圆锥曲线中的证明、探索性问题
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1．(2019·长沙模拟)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，且点F 1到椭圆C 上任意一点的最大距离为3，椭圆C 的离心率为12.
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)是否存在斜率为－1的直线l 与以线段F 1F 2为直径的圆相交于A ，B 两点，与椭圆相交于C ，D ，且|CD ||AB |＝83
7？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
[解] (1)根据题意，设F 1，F 2的坐标分别为(－c ，0)，(c ，0)，由题意可得
???a ＋c ＝3，
c a ＝1
2，
解得a ＝2，c ＝1，则b 2＝a 2－c 2＝3， 故椭圆C 的标准方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)假设存在斜率为－1的直线l ，设为y ＝－x ＋m ， 由(1)知F 1，F 2的坐标分别为(－1，0)，(1，0)， 所以以线段F 1F 2为直径的圆为x 2＋y 2＝1， 由题意知圆心(0，0)到直线l 的距离d ＝|－m |2<1，
得|m |< 2. |AB |＝2
1－d 2＝2
1－m 2
2＝2×
2－m 2，
联立得??
?x 24＋y 2
3＝1，
y ＝－x ＋m ，
消去y ，得7x 2－8mx ＋4m 2－12＝0，
由题意得Δ＝(－8m )2－4×7(4m 2－12)＝336－48m 2＝48(7－m 2)>0，解得m 2<7.
设C (x 1，y 1)，D (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝8m
7，x 1x 2＝4m 2－127，
|CD |＝2|x 1－x 2|＝2×
? ??
??8m 72
－4×4m 2－127
＝2×
336－48m 249
＝46
7×7－m 2
＝83
7|AB |
＝83
7×2×2－m 2，解得m 2＝13<7，得m ＝±3
3.
即存在符合条件的直线l ，其方程为y ＝－x ±3
3.
2．(2019·全国卷Ⅲ)已知曲线C ：y ＝x 22，D 为直线y ＝－1
2上的动点，过D 作C 的两条切线，切点分别为A ，B .
(1)证明：直线AB 过定点；
(2)若以E ? ?
???0，52为圆心的圆与直线AB 相切，且切点为线段AB 的中点，求四边形ADBE 的面积．
[解] (1)证明：设D ? ??
??t ，－12，A (x 1，y 1)，则x 2
1＝2y 1.
由于y ′＝x ，所以切线DA 的斜率为x 1，故y 1＋1
2x 1－t
＝x 1.
整理得2tx 1－2y 1＋1＝0.
设B (x 2，y 2)，同理可得2tx 2－2y 2＋1＝0.
故直线AB 的方程为2tx －2y ＋1＝0. 所以直线AB 过定点? ??
??0，12. (2)由(1)得直线AB 的方程为y ＝tx ＋1
2. 由?????y ＝tx ＋1
2，y ＝x 2
2
可得x 2－2tx －1＝0. 于是x 1＋x 2＝2t ，x 1x 2＝－1，y 1＋y 2＝t (x 1＋x 2)＋1＝2t 2＋1， |AB |＝
1＋t 2|x 1－x 2|＝
1＋t 2×
（x 1＋x 2）2－4x 1x 2＝2(t 2＋1)．
设d 1，d 2分别为点D ，E 到直线AB 的距离，则d 1＝t 2＋1，d 2＝
2
t 2
＋1
.
因此，四边形ADBE 的面积S ＝1
2|AB |(d 1＋d 2)＝(t 2＋3)t 2＋1.
设M 为线段AB 的中点，则M ? ?
?
??t ，t 2＋12.
由于EM →⊥AB →，而EM →＝(t ，t 2－2)，AB →
与向量(1，t )平行，所以t ＋(t 2－2)t ＝0.
解得t ＝0或t ＝±1.
当t ＝0时，S ＝3；当t ＝±1时，S ＝4 2. 因此，四边形ADBE 的面积为3或4 2.
3．已知椭圆E 的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过A (－2，0)，B (2，0)，C ? ?
?
??1，32三点．
(1)求椭圆E 的方程；
(2)若直线l ：y ＝k (x －1)(k ≠0)与椭圆E 交于M ，N 两点，证明直线AM 与直线BN 的交点在直线x ＝4上．
[解] (1)设椭圆E 的方程为mx 2＋ny 2＝1(m >0，n >0)，
将A (－2，0)，B (2，0)，C ? ??
??
1，32代入椭圆E 的方程，得???4m ＝1，m ＋94n ＝1，解得?
?m ＝14，n ＝13
.
∴椭圆E 的方程为x 24＋y 2
3＝1.
(2)证明：将直线l ：y ＝k (x －1)代入椭圆方程x 24＋y 2
3＝1并整理，得(3＋4k 2)x 2
－8k 2x ＋4(k 2－3)＝0.
设直线l 与椭圆E 的交点M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由根与系数的关系，得x 1＋x 2＝8k 2
3＋4k 2
，x 1x 2＝4（k 2－3）3＋4k
2
.
消去k 2，得2x 1x 2＝5(x 1＋x 2)－8. 直线AM 的方程为y ＝
y 1
x 1＋2(x ＋2)，即y ＝k （x 1－1）x 1＋2
(x ＋2)．
直线BN 的方程为y ＝y 2x 2－2(x －2)，即y ＝
k （x 2－1）x 2－2
(x －2)．
由直线AM 与直线BN 的方程消去y ，得
x ＝2（2x 1x 2－3x 1＋x 2）x 1＋3x 2－4＝2[5（x 1＋x 2）－8－3x 1＋x 2]x 1＋3x 2－4＝4.
∴直线AM 与直线BN 的交点在直线x ＝4上．
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