专题 圆锥曲线中的探索性问题
1．(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线
C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .
(1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．
2．(2016·四川)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形
的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2
＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值．
高考必会题型
题型一 定值、定点问题
例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为1
2
，直线l 经过椭圆C 的右
焦点F 交椭圆于A 、B 两点． (1)求椭圆C 的方程；
(2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF →
，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的
值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由．
变式训练1 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点M(5，－2)的动直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为－1时，点M恰为AB的中点．
(1)求抛物线的方程；
(2)抛物线上是否存在一个定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
题型二定直线问题
例2 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2
＝2py(p>0)相交于A，B两点．
(1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值；
(2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的
弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由．
变式训练2 椭圆C 的方程为x 2
a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分
别是它的左、右焦点，已知椭圆C 过点(0,1)，且离心率e ＝223
.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)如图，设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 的方程为x ＝4，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交直线l 于D 、E 两点，求F 1D →·F 2E →
的值；
(3)过点Q (1,0)任意作直线m (与x 轴不垂直)与椭圆C 交于M 、N 两点，与l 交于R 点，RM →＝
xMQ →，RN →＝yNQ →
，求证：4x ＋4y ＋5＝0.
题型三 存在性问题
例3 (1)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2
于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________．
(2)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3
2
，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T ：
(x ＋2)2
＋y 2
＝r 2
(r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M ，N .
①求椭圆C 的方程；②求TM →·TN →
的最小值，并求此时圆T 的方程；
③设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点．试问：是否存在使S △POS ·S △POR 最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
变式训练3 (2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是
22
，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；
(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →
＋λPA →·PB →为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．
高考题型精练
1.(2015·陕西)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2b
2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)，
且离心率为
22
. (1)求椭圆E 的方程；
(2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2.
2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P (1，3
2
)在椭圆C 上，O 为坐标
原点．
(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围；
(3)过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2－
53
＝1上异于其顶点的任一点P ，作圆O ：x 2＋y 2
＝43
的两条切线，切点
分别为M ，N (M ，N 不在坐标轴上)，若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：1
3m 2
＋1
n
2为定值．
3．(2016·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为
2 2.
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ，交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段
PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点Q ，延长QM 交C 于点B .
①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′
k
为定值； ②求直线AB 的斜率的最小值．
4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，短轴的一个端点B 到F 的距离等于焦
距．
(1)求椭圆C 的方程；
(2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．
圆锥曲线中的探索性问题
1．(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线
C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H .
(1)求|OH ||ON |
；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由．
解 (1)由已知得M (0，t )，P ⎝ ⎛⎭⎪⎫t 22p ，t ，又N 为M 关于点P 的对称点，故N ⎝ ⎛⎭
⎪⎫t 2
p ，t ，ON 的方程为y ＝p t x ，代入y 2＝2px 整理得px 2－2t 2
x ＝0，解得x 1＝0，x 2＝2t 2
p ，因此H ⎝ ⎛⎭
⎪⎫2t 2
p ，2t .
所以N 为OH 的中点，即|OH |
|ON |
＝2.
(2)直线MH 与C 除H 以外没有其他公共点，理由如下：直线MH 的方程为y －t ＝p
2t x ，即x
＝2t p
(y －t )．代入y 2＝2px 得y 2－4ty ＋4t 2
＝0，解得y 1＝y 2＝2t ，即直线MH 与C 只有一个
公共点，所以除H 以外，直线MH 与C 没有其他公共点．
2．(2016·四川)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2
b
2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形
的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标；
(2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2
＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值．
解 (1)由已知，得a ＝2b ，则椭圆E 的方程为x 22b 2＋y 2
b
2＝1.
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
2b 2＋y 2
b
2＝1，
y ＝－x ＋3，
得3x 2－12x ＋(18－2b 2)＝0.①方程①的判别式为Δ＝24(b 2
－
3)，由Δ＝0，得b 2
＝3，此时方程①的解为x ＝2，所以椭圆E 的方程为x 26＋y 2
3＝1.点T 的坐
标为(2,1)．
(2)由已知可设直线l ′的方程为y ＝1
2x ＋m (m ≠0)，
由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
y ＝12
x ＋m ，
y ＝－x ＋3，
可得⎩⎪⎨⎪⎧
x ＝2－2m 3
，
y ＝1＋2m
3
.P 点坐标为⎝
⎛⎭
⎪⎫2－2m
3
，1＋2m 3，|PT |2＝
89
m 2.
设点A ，B 的坐标分别为A (x 1
，y 1
)，B (x 2
，y 2
)．由方程组⎩⎪⎨⎪⎧
x 26＋y 2
3＝1，
y ＝1
2x ＋m ，
可得3x 2
＋4mx
＋(4m 2－12)＝0.②方程②的判别式为Δ＝16(9－2m 2
)，由Δ>0，解得－322 由②得x 1＋x 2＝－4m 3，x 1x 2＝4m 2 －12 3.所以|PA |＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2m 3－x 12＋⎝ ⎛⎭ ⎪⎫1＋2m 3－y 12 ＝ 52⎪⎪⎪⎪⎪⎪2－2m 3－x 1，同理|PB |＝52⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪2－2m 3－x 2.所以|PA |·|PB |＝109m 2. 故存在常数λ＝45，使得|PT |2 ＝λ|PA |·|PB |. 题型一 定值、定点问题 例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为1 2 ，直线l 经过椭圆C 的右 焦点F 交椭圆于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程； (2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF → ，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由． 解 (1)依题意得b ＝3，e ＝c a ＝12，a 2＝b 2＋c 2，∴a ＝2，c ＝1，∴椭圆C 方程为x 24＋y 2 3 ＝1. (2)∵直线l 与y 轴相交于点M ，故斜率存在，又F 坐标为(1,0)，设直线l 方程为 y ＝k (x －1)，求得l 与y 轴交于M (0，－k )，设l 交椭圆A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 24＋y 2 3 ＝1，消去y 得(3＋4k 2 )x 2 －8k 2 x ＋4k 2 －12＝0，∴x 1＋x 2＝8k 2 3＋4k 2，x 1x 2＝ 4k 2 －123＋4k 2，又由MA →＝λAF → ，∴(x 1，y 1＋k )＝λ(1－x 1，－y 1)，∴λ＝ x 11－x 1，同理μ＝x 21－x 2， ∴λ＋μ＝x 11－x 1＋x 21－x 2＝x 1＋x 2－2x 1x 21－(x 1＋x 2)＋x 1x 2＝8k 2 3＋4k 2－2(4k 2 －12) 3＋4k 2 1－8k 23＋4k 2＋4k 2 －123＋4k 2 ＝－8 3 . ∴当直线l 的倾斜角变化时，λ＋μ的值为定值－8 3. 点评 (1)定点问题的求解策略 把直线或曲线方程中的变量x ，y 当作常数看待，把方程一端化为零，既然直线或曲线过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x ，y 的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． (2)定值问题的求解策略 在解析几何中，有些几何量与参数无关，这就是“定值”问题，解决这类问题常通过取特殊值，先确定“定值”是多少，再进行证明，或者将问题转化为代数式，再证明该式是与变量无关的常数或者由该等式与变量无关，令其系数等于零即可得到定值． 变式训练1 已知抛物线y 2 ＝2px (p >0)，过点M (5，－2)的动直线l 交抛物线于A ，B 两点，当直线l 的斜率为－1时，点M 恰为AB 的中点． (1)求抛物线的方程；(2)抛物线上是否存在一个定点P ，使得以弦AB 为直径的圆恒过点P ，若存在，求出点P 的坐标，若不存在，请说明理由． 解 (1)当直线l 的斜率为－1时，直线l 的方程为x ＋y －3＝0，即x ＝3－y ， 代入y 2 ＝2px (p >0)得y 2 ＋2py －6p ＝0， y 1＋y 2 2 ＝－p ＝－2，p ＝2，抛物线的方程为y 2 ＝4x . (2)设直线l 的方程为x ＝m (y ＋2)＋5，代入y 2 ＝4x 得y 2 －4my －8m －20＝0， 设点A (y 214，y 1)，B (y 22 4 ，y 2)，则y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－8m －20， 假设存在点P (y 20 4，y 0)总是在以弦AB 为直径的圆上，则PA →·PB →＝(y 214－y 204)(y 224－y 2 4) ＋(y 1－y 0)(y 2－y 0)＝0，当y 1＝y 0或y 2＝y 0时，等式显然成立； 当y 1≠y 0或y 2≠y 0时，则有(y 1＋y 0)(y 2＋y 0)＝－16，即4my 0＋y 2 0－8m －20＝－16， (4m ＋y 0＋2)(y 0－2)＝0，解得y 0＝2，x 0＝1，所以存在点P (1,2)满足题意． 题型二 定直线问题 例2 在平面直角坐标系xOy 中，过定点C (0，p )作直线与抛物线x 2 ＝2py (p >0)相交于A ，B 两点． (1)若点N 是点C 关于坐标原点O 的对称点，求△ANB 面积的最小值； (2)是否存在垂直于y 轴的直线l ，使得l 被以AC 为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 方法一 (1)依题意，点N 的坐标为(0，－p )，可设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 直线AB 的方程为y ＝kx ＋p ，与x 2 ＝2py 联立得⎩⎪⎨ ⎪⎧ x 2 ＝2py ，y ＝kx ＋p ， 消去y 得x 2－2pkx －2p 2 ＝0. 由根与系数的关系得x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2p 2 .于是S △ABN ＝S △BCN ＋S △ACN ＝12·2p |x 1－x 2| ＝p |x 1－x 2|＝p (x 1＋x 2)2 －4x 1x 2＝p 4p 2k 2 ＋8p 2 ＝2p 2 k 2＋2，∴当k ＝0时，(S △ABN )min ＝22 p 2. (2)假设满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝a ， AC 的中点为O ′，l 与以AC 为直径的圆相交于点P ，Q ，PQ 的中点为H ， 则O ′H ⊥PQ ，O ′点的坐标为(x 12，y 1＋p 2)．∵|O ′P |＝12|AC |＝12x 21＋(y 1－p )2＝12 y 21＋p 2 ， |O ′H |＝⎪ ⎪⎪ ⎪⎪⎪a － y 1＋p 2＝1 2 |2a －y 1－p |，∴|PH |2＝|O ′P |2－|O ′H |2 ＝14(y 21＋p 2)－14(2a －y 1－p )2＝(a －p 2)y 1＋a (p －a )，∴|PQ |2 ＝(2|PH |)2 ＝4[(a －p 2)y 1＋a (p －a )]．令a －p 2＝0，得a ＝p 2， 此时|PQ |＝p 为定值，故满足条件的直线l 存在， 其方程为y ＝p 2 ，即抛物线的通径所在的直线． 方法二 (1)前同方法一，再由弦长公式得|AB |＝1＋k 2 |x 1－x 2| ＝1＋k 2 ·(x 1＋x 2)2 －4x 1x 2＝1＋k 2 ·4p 2k 2 ＋8p 2 ＝2p 1＋k 2 ·k 2 ＋2， 又由点到直线的距离公式得d ＝2p 1＋k 2.从而S △ABN ＝12·d ·|AB |＝12·2p 1＋k 2·k 2 ＋2· 2p 1＋k 2 ＝2p 2 k 2＋2.∴当k ＝0时，(S △ABN )min ＝22p 2. (2)假设满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝a ，则以AC 为直径的圆的方程为 (x －0)(x －x 1)＋(y －p )(y －y 1)＝0，将直线方程y ＝a 代入得x 2 －x 1x ＋(a －p )(a －y 1)＝0， 则Δ＝x 2 1－4(a －p )(a －y 1)＝4[(a －p 2)y 1＋a (p －a )]． 设直线l 与以AC 为直径的圆的交点为P (x 3，y 3)，Q (x 4，y 4)， 则有|PQ |＝|x 3－x 4|＝4[(a －p 2 )y 1＋a (p －a )] ＝2 (a －p 2)y 1＋a (p －a ).令a －p 2＝0，得a ＝p 2 ，此时|PQ |＝p 为定值， 故满足条件的直线l 存在，其方程为y ＝p 2 ，即抛物线的通径所在的直线． 点评 (1)定直线由斜率、截距、定点等因素确定．(2)定直线为特殊直线x ＝x 0，y ＝y 0等． 变式训练2 椭圆C 的方程为x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)，F 1、F 2分别是它的左、右焦点，已知椭圆C 过点(0,1)，且离心率e ＝22 3 . (1)求椭圆C 的方程；(2)如图，设椭圆的左、右顶点分别为A 、B ，直线l 的方程为x ＝4，P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，直线PA 、PB 分别交直线l 于D 、E 两点，求F 1D →·F 2E → 的值； (3)过点Q (1,0)任意作直线m (与x 轴不垂直)与椭圆C 交于M 、N 两点，与l 交于R 点，RM →＝ xMQ →，RN →＝yNQ → ，求证：4x ＋4y ＋5＝0. (1)解 由题意可得b ＝1，c a ＝22 3 ， ∴a ＝3，椭圆C 的方程为x 2 9 ＋y 2 ＝1. (2)解 设P (x 0，y 0)，则直线PA 、PB 的方程分别为y ＝y 0x 0＋3(x ＋3)，y ＝y 0 x 0－3 (x －3)， 将x ＝4分别代入可求得D ，E 两点的坐标分别为D (4， 7y 0x 0＋3)，E (4，y 0 x 0－3 )． 由(1)知，F 1(－22，0)，F 2(22，0)，∴F 1D →·F 2E → ＝(4＋22，7y 0x 0＋3)·(4－22，y 0x 0－3) ＝8＋7y 2 0x 20－9，又∵点P (x 0，y 0)在椭圆C 上，∴x 2 09＋y 20＝1⇒y 2 0x 20－9＝－19，∴F 1D →·F 2E →＝65 9. (3)证明 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，R (4，t )，由RM →＝xMQ → 得(x 1－4，y 1－t )＝x (1－x 1，－y 1)， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 1＝4＋x 1＋x ，y 1 ＝t 1＋x (x ≠－1)，代入椭圆方程得(4＋x )2＋9t 2＝9(1＋x )2 ， ① 同理由RN →＝yNQ →得(4＋y )2＋9t 2＝9(1＋y )2 ，② ①－②消去t ，得x ＋y ＝－54， ∴4 x ＋4y ＋5＝0. 题型三 存在性问题 例3 (1)已知直线y ＝a 交抛物线y ＝x 2 于A ，B 两点．若该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，则a 的取值范围为________． 解析 以AB 为直径的圆的方程为x 2＋(y －a )2 ＝a ，由⎩ ⎪⎨⎪⎧ y ＝x 2 ，x 2＋(y －a )2 ＝a ，得y 2 ＋(1－2a )y ＋a 2 －a ＝0.即(y －a )[y －(a －1)]＝0，由已知⎩ ⎪⎨ ⎪⎧ a >0， a －1≥0，解得a ≥1. (2)如图，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的离心率为3 2 ，以椭圆的左顶点T 为圆心作圆T ： (x ＋2)2 ＋y 2 ＝r 2 (r >0)，设圆T 与椭圆C 交于点M ，N . ①求椭圆C 的方程；②求TM →·TN → 的最小值，并求此时圆T 的方程； ③设点P 是椭圆C 上异于M ，N 的任意一点，且直线MP ，NP 分别与x 轴交于点R ，S ，O 为坐标原点．试问：是否存在使S △POS ·S △POR 最大的点P ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 解 ①由题意知⎩⎪⎨⎪⎧ c a ＝32 ，a ＝2， 解之，得a ＝2，c ＝3，由c 2＝a 2－b 2 ，得b ＝1， 故椭圆C 的方程为x 2 4 ＋y 2 ＝1.②点M 与点N 关于x 轴对称， 设M (x 1，y 1)，N (x 1，－y 1)，不妨设y 1>0，由于点M 在椭圆C 上，∴y 21 ＝1－x 21 4. 由已知T (－2,0)，则TM →＝(x 1＋2，y 1)，TN → ＝(x 1＋2，－y 1)， ∴TM →·TN →＝(x 1＋2，y 1)·(x 1＋2，－y 1)＝(x 1＋2)2－y 21＝(x 1＋2)2 －⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 214＝54⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋852－15. 由于－2 取得最小值为－15 ， 当x 1＝－85时，y 1＝35，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－85，35.又点M 在圆T 上，代入圆的方程得r 2 ＝1325， 故圆T 的方程为(x ＋2)2＋y 2 ＝1325.③假设存在满足条件的点P ，设P (x 0，y 0)， 则直线MP 的方程为y －y 0＝ y 0－y 1x 0－x 1(x －x 0)，令y ＝0，得x R ＝x 1y 0－x 0y 1y 0－y 1，同理x S ＝x 1y 0＋x 0y 1 y 0＋y 1 ， 故x R ·x S ＝x 21y 20－x 20y 2 1y 20－y 21 .又点M 与点P 在椭圆上，故x 20＝4(1－y 20)，x 21＝4(1－y 2 1)， 得x R ·x S ＝4(1－y 21)y 20－4(1－y 20)y 21y 20－y 2 1 ＝4(y 20－y 2 1) y 20－y 21＝4，∴|OR |·|OS |＝|x R |·|x S |＝|x R ·x S |＝4为定值． ∵S △POS ·S △POR ＝12|OS ||y P |·12|OR ||y P |＝14 ×4×y 2P ＝y 2 P ，又P 为椭圆上的一点， ∴要使S △POS ·S △POR 最大，只要y 2 P 最大，而y 2 P 的最大值为1，故满足条件的P 点存在，其坐标为P (0,1)和P (0，－1)． 点评 存在性问题求解的思路及策略 (1)先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． 变式训练3 (2015·四川)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率是 22 ，点P (0,1)在短轴CD 上，且PC →·PD →＝－1. (1)求椭圆E 的方程；(2)设O 为坐标原点，过点P 的动直线与椭圆交于A ，B 两点．是否存在常数λ，使得OA →·OB →＋λPA →·PB → 为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知，得点C ，D 的坐标分别为(0，－b )，(0，b )，又点P 的坐标为(0,1)，且PC →·PD →＝－1，于是⎩⎪⎨⎪⎧ 1－b 2 ＝－1， c a ＝22， a 2 －b 2 ＝c 2 ， 解得a ＝2，b ＝2，所以椭圆E 的方程为x 24＋y 2 2 ＝1. (2)当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为 y ＝kx ＋1，A ，B 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ x 24＋y 2 2 ＝1， y ＝kx ＋1， 得(2k 2＋1)x 2 ＋4kx －2＝0，其判别式Δ＝(4k )2 ＋8(2k 2 ＋1)＞0，所以x 1＋x 2＝－4k 2k 2 ＋1，x 1x 2＝－2 2k 2＋1 ， 从而，OA →·OB →＋λPA →·PB → ＝x 1x 2＋y 1y 2＋λ[x 1x 2＋(y 1－1)(y 2－1)] ＝(1＋λ)(1＋k 2 )x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝(－2λ－4)k 2 ＋(－2λ－1)2k 2 ＋1 ＝－λ－12k 2＋1－λ－2.所以当λ＝1时，－λ－1 2k 2＋1－λ－2＝－3， 此时OA →·OB →＋λPA →·PB →＝－3为定值． 当直线AB 斜率不存在时，直线AB 即为直线CD ，此时，OA →·OB →＋λPA →·PB →＝OC →·OD →＋PC →·PD →＝－2－1＝－3.故存在常数λ＝1，使得OA →·OB →＋λPA →· PB →为定值－3. 高考题型精练 1.(2015·陕西)如图，椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)经过点A (0，－1)， 且离心率为 2 2 .(1)求椭圆E 的方程； (2)经过点(1,1)，且斜率为k 的直线与椭圆E 交于不同的两点P ，Q (均异于点A )，证明：直线AP 与AQ 的斜率之和为2. (1)解 由题设知c a ＝22，b ＝1，a 2＝b 2＋c 2 ，解得a ＝2，所以椭圆E 的方程为x 22 ＋y 2＝1. (2)证明 由题设知，直线PQ 的方程为y ＝k (x －1)＋1(k ≠2)，代入x 2 2＋y 2 ＝1， 得(1＋2k 2 )x 2 －4k (k －1)x ＋2k (k －2)＝0，由已知Δ＞0， 设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，x 1x 2≠0，则x 1＋x 2＝4k (k －1)1＋2k 2，x 1x 2＝2k (k －2) 1＋2k 2， 从而直线AP ，AQ 的斜率之和k AP ＋k AQ ＝ y 1＋1x 1＋y 2＋1x 2＝kx 1＋2－k x 1＋kx 2＋2－k x 2 ＝2k ＋(2－k )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 1＋1x 2＝2k ＋(2－k )x 1＋x 2x 1x 2＝2k ＋(2－k )4k (k －1)2k (k －2)＝2k －2(k －1)＝2. 2．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，且点P (1，3 2 )在椭圆C 上，O 为坐标 原点．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过定点T (0,2)的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ， B ，且∠AOB 为锐角，求直线l 的斜率k 的取值范围； (3)过椭圆C 1：x 2a 2＋y 2b 2－ 53 ＝1上异于其顶点的任一点P ，作圆O ：x 2＋y 2 ＝43 的两条切线，切点 分别为M ，N (M ，N 不在坐标轴上)，若直线MN 在x 轴，y 轴上的截距分别为m ，n ，证明：1 3m 2 ＋1 n 2为定值． (1)解 由题意得c ＝1，所以a 2＝b 2 ＋1，又因为点P (1，32)在椭圆C 上， 所以1 a 2＋94 b 2＝1，可解得a 2＝4，b 2 ＝3，所以椭圆C 的标准方程为x 2 4＋y 2 3 ＝1. (2)解 设直线l 方程为y ＝kx ＋2，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋2，x 24＋y 2 3 ＝1，得(4k 2＋3)x 2＋16kx ＋4＝0，因为Δ＝12k 2－3>0，所以k 2>1 4 ， 又x 1＋x 2＝ －16k 4k 2＋3，x 1x 2＝44k 2 ＋3 ，因为∠AOB 为锐角，所以OA →·OB → >0，即x 1x 2＋y 1y 2>0， 所以x 1x 2＋(kx 1＋2)(kx 2＋2)>0，所以(1＋k 2 )x 1x 2＋2k (x 1＋x 2)＋4>0， 所以(1＋k 2 )·44k 2＋3＋2k ·－16k 4k 2＋3＋4>0，即－12k 2 ＋164k 2 ＋3>0，所以k 2<4 3，所以14 ， 解得－233 3 . (3)证明 由题意：C 1：x 24＋3y 2 4＝1，设点P (x 1，y 1)，M (x 2，y 2)，N (x 3，y 3)， 因为M ，N 不在坐标轴上，所以k PM ＝－ 1 k OM ＝－x 2y 2 ， 直线PM 的方程为y －y 2＝－x 2y 2(x －x 2)，化简得x 2x ＋y 2y ＝4 3 ， ① 同理可得直线PN 的方程为x 3x ＋y 3y ＝4 3 ， ②把P 点的坐标分别代入①、②得 ⎩⎪⎨⎪⎧ x 2x 1＋y 2y 1＝4 3 ， x 3x 1 ＋y 3y 1 ＝43 ，所以直线MN 的方程为x 1x ＋y 1y ＝43，令y ＝0，得m ＝4 3x 1 ，令x ＝0， 得n ＝ 43y 1，所以x 1＝43m ，y 1＝4 3n ，又点P 在椭圆C 1上， 所以(43m )2＋3(43n )2＝4，即13m 2＋1n 2＝3 4 为定值． 3．(2016·山东)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a ＞b ＞0)的长轴长为4，焦距为 2 2. (1)求椭圆C 的方程；(2)过动点M (0，m )(m ＞0)的直线交x 轴于点N ， 交C 于点A ，P (P 在第一象限)，且M 是线段PN 的中点．过点P 作x 轴的垂线交C 于另一点 Q ，延长QM 交C 于点B .①设直线PM ，QM 的斜率分别为k ，k ′，证明k ′ k 为定值； ②求直线AB 的斜率的最小值． (1)解 设椭圆的半焦距为c .由题意知2a ＝4,2c ＝2 2.所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2 2＝1. (2)①证明 设P (x 0，y 0)(x 0＞0，y 0＞0)．由M (0，m )，可得P (x 0,2m )，Q (x 0，－2m )． 所以直线PM 的斜率k ＝2m －m x 0＝m x 0.直线QM 的斜率k ′＝－2m －m x 0＝－3m x 0 . 此时 k ′k ＝－3.所以k ′ k 为定值－3.②解 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)． 由①知直线PA 的方程为y ＝kx ＋m .直线QB 的方程为y ＝－3kx ＋m . 联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋m ，x 24＋y 2 2 ＝1，整理得(2k 2＋1)x 2＋4mkx ＋2m 2 －4＝0， 由x 0x 1＝2m 2 －42k 2＋1，可得x 1＝2(m 2－2)(2k 2＋1)x 0，所以y 1＝kx 1＋m ＝2k (m 2 －2) (2k 2＋1)x 0＋m . 同理x 2＝2(m 2 －2)(18k 2＋1)x 0，y 2＝－6k (m 2 －2) (18k 2 ＋1)x 0 ＋m . 所以x 2－x 1＝2(m 2 －2)(18k 2＋1)x 0－2(m 2 －2)(2k 2＋1)x 0＝－32k 2 (m 2 －2) (18k 2＋1)(2k 2 ＋1)x 0， y 2－y 1＝－6k (m 2 －2)(18k 2＋1)x 0＋m －2k (m 2 －2)(2k 2＋1)x 0－m ＝－8k (6k 2 ＋1)(m 2 －2) (18k 2＋1)(2k 2 ＋1)x 0 ， 所以k AB ＝y 2－y 1x 2－x 1＝6k 2＋14k ＝14⎝ ⎛ ⎭⎪⎫6k ＋1k ，由m ＞0，x 0＞0，可知k ＞0， 所以6k ＋1k ≥26，当且仅当k ＝66时取“＝”．因为P (x 0,2m )在椭圆x 2 4＋y 2 2＝1上， 所以x 0＝4－8m 2 ，故此时 2m －m 4－8m 2 －0＝66 ，即m ＝14 7，符合题意． 所以直线AB 的斜率的最小值为 6 2 . 4．已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F (1,0)，短轴一个端点B 到F 的距离等于焦距． (1)求椭圆C 的方程； (2)过点F 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点M ，N ，是否存在直线l ，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为2？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由． 解 (1)由已知得c ＝1，a ＝2c ＝2，b 2 ＝a 2 －c 2 ＝3，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2 3 ＝1. (2) S △BFM S △BFN ＝2等价于FM FN ＝2，当直线l 斜率不存在时，FM FN ＝1，不符合题意，舍去； 当直线l 斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 由⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝k (x －1)，x 24＋y 23 ＝1消去x 并整理得，(3＋4k 2)y 2＋6ky －9k 2 ＝0，设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 则y 1＋y 2＝－6k 3＋4k 2， ①y 1y 2＝－9k 2 3＋4k 2，② 由 FM FN ＝2得y 1＝－2y 2， ③ 5 2，因此存在直线l：y＝± 5 2 (x－1)使△BFM与△BFN的面积比值为2. 由①②③解得k＝± 圆锥曲线中的存在、探索性问题 一、考情分析 圆锥曲线中的存在性问题、探索问题是高考常考题型之一,它是在题设条件下探索某个数学对象(点、线、数等)是否存在或某个结论是否成立.由于题目多变,解法不一,我们在平时的教学中对这类题目训练较少,因 而学生遇到这类题目时,往往感到无从下手,本文针对圆锥曲线中这类问题进行了探讨． 二、经验分享 解决探索性问题的注意事项 探索性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在． (1)当条件和结论不唯一时要分类讨论； (2)当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件； (3)当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要开放思维，采取另外合适的方法． 三、知识拓展 探索性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备。要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括。它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求。它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论及证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程。 探索性问题一般可分为：条件追溯型，结论探索型、条件重组型，存在判断型，规律探究型，实验操作型。每一种类型其求解策略又有所不同。因此，我们在求解时就必须首先要明辨它是哪一种类型的探索问题，然后再根据所属类型制定解题策略。下面分别加以说明： 1、条件追溯型 这类问题的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断。解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件。在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆及否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意。 2、结论探索型 这类问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确及否需要确定。解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论。在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论。 神 奇 的 圆 锥 曲 线 动 态 结 构 168 杭 州 学 军 中 学 闻 杰 神奇的圆锥曲线 动态结构 目录 一、神奇曲线，定义统一 01．距离和差，轨迹椭双 02．距离定比，三线统一 二、过焦半径，相关问题 03．切线焦径，准线作法 04．焦点切线，射影是圆 05．焦半径圆，切于大圆 06．焦点弦圆，准线定位 07．焦三角形，内心轨迹 三、焦点之弦，相关问题 08．焦点半径，倒和定值 09．正交焦弦，倒和定值 10．焦弦中垂，焦交定长 11．焦弦投影，连线截中 12．焦弦长轴，三点共线 13．对焦连线，互相垂直 14．相交焦弦，轨迹准线 15．相交焦弦，角分垂直 16．定点交弦，轨迹直线 四、相交之弦，蝴蝶特征19．横点交弦，竖之蝴蝶20．纵点交弦，横之蝴蝶21．蝴蝶定理，一般情形五、切点之弦，相关问题22．主轴分割，等比中项23．定点割线，倒和两倍24．定点割线，内外定积25．主轴交点，切线平行六、定点之弦，张角问题26．焦点之弦，张角相等27．定点之弦，张角仍等28．对称之点，三点共线29．焦点切点，张角相等30．倾角互补，连线定角七、动弦中点，相关问题31．动弦中点，斜积定值32．切线半径，斜积仍定33．动弦中垂，范围特定34．定向中点，轨迹直径35．定点中点，轨迹同型 37．存在定点，内积仍定九、其它重要性质38．光线反射，路径过焦39．切线中割，切弦平行40．直周之角，斜过定点41．正交半径，斜切定圆42．直径端点，斜积定值43．垂弦端点，交轨对偶44．准线动点，斜率等差45．焦点切线，距离等比46．共轭点对，距离等积47．正交中点，连线定点48．顶点切圆，切线交准49．平行焦径，交点轨迹50．内接内圆，切线永保51．切线正交，顶点轨迹52．斜率定值，弦过定点53．直线动点，切弦定点54．与圆四交，叉连互补55．交弦积比，平行方等56．补弦外圆，切于同点 第2课时 定点、定值、探索性问题 圆锥曲线中的定点问题(师生共研) (2020·某某模拟)过抛物线C ：y 2 ＝4x 的焦点F 且斜率为k 的直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，且|AB |＝8. (1)求直线l 的方程； (2)若A 关于x 轴的对称点为D ，求证：直线BD 过定点，并求出该点的坐标． 【解】 (1)由y 2 ＝4x 知焦点F 的坐标为(1，0)，则直线l 的方程为y ＝k (x －1)， 代入抛物线方程y 2 ＝4x ，得k 2x 2 －(2k 2 ＋4)x ＋k 2 ＝0， 由题意知k ≠0， 且Δ＝[－(2k 2 ＋4)]2 －4k 2 ·k 2 ＝16(k 2 ＋1)＞0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝2k 2 ＋4 k 2，x 1x 2＝1. 由抛物线的弦长公式知|AB |＝x 1＋x 2＋2＝8，则2k 2 ＋4 k 2＝6， 即k 2 ＝1，解得k ＝±1. 所以直线l 的方程为y ＝±(x －1)． (2)由(1)及抛物线的对称性知，D 点的坐标为(x 1，－y 1)， 直线BD 的斜率k BD ＝ y 2＋y 1x 2－x 1＝y 2＋y 1y 224－y 214 ＝4 y 2－y 1 ， 所以直线BD 的方程为y ＋y 1＝ 4 y 2－y 1 (x －x 1)， 即(y 2－y 1)y ＋y 2y 1－y 2 1＝4x －4x 1. 因为y 2 1＝4x 1，y 2 2＝4x 2，x 1x 2＝1，所以(y 1y 2)2 ＝16x 1x 2＝16， 即y 1y 2＝－4(y 1，y 2异号)． 所以直线BD 的方程为4(x ＋1)＋(y 1－y 2)y ＝0， 对任意y 1，y 2∈R ，有⎩⎪⎨ ⎪⎧x ＋1＝0，y ＝0， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝0， 即直线BD 恒过定点(－1，0)． 高考数学二轮复习专题突破—圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1.(2021·重庆八中月考)已知椭圆C :x 2 4+ y 23 =1的右焦点为F ,过点M (4,0)的直线l 交椭圆 C 于A ,B 两点,连接AF ,BF 并延长分别与椭圆交于异于A ,B 的两点P ,Q. (1)求直线l 的斜率的取值范围; (2)若PF ⃗⃗⃗⃗⃗ =λFA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,QF ⃗⃗⃗⃗⃗ =μFB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,证明:λμ为定值. 2.(2021·河北张家口三模)已知抛物线C :y 2=4px (p>0)的焦点为F ,且点M (1,2)到点F 的距离比到y 轴的距离大p. (1)求抛物线C 的方程; (2)若直线l :x-m (y+2)-5=0与抛物线C 交于A ,B 两点,问是否存在实数m ,使|MA|·|MB|=64√2?若存在,求出m 的值;若不存在,请说明理由. 3.(2021·江苏南通适应性联考)已知双曲线C :x 2 a 2−y 2 b 2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F 1,F 2,一条渐近线方程为y=bx (b ∈N *),且双曲线C 经过点D (√2,1). (1)求双曲线C 的方程; (2)设点P 在直线x=m (y ≠±m ,0 (1)求椭圆C 的方程; (2)过点P (-3,0)的直线(不与x 轴重合)与椭圆C 相交于A ,B 两点,直线HA ,HB 分别交x 轴于M ,N 两点,点G (-2,0),若PM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,PN ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =μPG ⃗⃗⃗⃗⃗ ,求证:1 λ+1 μ 为定值. 5.(2021·广东汕头三模)已知圆C :x 2+(y-2)2=1与定直线l :y=-1,且动圆M 与圆C 外切并与直线l 相切. (1)求动圆圆心M 的轨迹E 的方程; (2)已知点P 是直线l 1:y=-2上一个动点,过点P 作轨迹E 的两条切线,切点分别为A ,B. ①求证:直线AB 过定点; ②求证:∠PCA=∠PCB. 6.(2021·北京东城一模)已知椭圆C :x 2 a 2+y 2 b 2=1(a>b>0)过点D (-2,0),且焦距为2√3. (1)求椭圆C 的方程; (2)过点A (-4,0)的直线l (不与x 轴重合)与椭圆C 交于P ,Q 两点,点T 与点Q 关于x 轴对称,直线TP 与x 轴交于点H ,是否存在常数λ,使得|AD|·|DH|=λ(|AD|-|DH|)成立?若存在,求出λ的值;若不存在,说明理由. 北师大版2021版高考数学（理）一轮复习 第九章平面解析几何第9讲圆锥曲线的综合问题第2课时定点、定值、探索性 问题练习 [基础题组练] 1．已知直线l 与双曲线x 2 4－y 2 ＝1相切于点P ，l 与双曲线的两条渐近线交于M ，N 两点，则OM →·ON →的 值为( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．与P 的位置有关 解析：选A.依题意，设点P (x 0，y 0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，其中x 2 0－4y 2 0＝4，则直线l 的方程是 x 0x 4 － y 0y ＝1，题中双曲线的两条渐近线方程为y ＝±12 x . ①当y 0＝0时，直线l 的方程是x ＝2或x ＝－2.由?????x ＝2x 24 －y 2 ＝0，得?????x ＝2y ＝±1，此时OM →·ON →＝(2，－1)·(2，1)＝4－1＝3，同理可得当直线l 的方程是x ＝－2时，OM →·ON → ＝3. ②当y 0 ≠0时，直线l 的方程是y ＝1 4y 0 (x 0x －4)．由?????y ＝1 4y 0 （x 0 x －4）x 2 4－y 2 ＝0 ，得(4y 2 －x 20 )x 2 ＋8x 0 x －16＝ 0(*)，又x 20－4y 20＝4，因此(*)即是－4x 2 ＋8x 0x －16＝0，x 2－2x 0x ＋4＝0，x 1x 2＝4，OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2－14x 1x 2＝3 4 x 1x 2＝3. 综上所述，OM →·ON → ＝3，故选A. 2．已知抛物线y 2 ＝2px (p >0)的焦点为F ，△ABC 的顶点都在抛物线上，且满足FA →＋FB →＋FC →＝0，则1k AB ＋ 1 k AC ＋ 1 k BC ＝________． 解析：设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，C (x 3，y 3)，F ? ?? ??p 2，0，由FA → ＋FB →＝－FC →，得y 1＋y 2＋y 3＝0.因为k AB ＝ y 2－y 1x 2－x 1＝ 2p y 1＋y 2，所以k AC ＝2p y 1＋y 3，k BC ＝2p y 2＋y 3，所以1k AB ＋1k AC ＋1k BC ＝y 1＋y 22p ＋y 3＋y 12p ＋y 2＋y 3 2p ＝0. 答案：0 专题 圆锥曲线综合应用（3）- 定点、定值、探索性问题 一、 高考题型特点： 定点、定值、探索性问题是高考圆锥曲线大题中的常考题型，难度中等偏上。 二、重难点： 1. 定点的探索与证明问题： (1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y ＝kx ＋b ，然后利用条件建立b ， k 等量关系进行消元， 借助于直线系方程找出定点； (2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明一般情况． 2. 解答圆锥曲线的定值，从三个方面把握： (1)从特殊开始，求出定值，再证明该值与变量无关；(2)直接推理、计算，在整个过程中消去变量，得定值；(3)在含有参数的曲线方程里面，把参数从含有参数的项里面分离出来，并令其系数为零，可以求出定值． 3. 存在性问题的解题步骤： (1)先假设存在，引入参变量，根据题目条件列出关于参变量的方程(组)或不等式(组)． (2)解此方程(组)或不等式(组)，若有解则存在，若无解则不存在． (3)得出结论． 三、易错注意点： 本部分对学生的能力要求较高，解题中主要数形结合及各种方法的综合应用，同时对数学推理运算能力有很高的要求。解决定值、定点问题，不要忘记特值法。 四、典型例题： 例1.（2019北京卷）已知抛物线2:2C x py =-经过点(2，-1). (I) 求抛物线C 的方程及其准线方程； (II) 设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y =-1分别交直 线OM ，ON 于点A 和点B ，求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两上定点. 【解析】（I ）由抛物线2:2C x py =-经过点 ()2,1-，得2p =. 所以抛物线C 的方程为24x y =-，其准线方程为1y =. （II ）抛物线C 的焦点为 ()0,1-，设直线l 的方程为()10y kx k =-≠. 由241 x y y kx ?=-?=-?，得2440x kx +-=. 设()()1122,,,,M x y N x y 则1 2 4x x =-. 第三章解析几何 专题14 圆锥曲线中的探索性问题 【压轴综述】 纵观近几年的高考试题，高考对圆锥曲线的考查，一般设置一大一小两道题目，主要考查以下几个方面：一是考查椭圆、双曲线、抛物线的定义，与椭圆的焦点三角形结合，解决椭圆、三角形等相关问题；二是考查圆锥曲线的标准方程，结合基本量之间的关系，利用待定系数法求解；三是考查圆锥曲线的几何性质，小题较多地考查椭圆、双曲线的几何性质；四是考查直线与椭圆、抛物线的位置关系问题，综合性较强，往往与向量结合，涉及方程组联立，根的判别式、根与系数的关系、弦长问题、不等式、范围、最值、定值、定点、定直线、存在性和探索性问题等. 本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，重点说明求解存在性和探索性问题等. 1.探究性问题求解的思路及策略 (1)思路：先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确，则存在；若结论不正确，则不存在． (2)策略：①当条件和结论不唯一时要分类讨论； ②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件． 在这个解题思路指导下解决探索性问题与解决具有明确结论的问题没有什么差别． 2.解决存在性问题的一些技巧： （1）特殊值（点）法：对于一些复杂的题目，可通过其中的特殊情况，解得所求要素的必要条件，然后再证明求得的要素也使得其它情况均成立. （2）核心变量的选取：因为解决存在性问题的核心在于求出未知要素，所以通常以该要素作为核心变量，其余变量作为辅助变量，必要的时候消去. （3）核心变量的求法： ①直接法：利用条件与辅助变量直接表示出所求要素，并进行求解 ②间接法：若无法直接求出要素，则可将核心变量参与到条件中，列出关于该变量与辅助变量的方程（组），运用方程思想求解. 【压轴典例】 例1.（2019·湖北高三开学考试（文））设O为坐标原点，动点M在椭圆E: 22 1 42 x y +=上，过点M作x 轴的垂线，垂足为N，点P满足2 NP NM =. 第3课时 证明与探索性问题 题型一 证明问题 例1(2017·全国Ⅱ)设O 为坐标原点，动点M 在椭圆C ：x 2 2＋y 2 ＝1上，过M 作x 轴的垂线， 垂足为N ，点P 满足NP →＝2NM → . (1)求点P 的轨迹方程； (2)设点Q 在直线x ＝－3上，且OP →·PQ → ＝1.证明：过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . (1)解 设P (x ，y )，M (x 0，y 0)，则N (x 0,0)， NP → ＝(x －x 0，y )，NM → ＝(0，y 0)． 由NP →＝2NM → 得x 0＝x ，y 0＝22y . 因为M (x 0，y 0)在C 上，所以x 22＋y 2 2＝1. 因此点P 的轨迹方程为x 2 ＋y 2 ＝2. (2)证明 由题意知F (－1,0)． 设Q (－3，t )，P (m ，n )，则OQ → ＝(－3，t )， PF →＝(－1－m ，－n )，OQ →·PF → ＝3＋3m －tn ， OP → ＝(m ，n )，PQ → ＝(－3－m ，t －n )． 由OP →·PQ →＝1，得－3m －m 2＋tn －n 2 ＝1. 又由(1)知m 2 ＋n 2 ＝2，故3＋3m －tn ＝0. 所以OQ →·PF →＝0，即OQ →⊥PF →. 又过点P 存在唯一直线垂直于OQ ， 所以过点P 且垂直于OQ 的直线l 过C 的左焦点F . 思维升华圆锥曲线中的证明问题多涉及证明定值、点在定直线上等，有时也涉及一些否定性命题，证明方法一般是采用直接法或反证法． 跟踪训练1 已知椭圆T ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个顶点A (0,1)，离心率e ＝63 ，圆C ：x 2＋y 2 ＝4，从圆C 上任意一点P 向椭圆T 引两条切线PM ，PN . (1)求椭圆T 的方程； (2)求证：PM ⊥PN . 【课本回眸】 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解． 【方法规律技巧】 1. 求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围．在建立函数的过程中要根据题目的其他已知条件，把需要的量都用我们选用的变量表示，有时为了运算的方便，在建立关系的过程中也可以采用多个变量，只要在最后结果中把多变量归结为单变量即可，同时要特别注意变量的取值范围． 2.探索性问题和证明往往会涉及到定点、定值问题，可以通过特例找寻定点、定值，然后利用逻辑推理的方法去证明． 【例题与变式】 例1、 已知椭圆的一个焦点)22,0(1-F ，对应的准线方程为249 - =y ，且离心率e 满足3 2，e ，3 4 成等比数列. (1)求椭圆的方程； (2)试问是否存在直线l ，使l 与椭圆交于不同的两点M 、N ，且线段MN 恰被直线2 1-=x 平分？若存在，求出l 的倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由. （2）假设l 存在，因l 与直线2 1 - =x 相交，不可能垂直x 轴,因此可设l 的方程为：m kx y +=. 由2222 ,9()999 y kx m y x kx m x y =+⎧++=⎨+=⎩,消去得整理得:0)9(2)9(222=-+++m kmx x k , ① 方程①有两个不等的实数根,∴22222244(9)(9)0,90k m k m m k ∆=-+->--<即. ② 设两个交点M 、N 的坐标分别为),)(,(2211y x y x ∴9 22 21+-= +k km x x ,∵线段 MN 恰被直线21 -=x 平分,∴19 2221221-=+-+=-k km x x 即, ∵0≠k ∴k k m 292+= ③ 把③代入② 得 0)9()29(222<+-+k k k ,∵092 >+k ,∴22 9104k k +-<,∴32>k ,解得3>k 或3- 10 以椭圆为情景的探索性问题 典例分析 角度一、以探索多边形形状为情景的问题 1、已知椭圆C ：()，直线不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ， 线段AB 的中点为M ． （Ⅰ）证明：直线OM 的斜率与的斜率的乘积为定值； （Ⅱ）若l 过点，延长线段OM 与C 交于点P ，四边形OAPB 能否为平行四边行？若能，求此时l 的斜率；若不能，说明理由． 2.已知椭圆的一个焦点在直线上，且离心率. （1）求该椭圆的方程； （2）若与是该椭圆上不同的两点，且线段的中点在直线上，试证： 轴上存在定点，对于所有满足条件的与，恒有； （3）在（2）的条件下， 能否为等腰直角三角形？并证明你的结论. 角度二、以探索定点存在性为情景的问题 1、如图，椭圆E ：2222+1(0)x y a b a b =>> ，过点(0,1)P 的动直线l 与椭圆相交于,A B 两 点，当直线l 平行与x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的线段长为 （1）求椭圆E 的方程； （2）在平面直角坐标系xOy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得 QA PA QB PB = 恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由． 2 2 2 9x y m +=0m >l l ( ,)3 m m 22 221(0)x y a b a b +=>>:10l x -=12e =P Q PQ T l x R P Q RP RQ =PQR ∆ 角度三、以探索直线与圆锥曲线位置关系为情景的问题 1、椭圆22 221(0)x y a b a b +=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，右顶点为A ，上顶点为B ，且满足向量 120BF BF ⋅=. （1）若(2,0)A ，求椭圆的标准方程； （2）设P 为椭圆上异于顶点的点，以线段PB 为直径的圆经过1F ，问是否存在过2F 的直线与该圆相切？若存在，求出其斜率；若不存在，说明理由. 2、已知抛物线2:4C y x =与过点(2,0)的直线l 交于,M N 两点. （1）若MN =l 的方程； （2）若1 2 MP MN = ，PQ y ⊥轴，垂足为Q ，探究：以PQ 为直径的圆是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 角度四、以探索定值存在性为情景的问题 1、已知定点()30A -, ，()3,0B ，直线AM 、BM 相交于点M ，且它们的斜率之积为1 9 -，记动点M 的轨迹为曲线C 。 （1）求曲线C 的方程； （2）过点()1,0T 的直线与曲线C 交于P 、Q 两点，是否存在定点()0,0S x ，使得直线SP 与SQ 斜率之积为定值，若存在，求出S 坐标；若不存在，请说明理由。 角度五、以探索最值存在性为情景的问题 1、已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的左、右焦点分别为F 1，F 2，以F 2为圆心、过椭圆左顶点M 的圆与直线 3x －4y ＋12＝0相切于点N ，且满足MF 1―→＝12 F 1F 2―→ . (1)求椭圆C 的标准方程． (2)过椭圆C 右焦点F 2的直线l 与椭圆C 交于不同的A ，B 两点，问：△F 1AB 内切圆的面积是否有最大值？若有，求出最大值；若没有，请说明理由． 角度六、以探索直线存在性为情景的问题 1、如图，已知A (−1,0)、B (1,0)，Q 、G 分别为△ABC 的外心，重心，QG //AB . 专题 圆锥曲线中的探索性问题 1．(2016·课标全国乙)在直角坐标系xOy 中，直线l ：y ＝t (t ≠0)交y 轴于点M ，交抛物线 C ：y 2＝2px (p >0)于点P ，M 关于点P 的对称点为N ，连接ON 并延长交C 于点H . (1)求|OH ||ON |；(2)除H 以外，直线MH 与C 是否有其他公共点？说明理由． 2．(2016·四川)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2 b 2＝1(a >b >0)的两个焦点与短轴的一个端点是直角三角形 的三个顶点，直线l ：y ＝－x ＋3与椭圆E 有且只有一个公共点T . (1)求椭圆E 的方程及点T 的坐标； (2)设O 是坐标原点，直线l ′平行于OT ，与椭圆E 交于不同的两点A 、B ，且与直线l 交于点P .证明：存在常数λ，使得|PT |2 ＝λ|PA |·|PB |，并求λ的值． 高考必会题型 题型一 定值、定点问题 例1 已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)经过点(0，3)，离心率为1 2 ，直线l 经过椭圆C 的右 焦点F 交椭圆于A 、B 两点． (1)求椭圆C 的方程； (2)若直线l 交y 轴于点M ，且MA →＝λAF →，MB →＝μBF → ，当直线l 的倾斜角变化时，探求λ＋μ的 值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，请说明理由． 变式训练1 已知抛物线y2＝2px(p>0)，过点M(5，－2)的动直线l交抛物线于A，B两点，当直线l的斜率为－1时，点M恰为AB的中点． (1)求抛物线的方程； (2)抛物线上是否存在一个定点P，使得以弦AB为直径的圆恒过点P，若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由． 题型二定直线问题 例2 在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2 ＝2py(p>0)相交于A，B两点． (1)若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求△ANB面积的最小值； (2)是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的 弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，请说明理由． 圆锥曲线中的探索性问题 一、常见基本题型： （1）探索图形的面积问题 1.斜率为2的直线BD 交椭圆22 : 124 x y C +=于B 、D 两点，且A 、B 、D 三点不重合。 则ABD ?面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由？ （2）探索图形的形状问题 2.已知抛物线2:(0)C y mx m =>，焦点为F ，直线220x y -+= 交抛物线C 于A 、B 两点，P 是线段AB 的中点，过P 作x 轴的垂线交抛物线 C 于点Q ,是否存在实数m ，使△ABQ 是以Q 为直角顶点的 直角三角形？若存在，求出m 的值；若不存在，说明理 由。 (3)探索点、直线的存在性 3.如图，已知椭圆C1的中心在原点O，长轴左、右端点M，N在x轴上，椭圆C2的短轴为MN，且C1，C2的离心率都为e，直线l⊥MN，l与C1交于两点， 与C2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A，B，C，D． 当e变化时，是否存在直线l，使得BO∥AN，并说明理由 4.已知B、C是曲线C：24(1) y x =+上不同两点，满足(0,) OB OC R λλλ =≠∈，在x轴上是否存在点(,0) A m，使得A B AC ⊥，若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由。 5.设椭圆 22 :1 43 x y C+=的左、右焦点分别为 12 ,F F，过右焦点 2 F作斜率为k的直线l与椭圆C交于M、N两点， 在x轴上是否存在点(,0) P m，使得以PM，PN为邻边的平行四边形是菱形，如果存在，求出m的取值范围；如果不存在，说明理由。6.直线l与椭圆 2 21 4 y x +=交于 11 (,) A x y， 22 (,) B x y两点，已知 11 (2,) m x y =， 22 (2,) n x y =，若m n ⊥,试问：AOB ?的面积是否为定值？如果是，请给予证明；如果不是，请说明理由. 圆锥曲线中的探索性问题是高考命题的热点，主要以解答题的形式出现，难度较大，一般作为压轴题．解决这类问题往往采用“假设反证法”或“假设检验法”，也可先用特殊情况得到所求值，再给出一般性的证明．考查的知识点多，能力要求高，尤其是运算变形能力，同时着重考查学生的分析问题与解决综合问题的能力． “大题规范解答——得全分”系列之(九 圆锥曲线中探索性问题的答题模板 [典例](2012福建高考·满分13分如图，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e＝.过F1的直线交椭圆于A、B两点，且△ABF2的周长为8. (1求椭圆E的方程； (2设动直线l：y＝kx＋m与椭圆E有且只有一个公共点P，且与直线x＝4相交于点Q.试探究：在坐标平面内是否存在定点M，使得以PQ为直径的圆恒过点M？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，说明理由． [教你快速规范审题] 1．审条件，挖解题信息 ―→, 2．审结论，明解题方向 ―→―→ ．建联系，找解题突破口 1．审条件，挖解题信息 ―→， 2．审结论，明解题方向 ―→ ,·,＝0恒 成立 3．建联系，找解题突破口 [教你准确规范解题] (1因为|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝8， 即|AF1|＋|F1B|＋|AF2|＋|BF2|＝8，(1分 又|AF1|＋|AF2|＝|BF1|＋|BF2|＝2a，(2分 所以4a＝8，a＝2. 又因为e＝，即＝，所以c＝1，(3分 所以b＝＝. 故椭圆E的方程是＋＝1.(4分 (2由消去y得(4k2＋3x2＋8kmx＋4m2－12＝0.(5分 因为动直线l与椭圆E有且只有一个公共点P(x0，y0，所以m≠0且Δ＝0，(6分 即64k2m2－4(4k2＋3(4m2－12＝0，化简得4k2－m2＋3＝0.(* (7分 此时x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝， 所以P. (8分 由得Q(4,4k＋m． (9分 假设平面内存在定点M满足条件，由图形对称性知，点M必在x轴上． (10分 设M(x1,0，则·＝0对满足(*式的m，k恒成立． 因为＝，＝(4－x1,4k＋m， 由·＝0， 得－＋－4x1＋x＋＋3＝0， 整理，得(4x1－4＋x－4x1＋3＝0.(** (11分 由于(**式对满足(*式的m，k恒成立， 所以解得x1＝1. (12分 故存在定点M(1,0，使得以PQ为直径的圆恒过点M. (13分 [常见失分探因] ————————————[教你一个万能模板]————————————————— 高一数学圆锥曲线问题的探究与发现教案 高一数学圆锥曲线问题的探究与发现教案 一、问题导入，引发探究 师：我在旅游时买回来一种磁性蛇蛋玩具（如图），所谓生活处处皆学问嘛，我把它运动过程中的轴截面用图形计算器做出了以下有趣的现象： 两个全等的椭圆形卵，相互依偎旋转（动画）。你能通过所学解析几何知识，构造出这种有趣的现象吗？ 二、实验探究，交流发现 探究1：卵之由来——椭圆的形成 (1) 单个定椭圆的形成 椭圆的定义：平面内到两定点、的距离之和等于常数(大于)的点的轨迹叫做椭圆。（即若平面内的动点到两定点、的距离之和等于常数(大于)，则点的轨迹为以、为焦点的椭圆。） 思考1：如何使为定值？ （不妨将两条线段的长度和转化为一条线段，即在线段的延长线上取点，使得，此时，为定值则可转化为为定值。） 思考2：若为定值，则点的轨迹是什么？定点与点轨迹的位置关系？ （以定点为圆心，为半径的圆。由于，则点在圆内。） 思考3：如何确定点的位置，使得，且？ （线段的中垂线与线段的交点为点。） 揭示思路：(高中数学选修2-1 P49 7) 如图，圆的半径为定长，是圆内一个定点，是圆上任意一点，线段的垂直平分线l和半径相交于点，当点在圆上运动时，点的.轨迹是什么？为什么？ (设圆的半径为，由椭圆定义，(常数)，且，所以当点在圆周上运动时，点的轨迹是以为焦点的椭圆。) 图形计算器作图验证：以圆与定点所在直线为轴，中垂线为轴建立直角坐标系，设圆半径，，即圆，点，则点轨迹是以以为焦点的椭圆，椭圆方程为。 (2) 单个动椭圆的形成 思考4：构造一种动椭圆的方式 （由于椭圆形状不变，即离心率不变，而长轴长为定值，则也要为定值，因此可将圆内点取在圆的同心圆上，当点在圆上动时，即可得到动椭圆。） 图形计算器作图验证：当圆内动点取在圆的同心圆上，运动点，即得到动椭圆。(3) 两个椭圆的形成 观察两个椭圆相互依偎旋转的几个画面，分析两椭圆的位置关系。判断两个椭圆关于对称轴对称，且直线过两椭圆公共点，所以直线为两椭圆的公切线。 因而找到公切线，作椭圆关于切线的对称椭圆即可。 探究2：卵之所依——切线的判断与证明 线段的垂直平分线与椭圆的位置关系 (1) 利用图形计算器中的“图象分析”工具直观判断与椭圆的位置关系．设圆上动点，则线段的中垂线的方程为，将动点的横坐标保存为变量，纵坐标保存为变量，随着点的改变，在Graphs中画出相应的动直线．用图形计算器中的“图象分析”工具找出椭圆所在 2023新教材数学高考第二轮专题 考点突破练14 圆锥曲线中的定点、定值、探索性问题 1.(2022·广东广州三模)在圆x 2+y 2=2上任取一点D ,过点D 作x 轴的垂线段DH ,H 为垂足,线段DH 上一点E 满足|DH | |EH |=√2.记动点E 的轨迹为曲线C. (1)求曲线C 的方程; (2)设O 为原点,曲线C 与y 轴正半轴交于点A ,直线AP 与曲线C 交于点P ,与x 轴交于点M ,直线AQ 与曲线C 交于点Q ,与x 轴交于点N ,若OM ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·ON ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =-2,求证:直线PQ 经过定点. 2.(2022·湖南衡阳三模)已知抛物线C :y=ax 2(a>0)的焦点是F ,若过焦点F 的直线与抛物线C 相交于A ,B 两点,所得弦长|AB|的最小值为2. (1)求实数a 的值. (2)设P ,Q 是抛物线C 上不同于坐标原点O 的两个不同的动点,且以线段PQ 为直径的圆经过点O ,作OM ⊥PQ ,垂足为M ,试探究是否存在定点N ,使得|MN|为定值.若存在,求出该定点N 的坐标及定值|MN|;若不存在,请说明理由. 3.(2022·广东佛山模拟)已知椭圆C : x 2a 2+y 2 b 2 =1(a>b>0)的右焦点为F (1,0),上、下顶点分别为B 1,B 2,以点F 为圆心,FB 1为半径作圆,与x 轴交于点T (3,0). (1)求椭圆C 的标准方程. (2)已知点P (2,0),点A ,B 为椭圆C 上异于点P 且关于原点对称的两点,直线PA ,PB 与y 轴分别交于点M ,N ,记以MN 为直径的圆为圆K ,试判断是否存在直线l 截圆K 的弦长为定值.若存在,请求出该直线的方程;若不存在,请说明理由. 热点十一圆锥曲线的“三定”与探索性问题 纵观近几年高考圆锥曲线的综合问题是高考中的一个热点和Array重点，在历年高考中出现的频率较高，主要注重考查学生的逻辑思 维能力，运算能力，分析问题和解决问题的能力.其中直线与椭圆、抛物线的位置关系常常与平面向量、三角函数、函数的性质、不等式等知识交汇命题.涉及求轨迹、与圆相结合、定点、定值、最值、参数范围、存在性问题等.本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨. 1.求轨迹方程 求轨迹方程的基本方法有：直接法、定义法、相关点法、参数法、交轨法、向量法等. （1）求轨迹方程时,先看轨迹的形状能否预知,若能预先知道轨迹为何种圆锥曲线,则可考虑用定义法求解或用待定系数法求解;否则利用直接法或代入法. 例3【四川省绵阳市2019届高三1月诊断】己知椭圆C ：的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点． （1）若直线l过点F1，且｜AF2｜十｜BF2｜＝，求直线l的方程； (2)若以AB为直径的圆过点O，点P是线段AB上的点，满足OP⊥AB，求点P的轨迹方程．【答案】(1) 或；（2）()． 【解析】 （1）由椭圆定义得|AB|+|AF2|+|BF2|=4a =8，则|AB |=． 因为直线l过点F1(-2,0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2). 设A(x1，y1)，B(x2，y2). 联立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0． ∴ x1+x2=，x1x2=．由弦长公式|AB |=， 代入整理得，解得．所以直线l 的方程为， 即或． （2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)． 联立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0. ∴ x1+x2=，x1x2=．以AB为直径的圆过原点O，即． ∴ x1x2+ y1y2=0．将y1=kx1+m，y2= kx2+m代入，整理得 (1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2=0．将x1+x2=，x1x2=代入， 整理得3m2=8k2+8．∵ 点P是线段AB上的点，满足， 设点O到直线AB的距离为d，∴ |OP|=d，于是|OP|2=d2=（定值）， ∴ 点P的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，且去掉圆与x轴的交点. 故点P的轨迹方程为()． 3.定值定点问题 （1）求解定点和定值问题的基本思想是一致的,定值是证明求解的一个量与参数无关,定点问题是求解的一个点(或几个点)的坐标,使得方程的成立与参数值无关.解这类试题时要会合理选择参数(参数可能是直线的斜率、截距,也可能是动点的坐标等),使用参数表达其中变化的量,再使用这些变化的量表达需要求解的解题目标.当使用直线的斜率和截距表达直线方程时,在解题过程中要注意建立斜率和截距之间的关系,把双参数问题化为单参数问题解决. （2）证明直线过定点的基本思想是使用一个参数表示直线方程,根据方程的成立与参数值无关得出x,y的方程组,以方程组的解为坐标的点就是直线所过的定点. 例4【河北省张家口市2019届高三上期末】已知点是圆：上一动点，线段 与圆：相交于点.直线经过，并且垂直于轴，在上的射影点为. （1）求点的轨迹的方程； （2）设圆与轴的左、右交点分别为，，点是曲线上的点（点与，不重合），直线，与直线：分别相交于点，，求证：以直径的圆经过定点. 【答案】（1）（2）见证明 第72讲 定点、定值和探索性问题 夯实基础 【p 163】 【学习目标】 掌握与圆锥曲线有关的定点问题、定值问题的求解方法；会运用代数、三角、几何等方法解决与圆锥曲线有关的探究问题，培养推理思维能力、运算能力． 【基础检测】 1．若曲线C ：λx 2 －x －λy ＋1＝0(λ∈R )恒过定点P ，则点P 的坐标是( ) A ．(0，1) B ．(－1，1) C ．(1，0) D ．(1，1) 【解析】由原曲线方程可得(x －1)＋λ(y －x 2 )＝0过定点，则⎩⎪⎨⎪⎧y －x 2 ＝0，x ＝1，求得⎩ ⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，即定点P 的坐标为(1，1)． 【答案】D 2．已知点O 为坐标原点，点M 在双曲线C ：x 2－y 2 ＝λ(λ为正常数)上，过点M 作双曲线C 的某一条渐近线的垂线，垂足为N ，则|ON |·|MN |的值为( ) A. λ4B.λ 2 C ．λ D ．无法确定 【解析】设M (m ，n )，即有m 2 －n 2 ＝λ， 双曲线的渐近线为y ＝±x ， 可得|MN |＝|m －n | 2， 由勾股定理可得|ON |＝|OM |2 －|MN |2 ＝ m 2 ＋n 2 －（m －n ）2 2＝|m ＋n | 2 ， 可得|ON |·|MN |＝|m ＋n |2·|m －n |2 ＝|m 2 －n 2 |2＝λ 2. 【答案】B 3．已知抛物线y 2 ＝4x 的焦点为F ，过点P (2，0)的直线交抛物线于A ，B 两点，直线AF ， BF 分别与抛物线交于点C ，D ，设直线AB ，CD 的斜率分别为k 1，k 2，则k 1 k 2 ＝________． 【解析】设直线AB 的方程为y ＝k 1(x －2)， 联立⎩⎪⎨ ⎪ ⎧y ＝k 1（x －2），y 2 ＝4x ， 得k 1y 2 －4y －8k 1＝0， 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AC 的方程为y ＝y 1 x 1－1 (x －1)，联立⎩⎪⎨ ⎪⎧y ＝y 1x 1－1（x －1）， y 2＝4x ， 圆锥曲线中的探究性（存在性）问题（一） 存在性问题是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件和结论不完备，要求学生结合已有的条件进行观察、分析、比较和概括，它对数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力有较高的要求，特别是在解析几何第二问中经常考到“是否存在这样的点”的问题，也就是是否存在定值定点定直线的问题。 一、是否存在这样的常数 例1．在平面直角坐标系xOy 中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆2 212 x y +=有 两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围； （II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量 OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r 共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 解：（Ⅰ）由已知条件，直线l 的方程为y kx =+ 代入椭圆方程得22(12x kx +=．整理得221102k x ⎛⎫ +++= ⎪⎝⎭ ① 直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2 221844202k k k ⎛⎫ ∆=-+=-> ⎪⎝⎭ ， 解得2k <-或2k >．即k 的取值范围为22⎛⎫⎛⎫--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ U ，，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++u u u r u u u r ，， 由方程①，122 12x x k +=- +． ② 又1212()y y k x x +=++ ③ 而(01)(A B AB =u u u r ，，． 所以OP OQ +u u u r u u u r 与AB u u u r 共线等价于1212)x x y y +=+， 将②③代入上式，解得k = ．圆锥曲线中的存在探索问题
神奇的圆锥曲线(动态图示)(62页)问题探究
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