3
2a
a +-=
10、如果啊a ，b 互为倒数，c ，d 互为相反数，求d c ab ++2 11、计算
5
161415131412131-+-+-+-
有理数的意义
有理数的意义 一：认识正负数 知识点一：正负数的概念： 比0大的数是正数，比0小的数是负数。 例1 下列各数哪些是正数？哪些是负数？ -10.1，-0.5，0，5 2- ，36,15%，-60，3 1- ，22.8,a 知识点二：对“0”的理解 0不在正、负数的范围内，它是正数和负数的分水岭。它的意义非常特殊，它既可以表示无意义，也可以表示其他特殊的意义。 例2 下列说法错误的是（ ） ①0是最小的自然数；②0是整数也是偶数；③0既非正数也非负数；④0的意义不仅可以表“没有”还可以表示一个确定的量；⑤负数也叫非正数；⑥一个数不是正数就是负数。 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 知识点三：用正数和负数表示相反意义的量 Ⅰ. 相反意义的量必须包含两个因素：1、它们的意义相反；2、它们都具有数量，而且一定是同类量。 Ⅱ.相反意义的量可以人为的规定其正负。在实际生活中，习惯把零以上的温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正数，而把它们相反意义的量规定为负的，用负数表示。 例3 下列问题中： (1)将水位上升3m 时水位记作+3m ，则水位下降3m 时水位变化记作-3m. (2)某人存进银行1800元，记作+1800元;取出600元，记作-600元. (3)向东走8m 记作+8m ，向西走6 m ，记作-6m. (4)在一个月内，小明的身高增加了3cm ，记作+3cm ；体重下降了4kg ，记作-4kg. 不是同类量的是（ ） 知识点四：实际问题与正、负数 例4 某公司股票上周五的收盘价是27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（上涨为正）： 每股价格是 元，每股价格是 元。 二：有理数的意义 知识点一：有理数的概念 整数和分数统称为有理数；正数、负数、零都是有理数。 例1 下列说法正确的是（ ） A.一个有理数不是正数就是负数 B.一个有理数不是正数就是分数 C.有理数是指整数、分数（正有理数、0、负有理数） D.以上说法都正确 知识点二：数集的概念
人教版-7年级-第1讲-有理数的意义-解析版
学员姓名：科目：数学年级：7年级学科老师：授课日期：授课时段：授课时长：家长签字：课题有理数的意义 教学目标1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念； 3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想． 重点、难点有理数相关分类讨论 考点及考试要 求 有理数的意义 教学内容 【要点梳理】 要点一、正数与负数 像+3、+1.5、 1 2 +、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、 1 2 -、－584等在正数前面加“－”号 的数，叫做负数． 要点诠释： （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”． 类型一、正数与负数
【例1】若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（）． A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km 【答案】D 【解析】“正”和“负”相对，－7km表示向北走7km，则＋10km表示向南走10 km，所以答案D 【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数. 反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同． 【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（） A．50.0千克B．50.3千克C．49.7千克D．49.1千克 【答案】D． 解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克． 【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ . (2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？ 【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示. 【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）． A．－20m B．－40m C．20m D．40m 【答案】B 【变式4】如图所示的是图纸上一个零件的标注，Φ30±表示这个零件直径的标准尺寸是30mm，实际合格产品的直径最小可以是29.98mm，最大可以是（） A．30mm B．30.03mm C．30.3mm D．30.04mm 故选：B． 【例2】纽约与北京的时差为﹣13小时（正数表示同一时刻比北京时间早的时数，负数表示同一时刻比北京时间晚的时数），当北京9月12日8时，纽约的时间是（） A．9月11日5时B．9月11日19时 C．9月12日19时D．9月12日21时 【分析】根据题意，得纽约比北京时间要晚13个小时，也就是9月11日19时． 【解答】解：纽约时间是：9月12日8时﹣13小时＝9月11日19时．
5.1有理数的意义
有理数的意义 教学目标 1、理解负数的学习意义，感受数学来源于现实生活，激发学习数学的兴趣； 2、掌握有理数的概念以及有理数的两种分类； 3、通过自主探究，发现有理数的分类，形成分析问题，解决问题的能力; 4、通过了解负数的历史，渗透德育教育，增强民族自豪感； 5、渗透化归、分类的数学思想方法. 教学重点 有理数的概念以及分类 教学难点 有理数分类的探究以及分类中对小数的理解. 教学过程 一、结合实例，回顾旧知 数的概念是随着生产和生活的需要而不断发展的，在现实生活中，我们会遇到一些这样的事件. （1）一家商店一月份盈利1000元，2月份出现低谷，亏损了500元. （2）小明家三月份总收入4500元，全家支出了2000元. 请同学们来表示其中的相反意义的量. 师说明：一般情况下，把盈利、收入等记为“+”，那么亏损、支出等记为“—”. 像上面出现1000，4500等数叫正数，在正数前加上“—”号的数叫做负数.如：—500，—2000等，0即不是正数也不是负数，0和正数又可以称为非负数. 练习： 1、生活中你见过带有“—”号的数吗？与同伴进行交流. 2、在知识竞赛中，如果用+20分表示加20分，那么扣20分怎样表示？ 3、东西为两个相反的方向，如果—4米表示一个物体向西运动4米，那么+2米表示什么？物体 原地不动记为什么？ 二、探究新知，扩张数域 问题1：把数—12，71，—2.8，1/6，0，7/1/2，34%，0.67，一3/4，12/7，分别填在正数和负数的圈里
问题：0能放在以上的两个圈中吗？ 生：不能，零既不是正数也不是负数，0是正数和负数的分界 我们已经知道： 1、正数可分为正整数及正分数，负数可分为负整数和负分数 2、整数包括正整数，0和负整数. 在这些基础上，我们把整数和分数统称为有理数. 利用多媒体演示： 师：在这里指出对于一个分数来说，它总可以化为有限小数或循环小数，反之有限小数和循环小数也总可以化为分数.引导学生根据刚才的分类框，探究发现： 1、如果我们把整数看作是分母为1的分数，那么在这个意义下所有的有理数都是分数，分数也就 是有理数 2、有理数还可以这样分类 分类2： 3 整数、分数、正数、负数 有理数 问题2：下列各数中8，—3，7/1/2，—1/6，0，0.32，—1/2/5，—3.12112，0.78，211/213，哪些是整数？哪些是分数？哪些是非负数？哪些是有理数？ 三、 巩固新知，形成技能 扩充
有理数的意义
有理数 单元教学目标 1了解有理数的意义。会用正数与负数表示相反意义的量，会按要求把给出的有理数归类。 2了解数轴、相反数、绝对值的概念。会画数轴，会用数轴上的点表示整数或分数（以刻度尺为工具），会求有理数的相反数与绝对值（绝对值符号内不含字母）。 3掌握有理数大小比较的法则。会用不等号连接两上或两个以上不同的有理数。 单元教学重点 1有理数（特别是负数）和绝对值的意义。 2数形结合的思想方法。 单元教学策略 有理数是根据学生熟悉的实际需要，对小学学过的数的进一步护展。对于本单元的学习，学生已有一定的知识基础和生活体验。教学时教师应注意避免多讲，要从学生已有的知识和熟知的实例出发，引导学生认真阅读、思考、讨论，形成新的认知结构。同时还要注意为后面的学习做好准备。 教学手段和方法 1引导学生把学过的知识和熟悉的事例与新的学习内容联系起来。 2指导学生阅读、讨论、练习、总结。 3使用投影仪。 第1、2课时正数与负数 一、学习目标 1了解正数与负数是由于实际需要而产生的，会初步应用正负数表示实际生活中的有关量。 2了解有理数的概念，会判断一个数是正数还是负数，是整数还是分数。 二、教学过程 师：同学们先回顾一下我们在小学学过哪些数（小学六年级就接触了负数） 填空 1在数物体时，物体的个数用____________________表示；一个物体也没有，就用____________________表示。 2测量和计算有时得不到整数的结果，就要用____________________表示。 3北京冬季里的一天，白天最高气温比0℃高10℃，记作10℃；夜晚最低气温比0℃低5℃，记作____________________。 在中国地形图上，珠穆朗玛峰处标着8848，表示不打珠穆朗玛峰比海平面高8848米；叶鲁番盆地处标着-155，表示叶鲁番盆地比海平面低
有理数的意义
第一讲 有理数的意义 一、知识梳理 1．有理数的分类 : 2．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴． 数轴的三要素：原点、正方向、单位长度。 任何一个有理数都可以用数轴上的一个点来表示. 3．相反数的意义 如果两个数只有符号不同，那么我们称其中一个数为另一个数的相反数，也称这两个数互为相反数，特别地，0的相反数是0。在数轴上，表示互为相反数的两个点，位于原点的两侧，并且与原点的距离相等。 a 的相反数为－a 。 注意：（1）两个互为相反数的数，它们符号相反 （2）两个互为相反数的数，其绝对值相等； （3）两个互为相反数的数和．为零；两个互为倒数的数积． 为1 4．绝对值的概念： （１）．在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。对于任意一个 数a , a 的绝对值用｜a ｜表示。｜a ｜是数轴上表示a 的点到原点的距离，即｜a ｜代 表的是一个长度，所以｜a ｜表示的一定是一个非负数。 正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0 ｜a ｜＝?? ???<-=>)0()0(0)0(a a a a a 5．比较两个有理数的大小。 （1）．数轴上两个点表示的数，右边的总比左边的大。 负数小于0，正数大于0，正数大于一切负数。 （2）．两个负数比较大小，绝对值大的反而小． 二、典例剖析 专题一：正负数 例1：填空： （1）如果收入50元记作+50元，那么支出20元记作 ，-80元表示 . （2）仪表的指针顺时针方向旋转45°记作-45°，那么逆时针旋转50°记作 . （3）如果气温是零上5℃，那么，气温比0℃低3℃记作 . （4）如果把比海平面高规定为正，则25 m 表示 ，0 m 表示 . ◆变式拓展训练◆ 最小的正整数是______；最大的负整数是_____；最小的非负整数是______；最大的 非正整数是_______。
有理数的意义
1．有理数 一、学生起点分析 学生的知识技能基础：学生在小学已经学习过整数、分数、小数的概念及运算；对负数的概念有所了解，知道正数、负数和零的区别。 学生活动经验基础：学生在小学通过对温度计的认识活动，学习了用负数解 决一些简单的比较大小的问题。 刚进入初中的学生掌握正数、负数的概念程度参差不齐，结合实际正确的表 示具有相反意义的量，建立有理数的概念是学习的难点。 二、学习任务分析 “有理数”是初中数学学习的重要基础。本节课的内容是正、负数的概念和 有理数的分类。通过和学生生活贴近的实例引入负数激发学生对数学学习的兴趣；通过让学生了解“中国是世界上最早使用负数的国家”，培养学生爱国主义 情操，增强民族自豪感。为此，本节课的学习任务是： 1．在具体情境中，进一步认识负数，理解有理数的意义。 2．经历用正负数表示具有相反意义的量的过程，体会负数是实际生活的需要。 3．会判断一个数是正数还是负数，能按一定的标准对有理数进行分类。 三、教学过程设计 本节课设计了五个教学环节：第一环节：复习回顾，引入新课，第二环节：创设情境，探索新知，第三环节：实际应用，巩固提高，第四环节：合作交流，能力提升，第五环节：小结反思，布置作业。 第一环节：复习回顾，引入新课 活动内容 观察中国地图，珠穆朗玛峰高出海平面8844.43米，记作：+8844.43米； 吐鲁番盆地地狱海平面155米，记作-155米. 教师出示上图，提出问题： （1）生活中我们会遇到用负数表示的量，你能说出一些例子吗？ （2）你对负数有什么样的认识？ （3）有了负数，数的运算与过去相比有什么区别和联系？有了负数，能解
决哪些实际问题？ 本章将在小学学习的基础上，进一步学习负数，研究有理数的有关概念及其运算，并利用有理数的知识解决实际问题。 活动目的： 通过提供学生熟悉的情景引导学生回顾小学有关负数的知识，三个问题不仅为本节课温故引入，也为本章的学习做了铺垫。 活动效果： 学生在对问题的思考与交流中体会负数在生活中的广泛应用，激发了学习本章内容的兴趣。 第二环节：创设情境，探索新知 活动内容 问题： 答对 答错 不回答 某班举行知识竞赛，评分标准是：答对一题加1分，答错一题扣1分，不回答得0分；每个队的基本分均为0分．两个代表队答题情况如下表：如果答对题所得的分用正数表示，那么你能用正负数表示每个代表队答题得分的情况吗？试完成下表： 练习：1.把消费价格比上年上涨4.8%记为+4.8%，那么下跌0.6%记为. 2.零上温度1℃记为+1℃，零下温度5℃记为. 3.生活中你见过其他用负数表示的量吗？与同伴进行交流 活动目的： 用知识竞赛得分的情景启发学生用正负数表示相反意义的量。通过练习引导学生举一反三地找出身边可以用正负数表示的量，从而体会学习负数的必要性。
有理数的定义和性质
有理数的定义和性质 在数学中，有理数是指能用两个整数之间的比值来表达的数。 有理数的定义是一个比较基础的概念，但对于理解整个数学体系 具有重要意义。 在整数的基础上，有理数的产生体现了人们在实践中对于数学 的发展，也是人们在探索具有理性的世界的一项重要成果。那么 究竟什么是有理数呢？一起来深入探讨一下有理数的定义和性质。 有理数的定义 有理数是由整数组成的分数，分母不为0。可以表示为p/q的 形式，其中p，q为整数，q≠0，简称有理数。 举个例子：-1，3/5，100/7，1/2等都是有理数。 若有理数q=p/q，其中p与q都为整数，那么它还可以表示为 其他形式的分数。即若q≠±1，那么可以约分至最简分数，使分母 q的正负与数本身的符号一致。例如，3/6和1/2其实是一个数。
有理数的性质 1. 唯一分解定理 唯一分解定理表明，每个正整数都可以唯一地表示为若干个质 数的乘积，而且可以按质数从小到大的顺序来进行表示。同样的，每个整数也可以写成一些互不相同质数的积，而且这些质数及其 指数是唯一的。 唯一分解定理同样适用于所有整系数和有理数，不管这些数正 负如何以及它们是不是整数。 2. 加减法性质 对于任意的有理数a、b和c，都有： a+b=b+a （加法交换律） a+(b+c)=(a+b)+c （加法结合律）
a+0=0+a=a （零元素） a+(-a)=0 （负元素） a-b=a+(-b) （减法变成加法） 3. 乘除法性质 对于任意的有理数a、b和c，都有：a×b=b×a （乘法交换律） a×(b×c)=(a×b)×c （乘法结合律） a×1=1×a=a （乘法单位元） a×0=0×a=0 （零元素） a×-a=(-a)×a=-(a×a) （负元素）
5.1有理数的意义
5.1有理数的意义 教学目标 1．通过解决实际问题的活动，体会引入负数的必要性和广泛的应用性，初步理解有理数的意义. 2. 理解有理数的意义及分类，能判断一个数是正数还是负数，运用正、负数表示生活中具有相反意义的量. 3.在积极思考、参与讨论的活动中，自觉改进学习方式，促进良好学习习惯的养成和沟通、交流能力的提高. 教学重点与难点 理解有理数的意义，能判断一个数是正数还是负数，还是非负数. 教学用具准备 粉笔、课件 教学过程设计 一、情景引入 金茂大厦（420米）比国际饭店（86米）高几米？ 杨浦大桥桥面比黄浦江底高出多少米？
? )10(48?86420=--=- 这节课我们学习有理数的第一节-----有理数的意义 在现实生活中，我们常碰到一些量，它们具有相反意义，比如：盈利 与亏损，收入与支出，增加与减少，上升与下降，等等，小学中我们已经学习了负数，知道正数和负数可以表示具有相反意义的量. 如果我们把在银行中存款当作正，那么从银行中提款便是负. 如果把树的位置当作0，我们规定树右边的位置为正，那么树左边的位置便是负. 思考1：1.如果把收入50元记作50元，那么下列各数分别表示什么意义？ （1）20元; (2) 2.5元； （3）80-元； （4）0元. 2.如果6摄氏度用C ο 6表示，那么零下4摄氏度如何表示？ 二、学习新课 正数，负数的概念 ：像%2.1,4 3 ,5.2,6等数叫做正数，在正数前面加上“-”的数叫 做负数，如36, 2.5,,2%4--- -等，有时为了强调符号，在正数前面加上“+”，如2 1,5.2,6+++等，零既不是正数也不是负数.零和正数又可以称为非负数. 例题1 把数5 9 ,712, 43,67.0%,34,2 17,0,6 1 ,8.2,71,12----分别填在表示正数和负数的圈里. 正数 负数
有理数的定义和加减法
知识点 （一）有理数分类 1、有理数的分类： 按有理数的定义分类：按有理数的性质符号分类： 2、正数和负数用来表示具有相反意义的数。 （二）数轴 1、定义：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴。 2、数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度。 （三）相反数 1、定义：只有符号不同的两个数互为相反数。 2、几何定义：在数轴上分别位于原点的两旁，到原点的距离相等的两个点所表示的数，叫做互为相反数。 3、代数定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数，0的相反数是0。 （四）绝对值 1、定义：在数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。 2、几何定义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离。 3、代数定义：一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 即对于任何有理数a,都有 4、绝对值的计算规律： （1）互为相反数的两个数的绝对值相等. （2）若|a|＝|b|,则a ＝b或a ＝－b. （3）若|a|+|b|＝0，则|a|＝0，且|b|＝0.
（1）0的相反数是它本身。 （2）非负数的绝对值是它本身。 （3）非正数的绝对值是它的相反数。 （4）绝对值最小的数是0。 （5）互为相反数的两个数的绝对值相等。 （6）任何数的绝对值都是它的正数或0，即|a|≥0。 （五）倒数 1、定义：乘积为“1”的两个数互为倒数。 2、求法：颠倒这个数的分子和分母。 1 3、a（a≠0）的倒数是 a 有理数的运算 一、有理数的加法法则： 1、同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加； 2、绝对值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去 较小的绝对值。 3、一个数同零相加，仍得这个数； 4、两个互为相反数的两个数相加得0。 二、有理数的减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数。 三、有理数的乘法法则： 1、两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； 2、任何数同0相乘，都得0； 3、乘积是1的两个数互为倒数。 四、有理数的除法法则： 1、除以一个不等于0的数，等于乘以这个数的倒数； 2、两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。0除以任何一个不等于0的数，都得0。 五、乘方 1、定义：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方。 2、幂的符号法则： 正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数；负数的偶次幂是正数；0的任何
有理数概念整理
有理数概念整理 一、 有理数的意义 1、 正数和负数 知识点1正数和负数的概念 （1） 在正数前面加“－”的数，叫做负数。负数比0小。 （2） 零即不是正数也不是负数，零是正数和负数的分界。 （2）对于正数和负数的概念，不能简单理解为：带“＋”号的数是正数，带“－”号的数是负数。例如：－a 一定是负数吗？答案是不一定。 知识点2 有理数的有关概念 有理数：整数和分数统称为有理数。 知识点3 有理数的分类 （1） 按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类： ⎧⎧⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪⎨⎩⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩正整数整数0负整数有理数正分数分数负分数 ⎧⎧⎨⎪⎩⎪⎪⎨⎪⎧⎪⎨⎪⎩⎩ 正整数 正有理数正分数有理数0负整数负有理数负分数 注 通常把正数和0统称为非负数，负数和0统称为非正数，正整数和0称为非负整数（也 叫做自然数），负整数和0统称为非正整数。 2、 数轴 知识点1 数轴的概:规定了原点、正方向和单位长度的直线 数轴有三要素——原点、正方向、单位长度 知识点2数轴上的点与有理数的关系 所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示，负有理数可以用原点左边的点表示，零用原点表示。 知识点3 利用数轴比较有理数的大小 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数大。正数都大于0；负数都小于0；正数大于一切负数。 3、相反数 知识点1 相反数的概念：只有符号不同的两个数，0的相反数是0。 知识点2 相反数的关系若a 、b 互为相反数则a+b=0 4、绝对值 知识点1 绝对值的概念：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离，数a 的绝对值记作“a ” 绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。即 , 0) 00, (0) 0-(0) a a a a a a a a a a a >⎧≥⎧⎪ ===⎨⎨≤⎩⎪<⎩ （， （）或－。（）。 绝对值的非负性a ≥0 知识点2 两个负数大小的比较：一、先分别求出这两个负数的绝对值；二、比较这两个绝
有理数定义
有理数定义 法运算 1. 同号两数相加，取与加数相同的符号，并把绝对值相加。 2. 异号两数相加，若绝对值[2]相等或者相反数[3]和为0；若绝对值不相等，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 3. 互为相反数的两数相加得0。 4. 一个数同0相加仍得这个数。 5. 互为相反数的两个数，可以先相加。 6. 符号相同的数可以先相加。 7. 分母相同的数可以先相加。 8. 几个数相加能得整数的可以先相加 法运算 1.减去一个数，等于加上这个数的相反数，即把有理数的减法利用数的相反数变成加法进行运算。 法运算 1. 同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。 2. 任何数与零相乘，都得零。 3. 几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有奇数个时，积为负，当负因数有偶数个时，积为正。 4. 几个数相乘，有一个因数为零，积就为零。 5. 几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘。 加 减 乘
法运算 1. 除以一个不等于零的数，等于乘这个数的倒数。 2.两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。零除以任意一个不等于零的数，都得零。 注意： *零不能做除数和分母。 有理数的除法与乘法是互逆运算。 在做除法运算时，根据同号得正，异号得负的法则先确定符号，再把绝对值相除。若在算式中带有带分数，一般先化成假分数进行计算。若不能整除，则除法运算都转化为乘法运算。 运算 （1）负数的奇数次幂是负数，负数的偶数次幂是正数。例如：（-2）的3次方= -8，（-2）的2次方=4。 （2）正数的任何次幂都是正数，零的任何正数次幂都是零。例如：2的2次方=4,2的3次方=8,0的3次方=0。 （3）零的零次幂无意义。 （4）由于乘方是乘法的特例，因此有理数的乘方运算可以用有理数的乘法运算完成。 有理数运算定律 加法运算律: （1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变，即a+b=b+a 。 （2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加或者先把后两个除 乘方
有理数的意义-知识讲解
有理数的意义-知识讲解 有理数是数学中一类重要的数，它可以用整数作为分子和分母的比值 表示。有理数的意义体现在其在实际生活中的广泛应用，以下从有理数的 定义、特点以及实际应用等方面进行讲解。 首先，有理数的定义是指可以写成两个整数的比值形式的数，其中分 母不为零。有理数包括整数、正整数、负整数、分数等。例如，2，-3， 1/4等都是有理数。 有理数的特点主要体现在以下几个方面： 1.有理数包括整数和分数两个主要部分，整数由负整数、零和正整数 组成，而分数可以写成两个整数的比值形式。 2.有理数可以进行加减乘除等基本运算，运算结果也仍然是有理数。 这一点在实际应用中十分重要，可以简化运算过程。 3.有理数可以用分数表示小数，并且保持有效位数，在实际应用中更 加便于计算和表示。 4.有理数具有有限循环小数和无限循环小数两种形式。循环小数是指 在小数部分中有从一些位置开始重复的数字序列。 有理数在实际生活中有广泛的应用，主要体现在以下几个方面： 1.金融领域：有理数广泛应用于金融领域，如贷款利率、股票涨跌等 计算中。利率、股票涨跌等都可以用有理数来表示，便于计算和比较。 2.商业领域：商业中的销售额、成本、利润等也可以用有理数来表示。商业决策涉及到大量的数值计算，有理数的应用可以方便快捷地进行计算 和分析。
3.工程领域：在工程测量和设计中，有理数也有着重要的应用。例如，建筑物的尺寸、管道的长度等都需要进行精确的测量和计算，有理数可以 提供准确的数值。 4.科学领域：有理数常常出现在科学实验和数值模拟中。例如，在物 理实验中，测量得到的各种物理量可以用有理数表示，更方便进行分析和 比较。 总结起来，有理数作为一类重要的数，具有重要的意义。它不仅在数 学学科中有着重要的地位，而且在实际生活中也有广泛应用。通过有理数，我们可以方便地进行各种数值计算，解决实际问题，进一步提高数学能力 和解决实际问题的能力。因此，对有理数的学习和掌握对于每个学生来说 都是十分重要的。
51有理数的意义
5.1 有理数的意义 教学目标 1、理解负数的学习意义，感受数学来源于现实生活，激发学习数学的兴趣； 2、掌握有理数的概念以及有理数的两种分类； 教学重点 有理数的概念以及分类 教学难点 有理数分类的探究以及分类中对小数的理解. 教学过程 一、导入新课 这节课，我们开始学习有理数。数的概念是随着生产和生活的需要而不断发展的。 在现实生活中，我们常常会遇到一些量，它们具有相反意义。比如：盈利与亏损，收入与支出，增加与减少，上升与下降等等。我们在小学学习了负数，知道正数和负数可以表示具有相反意义的量。例如： （1）我们把在银行中存款当做正，那么从银行取款就是？（学生口答） （2）我们把盈利1000元记作1000元，那么亏损500元记作？（学生口答） （3）我们把收入4500元，那么支出2000元记作？（学生口答） 二、新课教学 像上面出现1000，4500等数叫正数， 在正数前加上“—”号的数叫做负数。如： 500-，2000-等，0即不是正数也不是负数，0和正数又可以称为非负数。 练习： 1、 判断：一个数前加上“—”号的数是负数。 2、 东西为两个相反的方向，如果4-米表示一个物体向西运动4米，那么2+米表示什么？物体原地不动记为什么？ 问题：0是正数还是负数？ 零既不是正数也不是负数，0是正数和负数的分界 例题1：下列各数中，哪些是正数？哪些是负数？ 12-，71，82.-，61，0，21，%34，670.，4 3-，712， 数有正负之分，那么正数可以怎么分？分数可以怎么分？
在这些基础上，我们把整数和分数统称为有理数. 在这里指出对于一个分数来说，它总可以化为有限小数或循环小数，反之有限小数和循环小数也总可以化为分数。 判断：任何有理数都可以表示为分数。 1、 如果我们把整数看作是分母为1的分数，那么在这个意义下所有的有理数都是分数，分 数也就是有理数。 判断：正数和负数统称为有理数。怎么改正？ 2、 有理数还可以这样分类 分类2： 3、 原先数的范围起了变化 整数、分数、正数、负数 有理数 例题2：下列各数中8，3-，21，61-，0，320.，5 2-，121123.-，213211，哪些是整数？哪些是分数？哪些是非负数？哪些是有理数？ 思考题：下列数是否是有理数？ 143.，π， 1211211123. (每两个2之间多1个1)，61725.，π31，3 π （小组讨论形式，目的让同学理解分数即有限小数和循环小数，那么无限不循环小数不是有理数，这类数我们以后会学习研究） 三、课堂小结 通过今天的课，你有什么收获？有什么感受？ 四、课后作业 练习册5.1 有理数 扩充
有理数的意义-知识讲解
有理数的意义（知识讲解） 【课程目标】 1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量； 2．理解正数、负数、有理数的概念； 3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想． 【重点梳理】 KP1：正数与负数 像+3、+1.5、12 + 、+584等大于0的数，叫做正数； 像－3、-1.5、12-、-584等在正数前面加“-”号的数，叫做负数． 注意： （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、 上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的“分水岭”． KP2：有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类 （2）按正数、负数与0的关系分类 有理数{ 整数{正整数0负整数分数{正分数负分数 有理数{ 正有理数{正整数 负分数 0负有理数{负整数负分数 注意： （1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数. （2） 分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数， 但无限不循环小数不是分数，例如π． （3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数． 【典型例题】 类型一、正数与负数 例1．若把向北走7km 记为－7km ，则＋10km 表示的含义是（ ）． A ．向北走10km B ．向西走10km C ．向东走10km D ．向南走10km 【答案】D 【解析】正和负相对，-7km 表示向北走7km ，则+10km 表示向南走10km ，所以答案D. 【升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为正数，则与其相反意义的量就是负数 反之，如果一个量为负数，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同． 举一反三： 【栗子1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，下列各袋大米中质量不合格是（ ） A ．50.0千克 B ．50.3千克 C ．49.7千克 D ．49.1千克 【答案】D 【解析】“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克．
有理数的意义与性质要点分析
有理数的意义与性质要点梳理【要点梳理】 像+3、+1.5、 1 2 +、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、 1 2 -、－584等 在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点诠释： （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线 要点二、有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类： 要点诠释： （1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数. （2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π． （3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数． 【典型例题】 类型一、正数与负数 1．若把向北走7km记为－7km，则＋10km表示的含义是（）． A．向北走10km B．向西走10km C．向东走10km D．向南走10km 【答案】D 【解析】“正”和“负”相对，－7km表示向北走7km，则＋10km表示向南走10 km，所以答案D 【总结升华】正负数表示具有相反意义的量.如果一个量为“正数”，则与其相反意义的量就是负数.反之，当如果一个量为“负数”，则与其相反意义的量就是正数，且这两个量的单位相同．
【变式1】一种大米的质量标识为“（50±0.5）千克”，则下列各袋大米中质量不合格的是（） A．50.0千克 B．50.3千克 C．49.7千克 D．49.1千克 【答案】D． 解：“50±0.5千克”表示最多为50.5千克，最少为49.5千克． 【变式2】（1）如果收入300元记作+300元，那么支出500元用___________ 表示，0元表示__________ . (2)若购进50本书，用-50本表示，则盈利30元如何表示？ 【答案】(1)-500元；既没有收入也没有支出. (2)不是一对具有相反意义的量，不能表示. 【变式3】如果60m表示“向北走60m”，那么“向南走40m”可以表示为（）．A．－20m B．－40m C．20m D．40m 【答案】B 2．体育课上，华英学校对九年级男生进行了引体向上测试，以能做7个为标准，超过的次数记为正数，不足的次数记为负数，其中8名男生的成绩如下：2，-1，0，3，-2，-3，1，0 （1）这8名男生有百分之几达到标准？ （2）他们共做了多少引体向上？ 【答案与解析】（1）由题意可知：正数或0表示达标， 而正数或0的个数共有5个，所以百分率为：5 100%62.5% 8 ⨯=； 答：这8名男生有62.5%达到标准. （2）（7+2）+（7-1）+7+（7+3）+（7-2）+（7-3）+（7+1）+7=56（个）答：他们共做了引体向上56个. 【总结升华】一定要先弄清“基准”是什么. 类型二、有理数的分类 3．下面说法中正确的是( )． A．非负数一定是正数． B．有最小的正整数，有最小的正有理数． C． a -一定是负数． D ．正整数和正分数统称正有理数． 【答案】D 【解析】(A)不对，因为非负数还包括0；(B) 最小的正整数为1，但没有最小的正有理数； (C)不对，当a为负数或0时，则a -为正数或0，而不是负数；(D)对 【总结升华】一个有理数既有性质符号，又有除性质符号外的数值部分，两者合在一起才表示这个有理数.
有理数的意义-知识讲解
有理数的意义 【学习目标】 1．掌握用正负数表示实际问题中具有相反意义的量；2．理解正数、负数、有理数的概念； 3. 掌握有理数的分类方法，初步建立分类讨论的思想．【要点梳理】 要点一、正数与负数 像+3、+1.5、 1 2 +、+584等大于0的数，叫做正数；像－3、－1.5、 1 2 -、－584等 在正数前面加“－”号的数，叫做负数． 要点诠释： （1）一个数前面的“+”“-”是这个数的性质符号，“+”常省略，但“-”不能省略. （2）用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种为正可任意选择，但习惯把“前进、上升”等规定为正，而把“后退、下降”等规定为负． （3）0既不是正数也不是负数，它是正数和负数的分界线． 要点二、有理数的分类 （1）按整数、分数的关系分类：（2）按正数、负数与0的关系分类： 要点诠释： （1）有理数都可以写成分数的形式，整数也可以看作是分母为1的数. （2）分数与有限小数、无限循环小数可以互化，所以有限小数和无限循环小数可看作分数，但无限不循环小数不是分数，例如π． （3）正数和零统称为非负数；负数和零统称为非正数；正整数、0、负整数统称整数．【典型例题】 类型一、正数与负数 1．（2016•广州）中国人很早开始使用负数，中国古代数学著作《九章算术》的“方程”一章，在世界数学史上首次正式引入负数．如果收入100元记作+100元．那么﹣80元表示（） A．支出20元 B．收入20元C．支出80元 D．收入80元 【思路点拨】在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示．【答案】C 【解析】解：根据题意，收入100元记作+100元， 则﹣80表示支出80元．
有理数的意义包括知识点与配合练习
有理数的意义、数轴、绝对值 第一部分：有理数 1、正负数的概念：比0大的数是正数，比0小的数是负数。“—” 用正数和负数表示相反意义的量 Ⅰ. 相反意义的量必须包含两个因素：1、它们的意义相反；2、它们都具有数量，而且一定是同类量。 Ⅱ.相反意义的量可以人为的规定其正负。在实际生活中，习惯把零以上的温度、上升的高度、收入、买入物品等规定为正数，而把它们相反意义的量规定为负的，用负数表示。2、对“0”的理解：0不在正、负数的范围内，它是正数和负数的分水岭。它的意义非常特殊，它既可以表示无意义，也可以表示其他特殊的意义。 3、有理数的概念：整数和分数统称为有理数；正数、负数、零都是有理数。 4、有理数的分类： 例1：（1）如果把收入50元记做50元，那么下列各数分别表示什么意义？ 20元 2.5元 -80元 0元 （2）如果6摄氏度用6C︒表示，那么零下4摄氏度如何表示？ 例2：把 1312 1271 2.80734%0.67 247 -- 、、、、、、、、、、、、、、-、、分别填在表示正数 和负数的圈内。 正数负数 巩固练习： 1、如果规定向南走为正，那么﹣100米表示向________走100米。 2、某公司股票上周五的收盘价是27元，下表为本周内每日该股票的涨跌情况（上涨为正）： 由上表知，星期一收盘时，每股价格是元，星期四收盘时，每股价格是元。 3、下列说法正确的是（） A.一个有理数不是正数就是负数 B.一个有理数不是正数就是分数 C.有理数是指整数、分数（正有理数、0、负有理数） D.以上说法都正确 4、把下列各数填入相应的大括号内：-7，3.01,300%，-0.142,0.1,0,5/3,-355/113,12 （1）正整数集：{ }；（2）分数集：{ } （3）负数集：{ }；（4）非负整数集：{ } 5、下列判断正确的是( ) A.所有的整数都是正数 B.正整数，负整数统称为整数 C.分数一定是有理数 D.有理数包括小数和整数
有理数的定义-精选教学文档
有理数的定义 有理数可分为整数和分数。英文：rational number读音：yǒu lǐ sh整数和分数统称为有理数，任何一个有理数都可以写成分数m/n(m，n都是整数，且n0)的形式。任何一个有理数都可以在数轴上表示。其中包括整数和通常所说的分数，此分数亦可表示为有限小数或无限循环小数。这一定义在数的十进制和其他进位制(如二进制)下都适用。数学上，有理数是一个整数 a 和一个非零整数 b 的比(ratio)，通常写作 a/b，故又称作分数。希腊文称为，原意为成比例的数(rational number)，但中文翻译不恰当，逐渐变成有道理的数。无限不循环小数称之为无理数(例如：圆周率)有理数和无理数统称为实数。所有有理数的集合表示为Q。以下都是有理数： (1) 整数包含了：正整数、0、负整数统称为整数。 (2)分数包含了：正分数、负分数统称为分数。 (3)小数包含了:有限小数、无限循环小数。而且分数也统称小数，因为分小互化。 如3，-98.11，5.72727272，7/22都是有理数。全体有理数构成一个集合，即有理数集合，用粗体字母Q表示，较现代的一些数学书则用空心字母Q表示。有理数集是实数集的子集，即Q?R。相关的内容见数系的扩张。有理数集是一个域，即在其中可进行四则运算(0作除数除外)，而且对于这些运
算，以下的运算律成立(a、b、c等都表示任意的有理数)：①加法的交换律a+b=b+a;②加法的结合律 a+(b+c)=(a+b)+c;③存在数0，使0+a=a+0=a;④乘法的交换律ab=ba;⑤乘法的结合律a(bc)=(ab)c;⑥乘法的分配律 a(b+c)=ab+ac。0a=0 文字解释：一个数乘0还等于0。此外，有理数是一个序域，即在其上存在一个次序关系。0的绝对值还是0.有理数还是一个阿基米德域，即对有理数a和b，a0，b0，必可找到一个自然数n，使nba。由此不难推知，不存在最大的有理数。值得一提的是有理数的名称。有理数这一名称不免叫人费解，有理数并不比别的数更有道理。事实上，这似乎是一个翻译上的失误。有理数一词是从西方传来，在英语中是(rational number)，而(rational)通常的意义是理性的。中国在近代翻译西方科学著作，依据日语中的翻译方法，以讹传讹，把它译成了有理数。但是，这个词来源于古希腊，其英文词根为(ratio)，就是比率的意思(这里的词根是英语中的，希腊语意义与之相同)。所以这个词的意义也很显豁，就是整数的比。与之相对，而无理数就是不能精确表示为两个整数之比的数，而并非没有道理(无理数就是无限不循环小数，也是其中一个无理数)。
