学员姓名：科目：数学年级：7年级学科老师：授课日期：授课时段：授课时长：家长签字：课题有理数的意义
教学目标1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念；
3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．
重点、难点有理数相关分类讨论
考点及考试要
求
有理数的意义
教学内容
【要点梳理】
要点一、正数与负数
像+3、+1.5、
1
2
+、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、
1
2
-、－584等在正数前面加“－”号
的数，叫做负数．
要点诠释：
（1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略.
（2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负．
（3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”．
类型一、正数与负数
【例1】若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（）．
A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km
【答案】D
【解析】“正”和“负”相对，－7km表示向北走7km，则＋10km表示向南走10 km，所以答案D
【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数.
反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同．
【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（）
A．50.0千克B．50.3千克C．49.7千克D．49.1千克
【答案】D．
解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．
【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ .
(2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？
【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示.
【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．
A．－20m B．－40m C．20m D．40m
【答案】B
【变式4】如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（）
A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm
故选：B．
【例2】纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（）
A．9月11日5时B．9月11日19时
C．9月12日19时D．9月12日21时
【分析】根据题意，得纽约比北京时间要晚13个小时，也就是9月11日19时．
【解答】解：纽约时间是：9月12日8时﹣13小时＝9月11日19时．
【变式2-1】（2020秋•和平区期中）下面的五个时钟显示了同一时刻国外四个城市时间和北京时间，若下表给出的是国外四个城市与北京的时差，则这五个时钟对应的城市从左到右依次是（）
城市时差/h
纽约﹣13
悉尼+2
伦敦﹣8
罗马﹣7
A．纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京
B．罗马、北京、悉尼、伦敦、纽约
C．伦敦、纽约、北京、罗马、悉尼
D．北京、罗马、伦敦、悉尼、纽约
【分析】根据纽约、悉尼、伦敦、罗马，与北京的时差，结合钟表确定出对应的城市即可．
【解答】解：由表格，可知悉尼比北京时差为+2，所以北京时间是16点或18点，推理可得北京时间是16点，则纽约时间为16﹣13＝3点，悉尼时间16+2＝18点，伦敦时间16﹣8＝8点，罗马时间16﹣7＝9点，由钟表显示的时间可得对应城市为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京；
故答案为纽约、悉尼、伦敦、罗马、北京．
故选：A．
【点评】本题考查正数与负数；能够结合时钟与时差确定北京时间是解题的关键．
【变式2-2】（2020秋•清涧县期末）下表是国外几个城市与北京的时差：（“+”表示早于北京时间，“﹣”表示迟
城市悉尼莫斯科伦敦温哥华
时差（时）+2﹣5﹣8﹣16
如果现在是北京时间2021年1月10日下午5：00．
（1）现在悉尼时间是多少？伦敦时间是多少？
（2）此时在北京的小明想给在温哥华出差的妈妈打电话，你认为合适吗？请说明理由．
【分析】（1）根据有理数加减法的计算法则，直接计算可求解；
（2）合不合适主要是看时间是不是正好在休息时间，由此判断即可．
【解答】解：（1）∵北京时间2021年1月10日下午5：00，
∵5+2＝7，即悉尼时间为2021年1月10日下午7：00；
17﹣8＝9，即伦敦时间为2021年1月10日上午9：00；
（2）17﹣16＝1，
此时温哥华时间为凌晨1：00，不适合打电话．
【例3】体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0
（1）这8名男生有百分之几达到标准？
（2）他们共做了多少引体向上？
【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标，
而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：5
100%62.5% 8
⨯=；
答：这8名男生有62.5%达到标准.
（2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）
答：他们共做了引体向上56个.
【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么.
【变式3-1】（2020秋•青羊区校级月考）股市一周内周六、周日两天不开市，股民小王上周五以每股25.20元的
价格买进某公司股票10000股，买进或卖出时都得支付交易额的0.5%作为手续费，下表为本周内每天该股票的涨跌情况：
星期一二三四五
每股涨
﹣0.1+0.4﹣0.2﹣0.4+0.5
跌
注：正号表示股价比前一天上涨，负号表示股价比前一天下跌．
（1）星期四收盘时，每股多少元？
（2）本周内哪一天股价最高，是多少元？
若股民小王本周末将该股票全部售出，小王在本次交易中是赚了还是亏了？请你算算，如果是赚了，赚了多少钱？如果亏了，亏了多少钱？
【解答】解：（1）（﹣0.1）+（+0.4）+（﹣0.2）+（﹣0.4）＝（﹣0.1）+（﹣0.2）+（+0.4）+（﹣0.4）＝﹣
0.3（元）
25.20+（﹣0.3）＝24.90（元）
答：星期四收盘时，每股24.90元．
（2）周一的股价：25.20+（﹣0.1）＝25.10（元），
周二的股价：25.10+（+0.5）＝25.50（元），
周三的股价：25.50+（﹣0.2）＝25.30（元），
周四的股价：25.30+（﹣0.4）＝24.90（元），
周五的股价：24.90+（+0.5）＝25.40（元），
∵24.90＜25.10＜25.30＜25.40＜25.50，
∵本周内周二股价最高，是25.50元，
25.20×10000×0.5%＝1260（元），
25.40×10000×0.5%＝1270（元），
1260+1270＝25030（元），
（25.40﹣25.20）×10000＝2000（元），
2000﹣2530＝﹣530（元），
∵小王在本次交易中是亏了，亏了530元．
【变式3-2】（2020秋•盐都区月考）为响应国家节能减排的号召，鼓励人们节约用电，保护能源，某市实施用电“阶梯价格”收费制度．收费标准如表：
居民每月用电量单价（元/度）
不超过50度的部分0.5
超过50度但不超过200度的部分0.6
超过200度的部分0.8
已知小智家上半年的用电情况如表（以200度为标准，超出200度记为正、低于200度记为负）一月份二月份三月份四月份五月份六月份
﹣50+30﹣26﹣45+36+25
根据上述数据，解答下列问题：
（1）小智家用电量最多的是月份，该月份应交纳电费元；
（2）若小智家七月份应交纳的电费204.6元，则他家七月份的用电量是多少？
【分析】（1）根据超出的多少得出答案，根据用电量分段计算电费；
（2）估算出用电量超过200度，设未知数列方程求解即可．
【解答】解：（1）五月份超过200度36度，是最多的，共用电236度，
应缴纳电费0.5×50+0.6×（200﹣50）+0.8×36＝143.8（元），
故答案为：五，143.8；
（2）∵204.6＞0.5×50+0.6×150，
∵用电量大于200度，
设用电量为x度，
由题意得，0.5×50+0.6×（200﹣50）+0.8（x﹣200）＝204.6，
解得，x＝312，
答：他家七月份的用电量是312度．
要点二、有理数的分类
（1）按整数、分数的关系分类：（2）
按正数、负数与0的关系分类：
要点诠释：
（1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数.
（2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π．
（3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．
【例4】下面说法中正确的是( )．
A．非负数一定是正数．
B．有最小的正整数，有最小的正有理数．
C．
a
-一定是负数．
D．正整数和正分数统称正有理数．
【答案】D
【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数；(C)不对，当a为负数或0时，则a
-为正数或0，而不是负数；(D)对
【变式1】判断题：
（1）0是自然数，也是偶数．（）（2）0既可以看作是正数，也可以看成是负数.（）
（3）整数又叫自然数.（）（4）非负数就是正数，非正数就是负数.（）
【答案】√，⨯，⨯，⨯
【变式2】下列四种说法，正确的是( ).
(A)所有的正数都是整数(B)不是正数的数一定是负数
(C)正有理数包括整数和分数(D)0不是最小的有理数
【答案】Ｄ
【例5】请把下列各数填入它所属于的集合的大括号里.
1, 0.0708, -700, -3.88, 0, 3.14159265,
7
23
-，.
正整数集合:{ …}，负整数集合:{…}，
整数集合:{…}，正分数集合:{…}，
负分数集合:{…}，分数集合:{ …}，
非负数集合：{…}，非正数集合：{ …}.
【答案】正整数：1；负整数：-700；整数：1，0，-700；正分数：0.0708，3.14159265，；
负分数：-3.88，
7 23 -；
分数：0.0708，3.14159265，，-3.88，
7 23 -；
非负数：1,0.0708，3.14159265，0，；
非正数：-700, -3.88, 0,
7 23 -
【变式5-1】（2020秋•惠安县期末）在有理数、﹣5、3.14中，属于分数的个数共有个．【答案】2.
【变式5-2】（2020秋•官渡区校级月考）将有理数﹣1，0，20，﹣1.25，13
4
，﹣12，5分类．
【分析】按照有理数的分类解答即可．
【解答】解：如图所示：
类型三、分数化成有限小数
首先把每个分数化成最简分数，如果分母中除了2与5以外，不含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数.
【例6】（2020秋•浦东新区期末）在下列分数中，不能化成有限小数的是（）
A．1
8B．3
12
C．5
24
D．2
5
【分析】首先把每个分数化成最简分数，如果分母中除了2与5以外，不含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数，据此解答即可．
【解答】解：A、1
8
的分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数，故本选项不合题意；
B、3
12=1
4
，分母中只含有质因数2，所以能化成有限小数，故本选项不合题意；
C、5
24
的分母中含有质因数3和2，所以不能化成有限小数，故本选项符合题意；
D、2
5
的分母中只含有质因数5，所以能化成有限小数，故本选项不合题意．
故选：C．
【点评】此题主要考查了有理数，小数与分数的互化，解答此题的关键是熟练掌握小数与分数的互化．
【变式6-1】（2020秋•上海期末）在分数3
8，3
6
，1
9
，3
24
，3
10
中，可化为有限小数的有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【分析】首先，要看分数是否是最简分数，不是的，先把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．据此逐项分析后再选择．
【解答】解：3
8
的分母中只含有质因数2，能化成有限小数，
3 6=1
2
的分母中只含有质因数2，能化成有限小数，
1
9
的分母中含有质因数3，不能化成有限小数，
3 24=1
8
的分母中只含有质因数2，能化成有限小数，
3
10
的分母中只含有质因数2与5，能化成有限小数．
故选：C．
【点评】此题主要考查有理数中什么样的分数可以化成有限小数，根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数
就不能化成有限小数．
【变式6-2】（2020秋•松江区期中）分数116，117，118，1
19中，能化成有限小数的有几个？（ ） A ．0 B ．1 C ．2 D ．3
【分析】先把分数化成最简分数，再根据一个最简分数，如果分母中除了2与5以外，不再含有其它的质因数，这个分数就能化成有限小数；如果分母中含有2与5以外的质因数，这个分数就不能化成有限小数．
【解答】解：1
16
是最简分数，分母中只含有质因数2，能化成有限小数； 117
是最简分数，分母中含有质因数17，不能化成有限小数； 118是最简分数，分母中含有质因数3，不能化成有限小数；
1
19
是最简分数，分母中含有质因数19，不能化成有限小数； 所以能化成有限小数的有1个．
故选：B ．
【点评】本题考查了有理数，分数可以化成有限小数：必须是最简分数，分母中只含有质因数2或5．
类型四、探索规律
【例7】某校生物教师李老师在生物实验室做实验时，将水稻种子分组进行发芽试验：第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，
.按此规律，那么请你推测第n 组应该有种子是 粒. 【答案】(12+n )
【解析】第1组取3粒，第2组取5粒，第3组取7粒，第4组取9粒，
，由此我们观察到的粒数与组数之间有一定关系：1123+⨯=，1225+⨯=，1327+⨯=，1429+⨯=，
，按此规律，第n 组应该有种子数（12+n ）粒.
【变式1】有一组数列：2，-3，2，-3，2，-3，
，根据这个规律，那么第2010个数是： 【答案】-3
【变式2】观察下列有规律的数：
,,301,201,121,61,21 根据其规律可知第9个数是： 【答案】
90
1
一、选择题
1. 下列语句正确的（ ）个
（1）带“﹣”号的数是负数；
（2）如果a 为正数，则﹣a 一定是负数；
（3）不存在既不是正数又不是负数的数；
（4）0∵表示没有温度．
A . 0
B . 1
C . 2
D . 3
2. 关于数“0”，以下各种说法中，错误的是 ( )
A ．0是整数
B ．0是偶数
C ．0是正整数
D ．0既不是正数也不是负数
3. 如果规定前进、收入、盈利、公元后为正，那么下列各语句中错误的是 ( )
A ．前进-18米的意义是后退18米
B ．收入-4万元的意义是减少4万元
C ．盈利的相反意义是亏损
D ．公元-300年的意义是公元后300年
4. 一辆汽车从甲站出发向东行驶50千米，然后再向西行驶20千米，此时汽车的位置是 ( )
A ．甲站的东边70千米处
B ．甲站的西边20千米处
C ．甲站的东边30千米处
D ．甲站的西边30千米处
5．在有理数中，下面说法正确的是（ ）
A ．身高增长cm 2.1和体重减轻kg 2.1是一对具有相反意义的量
B ．有最大的数
C ．没有最小的数，也没有最大的数
D ．以上答案都不对
6. 下列各数是正整数的是 （ ）
A ．－1
B ．2
C ．0．5
D ．2
二、填空题
1．如果用+4米表示高出海平面4米，那么低于海平面5米可记作 ．
2．在数中，非负数是______________；非正数是 __________.
3．把公元2008年记作+2008，那么-2008年表示 .
4．既不是正数，也不是负数的有理数是 .
5．是正数而不是整数的有理数是 .
6．是整数而不是正数的有理数是 .
7．既不是整数，也不是正数的有理数是 .
8．一种零件的长度在图纸上是（03
.002.010+-）毫米，表示这种零件的标准尺寸是 毫米，加工要求最大不超过 毫米，最小不小于 毫米.
三、解答题
1．说出下列语句的实际意义.
（1）输出-12t （2）运进-5t （3）浪费-14元 （4）上升-2m (5)向南走-7m
2．（2014秋•晋江市期末）下面两个圈分别表示负数集和分数集，请把下列6个数填入这两个圈中合适的位置． ﹣28%，，﹣2014，3.14，﹣（+5），﹣0.
3．甲地海拔高度是40m ，乙地海拔高度为30m ，丙地海拔高度是-20m ，哪个地方最高？哪个地方最低？最高的地方比最低的地方高多少？
4．观察下面依次排列的一列数，它的排列有什么规律?请接着写出后面的两个数，你能说出第2011个数是什么吗?
(1)1，-2，3，-4，5，-6，7，-8， ， ，... ，...
(2)-1,21,-31,41,51-,61,7
1-, , ,... ,... 【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】B
【解析】（1）带“﹣”号的数不一定是负数，如﹣（﹣2），错误；
（2）如果a为正数，则﹣a一定是负数，正确；
（3）0既不是正数也不是负数，故不存在既不是正数又不是负数的数此表述错误；
（4）0∵表示没有温度，错误．
综上，正确的有（2），共一个．
2.【答案】C
【解析】0既不是正数也不是负数，但0是整数，是偶数，是自然数.
3. 【答案】D
【解析】D错误，公元-300年的意义应该是公元前300年.
4.【答案】C
【解析】画个图形有利于问题分析，向东50千米然后再向西20千米后显然此时汽车在甲站的东边30千米处.
5. 【答案】C
【解析】A错误，因为身高与体重不是具有相反意义的量；B错误，没有最大的数也没有最小数；C对.
6. 【答案】B
二、填空题
1.【答案】﹣5米
2.【答案】0.5，100，0，
1
1
2
；
1
2
2
，0，-45
【解析】正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，零既不是正数也不是负数.
3.【答案】公元前2008年
【解析】正负数表示具有相反意义的量.
4.【答案】0
【解析】既不是正数也不是负数的数只有零.
5.【答案】正分数
【解析】正数包括正分数和正整数，因为不是整数，所以只能是正分数.
6.【答案】负整数和0
【解析】整数包括正整数和负整数，又因为不是正数，所以只能是负整数和0.
7.【答案】负分数
【解析】不是整数，则只能是分数，又不是正数，所以只能是负分数.
8.【答案】10，10.03，9.98
【解析】03
.002.010+-表示的数的范围为：大于-（100.02），而小于（10+0.03）
，即大于9.98而小于10.03. 三、解答题
1. 【解析】（1）输出-12t 表示输入12t ；
（2）运进-5t 表示运出5t ；
（3）浪费-14元表示节约14元；
（4）上升-2m 表示下降2m ；
(5)向南走-7m 表示向北走7m .
提示：“-”表示相反意义的量.
2．【解析】
3．【解析】甲地海拔高度是40m ，表示甲地在海平面以上40m 处；
乙地海拔高度为30m ，表示乙地在海平面以上30m 处；
丙地海拔高度是-20m ，表示丙地在海平面以下20m 处；
所以，最高是甲地，最低是丙地，最高的地方比最低的地方高：40+20=60 （m ）.
4．【解析】（1）9，-10，…，2011，…
（2）111,,...,, (892011)
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学员姓名：科目：数学年级：7年级学科老师：授课日期：授课时段：授课时长：家长签字：课题有理数的意义 教学目标1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念； 3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想． 重点、难点有理数相关分类讨论 考点及考试要 求 有理数的意义 教学内容 【要点梳理】 要点一、正数与负数 像+3、+1.5、 1 2 +、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、 1 2 -、－584等在正数前面加“－”号 的数，叫做负数． 要点诠释： （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”． 类型一、正数与负数
【例1】若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（）． A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km 【答案】D 【解析】“正”和“负”相对，－7km表示向北走7km，则＋10km表示向南走10 km，所以答案D 【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数. 反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同． 【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（） A．50.0千克B．50.3千克C．49.7千克D．49.1千克 【答案】D． 解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克． 【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ . (2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？ 【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示. 【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）． A．－20m B．－40m C．20m D．40m 【答案】B 【变式4】如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（） A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm 故选：B． 【例2】纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（） A．9月11日5时B．9月11日19时 C．9月12日19时D．9月12日21时 【分析】根据题意，得纽约比北京时间要晚13个小时，也就是9月11日19时． 【解答】解：纽约时间是：9月12日8时﹣13小时＝9月11日19时．
第一讲 有理数与数轴 入门测 成绩（满分10）： 完成情况： 优/中/差 1．如果向右走5步记为+5，那么向左走3步记为 A ．+3 B ．﹣3 C ．31 + D ．3 1- B 2．以下4个有理数中，最小的是 A ．-1 B ．1 C ．0 D ．-2 D 3．3 1 - 的相反数是 ． 13 4．下列说法正确的是 ①0是绝对值最小的有理数 ②相反数大于本身的数是负数 ③一个有理数不是正数就是负数 ④两个数比较，绝对值大的反而小 A ．①② B ．①③ C ．①②③ D ．①②③④ A 5．若数轴上点A 表示的数是-3, 则与点A 相距4个单位长度的点B 表示的数 是 ． -7或1
6．有理数a ，b ，c ，d 在数轴上对应点的位置如图所示，这四个数中，绝对值最大的是 A A ．a B ．b C ．c D ．d 7．小红的妈妈买了4筐白菜，以每筐25千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克 数记为负数，称重后的记录分别为25.0+，1-，5.0+，75.0-．小红快速准确地算出了4筐白菜的总质量为 千克．99
教学目标 1．理解并掌握有理数、数轴、相反数、绝对值的意义 2．会比较有理数的大小 3．会求有理数的相反数和绝对值 4．会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 知识梳理 1．正数和负数 大于的数叫做 0 正数 ，等在正数前面加上负号"" 的数小于的数叫做，形如-3-0.5 0 负数 0 既不是正数也不是负数 2．有理数 、和统称为 正整数0 负整数整数 、统称为 正分数负分数分数 和统称为 整数分数有理数 所以有理数可以分为．和
第1章有理数解答题复习（一） 1．计算：﹣5×2+3÷﹣（﹣1）． 2．有个填写运算符号的游戏：在“1□2□6□9”中的每个□内，填入+，﹣，×，÷中的某一个（可重复使用），然后计算结果． （1）计算：1+2﹣6﹣9； （2）若1÷2×6□9＝﹣6，请推算□内的符号； （3）在“1□2□6﹣9”的□内填入符号后，使计算所得数最小，直接写出这个最小数． 】 3．计算：（﹣2）3+×8． 4．计算：（﹣6）2×（﹣）． 5．计算：23×（1﹣）×． 6．计算：（﹣2）2×（1﹣）． ！ 7．观察下列两个等式：2﹣＝2×+1，5﹣＝5×+1，给出定义如下 我们称使等式a﹣b＝ab+1成立的一对有理数“a，b”为共生有理数对”，记为（a，b） （1）通过计算判断数对“﹣2，1，“4，”是不是“共生有理数对”； （2）若（6，a）是“共生有理数对”，求a的值； （3）若（m，n）是“共生有理数对”，则“﹣n，﹣m”“共生有理数对”（填“是”或“不是”），并说明理由；
（4）如果（m，n）是“共生有理数对”（其中n≠1），直接用含n的代数式表示m． [ 8．在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B，D，C，其中AB＝2，BD＝3，DC＝1，如图所示，设点A，B，D，C所对应数的和是p． （1）①若以B为原点．写出点A，D，C所对应的数，并计算p的值； ②若以D为原点，p又是多少 （2）若原点O在图中数轴上点C的右边，且CO＝x，p＝﹣71，求x． 9．如图，在一条不完整的数轴上从左到右有点A，B．将线段AB沿数轴向右移动，移动后的线段记为A′B′，按要求完成下列各小题 （1）若点A为数轴原点，点B表示的数是4，当点A′恰好是AB的中点时，数轴上点B′表示的数为． · （2）设点A表示的数为m，点A′表示的数为n，当原点在线段A′B之间时，化简回|m|+|n|+|m ﹣n|． 10．阅读材料题： 求两个正整数的最大公约数是常见的数学问题，中国古代数学专著《九章算术》中便记载了求两个正整数最大公约数的一种方法﹣﹣更相减损术，术曰：“可半者半之，不可半者，副置分母、子之数，以少成多，更相减损，求其等也．以等数约之”，意思是说，要求两个正整数的最大公约数，先用较大的数减去较小的数，得到差，然后用减数与差中的较大数减去较小数，以此类推，当减数与差相等时，此时的差（或减数）即为这两个正整数的最大公约数． 例如：求91与56的最大公约数 解：91﹣56＝35 56﹣35＝21 35﹣21＝14 … 21﹣14＝7
简单 1、在?8，2006，1 3 3，0，?5，＋13，? 1 4 ，?7.2中，正整数和负分数共有（） A．3个B．4个C．5个D．6个【分析】根据正整数和负分数的定义找出即可． 【解答】正整数有2006，＋13，负分数有－1 4 ，－7.2， 所以正整数和负分数共有4个． 故选B． 2、下列说法：①0是整数；②4.2不是正数；③自然数一定是正数；④－2.5是负分数；⑤负分数一定是负有理数．其中正确的有（） A．1个B．2个C．3个D．4个【分析】根据整数的意义，可判断①； 根据大于零的数是正数，可判断②； 根据自然数的定义，可判断③； 根据小于零的分数是负分数，可判断④； 根据有理数的定义，可判断⑤． 【解答】①0是整数，故①正确； ②4.2是正数，故②错误； ③零也是自然数，故③错误； ④－2.5是负分数，故④正确； ⑤负分数一定是负有理数，故⑤正确； 故选C． 3、下列说法中正确的是（） A．有最小的正数B．有最大的负数 C．有最小的整数D．有最小的正整数 【分析】利用正数、负数的定义与性质，以及整数的概念与分类（正整数，0，负整数）即可解答．
【解答】①没有最小的正数，也没有最大的正数，因此选项错误； ②没有最小的负数，也没有最大的负数，因此选项错误； ③整数包括正整数和负整数，没有最小的整数，因此选项错误； ④最小的正整数是1，因此选项正确． 故选D． 4、下列说法中不正确的是（） A．－3.14既是负数，分数，也是有理数 B．0既不是正数，也不是负数，但是整数 C．－2015既是负数，也是整数，但不是有理数 D．0是非正数 【分析】本题需先根据有理数的定义，找出不符合题意得数即可求出结果．【解答】根据题意得： －2015既是负数，也是整数，但它也是有理数 故选C． 5、下列说法中不正确的是（） A．1 5 是有理数 B．有理数是正数和负数的统称 C．－0.3是负分数 D．0既不是正数，也不是负数 【分析】利用有理数的定义及分类判定即可． 【解答】A、1 5 是有理数，此选项正确， B、有理数是正数、负数和零的统称，故此项错误， C、－0.3是负分数，此选项正确， D、0既不是正数，也不是负数，此选项正确， 故选B．
《有理数》教材分析 一、本章在教材中的意义 数及其运算是中小学数学课程的核心内容。在小学阶段，已经学习了自然数、正分数及其运算等内容，并且要求学生“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义，会用负数表示日常生活中的一些量”。 本章作为初中学段的开篇，主要有两个方面的意义：从知识衔接来看，本章在前两个学段的基础上引入负数，使数的范围和运算法则扩张到有理数，在初中阶段的后续学习中还将继续将数系扩充到实数，而实数的运算完全沿袭有理数的运算法则和运算律，因此，有理数及其运算是初中阶段数及数的运算的基础。从思想方法来看，本章学习中运用的主要思想方法包括数形结合、转化等，这也是后续学习的基础。 二、本章教学目标和考试要求 1.本章教学目标 （1）理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数，能比较有理数的大小. （2）能借助数轴理解相反数和绝对值的意义，掌握求有理数的相反数与绝对值的方法，知道|a|的含义（这里a表示有理数）. （3）理解乘方的意义，掌握有理数的加、减、乘、除、乘方及简单的混合运算（以三步以内为主）. （4）理解有理数的运算律，能运用运算律简化运算. （5）能运用有理数的运算解决简单的问题. （6）会用科学记数法表示绝对值大于10的数，了解近似数，会按要求对结果取近似值. 2.教学重、难点 有理数的运算和运算律.
三、本章教学建议 1.本章知识结构框图 2.课时安排 本章教学约19课时，具体安排如下（供参考）： 1.1 正数和负数1课时 1.2 有理数4课时 1.3 有理数的加减法4课时 1.4 有理数的乘除法4课时 1.5 有理数的乘方4课时 小结和检测2课时 3.教学中需要斟酌的问题
人教版数学七年级上册第一章1.2.1有理数说课讲稿 有理数说课稿 一、教材分析 (一) 教材地位、作用 本课教材所处位置，是小学所学算术范围的第一次扩充，是算术到有理数的衔接与过渡，并且是以后学习数轴、相反数、绝对值以及有理数运算的基础。 基于上面对教材的分析，考虑到学生已有的认知结构、心理特征，结合《新课标》的要求，我确定以下教学目标： (二)教学目标 1、知识与技能目标：把给出的有理数按要求分类; 2、能力目标：发展正确地进行分类的能力 3、情感与态度目标：让学生乐于接受社会环境的教学信息，培养学生学习数学的兴趣 (三)教学重难点 教学重点：掌握有理数的分类 教学难点：对负数概念的理解和有理数的分类. 二、说教法 为了突出重点，突破难点，因此本节课以设置问题、创设情境为主线，通过师生互相交流和协商的方式展开教学，而在拓展延伸部分以学生的主动探究为主 三、说学法 借用生活场景引出问题，从而围绕这一问题进行探索，教师启发引导，及时了解与评定学生的学习情况，进行反馈调节。同时使用多媒体辅助教学，生动形象地展示教学内容，不但可以提高学习效率和质量，而且容易激发学生的学习兴趣和积极性。 四、教学过程设计 为达到教学目标，充分发挥学生的主体作用，最大限度地激发学生学习的主动性、自觉性、积极性，本节课教学程序设计如下
练习1.把下列各数填入相应的大括号内：+6，，3.8，0，-4，-6.2，，-1223.8，1， 72 正数集合{ }; 负数集合{ } (设计意图：通过练习，起到复习知识的作用。这里主要复习：正负数的分类，为进一步学习做准备有理数说课稿有理数说课稿。) (二)创设问题情境，导入新课 在日常生活和生产实践中，我们还会遇到很多具有相反意义的量，例如月球表面白天气温可高达零上123℃，夜晚可低到零下233℃，我们规定温度零上为正，则零上123℃记做123℃(或+123℃)，零下233℃记做-233℃.同学们能举出一些具有相反意义的量吗?你能用正数、负数表示这些量吗? 强调：①正、负数能表示具有相反意义的量，注意意义相反，其值任意;②不要混淆“意义相反”与“意义不同”(如上升3度与零下3度). (设计意图：从学生比较熟悉的身边的问题开始，能给学生一种轻松的学习氛围，易于学生学习新知识。) (三)探索阶段 这一环节我将通过三部分来进行 学生列举：0、-7、5.2、3、5、7、-7、-9、-10， 议一议你能说说这些数的特点吗? 学生回答.................................................. 教师补充：有小学学过的整数、0、分数，也有负整数、负分数 1、分类数的名称 1，2，3，4……叫做正整数;-1，-2，-3，-4……叫做负整数;0叫做零。 1128，， +5.2(即5)……叫做正分数; 253 1614，，-3.3(即3)……叫做负分数; 327 得出结论：正整数、负整数和零统称为整数;正分数和负分数统称为分数。 整数正整数、负整数和零整数和分数统称有理数 即有理数 分数正分数、负分数
人教版七年级数学上册有理数负数的由来及其重要意义初一数学的学习将给同学们带来数学学习崭新的一页．特别是负数的引入，更是激起同学们对数学学习的无限遐想．今天就和同学们一道来认识这位新朋友――负数． 一．负数的由来 １．负数在中国的发展经历 据史料记载，早在两千多年前，中国就有了正负数的概念，掌握了正负数的运算法则． （１）最早的负数定义 三国时期著名数学家刘徽在负数概念的建立上贡献最大．刘徽第一次给出了正负数的定义．他说：“今两算得失相反，要令正负以名之．”意思就是说，在计算过程中遇到具有相反意义的量，要用正数和负数来区分它们． （２）最早的负数记法 刘徽第一次给出了区分正，负数的方法．他说：“正算赤，负算黑；否则以斜正为异”意思是说，用红色的小棍摆出的数表示正数，用黑色的小棍摆出的数表示负数；也可以用斜摆的小棍表示负数，用正摆的小棍表示正数．用不同颜色的数表示正，负数的习惯，一直保留到现在．现在一般用红色表示负数，我们经常见到这样的报道：说某国家财政出现了赤字，就是说明财政的收入数字亮起＂红色＂即表明支出大于收入，财政上亏了钱．就是说收入是一个负数． （３）最早的正负数加减法的法则 中国古代著名的数学专著《九章算术》（成书于公元一世纪）中，最早提出了正负数加减法的法则：“正负数曰：同名相除，异名相益，正无入负之，负无入正之；其异名相除，同名相益，正无入正之，负无入负之．”这里的“名”就是“号”，“除”就是“减”，“相益”、“相除”就是两数的绝对值“相加”、“相减”，“无”就是“零”． 用现在的话说就是：“正负数的加减法则是：同符号两数相减，等于其绝对值相减，异号两数相减，等于其绝对值相加．零减正数得负数，零减负数得正数．异号两数相加，等于其绝对值相减，同号两数相加，等于其绝对值相加．零加正数等于正数，零加负数等于负数．” 这段关于正负数的运算法则的叙述是完全正确的，与现在的法则完全一致！负数的引入是中国数学家杰出的贡献之一． 除《九章算术》定义有关正负运算方法外，东汉末年刘烘（公元206年）、宋代扬辉（1261年）也论及了正负数加减法则，都与九章算术所说的完全一致．特别值得一提的是，元代著名数学家朱世杰在1299 年编写的《算学启蒙》中，《明正负术》一项讲了正负数加减法法则，一共八条，比《九章算术》更加明确．在“明乘除段”中有“同名相乘为正，异名相乘为负”之句，也就是(±a)×(±b)=+ab， (±a)×( b)=-ab，这样的正负数乘法法则，是中国最早的记载．除此外，书中还给出倒数的概念和基本性质．《算学启蒙》作为一部通俗数学名著，曾流传海外，影响了朝鲜、日本数学的发展．
人教版七年级上册数学第一章有理数 含答案 一、单选题(共15题，共计45分) 1、有理数在数轴上对应点的位置如图所示，下列各式正确的是( ) A. B. C. D. 2、世界文化遗产长城总长约为6700000m，若将6700000用科学记数法表示为6.7×10n（n是正整数），则n的值为 A.5 B.6 C.7 D.8 3、餐桌边的一蔬一饭，舌尖上的一饮一酌，实属来之不易，舌尖上的浪费让人触目惊心．据统计，中国每年浪费的食物总量折合粮食约500亿kg，这个数据用科学记数法表示为（） A.5×10 10kg B.50×10 9kg C.5×10 9kg D.0.5×10 11kg 4、点在数轴上距离原点3个单位长度，将向右移动4个单位长度，再向左移动2个单位长度，此点表示的数是（） A.1 B.5 C.-5或1 D.5或-1 5、在下列各数中，比﹣1小的数是（） A.1 B.-1 C.-2 D.0 6、下列比较两个有理数的大小正确的是（） A.﹣3＞﹣1 B. C. D. 7、实数a在数轴上对应的点的位置如图所示，化简|a+3|的结果是（） A.a+3 B.a-3 C.-a-3 D.-a+3
8、在数轴上，表示数的点到原点的距离是个单位长度，数是的倒数，则（） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9、﹣2016的倒数是（） A.2016 B.-2016 C. D. 10、下列运算中，结果最小的是（） A.1－(－2) B.1－|－2| C.1×(－2) D.1÷(－2) 11、一个数的绝对值等于它本身，这样的数是（） A.0 B.0和1 C.正数 D.非负数 12、计算2﹣（﹣3）×4的结果是（） A.20 B.﹣10 C.14 D.﹣20 13、我们常用的数是十进制数，而计算机程序处理数据使用的只有数码0和1的二进制数，这二者可以相互换算，如将二进制数1011换算成十进制数应为：1×23+0×22+1×21+1×20=11．按此方式，则将十进制数7换算成二进制数应为（） A.101 B.110 C.111 D.1101 14、用四舍五入法按要求把2.0503分别取近似数，其中错误的是 （） A.2.1（精确到0.1） B.2.05（精确到0.001） C.2.05（精确到百分位） D.2.050（精确到千分位） 15、如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数是（） A.0 B.﹣1 C.1或0 D.﹣1或1 二、填空题(共10题，共计30分) 16、小明在超市买一食品，外包装上印有“总净含量（300±5）g”的字样。小明拿去称了一下，发现只有297g.则食品生产厂家________（填“有”或“没有”）欺诈行为。
人教版七年级数学上册第一章《有理数》总复习教案 第一章 《有理数》总复习 一、内容分析 总结和回顾分为两部分。第一部分概述了正数和负数、有理数、反义词和绝对值的概念，以及有理数的加减乘除运算方法和规律，从而给出了全章的大致轮廓。第二部分对本章的新内容和新方法提出了五个问题。通过这五个问题，学生可以思考并积极建构新知识。 二、课时安排： 小节与复习的要求是要把这一章内容系统化，从而进一步巩固和加深理解学习内容。本章的主要内容可以概括为有理数的概念与有理数的运算两部分。因此，本章总复习的二课时这样安排（测验课除外）： 第一课时复习有理数的意义及其有关概念；第二课时复习有理数的运算。 三、教学方法的确定： 设计典型例题，测试学生知识，进行科学总结归纳。 四、教学安排： 第一课时：
本节课将复习有理数的意义及其有关概念。其内容包括正负数、有理数、数轴、有理数大小的比较、相反数与绝对值等。在教学过程中，应利用数轴来认识、理解有理数的有关概念，借助数轴，把这些概念串在一起形成一个用以描述有理数特征的系统。另外，在运用有理数概念的同时，还应注意纠正可能出现的错误认识。 一、教学目标； 1.理解五个重要概念:有理数、数轴、倒数、绝对值、倒数。 2.使学生提高区分概念的能力，正确运用概念解决问题。 3、能正确比较两个有理数的大小。 二、教学重点： 有理数五个概念的理解与应用:有理数、数轴、倒数、绝对值、倒数。 三、教学难点： 对绝对值概念的理解与应用。 四、教学过程： （一）知识梳理： 1.正数和负数:(给出四个问题，帮助学生理解负数的必要性及其在生产生活中的应用。) 回答下列问题（1）温度为－4℃是什么意思？（2）如果向正北规定为正，那么走－70米是什么意思？（3）21世纪的第一年，日本的服务出口额比上一年增长了-7.3%,这里的“服务出口额比上一年增长了-7.3%”是什么意思？（4）请同学们谈一
人教版七年级数学上册第一章有理数难点解析 考试时间：90分钟；命题人：数学教研组 考生注意： 1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟 2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上 3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。 第I卷（选择题 30分） 一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分） 1、数轴上，把表示2的点向左平移3个单位长度得到的点所表示的数是（）． A．－5 B．－1 C．1 D．5 2、3的相反数为（） A．﹣3 B．﹣1 3 C． 1 3 D．3 3、如果 13 ,5,2 44 a b c ==-=-，那么|||| a b c +-等于（）． A．2 -B． 1 7 2 C．2 D． 1 7 2 - 4、在5-，3 -，0，1.7这4个数中绝对值最大的数是（）A．5-B．3 -C．0 D．1.7 5、若有理数a，b满足2022 |3-|+(+2) a b＝0，则a+b的值为（） A．1 B．﹣1 C．5 D．﹣5 6、下列各组数中，互为相反数是（）
A ．||a 与a - B ．||a 与a C ．12- 与12 - D ． 12 与1 2 7、如图，已知数轴上,A B 两点表示的数分别是,a b ，则计算b a -正确的是（ ） A ．b a - B ．-a b C ．a b + D ．a b -- 8、若a 、b 互为相反数，c 、d 互为倒数，m +1的绝对值为5，则式子|m |﹣cd a b m ++的值为（ ） A ．3 B ．3或5 C ．3或﹣5 D ．4 9、在计算|（-5）+□|的□中填上一个数，使结果等于11，这个数是（ ） A ．16 B ．6 C ．16或6 D ．16或-6 10、下列各式，计算正确的是（ ） A ．|3||2|1--+-= B ．3 11252⎛⎫--÷-= ⎪⎝⎭ C ．43443433 ⎛⎫-÷-⨯= ⎪⎝⎭ D ．23 112(2)(2)424⎛⎫---+-÷-= ⎪⎝⎭ 第Ⅱ卷（非选择题 70分） 二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分） 1、把8.5046用四舍五入法精确到0.01后所得到的近似数是______． 2、如图，边长为1的正方形ABCD ，沿数轴顺时针连续滚动．起点A 和2-重合，则滚动2026次后，点C 在数轴上对应的数是______． 3、点A 和点B 是数轴上的两点，点A B 表示的数为1，那么A 、B 两点间的距离为_____．
第一章 有理数 第1讲 有理数五大概念 知识导航 1.正数和负数 2.有理数 3.数轴 4.相反数 5.绝对值 方法技巧 熟练掌握有理数的五大概念，依据定义解题 【板块一】正数和负数 题型一 正数和负数的意义－－－－表示相反意义的量 【例1】用正负数表示下列各题中具有相反意义的量： （1）足球比赛中，若输2个球记作－2，那么赢3个球记作 ； （2）若规定向东走3米记作＋3米，那么向西走5米记作 米； （3）银行若存入3000元记作＋3000元，那么从中取出2000元记作 ； （4）负债100元也可以说成是拥有 ； 题型二 判断数的正负 【例2】下列各数：0.6，－3，＋2，10%，0，－8，－1.2，＋ 23，π，3 1-，.3.0。 （1）正数有 ； （2）负数有 . 【例3】想一想:如果字母a 表示一个有理数，那么“－a ”是正数还是负数呢？ 题型三 根据数的正负性求值或范围 【例4】若a －1表示正数，2a －6表示负数，求整数a 表示的数。 针对练习1 1.若规定海平面的高度为0米，且规定高出海平面的高度为正，一潜水艇在水面下40米处航行，一条鲨鱼在潜水艇上方10米处游动，用正负数分别表示潜水艇和鲨鱼的高度分别为 ， ，鲨鱼比潜水艇高出 米。 2.通常高于海平面的地方，用正数表示它的高度，低于海平面的地方，用负数表示它的高度，已知甲、乙、丙三地的海拔高度分别为＋100米、－10米和－80米，下列说法中不正确的是（ ） A .甲地高出海平面100米 B .丙地最低 C .乙地比甲地低90米 D .乙地比丙地高70米 3.下列各数：＋5.9，312-，－7，0，5 12，8中，正数的个数是（ ） A .1个 B .2个 C .3个 D .4个 4.大于－4且小于3的所有整数有（ ） A .3个 B .4个 C .5个 D .6个
《第一章 有理数》 概念1 正数和负数 1.已知一列数：1234561,,,,,,,234567---- （1）请按这列数的特点写出第11个数； （2）- 99100 是这列数中的某个数吗？简要说明理由. 概念2 有理数 2.把下列各数填入相应的大括号内. -13.5，0，+27，-45，227，-10，3.14. （1）正数集：{ } （2）负数集：{ } （3）整数集：{ } （4）分数集：{ } （5）非负整数集：{ } 概念3 数轴 3.一条直线流水线上依次有5个机器人，它们站的位置在数轴上依次用点A 1，A 2，A 3，A 4，A 5表示，如图所示. （1）怎样将点A 3移动，使它先到达点A 2，再到达点A 5，请用文字语言说明； （2）若原点表示的是零件供应点，则5个机器人分别到供应点取一次零件的总路程是多少（不含返程）？ （3）将零件供应点设在何处，才能使5个机器人分别到供应点取一次零件的总路程最短？最短总路程是多少（不含返程）？ 概念4 相反数
4.【中考·菏泽】如图，四个有理数在数轴上的对应点为M ，P ，N ，Q ，若点M ，N 表示的有理数互为相反数，则图中表示绝对值最小的数的点是（ ） A.点M B.点N C.点P D.点Q 概念5 绝对值 5.已知,a b 分别是两个不同的点A ，B 所表示的有理数，且||5,||2a b ==，它们在数轴上的位置如图所示. （1）试确定数,a b ； （2）表示,a b 两数的点相距多远？ （3）若C 点在数轴上，且C 点到B 点的距离是C 点到A 点距离的13 ，请直接写出C 点表示的数. 概念6 倒数 6.已知,a b -互为相反数，,c d -互为倒数，|m|=3，求 a b cd m m --+的值. 概念7 科学记数法 7.【2019·玉林】南宁到玉林城际铁路投资约278亿元，将数据278亿用科学记数法表示是（ ） A.278×810 B.27.8×910 C.2.78×1010 D.2.78×810 概念8 近似数 8.下列说法中，正确的是（ ） A.近似数3.58精确到十分位 B.近似数1000万精确到个位
人教版初一数学（七年级）课程讲义第一章：有理数的意义（解析版）
【例题1】 体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0 （1） 这8名男生有百分之几达到标准？ （2） 他们共做了多少引体向上？ 【答案】（1）62.5%；（2）56个 【解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标， 而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：； 答：这8名男生有62.5%达到标准. （2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个） 答：他们共做了引体向上56个. 讲解用时：3分钟 解题思路：解题时要注意对正负数的意义准确理解 教学建议：一定要先引导学生弄清“基准”是什么. 难度： 3 适应场景：当堂练习 例题来源：无 年份：2019 【练习1.1】 中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（ ） A ．支出20元 B ．收入20元 C ．支出80元 D ．收入80元 【答案】C 5100%62.5%8 ⨯=
【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元，则﹣80表示支出80元．故选：C． 讲解用时：2分钟 解题思路：在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 教学建议：解题关键是引导学生理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量． 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2019 【例题2】 如图所示是几位同学所画的数轴，其中正确的是 ( ) A．(1)(2)(3) B．(2)(3)(4) C．只有(2) D．(1)(2)(3)(4) 【答案】C 【解析】对数轴的三要素掌握不清.（1）中忽略了单位长度，相邻两整点之间的距离不一致；（3）中负有理数的标记有错误；（4）图中漏画了表示方向的箭头. 讲解用时：3分钟 解题思路：数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴的三要素：原点、正方向、单位长度缺一不可． 教学建议：对学生强调数轴的三要素 难度： 3 适应场景：当堂例题例题来源：无年份：2019 【练习2.1】 填空：（1）数轴上离原点5个单位长度的点表示的数是________；（2）从数轴上观察，-3与3之间的整数有________个． 【答案】±5；5个.
人教版初中七年级数学上册第一章《有理数》知识点（含答案解析）(2) 一、选择题 1．(0分)下列说法中，①a - 一定是负数；② a -一定是正数；③倒数等于它本身的数是±1；④一个数的平方等于它本身的数是1；⑤两个数的差一定小于被减数；⑥如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数正确的有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个A 解析：A 【分析】 根据正数和负数、绝对值、倒数等相关的性质，逐一判断即可． 【详解】 ①-a 不一定是负数，若a 为负数，则-a 就是正数，故说法不正确； ②|-a|一定是非负数，故说法不正确； ③倒数等于它本身的数为±1，说法正确； ④0的平方为0，故说法不正确； ⑤一个数减去一个负数，差大于被减数，故说法不正确； ⑥如果两个数的和为正数，那么这两个数中至少有一个正数，故说法正确． 说法正确的有③、⑥， 故选A ． 【点睛】 本题主要考查有理数的加法、正数和负数、绝对值、倒数，能熟记相关的定义及其性质是解决此类题目的关键． 2．(0分)丁丁做了4道计算题：① 2018(1)2018-=；② 0(1)1--=-；③ 1111326-+-=；④11()122 ÷-=-请你帮他检查一下，他一共做对了（ ）道 A ．1道 B ．2道 C ．3道 D ．4道A 解析：A 【分析】 根据乘方的意义以及有理数的减法、乘法、除法法则，有理数加减混合运算法则即可判断． 【详解】 ①2018(1)1-=，故本小题错误； ②0(1)1--=，故本小题错误； ③1113267-+ -=-，故本小题错误； ④11()122 ÷-=-，正确； 所以，他一共做对了1题． 故选A ．
人教版七年级数学第一章有理数教案 正负数的表示方法及其意义，具有相反意义的量的表示方法． 难点 1．正负数的相加、相减及其意义． 2．具有相反意义的量的表示方法． 第二章有理数 2．1有理数的概念(2课时) 第1课时有理数的引入 了解有理数的产生，知道什么是有理数，理解有理数的意义和特点． 重点 有理数的意义和特点． 难点 1．有理数的产生． 2．有理数的特点． 一、新课导入
活动1：创设情境，导入新课 教师投影展示教材第2页图片，让学生回顾自然数、整数、分数和正负数的概念，引出有理数的产生． 活动2：体验有理数的产生 教师出示一些无限不循环小数，如0.333…、0.…等，让 学生思考这些数是否可以表示为分数的形式，引出有理数的概念． 二、推进新课 活动3：认识有理数的意义和特点 教师讲解有理数的意义和特点，例如有理数是可以表示为两个整数之比的数，有理数包括正有理数、负有理数和0等．活动4：练与小结 练：教材第3页练． 小结：这堂课我们研究了什么？有理数的概念和特点是什么？你能简单概括一下吗？ 活动5：作业 题2.1第1，2，3，4题 有理数是数的范围的一次重要扩充，它包括了正有理数、负有理数和0等，是可以表示为两个整数之比的数，它的产生
是为了能够更加准确地表示实际问题中的量，例如无限不循环小数就可以表示为有理数的形式，这样就使得数的范围更加广泛，更加符合实际应用的需要．学生在研究有理数的概念和特点时，应该理解有理数的意义和特点，并掌握有理数的表示方法，为后续的研究打下坚实的基础． 理解负数及表示的量的意义。在会计的账目本上，我们会看到一些数据，如＋1800元，—6932元，这些数据代表着收 入款额和支出款额。在地形图上表示某地的高度时，需要以海平面为基准，用正数表示高于海平面的某地的海拔，负数表示低于海平面的某地的海拔。记录账目时，通常用正数表示收入款额，负数表示支出款额。 在教学中，我们可以通过创设情境和实际例子来帮助学生理解正负数的含义。例如，在地形图上表示某地的海拔时，我们可以让学生自己尝试用正负数表示高度。 我们还可以让学生感受数的含义，明确正数和负数的区别。0既不是正数，也不是负数，是正数与负数的分界。0℃是一 个确定的温度，海拔表示海平面的平均高度。0的意义已不仅 是表示“没有”。
1．一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数缩小到原来的1 20 ，积（ ） A ．缩小到原来的12 B ．扩大到原来的10倍 C ．缩小到原来的110 D ．扩大到原来的2倍A 解析：A 【分析】 根据题意列出乘法算式，计算即可． 【详解】 设一个因数为a ，另一个因数为b ∴两数乘积为ab 根据题意，得1110202 a b ab = 故选A ． 【点睛】 本题考查了有理数乘法运算，根据有理数乘法运算法则计算即可． 2．某测绘小组的技术员要测量A ，B 两处的高度差（A ，B 两处无法直接测量），他们首先选择了D ，E ，F ，G 四个中间点，并测得它们的高度差如下表： 根据以上数据，可以判断A ，B 之间的高度关系为（ ） A ．B 处比A 处高 B ．A 处比B 处高 C ．A ，B 两处一样高 D ．无法确定B 解析：B 【分析】 根据题意列出算式，A ，B 之间的高度差A B h h -，结果大于0，则A 处比B 处高，结果小于0，则B 处比A 处高，结果等于0，则A ，B 两处一样高． 【详解】 根据题意，得： ()()()()()A D E D F E G F B G h h h h h h h h h h --------- =A D E D F E G F B G h h h h h h h h h h --+-+-+-+ =A B h h - 将表格中数值代入上式，得()()4.5 1.70.8 1.9 3.6 1.5A B h h -=------= ∵1.5>0 ∴A B h h >
故选B ． 【点睛】 本题考查了有理数的加减混合运算，根据题意列出算式，去括号时注意符号变号问题是本题的关键． 3．2--的相反数是（ ） A ．12 - B ．2- C ． 12 D ．2D 解析：D 【分析】 |-2|去掉绝对值后为2，而-2的相反数为2． 【详解】 2--的相反数是2， 故选：D ． 【点睛】 本题考查了相反数和绝对值的概念，本题的关键是首先要对原题进行化简，然后在求这个数的相反数；其中，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数，0的相反数是0． 4．定义一种新运算2x y x y x +*=，如：221 2122+⨯*= =.则()(42)1**-=（ ） A ．1 B ．2 C ．0 D ．-2C 解析：C 【分析】 先根据新定义计算出4*2=2，然后再根据新定义计算2*（-1）即可． 【详解】 4*2= 422 4+⨯ =2， 2*（-1）= ()2212 +⨯- =0． 故（4*2）*（-1）=0． 故答案为C ． 【点睛】 定义新运算是近几年的热门题型，首先要根据新运算正确列出算式，本题考查了有理数混合运算，根据新运算定义正确列出算式并熟练掌握有理数的运算法则是解答本题的关键. 5．已知n 为正整数，则()() 22001 11n -+-=（ ） A ．-2 B ．-1 C ．0 D ．2C 解析：C 【解析】 【分析】 根据-1的偶次幂等于1，奇次幂等于-1，即可求得答案. 【详解】 ∵n 为正整数，
人教版七年级上册数学第一章《有理数》第1讲有理数（答案+解析）
数轴。在数轴上所表示的数，右边的数总比左边的数大，即从数轴的左边到右边所对应的数逐渐变大，所以正数都大于0，负数都小于0，正数大于负数。 概念剖析： ①、画数轴时数轴的三要素原点、正方向、单位长度缺一不可； ②、数轴的方向不一定都是水平向右的，数轴的方向可以是任意的方向； ③、数轴上的单位长度没有明确的长度，但单位长度与单位长度要保持相等； ④、有理数在数轴上都能找到点与之对应，一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数a -的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。 ⑤、在数轴上求任意两点a 、b 的距离L,则有公式a b L b a L -=-=或，这两个公式选择那个都一样。 知识点四：相反数 如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数。0的相反数是0，互为相反的两个数，在数轴上位于原点的两则，并且与原点的距离相等。 概念剖析： ①、“如果两个数只有符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”，不要茫然的认为“如果两个数符号不同，那么其中一个数就叫另一个数的相反数”。 ②、显然，数a 的相反数是a -，即a 与a -互为相反数。要把它与倒数区分开。 ③、互为相反数的两个数在数轴上对应的点一个在原点的左边，一个在原点的右边，且离原点的距离相等，也就是说它们关于原点对称。 ④、在数轴上离某点的距离等于a 的点有两个。 ⑤、如果数a 和数b 互为相反数，则a +b =0；)0(1≠-=ab b a 或)0(1≠-=ab a b ； ⑥、求一个数的相反数，只要在这个数的前面加上“—”即可；例如b a -的相反数是a b -； 知识窗口： ①一个数前面加上“—”号，该数就成了它的相反数； ②一个数前面的符号确定方法：奇数个负号相当于一个负号，偶数个负号相当于一个正号，而与正号的个数无关。
（大脑放电影~） 知识点一：有理数的概念及分类 (1) 有理数的概念：凡能写成形式的数，都是有理数。一般来说，无限循环小数及有限小数均可表现为分数形式，因此有理数一般包括整数，分数（包括无限循环小数及有限小数）。 【注意】值为3.14159……，是无限不循环小数，因此不是有理数。 (2)有理数的分类: ① ⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪ ⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数正有理数有理数0 ② 【注意】0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，+a 也不一定是正数。 知识点二：数轴 同步知识梳理
数轴的三要素：原点方向单位长度 ①直线上任取一点表示数0，该点叫原点； ②通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或向下）为负方向。 ③选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点依次表示1,2,3…… 数轴上的点到原点的距离相等的点有两个。 知识点三：相反数 相反数： 一、只有符号不同的两个数叫互为相反数； 【注意】0的相反数还是0； (2)相反数的和为0 a+b=0 a、b互为相反数. 一般的地，a及-a互为相反数。 知识点四：绝对值 一、定义：一般地，数轴上表示数a的点及原点的距离叫做数a的绝 对值，记作|a|。
一、正数的绝对值是其本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相 反数； 一、互为相反数的两个数的绝对它本身值相等。 一、绝对值可表示为：；【绝对值的问题经常分类讨论】； 【注意】绝对值的非负性 （1）因为有理数的绝对值表示两点之间的距离，距离总是正数或零，所以任意一个有理数的绝对值是非负数，即0 |0|=，故绝 a，如，0 |≥ | 对值最小的数是0。 （2）非负数的重要性：①非负数有最小值，是0；②若几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0，即若0 ,0= =b a，则0 a； | | +b | |= ③有限个非负数之和仍是非负数。 知识点四：有理数比较大小方法归纳 （1）数轴比较法：将两数分别表示在数轴上，右边的点表示的数总比左边的点表示的数大。 在数轴上表示有理数，从左到右的顺序就是从小到大的顺序，左边的数小于右边的数比较有理数。 （2）代数比较法：正数大于0，0大于负数，正数大于负数;两个负数绝对值大的反而小。例如：-5>-6>-7