圆锥曲线中的存在、探索性问题
一、考情分析
圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因
而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨．
二、经验分享
解决探索性问题的注意事项
探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；
(3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法．
三、知识拓展
探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论及证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。
探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明：
1、条件追溯型
这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆及否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。
2、结论探索型
这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确及否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。
3、条件重组型
这类问题是指给出了一些相关命题，但需对这些命题进行重新组合构成新的复合命题，或题设的结求的方向，条件和结论都需要去探求的一类问题。此类问题更难，解题要有更强的基础知识和基本技能，需要要联想等手段。一般的解题的思路是通过对条件的反复重新组合进行逐一探求。应该说此类问题是真正意义上的创新思维和创造力。
4、存在判断型
这类问题的基本特征是：要判断在某些确定条件下的某一数学对象(数值、图形、函数等)是否存在或某一结论是否成立。解决这类问题的基本策略是：通常假定题中的数学对象存在(或结论成立)或暂且认可其中的一 部分的结论，然后在这个前提下进行逻辑推理，若由此导出矛盾，则否定假设；否则，给出肯定结论。其中反证法在解题中起着重要的作用。
5、规律探究型
这类问题的基本特征是：未给出问题的结论，需要由特殊情况入手，猜想、证明一般结论。解决这类问题的基本策略是：通常需要研究简化形式但保持本质的特殊情形，从条件出发，通过观察、试验、归纳、类比、猜测、联想来探路，解题过程中创新成分比较高。在数列问题研究中，经常是据数列的前几项所提供 的信息作大胆的猜测，然后用数学归纳法证明。学科-网
6、实验操作型
这类问题的基本特征是：给出一定的条件要求设计一种方案。解决这类问题的基本策略是：需要借助逆向思考动手实踐。 总之，解决探索性问题，较少现成的套路和常规程序，需要较多的分析和数学思想方法的综合应用。它对学生的观察、联想、类比、猜想、抽象、概括等方面的能力有较高的要求。
四、题型分析
(一) 是否存在值
【例1】已知椭圆=1（a ＞b ＞0）的离心率e=
36,过点A （0,-b ）和B （a,0）的直线及坐标原点距离为2
3. （1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E （-1,0）,若直线y=kx+2（k≠0）及椭圆相交于C 、D 两点,试判断是否存在k 值,使以CD 为直径的圆过定点E ？若存在求出这个k 值,若不存在说明理由.
【分析】（1）先由两点式求出直线方程,再根据离心率和点到直线距离公式列出方程解出b a ,,即可求得；（2）假设存在这样的直线,联立直线方程和椭圆方程,消去y,得到x 的一元二次方程,求出两根之和和两根之积,要
使以CD 为直径的圆过点E,当且仅当CE ⊥DE 时,则,再利用y=kx+2,将上式转化,最后求得,并验证.
【解析】（1）直线AB 方程为：bx-a y-ab ＝0
依题意 解得
∴ 椭圆方程为
综上可知,存在,使得以CD 为直径的圆过点E . .
【点评】解决探索性问题的注意事项
探索性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在．
(1)当条件和结论不唯一时要分类讨论；
(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件；
(3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,采取另外合适的方法．
【小试牛刀】【湖北省襄阳市第四中学2017届高三周考】已知椭圆（0a b >>2,且a 2=2b ． （1）求椭圆的方程；
（2）直线l ：x ﹣y+m=0及椭圆交于A,B 两点,是否存在实数m,使线段AB 的中点在圆x 2+y 2=5上,若存在,求出m 的值；若不存在,说明理由．
【答案】（1）；（2）实数m 不存在,理由见解析．
【解析】（1）由题意得2222,2,22c b a b a e =-==
,解得1,2===c b a 故椭圆的方程为； （2）设),(11y x A ,),(22y x B ,线段AB 的中点为),(00y x M
联立直线m x y +=及椭圆的方程得,
即022322=-++m mx x ,
,0)2(34)2(22>-⨯⨯-=∆m m 即32 , 所以3 2,3200210m m x y m x x x =+=-=+=, 即．又因为M 点在圆522=+y x 上, 可得, 解得3±=m 及32 故实数m 不存在． (二) 是否存在点 【例2】【河南省豫北名校联盟2017届高三年级精英对抗赛】已知点P 是椭圆C 上任一点,点P 到直线1:2l x =-的距离为1d ,到点(1,0)F -的距离为2d ,且.直线l 及椭圆C 交于不同两点A B 、（,A B 都在x 轴上方）,且180OFA OFB ∠+∠=. （1）求椭圆C 的方程；学-科网 （2）当A 为椭圆及y 轴正半轴的交点时,求直线l 方程； （3）对于动直线l ,是否存在一个定点,无论OFA ∠如何变化,直线l 总经过此定点？若存在,求出该定点的坐标；若不存在,请说明理由. 【分析】(1) 设(,)P x y ,用坐标表示条件列出方程化简整理可得椭圆的标准方程；(2)由（1）可知 (0,1)A ,(1,0)F -,即可得,由180OFA OFB ∠+∠=得1BF k =-,写出直线BF 的方程及椭圆方程联立,求出点B 的坐标,由两点式求直线AB 的方程即可；(3)由180OFA OFB ∠+∠=,得0AF BF k k +=,设直线AB 方程为y kx b =+,及椭圆方程联立得2221()2102k x kbx b +++-=,由根及系数关系计算1212121201111 AF BF y y kx b kx b k k x x x x +++=+=+=++++得20b k -=,从而得到直线方程为(2)y k x =+,从而得到直线过定点(2,0)M -. 【解析】（1）设(,)P x y ,则1|2|d x =+,222(1)d x y =++, ∴2221(1)2|2|2 x y d d x ++==+,化简,得,∴椭圆C 的方程为. （2）(0,1)A ,(1,0)F -,∴, 又∵180OFA OFB ∠+∠=,∴1BF k =-,:1(1)1BF y x x =-+=--. 代入解,得（舍）∴, ,∴.即直线l 方程为. （3）∵180OFA OFB ∠+∠=,∴0AF BF k k +=. 设11(,)A x y ,22(,)B x y ,直线AB 方程为y kx b =+.代直线AB 方程y kx b =+入,得 2221()2102 k x kbx b +++-=. ∴,,∴121212121111 AF BF y y kx b kx b k k x x x x +++=+=+++++= 122112()(1)()(1)0(1)(1) kx b x kx b x x x +++++=++, 21221 12122212()(1)()(1)2()()22()201122 b kb kx b x kx b x kx x k b x x b k k b b k k -+++++=++++=⨯-+⨯+=++∴20b k -=, ∴直线AB 方程为(2)y k x =+, ∴直线l 总经过定点(2,0)M -. 【点评】定点的探索及证明问题 (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为y ＝kx ＋b ,然后利用条件建立b 、k 等量关系进行消元,借助于直线系的思想找出定点． (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明及变量无关． 【小试牛刀】已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的离心率为22 ,点()0,1P 和 点()(),0A m n m ≠都在椭圆C 上,直线PA 交x 轴于点M . （1）求椭圆C 的方程,并求点M 的坐标（用m ,n 表）； （2）设O 为原点,点B 及点A 关于x 轴对称,直线PB 交x 轴于点N .问：y 轴上是否存在点Q ,使得OQM ONQ ∠=∠？若存在,求点Q 的坐标；若不存在,说明理由. （2）点B 及A 关于x 轴对称,所以(),B m n -,直线PB 的方程：,令0y =,所以可得,则,因为OQM ONQ ∠=∠, 所以tan tan OQM ONQ ∠=∠,所以,即2 OQ OM ON =, 因为2222111m m m OQ OM ON n n n ==⋅=-+-,又点()(),0A m n m ≠在椭圆C 上, 所以,即,所以,得() 0,2Q ±. (三) 是否存在直线 【例3】设F 1,F 2分别是椭圆的左右焦点. （1）若P 是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值. （2）是否存在经过点A （5,0）的直线l 及椭圆交于不同的两点C,D,使得|F 2C|＝|F 2D|？若存在,求直线l 的方程；若不存在,请说明理由. 【分析】（1）将数量积转化为坐标表示,利用坐标的有界性求出最值；（2）设出直线方程,根据|F 2C|＝|F 2D|,可知F 2在弦CD 的中垂线上,利用中点和斜率关系,写出中垂线方程,代入F 2点即可判断. 【解析】（1）易知a ＝5,b ＝2,c ＝1,∴F 1（－1,0）,F 2（1,0） 设P （x,y ）,则 ＝（－1－x,－y ）·（1－x,－y ） ＝x 2＋y 2－1 ＝x 2＋4－45 x 2－1 ＝15 x 2＋3 ∵x 2∈[0,5], 当x ＝0,即点P 为椭圆短轴端点时, 有最小值3； 当x ＝±5,即点P 为椭圆长轴端点时,有最大值4. （2）假设存在满足条件的直线l,易知点A （5,0）在椭圆外部,当直线斜率不存在时,直线l 及椭圆无交点. 所以满足条件的直线斜率存在,设为k 则直线方程为y ＝k （x －5） 由方程组 得：（5k 2＋4）x 2－50k 2x ＋125k 2－20＝0 依题意,△＝20（16－80k 2）＞0 得： 当时,设交点为C （x 1,y 1）,D （x 2,y 2）,CD 中点为R （x 0,y 0） 则x 1＋x 2＝,x 0＝ ∴y 0＝k （x 0－5）＝k （－5）＝ 又|F 2C|＝|F 2D|,有F 2R ⊥l,即2F R k k ⋅＝－1 即22222 2200()205425420154F R k k k k k k k k k -- +⋅=⋅=--+＝－1 即20k 2＝20k 2－4, 该等式不成立,所以满足条件的直线l 不存在. 【点评】假设存在,将22||F C F D ＝转化为弦的中点问题以及垂直问题是解题关键． 【小试牛刀】已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A (2,3),且点F (2,0)为其右焦点． (1)求椭圆C 的方程； (2)是否存在平行于OA 的直线l ,使得直线l 及椭圆C 有公共点,且直线OA 及l 的距离等于4？若存在,求出直线l 的方程；若不存在,请说明理由． 【解析】(1)依题意,可设椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0),且可知其左焦点为F ′(－2,0)． 从而有⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，2a ＝|AF |＋|AF ′|＝3＋5＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧ c ＝2，a ＝4. 又a 2＝b 2＋c 2,所以b 2＝12, 故椭圆C 的方程为x 216＋y 212 ＝1. (2)假设存在符合题意的直线l ,设其方程为y ＝32 x ＋t . 由⎩⎨⎧ y ＝32x ＋t ，x 216＋y 212＝1，得3x 2＋3tx ＋t 2－12＝0. 因为直线l 及椭圆C 有公共点, 所以Δ＝(3t )2－4×3×(t 2－12)≥0, 解得－43≤t ≤4 3. 另一方面,由直线OA 及l 的距离d ＝4,得|t |94＋1＝4, 解得t ＝±213. 由于±213∉[－43,4 3 ], 所以符合题意的直线l 不存在． (四) 是否存在圆 【例4】已知椭圆22 122:1(0)x y C a b a b +=>>过点,其焦距为2． （Ⅰ）求椭圆1C 的方程； （Ⅱ）已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为,则椭圆在其上一点00(,)A x y 处的切线方程为,试运用该性质解决以下问题： （i ）如图（1）,点B 为1C 在第一象限中的任意一点,过B 作1C 的切线l ,l 分别及x 轴和y 轴的正 半轴交于,C D 两点,求OCD ∆面积的最小值；学科=网 （ii ）如图（2）,过椭圆上任意一点P 作1C 的两条切线PM 和PN ,切点分别为 ,M N ．当点P 在椭圆2C 上运动时,是否存在定圆恒及直线MN 相切？若存在,求出圆的方程； 若不存在,请说明理由． 【分析】（1）设椭圆的方程,用待定系数法求解即可；（2）解决直线和椭圆的综合问题时注意：第一步：根据题意设直线方程,有的题设条件已知点,而斜率未知；有的题设条件已知斜率,点不定,可由点斜式设直线方程．第二步：联立方程：把所设直线方程及椭圆的方程联立,消去一个元,得到一个一元二次方程．第三步：求解判别式计算一元二次方程根．第四步：写出根及系数的关系．第五步：根据题设条件求解问题中结论．在解决及抛物线性质有关的问题时,要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题,特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此． 【解析】（I ）解：依题意得：椭圆的焦点为12(1,0),(1,0)F F -,由椭圆定义知：122| |||a AF AF =+ 11a c b ∴==∴= ,所以椭圆1C 的方程为． （II ）（ⅰ）设22(,)B x y ,则椭圆1C 在点B 处的切线方程为 令0=x ,,令,所以 又点B 在椭圆的第一象限上,所以12,0,0222 222=+>>y x y x 22222 2222222 221y x y x y x =≥+=∴ 221OCD S x y ∆∴=≥=当且仅当122222222==⇔=y x y x 所以当时,三角形OCD 的面积的最小值为2 （Ⅲ）设(,)P m n ,则椭圆1C 在点),(33y x M 处的切线为： 又PM 过点(,)P m n ,所以,同理点),(44y x N 也满足, 所以,M N 都在直线上, 即：直线MN 的方程为 所以原点O 到直线MN , 所以直线MN 始终及圆相切． 【点评】先猜想圆心为原点,表示出直线MN 的方程,再证明圆心到直线的距离为定值． 【小试牛刀】如图,设椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为12,F F ,点D 在椭圆上,112DF F F ⊥,,12DF F ∆. （1）求该椭圆的标准方程； （2）是否存在圆心在y 轴上的圆,使圆在x 轴的上方及椭圆两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点？若存在,求圆的方程,若不存在,请说明理由. 【解析】（1）设()()12,0,,0F c F c -,其中222c a b =-, 由得 从而122112122 ,222 DF F S DF F F c ∆= ⋅==故1c =. 从而,由112DF F F ⊥得2 22 21129 2 DF DF F F =+= ,因此. 所以12222a DF DF =+=,故2222,1a b a c ==-= 因此,所求椭圆的标准方程为： 当时,过12,P P 分别及11F P ,22F P 垂直的直线的交点即为圆心C ,设()00,C y 由111,CP F P ⊥得而故 圆C 的半径22 1415423333CP ⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ 综上,存在满足条件的圆,其方程为： 四、迁移运用 1.已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)以抛物线y 2＝8x 的焦点为顶点,且离心率为1 2. (1)求椭圆E 的方程； (2)若直线l ：y ＝kx ＋m 及椭圆E 相交于A ,B 两点,及直线x ＝－4相交于Q 点,P 是椭圆E 上一点且满足OP → ＝OA →＋OB →(其中O 为坐标原点),试问在x 轴上是否存在一点T ,使得OP →·TQ →为定值？若存在,求出点T 的坐标及OP →·TQ →的值；若不存在,请说明理由． 【解析】(1)抛物线y 2＝8x 的焦点为椭圆E 的顶点,即a ＝2.又c a ＝1 2,故c ＝1,b ＝ 3. ∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2 3＝1. (2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2), ∵OP →＝OA →＋OB →, ∴P (x 1＋x 2,y 1＋y 2), 联立⎩ ⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，3x 2＋4y 2＝12， 得(4k 2＋3)x 2＋8kmx ＋4m 2－12＝0. 由根及系数的关系,得 x 1＋x 2＝－8km 4k 2＋3,y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2m ＝6m 4k 2＋3. 将P ⎝⎛⎭⎫－8km 4k 2＋3，6m 4k 2＋3代入椭圆E 的方程, 得 64k 2m 244k 2＋3 2＋36m 23 4k 2＋3 2＝1,整理,得 4m 2＝4k 2＋3. 设T (t,0),Q (－4,m －4k ), ∴TQ →＝(－4－t ,m －4k ),OP → ＝⎝⎛⎭ ⎫－8km 4k 2＋3，6m 4k 2＋3. 即OP →·TQ →＝32km ＋8kmt 4k 2＋3＋6m m －4k 4k 2＋3 ＝6m 2＋8km ＋8kmt 4k 2＋3. ∵4k 2＋3＝4m 2, ∴OP →·TQ →＝6m 2＋8km ＋8kmt 4m 2＝32＋2k 1＋t m . 要使OP →·TQ → 为定值, 只需 ⎣⎡⎦⎤2k 1＋t m 2＝ 4k 21＋t 2 m 2＝ 4m 2－31＋t 2 m 2 为定值,则1＋t ＝0,∴t ＝－1, ∴在x 轴上存在一点T (－1,0),使得OP →·TQ → 为定值32 . 2.【山西省长治二中、临汾一中、康杰中学、晋城一中2017届高三第一次联考】已知椭圆C :的左焦点为F,为椭圆上一点,AF 交y 轴于点M,且M 为AF 的中点. （I ）求椭圆C 的方程； （II ）直线l 及椭圆C 有且只有一个公共点A,平行于OA 的直线交l 于P ,交椭圆C 于不同的两点D,E,问是否存在常数λ,使得PE PD PA ⋅=λ2 ,若存在,求出λ的值,若不存在,请说明理由. 【答案】（I ）（II ）1=λ 【解析】（Ⅰ）设椭圆的右焦点是1F , 在1AFF ∆中,1//AF OM , 1=∴c …………2分 122 22 ==∴=∴b a a b 所以椭圆的方程为 …………4分 （Ⅱ）设直线DE 的方程为,解方程组 消去y 得到01222 =-++t tx x 若()()2211,,y x E y x D 则1, 222121-=⋅-=+t x x t x x ,其中02-42>=∆t …………6分 ()21212 21222 3))22( 1(x x x x x x x x x x PE PD P P P P ++-=-⋅-+=⋅ 又直线l 的方程为,直线DE 的方程为, …………8分 所以P 点坐标2222,222t y t x P P += -= , 22 2 2 2432222221222, 4 3 t t t AP t PE PD =⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛- ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==⋅∴ 所以存在常数1=λ 使得PD PE PA ⋅=λ2 …………12分 3.【2017长郡中学高三入学考试】已知椭圆:C 的两个焦点分别为1(F ,2F ,以椭圆短轴为直径的圆经过点(1,0)M . （1）求椭圆C 的方程； （2）过点M 的直线l 及椭圆C 相交于,A B 两点,设直线,AN BN 的斜率分别为12,k k ,问12k k +是否为定值？并证明你的结论. 【答案】(1) ;(2) 12k k +为定值2. 【解析】（1 ）由已知得：222c a b = -=,由已知易得||1b OM ==, 解得a =则椭圆C 的方程为. （2）①当直线l 的斜率不存在时,由,解得,设 ,122233222 k k += +=. ②当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为(1)y k x =-,将(1)y k x =-代入整理化简,得 2222(31)6330k x k x k +-+-=, 依题意,直线l 及椭圆C 必相交于两点,设1122(,),(,)A x y B x y ,则,, 又11(1)y k x =-,22(1)y k x =-, 所以12122112121222(2)(3)(2)(3) 33(3)(3) y y y x y x k k x x x x ----+--+= += ---- 12211212[2(1)](3)[2(1)](3) 93()k x x k x x x x x x ---+---= -++ 1212121212 122()[24()6] 93()x x k x x x x x x x x -++-++= -++ 22 12222222 336122()[246] 3131633 933131 k k x x k k k k k k k --++⨯-⨯+++=--⨯+++ 综上得：12k k +为定值2. 4.【广东省惠州市2017届高三第一次调研考试】已知点(1,0)A -,(1,0)B ,直线AM 及直线BM 相交于点M ,直线AM 及直线BM 的斜率分别记为AM k 及BM k ,且2AM BM k k ⋅=-． （Ⅰ）求点M 的轨迹C 的方程； （Ⅱ）过定点(0,1)F 作直线PQ 及曲线C 交于,P Q 两点,OPQ ∆的面积是否存在最大值？若存在,求出 OPQ ∆面积的最大值；若不存在,请说明理由． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） 2 2 ． 【解析】（Ⅰ）设(),M x y ,则(),111 MA MB y y k k x x x ==≠±+-, 所以所以 （Ⅱ）由已知当直线PQ 的斜率存在,设直线PQ 的方程是1y kx =+, 联立,消去y 得() 2 2 2210k x kx ++-=, 因为( )()()2 2 2442810k k k ∆=++=+>,所以k R ∈, 设()()1122,,,P x y Q x y , 1212 2221 ,22 k x x x x k k +=- =-++ () 22 1212122 11 14222 2 OPQ k S OF x x x x x x k ∆+=⨯⨯-=+-⋅=⨯+........10分 22 1 111222≤ ++ +⨯ =k k 当且仅当0k =时取等号, OPQ ∆面积的最大值为2 2． 5.【2016届云南师范大学附属中学高三月考】如图,过椭圆22 22:1(0)x y a b a b Γ+=>>内一点(0,1)A 的动直 线l 及椭圆相交于M,N 两点,当l 平行于x 轴和垂直于x 轴时,l 被椭圆Γ所截得的线段长均为22. （1）求椭圆Γ的方程； （2）在平面直角坐标系中,是否存在及点A 不同的定点B,使得对任意过点(0,1)A 的动直线l 都满足 ||||||||BM AN AM BN ⋅=⋅？若存在,求出定点B 的坐标,若不存在,请说明理由. 【答案】（1）；（2）存在点B 的坐标(02)，． 【解析】（Ⅰ）由已知得2b = ,点(21)，在椭圆上, 所以 22 21 1a b +=,解得2a =, 所以椭圆Γ的方程为． 下面证明：对任意直线l,都有||||||||BM AN AM BN ⋅=⋅,即． 当直线l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立； 当直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为1y kx =+． 设M,N 的坐标分别为1122()()x y x y ，，，, 由得22(21)420k x kx ++-=, 其判别式22(4)8(21)0k k ∆=++>, 所以,1212 2242 2121 k x x x x k k +=-=-++，, 因此,． 易知点N 关于y 轴对称的点N '的坐标为22()x y -，， 又11111 211 BM y kx k k x x x --===-, 222221 2111BN y kx k k k x x x x '--= ==-+=---, 所以BM BN k k '=,即B M N '，，三点共线, 所以 1 2|||||||| |||||||| x BM BM AM x BN BN AN === '． 故存在及点A 不同的定点(02)B ，,使得||||||||BM AN AM BN ⋅=⋅． 6．【2016届江苏省如东高中高三上学期期中】已知椭圆,F 为椭圆的右焦点,点A,B 分别为椭圆的上下顶点,过点B 作AF 的垂线,垂足为M ． （1）若2= a ,ABM ∆的面积为1,求椭圆方程； （2）是否存在椭圆,使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上,若存在,求椭圆的离心率的值；若不存在,说明理由． 【答案】（1）（2）不存在 【解析】（1）直线,直线． 联立可得． 所以1222212322==⨯⨯=a c b a c b b S ABC △． 又因为2= a ,所以1==c b ． 所以椭圆方程为． 因为,所以． 代入椭圆方程得1)4(162 42 222424=-+b a a c b a c b ． 化简得012224=+-e e ． 因为04<-=∆,所以方程无解． 所以不存在这样的椭圆,使得点B 关于直线AF 对称的点D 仍在椭圆上． 7．【2016届广东省惠州市高三第一次调研考试】在平面直角坐标系xOy 中,已知圆心在x 轴上,半径为4的圆C 位于y 轴右侧,且及y 轴相切． （I ）求圆C 的方程； （II ）若椭圆的离心率为 4 5 ,且左右焦点为12,F F ．试探究在圆C 上是否存在点P ,使得12PF F ∆为直角三角形？若存在,请指出共有几个这样的点？并说明理由（不必具体求出这些点的坐标）． 【答案】（I ）22(4)16x y -+=;（Ⅱ）存在,有四个这样的点. （i ）过2F 作x 轴的垂线,交圆12,P P ,则12122190PF F P F F ∠=∠=,符合题意； 9分 （ii ）过1F 可作圆的两条切线,分别及圆相切于点34,P P , 连接34,CP CP ,则1321490F P F F P F ∠=∠=,符合题意． 11分 综上,圆C 上存在4个点P ,使得12 PF F ∆为直角三角形． 12分 8.如图所示,椭圆E 2 ,过点 ()0,1P 的动直线l 及椭圆相交于,A B 两点,当直线l 平行于x 轴时,直线l 被椭圆E 截得的 线段长为22. （1）求椭圆E 的方程； （2）在平面直角坐标系xOy 中,是否存在及点P 不同的定点Q ,使得恒成立？ 【解析】（1）由已知点) 2,1在椭圆E 上. 所以,解得2a =,2b = .所以椭圆E 方程为. （2）当直线l 及x 轴平行时,设直线l 及椭圆相交于,C D 两点. 如果存在定点Q 满足条件,则,即QC QD =. 所以点Q 在y 轴上,可设点Q 的坐标为()00,y . 当直线l 及x 轴垂直时,设直线l 及椭圆相交于,M N 两点. 则(2M ,(0,2N ,由, 有,解得01y =或02y =. 所以,若存在不同于点P 的定点Q 满足条件,则点Q 的坐标只可能为()0,2Q . 下面证明：对任意的直线l ,均有. 当直线l 的斜率不存在时,由上可知,结论成立. 当直线l 的斜率存在时,可设直线l 的方程为1y kx =+,,A B 的坐标分别为()11,x y ,()22,x y . 联立,得() 2221420k x kx ++-=. 其判别式() 22168210k k ∆=++>,, 所以,. 因此. 易知,点B 关于y 轴对称的点的坐标为()22,B x y '-. 又,2221 211 QB y k k k x x x '-= =-+=--,, 所以QA QB k k '=,即,,Q A B '三点共线. 所以 12QA QA x PA QB QB x PB === '. 故存在及点P 不同的定点()0,2Q ,使得恒成立. ' B Q y x B O P A 9.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：（0a b >>）的离心率且椭圆C 上的点到点()0,2Q 的距离的最大 值为3. （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）在椭圆C 上,是否存在点(),M m n ,使得直线l ：1mx ny +=及圆O ：221x y +=相交于不同的两点A 、 B ,且OAB ∆的面积最大？若存在,求出点M 的坐标及对应的OAB ∆的面积；若不存在,请说明理由 【解析】（Ⅰ）因为,所以,于是223a b =. 1分 设椭圆C 上任一点),(00y x P ,椭圆方程为,2 02 2 033y b x -=∴,∴() ()= -+= 2 020 2y x PQ 4342202 0++--b y y = 63)1(2220+++-b y b y b ≤≤-0 ①当1-<-b ,即1>b 时,3632max =+= b PQ （此时)10-=y 1=∴b 舍去； 3分 ②当1-≥-b 即10≤ 综上椭圆C 的方程为. 6分 （Ⅱ）圆心到直线l 的距离为,弦长2 12d AB -=,所以OAB ∆的面积为 41211212 2242+⎪⎭⎫ ⎝⎛ --=+-=-=•=d d d d d d AB S 8分 点()C n m M ∈,,,31≤≤∴MO ,131 ,13 1 ,31222≤≤∴≤≤∴ ≤+≤∴d d n m 10分 当时, 由得 综上所述,椭圆上存在四个点、、、,使得直线及圆相交于不同的两点A 、B ,且OAB ∆的面积最大,且最大值为 1 2 . 12分 10．如图,已知椭圆C ：,其左右焦点为()11,0F -及()21,0F ,过点1F 的直线交椭圆C 于,A B 两点,线段AB 的中点为G ,AB 的中垂线及x 轴和y 轴分别交于,D E 两点,且1AF 、12F F 、2AF 构成等差数列. （1）求椭圆C 的方程； x A B 1F D G 2 F 圆锥曲线中的存在、探索性问题 一、考情分析 圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因 而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨． 二、经验分享 解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法． 三、知识拓展 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论及证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。 探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明： 1、条件追溯型 这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆及否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。 2、结论探索型 这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确及否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。 神 奇 的 圆 锥 曲 线 动 态 结 构 168 杭 州 学 军 中 学 闻 杰 神奇的圆锥曲线 动态结构 目录 一、神奇曲线，定义统一 01．距离和差，轨迹椭双 02．距离定比，三线统一 二、过焦半径，相关问题 03．切线焦径，准线作法 04．焦点切线，射影是圆 05．焦半径圆，切于大圆 06．焦点弦圆，准线定位 07．焦三角形，内心轨迹 三、焦点之弦，相关问题 08．焦点半径，倒和定值 09．正交焦弦，倒和定值 10．焦弦中垂，焦交定长 11．焦弦投影，连线截中 12．焦弦长轴，三点共线 13．对焦连线，互相垂直 14．相交焦弦，轨迹准线 15．相交焦弦，角分垂直 16．定点交弦，轨迹直线 四、相交之弦，蝴蝶特征19．横点交弦，竖之蝴蝶20．纵点交弦，横之蝴蝶21．蝴蝶定理，一般情形五、切点之弦，相关问题22．主轴分割，等比中项23．定点割线，倒和两倍24．定点割线，内外定积25．主轴交点，切线平行六、定点之弦，张角问题26．焦点之弦，张角相等27．定点之弦，张角仍等28．对称之点，三点共线29．焦点切点，张角相等30．倾角互补，连线定角七、动弦中点，相关问题31．动弦中点，斜积定值32．切线半径，斜积仍定33．动弦中垂，范围特定34．定向中点，轨迹直径35．定点中点，轨迹同型 37．存在定点，内积仍定九、其它重要性质38．光线反射，路径过焦39．切线中割，切弦平行40．直周之角，斜过定点41．正交半径，斜切定圆42．直径端点，斜积定值43．垂弦端点，交轨对偶44．准线动点，斜率等差45．焦点切线，距离等比46．共轭点对，距离等积47．正交中点，连线定点48．顶点切圆，切线交准49．平行焦径，交点轨迹50．内接内圆，切线永保51．切线正交，顶点轨迹52．斜率定值，弦过定点53．直线动点，切弦定点54．与圆四交，叉连互补55．交弦积比，平行方等56．补弦外圆，切于同点 高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 2 4+ y 23 =1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆 C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值. 2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程; (2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由. 3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2 a 2−y 2 b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程; (2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0 (1)求椭圆C 的方程; (2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1 λ+1 μ 为定值. 5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切. (1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程; (2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B. ①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB. 6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由. 专题 圆锥曲线综合应用（3）- 定点、定值、探索性问题 一、 高考题型特点： 定点、定值、探索性问题是高考圆锥曲线大题中的常考题型，难度中等偏上。 二、重难点： 1. 定点的探索与证明问题： (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b ， k 等量关系进行消元， 借助于直线系方程找出定点； (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况． 2. 解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握： (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以求出定值． 3. 存在性问题的解题步骤： (1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)． (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论． 三、易错注意点： 本部分对学生的能力要求较高，解题中主要数形结合及各种方法的综合应用，同时对数学推理运算能力有很高的要求。解决定值、定点问题，不要忘记特值法。 四、典型例题： 例1.（2019北京卷）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II) 设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直 线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点. 【解析】（I ）由抛物线2:2C x py =-经过点 ()2,1-，得2p =. 所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. （II ）抛物线C 的焦点为 ()0,1-，设直线l 的方程为()10y kx k =-≠. 由241 x y y kx ?=-?=-?，得2440x kx +-=. 设()()1122,,,,M x y N x y 则1 2 4x x =-. 第三章解析几何 专题14 圆锥曲线中的探索性问题 【压轴综述】 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等. 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解存在性和探索性问题等. 1.探究性问题求解的思路及策略 (1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． 在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别． 2.解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立. （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去. （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解. 【压轴典例】 例1.（2019·湖北高三开学考试（文））设O为坐标原点，动点M在椭圆E: 22 1 42 x y +=上，过点M作x 轴的垂线，垂足为N，点P满足2 NP NM =. 第3课时 证明与探索性问题 题型一 证明问题 例1(2017·全国Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2 2＋y 2 ＝1上，过M 作x 轴的垂线， 垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM → . (1)求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ → ＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . (1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)， NP → ＝(x －x 0，y )，NM → ＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM → 得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 2 2＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2 ＋y 2 ＝2. (2)证明 由题意知F (－1,0)． 设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ → ＝(－3，t )， PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF → ＝3＋3m －tn ， OP → ＝(m ，n )，PQ → ＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2 ＝1. 又由(1)知m 2 ＋n 2 ＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ， 所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法． 跟踪训练1 已知椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点A (0,1)，离心率e ＝63 ，圆C ：x 2＋y 2 ＝4，从圆C 上任意一点P 向椭圆T 引两条切线PM ，PN . (1)求椭圆T 的方程； (2)求证：PM ⊥PN . 【课本回眸】 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 【方法规律技巧】 1. 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围． 2.探索性问题和证明往往会涉及到定点、定值问题，可以通过特例找寻定点、定值，然后利用逻辑推理的方法去证明． 【例题与变式】 例1、 已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为249 - =y ，且离心率e 满足3 2，e ，3 4 成等比数列. (1)求椭圆的方程； (2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线2 1-=x 平分？若存在，求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由. （2）假设l 存在，因l 与直线2 1 - =x 相交，不可能垂直x 轴,因此可设l 的方程为：m kx y +=. 由2222 ,9()999 y kx m y x kx m x y =+⎧++=⎨+=⎩,消去得整理得:0)9(2)9(222=-+++m kmx x k , ① 方程①有两个不等的实数根,∴22222244(9)(9)0,90k m k m m k ∆=-+->--<即. ② 设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴9 22 21+-= +k km x x ,∵线段 MN 恰被直线21 -=x 平分,∴19 2221221-=+-+=-k km x x 即, ∵0≠k ∴k k m 292+= ③ 把③代入② 得 0)9()29(222<+-+k k k ,∵092 >+k ,∴22 9104k k +-<,∴32>k ,解得3>k 或3- 10 以椭圆为情景的探索性问题 典例分析 角度一、以探索多边形形状为情景的问题 1、已知椭圆C ：()，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ， 线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由． 2.已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率. （1）求该椭圆的方程； （2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证： 轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有； （3）在（2）的条件下， 能否为等腰直角三角形？并证明你的结论. 角度二、以探索定点存在性为情景的问题 1、如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>> ，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两 点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为 （1）求椭圆E 的方程； （2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得 QA PA QB PB = 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2 2 2 9x y m +=0m >l l ( ,)3 m m 22 221(0)x y a b a b +=>>:10l x -=12e =P Q PQ T l x R P Q RP RQ =PQR ∆ 角度三、以探索直线与圆锥曲线位置关系为情景的问题 1、椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量 120BF BF ⋅=. （1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程； （2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由. 2、已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点. （1）若MN =l 的方程； （2）若1 2 MP MN = ，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 角度四、以探索定值存在性为情景的问题 1、已知定点()30A -, ，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1 9 -，记动点M 的轨迹为曲线C 。 （1）求曲线C 的方程； （2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由。 角度五、以探索最值存在性为情景的问题 1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心、过椭圆左顶点M 的圆与直线 3x －4y ＋12＝0相切于点N ，且满足MF 1―→＝12 F 1F 2―→ . (1)求椭圆C 的标准方程． (2)过椭圆C 右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于不同的A ，B 两点，问：△F 1AB 内切圆的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由． 角度六、以探索直线存在性为情景的问题 1、如图，已知A (−1,0)、B (1,0)，Q 、G 分别为△ABC 的外心，重心，QG //AB . 圆锥曲线中的探索性问题 一、常见基本题型： （1）探索图形的面积问题 1.斜率为2的直线BD 交椭圆22 : 124 x y C +=于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合。 则ABD ?面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （2）探索图形的形状问题 2.已知抛物线2:(0)C y mx m =>，焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线 C 于点Q ,是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的 直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理 由。 (3)探索点、直线的存在性 3.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点， 与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D． 当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由 4.已知B、C是曲线C：24(1) y x =+上不同两点，满足(0,) OB OC R λλλ =≠∈，在x轴上是否存在点(,0) A m，使得A B AC ⊥，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。 5.设椭圆 22 :1 43 x y C+=的左、右焦点分别为 12 ,F F，过右焦点 2 F作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点， 在x轴上是否存在点(,0) P m，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由。6.直线l与椭圆 2 21 4 y x +=交于 11 (,) A x y， 22 (,) B x y两点，已知 11 (2,) m x y =， 22 (2,) n x y =，若m n ⊥,试问：AOB ?的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 专题 圆锥曲线中的探索性问题 1．(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线C ： y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． 2．(2016·)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形的三个 顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标； (2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2 ＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值． 高考必会题型 题型一 定值、定点问题 例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为1 2 ，直线l 经过椭圆C 的右焦 点F交椭圆于A、B两点． (1)求椭圆C的方程； (2)若直线l交y轴于点M，且MA→＝λAF→，MB→＝μBF→，当直线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由． 变式训练1 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点M(5，－2)的动直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为－1时，点M恰为AB的中点． (1)求抛物线的方程； (2)抛物线上是否存在一个定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型二定直线问题 例2 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2＝ 2py(p>0)相交于A，B两点． (1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值； (2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦 圆锥曲线中的探索性问题是高考命题的热点，主要以解答题的形式出现，难度较大，一般作为压轴题．解决这类问题往往采用“假设反证法”或“假设检验法”，也可先用特殊情况得到所求值，再给出一般性的证明．考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，同时着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力． “大题规范解答——得全分”系列之(九 圆锥曲线中探索性问题的答题模板 [典例](2012福建高考·满分13分如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8. (1求椭圆E的方程； (2设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． [教你快速规范审题] 1．审条件，挖解题信息 ―→, 2．审结论，明解题方向 ―→―→ ．建联系，找解题突破口 1．审条件，挖解题信息 ―→， 2．审结论，明解题方向 ―→ ,·,＝0恒 成立 3．建联系，找解题突破口 [教你准确规范解题] (1因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，(1分 又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，(2分 所以4a＝8，a＝2. 又因为e＝，即＝，所以c＝1，(3分 所以b＝＝. 故椭圆E的方程是＋＝1.(4分 (2由消去y得(4k2＋3x2＋8kmx＋4m2－12＝0.(5分 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0，所以m≠0且Δ＝0，(6分 即64k2m2－4(4k2＋3(4m2－12＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(* (7分 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝， 所以P. (8分 由得Q(4,4k＋m． (9分 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上． (10分 设M(x1,0，则·＝0对满足(*式的m，k恒成立． 因为＝，＝(4－x1,4k＋m， 由·＝0， 得－＋－4x1＋x＋＋3＝0， 整理，得(4x1－4＋x－4x1＋3＝0.(** (11分 由于(**式对满足(*式的m，k恒成立， 所以解得x1＝1. (12分 故存在定点M(1,0，使得以PQ为直径的圆恒过点M. (13分 [常见失分探因] ————————————[教你一个万能模板]————————————————— 专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题 纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨. 1.定点问题 求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是：把直线或圆锥曲线方程中的变量x ，y 看成常数，把方程的一端化为零，将方程转化为以参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过的定点。 【例】已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1,2)为抛物线C 上一点。 (1)求抛物线C 的方程。 (2)若点B (1，－2)在抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的两条弦BP 与BQ ，若k BP ·k BQ ＝－2， 求证：直线PQ 过定点。 【解析】(1)若抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，代入点A (1,2)， 可得a ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x 。 若抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，代入点A (1,2)， 可得m ＝12，所以抛物线方程为x 2＝12y 。 综上所述，抛物线C 的方程是y 2＝4x 或x 2＝1 2 y 。 (2)证明：因为点B (1，－2)在抛物线C 上，所以由(1)可得抛物线C 的方程是y 2＝4x 。 易知直线BP ，BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为y ＋2＝k (x －1)，将直线BP 的方程代入 y 2＝4x ，消去 y ，得 k 2x 2－(2k 2＋4k ＋4)x ＋(k ＋2)2＝0。设 P (x 1，y 1)，则x 1＝2 2 (2)k k +， 所以P 22(2)24k k k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，。用－2 k 替换点P 坐标中的k ，可得Q ((k －1)2，2－2k )，从而直线PQ 的斜率为 圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一） 存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。 一、是否存在这样的常数 例1．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2 212 x y +=有 两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围； （II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量 OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+ 代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫ +++= ⎪⎝⎭ ① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2 221844202k k k ⎛⎫ ∆=-+=-> ⎪⎝⎭ ， 解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为22⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ U ，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r ，， 由方程①，122 12x x k +=- +． ② 又1212()y y k x x +=++ ③ 而(01)(A B AB =u u u r ，，． 所以OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r 共线等价于1212)x x y y +=+， 将②③代入上式，解得k = ． 高一数学圆锥曲线问题的探究与发现教案 高一数学圆锥曲线问题的探究与发现教案 一、问题导入，引发探究 师：我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具（如图），所谓生活处处皆学问嘛，我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象： 两个全等的椭圆形卵，相互依偎旋转（动画）。你能通过所学解析几何知识，构造出这种有趣的现象吗？ 二、实验探究，交流发现 探究1：卵之由来——椭圆的形成 (1) 单个定椭圆的形成 椭圆的定义：平面内到两定点、的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。（即若平面内的动点到两定点、的距离之和等于常数(大于)，则点的轨迹为以、为焦点的椭圆。） 思考1：如何使为定值？ （不妨将两条线段的长度和转化为一条线段，即在线段的延长线上取点，使得，此时，为定值则可转化为为定值。） 思考2：若为定值，则点的轨迹是什么？定点与点轨迹的位置关系？ （以定点为圆心，为半径的圆。由于，则点在圆内。） 思考3：如何确定点的位置，使得，且？ （线段的中垂线与线段的交点为点。） 揭示思路：(高中数学选修2-1 P49 7) 如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线l和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的.轨迹是什么？为什么？ (设圆的半径为，由椭圆定义，(常数)，且，所以当点在圆周上运动时，点的轨迹是以为焦点的椭圆。) 图形计算器作图验证：以圆与定点所在直线为轴，中垂线为轴建立直角坐标系，设圆半径，，即圆，点，则点轨迹是以以为焦点的椭圆，椭圆方程为。 (2) 单个动椭圆的形成 思考4：构造一种动椭圆的方式 （由于椭圆形状不变，即离心率不变，而长轴长为定值，则也要为定值，因此可将圆内点取在圆的同心圆上，当点在圆上动时，即可得到动椭圆。） 图形计算器作图验证：当圆内动点取在圆的同心圆上，运动点，即得到动椭圆。(3) 两个椭圆的形成 观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面，分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴对称，且直线过两椭圆公共点，所以直线为两椭圆的公切线。 因而找到公切线，作椭圆关于切线的对称椭圆即可。 探究2：卵之所依——切线的判断与证明 线段的垂直平分线与椭圆的位置关系 (1) 利用图形计算器中的“图象分析”工具直观判断与椭圆的位置关系．设圆上动点，则线段的中垂线的方程为，将动点的横坐标保存为变量，纵坐标保存为变量，随着点的改变，在Graphs中画出相应的动直线．用图形计算器中的“图象分析”工具找出椭圆所在 圆锥曲线探索型问题求解策略 【摘要】存在类探索问题是圆锥曲线章节，命题活动开展过程中的重要组成类型，本文针对圆锥曲线探索型问题求解策略，择取两个具体方面展开了简要分析。 【关键词】圆锥曲线；探索型问题；求解；策略 圆锥曲线知识章节是高中数学学科现行知识构成体系 中的重要组成内容，其本身凭借中数学运算量大，命题内容门类广泛且变化特征反复等特点，逐步成为高考数学主观题部分的重要命题内容，探索类命题圆锥曲线章节现有命题类型构成体系中的重要组成部分，凭借其本身具备的已知条件简化性，以及运算求解结果的多样性特征而得到了高中数学教师和学生的密切关注，有鉴于此，本文将针对圆锥曲线探索型问题求解策略展开简要论述。 一、椭圆中的存在型问题计算探索方法 例1：已知某椭圆的连个焦点为F1（-，0），F2（，0），其离心率为e=。求解如下问题： （1）求解该椭圆的解析几何方程。 （2）以该椭圆图形的上顶点B为直角顶点，作椭圆的内接等腰直角三角形ABC，问这样的三角形能否成功做出（或者说这样的等腰三角形是否存在）？如果存在，清确定总共 能够做出几个，如果不存在，清说明你的判断理由。 解： （1）设该椭圆的方程为+=1（由于已知该椭圆的焦点在x轴上，不妨设a>b>0），且c=，由于e=c/a=/2，直接可得a=2，由此可知b=1，因此待求椭圆图形的解析几何方程为+y2=1。 （2）假设存在满足条件的直角三角形ABC，则根据已知条件和计算结论，可知等腰直角三角形直角顶点B的坐标是B（0，1），由给定的题设情境易知，等腰直角三角形ABC 直角边BA和BC不能与平面直角坐标系的x轴或是y轴平行或者是垂直，因可设直角边BA所在直线方程为y=kx+1（k<0），且可设直角边BC所在直线的方程为y=（-1/k）x+1。 将直线方程y=kx+1与椭圆方程+=1联立，可知点A的平面坐标为A（，+1）。由此： 同理，可知|BC|=。由于|AB|=|BC|，可知-k（4+k2）=1+4k2。运用求解代数方程的方法可以得到k=-1，或者是k=，因此可知满足题干条件等腰直角三角形是存在的，并且总共存在三个。 二、双曲线中的存在型问题计算探索方法 例1：请求解是否存在同时满足如下条件的双曲线，如存在，请求解双曲线方程，如不存在，请说明理由。 （1）渐进线方程为x±2y=0。 （2）平面上点A（5，0）与双曲线方程上一动点P的最 圆锥曲线中的存在性问题 一、基础知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素(点，线，图形或是参数) 存在，并用代数形式进行表示。 再结合题目条件进行分析，若能求出相应的要素， 则假设成 立；否则即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 (1)点：坐标 x 0,y 0 (2)直线：斜截式或点斜式(通常以斜率为未知量) (3)曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧: (1)特殊值(点)法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必 要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 (2)核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素 作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 (3)核心变量的求法: ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中， 列出关于该变量与辅助变 二、典型例题: x y 2 -- 3 C : 一2 二 1 a b 0的离心率为 —,过右焦点F 的直线l 与C 相父 a b 3 于A,B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点。至M 的距离为 ① 2 (1)求a ,b 的值 uuu uuu uuu (2) C 上是否存在点P ,使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有 OP OA OB 成立？若存 在，求出所有的 P 的坐标和l 的方程，若不存在，说明理由 解：(1) e c — a: b: c 73:收:1 3 量的方程(组) ,运用方程思想求解。 例1:已知椭圆 圆锥曲线中的存在性问题 一、根底知识 1、在处理圆锥曲线中的存在性问题时，通常先假定所求的要素〔点，线，图形或是参数〕存在，并用代数形式进展表示。再结合题目条件进展分析，假设能求出相应的要素，那么假设成立；否那么即判定不存在 2、存在性问题常见要素的代数形式：未知要素用字母代替 〔1〕点：坐标()00,x y 〔2〕直线：斜截式或点斜式〔通常以斜率为未知量〕 〔3〕曲线：含有未知参数的曲线标准方程 3、解决存在性问题的一些技巧： 〔1〕特殊值〔点〕法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立。 〔2〕核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去。 〔3〕核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进展求解 ②间接法：假设无法直接求出要素，那么可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程〔组〕，运用方程思想求解。 二、典型例题： 例1：椭圆()22 22:10x y C a b a b +=>>的离心率为3，过右焦点F 的直线l 与C 相交于 ,A B 两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O 到l 的距离为 2 。 〔1〕求,a b 的值 〔2〕C 上是否存在点P ，使得当l 绕F 旋转到某一位置时，有OP OA OB =+成立.假设存在，求出所有的P 的坐标和l 的方程，假设不存在，说明理由 解：〔1〕::3 c e a b c a = =⇒= 那么,a b = =，依题意可得：(),0F c ，当l 的斜率为1时 :0l y x c x y c =-⇒--= 2 O l d -∴= = 解得：1c = a b ∴== 椭圆方程为：22 132 x y += 〔2〕设()00,P x y ，()()1122,,,A x y B x y 当l 斜率存在时，设():1l y k x =- OP OA OB =+012 012 x x x y y y =+⎧∴⎨=+⎩ 联立直线与椭圆方程：()221236 y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得：()222 2316x k x +-=，整理可得： ()2 222326360k x k x k +-+-= 2122632k x x k ∴+=+()312122264223232 k k y y k x x k k k k +=+-=-=-++ 22264,3232k k P k k ⎛⎫ ∴- ⎪++⎝⎭ 因为P 在椭圆上 2 2 2 22 642363232k k k k ⎛⎫⎛⎫∴⋅+-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭ ()()()2 2 42222272486322432632k k k k k k ∴+=+⇒+=+ ( )2224632k k k ∴=+⇒= 当k = ):1l y x =- ，3,2 2P ⎛ ⎝⎭ 当k = 时，):1l y x =- ，322P ⎛⎫ ⎪⎝⎭ 当斜率不存在时，可知:1l x = ，1, ,1,33A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝ ⎭，那么()2,0P 不在椭圆上 圆锥曲线中的探究（存在）性问题 圆锥曲线中探究（存在）性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，探索（存在）性问题主要考查学生探索解题途径，解决非传统完备问题的能力，是命题者根据学科特点，将数学知识有机结合并赋予新的情境创设而成的，要求学生自己观察、分析、创造性地运用所学知识和方法解决问题，它能很好地考查数学思维能力以及科学的探索精神. 圆锥曲线中探索问题的求解策略 1).此类问题一般分为探究条件、探究结论两种．若探究条件，则可先假设条件成立，再验证结论是否成立，成立则存在，不成立则不存在；若探究结论，则应先求出结论的表达式，再针对其表达式进行讨论，往往涉及对参数的讨论． 2)．求解步骤：假设满足条件的元素(点、直线、曲线或参数)存在，用待定系数法设出，列出关于待定系数的方程组，若方程组有实数解，则元素(点、直线、曲线或参数)存在，否则，元素(点、直线、曲线或参数)不存在． 题型1 探究点线关系问题 1．（2020·上海市七宝中学高三期末）已知直线过椭圆：的右焦点，且直线交椭圆于两点，点在直线上的射影依次为点.（1）求椭圆的方程；（2）若直线交轴于点，且，当变化时，探究的值是否为定值？若是，求出的值；否则，说明理由；（3）连接，试探究当变化时，直线与是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由. 【答案】（1）； （2）是定值，；（3）是，定点，证明见解析 【分析】（1）根据直线过定点，可求出椭圆的右焦点坐标，从而可求出椭圆中的值，再结合椭圆中，可求出的值，即可得到椭圆的方程；（2）设直线交椭圆于，联立 ，得到关于的一元二次方程，利用韦达定理，并结合及，可得到:1l x my =+C 22 213 x y a +=F l C ,A B ,,A F B :4l x '=,, D K E C l y M 12,MA A F MB BF λλ==m 12λλ+12λλ+,AE BD m AE BD 22 143 x y +=1283λλ+=-5(,0)2l ()1,0c 23b =a l ()()1122,,,A x y B x y 2 2 14 31 x y x my =+=+⎧⎪⎨⎪⎩y 1MA AF λ=2MB BF λ=圆锥曲线中的存在探索问题
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