第三章解析几何
专题14 圆锥曲线中的探索性问题
【压轴综述】
纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等.
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解存在性和探索性问题等.
1.探究性问题求解的思路及策略
(1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在．
(2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；
②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件．
在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别．
2.解决存在性问题的一些技巧：
（1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立.
（2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去.
（3）核心变量的求法：
①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解
②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解.
【压轴典例】
例1.（2019·湖北高三开学考试（文））设O为坐标原点，动点M在椭圆E:
22
1
42
x y
+=上，过点M作x
轴的垂线，垂足为N，点P满足2
NP NM
=.
(1)求点P 的轨迹方程；
(2)设()1,0A ，在x 轴上是否存在一定点B ，使2BP AP =总成立？若存在，求出B 点坐标；若不存在，说明理由.
【答案】(1) 2
2
4x y +=； (2) 存在点()4,0B 满足条件.
【解析】
（1）设(),P x y ，()11,M x y ，则()1,0N x
M 在椭圆E 上 22
11142
x y ∴+
=…① 由2NP NM =
知：11x x y =⎧⎪⎨=⎪⎩
，即：112x x y y =⎧⎪⎨=⎪⎩
，代入①得：22
4x y +=
即点P 的轨迹方程为：2
2
4x y +=…② （2）假设存在点(),0B m 满足条件，设(),P x y 由2BP AP =
=即：()2
2
2
33284x y m x m ++-=-
此方程与(1)中②表示同一方程，故：2280
412m m -=⎧⎨-=⎩
，解得：4m =
∴存在点()4,0B 满足条件
例2.（江西省新余市第四中学2019届10月月考）
已知为椭圆的右焦点，
点
在上，且
轴.
（1）求的方程；
（2）过的直线交于两点，交直线于点．判定直线的斜率是否构成等差数列？请说明理由.
【答案】(1) ；(2) 直线的斜率成等差数列
【解析】
(Ⅰ) 因为点在上，且轴，所以．
设椭圆左焦点为，则，．
中，，所以．
所以，．
又，
故椭圆的方程为.
(Ⅱ) 由题意可设直线的方程为，
令得，的坐标为．
由得，．
设，，则有，…①．
记直线的斜率分别为，
从而，，．
因为直线的方程为，所以，
所以
…②．
①代入②得，
又，所以，
故直线的斜率成等差数列
例3.（广东省华南师范大学附属中学2019届高三上第二次月考）已知椭圆的离心
率为，且点在椭圆上．
（1）求椭圆的方程；
（2）过点任作一条直线，与椭圆交于不同于点的，两点，与直线交于
点，记直线、、的斜率分别为、、．试探究与的关系，并证明你的结论．
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
（1）因为椭圆的离心率为，
所以，
因为，所以．故可设椭圆的方程为：，
因为点在椭圆上，
所以将其代入椭圆的方程得．
所以椭圆的方程为．
（2）依题意，直线不可能与轴垂直，故可设直线的方程为：，
即，，为与椭圆的两个交点．
将代入方程化简得：
．
所以，．
所以
．
又由，解得，，
即点的坐标为，所以．
因此，与的关系为：.
例4.（2019·云南师大附中高三月考）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>
，短袖长为4.
（1）求椭圆C 的标准方程.
（2）设直线l 过点（2,0）且与椭圆C 相交于不同的两点A 、B ，直线6x =与x 轴交于点D ,E 是直线6x =上异于D 的任意一点，当0AE DE ⋅=时，直线BE 是否恒过x 轴上的定点？若过，求出定点坐标，若不过，请说明理由.
【答案】（1）22
1124
x y +=（2）直线BE 恒过x 轴上的定点(4,0)，详见解析
【解析】
（1
）由题意得2222c a b a b c ⎧=⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩
.
解得2a b ==，
所以椭圆C 的标准方程为22
1124
x y +=
（2）直线BE 恒过x 轴上的定点(4,0) 证明如下：
因为0AE DE ⋅=.所以AE DE ⊥， 因为直线l 过点(2,0)
①当直线l 的斜率不存在时，则直线l 的方程为2x =，
不妨设2,,2,,.33A B ⎛⎛- ⎝⎭⎝⎭
则6,3E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
此时，直线BE
的方程为(4)3
y x =-， 所以直线BE 过定点(4,0)；
②直线l 的斜率存在且不为零时，设直线l 的方程为2(0)x my m =+≠，()()1122,,,A x y B x y ，所以
()16,E y .
直线2112:
(6)6y y BE y y x x --=
--，令0y =，得()1221
66y x x y y --=-- 即121
21
66y x y x y y -+=+
-，又222x my =+
所以()121
21
266y my y x y y -++=+
-
即证()121
21
2664y my y y y -+++
=-
即证()()121220*y y my y +-=
联立22
11242x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩
,消x 得()
22
3480m y my ++-=，
因为点(2,0)在C 内，所以直线l 与C 恒有两个交点，
由韦达定理得，12122248
,3
3m
y y y y m m +=-
=-
++
代入（*）中得()12122
2882033
m m
y y my y m m -+-=--=++ 所以直线BE 过定点(4,0)，
综上所述，直线BE 恒过x 轴上的定点(4,0).
例5.（2019·湖南衡阳市八中高三月考（理））已知椭圆2
2:14
x C y +=的左右顶点为A ，B ，点P ，Q 为椭
圆上异于A ，B 的两点，直线AP 与直线BQ 的斜率分别记为12,k k ，且214k k =． （Ⅰ）求证：BP BQ ⊥；
（Ⅱ）设APQ ∆，BPQ ∆的面积分别为1S ，2S ，判断1
2
S S 是否为定值，若是求出这个定值，若不是请说明理由．
【答案】（Ⅰ）详见解析（Ⅱ）1
2
S S 为定值4，详见解析
【解析】
（Ⅰ）设()11,P x y ，∵(2,0),(2,0)A B -， 则21112111224
AP BP
y y y k k x x x ⋅=⋅=+--， 又221114x y +=，则22
1114
x y =-，代入上式，得14AP BP k k ⋅=-,
由已知：14AP BQ k k =
，则11
44
AP BP BQ BP k k k k ⋅=-=⋅， 从而1BO BP k k ⋅=-，即BP BQ ⊥． （Ⅱ）设直线PQ 的方程为：y kx b =+，
联立得：22222
(14)84(1)044
y kx b
k x kbx b x y =+⎧⇒+++-=⎨+=⎩， 由22041k b >⇒+>，
由韦达定理：122814kb x x k +=-+，2122
4(1)
14b x x k -=+，
由（1）BP BQ ⊥，则0BP BQ ⋅=，
则()()()()()()12121212220220x x y y x x kx b kx b --+=⇒--+++=， 即：2
2
1212(1)(2)()40k x x kb x x b ++-+++=， 所以：22121650k kb b ++=， 得：12k b =-或5
6
k b =-， 当12k b =-
时，直线1
:(1)2PQ y b x =-+，不合题意， 当56k b =-时，直线5:(1)6PQ y b x =-+，过定点6
(,0)5M ，
又1211||||2S AM y y =-，2211
||2
||S MB y y =-，
则
126
(2)
||546||25
S AM S MB --===-，为定值．
例6.（2019·天津高三开学考试）已知椭圆()222210y x a b a b +=>>的离心率为2
，以椭圆的上焦点F 为
圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线40x y +-=截得的弦长为（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆左顶点做两条互相垂直的直线1l ，2l ，且分别交椭圆于M ，N 两点（M ，N 不是椭圆的顶点），探究直线MN 是否过定点，若过定点则求出定点坐标，否则说明理由.
【答案】(1) 22
184
y x += (2) MN 恒过定点2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭，见解析
【解析】
（1）∵2e =
，∴2
b c a ==， 设圆F 的方程为()2
22x y c c +-=，圆心为()0,c ，半径为c ，
设d 为圆心到直线40x y +-=的距离，
则d ，
∵222
2d r ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，
∴
()2
2422
c c -+=，即2
8200c c +-=，
()()2100c c -+=，∵0c >，∴2c =.
所以椭圆的方程为22
184
y x +=.
（2）设1l 的方程为2x ty =-，2l 的方程为1
2x y t
=--，
联立222802
y x x ty ⎧+-=⎨=-⎩，可得()2
22280y ty +--=，
整理()
2
2
2180t y ty +-=，设()11,M x y ，
∵M 不是椭圆的顶点，
∴12
821
t
y t =
+， 代入2x ty =-，得21242
21
t x t -=+，
222428,2121t t M t t ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
， 联立 222801
2
y x x y t ⎧+-=⎪⎨=--⎪⎩
，设()22,N x y ， ∴22
28
82121t t y t t -
-==+⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
， 带入12x y t =--，得2
222
2142
42=2121t t x t t ⎛⎫-- ⎪-⎝⎭=+⎛⎫
-+ ⎪⎝⎭
， 222428,22t t N t t ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭
，
①若MN 斜率存在，
()()()()()()22222222222
2
8882821212=42424224221212
MN
t t t t t t t t k t t t t t t t t --+++++=---+--+-++ 342
24243=881
t t t
t t +=--， MN l ：22228342=212t t t y x t t t ⎛⎫---- ⎪+-+⎝⎭
22222
334281122t t t t
y x t t t t -=-⋅---++ ()()()()
22222
342813112t t t t t y x t t t -+-=---+
()()3222
324112t t t y x t t t +=---+ 22
3211
t t
y x t t =--- 23213t y x t ⎛⎫
=
- ⎪-⎝⎭
恒过2,03⎛⎫
⎪⎝⎭
. ②若MN 斜率不存在，
1l 的方程为2x y =-，2l 的方程为2x y =--，
28,33M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，28,33N ⎛⎫
- ⎪⎝⎭，此时MN l ：23x =，亦过2,03⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
综上，直线MN 恒过2,03⎛⎫
⎪⎝⎭
. 例7. （2018·上海高考真题）设常数2t >．在平面直角坐标系xOy 中，已知点()20F ，
，直线l ：x t =，曲线Γ：()2
800y x x t y =≤≤≥，
．l 与x 轴交于点A 、与Γ交于点B ．P 、Q 分别是曲线Γ与线段AB 上的动点．
（1）用t 表示点B 到点F 距离；
（2）设3t =，2FQ =，线段OQ 的中点在直线FP ，求AQP △的面积；
（3）设8t =，是否存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上？若存在，求点P 的坐标；
若不存在，说明理由．
【答案】（1）2BF t =+；（2）1723S ==
；（3）见解析. 【解析】
（1）方法一：由题意可知：设()
B t ，
则2BF t =
=+，
∴2BF t =+；
方法二：由题意可知：设()
B t ， 由抛物线的性质可知：22
p
BF t t =+
=+，∴2BF t =+； （2）()20F ，
，2FQ =，3t =，则1FA =，
∴AQ =(3Q ，设OQ 的中点D ，
32D ⎛ ⎝⎭
，
02
322
QF
k ==-，则直线PF 方程：)2y x =-，
联立)2
28y x y x ⎧=-⎪
⎨
=⎪⎩
，整理得：2320120x x -+=， 解得：2
3
x =
，6x =（舍去），
∴AQP 的面积1723S =
=
（3）存在，设28y P y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，28m E m ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，则2281628
PF y y k y y ==--，2
168FQ y k y -=
， 直线QF 方程为()21628y y x y -=-，∴()22
164838284Q y y y y y --=-=，248384y Q y ，⎛⎫- ⎪⎝⎭，
根据FP FQ FE +=，则2248684y y E y ⎛⎫
++ ⎪⎝⎭
，，
∴2
22488648y y y ⎛⎫⎛⎫+=+ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭
，解得：2
165y =，
∴存在以FP 、FQ 为邻边的矩形FPEQ ，使得点E 在Γ上，且25P ⎛ ⎝⎭
．
例8. （2014·山东高考真题（理））已知抛物线2
:2(0)C y px p =>的焦点为F ，A 为C 上异于原点的任意一点，过点A 的直线l 交C 于另一点B ，交x 轴的正半轴于点D ，且有FA FD =.当点A 的横坐标为3时，ADF ∆为正三角形. （Ⅰ）求C 的方程；
（Ⅱ）若直线1//l l ，且1l 和C 有且只有一个公共点E ， （ⅰ）证明直线AE 过定点，并求出定点坐标；
（ⅱ）ABE ∆的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 【答案】（I ）2
4y x =.（II ）（ⅰ）直线AE 过定点(1,0)F .（ⅱ）ABE ∆的面积的最小值为16. 【解析】 （I ）由题意知(
,0)2
P
F 设(,0)(0)D t t >，则FD 的中点为2(,0)4
p t
+， 因为FA FD =，
由抛物线的定义知：322
p p t +
=-， 解得3t p =+或3t =-（舍去）.
由
234
p t
+=，解得2p =. 所以抛物线C 的方程为2
4y x =. （II ）（ⅰ）由（I ）知(1,0)F ，
设0000(,)(0),(,0)(0)D D A x y x y D x x ≠>， 因为FA FD =，则011D x x -=+， 由0D x >得02D x x =+，故0(2,0)D x +， 故直线AB 的斜率为0
2
AB y k =-
， 因为直线1l 和直线AB 平行， 设直线1l 的方程为0
2
y y x b =-
+， 代入抛物线方程得2
00
880b y y y y +
-=， 由题意20064320b y y ∆=
+=，得0
2
b y =-. 设(,)E E E x y ，则04E y y =-
，20
4
E x y =. 当2
04y ≠时，0
00022
000204
4444
E AB
E y y y y y k y x x y y +-==-=---， 可得直线AE 的方程为0
002
04()4
y y y x x y -=
--， 由2
004y x =，
整理可得0
2
04(1)4
y y x y =
--， 直线AE 恒过点(1,0)F .
当2
04y =时，直线AE 的方程为1x =，过点(1,0)F ，
所以直线AE 过定点(1,0)F .
（ⅱ）由（ⅰ）知，直线AE 过焦点(1,0)F ， 所以0000
11
(1)(1)2AE AF FE x x x x =+=+++=++， 设直线AE 的方程为+1x my =， 因为点00(,)A x y 在直线AE 上， 故00
1
x m y -=
， 设11(,)B x y ，
直线AB 的方程为0
00()2
y y y x x -=--， 由于00y ≠， 可得00
2
2x y x y =-
++， 代入抛物线方程得2
00
8
840y y x y +
--=， 所以010
8y y y +=-
， 可求得100
8y y y =--
，1004
4x x x =++， 所以点B 到直线AE 的距离为
d =
=
=.
则ABE ∆
的面积00112)162S x x =
⨯++≥， 当且仅当00
1
x x =
即01x =时等号成立. 所以ABE ∆的面积的最小值为16.
【压轴训练】
1．（2018届江西省重点中学协作体第二次联考）已知椭圆：
的离心率为，短轴
为
.点
满足
.
(1)求椭圆的方程；
(2)设为坐标原点，过点的动直线与椭圆交于点、，是否存在常数使得为定值？
若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）.（2）答案见解析.
【解析】 （1），
所以
从而的方程为
. （2）当不为轴时，设：，
、.
联立与的方程可得，
所以
，
，
.
因为为定值，所以
，
解得
.此时定值为.
当为轴时，，.
.
综上，存在
使得
为定值.
2. (2018届山东省威海市二模)已知椭圆：的左右焦点分别为，且离心率为，
点为椭圆上一动点，面积的最大值为.
（1）求椭圆的标准方程； （2）设
分别为椭圆的左右顶点，过点作轴的垂线，为上异于点的一点，以
为直径作圆.若过点的直线（异于轴）与圆相切于点，且与直线相交于点，试判断
是否为定值，
并说明理由. 【答案】（1）（2）3
【解析】 （1）由题意可知
，解得
所以椭圆的方程为
（2）由（1）可知
， 因为过与圆相切的直线分别切于两点，所以
，
所以，
设点，则
，圆的半径为
则直线
的方程为
的方程设为，则
化简得
由，得
所以点,
所以点在椭圆上，
∴
，即
.
3．（2019·云南师大附中高三月考）已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，短轴长为4.
（1）求椭圆C 的标准方程；
（2）已知不经过点P （0，2）的直线l ：()0,x my n m n R =+≠∈交椭圆C 于A ，B 两点，M 在AB 上满足
()
1
2
PM PA PB =
+且2AB PM =，问直线是否过定点，若过求定点坐标；若不过，请说明理由. 【答案】（1）22
1124
x y +=（2）直线l 恒过定点(01)-，，详见解析
【解析】
（1
）由题意得22
232c a b a b c ⎧=
⎪⎪⎪
=⎨⎪=+⎪⎪⎩
，，
解得a =2b =，
所以椭圆C 的标准方程为22
1124
x y +=．
（2）设11()A x y ，，22()B x y ，，
又(02)P ，，所以11(2)PA x y =-，，22(2)PB x y =-，，
因为M 在AB 上满足1
()2
PM PA PB =+，所以M 为AB 的中点．
又||2||AB PM =，即||||||MA MB MP ==， 所以线段AB 为PAB △外接圆的直径， 即0PA PB =，
所以1212(2)(2)0x x y y +--=． 又A B ，在直线l 上，
所以1212()()(2)(2)0my n my n y y +++--=， 即221212(1)(2)()40m y y mn y y n ++-+++=，()*
联立22
1124
x y x my n ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
，，消x 得222(3)2120m y mny n +++-=， 因为直线l 与椭圆C 交于不同的A B ，两点，
所以222244(3)(12)0m n m n ∆=-+->， 即22412n m <+，
由韦达定理得1222
12223
123mn y y m n y y m ⎧
+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩
，，代入（*）中，得2220n mn m +-=， 解得2n m =-或n m =，
所以直线l ：2(2)x my m m y =-=-或(1)x my m m y =+=+， 所以直线l 过定点(01)-，或(02)，（舍去）， 综上所述：直线l 恒过定点(01)-，
． 4．(2018届上海市徐汇区二模)如图，是椭圆长轴的两个端点，是椭圆上与均不
重合的相异两点，设直线的斜率分别是
.
(1)求的值； (2)若直线过点
，求证：
；
(3)设直线
与轴的交点为(为常数且
)，试探究直线
与直线
的交点是否落在某条定直
线上？若是，请求出该定直线的方程；若不是，请说明理由．
【答案】（1）（2）见解析（3）落在定直线
上
【解析】 (1)设，由于
，
所以
，
因为在椭圆上，于是，即，
所以.
(2)设直线，，由
得，
于是，
．
(3)由于直线与轴的交点为，于是，
联立直线与椭圆的方程，可得
，
于是
因为直线，直线，
两式相除，可知
，
于是，所以，即直线与直线的交点落在定直线上．
5.(2018届辽宁省部分重点中学协作体模拟)已知是椭圆上的一点，
是该椭圆的左右焦点，且.
（1）求椭圆的方程；
（2）设点是椭圆上与坐标原点不共线的两点，直线的斜率分别为，且.
试探究
是否为定值，若是，求出定值，若不是，说明理由.
【答案】(1) 椭圆;(2)见解析.
【解析】 （1）由题意，，根据椭圆定义，
所以
所以
，
因此，椭圆
.
（用待定系数法，列方程组求解同样给分） （2）设直线
，
，由
消去y 得
因为，所以
即
，解得
所以，
6．（2017·湖南高考模拟（理））已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的一个焦点与上下顶点构成直角三角
形，以椭圆C 的长轴长为直径的圆与直线20x y +-=相切．
(1)求椭圆C 的标准方程；
(2)设过椭圆右焦点且不重合于x 轴的动直线与椭圆C 相交于A 、B 两点，探究在x 轴上是否存在定点E ，
使得EA EB ⋅为定值？若存在，试求出定值和点E 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
212x y +=；（2）定点为5,04⎛⎫ ⎪⎝⎭
.
【解析】
圆锥曲线中的存在、探索性问题 一、考情分析 圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因 而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨． 二、经验分享 解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法． 三、知识拓展 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论及证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。 探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明： 1、条件追溯型 这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆及否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。 2、结论探索型 这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确及否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。
高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 2 4+ y 23 =1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆 C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值. 2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程; (2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由. 3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2 a 2−y 2 b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程; (2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0
(1)求椭圆C 的方程; (2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1 λ+1 μ 为定值. 5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切. (1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程; (2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B. ①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB. 6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由.
北师大版2021版高考数学（理）一轮复习 第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线的综合问题第2课时定点、定值、探索性 问题练习 [基础题组练] 1．已知直线l 与双曲线x 2 4－y 2 ＝1相切于点P ，l 与双曲线的两条渐近线交于M ，N 两点，则OM →·ON →的 值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．与P 的位置有关 解析：选A.依题意，设点P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中x 2 0－4y 2 0＝4，则直线l 的方程是 x 0x 4 － y 0y ＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y ＝±12 x . ①当y 0＝0时，直线l 的方程是x ＝2或x ＝－2.由?????x ＝2x 24 －y 2 ＝0，得?????x ＝2y ＝±1，此时OM →·ON →＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l 的方程是x ＝－2时，OM →·ON → ＝3. ②当y 0 ≠0时，直线l 的方程是y ＝1 4y 0 (x 0x －4)．由?????y ＝1 4y 0 （x 0 x －4）x 2 4－y 2 ＝0 ，得(4y 2 －x 20 )x 2 ＋8x 0 x －16＝ 0(*)，又x 20－4y 20＝4，因此(*)即是－4x 2 ＋8x 0x －16＝0，x 2－2x 0x ＋4＝0，x 1x 2＝4，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2－14x 1x 2＝3 4 x 1x 2＝3. 综上所述，OM →·ON → ＝3，故选A. 2．已知抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋ 1 k AC ＋ 1 k BC ＝________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ? ?? ??p 2，0，由FA → ＋FB →＝－FC →，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝ y 2－y 1x 2－x 1＝ 2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p ＋y 2＋y 3 2p ＝0. 答案：0
专题 圆锥曲线综合应用（3）- 定点、定值、探索性问题 一、 高考题型特点： 定点、定值、探索性问题是高考圆锥曲线大题中的常考题型，难度中等偏上。 二、重难点： 1. 定点的探索与证明问题： (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b ， k 等量关系进行消元， 借助于直线系方程找出定点； (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况． 2. 解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握： (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以求出定值． 3. 存在性问题的解题步骤： (1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)． (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论． 三、易错注意点： 本部分对学生的能力要求较高，解题中主要数形结合及各种方法的综合应用，同时对数学推理运算能力有很高的要求。解决定值、定点问题，不要忘记特值法。 四、典型例题： 例1.（2019北京卷）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II) 设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直 线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点. 【解析】（I ）由抛物线2:2C x py =-经过点 ()2,1-，得2p =. 所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. （II ）抛物线C 的焦点为 ()0,1-，设直线l 的方程为()10y kx k =-≠. 由241 x y y kx ?=-?=-?，得2440x kx +-=. 设()()1122,,,,M x y N x y 则1 2 4x x =-.
第三章解析几何 专题14 圆锥曲线中的探索性问题 【压轴综述】 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等. 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解存在性和探索性问题等. 1.探究性问题求解的思路及策略 (1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． 在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别． 2.解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立. （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去. （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解. 【压轴典例】 例1.（2019·湖北高三开学考试（文））设O为坐标原点，动点M在椭圆E: 22 1 42 x y +=上，过点M作x 轴的垂线，垂足为N，点P满足2 NP NM =.
第3课时 证明与探索性问题 题型一 证明问题 例1(2017·全国Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2 2＋y 2 ＝1上，过M 作x 轴的垂线， 垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM → . (1)求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ → ＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . (1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)， NP → ＝(x －x 0，y )，NM → ＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM → 得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 2 2＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2 ＋y 2 ＝2. (2)证明 由题意知F (－1,0)． 设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ → ＝(－3，t )， PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF → ＝3＋3m －tn ， OP → ＝(m ，n )，PQ → ＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2 ＝1. 又由(1)知m 2 ＋n 2 ＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ， 所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法． 跟踪训练1 已知椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点A (0,1)，离心率e ＝63 ，圆C ：x 2＋y 2 ＝4，从圆C 上任意一点P 向椭圆T 引两条切线PM ，PN . (1)求椭圆T 的方程； (2)求证：PM ⊥PN .
【课本回眸】 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 【方法规律技巧】 1. 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围． 2.探索性问题和证明往往会涉及到定点、定值问题，可以通过特例找寻定点、定值，然后利用逻辑推理的方法去证明． 【例题与变式】 例1、 已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为249 - =y ，且离心率e 满足3 2，e ，3 4 成等比数列. (1)求椭圆的方程； (2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线2 1-=x 平分？若存在，求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由. （2）假设l 存在，因l 与直线2 1 - =x 相交，不可能垂直x 轴,因此可设l 的方程为：m kx y +=. 由2222 ,9()999 y kx m y x kx m x y =+⎧++=⎨+=⎩,消去得整理得:0)9(2)9(222=-+++m kmx x k ,
① 方程①有两个不等的实数根,∴22222244(9)(9)0,90k m k m m k ∆=-+->--<即. ② 设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴9 22 21+-= +k km x x ,∵线段 MN 恰被直线21 -=x 平分,∴19 2221221-=+-+=-k km x x 即, ∵0≠k ∴k k m 292+= ③ 把③代入② 得 0)9()29(222<+-+k k k ,∵092 >+k ,∴22 9104k k +-<,∴32>k ,解得3>k 或3- 10 以椭圆为情景的探索性问题 典例分析 角度一、以探索多边形形状为情景的问题 1、已知椭圆C ：()，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ， 线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由． 2.已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率. （1）求该椭圆的方程； （2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证： 轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有； （3）在（2）的条件下， 能否为等腰直角三角形？并证明你的结论. 角度二、以探索定点存在性为情景的问题 1、如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>> ，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两 点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为 （1）求椭圆E 的方程； （2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得 QA PA QB PB = 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2 2 2 9x y m +=0m >l l ( ,)3 m m 22 221(0)x y a b a b +=>>:10l x -=12e =P Q PQ T l x R P Q RP RQ =PQR ∆ 角度三、以探索直线与圆锥曲线位置关系为情景的问题 1、椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量 120BF BF ⋅=. （1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程； （2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由. 2、已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点. （1）若MN =l 的方程； （2）若1 2 MP MN = ，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 角度四、以探索定值存在性为情景的问题 1、已知定点()30A -, ，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1 9 -，记动点M 的轨迹为曲线C 。 （1）求曲线C 的方程； （2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由。 角度五、以探索最值存在性为情景的问题 1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心、过椭圆左顶点M 的圆与直线 3x －4y ＋12＝0相切于点N ，且满足MF 1―→＝12 F 1F 2―→ . (1)求椭圆C 的标准方程． (2)过椭圆C 右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于不同的A ，B 两点，问：△F 1AB 内切圆的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由． 角度六、以探索直线存在性为情景的问题 1、如图，已知A (−1,0)、B (1,0)，Q 、G 分别为△ABC 的外心，重心，QG //AB . 圆锥曲线中的探索性问题 一、常见基本题型： （1）探索图形的面积问题 1.斜率为2的直线BD 交椭圆22 : 124 x y C +=于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合。 则ABD ?面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （2）探索图形的形状问题 2.已知抛物线2:(0)C y mx m =>，焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线 C 于点Q ,是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的 直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理 由。 (3)探索点、直线的存在性 3.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点， 与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D． 当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由 4.已知B、C是曲线C：24(1) y x =+上不同两点，满足(0,) OB OC R λλλ =≠∈，在x轴上是否存在点(,0) A m，使得A B AC ⊥，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。 5.设椭圆 22 :1 43 x y C+=的左、右焦点分别为 12 ,F F，过右焦点 2 F作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点， 在x轴上是否存在点(,0) P m，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由。6.直线l与椭圆 2 21 4 y x +=交于 11 (,) A x y， 22 (,) B x y两点，已知 11 (2,) m x y =， 22 (2,) n x y =，若m n ⊥,试问：AOB ?的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 第11讲 定点、定值、探索性问题 圆锥曲线中的定值问题 [典例引领] (2018·昆明市教学质量检测)在直角坐标系xOy 中，已知定圆M ：(x ＋1)2 ＋y 2 ＝36，动圆N 过点F (1，0)且与圆M 相切，记动圆圆心N 的轨迹为曲线C . (1)求曲线C 的方程； (2)设A ，P 是曲线C 上两点，点A 关于x 轴的对称点为B (异于点P )，若直线AP ，BP 分别交 x 轴于点S ，T ，证明：|OS |·|OT |为定值． 【解】 (1)因为点F (1，0)在圆M ：(x ＋1)2 ＋y 2 ＝36内， 所以圆N 内切于圆M ，则|NM |＋|NF |＝6＞|FM |， 由椭圆定义知，圆心N 的轨迹为椭圆，且2a ＝6，c ＝1，则a 2 ＝9，b 2 ＝8， 所以动圆圆心N 的轨迹方程为x 29＋y 2 8 ＝1. (2)证明：设P (x 0，y 0)，A (x 1，y 1)，S (x S ，0)，T (x T ，0)，则B (x 1，－y 1)，由题意知x 0≠± x 1， 则k AP ＝ y 1－y 0 x 1－x 0 ，直线AP 的方程为y －y 1＝k AP (x －x 1)， 令y ＝0，得x S ＝x 0y 1－x 1y 0 y 1－y 0 ， 同理x T ＝ x 0（－y 1）－x 1y 0（－y 1）－y 0＝x 0y 1＋x 1y 0 y 1＋y 0 ， 于是|OS |·|OT |＝|x S x T |＝ ⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪x 0y 1－x 1y 0y 1－y 0·x 0y 1＋x 1y 0y 1＋y 0＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20y 2 1－x 21y 2 0y 2 1－y 20， 又P (x 0，y 0)和A (x 1，y 1)在椭圆x 29＋y 2 8＝1上，故y 2 ＝8⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 209，y 21＝8⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1－x 2 19， 则y 2 1 －y 20 ＝89(x 20－x 21)，x 20y 21－x 21y 20＝8x 20⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 219－8x 21⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1－x 2 09＝8(x 20－x 2 1)． 所以|OS |·|OT |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 20y 21－x 21y 2 0y 21－y 20 ＝⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪ 8（x 2 0－x 2 1）89（x 20－x 2 1）＝9. 热点十一圆锥曲线的“三定”与探索性问题 纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和Array重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思 维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨. 1.求轨迹方程 求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等. （1）求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法. 例3【四川省绵阳市2019届高三1月诊断】己知椭圆C ：的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点． （1）若直线l过点F1，且｜AF2｜十｜BF2｜＝，求直线l的方程； (2)若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足OP⊥AB，求点P的轨迹方程．【答案】(1) 或；（2）()． 【解析】 （1）由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a =8，则|AB |=． 因为直线l过点F1(-2,0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2). 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0． ∴ x1+x2=，x1x2=．由弦长公式|AB |=， 代入整理得，解得．所以直线l 的方程为， 即或． （2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. ∴ x1+x2=，x1x2=．以AB为直径的圆过原点O，即． ∴ x1x2+ y1y2=0．将y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得 (1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．将x1+x2=，x1x2=代入， 整理得3m2=8k2+8．∵ 点P是线段AB上的点，满足， 设点O到直线AB的距离为d，∴ |OP|=d，于是|OP|2=d2=（定值）， ∴ 点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，且去掉圆与x轴的交点. 故点P的轨迹方程为()． 3.定值定点问题 （1）求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决. （2）证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点. 例4【河北省张家口市2019届高三上期末】已知点是圆：上一动点，线段 与圆：相交于点.直线经过，并且垂直于轴，在上的射影点为. （1）求点的轨迹的方程； （2）设圆与轴的左、右交点分别为，，点是曲线上的点（点与，不重合），直线，与直线：分别相交于点，，求证：以直径的圆经过定点. 【答案】（1）（2）见证明 圆锥曲线中的探索性问题是高考命题的热点，主要以解答题的形式出现，难度较大，一般作为压轴题．解决这类问题往往采用“假设反证法”或“假设检验法”，也可先用特殊情况得到所求值，再给出一般性的证明．考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，同时着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力． “大题规范解答——得全分”系列之(九 圆锥曲线中探索性问题的答题模板 [典例](2012福建高考·满分13分如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8. (1求椭圆E的方程； (2设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． [教你快速规范审题] 1．审条件，挖解题信息 ―→, 2．审结论，明解题方向 ―→―→ ．建联系，找解题突破口 1．审条件，挖解题信息 ―→， 2．审结论，明解题方向 ―→ ,·,＝0恒 成立 3．建联系，找解题突破口 [教你准确规范解题] (1因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，(1分 又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，(2分 所以4a＝8，a＝2. 又因为e＝，即＝，所以c＝1，(3分 所以b＝＝. 故椭圆E的方程是＋＝1.(4分 (2由消去y得(4k2＋3x2＋8kmx＋4m2－12＝0.(5分 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0，所以m≠0且Δ＝0，(6分 即64k2m2－4(4k2＋3(4m2－12＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(* (7分 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝， 所以P. (8分 由得Q(4,4k＋m． (9分 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上． (10分 设M(x1,0，则·＝0对满足(*式的m，k恒成立． 因为＝，＝(4－x1,4k＋m， 由·＝0， 得－＋－4x1＋x＋＋3＝0， 整理，得(4x1－4＋x－4x1＋3＝0.(** (11分 由于(**式对满足(*式的m，k恒成立， 所以解得x1＝1. (12分 故存在定点M(1,0，使得以PQ为直径的圆恒过点M. (13分 [常见失分探因] ————————————[教你一个万能模板]————————————————— 专题25 圆锥曲线的“三定”与探索性问题 纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨. 1.定点问题 求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是：把直线或圆锥曲线方程中的变量x ，y 看成常数，把方程的一端化为零，将方程转化为以参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过的定点。 【例】已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在坐标轴上，点A (1,2)为抛物线C 上一点。 (1)求抛物线C 的方程。 (2)若点B (1，－2)在抛物线C 上，过点B 作抛物线C 的两条弦BP 与BQ ，若k BP ·k BQ ＝－2， 求证：直线PQ 过定点。 【解析】(1)若抛物线的焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，代入点A (1,2)， 可得a ＝4，所以抛物线方程为y 2＝4x 。 若抛物线的焦点在y 轴上，设抛物线方程为x 2＝my ，代入点A (1,2)， 可得m ＝12，所以抛物线方程为x 2＝12y 。 综上所述，抛物线C 的方程是y 2＝4x 或x 2＝1 2 y 。 (2)证明：因为点B (1，－2)在抛物线C 上，所以由(1)可得抛物线C 的方程是y 2＝4x 。 易知直线BP ，BQ 的斜率均存在，设直线BP 的方程为y ＋2＝k (x －1)，将直线BP 的方程代入 y 2＝4x ，消去 y ，得 k 2x 2－(2k 2＋4k ＋4)x ＋(k ＋2)2＝0。设 P (x 1，y 1)，则x 1＝2 2 (2)k k +， 所以P 22(2)24k k k k ⎛⎫++ ⎪⎝⎭，。用－2 k 替换点P 坐标中的k ，可得Q ((k －1)2，2－2k )，从而直线PQ 的斜率为 2023新教材数学高考第二轮专题 考点突破练14 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1.(2022·广东广州三模)在圆x 2+y 2=2上任取一点D ,过点D 作x 轴的垂线段DH ,H 为垂足,线段DH 上一点E 满足|DH | |EH |=√2.记动点E 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程; (2)设O 为原点,曲线C 与y 轴正半轴交于点A ,直线AP 与曲线C 交于点P ,与x 轴交于点M ,直线AQ 与曲线C 交于点Q ,与x 轴交于点N ,若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,求证:直线PQ 经过定点. 2.(2022·湖南衡阳三模)已知抛物线C :y=ax 2(a>0)的焦点是F ,若过焦点F 的直线与抛物线C 相交于A ,B 两点,所得弦长|AB|的最小值为2. (1)求实数a 的值. (2)设P ,Q 是抛物线C 上不同于坐标原点O 的两个不同的动点,且以线段PQ 为直径的圆经过点O ,作OM ⊥PQ ,垂足为M ,试探究是否存在定点N ,使得|MN|为定值.若存在,求出该定点N 的坐标及定值|MN|;若不存在,请说明理由. 3.(2022·广东佛山模拟)已知椭圆C : x 2a 2+y 2 b 2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0),上、下顶点分别为B 1,B 2,以点F 为圆心,FB 1为半径作圆,与x 轴交于点T (3,0). (1)求椭圆C 的标准方程. (2)已知点P (2,0),点A ,B 为椭圆C 上异于点P 且关于原点对称的两点,直线PA ,PB 与y 轴分别交于点M ,N ,记以MN 为直径的圆为圆K ,试判断是否存在直线l 截圆K 的弦长为定值.若存在,请求出该直线的方程;若不存在,请说明理由. 专题11：椭圆中的存在探索性问题 1．已知椭圆C ：()22 2210x y a b a b +=>>，长轴为4，不过坐标原点O 且 不平行于坐标轴的直线l 与椭圆C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值1 4 -. （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线l 过右焦点2F ，问y 轴上是否存在点D ，使得三角形ABD 为正三角形，若存在，求出点D 坐标，若不存在，请说明理由. 2．已知椭圆22 22:1(0)x y E a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，M 为椭圆上一动点，当12MF F ∆的面积最大时，其内切圆半径为3 b ，椭圆E 的左、右顶点分别为A ，B ，且||4AB =． （1）求椭圆E 的标准方程； （2）过1F 的直线与椭圆相交于点C ，D （不与顶点重合），过右顶点B 分别作直线BC ，BD 与直线4x =-相交于N ，M 两点，以MN 为直径的圆是否恒过某定点？若是，求出该定点坐标；若不是，请说明理由． 3．椭圆E ：22x a ＋22y b ＝1(a ＞b ＞0)经过点A (－2，0)，且离心率为2 . （1）求椭圆E 的方程； （2）过点P (4，0)任作一条直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N .在x 轴上是否存在点Q ，使得∠PQM ＋∠PQN ＝180°？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 4．已知A 、B 分别为椭圆222:1(1)x E y a a +=>的左顶点和下顶点，P 为 直线3x =上的动点，AP BP ⋅的最小值为594 ． （1）求E 的方程； （2）设PA 与E 的另一交点为D ，PB 与E 的另一交点为C ，问：是否存在点P ，使得四边形ABCD 为梯形，若存在，求P 点坐标；若不存在，请说明理由． 5．已知椭圆2222:1(0)x y G a b a b +=>>． （1）求椭圆G 的方程； （2）过点(0,1)M 斜率为(0)k k ≠的直线l 交椭圆G 于A ，B 两点，在y 轴上是否存在点N 使得ANM BNM ∠=∠（点N 与点M 不重合），若存在，求出点N 的坐标，若不存在，请说明理由． 6．已知椭圆22 2:1(0)3 x y C a a +=>的焦点在x 轴上，且经过点31,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，左顶点为D ，右焦点为F ． （1）求椭圆C 的离心率和DEF 的面积； （2）已知直线1y kx =+与椭圆C 交于A ，B 两点，过点B 作直线 (y t t =>的垂线，垂足为G ，判断是否存在常数t ，使得直线AG 经过y 轴上的定点？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由． 7．已知椭圆E ：()22 2210x y a b a b +=>>.左焦点()1,0F -，点()0,2M 在 椭圆E 外部，点N 为椭圆E 上一动点，且 NMF 的周长最大值为 4. （1）求椭圆E 的标准方程； （2）点B ､C 为椭圆E 上关于原点对称的两个点，A 为左顶点，若直线AB ､AC 分别与y 轴交于P ､Q 两点，试判断以PQ 为直径 圆锥曲线 圆锥曲线部分历来是高考的重点,也是学生心中的难点,很多学生对圆锥曲线都有畏惧心理.从高考成绩分析上来看,圆锥曲线也是高考得分较低的部分;从考纲上来看,一般会"考查学生对解析几何基本概念的掌握情况,考查学生对解析几何基本方法的一般应用情况,适当地考查学生对几何学知识的综合应用能力,重视对数学思想方法的渗透".通过近几年的高考可以看到浙江高考题在圆锥曲线这一块考抛物线较多。圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，每年高考必有一道解答题，常以求圆锥曲线的标准方程，研究直线与圆锥曲线的位置关系为主，涉及题型有定点、定值、最值、范围、探索性问题等，此类命题第（1）问起点较低，但在第（2）问中一般都有较为复杂的运算，对考生解决问题的能力要求较高，通常以压轴题的形式呈现．解决此类问题的关键是找到已知条件和代求问题之间的联系，实现代求问题代数化，与已知条件得到的结论有效对接，难点在于代求问题的转化问题 方法总结 1.圆锥曲线中最值问题的求解方法 （1）几何法：通过利用圆锥曲线的定义和几何性质进行求解 （2）代数法：把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数 方法、不等式方法等进行求解．函数主要是二次函数、对勾函数或者导数求解，不等式主要是运用基 本不等式求解 2.圆锥曲线中取值范围问题的五种常用解法 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围． (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解决这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系． (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围． (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围． (5)利用求函数值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围． 3定点、定值模板 1.寻找适合运动变化的量或者参数，如点坐标，直线的斜率，截距等，把相关问题用参数表示备用，或 者找寻带有参数的直线与曲线联立方程组，得到关于x 或y 的一元二次方程，利用韦达定理列出x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2的关系式备用 2.根据已知条件把定点、定值问题转化为与参数有关的方程问题，与第一步的结论对接 3，确定与参数无关点、值，即为所求. 圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一） 存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。 一、是否存在这样的常数 例1．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2 212 x y +=有 两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围； （II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量 OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+ 代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫ +++= ⎪⎝⎭ ① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2 221844202k k k ⎛⎫ ∆=-+=-> ⎪⎝⎭ ， 解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为22⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ U ，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r ，， 由方程①，122 12x x k +=- +． ② 又1212()y y k x x +=++ ③ 而(01)(A B AB =u u u r ，，． 所以OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r 共线等价于1212)x x y y +=+， 将②③代入上式，解得k = ．高中数学圆锥曲线十大题型 专题10以椭圆为情景的探索性问题 (学生版+解析版)
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