有理数的认识
有理数是数字中的一种类型，可以用整数和分数来表示。整数是不带小数部分的数字，正整数、负整数和零都属于整数范围。分数由分子和分母构成，分子是整数，分母是非零整数。有理数包括整数和分数，以及可以通过有限次四则运算得到的数。有理数的特点是可以写成有限小数或无限循环小数形式。例如，2、-5、1/2和0.3333...都属于有理数。利用有理数，人们可以进行加、减、乘、除等基本运算，也能进行比较和排序。有理数在数学和实际生活中起着重要的作用，被广泛应用于金融、科学、工程等领域。
第一讲：认识有理数 模块一 正数与负数 在小学时我们学过像1、9、3.81、12.56、 32、4 36这样的数，在小学时，老师给我们说，它们分别是整数、小数、分数，进入初中以后，我们把像1、9、3.81、12.56、32、436这样的数叫 ；如果我们把在小学学过的整数、小数、分数前面加一个“—”，比如像这些数，－3，-2，－1，－0.58，41- ......，我们把它们叫 。 把下列具有相反意义的量有用线边起来： （1）收入20元 前进100米 后退100米 支出20元 高于海平面155米 亏损6万元 盈余6万元 低于海平面155米 （2）零上10C ? 运出50筐梨 高于海平面8848米 低于海平面392米 运进80筐梨 零下5C ? 学习与归纳： ①为了表示具有相反意义的量，我们通常把其中一个数前面加上 号，把另一 个数前面加上 号来进行区分；前面带 号的数叫做正数，前面 的 号经常可以省略不写，前面带 号的数叫做负数，前 面的 号不可以省略； ② 既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界点； ③ 大于零， 小于零，正数 一切负数。 现在我们就把正数与负数的概念总结如下： 像5，2.1，2 1，???这样的数叫做正数，它们都比0大。 在正数前面加上“—”号的数叫做负数，如：13-，6.1-，32- ，??? 0既不是正数，也不是负数。
典型例题讲解（理解新知识） 例1：填空： （1）如果收入50元记作50+元，那么支出50元，记作 ，80-元表 示 。 （2）手表的指针顺时针旋转?90记作?-90，那么逆时针旋转?60则记作 。 （3）如果比海平面高规定为正，那么珠穆朗玛峰海拨8848米记作 ，吐鲁 番盆地海拨155-米表示 。 变式练习： 判断题：（1）前进100米和前进－30米是两个相反意义的量（ ） （2）前进100米和后退－100米是两个相反意义的量（ ） （3）零上10C ?和支出20元是两个相的反意义的量（ ） 解题方法点拨： （1）用正数和负数表示具有相反意义的量时，可以根据实际，规定哪种意义的量为正 数，那么具有相反意义的量就为负数。 （2）一般情况下，正、负规定如下： 模块二 有理数及其分类 试一试：把下列各数分别填在相应的大括号内 7， 25.9-， 109- ， 274， 106， 15-， 15 7， 31.25， 301-， 5.3- 0 ， 2.1 ， 10% ， 314-。 正整数集合{ …}； 负整数集合{ …}； 整数集合{ …}； 正分数集合{ …}； 负分数集合{ …}； 有理数集合{ …}； 学习归纳： ①像1，2，3，4，5，…这样的数叫 ，像5-，4-，3-，2-，1-这样的 数叫 ； 0， 统称为整数； ②像21，0.8，45，327的数叫 ，像21-，—0.8，45-，3 27-的数叫 ； ， 统称为分数； ③ 和 统称为有理数；
有理数 单元教学目标 1了解有理数的意义。会用正数与负数表示相反意义的量，会按要求把给出的有理数归类。 2了解数轴、相反数、绝对值的概念。会画数轴，会用数轴上的点表示整数或分数（以刻度尺为工具），会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。 3掌握有理数大小比较的法则。会用不等号连接两上或两个以上不同的有理数。 单元教学重点 1有理数（特别是负数）和绝对值的意义。 2数形结合的思想方法。 单元教学策略 有理数是根据学生熟悉的实际需要，对小学学过的数的进一步护展。对于本单元的学习，学生已有一定的知识基础和生活体验。教学时教师应注意避免多讲，要从学生已有的知识和熟知的实例出发，引导学生认真阅读、思考、讨论，形成新的认知结构。同时还要注意为后面的学习做好准备。 教学手段和方法 1引导学生把学过的知识和熟悉的事例与新的学习内容联系起来。 2指导学生阅读、讨论、练习、总结。 3使用投影仪。 第1、2课时正数与负数 一、学习目标 1了解正数与负数是由于实际需要而产生的，会初步应用正负数表示实际生活中的有关量。 2了解有理数的概念，会判断一个数是正数还是负数，是整数还是分数。 二、教学过程 师：同学们先回顾一下我们在小学学过哪些数（小学六年级就接触了负数） 填空 1在数物体时，物体的个数用____________________表示；一个物体也没有，就用____________________表示。 2测量和计算有时得不到整数的结果，就要用____________________表示。 3北京冬季里的一天，白天最高气温比0℃高10℃，记作10℃；夜晚最低气温比0℃低5℃，记作____________________。 在中国地形图上，珠穆朗玛峰处标着8848，表示不打珠穆朗玛峰比海平面高8848米；叶鲁番盆地处标着-155，表示叶鲁番盆地比海平面低
楚雄师范学院 《现代数学观点下的中学数学》研究论文 学校：楚雄师范学院 系院：数学系 班级： 08 级（2）班 姓名：郭仓云 学号： 20081021206 2011年12月7日
摘要： 有理数是整数和分数的统称，一切有理数都可以化成分数的形式。有理数可分为整数和分数也可分为三种，一；正数，二；0，三；负数。除了无限不循环小数以外的实数统称有理数。整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n（m，n都是整数，且n≠0）的形式。任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。数学上，有理数是一个整数a和一个非零整数b的比(ratio)，通常写作a/b，故又称作分数。希腊文称为λογο，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。无限不循环小数称之为无理数（例如：圆周率π）有理数和无理数统称为实数。所有有理数的集合表示为Q。 关键词： 有理数；整数；分数；运算律.
有理数域的认识 1. 有理数域的范围： 有理数包括：(1)整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。(2）分数包含了：正分数、负分数统称为分数。（3）小数包含了:有限小数、无限循环小数。而且分数也统称小数，因为分小互化。如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。全体有理数构成一个集合，即有理数集合，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集，即Q?R。相关的内容见数系的扩张。有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：①加法的交换律a+b=b+a；②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；③存在数0，使0+a=a+0=a；④乘法的交换律ab=ba；⑤乘法的结合律a(bc)=(ab)c；⑥乘法的分配律a(b+c)=ab+ac。0a=0 文字解释：一个数乘0还等于0。此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是（rational number），而（rational）通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为（ratio），就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，而“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理（无理数就是无限不循环小数，π也是其中一个无理数）。 2. 有理数的运算： 加法：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同零相加，仍得这个数。 减法：减去一个数等于加上这个数的相反数。 乘法：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘，任何数同零相乘都得零。几个不为零的有理数相乘，负因数有偶数个时积为正，负因数有奇数个时积为负，如果有一个因数为零，积就为零。 除法：除以一个不为零的数，等于乘以这个数的倒数；两数相除，同号得正，异号为负；零除以任意非零的数都得零。 有理数的巧算： 有理数加减统一成加法的意义：对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的算式是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。有理数加减混合运算的方法和步骤：（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。一般情况下，有理数是这样分类的：整数、分数；正数、负数和零；负有理数，正有理数。 初中数学书中介绍的用计算器做有理数运算
第一章有理数 1正数、负数、有理数、相反数、科学记数法、近似数 2数轴：用数轴来表示数 3绝对值：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零 4正负数的大小比较：正数大于零，零大于负数，正数大于负数，绝对值大的负数值反而小。 5有理数的加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去减小的绝对值； 互为相反数的两数相加为零； 一个数加上零，仍得这个数。 6有理数的减法（把减法转换为加法） 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 7有理数乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 任何数同零相乘，都得零。 乘积是一的两个数互为倒数。 8有理数的除法（转换为乘法） 除以一个不为零的数，等于乘这个数的倒数。 9有理数的乘方 正数的任何次幂都是正数； 零的任何次幂都是负数； 负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数。 10混合运算顺序 （1）先乘方，再乘除，最后加减； （2）同级运算，从左到右进行； （3）如果有括号，先做括号内的运算，按照小括号、中括号、大括号依次进行。 第二章整式的加减 1 整式：单项式和多项式的统称； 2整式的加减 （1）合并同类项 （2）去括号 第三章一元一次方程 1 一元一次方程的认识 2 等式的性质 等式两边加上或减去同一个数或者式子，结果仍然相等； 等式两边乘同一个数，或除以同一个不为零的数，结果仍相等。 3 解一元一次方程
一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为一 第四章图形认识初步 1 几何图形：平面图和立体图 2 点、线、面、体 3 直线、射线、线段 两点确定一条直线； 两点之间，线段最短 4 角 角的度量度数 角的比较和运算 补角和余角：等角的补角和余角相等 初一下册 第五章相交线和平行线 1 相交线：对顶角相等 2 垂线 经过一点有且只有一条直线和已知直线垂直； 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（垂线段最短）3 平行线 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行； 若两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也相互平行； 判定：同位角相等，两直线平行； 内错角相等，两直线平行； 同旁内角互补，两直线平行。 性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补。 4 命题：判断一件事情的语句 5 平移 第六章平面直角坐标系 1 有序数对：（a，b） 2 平面直角坐标系、原点、横轴、纵轴、象限 3简单应用：用坐标表示位置；用坐标表示平移。 第七章三角形 1 与三角形有关的边： 三角形的边、高、中线、角平分线、稳定性 2 与三角形有关的角 内角：三角形的内角和是180度 外角：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和； 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 2 多边形 内角：多边形的内角和为（n-2）*180；
有理数与无理数 一、专题简析 理解两个数学概念，在学习数学概念的同时了解一些数学史知识，深化概念的认识，能依据概念进行分析判断，根据概念自觉发现结论并解决一些问题。 二、阅读与探究 数学上，有理数是指一大类数，这个名称经过以讹传讹，已经积非成是了，较恰当的称呼为“可比数”，凡是能精确表示为一个整数a 和一个正整数b 的比的数都是有理数，例如3/8，17/9，0也是有理数，整数也可以看作是分母为1的分数。 0.4, 0.1111…，0.313131… 是有理数，因为0.4=2/5, 0.1111…=1/9，0.313131…=31/99,小数部分是有限的或是无限循环的数都是有理数，分数都是有理数，分数本身就是一种比的记法。 有限小数都可以看作是分母是整十、整百、整千、整万……的分数； 无限循环小数都可以等值于一对整数的比，而且可以找到唯一的一对互质的整数。 读后归纳：整数、分数、有限小数、无限循环小数都是有理数。 对应的，还有一类数叫无理数，凡是不能精确表示为一个整数a 和一个正整数b 的比的数都是无理数（其实应该称作“不可比数”更恰当）， 无理数的典型特征是小数部分是无限不循环的。 依据材料解决问题 1、分别将下列数写成两个互质的整数比（写出分数形式） 13, 5， 0.25， 3.14， 0.024， 0.33333…… ，2.11111……， 0.245245245245245…… ，? ? 325.0 归纳： 变式： 0.033333…… ，? ?532.0 如果表示？ 2、7 15 是无理数吗？将它化成小数形式 3、这些数！ ！！！！，，！！41 31211101!21 !11!011101+++++ ++ 都是有理数吗？ 4、①当n=10, 100, 1000时，！！ ！！！n 1 31211101+++++ 其和是有理数吗？ ②当n 趋向于无穷大时，！！！！！n 131211101+++++ 其和还是有理数吗？
“有理数”简介新 第一章“有理数”简介（新） 本章是第三学段教科书的第一章，既承接前两个学段的内容，又为进一步学习打下基础。本章主要内容是有理数的有关概念及其运算。首先，从实例出发引入负数,接着引进关于有理数的一些概念，在此基础上，介绍有理数的运算。 本章教学时间约需19课时，具体安排如下： 1.1 正数和负数约2课时 1.2 有理数约4课时 1.3 有理数的加减法约4课时 1.4 有理数的乘除法约4课时 1.5 有理数的乘方约3课时 数学活动 小结约2课时 一、教科书内容和课程学习目标 本章知识结构框图如下： 引入负数是实际的需要，也是学习第三学段数学内容，特别是数与代数内容的需要。 引进数轴可以把有理数用数轴上的一个点直观地表示出来，从而可以直观地介绍相反数、绝对值，同时为用数轴引进有理数的加法法则与乘法法则作准备。 引入相反数的概念，一方面，可以加深对相反意义的量的认识，另一方面，可以为学习绝对值、有理数减法等作准备。 引入绝对值的的概念，可以加深对有理数的认识：一个有理数由符号与绝对值确定。两个负数比较大小，有理数运算也要借助绝对值这个概念。 本章的重点是有理数的运算。加法与乘法都是在介绍运算法则——着重是符号法则的基础上，进行基本运算，然后结合具体例子引入运算律，并运用运算律简化运算。
减法与除法，则是着重介绍如何向加法与乘法转化，从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算。 乘方是几个相同因数的乘积，也就可以利用乘法运算。科学记数法与乘方有关，因而可进一步加以介绍。近似数在实际问题中有广泛的应用，有必要在本章作进一步的认识。 利用计算器计算分两次安排，一次在加减乘除运算之后，一次在乘方运算之后。学会了使用计算器进行有理数运算，较复杂的计算就可以用计算器完成。简单的有理数运算仍需要学生熟练地用笔算完成。 本章的教学要求如下： 1．通过实际例子，感受引入负数的必要性。会用正负数表示实际问题中的数量。 2．理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数。借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母），会比较有理数的大小。通过上述内容的学习，体会从数与形两方面考虑问题的方法。 3．掌握有理数的加、减、乘、除运算，理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。能运用有理数的运算解决简单的问题。 4．理解乘方的意义，会进行乘方的运算及简单的混合运算（以三步为主）。 5．通过实例进一步感受大数，并能用科学记数法表示。了解近似数与有效数字的概念。 二、本章编写特点 1．加强与实际的联系 （1）从实际出发引入有关内容 章前引言注意与实际的联系，用温度、净胜球、增长率的实例引入本章的内容。通过第一节开头回顾学过的数的产生和发展的过程，说明数的产生和发展离不开生活和生产的需要。 有理数的有关概念注意从实际引入。例如，数轴是通过描述位置的问题引出的，并让学生通过温度计加深对数轴的认识。又如，通过一个“思考”，栏目，给出未来一周天气预报，提出问题“你能将图
数轴与有理数的认识 数轴是一种重要的数学工具，它能够帮助我们更好地认识和理解有理数。在本文中，我将介绍数轴的概念以及如何使用数轴来表示和比较有理数。 一、数轴的概念 数轴是一条直线，用来表示不同数值之间的关系。它通常是水平放置的，中间有一个起点，可以向左右两个方向延伸到无穷远。数轴上的每个点都对应一个数值，这个数值称为该点的坐标。 在数轴上，我们可以将所有的正整数、负整数和零以及它们之间的分数都表示出来。数轴上离起点越远的点代表的数值越大，离起点越近的点代表的数值越小。 二、使用数轴表示有理数 有理数包括整数、分数和零。我们可以用数轴来表示这些有理数，并且可以通过比较它们在数轴上的位置来判断它们的大小关系。 对于整数来说，我们可以将它们表示在数轴上的某个点上。例如，0、1、-1可以分别表示在数轴上的原点、1单位距离右侧和1单位距离左侧。如果要比较两个整数的大小，只需要比较它们在数轴上的位置即可。
对于分数来说，我们可以将它们表示在数轴上的某个位置上，方法是将数轴等分为若干等份，然后将分数所在的位置表示出来。例如，1/2可以表示在数轴的0点和1点之间的中点处。 三、比较有理数的大小 通过数轴，我们可以很方便地比较有理数的大小。如果两个有理数在数轴上的位置相同，那么它们相等；如果一个有理数的位置在另一个有理数的右侧，那么前者比后者大；如果一个有理数的位置在另一个有理数的左侧，那么前者比后者小。 例如，如果比较-2和-3的大小，我们只需要在数轴上找到它们对应的位置，发现-2在-3的右侧，所以-2比-3大。 四、有理数的加减运算 在数轴上，我们可以使用移动的方式进行有理数的加减运算。假设要计算-2 + 3，我们可以先在数轴上找到-2，然后向右移动3个单位距离，即可得到结果1。 同样，如果要计算-2 - 3，我们可以先在数轴上找到-2，然后向左移动3个单位距离，即可得到结果-5。 五、有理数的乘除运算 有理数的乘除运算可以利用数轴上的倍增和倍减来完成。例如，如果要计算-2 × 3，我们可以先在数轴上找到-2，然后沿着数轴方向向右侧倍增3次，即可得到结果-6。类似地，如果要计算-6 ÷ 3，我们可以
第一章“有理数”简介 课程教材研究所薛彬本章是第三学段教科书的第一章，既承接前两个学段的内容，又为进一步学习打下基础。本章主要内容是有理数的有关概念及其运算。首先，从实例出发引入负数,接着引进关于有理数的一些概念，在此基础上，介绍有理数的加减法运算。本章教学时间约需21课时，具体安排如下： 1.1正数和负数约2课时 1.2有理数约5课时 1.3有理数的加减法约4课时 1.4有理数的乘除法约4课时 1.5有理数的乘方约4课时 数学活动小结约2课时 一、教科书内容和课程学习目标本章知识结构框图如下：引入负数是实际的需要，也是学习第三学段数学内容，特别是数与代数内容的需要。引进数轴可以把有理数用数轴上的一个点直观地表示出来，从而可以直观地介绍相反数、绝对值，同时为用数轴引进有理数的加法法则与乘法法则作准备。引入相反数的概念，一方面，可以加深对相反意义的量的认识，另一方面，可以为学习绝对值、有理数减法等作准备。引入绝对值的的概念，可以加深对有理数的认识：一个有理数由符号与绝对值确定。两个负数比较大小，有理数运算也要借助绝对值这个概念。本章的重点是有理数的运算。加法与乘法都是在介绍运算法则——着重是符号法则的基础上，进行基本运算，然后结合具体例子引入运算律，并运用运算律简化运算。减法与除法，则是着重介绍如何向加法与乘法转化，从而利用加法与乘法的运算法则、运算律进行运算。乘方
是几个相同因数的乘积，也就可以利用乘法运算。科学记数法与乘方有关，因而可进一步加以介绍。近似数在实际问题中有广泛的应用，有必要在本章作进一步的认识。近似数的内容与乘方也有一定的联系，例如，大数的近似数用科学记数法表示，可以清楚地看出保留的有效数字的个数。为了加强与相关运算的联系，利用计算器计算分散安排在相关内容中。例如，教科书用计算器计算一些负数的乘方，进而探求负数的乘方的符号规律。学会了使用计算器进行有理数运算，较复杂的计算就可以用计算器完成。简单的有理数运算仍需要学生熟练地用笔算完成。本章的教学要求如下： 1.通过实际例子，感受引入负数的必要性。会用正负数表示实际问题中的数量。 2.理解有理数的意义，能用数轴上的点表示有理数。借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母），会比较有理数的大小。通过上述内容的学习，体会从数与形两方面考虑问题的方法。 3.掌握有理数的加、减、乘、除运算，理解有理数的运算律，并能运用运算律简化运算。能运用有理数的运算解决简单的问题。理解乘方的意义，会进行乘方的运算及简单的混合运算（以三步为主）。通过实例进一步感受大数，并能用科学记数法表示。了解近似数与有效数字的概念。二、本章编写特点 1.加强与实际的联系（1）从实际出发引入有关内容章前引言注意与实际的联系，用温度、净胜球、零件生产、纳米的实例引入本章的内容。通过第一节开头回顾学过的数的产生和发展的过程，说明数的产生和发展离不开生活和生产的需要。有理数的有关概念注意从实际引入。例如，数轴是通过描述位置的问题引出的，并让学生通过温度计加深对数轴的认识。又如，通过一个“观察”，栏目，给出未来一周天气预报，提出问题“你能将图中给出的各个温度按从低到高的顺序排列吗？”，从而引出有理数比较大小的内容。从实际出发引入有理数的运算。例如，通过足球比赛中，计算章前引言中红队和白队的净胜净胜球数，出现4＋（－2），1+（－1），引出正数与负数的加法.又如，通过某地一天的气温是－3℃～4℃，这天的温差（℃）就是4－（－3），引出正数与负数
第二讲 有理数的认识 【知识要点】 一、正数、负数和零： 1、概念：象1、2.5、133、48等大于零的数叫正数；象-1、-2.5、13 3-、-48等小于零的数叫负数；0叫做零，0既不是正数也不是负数。 2、负数的表示方法：数字前带一个负号。如：-1、-2.5等。 注意：①正数，负数的“+”、“-”的符号是表示性质相反的量，符号写在数字前面，这种符号 叫做性质符号，负号不是减号。 ②不能简单的理解为：带“+”号的数是正数，带“-”的数是负数。例如：a -，当a 表示正数时，a -是负数；当a 表示负数时，a -是正数；当a 表示0时，a -仍是0，既不是正数也不是负数。 3、负数的重要意义： ①使数字系统得到扩充：3、2、1、0、-1、-2、-3等； ②使表示起来更方便： 例1：温度比0℃低2度记为：-2℃ 例2：山峰高于海面300m 叫海拔300m ，记为：+300m ，盆地低于海面50m 记为：-50m ； ③使计算起来更容易：3-4=-1等。 4、正数、负数与0： ①0是表示正与负的分界，表示数值上既不是正也不是负，表示比任何正数小，比任何负数大。 ②正数：表示在数值上不等于0，且总比0大。 ③负数：表示在数值上不等于0，且总比0小。 例：A 、B 、C 三个商店，A 店在今年8月份赢利，B 店在今年8月份亏损，C 店在该月上正好不赢利也不亏本。则从利润上看：A P ＞0，B P ＜0，C P =0 ；A P ：正数，B P ：负数，0C P =; 负数＜0＜正数 二、有理数： 1、有理数的概念： ①从小数的角度看： 整数、有限小数（有限位小数）、无限循环小数叫有理数；而无限不循环小数叫无理数。如：••321.0， 3.14159是有理数；⋅⋅⋅=1415926.3π是无理数。 ②从分数角度看： 整数和分数总称为有理数。 若m 和n 为整数（n ≠0），无理数不能表示为n m 的形式；有理数总能表示为n m 的形式。
1.2有理数 1.2.1有理数 【知识与技能】 1.了解有理数的意义，并能把有理数按要求分类. 2.会把给出的有理数填入集合内. 【过程与方法】 1.从直观认识到理性认识，从而建立有理数概念. 2.通过学习有理数概念，体会对应的思想，数的分类的思想. 【情感态度】 通过有理数意义、分类的学习，体会数的分类、归纳思想方法. 【教学重点】 有理数的概念. 【教学难点】 从直观认识到理性认识，从而建立有理数概念. 一、情境导入，初步认识 问题现在，我们已经知道除了小学里所学的数之外，还有另一种形式的数，即负数.大家讨论一下，到目前为止，你已经认识了哪些类型的数？ 学生列举：3，5.7，-7，-9，-10，0，1/3，2/5，- 5 3 6 ，-7.4，5.2,…… 议一议你能说说这些数的特点吗？ 学生回答，并相互补充：有小学学过的整数、0、分数，也有负整数、负分数. 【教学说明】我们把所有的这些数统称为有理数. 试一试你能对以上各种类型的数作出一张分类表吗？
【教学说明】以上分类，若学生思考有困难，可加以引导：因为整数和分数统称为有理数，所以有理数可分为整数和分数两大类，那么整数又包含哪些数？分数呢？ 做一做以上按整数和分数来分，那可不可以按性质（正数、负数）来分呢？试一试. 我们把所有正数组成的集合，叫做正数集合. 试一试试着归纳总结，什么是负数集合、整数集合、分数集合、有理数集合？ 二、典例精析，掌握新知 例1 把下列各数填入相应的集合内： 12/7，-3.1416，0，2004，-8/5，-0.23456，10%，10.1，0.67，-89. 【答案】
【教学说明】以上是对数进行分类，教师应让学生上台板演，并接着做教材第6~7页的练习，以巩固知识. 例2以下是两位同学的分类方法，你认为他们分类的结果正确吗？为什么？ 【答案】两者都错，前者丢掉了零，后者把正负数、整数、分数混为一谈. 【教学说明】以上是对各类有理数的特点及有理数的分类进行的训练，基础性强，需要重视. 例3如果用字母表示一个数，那a可能是什么样的数，一定为正数吗？与你的伙伴交流一下你的看法. 【答案】不一定，a可能是正数，可能是负数，也可能是0. 【教学说明】此题开放性较强.同时，要求学生能用分类的思想对a全面认识. 例4观察下列数，按某种规律在横线上填入适当的数，并说明你的理由. 2/3，3/4，4/5，，6/7，……，你的答案是 . 【分析】找出各项数的特点是本题关键所在，第一个数为2/3，后一个数是前一个数的分子、分母都加1所得的数. 【答案】5/6 三、运用新知，深化理解 1.把下列各数填入相应的大括号内： -7，0.125，1/2，-31/2，3，0，50%，-0.3. （1）整数集合{ ……} （2）分数集合{ ……} （3）负分数集合{ ……} （4）非负数集合{ ……} （5）有理数集合{ ……} 2.下列说法正确的是（）
有理数 教学设计 教学目标 知识与技能： 1．说出有理数的意义。 2．把给出的有理数按要求分类。 3．说出数0在有理数分类中的作用。 过程与方法： 树立对数分类讨论的观点并发展正确地进行分类的能力。 情感、态度与价值观： 通过有理数的分类，感受数学对称美。 重点、难点、疑点及解决办法 1．重点：有理数包括哪些数。 2．难点：有理数的分类。 3．疑点：明确有理数分类标准。 教具准备 投影仪、自制胶片。 教学设计思路 这节课主要教学内容是有理数的分类，讲解时要启发引导，充分体现学生为主体，注重学生参与意识。 教学过程设计 （一）复习导入 （出示投影1） 1．把下列各数填入相应的大括号内： ＋6，211 -，3.8，0，－4，－6.2，722+，－3.8，32- 正数集合{} 负数集合{ }
2．填空： （1）若下降5 m 记作－5 m ，那么上升8 m 记作__________________，不升不降记作_____________________。 （2）如果规定＋20表示收入20元，那么－10元表示______________。 （3）如果由A 地向南走3千米用3千米表示，那么－5千米表示____________________，在A 地不动记作__________________。 【教法说明】出示投影后，学生思考，然后举手回答问题。当学生回答完一题后。教师追问：你能不能说说什么叫正数，负数呢？0是正数吗？是负数吗？通过第1小题，使学生进一步理解正、负数的概念，以及零的特殊意义。通过第2小题使学生掌握对于两种相反意义的量，如果其中一种量用正数表示，那么另一种量便可以用负数表示。 师：在小学大家学过1，2，3，4……这是什么数呢？ 生：自然数。 师：在这些自然数前面加上负号，如－1，－2，－3，－4……这些是什么数呢？ 生：负数。 师：具体叫什么负数呢？ 师：今天我们要把大家学过的数分类命名，然后给一个统一的名称。 【教法说明】通过教师由浅入深层层设问，使学生在头脑当中逐步认识问题。这样一步一个台阶的教学过程，符合学生认识问题的一般规律。 （二）探索新知，讲授新课 1．分类数的名称 1，2，3，4……叫做正整数； －1，－2，－3，－4……叫做负整数。 0叫做零。 218，32+，2.5+（即515+）……叫做正分数； 214 -，76，5.3-（即313-）……叫做负分数； 正整数、负整数和零统称为整数。 正分数和负分数统称为分数。 整数和分数统称有理数。即
认识有理数 一、学习目标 1.认识正数和负数； 2.有理数的定义； 3.有理数的分类。 二、知识点讲解 1、认识正数和负数 ①正数：像3，3.5这种大于0的数叫做正数； ②负数：像-3，-4.5这样在正数前加上“-”号的叫做负数； ③符号：一个数前面的“+”、“-”号叫做它的符号。 知识点解读 一般，我们会把上升、运送、零上、收入、前进、高出等规定为正；而它的相反意义的量，如：下降、运出、零下、支出、后退、低于等规定为负。
2、负数和正数 ①负数：比0小的数。 负数是数学术语，比0小的数叫做负数，负数与正数表示意义相反的量。负数用负号（即相当于减号）“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。 ②正数：比0大的数。 正数是数学术语，比0大的数叫正数，0本身不算正数。正数与负数表示意义相反的量。正数前面常有一个符号“+”，通常可以省略不写，负数用负号（即相当于减号）“－”和一个正数标记，如−2，代表的就是2的相反数。 ③0既不是正数，也不是负数。 注意事项 ①字母a可以表示任意数，当a表示正数时，-a是负数；当a表示负数时，-a 是正数；当a表示0时，-a仍是0。 ②正数有时也可以在前面加“+”，有时“+”省略不写。所以省略“+”的正数的符号是正号。 典型例题、认识正数和负数
五个数中，负数共有（）个。 1.题干：在-5、- 2.3、0、0.89、1 -4 3 A、2个 B、3个 C、4个 D、5个 个人分析：负数的定义是_______。 答案：B、 解析：根据负数定义，正数前带有“-”号的是负数，符合条件的有3个，故选B 错因分析：______ A.没有理解清楚定义 B.看错条件了 C.题目没读懂 总结：本题主要考察正数和负数的相关概念，需要分清他们的定义。 2.题干：-5属于（）。（填正数或者负数） 个人分析：负数的定义是_______； 正数的定义是______。 答案：负数 解析：根据负数定义，正数前带有“-”号的是负数，故为负数。 错因分析：______ A.没有理解清楚定义 B.看错条件了 C.题目没读懂 3.题干：-8是正数。（）（填“√”或者“×”） 个人分析：负数的定义是_______； 正数的定义是______。 答案：×
第二讲认识有理数 【课程解读】 ————初中课程解读———— 【知识衔接】 ————初中知识与典例链接———— 一、正数和负数 1．负数的概念：若把小学学过的数(0除外)叫做正数，则把在正数前面加上“－”号的数叫做负数．“－”号读作“负”．如“－5”读作“负五”． 2．0的意义：0既不是正数，也不是负数． 注：在小学里，0通常表示没有．当引入负数后，不能说0表示没有了． 正整数、负整数、零统称为整数． 正分数、负分数统称为分数． 零是整数，也是偶数，非负数就是零和正数． 【典例分析】 例1．用正负数表示下列各题中具有相反意义的量． （1）如果用+15元表示收入15元，那么用去12元记作什么？ （2）食堂购进100千克面粉记作+100千克，那么－20千克表示什么？ 【答案】（1）﹣12 （2）用去20千克面粉 【解析】用正负数表示两种具有相反意义的量．具有相反意义的量都是互相依存的两个量，它包含两个要素，一是它们的意义相反，二是它们都是数量
【变式】 （1）如果－10t 表示运出10t ，那么+30t 表示 ； （2）负债100元也可以说成是拥有 元； （3）如果规定向东方向为正，那么－200米表示什么意义？ －（－200）米表示什么意义？ 【答案】（1）运进30t （2）﹣100 （3）向西200米；向东200米 例2．下列各数中,哪些是正数? 哪些是负数?（正负数的判断） +7；-9；-4.5；0； 7 22 ；-3.14；998；-999 【答案】正数：+7； 7 22 ；998； 负数：-9；-4.5；-3.14；-999 【解析】所有大于零的数都是正数，所有小于零的数都是负数 思路点拨：对于正数和负数的意义，不能简单地理解为带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数．而应该理解为“所有大于零的数都是正数，所有小于零的数都是负数”． 二、有理数 1、有理数的概念：整数和分数统称为有理数． 把能够写成分数形式m n （m ，n 为整数，m≠0）的数叫做有理数 2、无理数的概念：无限不循环小数叫做无理数． 小结：分数、有限小数、循环小数都是有理数。 三、归纳总结 （1）无理数是无限不循环小数，有理数是整数或有限小数或无限循环小数． （2）任何一个有理数都可以化为分数的形式，而无理数则不能． 有理数的分类：
有理数的核心概念解读 作者：章友良 来源：《初中生世界·七年级》2013年第10期 数及其运算是中小学数学课程的核心内容.在小学里同学们已经学会了自然数、正分数及其运算.本章是在小学内容的基础上，借助对具有相反意义的量的讨论，引入负数、有理数、无理数、数轴、相反数、绝对值等一系列概念.本章的知识和思想方法是后续学习的重要基础，为使同学们真正理解和掌握有理数的基础知识，培养运算能力，增强数感和符号意识，有必要对有理数这一章的核心概念作进一步解读. 一、正数与负数 1.对正数和负数的认识 生活中经常遇到零上与零下、向左与向右、前进与后退、上升与下降、收入与支出等许多具有相反意义的量，为了在数学上正确表示这些相反意义的量，我们引入正数和负数. 引入负数是实际的需要，也是数学内部知识发展的需要.同学们可以从学习过程中体会根据实际和数学发展需要引入新数的好处. 用正数和负数表示现实生活中具有相反意义的量，体现了数学运用的广泛性，更重要的是引入负数可以使小学讨论的问题大大简化，例如我们把“少5个”理解成“多-5个”，就可以将小学讨论盈亏问题时“盈盈”“盈亏”“亏亏”3种情况统一成一种情况. 2.对正数和负数概念的理解 正数：像+1.6、+20、+130、+80%等带“+”号的数叫做正数，正数加上“+”号表示强调，也可以省略不写. 负数：像-12、-326、-60、-0.8、-68%等带有“-”号的数叫做负数.而负数的“-”号不能省略. 零既不是正数也不是负数，它是正数与负数的分界点. 对于正数与负数，不能简单地理解为：带“+”号的数是正数，带“-”号的数是负数.例如-a不一定是负数，因为字母a代表任何一个有理数.当a是正数时，-a是负数；当a是0时，-a是0；当a是负数时，-a是正数.正数与负数能表示相反意义的量，习惯上把增加、盈利等规定为正，它们相反意义的量规定为负，正、负是相对而言的. 二、有理数和无理数
认识有理数 一、教学目标。 1、理解负数的必要性，判断正负数，并能运用正负数表示实际生活中的量。 2、了解有理数分类，有理数分类的作用。 3、掌握数轴概念及画法。 4、运用数轴表示有理数，并比较有理数大小。 二、教学重难点 1、重点：有理数分类，数轴表示有理数。 ) 2、难点：有理数分类方法。 三、教学过程 （一）正负数 1、正数：像3，1 2 1 ，125，﹢1.2等比0大的数叫正数，“﹢”号可省略 2、负数：像﹣3，﹣1 2 1 ，﹣125等在正数前面加上“﹣”号的数叫负数 注意：0既不是正数，也不是负数，是正数和负数的分界 3、用正数、负数表示具有相反意义的量时，应注意两点： ①必须是同类量； … ②表示的意义要完全相反。 若先规定了哪个量为正，则另外一个量就为负
4、在现实生活中有具有相反意义的量，一般情况下，正、负规定如下： 例１ (1)在知识竞赛中,如果+10分表示加10分,那么扣20分怎样表示? (2)某人转动转盘,如果用+5表示沿逆时针方向转了5圈,那么沿顺时针方向 转了12圈怎样表示? $ (3)在某次乒乓球质量检测中,一只乒乓球超出标准质量0.02克记作+0.02, 那么－0.03克表示什么? 练1（1）规定盈利为正，某公司去年亏损了2.5万元，记做_______万元，今年盈利了3.2万元，记做_________万元； （2）规定海平面以上的海拔高度为正，新疆乌鲁木齐市高于海平面918米，记做海拔________米，吐鲁番盆地最低点低于海平面155米，记做海拔_______米。 （3）汽车在一条南北走向的高速公路上行驶，规定向北行驶的路程为正，汽车向北行驶75km，记做_______km（或______km）汽车向南行驶100km，记做_____km. （4）如果向银行存入50元记为50元，那么－30.50元表示_________ （5）规定增加的百分比为正，增加25％记做________,-12%表示
1.有理数的认识 知识回顾 1、正数和负数的有关概念 （1）正数：比0大的数叫做正数； 负数：比0小的数叫做负数； 0既不是正数，也不是负数。 （2）正数和负数表示相反意义的量。 2、有理数的概念及分类 有理数是整数和分数的统称。通常有两种分类： 0⎧⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 正整数整数负整数有理数正分数分数负分数 0⎧⎧⎨⎪ ⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数 正数正分数有理数负整数负数负分数 小试牛刀 【例题1】下面说法中，错误的是（ ） A ．有理数是正数和负数的总称 B ．有理数是整数和分数的总称 C ．有理数是非负数和负数的总称 D ．有理数是非正数和正数的总称 【例题2】判断对错 1．无限循环小数不是有理数 ( ) 2．凡小数都是有理数 ( ) 3．凡是有理数，都可以写成分数的形式 ( ) 4．如果a 是有理数，那么a 不是整数，就是分数 ( ) 5．正数都带“+”号 ( ) 6．小学数学中学过的数都是正有理数 ( ) 7．“-2”既可以看成“负2”，也可以看成“减2”，还可以看成“-1乘以2” ( ) 【例题3】.多选题．下面说法中，正确的是（ ） A ．在有理数中，零的意义仅表示没有； B ．0不是正数，也不是负数，但是有理数； C ．0是最小的整数； D ．0是偶数．
【例题4】把下列各数分别填在相应的表示集合的圈里． 分析：自然数包括正整数和0，非正数的集合包含负数和零．应注意有限小数和无限循环小数都可以写成分数的形式，都是有理数． 变式训练 1.把下列各数分别填在相应的大括号内： (1)正数集合：｛｝；(2)负数集合：｛｝； (3)非负数集合：｛｝；(4)奇数集合：｛｝； 3. 有关数轴 （1）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。数轴是一条直线。 （2）所有有理数都可以用数轴上的点来表示，但数轴上的点不一定都是有理数。 （3）数轴上，右边的数总比左边的数大；表示正数的点在原点的右侧，表示负数的点在原点的左侧。 4. 绝对值与相反数 （1）绝对值：在数轴上表示数a的点与原点的距离，叫做a的绝对值，记作：a。 一个正数的绝对值等于本身，一个负数的绝对值等于它的相反数，0的绝对值是0.
1.1有理数 一、正数和负数 1.负数的由来 为了能简明表示一些具有相反意义的量，引入了负数。 2.正数和负数 正数就是我们小学学过的除零以外的所有数，即大于零的数叫做正数。根据需要有时候在正 数前面加上“+”（正）号。例如+1，+0.5，23+ ，……就是1,0，23，……。在正数前面加 上负号“—”的数叫做负数，例如 —1,—0.5,2 3- ,……。一个数前面的“+”“—”号叫做它的符号，其中“+”号有时可以省略， 而“—”号是绝对不能省略的。 例1： 对于“0”的说法正确的有（ ） ○10是正数与负数的分界点；○20度是一个确定的温度；○30为正数；○40是自然数；○5不存在既不是正数也不是负数的数 例2： 七年级一班第一小组五名同学某次数学测验的平均成绩为85分，一名同学以平均成绩为标准，超过平均成绩记为正，将五名同学的成绩分别记作-15分，-4分，0分，4分，15分。这五名同学的实际成绩分别是多少分？ 例3：观察下面依次排列的一列数，请接着写出后面的3个数，你能说出第15个数，第101个数，第2010个数是什么吗？ ()112345678--+--+--， ，，，，，，，———，———，…… ()111121, ,3,,5,,7,,2468----———，———，…… 二、有理数 1.整数、分数、有理数 例4： 下列四个结论中，错误的是（ ） A 存在最小的自然数 B 存在最小的正有理数 C 不存在最大的正有理数 D 不存在最大的负有理数 例5：
把 ..171 665,0,37,210,0.0313123----，，。，，， 43,5%--进行分组 正数集： 正整数集： 非负数集： 负分数集： 2.数轴 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 数轴上的点与有理数的关系：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。 例6： A 为数轴上表示-1的点，将A 点沿数轴向左移动2个单位长度到达 B 点，则B 点所表示的数为（ ） 例7： 某人从A 地出发向东走10米，然后折回向西走3米，又折回向东走6米，问：此人此时在A 地哪个方向，距离A 地多远？ 3.相反数 （1）相反数的几何定义：在数轴上分别位于原点的两侧，到原点的距离相等的两个点所表示的数叫做互为相反数。 （2）相反数的代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。 （3）相反数的表示方法以及多重符号的化简 数a 的相反数是-a ，这里的数a 是任意有理数，即a 可以是正数、负数或0。 多重符号的化简方法：若一个正数前面有偶数个“-”号，则可以把“-”号一起去掉；若一个正数前面有奇数个“-”号，则化简符号后只剩一个“-”号，0前面不论有多少个“-”号，化简后仍是0。 例8： 化简下列各数的符号： ()()()()()11;2 3.5;312⎛⎫ -- -++- ⎪⎝⎭ ()()()(){} 47;55-+----+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ 4.绝对值 绝对值的几何定义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作 a ，读作“a 的绝对值”。数的绝对值是两点间的距离，所以绝对值不可能为负数。 绝对值的代数定义：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）一个负数的绝对值是它的相反数；