来，再说明与此变量无关； 4．证明不等式，或者求最值时，若不能用几何观察法，则必须用函数思想将对象表示为变量的函数，再解决； 5．有些题思路易成，但难以实施。这就要优化方法，才能使计算具有可行性，关键是积累“转化”的经验； 6．大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来，即可自然而然产生思路。 4．专题知识特点 ⑴用代数的方法研究解决几何问题，重点是用数形结合的思想把几何问题转化为代数问题． ⑵解题思路比较简单，概念公式较多，规律性较强，但运算过程往往比较复杂，对运算能力、恒等变形 能力及综合运用各种数学知识和方法的能力要求较高． 5．专题高考地位 本专题是高中数学的核心内容之一，在历年高考试题中均占有举足轻重的地位，问题总量除包括倒数第1（2）题的压轴题外，还至少包括2~3道小题． 本专题内容在高考题中所占的分值是20多分，占总分值的15%左右． ⑴圆锥曲线中的定义、离心率、焦点三角形、焦半径、通径等知识点是填空题和选择题中的高档试题，难度不高，但方法比较灵活． ⑵直线与圆锥曲线的位置关系容易和平面向量、数列、不等式综合，涉及存在性问题、定值问题、定点问题、求参数问题． ⑶求曲线的轨迹方程是解析几何一个基本问题，是历年来高考的一大热点． ⑷圆锥曲线（包括直线与圆）和函数、数列、不等式、三角、平面向量等知识联系密切．直线与圆锥曲线中的存在性问题、定值问题渐成考试定势． ⑸数形结合思想本身就是解析几何的灵魂，在高考解析几何题中的运用更为常见；分类讨论思想主要体现在解答

圆锥曲线常考题型总结——配有大题和练习

圆锥曲线大综合 第一部分 圆锥曲线常考题型和热点问题 一．常考题型 题型一：数形结合确定直线和圆锥曲线的位置关系 题型二：弦的垂直平分线问题 题型三：动弦过定点问题 题型四：过已知曲线上定点的弦的问题 题型五：共线向量问题 题型六：面积问题 题型七：弦或弦长为定值的问题 题型八：角度问题 题型九：四点共线问题 题型十：范围为题（本质是函数问题） 题型十一：存在性问题（存在点，存在直线y kx m =+，存在实数，三角形（等边、等腰、直角），四边形（矩形，菱形、正方形），圆） 二．热点问题 1.定义与轨迹方程问题 2.交点与中点弦问题 3.弦长及面积问题 4.对称问题 5.范围问题 6.存在性问题 7.最值问题 8.定值，定点，定直线问题 第二部分 知识储备 一． 与一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠相关的知识（三个“二次”问题） 1. 判别式：24b ac ?=- 2. 韦达定理：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则 12b x x a +=- ，12c x x a ?= 3. 求根公式：若一元二次方程2 0(0)ax bx c a ++=≠有两个不等的实数根12,x x ，则 1,22b x a -±= 二．与直线相关的知识 1. 直线方程的五种形式：点斜式，斜截式，截距式，两点式，一般式

2. 与直线相关的重要内容：①倾斜角与斜率：tan y θ=，[0,)θπ∈； ②点到直线的距离公式： d = 或d = （斜截式） 3. 弦长公式：直线y kx b =+上两点1122(,),(,)A x y B x y 间的距离： 1212)AB x AB y =-==-或 4. 两直线1111122222: ,:l y k x b l y k x b =+=+的位置关系： ① 12121l l k k ⊥??=- ②121212//l l k k b b ?=≠且 5. 中点坐标公式：已知两点1122(,),(,)A x y B x y ，若点(),M x y 线段AB 的中点，则 1112,22 x x y y x y ++= = 三．圆锥曲线的重要知识 考纲要求：对它们的定义、几何图形、标准方程及简单性质，文理要求有所不同。 文科：掌握椭圆，了解双曲线；理科：掌握椭圆及抛物线，了解双曲线 1. 圆锥曲线的定义及几何图形：椭圆、双曲线及抛物线的定义及几何性质。 2. 圆锥曲线的标准方程：①椭圆的标准方程 ②双曲线的标准方程 ③抛物线的标准方程 3. 圆锥曲线的基本性质：特别是离心率，参数,,a b c 三者的关系，p 的几何意义等 4. 圆锥曲线的其他知识：①通径：椭圆22b a ，双曲线2 2b a ，抛物线2p ②焦点三角形的面积：p 在椭圆上时122tan 2 F PF S b θ =?V p 在双曲线上时122/tan 2 F PF S b θ =V 四．常结合其他知识进行综合考查 1． 圆的相关知识：两种方程，特别是直线与圆，两圆的位置关系 2． 导数的相关知识：求导公式及运算法则，特别是与切线方程相关的知识 3． 向量的相关知识：向量的数量积的定义及坐标运算，两向量的平行与垂直的判断条件等 4． 三角函数的相关知识：各类公式及图像与性质 5． 不等式的相关知识：不等式的基本性质，不等式的证明方法，均值定理等 五．不同类型的大题 （1）圆锥曲线与圆 例1.（本小题共14分）

圆锥曲线近五年高考题(全国卷)

4.已知双曲线)0(13 2 22>=-a y a x 的离心率为2，则=a A. 2 B. 2 6 C. 25 D. 1 10.已知抛物线C ：x y =2的焦点为F ,()y x A 00,是C 上一点，x F A 045=，则=x 0（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 20.已知点)2,2(P ，圆C :082 2=-+y y x ，过点P 的动直线l 与圆C 交于B A ,两点，线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点. （1）求M 的轨迹方程； （2）当OM OP =时，求l 的方程及POM ?的面积

（10）设F 为抛物线2:y =3x C 的焦点，过F 且倾斜角为°30的直线交于C 于,A B 两点，则AB = （A ）3 （B ）6 （C ）12 （D ）（12）设点0(x ,1)M ，若在圆22:x y =1O +上存在点N ，使得°45OMN ∠=,则0x 的取值范围是 （A ）[]1,1- （B ）1122??-????， （C ）?? （D ） ???? 20.设F 1 ，F 2分别是椭圆C ：122 22=+b y a x （a>b>0）的左，右焦点，M 是C 上一点且MF 2与x 轴垂直，直线MF 1与C 的另一个交点为N 。 （I ）若直线MN 的斜率为4 3，求C 的离心率； （II ）若直线MN 在y 轴上的截距为2且|MN|=5|F 1N|，求a ，b 。

4．已知双曲线C： 22 22 =1 x y a b -(a＞0，b＞0) 的离心率为 2 ，则C的渐近线方程为( )． A．y＝ 1 4 x ± B．y＝ 1 3 x ± C．y＝ 1 2 x ± D．y＝±x 8.O为坐标原点，F为抛物线C：y2 ＝的焦点，P为C上一点，若|PF| ＝，则△POF 的面积为( )． A．2 B ． ．．4 21．已知圆M：(x＋1)2＋y2＝1，圆N：(x－1)2＋y2＝9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，l与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|.

高考数学试题分类汇编——圆锥曲线选择doc

2010年高考数学试题分类汇编——圆锥曲线 一、选择题 1、（2010湖南文数）5. 设抛物线28y x =上一点P 到y 轴的距离是4，则点P 到该抛物线焦点的距离是 A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 解析：抛物线的准线为：x=－2，点P 到准线距离为4＋2＝6，所以它到焦点的距离为6。. 2、（2010全国卷2理数）（12）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=＞＞的离心率为2，过右焦点F 且斜率为 (0)k k ＞的直线与C 相交于A B 、两点．若3AF FB =，则k = （A ）1 （B （C （D ）2 【答案】B 【命题意图】本试题主要考察椭圆的性质与第二定义. 【解析】设直线l 为椭圆的有准线，e 为离心率，过A ，B 分别作AA 1，BB 1垂直于l ，A 1，B 为垂足，过 B 作BE 垂直于AA 1与E ，由第二定义得， ，由，得， ∴ 即k= ，故选B. 3、（2010陕西文数）9.已知抛物线y 2 ＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2 ＋y 2 ＝16相切，则p 的值为 [C] （A ） 1 2 （B ）1 （C ）2 （D ）4 解析：本题考查抛物线的相关几何性质及直线与圆的位置关系 法一：抛物线y 2 ＝2px （p >0）的准线方程为2 p x -=，因为抛物线y 2＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2 ＋y 2 ＝16相切，所以2,42 3==+ p p 法二：作图可知，抛物线y 2 ＝2px （p >0）的准线与圆（x －3）2 ＋y 2 ＝16相切与点（-1,0） 所以2,12 =-=- p p 4、（2010辽宁文数）（9）设双曲线的一个焦点为F ，虚轴的一个端点为B ,如果直线FB 与该双曲线的一 条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为

2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练及答案

2020年高考理科数学《圆锥曲线》题型归纳与训练 【题型归纳】 题型一 求曲线的方程 例1已知1(2,0)F -，2(2,0)F ，点P 满足12||||2PF PF -=，记点P 的轨迹为E ．求轨迹E 的方程． 【答案】13 2 2 =-y x . 【解析】由1212||||24||PF PF F F -=<=可知：点P 的轨迹E 是以12,F F 为焦点的双曲线的右支， 由2,22c a ==，∴2 2 2 213b =-=，故轨迹E 的方程为）（013 2 2 >=-x y x . 【易错点】（1）对于双曲线的定义理解片面；（2）如果动点P 满足）（ 212122F F a a PF PF <=-， 则点P 的轨迹是双曲线。但该题已知条件中给出的是“12||||2PF PF -=”只能表示点P 的轨迹是双曲线的右支，而不是双曲线的全部。 【思维点拨】利用双曲线解题时，一定要观察是双曲线的全部还是部分。 ） 题型二 定值、定点问题 例2已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1过A (2,0)，B (0,1)两点． (1)求椭圆C 的方程及离心率； (2)设P 为第三象限内一点且在椭圆C 上，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，求证：四边形ABNM 的面积为定值．

【答案】(1)x 2 4＋y 2＝1，e ＝3 2 (2)2. ' 【解析】(1)由题意得a ＝2，b ＝1， 所以椭圆C 的方程为x 2 4 ＋y 2＝1. 又c ＝a 2 －b 2 ＝3，所以离心率e ＝c a ＝3 2 . (2)证明：设P (x 0，y 0)(x 0＜0，y 0＜0)，则x 20＋4y 2 0＝4. 又A (2,0)，B (0,1)， [ 所以直线PA 的方程为y ＝y 0 x 0－2 (x －2). 令x ＝0，得y M ＝－ 2y 0x 0－2，从而|BM |＝1－y M ＝1＋2y 0 x 0－2 . 直线PB 的方程为y ＝y 0－1 x 0 x ＋1. 令y ＝0，得x N ＝－ x 0 y 0－1 ，从而|AN |＝2－x N ＝2＋ x 0 y 0－1 . 所以四边形ABNM 的面积S ＝1 2 |AN |·|BM | ~ ＝12? ????2＋x 0y 0－1? ????1＋2y 0x 0－2＝x 20＋4y 2 0＋4x 0y 0－4x 0－8y 0＋42x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝ 2x 0y 0－2x 0－4y 0＋4x 0y 0－x 0－2y 0＋2＝2. 从而四边形ABNM 的面积为定值. 【易错点】(1)．想不到设出P (x 0，y 0)后，利用点斜式写出直线PA ，PB 的方程．不会由直线PA ，PB 的方程求解|BM |，|AN |；

2020年高考数学圆锥曲线小题解题技巧

圆锥曲线高考小题解析 一、 考点分析 1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系； 2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法； 3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性质； 4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）； 5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力； 6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题； 7. 定值问题； 8. 最值问题。 二、 真题解析 1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题 1.【2018全国1文15】直线1y x =+与圆22230x y y ++-=交于,A B 两点，则 ||AB =___________ 解析：2222230(1)4x y y x y ++-=?++=，圆心坐标为(0,1)-，半径2r = 圆心到直线1y x =+的距离d =||AB ==2.【2018全国2理19文20】设抛物线2:4C y x =的焦点为F ，过F 且斜率为 (0)k k >的直线l 与C 交于,A B 两点，||8AB = （1）求l 的方程； （2）求过点,A B 且与C 的准线相切的圆的方程。

解析：（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求 根据焦点弦长公式可知22||8 sin p AB θ = = ，则sin 2θ=，tan 1θ= 则l 的直线方程为1y x =- （2）由（1）知AB 的中点坐标为(3,2)，所以AB 的垂直平分线方程为 2(3)y x -=--，即5y x =-+ 设所求圆的圆心坐标为00(,)x y ，则 0022 0005 (1)(1)162 y x y x x =-+?? ?-++= +?? 解得0000 311 2-6x x y y ==????==??或 因此所求圆的方程为2222(3)(2)1(11)(+6)1x y x y -+-=-+=或 通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切，证明过程如下：

高考数学试题分类大全理科圆锥曲线

2008年高考数学试题分类汇编 圆锥曲线 一． 选择题： 1.（福建卷11)又曲线22 221x y a b ==（a ＞0,b ＞0）的两个焦点为F 1、F 2,若P 为其上一点， 且|PF 1|=2|PF 2|,则双曲线离心率的取值范围为B A.(1,3) B.(]1,3 C.(3,+∞) D.[)3,+∞ 2.（海南卷11）已知点P 在抛物线y 2 = 4x 上，那么点P 到点Q （2，－1）的距离与点P 到 抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P 的坐标为（ A ） A. （4 1 ，－1） B. （ 4 1 ，1） C. （1，2） D. （1，－2） 3.(湖北卷10)如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点P 轨进入以月球球心F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行，之后卫星在P 点第二次变轨进入仍以F 为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行，最终卫星在P 点 1 2c 第三次变轨进入以F 为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月飞行，若用 和22c 分别表示椭轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距，用12a 和22a 分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长，给出下列式子： ①1122a c a c +=+; ②1122a c a c -=-; ③1212c a a c >; ④11c a ＜22 c a . 其中正确式子的序号是B A. ①③ B. ②③ C. ①④ D. ②④ 4.（湖南卷8）若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32 a 的点到右焦点的距离大于 它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( B ) A.(1,2) B.(2,+∞) C.(1,5) D. (5,+∞)