有理数（rational number)：
无限不循环小数和开根开不尽的数叫无理数,比如π，3.141592653...
而有理数恰恰与它相反,整数和分数统称为有理数
包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。
这一定义在数的十进制和其他进位制（如二进制）下都适用。
数学上，有理数是一个整数a 和一个非零整数b 的比(ratio)，通常写作a/b，故又称作分数。希腊文称为λογος ，原意为“成比例的数”(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成“有道理的数”。不是有理数的实数遂称为无理数。
所有有理数的集合表示为Q，有理数的小数部分有限或为循环。
有理数分为整数和分数
整数又分为正整数、负整数和0
分数又分为正分数、负分数
正整数和0又被称为自然数
如3，-98.11，5.72727272……，7/22都是有理数。
有理数还可以划分为正整数、负整数、正分数、负分数和0。
全体有理数构成一个集合，即有理数集，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。
有理数集是实数集的子集。相关的内容见数系的扩张。
有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算（0作除数除外），而且对于这些运算，以下的运算律成立（a、b、c等都表示任意的有理数）：
①加法的交换律a+b=b+a；
②加法的结合律a+(b+c)=(a+b)+c；
③存在数0，使0+a=a+0=a；
④对任意有理数a，存在一个加法逆元，记作-a，使a+(-a)=(-a)+a=0；
⑤乘法的交换律ab=ba；
⑥乘法的结合律a(bc)=(ab)c；
⑦分配律a(b+c)=ab+ac；
⑧存在乘法的单位元1≠0，使得对任意有理数a，1a=a1=a；
⑨对于不为0的有理数a，存在乘法逆元1/a，使a(1/a)=(1/a)a=1。
⑩0a＝0 文字解释：一个数乘0还等于这个数。
此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系≤。
有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a≥0，b>0，必可找到一个自然数n，使nb>a。由此不难推知，不存在最大的有理数。
值得一提的是有理数的名称。“有理数”这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更“有道理”。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了“有理数”。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为ratio，就是比率的意思（这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同）。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的“比”。与之相对，“无理数”就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理。
有理数加减混合运算
1.理数加减统一成加法的意义：
对于加减混合运算中的减法，我们可以根据有理数减法法则将减法转化为加法，这样就可将混合运算统一为加法运算，统一后的式子是几个正数或负数的和的形式，我们把这样的式子叫做代数和。
2.有理数加减混合运算的方法和步骤：
（1）运用减法法则将有理数混合运算中的减法转化为加法。
（2）运用加法法则，加法交换律，加法结合律简便运算。
有理数范围内已有的绝对值，相反数等概念，在实数范围内有同样的意义。
一般情况下，有理数是这样分类的：
整数、分数；正数、负数和零；负有理数，非负有理数
整数和分数统称有理数,有理数可以用a/b的形式表达，其中a、b都是整数，且互质。我们日常经常使用有理数的。比如多少钱，多少斤等。
凡是不能用a/b形式表达的实数就是无理数，又叫无限不循环小数
有理数的概念及分类 有理数一词是从西方传来，在英语中是rational number，而rational通常的意义是“理性的”。有理数，在数学其实就是整数（正整数、0、负整数）和分数的统称。正整 数和正分数合称为正有理数，负整数和负分数合称为负有理数。因而有理数集的数可分为 正有理数、负有理数和零。 一、有理数的基本运算有： 1.加法运算 减去一个数，等于加上这个数的相反数（符号不同，符号相同的两个数互为相反数， 其中一个数叫做另一个数的相反数）。 2.乘法运算 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。 特别注意：零除以任一一个不等于零的数，都得零；零无法搞除数和分母；有理数的 乘法与乘法就是互逆运算。 在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相除。若 在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。若不能整除，则除法运算都转化为乘 法运算。 3.乘法运算 （1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。例如：（-2）的3次方= -8，（-2）的2次方=4。 （2）正数的任何次幂都就是正数，零的任何正数次幂都就是零。比如：2的2次方 =4,2的3次方=8,0的3次方=0。 （3）零的零次幂无意义。 （4）由于乘方就是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算顺 利完成。 （5）任何非0数的0次方都是1。 （6）一个数的负数次方=此数正数次方的倒数。例如：5的-2次方=1/25 二、有理数的运算定律有： 1.乘法运算律:
（1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a。 （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘或者先把后两个数相乘，和维持 不变， 即a+b+c=a+（b+c）。 2.加法运算律： （1）减法运算律：减去一个数，等于加上这个数的相反数。即：a-b=a+（-b）。 （2）加法结合律：三个数连减至，可以先将两个减至的数相乘，然后再减至，高维 持不变， 即：a-b-c=a-（b+c）。 （3）加法交换律：三个数连减至，可以对调两个减数的边线，高维持不变，即为： a-b-c=a-c-b 3.乘法运算律： （1）乘法交换律：两个数相加，互换因数的边线，内积维持不变，即ab=ba。 （2）乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数先乘，或者先把后两个相乘，积不变，即abc=a（bc）。 （3）乘法分配律：某个数与两个数的和相加等同于把这个数分别与这两个数相加， 再把内积相乘，即a（b+c）=ab+ac。 4.混合运算 有理数的加减乘除混合运算，例如并无括号表示先搞什么运算，按照“先秦九韶，后 以此类推”的顺序展开，如果就是同级运算，则按照从左到右的顺序依次排序，如果存有 括号则先排序括号内的。
《有理数》知识要点 一、有理数的概念 1、正数和负数：（1）、大于0的数叫做正数。（2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。（3）、数0既不是正数，也不是负数。 （4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示具有相反的量。 2、有理数：(1)凡能写成分数形式的数，都是有理数。整数和分数统称有理数. 注意：0既不是正数，也不是负数；-a不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。 不是有理数； (2)有理数的分类:①按定义分： 负分数负整数负有理数零 正分数正整数 正有理数有理数②按性质分： 负分数正分数 分数负整数零正整数 整数有理数 (3)自然数＜====＞0和正整数；a＞0 ＜====＞a是正数； a＜0 ＜====＞a是负数； a≥0＜====＞a是正数或0＜====＞a是非负数； a≤0＜====＞a是负数或0＜====＞a 是非正数. 3、数轴【重点】：（1）、规定原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。它满足以下要求：（1）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 （2）、画数轴的步骤：一画（画直线）；二取（取原点和正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。 注意：（1）所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。原点表示数0. （2）、正数在原点的右边，与原点的距离是|a|个单位长度；负数在原点的左边，与原点的距离是|a|个单位长度。 4、相反数：（1）、只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 注意：① a-b的相反数是b-a；a+b的相反数是-a-b；②相反数的商为-1；③相反数的绝对值相等。 （3）、a和-a互为相反数。0的相反数是0，正数的相反数是负数，负数的相反数是正数。相反数是它本身的数只有0。（4）、在任意一个数前面添上“-”号，表示原数的相反数。（5）、若两个数a、b互为相反数，就可以得到a+b=0；反过来若a+b=0，则a、b互为相反数。（6）、多重符号的相乘由“-”的个数来定：即“奇负偶正” 5、绝对值：（1）、绝对值的：一个数a 在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做这个数的绝对值。数a的绝对值记作|a|。（2）、正数的绝对值等于它本身；0的绝对值是0 ；负数的绝对值等于它的相反数； （3）、绝对值可表示为：
有理数的定义和性质 在数学中，有理数是指能用两个整数之间的比值来表达的数。 有理数的定义是一个比较基础的概念，但对于理解整个数学体系 具有重要意义。 在整数的基础上，有理数的产生体现了人们在实践中对于数学 的发展，也是人们在探索具有理性的世界的一项重要成果。那么 究竟什么是有理数呢？一起来深入探讨一下有理数的定义和性质。 有理数的定义 有理数是由整数组成的分数，分母不为0。可以表示为p/q的 形式，其中p，q为整数，q≠0，简称有理数。 举个例子：-1，3/5，100/7，1/2等都是有理数。 若有理数q=p/q，其中p与q都为整数，那么它还可以表示为 其他形式的分数。即若q≠±1，那么可以约分至最简分数，使分母 q的正负与数本身的符号一致。例如，3/6和1/2其实是一个数。
有理数的性质 1. 唯一分解定理 唯一分解定理表明，每个正整数都可以唯一地表示为若干个质 数的乘积，而且可以按质数从小到大的顺序来进行表示。同样的，每个整数也可以写成一些互不相同质数的积，而且这些质数及其 指数是唯一的。 唯一分解定理同样适用于所有整系数和有理数，不管这些数正 负如何以及它们是不是整数。 2. 加减法性质 对于任意的有理数a、b和c，都有： a+b=b+a （加法交换律） a+(b+c)=(a+b)+c （加法结合律）
a+0=0+a=a （零元素） a+(-a)=0 （负元素） a-b=a+(-b) （减法变成加法） 3. 乘除法性质 对于任意的有理数a、b和c，都有：a×b=b×a （乘法交换律） a×(b×c)=(a×b)×c （乘法结合律） a×1=1×a=a （乘法单位元） a×0=0×a=0 （零元素） a×-a=(-a)×a=-(a×a) （负元素）
有理数的基本概念与性质解析有理数是数学中一个重要的数集，包括整数和分数。在实际生活中，有理数被广泛应用于计量、比较、运算等方面。本文将从基本概念和 性质两方面来解析有理数。 一、基本概念解析 1. 整数的概念 整数由正整数、零和负整数组成。整数可以表示物体的数量，例如 表示负数时，可以用来表示债务、亏损等情形。整数可以用于计算温度、海拔等与零点相关的概念。 2. 分数的概念 分数由分子和分母组成，分子表示所取的份数，分母表示总份数。 分数可以用来表示部分，例如一天的一半可以表示为1/2。分数可以用 于计算比例、平均值等。 3. 有理数的概念 有理数包括整数和分数。有理数可以用于表示各种实际情况，包括 正数、负数和零。有理数可以进行四则运算，满足加法封闭性、乘法 封闭性等性质。 二、性质解析 1. 有理数的相反数
对于任意的有理数a，存在一个唯一的有理数-b，使得a +（-b）= 0。这里-b被称为a的相反数，相反数具有相反的符号，但绝对值相等。 2. 有理数的绝对值 对于任意的有理数a，它的绝对值记作|a|，表示a与0之间的距离。若a > 0，则|a| = a；若a < 0，则|a| = -a；若a = 0，则|a| = 0。 3. 有理数的大小比较 对于任意的有理数a和b，有以下性质： (1) a > b 当且仅当 a - b > 0； (2) a < b 当且仅当 b - a > 0； (3) a = b 当且仅当 a - b = 0。 4. 有理数的加法性质 对于任意的有理数a、b和c，有以下性质： (1) 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)； (2) 交换律：a + b = b + a； (3) 零元素：a + 0 = 0 + a = a； (4) 相反数：a + (-a) = (-a) + a = 0。 5. 有理数的乘法性质 对于任意的有理数a、b和c，有以下性质：
有理数概念整理 一、有理数的意义 1、正数和负数 知识点 1 正数和负数的概念 （1）在正数前面加“－”的数，叫做负数。负数比0 小。 （2）零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。 （2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如：－ a 一定是负数吗答案是不一定。 知识点 2 有理数的有关概念有理数：整数和分数统称为有理数。 知识点 3 有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0 的关系分类： 整数正整数 正有理数 正整数 正分数 有理数负整数有理数0 分数正分数 负分数 负有理数 负整数 负分数 注通常把正数和0 统称为非负数，负数和0 统称为非正数，正整数和0 称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0 统称为非正整数。 2、数轴 知识点 1 数轴的概: 规定了原点、正方向和单位长度的直线数轴有三要素——原点、正方向、单位长度 知识点 2 数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。 知识点 3 利用数轴比较有理数的大小在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。
3、相反数 知识点 1 相反数的概念： 只有符号不同的两个数， 0 的相反数是 0。 知识点 2 相反数的关系若 a 、 b 互为相反数则 a+b=0 4、绝对值 知识点 1 绝对值的概念 ：一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的 距离 ，数 a 的绝对值记作“ a 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数； 0 的绝对值 是 0。即 知识点 2 两个负数大小的比较 ：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝 对值的大小；三、根据“两个负数，绝对值大的反而小”做出正确的判断。 二、有理数的运算 1 有理数加法法则 （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。 （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去 较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得 0。 有理数乘除法法两数相乘（除） ，同号得正，异号得 有理数练习题 一、填空 1 1. 大于 3 而不大于 3的整数有 。绝对值大于 2 而不大于 4 的整数有 个， 2 它们的和是 2. 相反数为本身的数是 ___ ，绝对值为本身的数是 _____ 。平方等于它本身的是 立方等于它本身的是 。倒数等于本身的是 a, ( a 0) 0, (a 0) 或 a -a 。 (a 0) a ， －a 。 a a 00）） 绝对值的非负性 3.若 a 1, 则a __ 0; 若 a 1, 则a _ 0 ；当|x-2|=3 时,x= ______ _ ； m-n 的相反数是
有理数概念整理 一、 有理数的意义 1、 正数和负数 知识点1正数和负数的概念 （1） 在正数前面加“－”的数，叫做负数。负数比0小。 （2） 零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。 （2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如：－a 一定是负数吗？答案是不一定。 知识点2 有理数的有关概念 有理数：整数和分数统称为有理数。 知识点3 有理数的分类 （1） 按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类： ⎧⎧⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数有理数正分数分数负分数 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 正整数 正有理数正分数有理数0负整数负有理数负分数 注 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也 叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。 2、 数轴 知识点1 数轴的概:规定了原点、正方向和单位长度的直线 数轴有三要素——原点、正方向、单位长度 知识点2数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。 知识点3 利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。 3、相反数 知识点1 相反数的概念：只有符号不同的两个数，0的相反数是0。 知识点2 相反数的关系若a 、b 互为相反数则a+b=0 4、绝对值 知识点1 绝对值的概念：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作“a ” 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即 , 0) 00, (0) 0-(0) a a a a a a a a a a a >⎧≥⎧⎪ ===⎨⎨≤⎩⎪<⎩ （， （）或－。（）。 绝对值的非负性a ≥0 知识点2 两个负数大小的比较：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝
（一）有理数的基本概念 1、正数和负数 （1）、大于0的数叫做正数。 （2）、在正数前面加上负号“-”的数叫做负数。 （3）、数0既不是正数，也不是负数，0是正数与负数的分界。 （4）、在同一个问题中，分别用正数与负数表示的量具有相反的意义。 2、有理数 (1)凡能写成分数形式的数，都是有理数，整数和分数统称有理数. 注意：0即不是正数，也不是负数；-a 不一定是负数，如：-（-2）=4，这个时候的a=-2。 π不是有理数； (2)有理数的分类:①⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎩⎨⎧负分数负整数负有理数零正分数正整数正有理数有理数②⎪⎪⎪⎩ ⎪⎪⎪⎨⎧⎩⎨⎧⎪⎩⎪⎨⎧负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数 (3)自然数＜====＞0和正整数；a ＞0 ＜====＞a 是正数； a ＜0 ＜====＞a 是负数； a ≥0＜====＞a 是正数或0＜====＞a 是非负数； a ≤0＜====＞a 是负数或0＜====＞a 是非正数. 3、数轴【重点】 （1）、用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴。它满足以下要求： ① 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点； ② 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向； ③ 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示 1,2,3…；从原点向左，用类似的方法依次表示-1,-2，-3… （2）、数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 （3）、画数轴的步骤：一画（画一条直线并选取原点）；二取（取正反向）；三选（选取单位长度）；四标（标数字）。数轴的规范画法：是条直线，数字在下，字母在上。 注意：所有的有理数都可以用数字上的点表示，但是数轴上的所有点并不都表示有理数。 （4）、一般地，设a 是一个正数，则数轴上表示数a 的点在原点的右边，与原点的距离是a 个单位长度；表示数-a 的点在原点的左边，与原点的距离是a 个单位长度。
有理数的基本概念 知识点睛 1. 用正、负数表示相反意义的量： “相反意义的量”包括两个方面的含意：一是相反意义；二是相反意义的基础上要有量. 2. 有理数:按定义整数与分数统称有理数. ()⎧⎧⎫⎪⎬⎪ ⎨⎭⎪⎪⎪ ⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 正整数自然数整数零有理数按定义分类负整数 正分数分数负分数 ()()⎧⎧⎪⎨⎩⎪ ⎪⎨⎪ ⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数正有理数正分数有理数按符号分类零零既不是正数,也不是负数负整数负有理数负分数 ✧ ⑴正数和零统称为非负数； ⑵负数和零统称为非正数； ⑶正整数和零统称为非负整数； ⑷负整数和零统称为非正整数. 3. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线. 有理数与数轴的关系： 错例 原因 无原点 没有正方向 单位长度不统一 没有单位长度 4. 相反数：只有符号不同的两个数互称为相反数．特别地，0的相反数是0. (1)代数意义：只有符号不同的两个数．相反数必须成对出现，不能单独存在 ⑵几何意义：一对相反数在数轴上应分别位于原点两侧，并且到原点的距离相等．两点是关于原点对称的 ⑶求任意一个数的相反数，只要在这个数的前面添上“—”号即可．——奇负偶正 ⑷互为相反数的两个数的和为零，即若a 与b 互为相反数，则0a b +=，若0a b +=则a 与b 互为相反数． 5. 绝对值： 几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . ✧ 绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ✧ 比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 23 1 2 234 ✧ 一切有理数都可以用数轴上的点表示出来. ✧ 数轴上的点不都代表有理数，如π. 利用数轴比较有理数的大小： ✧ 数轴上右边的数总大于左边的数. ✧ 正数总大于零，负数总小于零，正数大于负 数.
有理数及其相关概念 一、正数与负数 1、正数：大于0的数（“+”通常省略不写）叫正数。 2、负数：在正数前面加“—”的数叫负数（负数小于0）。 3、数0既不是正数也不是负数，它是正负数的分界线。 4、正负数是表示相反意义的两个量，正数的"+"号平时可略去不写，有时为了强调，也可以写上， 而负数前面的“—”号切记不能省略。 5、对于正负数概念，不能简单理解为带“+”的数是正数，带“—”的数是负数，如+0是0， —0也是0，当a是负数时，—a就代表正数。 二、有理数 1、整数和分数统称为有理数。 2、整数包括正整数、0、负整数。 3、分数包括正分数和负分数。 4、整数可以看成是分母为1的分数。 5、有限小数和有限循环小数都可以用分数表示。 6、有理数的分类： （1）按符号分类：正有理数，0，负有理数； （2）按定义分类：整数，分数。 7、通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数。 8、如果用字母a表示。则①a>0表示正数，②a<0表示负数，③表示非负数④表示非正数 四、数轴 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线就叫数轴。画一条水平直线，在直线上取一点表 示0（叫做原点），选取某一长度为单位长度，规定直线上向右的方向为正方向。 ①数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；数轴上要有三要素：原点、正方向、单位长度，三 者缺一不可；原点的选定、正方向的选取和单位长度的确定，都可以根据实际需要规定。 ②数轴上的点表示全体实数，有理数和数轴上的点不是一一对应的关系。 五、相反数 1、相反数：只有符号不同的两个数，我们说其中一个数是另一个数的相反数，也称这两个数互为 相反数。正数的相反数是负数；0的相反数是0；负数的相反数是正数。 2、相反数的几何意义：在数轴上原点的两旁，离开原点距离相等的两个点所表示的数，叫做互为 相反数。 3、互为相反数的两个数相加为0,。 六、绝对值 1、几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离，记作｜a｜，读作a的绝对值，绝对值不能是负数。 2、代数定义：正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数。 3、两个负数比较大小绝对值大的反而小。 随堂练习： 一、填空题 1、某股票昨天每股跌了0.12元，记做—0.12元，今天每股票涨了0.08元，记作_________ 2、潜艇所在的高度是—80m，一条鲨鱼在潜艇上方25m处，则鲨鱼的高度记作__________ 海拔－200m比300m高________；从海拔250m下降到100m，下降了________ 温度3℃比－7℃高_______；温度－8℃比－2℃低_______．
有理数的定义 《有理数》概念、定义集合 1、大于0的数叫做正数（positive）. 2、小于0的数叫做负数（negative）. 3、可以写成分数形式的数叫做有理数（rational number）. 4、只有符号不同的两个数叫做互为相反数（opposite number）. 5、数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值（absolute value）. 6、有理数加法法则： （1）同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加. （2）绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0. （3）一个数同0相加，仍得这个数. 7、有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数. 8、有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.任何数同0相乘，都得0.. 9、乘积是1的两个数互为倒数. 10、有理数除法法则：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数.（两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除，0除以任何一个不等于0的数，都得0.） 11、求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂（power）.在an中，a叫做底数（base number），n叫做指数（exponent），当an看作a的n次方的结果时，也可读作a的n次幂. 12、有理数混合运算的运算顺序： （1）先乘方，再乘除，最后加减. （2）同级运算，从左到右进行. （3）如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号的顺序依次进行. 13、把一个大于10的数表示成a×10n的形式（a是整数数位只有一位的数，n是正整数），使用的是科学计数法.
知识整合二——有理数的概念 一、正数和负数的概念 1、正数：大于0的数，叫做正数。正数比0大。 2、在正数前面加“－”(读作负)号的数，叫做负数。负数比0小。 &零既不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。 注意： 1）为了强调，正数前面有时也可以加上“＋”（读作正）号。 2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。 二、有理数的概念 1、有理数：整数和分数统称为有理数。 注意：（1）有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。 但是本节中的分数不包括分母是1的分数。 （2）因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示， 所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。 （3）“0”即不是正数，也不是负数，但“0”是整数。 2、整数包括正整数、零、负整数。 3、分数包括正分数和负分数。 三、有理数的分类 1、按整数、分数的关系分类： 2、按正数、负数与0的关系分类： 注意：通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。如果用字母表示数，则a＞0表明a 是正数；a＜0表明a是负数；a0表明a是非负数；a0表明a是非正数。 四、数轴的概念 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴 数轴的定义包含三层含义：一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。 五、数轴的画法 1、画一条直线（一般画成水平的直线）。 2、在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。 3、确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。 4、选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；
有理数的概念 知识整合二——有理数的概念 一、正数和负数的概念 1.正数是大于零的数，负数是在正数前面加“－”(读作负) 号的数。零是正数和负数的分界。 2.为了强调正数，有时也可以在正数前面加上“＋”（读作正）号。不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的 数是负数。 二、有理数的概念 1.整数和分数统称为有理数。 2.有时为了研究的需要，整数也可以看作是分母为1的数，这时的分数包括整数。但是本节中的分数不包括分母是1的分数。
3.因为分数与有限小数和无限循环小数可以互化，上述小数都可以用分数来表示，所以我们把有限小数和无限循环小数都看作分数。 4.“0”既不是正数也不是负数，但“0”是整数。 三、有理数的分类 1.按整数、分数的关系分类。 2.按正数、负数与零的关系分类。 四、数轴的概念 1.规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2.数轴的定义包含三层含义：一，数轴是一条直线，可以向两端无限延伸；二，数轴有三要素——原点、正方向、单位长度，三者缺一不可；三，原点的选定、正方向的取向、单位
长度大小的确定，都是根据实际需要“规定”的（通常取向右为正方向）。 五、数轴的画法 1.画一条直线（一般画成水平的直线）。 2.在直线上选取一点为原点，并用这点表示零（在原点下面标上“0”）。 3.确定正方向（一般规定向右为正），用箭头表示出来。 4.选取适当的长度作为单位长度，从原点向右，每隔一个单位长度取一点，依次表示为1，2，3……；从原点向左，每隔一个单位长度取一点，依次表示为－1，－2，－3…… 注：（1）原点的位置、单位长度的大小可根据实际情况适当选取；（2）确定单位长度时，根据实际情况，有时也可以每隔两个(或更多的)单位长度取一点，从原点向右，依次表
有理数的概念与性质 有理数是整数和分数的统称，包括正整数、负整数、零以及可以用两个整数的比来表示的分数。有理数的概念相当广泛，它们具有很多独特的性质和特点。 一、有理数的定义 有理数是可以表示成两个整数之间的比的数。有理数包括正有理数（如正整数和正分数）、负有理数（如负整数和负分数），以及零。 二、有理数的性质 1. 加法性质 有理数的加法满足交换律、结合律和存在零元素的性质。即对于任意有理数a、b和c，满足以下性质： - 交换律：a + b = b + a - 结合律：(a + b) + c = a + (b + c) - 零元素：a + 0 = a 2. 减法性质 有理数的减法可以转化为加法运算。即对于任意有理数a、b和c，满足以下性质： - 减法的定义：a - b = a + (-b) 3. 乘法性质
有理数的乘法满足交换律、结合律和存在单位元素的性质。即对于任意有理数a、b和c，满足以下性质： - 交换律：a * b = b * a - 结合律：(a * b) * c = a * (b * c) - 单位元素：a * 1 = a 4. 除法性质 有理数的除法可以转化为乘法运算。即对于任意非零有理数a、b 和c，满足以下性质： - 除法的定义：a / b = a * (1/b) 5. 分配律 有理数的乘法对加法满足分配律。即对于任意有理数a、b和c，满足以下性质： - 左分配律：a * (b + c) = a * b + a * c - 右分配律：(a + b) * c = a * c + b * c 三、有理数的排序 有理数可以根据大小进行排序，可以用大小关系符号进行表示。即对于任意两个有理数a和b，可以判断它们的大小关系：- a < b：表示a比b小
有理数定义及两种分类 有理数是数学中的一种数，它可以表示为两个整数的比值。有理数包括正整数、负整数、零以及各种分数。它们可以用分数形式或小数形式表示，小数形式可以是有限小数或无限循环小数。 有理数的分类可以从两个方面进行：一是根据有理数的大小关系进行分类，二是根据有理数的表达形式进行分类。 根据有理数的大小关系，我们可以将有理数分为正数、负数和零。正数是大于零的有理数，用正号"+"表示；负数是小于零的有理数，用负号"-"表示；零是不大于也不小于零的有理数，用数字"0"表示。 根据有理数的表达形式，我们可以将有理数分为分数和小数。分数是两个整数的比值，可以表示为两个整数的比例。分数可以是正分数、负分数和零分数。正分数的分子和分母都是正整数，分子小于分母；负分数的分子和分母都是正整数，分子大于分母；零分数的分子是0，分母不为0。小数是分数的一种特殊形式，可以是有限小数或无限循环小数。有限小数是小数部分有限的小数，例如0.25、-1.5等；无限循环小数是小数部分有无限循环的小数，例如1.3333...、-0.6666...等。 有理数的定义和分类在数学中有着重要的应用。有理数的定义使得我们能够对一些实际问题进行准确的数值计算和数值比较。例如，在货币交易中，我们需要精确计算各种货币的兑换比率，这就涉及
到有理数的计算。有理数的分类使得我们能够对数值进行更加细致的划分和描述，从而更好地理解数值之间的大小关系。例如，在温度计中，我们需要对不同温度进行分类，如正温度和负温度，以便更好地理解温度变化。 有理数是数学中重要的概念之一，它可以用来表示各种实际问题中的数值，并且可以通过大小关系和表达形式进行分类。有理数的定义和分类为我们解决实际问题提供了基础，并且在数学的其他领域中也有重要的应用。通过深入理解有理数的定义和分类，我们可以更好地理解数学的本质和数值之间的关系。