有理数的定义和性质
在数学中，有理数是指能用两个整数之间的比值来表达的数。
有理数的定义是一个比较基础的概念，但对于理解整个数学体系
具有重要意义。
在整数的基础上，有理数的产生体现了人们在实践中对于数学
的发展，也是人们在探索具有理性的世界的一项重要成果。那么
究竟什么是有理数呢？一起来深入探讨一下有理数的定义和性质。
有理数的定义
有理数是由整数组成的分数，分母不为0。可以表示为p/q的
形式，其中p，q为整数，q≠0，简称有理数。
举个例子：-1，3/5，100/7，1/2等都是有理数。
若有理数q=p/q，其中p与q都为整数，那么它还可以表示为
其他形式的分数。即若q≠±1，那么可以约分至最简分数，使分母
q的正负与数本身的符号一致。例如，3/6和1/2其实是一个数。
有理数的性质
1. 唯一分解定理
唯一分解定理表明，每个正整数都可以唯一地表示为若干个质
数的乘积，而且可以按质数从小到大的顺序来进行表示。同样的，每个整数也可以写成一些互不相同质数的积，而且这些质数及其
指数是唯一的。
唯一分解定理同样适用于所有整系数和有理数，不管这些数正
负如何以及它们是不是整数。
2. 加减法性质
对于任意的有理数a、b和c，都有：
a+b=b+a （加法交换律）
a+(b+c)=(a+b)+c （加法结合律）
a+0=0+a=a （零元素）
a+(-a)=0 （负元素）
a-b=a+(-b) （减法变成加法）
3. 乘除法性质
对于任意的有理数a、b和c，都有：a×b=b×a （乘法交换律）
a×(b×c)=(a×b)×c （乘法结合律）
a×1=1×a=a （乘法单位元）
a×0=0×a=0 （零元素）
a×-a=(-a)×a=-(a×a) （负元素）
若a≠0，则a/a=1，1/a是a的倒数，即1/a×a=1
4. 分数的加减乘除法
有理数的加减乘除法可以归结为有理数加减乘除分数的运算。对于任意的有理数a、b、c、d，如果b≠0且d≠0，则有：
a/b+c/d=(ad+bc)/bd （有理数加法法则）
a/b-c/d=(ad-bc)/bd （有理数减法法则）
(a/b)×(c/d)=(ac)/(bd) （有理数乘法法则）
(a/b)/(c/d)=(ad)/(bc) （有理数除法法则）
总结
有理数是数学中非常基础的一个概念，它是整数发展而来的历程。有理数的定义和性质它们在数学的运用中非常重要，对于理解更多的数学知识以及使用这些知识进行实际应用也有很大的帮助。无论是小学还是中学，有理数的定义和性质都是重要的基础数学知识，也是其他数学知识的基础。因此，我们需要在学习中注重掌握有理数的定义和性质，并且要熟练地掌握它们的相关运算规则。这样才能够更好地掌握数学知识，学好数学，为以后更加深入的学习打下基础。
有理数知识点总结 有理数的定义 包含有理数分类的原则和方法，相反数、数轴、绝对值的概念和特点。 1.有理数的分类：有理数包括整数和分数，整数又包括正整数，0和负整数，分数包括正分数和负分数。“分类”的原则：(1)相称(不重、不漏);(2)有标准 2.非负数：正数与零的统称。 3.相反数：(1)定义:如果两个数的和为0.那么这两个数互为相反数. (2)求相反数的公式: a的相反数为-a. (3)性质：①a≠0时，a≠-a;②a与-a在数轴上的位置关于原点对称;③两个相反数的和为0,商为-1。 4.数轴： (1)定义(“三要素”):具有原点、正方向、单位长度的直线叫数轴。 作用：①直观地比较实数的大小;②明确体现绝对值意义;③所有的有理数可以在数轴上表示出来，所有的无理数如都可以在数轴上表示出来，故数轴上的点有的表示有理数，有的表示无理数，数轴上的点与实数是一一对应关系。 5.绝对值：(1)代数定义：正数的绝对值是它的本身，0的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数。 (2)几何定义：数a的绝对值顶的几何意义是实数a在数轴上所对应的点到原点的距离。 ①符号"││”是“非负数”的标志; ②数a的绝对值只有一个; ③处理任何类型的题目，只要其中有"││”出现，其关键一步是去掉"││”符号。 有理数的乘方 1.乘方的意义 求n个相同因数的积的运算，叫乘方,其中,n为自然数，乘方的结果叫幂. 一般地,a·a·...·a(n个a)记作an,其中a叫底数,n叫指数,读作a的n次方或a的n次罪。指数为1时,可省略不写，底数是分数或负数的应添括号. 应用乘方的定义时，要注意分清底数、指数，如(-3)2与-32中,前者底数是-3,后者底数为3;前者指数对负数起作用，后者指数“管不住”负号，这两个幂不相等,是互为相反数. 注意(1)任何数的偶次幂都是非负数. (2)-1的偶次幂得1,-1的奇次幂为-1. (3)1的任何欢幂都得1,0的任何次幂都为0. 2.科学记数法
有理数的定义和性质 在数学中，有理数是指能用两个整数之间的比值来表达的数。 有理数的定义是一个比较基础的概念，但对于理解整个数学体系 具有重要意义。 在整数的基础上，有理数的产生体现了人们在实践中对于数学 的发展，也是人们在探索具有理性的世界的一项重要成果。那么 究竟什么是有理数呢？一起来深入探讨一下有理数的定义和性质。 有理数的定义 有理数是由整数组成的分数，分母不为0。可以表示为p/q的 形式，其中p，q为整数，q≠0，简称有理数。 举个例子：-1，3/5，100/7，1/2等都是有理数。 若有理数q=p/q，其中p与q都为整数，那么它还可以表示为 其他形式的分数。即若q≠±1，那么可以约分至最简分数，使分母 q的正负与数本身的符号一致。例如，3/6和1/2其实是一个数。
有理数的性质 1. 唯一分解定理 唯一分解定理表明，每个正整数都可以唯一地表示为若干个质 数的乘积，而且可以按质数从小到大的顺序来进行表示。同样的，每个整数也可以写成一些互不相同质数的积，而且这些质数及其 指数是唯一的。 唯一分解定理同样适用于所有整系数和有理数，不管这些数正 负如何以及它们是不是整数。 2. 加减法性质 对于任意的有理数a、b和c，都有： a+b=b+a （加法交换律） a+(b+c)=(a+b)+c （加法结合律）
a+0=0+a=a （零元素） a+(-a)=0 （负元素） a-b=a+(-b) （减法变成加法） 3. 乘除法性质 对于任意的有理数a、b和c，都有：a×b=b×a （乘法交换律） a×(b×c)=(a×b)×c （乘法结合律） a×1=1×a=a （乘法单位元） a×0=0×a=0 （零元素） a×-a=(-a)×a=-(a×a) （负元素）
有理数知识点整理 有理数知识点整理 数学是一门基础学科，其中有理数是非常重要的基础知识之一。本文将为大家梳理有理数的定义、性质和相关知识点，帮助大家更好地理解和掌握这一内容。 一、有理数的定义 有理数是指可以表示为两个整数之比的数，其中分母不为零。具体地，有理数可以写成分数形式，如$\frac{m}{n}$（其中m为分子，n为分母），且n不为零。整数也是有理数的一种，当分母为1时，分数可以简化为整数。 二、有理数的性质 1、有理数是封闭的，即所有的有理数都可以表示为分数形式，并且不存在无限循环的有理数。 2、有理数是有限的，即有理数可以用有限的数字和符号来表示，这一点在计算机科学中具有重要意义。 3、有理数具有加法和乘法的交换律和结合律，即对于任何有理数a 和b，有：（1）a+b=b+a；（2）a×b=b×a；（3）（a+b）+c=a+（b+c）；（4）（a×b）×c=a×（b×c）。
4、有理数具有乘法分配律，即对于任何两个有理数a和b，以及任意整数c，有：（1）（a+b）×c=ac+bc；（2）a×（b+c）=ab+ac。 三、相关知识点 1、有理数的加减法：有理数的加减法遵循交换律和结合律，即对于任何有理数a和b，有：（1）a+b=b+a；（2）a-b=-（b-a）。 2、有理数的乘除法：有理数的乘除法遵循交换律和结合律，即对于任何两个有理数a和b，有：（1）a×b=b×a；（2）（a×b）×c=a×（b×c）。同时，对于任何有理数a和b（其中b不为零），有：（1）a÷b=a×（1/b）；（2）a÷(1/b)=ab。 3、有理数的化简：通过约分和通分，可以将有理数化简为最简形式，即分子和分母没有公共因数。同时，对于任何有理数a和b（其中b 不为零），有：（1）a/b=(-a)/(-b)；（2）a/(b/c)=ac/b；（3）1/a=1×(1/a)；（4）(-1)/a=(-1)×(1/a)。 通过以上整理的有理数知识点，我们可以更好地理解和掌握有理数的定义、性质和相关知识点。这些知识在数学学习和实际应用中都具有重要意义。希望大家能够认真学习和掌握这些内容，为后续的学习和工作打下坚实的基础。
有理数知识点总结 有理数知识点总结 有理数是数学中的一个重要概念，是整数和分数的统称。它们常常出现在我们日常生活和学习中的各种问题中。理解和掌握有理数的相关知识点，对于提高我们的数学水平和解决实际问题至关重要。本文将对有理数的基本概念、性质、四则运算、化简以及应用等方面的知识进行总结和讨论。 一、有理数的基本概念 1. 整数和分数：整数包括正整数、零和负整数；分数由分子 和分母组成，分子表示几份，分母表示一份被分成几等份。 2. 有理数的定义：有理数指可以表示为两个整数的比值形式 的数，分数和整数都是有理数。 3. 有理数的分类：有理数可分为正有理数、零和负有理数。 二、有理数的性质 1. 有理数的比较性质：对于任意两个有理数a和b，存在以 下关系：a=b，a>b或者a
则进行计算。 2. 有理数的减法：a-b的差可以表示为a和-b的和，可以化 为加法问题进行计算。 3. 有理数的乘法：a×b的积可以根据同号得正、异号得负的 原则进行计算。 4. 有理数的除法：a÷b的商可以表示为a和b的倒数的乘积，除法问题可以转化为乘法问题进行计算。 四、有理数的化简 1. 有理数的约分：对于分数的分母和分子，如果它们有公约数，则可以约分。 2. 有理数的换算：将分数和整数进行相互转换，可以将分数 化为整数或将整数化为分数。 3. 有理数的化简：对于复杂的有理数表达式，可以进行括号 展开、合并同类项、提取公因数等化简操作。 五、有理数的应用 1. 有理数在日常生活中的应用：有理数的概念和运算可应用 于数学建模和实际问题求解中，如物品销售、温度计算、比赛得分等。 2. 有理数在几何中的应用：有理数可用于描述直线的斜率、 点的坐标以及图形的面积等几何概念。 3. 有理数在经济学中的应用：有理数可以帮助我们计算损益、预估收益率和计算经济指标等。 4. 有理数在科学中的应用：有理数的运算可以应用于物理学、化学、生物学等科学领域中的计算和研究。 通过对有理数的基本概念、性质、四则运算、化简以及应用的总结和讨论，我们可以更好地理解和掌握有理数的相关知识点。在实际问题求解中，运用有理数知识可以帮助我们清晰
有理数知识点总结 0的数叫做正数。 1. 0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，一、正数和负数自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） 2.意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 有理数：整数和分数统称有理数。 概念整数：正整数、0、负整数统称为整数。 分数：正分数、负分数统称分数。 （有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非 负整数，负整数和零统称为非正整数。 ⑵按整数、分数分类： 正有理数正整数正整数 正分数整数0 零有理数负整数 负有理数负整数分数正分数 负分数负分数 1.概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 2.对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 三、数轴 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 3.应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号） 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。
1.概念（0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 2.性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 四、相反数 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 3.多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数， 当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号 1.概念：乘积为1的两个数互为倒数。 （倒数是它本身的数是±1；0没有倒数） 五、倒数 2.性质若a与b互为倒数，则a·b=1；反之，若a·b=1，则a与b互为倒数。 若a与b互为负倒数，则a·b=-1；反之，若a·b= -1则a与b互为负倒数。 a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身（若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0 a = 0，|a|=0 |a|＝﹣a，则a≦0 a＜0，|a|=‐a 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 |a|≥0。几个非负数之和等 于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 七、比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 1.加法法则⑴同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。
有理数的意义与性质要点梳理【要点梳理】 像+3、+1.5、 1 2 +、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、 1 2 -、－584等 在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点诠释： （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线 要点二、有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类： 要点诠释： （1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数. （2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π． （3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数． 【典型例题】 类型一、正数与负数 1．若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（）． A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km 【答案】D 【解析】“正”和“负”相对，－7km表示向北走7km，则＋10km表示向南走10 km，所以答案D 【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数.反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同．
【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（） A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克 【答案】D． 解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克． 【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ . (2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？ 【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示. 【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．A．－20m B．－40m C．20m D．40m 【答案】B 2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0 （1）这8名男生有百分之几达到标准？ （2）他们共做了多少引体向上？ 【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标， 而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：5 100%62.5% 8 ⨯=； 答：这8名男生有62.5%达到标准. （2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）答：他们共做了引体向上56个. 【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么. 类型二、有理数的分类 3．下面说法中正确的是( )． A．非负数一定是正数． B．有最小的正整数，有最小的正有理数． C． a -一定是负数． D ．正整数和正分数统称正有理数． 【答案】D 【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数； (C)不对，当a为负数或0时，则a -为正数或0，而不是负数；(D)对 【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.
有理数的基本概念与性质解析有理数是数学中一个重要的数集，包括整数和分数。在实际生活中，有理数被广泛应用于计量、比较、运算等方面。本文将从基本概念和 性质两方面来解析有理数。 一、基本概念解析 1. 整数的概念 整数由正整数、零和负整数组成。整数可以表示物体的数量，例如 表示负数时，可以用来表示债务、亏损等情形。整数可以用于计算温度、海拔等与零点相关的概念。 2. 分数的概念 分数由分子和分母组成，分子表示所取的份数，分母表示总份数。 分数可以用来表示部分，例如一天的一半可以表示为1/2。分数可以用 于计算比例、平均值等。 3. 有理数的概念 有理数包括整数和分数。有理数可以用于表示各种实际情况，包括 正数、负数和零。有理数可以进行四则运算，满足加法封闭性、乘法 封闭性等性质。 二、性质解析 1. 有理数的相反数
对于任意的有理数a，存在一个唯一的有理数-b，使得a +（-b）= 0。这里-b被称为a的相反数，相反数具有相反的符号，但绝对值相等。 2. 有理数的绝对值 对于任意的有理数a，它的绝对值记作|a|，表示a与0之间的距离。若a > 0，则|a| = a；若a < 0，则|a| = -a；若a = 0，则|a| = 0。 3. 有理数的大小比较 对于任意的有理数a和b，有以下性质： (1) a > b 当且仅当 a - b > 0； (2) a < b 当且仅当 b - a > 0； (3) a = b 当且仅当 a - b = 0。 4. 有理数的加法性质 对于任意的有理数a、b和c，有以下性质： (1) 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)； (2) 交换律：a + b = b + a； (3) 零元素：a + 0 = 0 + a = a； (4) 相反数：a + (-a) = (-a) + a = 0。 5. 有理数的乘法性质 对于任意的有理数a、b和c，有以下性质：
有理数的概念与性质 有理数是整数和分数的统称，包括正整数、负整数、零以及可以用两个整数的比来表示的分数。有理数的概念相当广泛，它们具有很多独特的性质和特点。 一、有理数的定义 有理数是可以表示成两个整数之间的比的数。有理数包括正有理数（如正整数和正分数）、负有理数（如负整数和负分数），以及零。 二、有理数的性质 1. 加法性质 有理数的加法满足交换律、结合律和存在零元素的性质。即对于任意有理数a、b和c，满足以下性质： - 交换律：a + b = b + a - 结合律：(a + b) + c = a + (b + c) - 零元素：a + 0 = a 2. 减法性质 有理数的减法可以转化为加法运算。即对于任意有理数a、b和c，满足以下性质： - 减法的定义：a - b = a + (-b) 3. 乘法性质
有理数的乘法满足交换律、结合律和存在单位元素的性质。即对于任意有理数a、b和c，满足以下性质： - 交换律：a * b = b * a - 结合律：(a * b) * c = a * (b * c) - 单位元素：a * 1 = a 4. 除法性质 有理数的除法可以转化为乘法运算。即对于任意非零有理数a、b 和c，满足以下性质： - 除法的定义：a / b = a * (1/b) 5. 分配律 有理数的乘法对加法满足分配律。即对于任意有理数a、b和c，满足以下性质： - 左分配律：a * (b + c) = a * b + a * c - 右分配律：(a + b) * c = a * c + b * c 三、有理数的排序 有理数可以根据大小进行排序，可以用大小关系符号进行表示。即对于任意两个有理数a和b，可以判断它们的大小关系：- a < b：表示a比b小
有理数的概念及运算法则 一、有理数的分类 有理数可以按照其意义或者正负性来进行分类。按照意义来分类，有以下七种类型：正整数、负整数、正分数、负分数、整数、有理数（不能忽视）、分数。按照正负性来分类，有以下四种类型：正数、负数、零、有理数（包括正数、负数和零）。 二、有理数基本概念 有理数可以用数轴上的点来表示。数轴是一条向两端无限延伸的直线，其中包括原点、正方向和单位长度。同一数轴上的单位长度要统一。所有的有理数都可以用数轴上的点表示出来，但数轴上的点不都表示有理数，也就是说，有理数与数轴上的点不是一一对应关系。 相反数是指只有符号不同的两个数，其中一个数的相反数是另一个数，且只有一个数的相反数。互为相反数的两个数的和为零，即a和-b互为相反数，则a+（-b）=0.在数轴上，一 个数的相反数可以通过在其前面添上负号“-”来求得。
绝对值是一个数的非负值。一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0.数轴上表示一个数a的点与原点的距离叫做a的绝对值，记作|a|。一个数的绝对值是非负数，绝对值最小的数是0.互为相反数的两个数的绝对值相等。若几个数的绝对值的和等于0，则这几个数都为0.绝对值的化简可以根据数的正负性来进行，当a≥0时，|a|=a，当a≤0时，|a|=-a。对于没有倒数的数，其倒数不存在；对于假分数或真分数，其倒数可以通过将分子和分母颠倒来求得。 倒数等于它本身的数只有1或-1，其他数均不包括。 互为相反数的有理数是只有符号不同的两个数，其中一个是另一个的相反数。一个数的相反数是它的相反数。 在比较大小时，需要注意以下几点：⑴相反数是成对出现的；⑵相反数只有符号不同，若一个为正，则另一个为负；⑶0的相反数是它本身；只有1和-1的相反数是它本身。 有理数的三种运算法则：
有理数的性质和运算法则 有理数是数学中的一类数，它们可以表示为两个整数的比值。有理数包括整数、分数以及它们的正、负形式。在数学中，有理数具有一些独特的性质和运算法则。 一、有理数的性质 1. 有理数有正、负之分：有理数可以分为正数和负数。正数是大于零的数，用正号(+)表示；负数是小于零的数，用负号(-)表示。 2. 有理数有大小之分：有理数可以比较大小。对于两个不相等的有理数，可以通过它们的绝对值的大小来比较它们的大小。例如，对于有理数a和b，如果|a| > |b|，则a > b。 3. 有理数有唯一表示：每个有理数都可以有唯一的表示形式。对于非零有理数，可以使用最简分数形式表示。最简分数是分子和分母没有公因数的分数形式。 4. 有理数可以转化为小数：每个有理数都可以转化为有限小数或循环小数。有限小数是小数点后有限位数的小数，例如1/2=0.5。循环小数是小数点后有无限循环数字的小数，例如1/3=0.3333...。 二、有理数的运算法则 1. 加法法则：有理数的加法遵循交换律和结合律。对于有理数a、b 和c，有(a+b)+c=a+(b+c)和a+b=b+a。
2. 减法法则：有理数的减法可以转化为加法。对于有理数a和b， a-b=a+(-b)。 3. 乘法法则：有理数的乘法也遵循交换律和结合律。对于有理数a、b和c，有(a*b)*c=a*(b*c)和a*b=b*a。 4. 除法法则：有理数的除法可以转化为乘法。对于有理数a和b， a/b=a*(1/b)。 5. 分配法则：有理数的乘法和加法满足分配律。对于有理数a、b 和c，有a*(b+c)=a*b+a*c。 6. 幂法则：有理数的乘方运算规则。对于有理数a和自然数n，a^n 表示a连乘n次。例如2^3=2*2*2=8。 7. 开方法则：有理数的开方运算。对于非负有理数a和自然数n， a^(1/n)表示满足x^n=a的非负有理数x。 三、有理数的应用 有理数在生活和实际问题中有广泛的应用。例如，有理数可以用来 计算温度的增减、货币的收支、分数的操作等。 在几何学中，有理数可以用来表示线段的长度、角度的度数等。 在代数学中，有理数的运算法则是解方程、方程组以及不等式的基础。 在经济学中，有理数可用来表示价格、利润等经济指标。
有理数的基本性质 【知识点梳理】 板块一：正数与负数 正数：像3、1、+0.33等的数，叫做正数。在小学学过的数，除0外都是正数。正数都大于0。 负数：像－1、－3.12、5 17 - 、－2012等在正数前加上“－”（读作负）号的数，叫做负数。负数都小于0。 0既不是正数，也不是负数。 如果正数表示某种意义，那么负数表示它的相反的意义。 如：南为正方向，向南1km 表示为+1km ，那么向北3km 表示为－3km 。 【例1】 (1) 下列各组量中，具有相反意义的量是（ ） A ．节约汽油10升和浪费粮食 B ．向东走8公里和向北走8公里 C ．收入300元和支出100元 D ．身高1.8米和身高0.9米 (2) 如果零上5°C 记作+5°C ，那么零下5°C 记作（ ） A ．－5 B ．－10 C ．－5°C D ．－10°C (3) 一种零件的长度在图纸上是（05 .005.0-20+）米，表示这种零件加工要求最大不超过________，最小不小于________。 【例2】 (1) 甲乙两地的海拔高度分别为200米，－150米，那么甲地比乙地高出（ ） A ．200米 B ．50米 C ．300米 D ．350米 (2) 如果水位升高4m 时水位变化记为+4m ，那么水位下降3m 记作________，水位不升不降时水位变化记为 ________m 。 板块二：有理数的分类 有理数：整数与分数统称为有理数。 无理数：无限不循环小数，如π。 有理数的分类： ⎪⎪⎪⎪⎩ ⎪ ⎪⎪⎪⎨⎧⎪⎩⎪⎨ ⎧⎪⎪⎩ ⎪⎪⎨⎧ ⎪⎭⎪ ⎬⎫分数 负数分正数分数整负数然自零数整正数整）类分义定按数（理有
学习好资料 欢迎下载 有理数 考点 1、正数和负数 正数：大于零的数 负数：小于零的数（在正数前面加上负号“—”的数） 注意：① 0 既不是正数也不是负数，它是正负数的分界点 ②对于正数和负数，不能简单理解为带“ +”号的数是正数，带“—”号的数是负数考点 2、有理数 1、有理数的分类 正整数 正整数 整数 0 正有理数 正分数 按定义分： 有理数 负整数 按性质符号分：有理数 0 分数 正分数 负整数 负分数 负有理数 负分数 注意： 1、有理数只包括正数和分数，无限不循环小数不是有理数，如圆周率就不是有理数了。 2、 0 是整数不是分数 2、数轴（重点） 定义：规定了原点、正方向、单位长度的直线 数轴的含义： （ 1）数轴是一条直线，可以向两边无限延伸 （ 2）数轴的三要素：原点、正方向、单位长度、这三者缺一不可 （ 3）数轴一般取右（或向上）为正方向，数轴的原点的选定，正方向的取向，单位长度大小的确定都是根据实际需要规定的。 （ 4）同一数轴的单位长度必须一致 1、 相反数（重点） 定义：只有 符号不同 的两个数叫做 相反数 。（在数轴上分别位置原点的两侧，到原点的距离相等的两个点 ．．．． ．．． 所表示的数叫做互为相反数。 ） 相反数的表示方法及多重符号的化简： 当 a 0, 则－ a 0 （ 1） 当 a 0, 则 a 当 a 0, 则 a 0 4、绝对值（难点） 绝对值的定义： 数轴上表示 a 的点与原点的距离叫做 a 的绝对值，记为 ∣a ∣，读作： a 的绝对值 因为数的绝对值是表示两点之间的距离，所以一个数的绝对值不可能是负数。即：任何数的绝对值都是正 数（ 0 的绝对值是 0） 绝对值的代数定义： 1）一个正数的绝对值是它本身 2 ）一个负数的绝对值是它的相反数 3 ） 0 的绝对值是 0 绝对值的计算规律： （ 1） 互为相反数的两个数的绝对值相等 （ 2） 若 a b ，则 a=b 或 a=-b ；