有理数的定义
有理数可分为整数和分数。英文：rational number读音：yǒu lǐ sh整数和分数统称为有理数 ,任何一个有理数都可以写成分数m/n(m ,n都是整数 ,且n0)的形式。任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常所说的分数 ,此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制(如二进制)下都适用。数学上 ,有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio) ,通常写作 a/b ,故又称作分数。希腊文称为 ,原意为成比例的数(rational number) ,但中文翻译不恰当 ,逐渐变成有道理的数。无限不循环小数称之为无理数(例如：圆周率)有理数和无理数统称为实数。所有有理数的集合表示为Q。以下都是有理数：
(1) 整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。
(2)分数包含了：正分数、负分数统称为分数。
(3)小数包含了:有限小数、无限循环小数。而且分数也统称小数 ,因为分小互化。
如3 ,-98.11 ,5.72727272 ,7/22都是有理数。全体有理数构成一个集合 ,即有理数集合 ,用粗体字母Q表示 ,较现代的一些数学书那么用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集 ,即Q?R。相关的内容见数系的扩张。有理数集是一个域 ,即在其中可进行四那么运算(0作除数除外) ,而且对于
这些运算 ,以下的运算律成立(a、b、c等都表示任意的有理数)：①加法的交换律a+b=b+a;②加法的结合律
a+(b+c)=(a+b)+c;③存在数0 ,使0+a=a+0=a;④乘法的交换律ab=ba;⑤乘法的结合律a(bc)=(ab)c;⑥乘法的分配律a(b+c)=ab+ac。0a=0 文字解释：一个数乘0还等于0。此外 ,有理数是一个序域 ,即在其上存在一个次序关系。0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域 ,即对有理数a和
b ,a0 ,b0 ,必可找到一个自然数n ,使nba。由此不难推知 ,不存在最大的有理数。值得一提的是有理数的名称。有理数这一名称不免叫人费解 ,有理数并不比别的数更有道理。事实上 ,这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来 ,在英语中是(rational number) ,而(rational)通常的意义是理性的。中国在近代翻译西方科学著作 ,依据日语中的翻译方法 ,以讹传讹 ,把它译成了有理数。但是 ,这个词来源于古希腊 ,其英文词根为(ratio) ,就是比率的意思(这里的词根是英语中的 ,希腊语意义与之相同)。所以这个词的意义也很显豁 ,就是整数的比。与之相对 ,而无理数就是不能精确表示为两个整数之比的数 ,而并非没有道理(无理数就是无限不循环小数 ,也是其中一个无理数)。
有理数知识点总结 1. 有理数的定义和性质 1.1 有理数的定义 有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数、分数和零。 1.2 有理数的性质 •有理数可以进行加、减、乘、除运算，并仍为有理数。 •有理数的加法和乘法满足交换律、结合律和分配律。 2. 有理数的表示和分类 2.1 有理数的表示 有理数可以用分数的形式表示，即分子和分母都是整数，并且分母不为零。 2.2 有理数的分类 有理数可以分为以下几类： - 正数：大于零的有理数。 - 负数：小于零的有理数。- 零：既不大于零也不小于零的有理数。 3. 有理数的比较和大小关系 3.1 有理数的比较 •对于同号的两个有理数，绝对值大的数较大。 •对于异号的两个有理数，正数较大。 3.2 有理数的大小关系 •两个正数比较大小，数值大的较大。 •两个负数比较大小，数值小的较大。 •正数大于零，零大于负数。 4. 有理数的运算 4.1 加法和减法 有理数的加法和减法满足交换律和结合律，可以通过以下步骤进行： - 对于同号 的两个有理数，将它们的绝对值相加（减），并保持符号不变。 - 对于异号的两 个有理数，将它们的绝对值相减，结果的符号由绝对值较大的数决定。
4.2 乘法和除法 有理数的乘法和除法满足交换律、结合律和分配律，可以通过以下步骤进行： - 两个有理数的乘积的符号由乘数的符号决定。 - 两个有理数的商的符号由被除数 和除数的符号决定。 5. 有理数的进一步思考 5.1 有理数的无穷性 有理数是无穷的，可以无限接近但无法达到某些无理数，如圆周率π和自然对数 的底数e。 5.2 有理数的应用 有理数在实际生活中有广泛的应用，如计算、测量、金融等领域。在金融中，有理数可以表示货币的数量，进行利息计算等。 5.3 有理数的拓展 有理数是数的一个重要分支，还有其他类型的数如无理数、实数、复数等。无理数是无法表示为两个整数的比的数，实数是有理数和无理数的统称，而复数是实数和虚数的组合。 结论 有理数是可以表示为两个整数的比的数，包括整数、分数和零。有理数可以进行加、减、乘、除运算，并且满足交换律、结合律和分配律。有理数可以用分数的形式表示，可以分为正数、负数和零。有理数的大小关系可以通过比较绝对值和符号来确定。有理数在实际生活中有广泛的应用，同时也是数学中其他类型数的基础。
有理数的定义和性质 在数学中，有理数是指能用两个整数之间的比值来表达的数。 有理数的定义是一个比较基础的概念，但对于理解整个数学体系 具有重要意义。 在整数的基础上，有理数的产生体现了人们在实践中对于数学 的发展，也是人们在探索具有理性的世界的一项重要成果。那么 究竟什么是有理数呢？一起来深入探讨一下有理数的定义和性质。 有理数的定义 有理数是由整数组成的分数，分母不为0。可以表示为p/q的 形式，其中p，q为整数，q≠0，简称有理数。 举个例子：-1，3/5，100/7，1/2等都是有理数。 若有理数q=p/q，其中p与q都为整数，那么它还可以表示为 其他形式的分数。即若q≠±1，那么可以约分至最简分数，使分母 q的正负与数本身的符号一致。例如，3/6和1/2其实是一个数。
有理数的性质 1. 唯一分解定理 唯一分解定理表明，每个正整数都可以唯一地表示为若干个质 数的乘积，而且可以按质数从小到大的顺序来进行表示。同样的，每个整数也可以写成一些互不相同质数的积，而且这些质数及其 指数是唯一的。 唯一分解定理同样适用于所有整系数和有理数，不管这些数正 负如何以及它们是不是整数。 2. 加减法性质 对于任意的有理数a、b和c，都有： a+b=b+a （加法交换律） a+(b+c)=(a+b)+c （加法结合律）
a+0=0+a=a （零元素） a+(-a)=0 （负元素） a-b=a+(-b) （减法变成加法） 3. 乘除法性质 对于任意的有理数a、b和c，都有：a×b=b×a （乘法交换律） a×(b×c)=(a×b)×c （乘法结合律） a×1=1×a=a （乘法单位元） a×0=0×a=0 （零元素） a×-a=(-a)×a=-(a×a) （负元素）
有理数知识点整理 有理数知识点整理 数学是一门基础学科，其中有理数是非常重要的基础知识之一。本文将为大家梳理有理数的定义、性质和相关知识点，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。 一、有理数的定义 有理数是指可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为零。具体地，有理数可以写成分数形式，如$\frac{m}{n}$（其中m为分子，n为分母），且n不为零。整数也是有理数的一种，当分母为1时，分数可以简化为整数。 二、有理数的性质 1、有理数是封闭的，即所有的有理数都可以表示为分数形式，并且不存在无限循环的有理数。 2、有理数是有限的，即有理数可以用有限的数字和符号来表示，这一点在计算机科学中具有重要意义。 3、有理数具有加法和乘法的交换律和结合律，即对于任何有理数a 和b，有：（1）a+b=b+a；（2）a×b=b×a；（3）（a+b）+c=a+（b+c）；（4）（a×b）×c=a×（b×c）。
4、有理数具有乘法分配律，即对于任何两个有理数a和b，以及任意整数c，有：（1）（a+b）×c=ac+bc；（2）a×（b+c）=ab+ac。 三、相关知识点 1、有理数的加减法：有理数的加减法遵循交换律和结合律，即对于任何有理数a和b，有：（1）a+b=b+a；（2）a-b=-（b-a）。 2、有理数的乘除法：有理数的乘除法遵循交换律和结合律，即对于任何两个有理数a和b，有：（1）a×b=b×a；（2）（a×b）×c=a×（b×c）。同时，对于任何有理数a和b（其中b不为零），有：（1）a÷b=a×（1/b）；（2）a÷(1/b)=ab。 3、有理数的化简：通过约分和通分，可以将有理数化简为最简形式，即分子和分母没有公共因数。同时，对于任何有理数a和b（其中b 不为零），有：（1）a/b=(-a)/(-b)；（2）a/(b/c)=ac/b；（3）1/a=1×(1/a)；（4）(-1)/a=(-1)×(1/a)。 通过以上整理的有理数知识点，我们可以更好地理解和掌握有理数的定义、性质和相关知识点。这些知识在数学学习和实际应用中都具有重要意义。希望大家能够认真学习和掌握这些内容，为后续的学习和工作打下坚实的基础。
有理数的意义-知识讲解 有理数是数学中一类重要的数，它可以用整数作为分子和分母的比值 表示。有理数的意义体现在其在实际生活中的广泛应用，以下从有理数的 定义、特点以及实际应用等方面进行讲解。 首先，有理数的定义是指可以写成两个整数的比值形式的数，其中分 母不为零。有理数包括整数、正整数、负整数、分数等。例如，2，-3， 1/4等都是有理数。 有理数的特点主要体现在以下几个方面： 1.有理数包括整数和分数两个主要部分，整数由负整数、零和正整数 组成，而分数可以写成两个整数的比值形式。 2.有理数可以进行加减乘除等基本运算，运算结果也仍然是有理数。 这一点在实际应用中十分重要，可以简化运算过程。 3.有理数可以用分数表示小数，并且保持有效位数，在实际应用中更 加便于计算和表示。 4.有理数具有有限循环小数和无限循环小数两种形式。循环小数是指 在小数部分中有从一些位置开始重复的数字序列。 有理数在实际生活中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面： 1.金融领域：有理数广泛应用于金融领域，如贷款利率、股票涨跌等 计算中。利率、股票涨跌等都可以用有理数来表示，便于计算和比较。 2.商业领域：商业中的销售额、成本、利润等也可以用有理数来表示。商业决策涉及到大量的数值计算，有理数的应用可以方便快捷地进行计算 和分析。
3.工程领域：在工程测量和设计中，有理数也有着重要的应用。例如，建筑物的尺寸、管道的长度等都需要进行精确的测量和计算，有理数可以 提供准确的数值。 4.科学领域：有理数常常出现在科学实验和数值模拟中。例如，在物 理实验中，测量得到的各种物理量可以用有理数表示，更方便进行分析和 比较。 总结起来，有理数作为一类重要的数，具有重要的意义。它不仅在数 学学科中有着重要的地位，而且在实际生活中也有广泛应用。通过有理数，我们可以方便地进行各种数值计算，解决实际问题，进一步提高数学能力 和解决实际问题的能力。因此，对有理数的学习和掌握对于每个学生来说 都是十分重要的。
有理数的概念与性质 有理数是整数和分数的统称，包括正整数、负整数、零以及可以用两个整数的比来表示的分数。有理数的概念相当广泛，它们具有很多独特的性质和特点。 一、有理数的定义 有理数是可以表示成两个整数之间的比的数。有理数包括正有理数（如正整数和正分数）、负有理数（如负整数和负分数），以及零。 二、有理数的性质 1. 加法性质 有理数的加法满足交换律、结合律和存在零元素的性质。即对于任意有理数a、b和c，满足以下性质： - 交换律：a + b = b + a - 结合律：(a + b) + c = a + (b + c) - 零元素：a + 0 = a 2. 减法性质 有理数的减法可以转化为加法运算。即对于任意有理数a、b和c，满足以下性质： - 减法的定义：a - b = a + (-b) 3. 乘法性质
有理数的乘法满足交换律、结合律和存在单位元素的性质。即对于任意有理数a、b和c，满足以下性质： - 交换律：a * b = b * a - 结合律：(a * b) * c = a * (b * c) - 单位元素：a * 1 = a 4. 除法性质 有理数的除法可以转化为乘法运算。即对于任意非零有理数a、b 和c，满足以下性质： - 除法的定义：a / b = a * (1/b) 5. 分配律 有理数的乘法对加法满足分配律。即对于任意有理数a、b和c，满足以下性质： - 左分配律：a * (b + c) = a * b + a * c - 右分配律：(a + b) * c = a * c + b * c 三、有理数的排序 有理数可以根据大小进行排序，可以用大小关系符号进行表示。即对于任意两个有理数a和b，可以判断它们的大小关系：- a < b：表示a比b小
有理数的概念 知识整合二——有理数的概念 一、正数和负数的概念 1.正数是大于零的数，负数是在正数前面加“－”(读作负) 号的数。零是正数和负数的分界。 2.为了强调正数，有时也可以在正数前面加上“＋”（读作正）号。不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的 数是负数。 二、有理数的概念 1.整数和分数统称为有理数。 2.有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。但是本节中的分数不包括分母是1的分数。
3.因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。 4.“0”既不是正数也不是负数，但“0”是整数。 三、有理数的分类 1.按整数、分数的关系分类。 2.按正数、负数与零的关系分类。 四、数轴的概念 1.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2.数轴的定义包含三层含义：一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位
长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。 五、数轴的画法 1.画一条直线（一般画成水平的直线）。 2.在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。 3.确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。 4.选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3…… 注：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点，从原点向右，依次表
有理数定义及两种分类 有理数是数学中的一种数，它可以表示为两个整数的比值。有理数包括正整数、负整数、零以及各种分数。它们可以用分数形式或小数形式表示，小数形式可以是有限小数或无限循环小数。 有理数的分类可以从两个方面进行：一是根据有理数的大小关系进行分类，二是根据有理数的表达形式进行分类。 根据有理数的大小关系，我们可以将有理数分为正数、负数和零。正数是大于零的有理数，用正号"+"表示；负数是小于零的有理数，用负号"-"表示；零是不大于也不小于零的有理数，用数字"0"表示。 根据有理数的表达形式，我们可以将有理数分为分数和小数。分数是两个整数的比值，可以表示为两个整数的比例。分数可以是正分数、负分数和零分数。正分数的分子和分母都是正整数，分子小于分母；负分数的分子和分母都是正整数，分子大于分母；零分数的分子是0，分母不为0。小数是分数的一种特殊形式，可以是有限小数或无限循环小数。有限小数是小数部分有限的小数，例如0.25、-1.5等；无限循环小数是小数部分有无限循环的小数，例如1.3333...、-0.6666...等。 有理数的定义和分类在数学中有着重要的应用。有理数的定义使得我们能够对一些实际问题进行准确的数值计算和数值比较。例如，在货币交易中，我们需要精确计算各种货币的兑换比率，这就涉及
到有理数的计算。有理数的分类使得我们能够对数值进行更加细致的划分和描述，从而更好地理解数值之间的大小关系。例如，在温度计中，我们需要对不同温度进行分类，如正温度和负温度，以便更好地理解温度变化。 有理数是数学中重要的概念之一，它可以用来表示各种实际问题中的数值，并且可以通过大小关系和表达形式进行分类。有理数的定义和分类为我们解决实际问题提供了基础，并且在数学的其他领域中也有重要的应用。通过深入理解有理数的定义和分类，我们可以更好地理解数学的本质和数值之间的关系。
知识整合二——有理数的概念 一、正数和负数的概念 1、正数：大于0的数，叫做正数。正数比0大。 2、在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。 &零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。 注意： 1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号。 2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。 二、有理数的概念 1、有理数：整数和分数统称为有理数。 注意：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。 但是本节中的分数不包括分母是1的分数。 （2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示， 所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。 （3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。 2、整数包括正整数、零、负整数。 3、分数包括正分数和负分数。 三、有理数的分类 1、按整数、分数的关系分类： 2、按正数、负数与0的关系分类： 注意：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a＞0表明a 是正数；a＜0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。 四、数轴的概念 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 数轴的定义包含三层含义：一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。 五、数轴的画法 1、画一条直线（一般画成水平的直线）。 2、在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。 3、确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。 4、选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；
有理数的定义 有理数可分为整数和分数。英文：rational number读音：yǒu lǐ sh整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n(m，n都是整数，且n0)的形式。任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制(如二进制)下都适用。数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为，原意为成比例的数(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成有道理的数。无限不循环小数称之为无理数(例如：圆周率)有理数和无理数统称为实数。所有有理数的集合表示为Q。以下都是有理数： (1) 整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。 (2)分数包含了：正分数、负分数统称为分数。 (3)小数包含了:有限小数、无限循环小数。而且分数也统称小数，因为分小互化。 如3，-98.11，5.72727272，7/22都是有理数。全体有理数构成一个集合，即有理数集合，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书那么用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集，即Q?R。相关的内容见数系的扩张。有理数集是一个域，即在其中可进展四那么运算(0作除数除外)，而且对于
这些运算，以下的运算律成立(a、b、c等都表示任意的有理数)：①加法的交换律a+b=b+a;②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c;③存在数0，使0+a=a+0=a;④乘法的交换律ab=ba;⑤乘法的结合律a(bc)=(ab)c;⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。0a=0 文字解释：一个数乘0还等于0。此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系。0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a0，b0，必可找到一个自然数n，使nba。由此不难推知，不存在最大的有理数。值得一提的是有理数的名称。有理数这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更有道理。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是(rational number)，而(rational)通常的意义是理性的。中国在近代翻译西方科学著作，根据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了有理数。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为(ratio)，就是比率的意思(这里的词根是英语中的，希腊语意义与之一样)。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的比。与之相对，而无理数就是不能准确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理(无理数就是无限不循环小数，也是其中一个无理数)。