有理数的概念及分类
有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。有理数，在数学其实就是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。正整
数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为
正有理数、负有理数和零。
一、有理数的基本运算有：
1.加法运算
减去一个数，等于加上这个数的相反数（符号不同，符号相同的两个数互为相反数，
其中一个数叫做另一个数的相反数）。
2.乘法运算
两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。
特别注意：零除以任一一个不等于零的数，都得零；零无法搞除数和分母；有理数的
乘法与乘法就是互逆运算。
在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相除。若
在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。若不能整除，则除法运算都转化为乘
法运算。
3.乘法运算
（1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。例如：（-2）的3次方= -8，（-2）的2次方=4。
（2）正数的任何次幂都就是正数，零的任何正数次幂都就是零。比如：2的2次方
=4,2的3次方=8,0的3次方=0。
（3）零的零次幂无意义。
（4）由于乘方就是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算顺
利完成。
（5）任何非0数的0次方都是1。
（6）一个数的负数次方=此数正数次方的倒数。例如：5的-2次方=1/25
二、有理数的运算定律有：
1.乘法运算律:
（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a。
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，和维持
不变，
即a+b+c=a+（b+c）。
2.加法运算律：
（1）减法运算律：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：a-b=a+（-b）。
（2）加法结合律：三个数连减至，可以先将两个减至的数相乘，然后再减至，高维
持不变，
即：a-b-c=a-（b+c）。
（3）加法交换律：三个数连减至，可以对调两个减数的边线，高维持不变，即为：
a-b-c=a-c-b
3.乘法运算律：
（1）乘法交换律：两个数相加，互换因数的边线，内积维持不变，即ab=ba。
（2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数先乘，或者先把后两个相乘，积不变，即abc=a（bc）。
（3）乘法分配律：某个数与两个数的和相加等同于把这个数分别与这两个数相加，
再把内积相乘，即a（b+c）=ab+ac。
4.混合运算
有理数的加减乘除混合运算，例如并无括号表示先搞什么运算，按照“先秦九韶，后
以此类推”的顺序展开，如果就是同级运算，则按照从左到右的顺序依次排序，如果存有
括号则先排序括号内的。
年 级 初一 学科 数学 内容标题 有理数的定义及其分类 编稿老师 巩建兵 一、学习目标： 1. 知道正数与负数是由于实际需要产生的. 2. 会判断一个数是正数还是负数，能用正.负数表示相反意义的量. 3. 知道0既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点. 4. 能说出整数与分数的概念，知道整数和分数统称为有理数.对于给出的有理数，会正确地进行分类. 5. 体会数学符号与对应的思想，掌握用正.负数表示具有相反意义的量的符号化方法. 二、重点.难点： 重点：知道什么是正数和负数，什么是有理数，理解数0表示的量的意义. 难点：理解负数.数0表示的量的意义. 三、考点分析： 本讲课程涉及两个考点，一是会用正数和负数表示具有相反意义的量，二是理解有理数的意义和分类.第一个考点出现的可能性更大.这两个考点通常以选择题或填空题的形式出现，大约占2分至3分. 1. 数的产生和发展：由记数.排序产生数1. 2. 3.…，由表示“没有”“空位”产生数0， 由分物.测量产生分数12.1 3 .…. 2. 如图所示：
像10.8844.2303这样大于0的数叫做正数，像－10.－155.－11034这样在正数前面加上“－”（负）号的数叫做负数. 有时在正数前面也加上“＋”（正）号，一个数前面的“＋”“－”叫做它的符号. 3. 数0既不是正数，也不是负数. 4. 正整数.0.负整数.正分数.负分数都可以写成分数的形式，这样的数称为有理数. 5. 有理数的分类： 有理数 整数 正整数 零负整数 分数 正分数负分数 有理数 正有理数负有理数 负整数负分数 零正整数正分数(1)(2) 知识点一：正.负数的意义 例1：如果规定前进.收入为正，亏损.公元前为负，那么下列语句错误的是（ ） A . 前进－18m 的意义是后退18m B . 收入－4万元的意义是亏损4万元 C . 盈利的相反意义是亏损 D . 公元－300年的意义是公元后300年 思路分析： 题意分析：本题涉及到的知识点是相反意义的量，而相反意义的量是成对出现的. 解题思路：正.负数仅是为了用来区分具有相反意义的量，哪种意义为正或负，是可以任意解答过程：选项A ，规定前进为正，则后退为负，前进－18m 表示后退18m ，故A 正确；选项B ，规定亏损为负，则收入－4万元表示亏损4万元，故B 正确；选项C 正确，盈利和亏损具有相反意义；选项D ，规定公元前为负，则公元－300年表示公元前300年，故D 错误.本题选D . 解题后的思考：只有一对具有相反意义的量才能用正数.负数来表示，此时，把其中一种意义的量规定为正，用正数表示，则与它意义相反的量为负，用负数表示.
有理数的有关概念和分类 知识要点 1、一个整数a 和一个非零整数b 的比是有理数（rational number ），例如：1 2 ，-5 3 ，15 5 ，实际上所有的整数都 可以写成分数的形式． 2、有理数分类，有理数可以按形式以及正负分类： 3．数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。数轴上右边的数总比左边的数大。数轴上的点不都代表有理数 4. 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数。0的相反数是0。 判断互为相反数的两种方法：①从式子上看，若0a b +=，则a b 与互为相反数；②从直观上看a a -与是互为相反数。 一、夯实基础 (一)选择题 1.下列表示的数轴中，正确的是( ) A ． B ． C ． D ． 2.有理数a 、b 、c 在数轴上所对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是( ) A ．b ＞c ＞0＞a B ．a ＞b ＞c ＞0 C ．b ＞0＞a ＞c D ．a ＞c ＞b ＞0 3.如图，A 、B 、C 、D 、E 为某未标出原点的数轴上的五个点，且A B ＝B C ＝C D ＝D E ，则点D 所表示的数是( ) A ．10 B ．9 C ．6 D ．0 4. 下列结论正确的有（ ） ①任何有理数都有相反数；②符号相反的两个数互为相反数； ③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等； ④若有理数a ，b 互为相反数，则它们一定异号. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.若a ＜－1，则a ，－a ，1a ，-1 a 的大小关系是( ) A ． B ． C ． D ． 6. 点A 在数轴上表示＋2，将点A 沿数轴向左平移3个单位到点B ，则点B 所示的有理数是( ) A ．3 B ．－1 C ．5 D ．－1或3 7. 若m ＋n ＝0，n ＋p ＝0，且m －q ＝0，则( ) A ．p 与q 相等 B ．m 与p 互为相反数 C ．m 与n 相等 D ．n 与q 相等 8. 已知两个有理数a ，b ，如果a b ＜0，且a ＋b ＜0，那么( )． A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＞0 C ．a ，b 异号 D ．a ，b 异号，且负数的绝对值较大 9. 一个动点M 从数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动2s ,到达点A 后立即返回,运动7s 到达点B ,若动点M 运动的速度为每秒2个单位长度,则此时点B 在数轴上所表示的数是( ) A ．-6 B ．-14 C ．-6或-14 D ．0 10. 若0＜m ＜1，m 、m 2 、1 m 的大小关系是( ) A ． B ． C ． D ． （二）填空题 1. 把下列各数填入相应的大括号里。2，－，0，23%，，2014，，，π，－1 (1)正有理数集合{________ …} (2)负有理数集合{________ …} (3)负分数集合{________ …} (4)非负整数集合{________ …} 2. －(－3)＝________；－[－(－3)]＝________；－{－[－(－3)]}＝________． 由上述结果可总结出：________ ． 利用上述探究结果，直接写出下列各式的化简结果： (1)－[－(a －b )]＝________；(2)－{＋[－(2x －1)]}＝___ _____； (3)＋{－[－(－x －y )]}＝________． ??? ? ?????????? ???负分数正分数分数负整数正整数整数有理数0???? ?? ???????? ?负分数负整数负有理数正分数正整数 正有理数有理数0
有理数的分类 1. （1）有理数由两部分组成：符号部分和数字部分。 （2）像+3、+8、等在正数前面加“+”叫做正数 （3）像－3、－1.5、等在正数前面加“－”叫做负数。负数比0小。 （4）零即不是正数也不是负数，对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如：－a一定是负数吗？答案是不一定。因为字母a可以表示任意的数，若a 表示的是正数，则－a是负数；若a表示的是0，则－a仍是0；当a表示负数时，－a就不是负数了（此时－a是正数），如：当a=－5时，－（－5）=5。 （5）有理数：整数和分数统称为有理数。我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。“0”是整数，但不是正整数。 （6）整数包括正整数、零、负整数，分数包括正分数和负分数。
数轴的作用 数轴是理解有理数概念与运算的重要工具，数与表示数的图形（如数轴）相结合的思想是学习数学的重要思想。数与形的第一次联姻——数轴，使数与直线上的点之间建立了对应关系，揭示了数与形的内在关系，并由此成为数形结合的基础。 数轴的概念 数轴上的点与有理数的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表 示 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 数轴的定义包含三层含义：一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际 需要“规定”的（通常取向右为正方向） 数轴三要素
1在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在 原点下面标上“0”）。 2确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示 出来。 3选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为 －1，－2，－3…… 利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大。3、相反数 相反数的概念 （1）相反数的几何定义：在数轴上原点的两旁，到原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。如下图，4与－4互为相反数，与－互为相反 数。 （2）相反数的代数定义：只有符号不同的两个数（除了符号不同以外完全相同），我们说其中一个是另一个的相反数，0的相反数是0。
有理数的概念和分类 一、有理数的概念和分类 1、有理数 （1）有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数。 （2）有理数的分类 ① 按整数和分数的关系，有理数分为整数和分数。 其中整数分为正整数、0、负整数；分数分为正分数、负分数。 ② 按正数、0和负数的关系，有理数分为正有理数、0、负有理数。 其中正有理数分为正整数、正分数；负有理数分为负整数、负分数。 2、数轴 （1）数轴的定义 在数学中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求： ① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； ② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1，2，3，$\cdots\cdots$；从原点向左，用类似方法依次表示$-1$，$-2$，$-3$，$\cdots\cdots$（分数和小数也可以用数轴表示）。 （2）数轴上的点和有理数 一般地，设$a$是一个正数，则数轴上表示数$a$的点在原点的右边，与原点的距离是$a$个单位长度；表示数$-a$的点在原点的左边，与原点的距离是$a$个单位长度。 3、相反数 （1）相反数 像2和$-2$，5和$-5$这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。
一般地，$a$和$-a$互为相反数，特别地，0的相反数是0。这里，$a$表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0。 （2）几何意义 互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数。 （3）相反数的性质 任何一个数都有相反数，而且只有一个。正数的相反数一定是负数；负数的相反数一 定是正数；0的相反数仍是0。 4、绝对值 （1）绝对值的定义 一般地，数轴上表示数$a$的点与原点的距离叫做数$a$的绝对值，记作$|a|$。 （2）绝对值的意义 ① 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 即：如果$a$>0，那么$|a|$=$a$； 如果$a$=0，那么$|a|$=0； 如果$a$<0，那么$|a|=-a$。 ② 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点 的距离越远，绝对值越大；离原点的距离越近，绝对值越小。 ③ 绝对值的性质：绝对值具有非负性，即有$|a|$$\geqslant$0； 若几个数的绝对值的和为0，则每个数都等于0，即$|a|$+$|b|$+$\cdots$+$|m|$=0，则$a$=$b$=$\cdots$=$m$=0。 5、有理数大小的比较 （1）在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的 数小于右边的数。从而可知： ① 正数大于0，0大于负数，正数大于负数； ② 两个负数，绝对值大的反而小。
（一）有理数的基本概念 1、正数和负数 （1）、大于0的数叫做正数。 （2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 （3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。 （4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。 2、有理数 (1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。 π不是有理数； (2)有理数的分类:①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)自然数＜====＞0和正整数；a ＞0 ＜====＞a 是正数； a ＜0 ＜====＞a 是负数； a ≥0＜====＞a 是正数或0＜====＞a 是非负数； a ≤0＜====＞a 是负数或0＜====＞a 是非正数. 3、数轴【重点】 （1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求： ① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； ② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3… （2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 （3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。 注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。 （4）、一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数-a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。
有理数概念整理 一、有理数的意义 1、正数和负数 知识点 1 正数和负数的概念 （1）在正数前面加“－”的数，叫做负数。负数比0 小。 （2）零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。 （2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如：－ a 一定是负数吗答案是不一定。 知识点 2 有理数的有关概念有理数：整数和分数统称为有理数。 知识点 3 有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0 的关系分类： 整数正整数 正有理数 正整数 正分数 有理数负整数有理数0 分数正分数 负分数 负有理数 负整数 负分数 注通常把正数和0 统称为非负数，负数和0 统称为非正数，正整数和0 称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0 统称为非正整数。 2、数轴 知识点 1 数轴的概: 规定了原点、正方向和单位长度的直线数轴有三要素——原点、正方向、单位长度 知识点 2 数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。 知识点 3 利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。
3、相反数 知识点 1 相反数的概念： 只有符号不同的两个数， 0 的相反数是 0。 知识点 2 相反数的关系若 a 、 b 互为相反数则 a+b=0 4、绝对值 知识点 1 绝对值的概念 ：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的 距离 ，数 a 的绝对值记作“ a 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值 是 0。即 知识点 2 两个负数大小的比较 ：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝 对值的大小；三、根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 二、有理数的运算 1 有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去 较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。 有理数乘除法法两数相乘（除） ，同号得正，异号得 有理数练习题 一、填空 1 1. 大于 3 而不大于 3的整数有 。绝对值大于 2 而不大于 4 的整数有 个， 2 它们的和是 2. 相反数为本身的数是 ___ ，绝对值为本身的数是 _____ 。平方等于它本身的是 立方等于它本身的是 。倒数等于本身的是 a, ( a 0) 0, (a 0) 或 a -a 。 (a 0) a ， －a 。 a a 00）） 绝对值的非负性 3.若 a 1, 则a __ 0; 若 a 1, 则a _ 0 ；当|x-2|=3 时,x= ______ _ ； m-n 的相反数是
有理数的概念及分类 知识点一 具有相反意义的量 1.常见的具有相反意义的量：向东走3 m 和向西走7 m ，收人200元和支出20元上升，100m 和下降200m 等 2.表示方法：把其中一种意义的量规定为正的，用正数来表示;把与它意义相反的量规定为负的，用负数来表示 3.具有相反意义的量的正负性是相对的，而且是可以互换的，例如:若规定亏损5万元为+5万元，则盈利8万元为-8万元 温馨提示在表示具有相反意义的量时,若一种量带有单位，则与之意义相反的量也要带单位;规定哪种意义的量为正可以任意选择，规定正的量后要把与之意义相反的量规定为负，如把“上升高度”“零上温度”“收人钱数"等规定为正,把“下降高度”“零下温度”“支出钱数”等规定为负;必须要有明确的基准，所选择的基准不同，计数的结果也不同 例1 (1)在一 次知识竞赛中，如果加10分用+10分表示，那么扣20分应表示为 _____分; (2)设前进为正，则前进20米记作_________米,原地不动记作际意义是_______米; (3)在图纸上零件的尺寸为(25±0.003)m,甲工人加工出来的零件的尺寸为25.002 mm,乙工人加工出来的零件的尺寸为24,995 mm,则________工人加工出来的零件合格，合格的零件允许的最小尺寸是_______mm, 知识点二 正数和负数 正数：在已学过的数（0除外）的前面添加上“+”所得的数叫正数， 如+1.2，+20等 正数中“+”可以省略不写 负数：在已学过的数（0除外）的前面添加上“—”所得的数叫负数， 如—1.8，-20等 负数中“—”可以省略不写 注意：0既不是正数也不是负数 例2：在14.3,9 10%,10,2012,98.1,0,21 3,2-+--+ 中，正数比负数多（ ） A.3个 B.2个 C.3个 D.4个
有理数及其相关概念 一、正数与负数 1、正数：大于0的数（“+”通常省略不写）叫正数。 2、负数：在正数前面加“—”的数叫负数（负数小于0）。 3、数0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界线。 4、正负数是表示相反意义的两个量，正数的"+"号平时可略去不写，有时为了强调，也可以写上， 而负数前面的“—”号切记不能省略。 5、对于正负数概念，不能简单理解为带“+”的数是正数，带“—”的数是负数，如+0是0， —0也是0，当a是负数时，—a就代表正数。 二、有理数 1、整数和分数统称为有理数。 2、整数包括正整数、0、负整数。 3、分数包括正分数和负分数。 4、整数可以看成是分母为1的分数。 5、有限小数和有限循环小数都可以用分数表示。 6、有理数的分类： （1）按符号分类：正有理数，0，负有理数； （2）按定义分类：整数，分数。 7、通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数。 8、如果用字母a表示。则①a>0表示正数，②a<0表示负数，③表示非负数④表示非正数 四、数轴 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线就叫数轴。画一条水平直线，在直线上取一点表 示0（叫做原点），选取某一长度为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向。 ①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴上要有三要素：原点、正方向、单位长度，三 者缺一不可；原点的选定、正方向的选取和单位长度的确定，都可以根据实际需要规定。 ②数轴上的点表示全体实数，有理数和数轴上的点不是一一对应的关系。 五、相反数 1、相反数：只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为 相反数。正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数。 2、相反数的几何意义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为 相反数。 3、互为相反数的两个数相加为0,。 六、绝对值 1、几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作｜a｜，读作a的绝对值，绝对值不能是负数。 2、代数定义：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。 3、两个负数比较大小绝对值大的反而小。 随堂练习： 一、填空题 1、某股票昨天每股跌了0.12元，记做—0.12元，今天每股票涨了0.08元，记作_________ 2、潜艇所在的高度是—80m，一条鲨鱼在潜艇上方25m处，则鲨鱼的高度记作__________ 海拔－200m比300m高________；从海拔250m下降到100m，下降了________ 温度3℃比－7℃高_______；温度－8℃比－2℃低_______．
有理数概念整理 一、 有理数的意义 1、 正数和负数 知识点1正数和负数的概念 （1） 在正数前面加“－”的数，叫做负数。负数比0小。 （2） 零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。 （2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如：－a 一定是负数吗？答案是不一定。 知识点2 有理数的有关概念 有理数：整数和分数统称为有理数。 知识点3 有理数的分类 （1） 按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类： ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数有理数正分数分数负分数 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 正整数 正有理数正分数有理数0负整数负有理数负分数 注 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也 叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。 2、 数轴 知识点1 数轴的概:规定了原点、正方向和单位长度的直线 数轴有三要素——原点、正方向、单位长度 知识点2数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。 知识点3 利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。 3、相反数 知识点1 相反数的概念：只有符号不同的两个数，0的相反数是0。 知识点2 相反数的关系若a 、b 互为相反数则a+b=0 4、绝对值 知识点1 绝对值的概念：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作“a ” 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即 , 0) 00, (0) 0-(0) a a a a a a a a a a a >⎧≥⎧⎪ ===⎨⎨≤⎩⎪<⎩ （， （）或－。（）。 绝对值的非负性a ≥0 知识点2 两个负数大小的比较：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝
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有理数的有关概念和分类 知识要点 1、一个整数a 和一个非零整数b 的比是有理数（rational number ），例如：12 ，-53 ，15 5 ，实际上所有的整数都 可以写成分数的形式． 2、有理数分类，有理数可以按形式以及正负分类： 3．数轴：规定了原点，正方向和单位长度的直线叫数轴。数轴上右边的数总比左边的数大。数轴上的点不都代表有理数 4. 相反数：只有符号不同的两个数叫相反数。0的相反数是0。 判断互为相反数的两种方法：①从式子上看，若0a b +=，则a b 与互为相反数；②从直观上看a a -与是互为相反数。 一、夯实基础 (一)选择题 1.下列表示的数轴中，正确的是( ) A ． B ． C ． D ． 2.有理数a 、b 、c 在数轴上所对应的点的位置如图所示，下列结论正确的是( ) A ．b ＞c ＞0＞a B ．a ＞b ＞c ＞0 C ．b ＞0＞a ＞c D ．a ＞c ＞b ＞0 3.如图，A 、B 、C 、D 、E 为某未标出原点的数轴上的五个点，且A B ＝B C ＝C D ＝D E ，则点D 所表示的数是( ) A ．10 B ．9 C ．6 D ．0 4. 下列结论正确的有（ ） ①任何有理数都有相反数；②符号相反的两个数互为相反数； ③表示互为相反数的两个数的点到原点的距离相等； ④若有理数a ，b 互为相反数，则它们一定异号. A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 5.若a ＜－1，则a ，－a ，1 a ，-1 a 的大小关系是( ) A ． B ． C ． D ． 6. 点A 在数轴上表示＋2，将点A 沿数轴向左平移3个单位到点B ，则点B 所示的有理数是( ) A ．3 B ．－1 C ．5 D ．－1或3 7. 若m ＋n ＝0，n ＋p ＝0，且m －q ＝0，则( ) A ．p 与q 相等 B ．m 与p 互为相反数 C ．m 与n 相等 D ．n 与q 相等 8. 已知两个有理数a ，b ，如果a b ＜0，且a ＋b ＜0，那么( )． A ．a ＞0，b ＞0 B ．a ＜0，b ＞0 C ．a ，b 异号 D ．a ，b 异号，且负数的绝对值较大 9. 一个动点M 从数轴上距离原点4个单位长度的位置向右运动2s ,到达点A 后立即返回,运动7s 到达点B ,若动点M 运动的速度为每秒2个单位长度,则此时点B 在数轴上所表示的数是( ) A ．-6 B ．-14 C ．-6或-14 D ．0 10. 若0＜m ＜1，m 、m 2 、1 m 的大小关系是( ) A ． B ． C ． D ． （二）填空题 1. 把下列各数填入相应的大括号里。2，－，0，23%，，2014，，，π，－1 (1)正有理数集合{________ …} (2)负有理数集合{________ …} (3)负分数集合{________ …} (4)非负整数集合{________ …} 2. －(－3)＝________；－[－(－3)]＝________；－{－[－(－3)]}＝________． 由上述结果可总结出：________ ． 利用上述探究结果，直接写出下列各式的化简结果： (1)－[－(a －b )]＝________；(2)－{＋[－(2x －1)]}＝________； (3)＋{－[－(－x －y )]}＝________． 3.一个数乘以什么数，可以得到它的相反数？答：_____________________________。 一个数除以什么数，可以得到它的相反数？答：________ _____________________。 4. 数轴上A 点表示-3,B ,C 两点表示的数互为相反数,且点B 到点A 的距离是2,则点C 表示的数应该是________. 5. 若a =＋，则－a = ___________；若a =－1 4，则－a = ___________；若－a =1，则a = ____________； 若－a =－2， 则a =______________. 二、能力提高 1.比较1＋a 与1－a 的大小，首先要比较a 与－a 的大小，而a 与－a 的大小由a 的正负确定． 2.已知数轴上三点M ，O ，N 对应的数分别为－3，0，1，点P 为数轴上任意一点，其对应的数为x ． (1)如果点P 到点M ，点N 的距离相等，那么x 的值是________． (2)数轴上是否存在点P ，使点P 到 点M ，点N 的距离之和是5？若存在，请直接写出x 的值；若不存在，请说明理由． ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数 正整数整数有理数0⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪ ⎪⎨⎧⎩⎨ ⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数正分数正整数 正有理数有理数0
有理数概念整理之欧侯瑞魂创作 二、有理数的意义 1、正数和负数 知识点1正数和负数的概念 （1）在正数前面加“－”的数, 叫做负数.负数比0小. （2）零即不是正数也不是负数, 零是正数和负数的分界. （2）对正数和负数的概念, 不能简单理解为：带“＋”号的数是正数, 带“－”号的数是负数.例如：－a一定是负数吗？谜底是纷歧定. 知识点2 有理数的有关概念有理数：整数和分数统称为有理数.知识点3 有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类： 注通常把正数和0统称为非负数, 负数和0统称为非正数, 正整数和0称为非负整数（也叫做自然数）, 负整数和0统称为非正整数. 2、数轴 知识点1 数轴的概:规定了原点、正方向和单元长度的直线 数轴有三要素——原点、正方向、单元长度 知识点2数轴上的点与有理数的关系
所有的有理数都可以用数轴上的点暗示.正有理数可以用原点右边的点暗示, 负有理数可以用原点左边的点暗示, 零用原点暗示. 知识点3 利用数轴比力有理数的年夜小 在数轴上暗示的两个数, 右边的数总比左边的数年夜.正数都年夜于0；负数都小于0；正数年夜于一切负数. 3、相反数 知识点 1 相反数的概念：只有符号分歧的两个数, 0的相反数是0. 知识点2 相反数的关系若a、b互为相反数则a+b=0 4、绝对值 知识点1 绝对值的概念：一个数a的绝对值就是数轴上暗示数a 的点与原点的距离, 数a 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它自己；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即 知识点 2 两个负数年夜小的比力：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比力这两个绝对值的年夜小；三、根据“两个负数, 绝对值年夜的反而小”做出正确的判断. 二、有理数的运算 1有理数加法法则 （1）同号两数相加, 取相同的符号, 并把绝对值相加.
有理数概念整理
有理数概念整理 一、 有理数的意义 1、 正数和负数 知识点1正数和负数的概念 （1） 在正数前面加“－”的数，叫做负数。负 数比0小。 （2） 零即不是正数也不是负数，零是正数和负 数的分界。 （2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为： 带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。 例如：－a 一定是负数吗？答案是不一定。 知识点2 有理数的有关概念 有理数：整数和 分数统称为有理数。 知识点3 有理数的分类 （1） 按整数、分数的关系分类：（2）按正数、 负数与0的关系分类： ⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数有理数正分数分数负分数 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数0负整数负有理数负分数 注 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统 称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做 自然数），负整数和0统称为非正整数。 2、 数轴
数是_____。平方等于它本身的是 ，立方 等于它本身的是 。倒数等于本身的是 3.若,1=a a 则a____0; 若,1-=a a 则a____0；当 |x-2|=3时,x=______ _； m-n 的相反数是_____ 4.若m,n 互为倒数，则)1(2 --n mn 的值为_____ 5.绝对值是1的数是______,绝对值最小的有理 数是_______；最小的正整数是_____,最大的负 整数是______。 6.12的相反数的绝对值是 ．)3 21(--的相反数是 ；3 2--的相反数是 。－（－3）= ； 7.已知 |a|＝3，那么a ＝ ；绝对值大于1 而不大于3的整数有 个，它们 是 。 8．比较大小（用“＞”或“＜”表示）： 8.1-- －（2 3+）； 71- 61- 9.观察下面一列数，根据规律写出横线上的数， －1；21；－31；4 1； ； ；……；第2003个数是 。 10.下列各数：3，0，－1.2，－(+5) ，2 13-，+3.1，