板块一有理数基本概念
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正数：像3、1、+0.33 等的数，叫做正数。
在小学学过的数，除0外都是正数。正数都大于0。
正数的符号可以写也可以不写，通常不写。
负数：像-1、-3.12、
17
5
、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做
负数。负数都小于0。
0既不是正数，也不是负数。
1既不是质数，也不是合数。
（小学：单数、双数、奇数、偶数、质数、合数、小数、分数……）
如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。
用正、负数表示相反意义的量：
如：收入3000元，支出1000
气温0上5摄氏度，和0下3摄氏度，+5℃ -3℃
南为正方向，向南1km表示为+1km，那么向北3km表示为-3km。
相反意义的量：必须有量，量的数可以不相等。要区别与语文意义上的反义词。
如男女、远近等等
有理数：整数与分数统称为有理数。
有限循环小数划为分数类。（凡是能化成分数的数）
有理数的基本概念
如：1、0.5、3、1
3
等等能化成分数。
循环小数化分数：
...
0.123=
123
999、
..
0.123=
1231
990
-
、
.12312
0.123
900
-
=
无理数：无限不循环小数，如：π、2
1993年后0归类为自然数。
非负整数：0和正整数，非正整数：0和负整数。
注意：⑴、正数和零统称为非负数；
⑵、负数和零统称为非正数；
⑶、正整数和零统称为非负整数；
⑷、负整数和零统称为非正整数。
【例1】
⑴、下列各组量中，具有相反意义的量是（）
A．节约汽油10升和浪费粮食B．向东走8公里和向北走8公里C．收入300元和支出100元D．身高1.8米和身高0.9米
⑵、如果零上5C 记作5C +，那么零下5℃记作（ ） A ．-5 B ．-10
C ．5C -
D ．10C -
⑶、如果水位升高4m 时水位变化记为+4m ，那么水位下降3m 记作___，水位不升不降时水位变化记为____m
⑷、甲乙两地的海拔高度分别为200米，-150米，那么甲地比乙地高出（ ） A ．200米 B ．50米
C ．300米
D ．350米
⑸、某饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030()ml ±”字样，请问“30ml ±”是什么意思？质监局对该产品抽查3瓶，容量分别为
589,573,627ml ml ml ，问抽查产品的容量是否合格？
【例2】
（1）、一种零件的长度在图纸上是0.050.05(20)+-米，表示这种零件加工要求最大不超
过_______，最小不小于_____.
（2）、1是（ ） A ．最小的整数 B ．最小的正整数 C ．最小的自然数 D ．最小的有理数
（3）、
1
4.5602.40.3133.1411
2
----
、、、、、、、、
π以上各数中，____属于负数，____属于非正数，____属于非负有理数。
（4）、在
322
15,,0.15,30,12.8,
85
---中，负分数的个数是（）
A．1 B．2 C．3 D．4
（5）、判断下列说法正确与否
（1）一个有理数不是整数就是分数（）
（2）一个有理数不是正数就是负数（）
（3）一个整数不是正的，就是负的（）
（4）一个分数不是正的，就是负的（）
板块二数轴
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数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线。
三要素：原点、正方向、单位长度。
原点：表示0的位置
正方向：规定向右为正方向，约定俗成
单位长度：要区别于长度单位，根据数值来确定，以最大的来定。
我们学过的所有的数都可以在数轴上表示出来（有理数和无理数）。
数轴特点分析：
1．在数轴上，右边的点所对应的数总比左边的点所对应的数大。
2．正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数。
数轴上数的标记：
1、合理的单位
2、所有数标记在数轴上方
3、数轴上要有点
4、有刻度值的地方也要标记数
总结：
1、数轴上右边的数比左边的大
2、整数都在原点的右边，负数都在原点的左边
3、0在原点上
【例3】
（1）、画出数轴，在数轴上表示下列各数，并把数用“＜”连接。
11
+--
5, 3.5,,1,4,0,2.5
22
（2）、在数轴上，一个点从原点开始，先向右移动了2个单位长度，再向左移动3个单位长度，最终达到终点，此时这个点表示的数是（）A．5 B．1 C．-1 D．-5
（3）、数轴上的点A、B分别表示数-3和1，点C是AB的中点，则点C所表示的数是_______．
（4）、如图所示，数轴的一部分被墨水污染了，被污染的部分内含有的整数为____ ．
【例4】
（1）、数轴上点A对应的数为-3，那么与A相距1个单位长度的点B所对应的数是____。
（2）、数轴上的点A对应的数是-1，一只蚂蚁从A点出发沿着数轴向右以每秒3个单位长度的速度爬行至B点后，用2秒的时间吃光了B点处的蜜糖，又沿着原路返回A点，共用去6秒，则蚂蚁爬行的路程是几个单位长度？B点与A点的距离是多少个单位长度？B点对应数是多少？
(3)、
板块三相反数，绝对值，倒数
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相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，特别地，0的相反数是0。
相反数注意点：1、符号 2、数值相等 3、和为0
-1 0 1
|||||||
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
---
3210123
几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等。求一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“－”号即可。
负数的相反数，直接去掉“—”符号即可。
表达式的相反数，在表达式的整体（给表达式加括号）加前负号，然后去括号。
●一般尽量让第一项为正号。
代数意义：a + b = 0
学习内容：多重符号的化简。去掉正号，数负号的个数，奇正偶负。
绝对值：数a的绝对值记作|a|，读作a的绝对值。
代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；
0的绝对值是0。000
0a a a a a a >⎧⎪
==⎨⎪-<⎩
绝对值具有非负性，既带有绝对值的数大于等
于0。
例如： |x-1|+|y+2|=0 可以得出：x = 1，y = 2 几何意义：点到原点距离。
|a|表示，a 到原点的距离 |a-1|表示a 到点1的距离 |a+1|表示a 到点-1的距离 |x-y|表示点x 到点y 的距离
倒数：乘积为1的两个数互为倒数，0没有倒数。 代数意义：1a b ⨯= 负倒数：乘积为-1的两个数互为负倒数。 代数意义：1a b ⨯=-
性质与关系：数学中常出现一些名词：自然数、奇数、偶数、倍数、约数、倒数、相反数等等，要明白其含义是什么，同时需要了解其描述的是数得性质还是数与数之间的关系。表示性质的概念是单个数，表示关系的概念至少两个数。 【例1】
（1）、7的相反数是( ) A ．1
7
B ．7
C ．17
-
D ．-7
（2）、下列正确的是( )
A ．一个数的相反数一定是负数
B ．π和-3.14互为相反数
C ．所有的有理数都有相反数
D ．13和31互为相反数
（3）、如果a ＜0，化简下列各数的符号，并说出是正数还是负数。 ①、-(+a) ②、-(-a) ③、-[+(-a)] ④、-[-(-a)] ⑤、-{+[-(-a)]}
（4）、-6的绝对值等于( ) A ．6 B ．1
6
C ．16
- D ．-6
（5）、①、-|-1.5|＝_____； ②、绝对值不大于3的整数有_____。
（6）、绝对值大于2而小于5的负整数是____
（7）、-3 的倒数是( ) A ．13
-
B ．13
C ．3-
D ．3
（8）、下列说法正确的是( ) A ．符号相反的数互为相反数 B ．任何有理数都有倒数 C ．最小的自然数是1
D ．一个数的绝对值越大，表示它的点在数轴上离原点越远
【例2】
（1）、37与___互为相反数；1
2
a -是___的相反数。
（2）、-(-2)的相反数是___；b ＋4是___的相反数
（3）-{-[+(-4)]}＝____。
（4）、-{-[+(-5)]}与___互为相反数，-(-a-b)与___互为相反数，+[-(-7+b -c )]与___互为相反数。
（5）、已知a 、b 为有理数，且a ＜0，b ＞0，|b|＜|a|，则a 、b 、-a 、-b 的大小关系是（ ） A ．-b ＜a ＜b ＜-a B ．-b ＜b ＜-a ＜a C ．a ＜-b ＜b ＜-a
D ．-a ＜b ＜-b ＜a
（6）、|x －2|＋|y －2|＝0，求xy ＝____；|x|＝-|y －7|，则xy ＝___。
【例3】
若a 、b 互为相反数，c 、d 互为负倒数，m 的绝对值为2，求
||
232010120104a b m cd am bm m
++--+-
综 合 练 习 题
（1）下列说法正确的是：（ ）
A.小数3.14不是分数
B.正整数和负整数统称整数
C.正数和负数统称有理数
D.整数和分数统称有理数
（2）比-3大的负整数有几个（ ）
A.5个
B.4个
C.3个
D.2个
（3）..2-,4,0,6.5,,0.213,3.14,15,3
π---1.5，以上各数中， 属于负数， 属于分数， 属于非负整数， 属于非负有理数。
（4）若表示数a 、b 的点在数轴上的位置如图所示，则（ ）
A.a b >
B.a b <
C.a b =
D.a b -<
|||0
b a −−−−−−−−−−→
（5）数轴上点A 表示-2，从A 出发，沿数轴移动4个单位长度到达B 点，则B 点表示的数是 。 数轴上，若点A 表示的数为-4，点B 与A 关于原点对称，点C 与点B 距离为2，则点C 表示的有理数为 。
（6）下列各对数中，互为倒数的数有（ ）
-3和3 0.1和10 ●-1和1 ❍1和1
A.4对
B.3对
C.2对
D.1对
如果113
a +与273a -互为相反数，那么a 的值为（ ） A.43 B.43- C.10 D.-10 （7）-（-3）的相反数是： ；12⎡⎤---⎢⎥⎣⎦
的倒数： ；-a 的相反数为2，则a = 。
（8）绝对值大于3而不大于5的整数是 ，它们的和是 。 若3x =，则x x -= 。
已知4a =-，a b =，则3b -的值为（ ）
（9）已知4a =，b 是13
-的倒数，且a b <，则a b += ； 已知8a =，5b =，且a b a b +=+，则a b -= ; 已知450x y -+-=，求xy = ； 已知8x y =--，则xy = 。
（10）a b c d 、、、分别为有理数，a 是绝对值最小的数，b 是最小的正整数，c 的相反数是其本身，d 为负数且它的倒数是本身。求：ab 的值 ，
a b c d ++-的值是 。
（11）非零整数m n ，满足50m n +-=，所有这样的整数组（m n ，）有 组。
（12）如图，数轴上标出若干点，每相邻的两点相距一个单位长度，点A,B,C,D 对应的数分别为整数a b c d 、、、，且24d a -=，试问：数轴上原点在哪一点上？
||||||M A B C D N
a b c d
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
（13）如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距1个单位，点A ，B ，C ，D 对应的数分别是整数a b c d 、、、，若2a b c d +++=-，那么与数轴原点最接近的点是 。
||||||||||A B C D
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
（14）如图，数轴上标出若干个点，每相邻的两点相距1个单位，点A ，B ，C ，D 对应的数分别是整数a b c d 、、、，若7a b +=，那么与数轴原点最接近的点是 。
||||||||||A B C D
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−→
（15）如图所示，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处表上数字0，1，2，3。先让圆周上的数字0所对应的点与数轴上的数-1所对应的点重合，在让数
轴按逆时针方向绕在圆上，那么数轴上的数-2006将与圆周的数字
重合。
（16）如图所示，数轴被折成了90，圆的周长为4个单位长度，在圆的4等分点处表上数字0，1，2，3。先让圆周上的数字所对应的点与数轴上的数3所对应的点重合，数轴固定，圆紧贴数轴沿着数轴的正方向滚动，那么数轴上的数2009将与圆周上的哪个数字重合。
（17）a和b是满足0
ab≠的有理数，现在有四个命题：
22 4
a b -
+
的相反数是
2
2
4
a
b
-
+
a b
-的相反数是a的相反数与b的相反数的差●ab的相反数是a的相反数与b的相反数的乘积❍ab的倒数是a的倒数与b的倒数的乘积
其中真命题有个。
有理数的概念 一、正数和负数 在数学发展历史上，从发现自然数开始，随着人类文明进步，我们又逐渐定义了分数和小数等.在生活和学习中，我们会需要记录一些具有相反意义的量，比如：零下4?C 和零上6?C ，收入20元和支出30元，向东30米和向西100米等等．这些数据不仅意义相反，而且表示一定的量，为了表示它们，我们定义了正负数： 1．用正负数表示相反意义的量： 我们把一种意义的量规定为正的，把另一种与它具有相反意义的量规定为负的，分别用正数和负数表示，给数字前面加上正号表示正数，加上负号表示负数． 【例】以上几个例子分别记为：4-?C 和6+?C ，20+元和20-元，30+米和100-米. 2．正数：像30、+6、1 2 、π这样的数叫做正数，正数都大于零； 3．负数：在正数前面加上“-”号的数叫做负数，比如：20-、3.14-、0.001-、17 2 -． 【注】①表示正数时，“+”号可以省略，但表示负数时，“-”号一定不能省略； ②数0既不是正数也不是负数． 二、有理数的概念及分类 1．有理数：整数与分数统称为有理数． 2．有理数的分类： （1）有理数按性质分类： ??????????? ??? ???? ??正整数自然数整数零有理数负整数 正分数 分数负分数 （2）有理数按符号分类 ??? ??? ? ?? ???????? 正整数正有理数正分数有理数零（既不是正数，也不是负数）负整数负有理数负分数 （3）小数的分类 【注】注意以下几个概念的区分： 非负数：正数和零；非正数：负数和零； 非负整数：正整数和零；非正整数：负整数和零； 非负有理数：正有理数和零；非正有理数：负有理数和零． ????????有限小数小数无限循环小数无限小数无限不循环小数——不可化成分数，是无理数 ——可化成分数，是有理数
有理数的概念 一、本节学习指导 本节知识点比较多，同学们要认真学习并加以总结，用自己的语言来理解部分知识是有助于我们记忆的。对于本节的知识如果一时记不住也不要急，毕竟我们才刚刚进入初级数学的学习。本节有配套学习视频。 二、知识要点 1、正数和负数 （1）、大于0的数叫做正数。如：5、12、1、0.5、3/4 都是正数。 （2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。如：-1、-15、-1.5 都是负数。 （3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。 （4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。如：若规定前进为正，如+4m表示前进4m，那么-5m表示：后退5米。 2、有理数 （1）凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数。 目前我们学习的数只有两种：有理数和无理数，也就是说可以认为除了无理数就是有理数。 注意：0即不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，如：-（-2）=4,这个时候的a=-2。圆周率不是有理数；
（3）自然数<==>0和正整数；a>0 <==>a是正数；a<0 <==>a是负数； a≥0<==>a是正数或0<==>a是非负数；a≤0<==>a是负数或0<==>a是非正数。 3、数轴【重点】 （1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求： ①在直线上任取一个点表示数0,这个点叫做原点； ②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2,-3… （2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 （3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。 注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。 （4）、一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示数-a的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。 4、相反数 （1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。如：5和-5，-2和2，它们数字相同符号相反，所以互为相反数。 求任何一个数或式子的相反数，只需要在这个数或式子前面加上“负号”，然后适当化简即可。 如：a+b的相反数是-（a+b）=-a-b （2）、一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的两侧，表示a和-a,我们说这两点关于原点对称。 （3）、a和-a互为相反数。0的相反数是0,正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0.
板块一有理数基本概念 【知识导航】 正数：像3、1、+0.33 等的数，叫做正数。 在小学学过的数，除0外都是正数。正数都大于0。 正数的符号可以写也可以不写，通常不写。 负数：像-1、-3.12、 17 5 、-2012等在正数前加上“-”（读作负）号的数，叫做 负数。负数都小于0。 0既不是正数，也不是负数。 1既不是质数，也不是合数。 （小学：单数、双数、奇数、偶数、质数、合数、小数、分数……） 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。 用正、负数表示相反意义的量： 如：收入3000元，支出1000 气温0上5摄氏度，和0下3摄氏度，+5℃ -3℃ 南为正方向，向南1km表示为+1km，那么向北3km表示为-3km。 相反意义的量：必须有量，量的数可以不相等。要区别与语文意义上的反义词。 如男女、远近等等 有理数：整数与分数统称为有理数。 有限循环小数划为分数类。（凡是能化成分数的数） 有理数的基本概念
如：1、0.5、3、1 3 等等能化成分数。 循环小数化分数： ... 0.123= 123 999、 .. 0.123= 1231 990 - 、 .12312 0.123 900 - = 无理数：无限不循环小数，如：π、2 1993年后0归类为自然数。 非负整数：0和正整数，非正整数：0和负整数。 注意：⑴、正数和零统称为非负数； ⑵、负数和零统称为非正数； ⑶、正整数和零统称为非负整数； ⑷、负整数和零统称为非正整数。 【例1】 ⑴、下列各组量中，具有相反意义的量是（） A．节约汽油10升和浪费粮食B．向东走8公里和向北走8公里C．收入300元和支出100元D．身高1.8米和身高0.9米
有理数知识点总结 有理数是数学中的一种基本概念，它包括整数和分数。在学习数学过程中，我们经常会遇到有理数的运算、大小比较和绝对值等问题。下面，我将总结一下有理数的相关知识点。 一、有理数的概念与性质 有理数是可以表示为两个整数之比的数，分母不为零。例如，1/2、3/4、-5/6都是有理数。举个例子，如果把一个苹果分成2等份，每份就是1/2，我们可以用有理数1/2来代表这个概念。有理数可以是正数、负数或零。 二、有理数的运算 1. 有理数的加法和减法：当两个有理数的分母相同时，只需对分子进行加减运算，并保持分母不变。例如，1/2+3/2=4/2=2。当两个有理数的分母不同时，可先通分，然后再进行加减运算。 2. 有理数的乘法和除法：有理数的乘法相当于分母相乘，分子相乘。例如，1/2*3/4=3/8。有理数的除法可以转化为乘法的倒数运算。例如，1/2÷3/4=1/2*4/3=4/6=2/3。 3. 有理数的混合运算：在有理数的混合运算中，通常按照先乘除后加减的原则进行计算。例如，2-1/3*4=2-4/3=6/3-4/3=2/3。
三、有理数的大小比较 在进行有理数的大小比较时，我们可以先将其转化为相同分母 的分数，然后比较分子的大小。例如，对于比较1/2与3/4的大小，可以将其转化为2/4和3/4，显然3/4大于1/2。 四、有理数的绝对值 有理数的绝对值表示该数到0的距离，即该数的非负值。对于 正数，它的绝对值等于它本身。对于负数，它的绝对值等于它的 相反数。例如，|3|=3，|-5|=5。 五、有理数的应用 有理数在我们的日常生活中有着广泛的应用。在计量、商业、 金融等领域，都需要运用到有理数的概念和运算。比如超市打折 商品的价格，利率的计算等等，都是有理数的具体应用。 总结一下，有理数是数学中的一种基本概念，它包括整数和分数，并且具有一定的性质和规律。在运算过程中，我们需要掌握 有理数的加法、减法、乘法和除法，以及绝对值和大小比较等概念。有理数在日常生活中的应用也不可忽视。通过对有理数知识
有理数的基本概念 知识点睛 1. 用正、负数表示相反意义的量： “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量. 2. 有理数:按定义整数与分数统称有理数. ()⎧⎧⎫⎪⎬⎪ ⎨⎭⎪⎪⎪ ⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数 正分数分数负分数 ()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪ ⎪⎨⎪ ⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数 ✧ ⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数. 3. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线. 有理数与数轴的关系： 错例 原因 无原点 没有正方向 单位长度不统一 没有单位长度 4. 相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0. (1)代数意义：只有符号不同的两个数．相反数必须成对出现，不能单独存在 ⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．两点是关于原点对称的 ⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“—”号即可．——奇负偶正 ⑷互为相反数的两个数的和为零，即若a 与b 互为相反数，则0a b +=，若0a b +=则a 与b 互为相反数． 5. 绝对值： 几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . ✧ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ✧ 比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 23 1 2 234 ✧ 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来. ✧ 数轴上的点不都代表有理数，如π. 利用数轴比较有理数的大小： ✧ 数轴上右边的数总大于左边的数. ✧ 正数总大于零，负数总小于零，正数大于负 数.
第一章知识归纳 一、有理数基本概念 1.正数与负数 我们把以前学过的数大于零叫做正数。有时在正数前面也加上“+”（正）号。如+、+3、+1/2……“＋”号可以省略。 我们把在以前学过的数（0除外）前面加上负号“-”的数叫做负数。如－３、－０.５、-2/3…… 0既不是正数也不是负数，0是正负数的分界。 正数与负数可以用来表示具有相反意义的量。 相反意义的量包含两个要素：一是它们的意义要相反；二是它们都具有数量。与一个量成相反意义的量不止一个。 2．有理数 正整数、0统称自然数；正整数、0、负整数统称整数；正分数和负分数统称分数。 整数和分数统称有理数 整数可以看做分母为1的分数。正整数、0、负整数、正分数、负分数都可以写成分数的形式。 可以这样说:有理数都能写成分数的形式；能写成分数（分子分母互质）形式的数是有理数. 有理数的分类（两种） 正整数 整数零 有理数负整数 分数正分数 负分数 正整数 正有理数正分数 有理数零 负有理数负整数 负分数 3. 数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度 任何有理数都可以用数轴上的点表示，有理数与数轴上的点是一一对应的。 数轴上的点表示的数从左到右依次增大；原点左边的数是负数，原点右边的数是正数. 4.相反数 一般地，设a是一个正数，数轴上与原点的距离是a的点有两个，他们分别在原点的左右，表示－a和a，我们说这两点关于原点对称. 只有符号不同的两个数叫做互为相反数.（绝对值相等，符号不同的两个数叫做互为相反数） 正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0. 在一个数前面添上“-”号,表示这个数的相反数.
有理数的概念和分类 一、有理数的概念和分类 1、有理数 （1）有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。 （2）有理数的分类 ① 按整数和分数的关系，有理数分为整数和分数。 其中整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数。 ② 按正数、0和负数的关系，有理数分为正有理数、0、负有理数。 其中正有理数分为正整数、正分数；负有理数分为负整数、负分数。 2、数轴 （1）数轴的定义 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求： ① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； ② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，$\cdots\cdots$；从原点向左，用类似方法依次表示$-1$，$-2$，$-3$，$\cdots\cdots$（分数和小数也可以用数轴表示）。 （2）数轴上的点和有理数 一般地，设$a$是一个正数，则数轴上表示数$a$的点在原点的右边，与原点的距离是$a$个单位长度；表示数$-a$的点在原点的左边，与原点的距离是$a$个单位长度。 3、相反数 （1）相反数 像2和$-2$，5和$-5$这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
一般地，$a$和$-a$互为相反数，特别地，0的相反数是0。这里，$a$表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。 （2）几何意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数。 （3）相反数的性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数一定是负数；负数的相反数一 定是正数；0的相反数仍是0。 4、绝对值 （1）绝对值的定义 一般地，数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫做数$a$的绝对值，记作$|a|$。 （2）绝对值的意义 ① 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果$a$>0，那么$|a|$=$a$； 如果$a$=0，那么$|a|$=0； 如果$a$<0，那么$|a|=-a$。 ② 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点 的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。 ③ 绝对值的性质：绝对值具有非负性，即有$|a|$$\geqslant$0； 若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即$|a|$+$|b|$+$\cdots$+$|m|$=0，则$a$=$b$=$\cdots$=$m$=0。 5、有理数大小的比较 （1）在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的 数小于右边的数。从而可知： ① 正数大于0，0大于负数，正数大于负数； ② 两个负数，绝对值大的反而小。
有理数是数学中重要的概念之一，它包括了正整数、负整数、零以及分数。在七年级上册数学教材中，学生会学习有关有理数的基本概念、整数的加减乘除运算、分数的加减乘除运算、有理数的比较大小以及实际问题的应用等知识点。下面是对这些知识点进行整理和总结： 一、基本概念： 1.数轴的介绍：数轴是一条直线，用于表示数的大小关系。正数在数轴的右侧，负数在数轴的左侧，零位于数轴的原点。 2.整数：包括正整数、负整数和零。正整数表示数轴上原点右侧的整数，负整数表示数轴上原点左侧的整数，零表示数轴上的原点。 3.分数：包括真分数和假分数。真分数的分子小于分母，假分数的分子大于等于分母。 4.有理数：包括整数和分数。有理数可以用分数形式表示为a/b （b≠0），其中a为整数而b为非零的整数。 二、整数的加减乘除运算： 1.加法：同号相加得正，异号相加得负。 2.减法：减去一个整数等于加上它的相反数，即a-b=a+(-b)。 3.乘法：同号相乘得正，异号相乘得负。 4.除法：除以一个非零整数等于乘以它的倒数，即a/b=a*(1/b)。 三、分数的加减乘除运算： 1.加法：当分母相同时，直接对分子进行加法运算；当分母不同时，需要找到最小公倍数，并转化为通分后进行加法运算。
2.减法：与加法类似，分别对分子进行减法运算或通分后进行减法运算。 3.乘法：将两个分数的分子相乘得到新分子，分母相乘得到新分母，再进行约分。 4.除法：将被除数乘以除数的倒数，再进行约分。 四、有理数的比较大小： 1.整数的比较：不同整数之间，绝对值大的数较小，正数大于零，负数小于零。 2.分数的比较：分子相等，分母大的数较小；分母相等，分子大的数较大；分子分母同时相等，两个分数相等。 3.整数与分数的比较：可以将整数转化为分数形式进行比较。 五、实际问题的应用： 1.温度的表示：正数表示温度高于一些参考温度，负数表示温度低于一些参考温度。 2.海拔的表示：正数表示高于海平面的高度，负数表示低于海平面的深度。 3.数学运算中的问题：可根据实际的运算过程，使用有理数的加减乘除运算法则进行计算。
有理数的基本性质 有理数是整数和分数的统称。在代数中，有理数是一种基本的数学概念，具有一些重要的性质和特点。本文将介绍有理数的基本性质，包括有理数的定义、四则运算规则、有理数的大小比较以及有理数的性质证明等方面。 一、有理数的定义 有理数是可以表示为两个整数之间的比值的数，包括正整数、负整数和零。有理数可以用分数形式表示，例如1/2、3/4，也可以用整数形式表示，例如1，-5。有理数的集合用符号Q表示，Q={..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...}。 二、四则运算规则 1. 加法：对于任意两个有理数a和b，它们的和a+b仍然是一个有理数。 2. 减法：对于任意两个有理数a和b，它们的差a-b仍然是一个有理数。 3. 乘法：对于任意两个有理数a和b，它们的乘积a×b仍然是一个有理数。 4. 除法：对于任意两个非零有理数a和b，它们的商a/b仍然是一个有理数。
这些运算规则保证了有理数的封闭性，即有理数进行四则运算的结果仍然是有理数。 三、有理数的大小比较 对于任意两个有理数a和b，可以进行大小比较。有理数的大小比较遵循以下规则： 1. 如果a>b，则a大于b； 2. 如果a 第二章 有理数的基本概念 1、正数和负数表示具有相反意义的量。 2、正数比零大，负数比零小。零既不是正数也不是负数。零可以看作是正数与负数的分界点。但并不是所有的基准都必须是0，用正负数表示时要明确基准。 3、有理数的分类： ①先将有理数按“整”和“分”的属性分，再按每类数的“正”、“负”分，即： ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎫⎪⎨⎬⎪⎩⎭⎩ 正整数整数0负整数有理数正分数分数有限小数或无限循环小数负分数 ②先将有理数按“正”和“负”的属性分，再按每类数的“整”、“分”分，即： ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数 正分数有理数0 负整数负有理数负分数 4、数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 5、任何一个有理数都可用数轴上的一个点来表示。反之不成立。即数轴上的点并不是都表示有理数。 6、在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大． 7、相反数的代数意义： 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数。特别地，0的相反数是0. 8、相反数的几何意义： 在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 9、数a 的相反数是-a 。即求一个数的相反数，只要在这个数前加一个“-”号即可。 10、互为相反数的两个数的和是零。即：若a 、b 互为相反数，则a+b=0或a=-b 11、绝对值的代数意义： 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对 值是0。 即： )0a ()0a () 0a (a 0a a <=>⎪⎩ ⎪⎨⎧-= 若a a =，则a ≥0；若a a -=，则a ≤0 12、绝对值的几何意义： 在数轴上，一个数a 的绝对值就是数轴上表示a 的点到原点的距离. 13、互为相反数的两个数绝对值相等。绝对值相等的两个数相等或互为相反数。 14、任何一个有理数的绝对值都是非负数.即a ≥0。 15两个负数比较大小，绝对值大的数（离原点较远）反而小。 解读有理数的有关概念 一、正数与负数： 1.正数：像+1.8，+420、+30、+10%等带有理数“+”号的数叫做正数。为了强调正数，前面加上“+”号，也可以省略不写。 2.负数：像－3、－4754、－50、－0.6、－15%等带有“－”号的数叫做负数。而负数前面的“－”号不能省略。 3.零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点。 注意：对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如－a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数，当a是0时，－a是0，当a是负数时，－a是正数；能用正数与负数表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言有理数。 二、有理数及其分类： 有理数：整数与分数统称为有理数。整数包括三类：正整数、零、负整数。分数包括两类：正分数和负分数。 注意：小学学过的零表示没有，而引入负数后，就不能把“零”完全当作没有了，如0℃就是一个特定的温度；现在我们学过的数，除π和与π有关的数外，其他的数都是有理数；引入负数后，数的范围扩大为有理数，奇数和偶数的外延也由自然数扩大到整数。 按整数、分数的关系分类：按正数、负数、零的关系分类： ììïïïïíïïï ïíîï ìïïïíïïîî正整数 整数零 负整数有理数 正分数 分数 负分数 ììï ïí ïïî ïï í ï ì ïï ïí ïïî î 正整数 正有理数 正分数有理数零 负整数 负有理数 负分数 三、数轴： 1.数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 注意：①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；②数轴有三要素：原点、正方向、单位长度三者缺一不可；③原点的位置、正方向的取向、单位长度的大小的选定，都是根据实际需要而定的。 2.数轴的画法：①画一条水平的直线；②在直线的适当位置选取一点作为原点，并用0表示这点；③确定向右为正方向，用箭头表示出来；④选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次为1，2，3，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次为－1，－2，－3，…。如图1所示。 四、相反数： 只有符≧号不同的两个数互为相反数。规定零的相反数是零。 从数轴上看，表示互为相反数的两个数，分别位于原点的两侧，且与原点的距离相等，如图1，3与－3互为相反数。 注意：相反数是成对出现的，不能单独存在，如+2与－2互为相反数，说明+2的相反数是－2，－2的相反数是+2，单独一个数不能说相反数；“只有”的含义说明像+5与－3这样的两个数不是互为相反数。 五、绝对值： 绝对值的几何定义：在数轴上，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数a的绝对值，记作|a|。 绝对值的代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0. 注意：①绝对值的求法：先判断这个数是正数、负数、还是零，再根据绝对值的代数定义去掉绝对符号；②绝对值的非负性：无论是绝对值的几何定义，还是绝对值的代数定义都揭示了绝对值的重要性质—非负性。也就是说，任 何一个有理数的绝对值都是非负数，即|a³|0， (0) |0 (0) (0) a a a a a a ì> ïï == í ï -< ïî |。 1 (4).实数的相关概念：①整数：正整数、零、负整数统称整数；②分数：正分数和负分数统称分数；③有理数：整 数和分数统称有理数（即：整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数）；☆④无理数:无限不循环小数称为无理数（即：圆周率π、开不尽的方根、无限不循环小数都是无理数）☆⑤实数：有理数和无理数统称实数。 ⑺.非负数：非负数就是不是负数的数，也就是零和正数；数的绝对值、数的偶次幂、算术根等都是常见的非负 数；几个非负数的和为零，则这几个非负数必同时为零。（非正数：非正数就是不是正数的数，也就是零和负数） ⑻.有理数的运算法则： ○1加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；○2互为相反数的两个数相加得零； ○ 3减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数； ○ 4乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与零相乘，都得零。 ○ 5除法法则：除以一个数等于乘上这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；零除以任何一个不等于零的数，都得零；（零不能作除数） ⑼.有理数的乘方：一般地，n 个相同的因数a 相乘，即 记作n a ，读作a 的n 次方；像这样求n 个相同因 数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂；在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数， 读作a 的n 次方，当n a 看作a 的n 次方的结果时，也可读作a 的n 次幂；当指数 是1时，通常省略不写．【a •a 可简记为a 2，读作a 的平方(或二次方)；a •a •a 可简 记为a 3，读作a 的立方(或三次方)】 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；零的任何非零次幂都是0；零的零次幂没有意义；任何不等于零的数的零次幂都等于1,即()010≠=a a ；☆任何不等于零的数的-P （P 是正整数）次幂，等于这个数的P 次幂的倒数,即 p p a a 1=-（a ≠0,P 是正整数）. ⑽.有理数的混合运算顺序:○ 1先算乘方，再算乘除，最后算加减；○2同级运算，按照从左至右的顺序进行；○3如果有括号，就先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括号里的。（加法和减法叫做第一级运算；乘法和除法叫做第二级运算；乘方和开方(今后将会学到)叫做第三级运算。）（进行分数的乘除运算，一般要把带分数化为假分数，把除法转化为乘法.） 知识点复习 1、整数包括哪些数？自然数是什么？什么叫有理数？ 答：整数包括正整数、零、负整数；零和正整数（即非负整数）又叫自然数；正整数、零、负整数、正分数、负分数（即整数和分数）统称为有理数。 2、什么叫数轴？在数轴上如何表示数？ 答：数轴是一条带有方向、原点和规定长度单位的直线。一个有理数在数轴上总可以找出一点和它对应。表示方向的箭头在直线的右端。数轴上方或右方是正数、原点的左方或下方是负数、原点是零。 3、什么叫相反数？什么是绝对值？如何判定有理数的大小？ 答：到原点距离相等的两个数叫互为相反的数。零的相反数是零。数轴上表示的数a 到原点的距离叫数a 的绝对值。一个正数的绝对值是它本身、一个负数的绝对值是它相反数、零的绝对值是它本身。正数大于零，零大于负数，正数大于负数、两个负数绝对值大的反而小。 4、有理数加法法则是什么？ 答：符号相同的两数相加，和的符号与加数的符号相同，并把它们的绝对值相加；绝对值不等的异号两数相加，和的符号取绝对值较大的那个加数的符号，并把较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反的数相加，和为零；任何数与零相加，和就是这个数。 有理数的基本概念 正数、负数、有理数 有理数:按定义整数与分数统称有理数. ()⎧⎧⎫ ⎪⎬ ⎪ ⎨⎭ ⎪ ⎪⎪ ⎨⎩ ⎪ ⎧ ⎪ ⎨ ⎪⎩ ⎩ 正整数 自然数整数零 有理数按定义分类负整数 正分数 分数 负分数 ()() ⎧⎧ ⎪⎨ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪⎧ ⎪⎨ ⎪⎩ ⎩ 正整数 正有理数 正分数 有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数 负整数 负有理数 负分数 注：⑴正数和零统称为非负数；⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数；⑷负整数和零统称为非正整数. 【例1】下列说法正确的是（） A．a -一定是负数B．一个数不是正数就是负数 C．0-是负数D．在正数前面加“-”号，就成了负数 【巩固】所以然饮料公司生产的一种瓶装饮料外包装上印有“60030 ±(mL)”字样，请问“30mL ±”是什么含义？质检局对该产品抽查5瓶，容量分别为603mL，611mL，589mL，573mL，627mL，问抽查产品的容量是否合格？ 【例2】下列个数中： 13 30.701 25 --- ，，，，，中负分数有个；负整数有个；自然数有 个 【例3】下列数中，哪些属于负数？哪些属于非正数？属于正分数？哪些属于非负有理数？ 4.5 -，6，0，2.4，π， 1 2 -，0.313 -，3.14，11 - 【例4】若a -是负数，则a 【例5】下列说法正确的是（） A．a -表示负有理数B．一个数的绝对值一定不是负数C．两个数的和一定大于每个加数D．绝对值相等的两个有理数相等 板块二、倒数 【例6】6的倒数是（） A．6 -B． 1 6 ±C． 6 1 -D． 6 1 【例7】7 -的倒数为（） A.7 B.1 7 C. 1 7 - D.7- 【例8】一个数的倒数是它本身，则这个数一定是 一个数的相反数数是它本身，则这个数一定是 【例9】有理数a等于它的倒数，有理数b等于它的相反数，则20022003 a b += 数轴 【例10】数轴上有一点A它表示的有理数是3-，将点A向左移动3个单位得到点B，再向右移动8个单位，得到点C，则点B表示的数是，点C表示的数是． 【巩固】在数轴上，下面说法中不正确的是( )． A．两个正数，小的离原点B．两个有理数，大数对应的点在右边 C．两个负数，较大的数对应的点离原点近D．两个有理数，大的离原点较远 【例11】⑴数轴上点A对应的数为3-，那么与A相距1个长度的点B所对应的数是_________. ⑵数轴上的点A、B分别表示数3-和2，点C是A、B的中点，则点C所表示的数是_________. 【巩固】数轴上有一点到原点的距离是5.5，那么这个点表示的数是_________. 【例12】一辆货车从超市出发，向东走了3km到达小彬家，继续向前走了1.5km到达小颖家，然后向西走了9.5km到达小明家，最后回到超市 ⑴以超市为原点，向东作为正方向，用1个单位长度表示1km，在数轴上表示出小明，小彬，小颖 家的位置 ⑵小明家距离小彬家多远？ ⑶货车一共行驶了多少千米？第二章 有理数的基本概念
有理数知识点
有理数概念、知识点汇总
有理数的基本概念与绝对值
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