现代控制理论试题B 卷及答案
一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤
=+=⎢
⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个）
解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分）
2．选取状态变量1x y =，2x y =，3x y =，可得 …..….…….（1分）
1223
3131
835x x x x x x x u y x ===--+= …..….…….（1分）
写成
010*********x x u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
…..….…….（1分）
[]100y x = …..….…….（1分）
二、1给出线性定常系统(1)()(),
()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。（3分）
2已知系统[]210 020,011003x x y x ⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥-⎣⎦
，判定该系统是否完全能
观？(5分)
解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),
,(1)u k u k u k N ++-，时系统从第k 步的
状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2.
[][]320300020012 110-=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2分）
三、已知系统1、2的传递函数分别为
2122211
(),()3232
s s g s g s s s s s -+==++-+
求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解
112(1)(1)11
()()()(1)(2)(1)(2)4
s s s s g s g s g s s s s s s -+++==
⋅=++--- …..….…….（5分）
最小实现为
[]010,10401x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
…..….…….（3分）
四、将下列状态方程u x x
⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11 4321 化为能控标准形。(8分)
解 []⎥
⎦
⎤
⎢
⎣⎡-==7111Ab b U C ……..…………….…….（1分） ()⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣⎡-=-818
1
81871C U ……..…………..…….…….（1分） 11188P ⎡⎤
=-⎢⎥⎣⎦
……..………….…..…….…….（1分） ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=434
12P ……..………….…...…….…….（1分） ⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=434
1
8181
21P P P 1314
88114
8P -⎡⎤-⎢⎥
=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
..………….…...…….…….（1分） 1
01105C A PAP -⎡⎤
==⎢⎥
-⎣⎦………….…...…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢
⎢⎣⎡-==1011 434
1818
1Pb b C ……….…...…….…….（1分）
u x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10 51010 ……….…...…….…….（1分）
五、利用李亚普诺夫第一方法判定系统1211x x -⎡⎤
=⎢⎥--⎣⎦
的稳定性。（8分） 解
2
12231
1I A λλλλλ+-⎡⎤⋅-==++⎢⎥+⎣⎦…………...……....…….…….（3分）
特征根1λ=-…………...…...…….…….（3分）
均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定…...…….…….（2分）
六、利用李雅普诺夫第二方法判断系统1123-⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
x x 是否为大范围渐近稳定： （8分） 解
11
1212
22p p P p p ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
T A P PA I +=-…………...……....…….…….（1分）
111211122212
22241
420261
p p p p p p p -+=-⎧⎪
-+=⎨⎪-=-⎩………...……....…….…….（1分） 112212743858p p p ⎧=⎪
⎪
=⎨⎪
=⎪⎩
………...…………....…….…….（1分） 11
1212
227
5485
38
8p
p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥
==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
...…………....…….…….（1分） 11121112
22757
17480 det det 0534648
8p p P p p ⎡⎤
⎡⎤⎢⎥=
>==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦
⎣⎦
………...（1分） P 正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.………（1分）
七、已知系统传递函数阵为 2211(1)(2)
()213(1)(2)1s s s s G s s s s s s +⎡
⎤⎢⎥
-+⎢
⎥=-⎢
⎥⎢⎥+-+⎣⎦
试判断该系统能否用状态反馈和输入变换实现解耦控制。（6分）
解： 10d = 20d = ---------- （2分）
[]110E =， []101E = ---------- （2分）
1001E ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
非奇异，可实现解耦控制。------ （2分）
11
1212
22p p P p p ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
八、给定系统的状态空间表达式为[]12310110,0101011x x u y x ---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
，
设计一个具有特征值为-1， -1，-1的全维状态观测器。（8分） 解：方法1
1
2
3
1
23
111
1
E I A EC E E λλλλ++⋅-+=
++--+ ------ 1分 23222133
32223321
(21)3313332(3)(26)64E E E E E E E E E E E λλλλλλλλλλ=+++++++++++++=+++++++++ -- 2分
又因为 *32()331f λλλλ=+++ ------- 1分 列方程
32123264126333
E E E E E E +++=++=+= ----- 2分 1232,0,3E k E =-==- ----------- 1分
观测器为
10312ˆˆ0110010113x x u y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
------- 1分 方法2
321
2
3
1
13661
1
I A λλλλλλλ+⋅-=+-=+++-+ ------------------- 1分 *32()331f λλλλ=+++
-------------------2分
1235,3,0
E E E =-=-=
-------------------1分
2
1211()10100T
T T
T T a a Q C A C A C a ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤=⎣
⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
------------------2分
1232,0,3E k E =-==- 1分
观测器为
10312ˆˆ0110010113x x u y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
------ 1分 九 解 1
2100010012A O A O A ⎛⎫
⎛⎫
⎪== ⎪ ⎪⎝⎭
⎪⎝⎭
， 12101,12A A ⎛⎫== ⎪⎝⎭
………………..（1
分）
1200
A t
At
A t e e e ⎛⎫
=
⎪⎝⎭
1A t t e e =…………………………..……….（1分）
11
210()12s sI A s ---⎛⎫-= ⎪--⎝⎭10111
121
2s s s s ⎛⎫ ⎪
-=
⎪ ⎪-
⎪---⎝⎭
………..……….（1分） ()
{
}
21
1
2220t A t
t t t e e
L
sI A e e
e --⎛⎫
=-= ⎪-⎝⎭
……….…（1分）()1
122000
00t At t t t
t e e L sI A e e e e --⎛⎫ ⎪
⎡⎤=-= ⎪⎣⎦
⎪-⎝
⎭
……….……….（2分）
222001000001t
t t t t
t t e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪
⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭⎝⎭
……………..……….（2分） 《现代控制理论》复习题1
一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则
在其左边的括号里打√，反之打×。
（ √ ）1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 （ × ）2. 若一个对象的连续时间状态空间模型是能控的，则其离散化状态空间模型也一定是能控的。
（ × ）3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。
（ √ ）4. 对系统Ax x = ，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征
值都具有负实部是一致的。
()(0)
At x t e x =
（ √ ）5. 根据线性二次型最优控制问题设计的最优控制系统一定是渐近稳定的。
二、（15分）考虑由下式确定的系统： 2
33
)(2
+++=
s s s s G 试求其状态空间实现的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。 解： 能控标准形为
[]⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212113103210x x y u x x x x
能观测标准形为
[]⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212110133120x x y u x x x x
对角标准形为
[]⎥
⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21212112112001x x y u x x x x
三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的作用。对系统
x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=3210
求其状态转移矩阵。 解：解法1。
容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是2,121-=-=λλ，它们是不相同的，故系统的矩阵A 可以对角化。矩阵A 对应于特征值2,121-=-=λλ的特征向量是
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=21,
1121νν
取变换矩阵 []⎥⎦⎤⎢⎣⎡--==-1112121ννT ， 则 ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=-21111
T 因此， ⎥
⎦
⎤⎢⎣⎡--==-20011TAT D 从而，
⎥
⎦⎤⎢⎣⎡+-+---=⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢
⎣⎡=-------------t t t t t
t t
t
t t t t
At
e e e e e
e e e e e T e e T e
2222221
222211120
02111
解法2。拉普拉斯方法 由于
⎥⎥
⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+++-+++-+-++-+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++-+++++=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-+++=--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-=---2211221221112112)2)(1()2)(1(2)2)(1(1)2)(1(32132)3(1
)(adj )det(1321)(1
1s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s s A sI A sI s s A sI
故 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=-==Φ----------t t t
t t t t
t At
e e e
e e e e e A sI L e
t 222211
2222])[()(
解法3。凯莱-哈密尔顿方法
将状态转移矩阵写成 A t a I t a e At )()(10+=
系统矩阵的特征值是-1和-2，故 )(2)()()(10210t a t a e t a t a e t t -=-=-- 解以上线性方程组，可得 t t t t e e t a e e t a 2120)(2)(-----=-=
因此， ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡+-+---=+==Φ--------t t t
t t t t
t At
e e e
e e e e e A t a I t a e
t 2222102222)()()(
四、（15分）已知对象的状态空间模型Cx y Bu Ax x =+=, ,是完全能观的，
请画出观测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。 解 观测器设计的框图：
观测器方程：
Ly
Bu x LC A Cx y L Bu x A x ++-=-++=~)()
(~~ 其中：x ~
是观测器的维状态，L 是一个n ×p 维的待定观测器增益矩阵。 观测器设计方法：
由于 )](det[])(det[)](det[T T T T L C A I LC A I LC A I --=--=--λλλ 因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L ，使得T T T L C A -具有给定的观测器极点。具体的方法有：直接法、变换法、爱克曼公式。
五、（15分）对于一个连续时间线性定常系统，试叙述Lyapunov 稳定性定理，并举一个二阶系统例子说明该定理的应用。 解 连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理：
线性时不变系统Ax x
= 在平衡点0=e x 处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q ，李雅普诺夫矩阵方程Q PA P A T -=+有惟一的对称正定解P 。
在具体问题分析中，可以选取Q = I 。
考虑二阶线性时不变系统： ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡21
211110x x x x
原点是系统的惟一平衡状态。求解以下的李雅普诺夫矩阵方程
I PA P A T -=+
其中的未知对称矩阵 ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡=22121211
p p p p P 将矩阵A 和P 的表示式代入李雅普诺夫方程中，可得
⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--1001111011102212
1211
2212
1211
p p p p p p p p 进一步可得联立方程组
1
22012221222121112-=-=---=-p p p p p p 从上式解出11p 、12p 和22p ，从而可得矩阵 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=12/12/12/322121211p p p p P 根据塞尔维斯特方法，可得 04
5
det 02
3
21>=
=∆>=
∆P 故矩阵P 是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。 六、（10分）已知被控系统的传递函数是
)
2)(1(10
)(++=
s s s G
试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1 ± j 。
解 系统的状态空间模型是
[]x
y u x x 010103210=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=
将控制器 []x k k u 10-= 代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程
x k k x ⎥⎦
⎤
⎢
⎣⎡----=10
3210 该闭环系统的特征方程是 )2()3()det(012k k A I c ++++=-λλλ 期望的闭环特征方程是 22)1)(1(2++=++-+λλλλj j 通过 22)2()3(2012++=++++λλλλk k 可得 222301=+=+k k 从上式可解出 01
01+-=k k
因此，要设计的极点配置状态反馈控制器是 []⎥⎦⎤
⎢⎣⎡=2110x x u
七、（10分）证明：等价的状态空间模型具有相同的能控性。 证明 对状态空间模型
Du
Cx y Bu Ax x
+=+=
它的等价状态空间模型具有形式
u
D x C y u B x A x
+=+=
其中：
D D CT C TB
B TAT A ====--1
1
T 是任意的非奇异变换矩阵。利用以上的关系式，等价状态空间模型的能控
性矩阵是
]
,[][])([]
[]
,[1
1111B A T B A AB B T TB TAT TB TAT TB B A B A B
B A c n n n c Γ====Γ-----
由于矩阵T 是非奇异的，故矩阵],[B A c Γ，和],[B A c Γ具有相同的秩，从而等价的状态空间模型具有相同的能控性。
八、（15分）在极点配置是控制系统设计中的一种有效方法，请问这种方法能改善控制系统的哪些性能？对系统性能是否也可能产生不利影响？如何解决？
解： 极点配置可以改善系统的动态性能，如调节时间、峰值时间、振荡幅度。
极点配置也有一些负面的影响，特别的，可能使得一个开环无静差的系统通过极点配置后，其闭环系统产生稳态误差，从而使得系统的稳态性能变差。
改善的方法：针对阶跃输入的系统，通过引进一个积分器来消除跟踪误差，其结构图是
构建增广系统，通过极点配置方法来设计增广系统的状态反馈控制器，从
而使得闭环系统不仅保持期望的动态性能，而且避免了稳态误差的出现。 《现代控制理论》复习题2
一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。
（ × ）1. 对一个系统，只能选取一组状态变量；
（ √ ）2. 由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的状态矩阵，进而决定系统的动态特性；
（ × ）3. 若传递函数B A sI C s G 1)()(--=存在零极相消，则对应的状态空间模型描述的系统是不能控不能观的；
（ × ）4. 若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的；
（ √ ）5. 状态反馈不改变系统的能控性。 二、（20分）已知系统的传递函数为
)
5)(3(5
2)(+++=
s s s s G
（1） 采用串联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图；
（2） 采用并联分解方式，给出其状态空间模型，并画出对应的状态变量图。
答:（1）将G (s )写成以下形式：
5
5231)(++⋅+=
s s s s G
这相当于两个环节
31+s 和5
52++s s 串连，它们的状态空间模型分别为： ⎩⎨
⎧=+-=1
1113x y u x x
和⎩⎨⎧+-=+-=1212255u x y u x x
由于11u y =，故可得给定传递函数的状态空间实现是：
将其写成矩阵向量的形式，可得：
对应的状态变量图为：
串连分解所得状态空间实现的状态变量图
（2）将G (s )写成以下形式：
它可以看成是两个环节35.0+-s 和5
5.2+s 的并联，每一个环节的状态空间模型分别为：
和
由此可得原传递函数的状态空间实现：
进一步写成状态向量的形式，可得：
对应的状态变量图为：
并连分解所得状态空间实现的状态变量图
三、（20分）试介绍求解线性定常系统状态转移矩阵的方法，并以一种方法和一个数值例子为例，求解线性定常系统的状态转移矩阵；
答：求解状态转移矩阵的方法有：
方法一直接计算法：
根据状态转移矩阵的定义
来直接计算，只适合一些特殊矩阵A。
方法二 通过线性变换计算状态转移矩阵，设法通过线性变换，将矩阵A 变换成对角矩阵或约当矩阵，进而利用方法得到要求的状态转移矩阵。 方法三 拉普拉斯变换法：])[(11---=A sI L e At 。 方法四 凯莱-哈密尔顿方法
根据凯莱-哈密尔顿定理和，可导出At e 具有以下形式：
其中的)(),(),(120t t t n -ααα 均是时间 t 的标量函数。根据矩阵A 有n 个不同特征值和有重特征值的情况，可以分别确定这些系数。 举例：利用拉普拉斯变换法计算由状态矩阵
所确定的自治系统的状态转移矩阵。 由于
故
四、（10分）解释状态能观性的含义，给出能观性的判别条件，并举例说明之。
答：状态能观性的含义：状态能观性反映了通过系统的输出对系统状态的识别能力，对一个零输入的系统，若它是能观的，则可以通过一段时间内的测量输出来估计之前某个时刻的系统状态。 状态能观的判别方法： 对于n 阶系统
1. 若其能观性矩阵⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=Γ-1n o CA CA C 列满秩，则系统完全能观 2. 若系统的能观格拉姆矩阵
非奇异，则系统完全能观。 举例： 对于系统
其能观性矩阵
的秩为2，即是列满秩的，故系统是能观的。
五、（20分）对一个由状态空间模型描述的系统，试回答： （1） 能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是什么？ （2） 简单叙述两种极点配置状态反馈控制器的设计方法； （3） 试通过数值例子说明极点配置状态反馈控制器的设计。
答：（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件：系统是能控的。 （2）极点配置状态反馈控制器的设计方法有直接法、变换法、爱克曼公式法。 ① 直接法
验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。
设状态反馈控制器u =−Kx ，相应的闭环矩阵是A −BK ，闭环系统的特征多项式为
由期望极点n λλ,,1 可得期望的闭环特征多项式
通过让以上两个特征多项式相等，可以列出一组以控制器参数为变量的线性方程组，由这组线性方程可以求出极点配置状态反馈的增益矩阵K 。 ② 变换法
验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。 将状态空间模型转化为能控标准型，相应的状态变换矩阵
设期望的特征多项式为
而能控标准型的特征多项式为
所以，状态反馈控制器增益矩阵是
（3）采用直接法来说明极点配置状态反馈控制器的设计考虑以下系统
设计一个状态反馈控制器，使闭环系统极点为2−和−3。该状态空间模型的能控性矩阵为
该能控性矩阵是行满秩的，所以系统能控。
设状态反馈控制器
将其代入系统状态方程中，得到闭环系统状态方程
其特征多项式为
由期望的闭环极点− 2和−3，可得闭环特征多项式
现代控制理论试卷 1 一、(10分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1)用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。（） (2)线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的能观性不变。（） (3)若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。（） (4)状态反馈不改变被控系统的能控性和能观测性。（） (5)通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时能控和能观的。（） 二、（12分）已知系统 1001 010,(0)0 0121 x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ == ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，求() x t. 三、(12分) 考虑由下式确定的系统： 2 s+2 (s)= 43 W s s ++ ，求其状态空间实现的能 控标准型和对角线标准型。 四、（9分）已知系统[] 210 020,011 003 x x y ⎡⎤ ⎢⎥ == ⎢⎥ ⎢⎥ - ⎣⎦ ，判定该系统是否完全能观？
五、(17分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性. []x y u x x 11103211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 六、（17分）已知子系统 1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥ -⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤ =+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 求出串联后系统的状态模型和传递函数. 七、（15分）确定使系统2001020240021a x x u b -⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 为完全能控时，待定参数的取值范围。 八、（8分）已知非线性系统 ⎩⎨⎧ --=+-=21122 11sin 2x a x x x x x 试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。
现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。 2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 12。….. 23 3118x x x x y x ==--=010080x ⎡⎢=⎢⎢-⎣分） 00⎣(5分) 解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-， 时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完 全能控的，简称能控。…..….…….（3分）
2. [][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎤⎡⎤⎡110C 1分） 0140x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=-818 1881C U ……..…………..…….…….（1分） 1118 8P ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦……..………….…..…….…….（1分） ⎦ ⎤⎢⎣⎡=43412P ……..………….…...…….…….（1分）
1314881148P -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ ..………….…...…….…….（1分） 101105C A PAP -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦ ………….…...…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==1011 43418181Pb b C ……….…...…….…….（1分） 1分） 解（3分） 3分） 2分） （81分） 11121112221222420261p p p p p ⎪-+=⎨⎪-=-⎩………...……....…….…….（1分） 112212743858p p p ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ………...…………....…….…….（1分）
现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? &能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++=&&&&&求得系统的状态方程和输出方 程（4分/个） 解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y =&，3x y =&&，可得 …..….……. （1分） 1223 3131 835x x x x x x x u y x ===--+=&&& …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? & …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? &，判定该系统是否完 全能观？(5分)
解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-L ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ????? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2 分） 三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分） 最小实现为
现代控制理论习题及答案 现代控制理论习题及答案 现代控制理论是控制工程领域的重要分支，它研究如何设计和分析控制系统，以实现对动态系统的稳定性、响应速度、精度等方面的要求。在学习现代控制理论过程中，习题是一个非常重要的环节，通过解答习题可以帮助我们巩固理论知识，提高问题解决能力。本文将介绍一些常见的现代控制理论习题及其答案，希望对读者有所帮助。 1. 题目：给定一个开环传递函数 G(s) = 10/(s+5)，求其闭环传递函数 T(s) 和稳定性判断。 解答：闭环传递函数 T(s) 可以通过公式 T(s) = G(s) / (1 + G(s)) 计算得到。代入G(s) 的表达式，得到 T(s) = 10/(s+15)。稳定性判断可以通过判断开环传递函数G(s) 的极点是否在左半平面来进行。由于 G(s) 的极点为 -5，位于左半平面，因此系统是稳定的。 2. 题目：给定一个系统的状态空间表达式为 dx/dt = Ax + Bu，其中 A = [[-1, 2], [0, -3]]，B = [[1], [1]]，求系统的传递函数表达式。 解答：系统的传递函数表达式可以通过状态空间表达式进行求解。首先，计算系统的特征值，即矩阵 A 的特征值。通过求解 det(sI - A) = 0，可以得到系统的特征值为 -1 和 -3。然后，将特征值代入传递函数表达式的分母，得到传递函数的分母为 (s+1)(s+3)。接下来，计算传递函数的分子，可以通过求解 C = D(sI - A)^(-1)B 得到，其中 C 和 D 分别为输出矩阵和输入矩阵。代入给定的 A、B 矩阵，计算得到 C = [1, 0] 和 D = [0]。因此，系统的传递函数表达式为 G(s) = C(sI - A)^(-1)B = [1, 0] * [(s+1)^(-1), -2(s+3)^(-1); 0, (s+3)^(-1)] * [1; 1] =
现代控制理论试卷 一、简答题（对或错，10分） （1）描述系统的状态方程不是唯一的。 （2）用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。 （3）对单输入单输出系统，如果1 ()C sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控或者不可观测。 （4）对多输入多数出系统，如果1()sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控。 （5）李雅普诺夫直接法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。 （6）李雅普诺夫函数是正定函数，李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性。 （8）线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。 （9）用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。 （10）通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时可控和可观测。 对一个线性定常的单输入单输出5阶系统，假定系统可控可观测，通过设计输出至输入的反馈矩阵H 的参数能任意配置系统的闭环极点。 二、试求下述系统的状态转移矩阵()t Φ和系统状态方程的解x 1(t)和x 2(t)。（15分） 1122()()012()()()230x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤ =+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣ ⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12(0)0,(),0(0)1t x u t e t x -⎡⎤⎡⎤==≥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ 三、设系统的传递函数为 ()10 ()(1)(2) y s u s s s s =++。试用状态反馈方法，将闭环极点配置在－2，－1＋j ，－1－j 处，并写出闭环系统的动态方程和传递函数。（15分） 四、已知系统传递函数 2()2 ()43 Y s s U s s s +=++，试求系统可观标准型和对角标准型，并画出系统可观标准型的状态变量图。（15分） 五、已知系统的动态方程为[]211010a x x u y b x ⎧⎡⎤⎡⎤ =+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦⎪=⎩ ，试确定a ，b 值，使系统完全可控、完 全可观。（15分） 六、确定下述系统的平衡状态，并用李雅普诺夫稳定性理论判别其稳定性。（15分）
现代控制理论试题与答案 《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如 下：令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压 作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1- 4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。解：系统的状态空间表达式如下所示：1 -5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6 （2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式‘画出其模拟结构图求 系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A 的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和 W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-2
现代控制理论试题 B 卷及答案 2 1 cvcvx ， 一、 1 系统 x 2 xu, y 0 1 x 能控的状态变量个数是 0 1 能观测的状态变量个数是 cvcvx 。 2 试从高阶微分方程 y 3y 8 y 5u 求得系统的状态方程和输出方 程（4 分/ 个） 解 1 ． 能控的状态变量个数是 2，能观测的状态变量个数是 1。状态变量个数是 2。⋯ .. （4 分） 2．选取状态变量 x 1 y ， x 2 y ， x 3 y ，可得 ⋯ .. ⋯ . ⋯⋯ . （1 分） x 1 x 2 x 2 x 3 ⋯.. ⋯. ⋯⋯ . （1 分） x 3 8x 1 3x 3 5u y x 1 写成 0 1 0 0 x 0 0 1 x 0 u ⋯.. ⋯. ⋯⋯ . （1 分） 8 0 3 5 y 1 0 0 x ⋯.. ⋯. ⋯⋯ . （1 分） 二、 1 给出线性定常系统 x( k 1) Ax( k) Bu( k), y(k) Cx (k) 能控的定义。 （3 分） 2 1 0 2 已知系统 x 0 2 0 x, y 0 1 1 x ，判定该系统是否完 0 0 3 全能观？ (5 分)
解 1 ．答：若存在控制向量序列 u (k ), u(k 1), , u(k N 1) ，时系统从第 k 步的状态 x(k) 开始，在第 N 步达到零状态，即 x( N ) 0 ，其中 N 是大于 0 的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个 k ，系 统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能 控。⋯ .. ⋯. ⋯⋯ . （3 分） 2. 2 1 0 CA 0110 2 0 0 2 3⋯⋯⋯.. ⋯⋯⋯. 0 0 3 （1 分） 2 1 0 CA20230 2 0 0 4 9 ⋯⋯.. ⋯⋯⋯.（1分） 0 0 3 C 0 1 1 U O CA 0 2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .. ⋯⋯⋯ . （1 分） CA20 4 9 rankU O 2 n ，所以该系统不完全能观⋯⋯ .. ⋯. ⋯⋯ .（2 分） 三、已知系统 1、 2 的传递函数分别为 g1 (s) s2 1 , g2 s 1 3s 2 ( s) 3s 2 s2s2 求两系统串联后系统的最小实现。（8 分）解 g(s) g1 ( s 1)(s 1) s 1 s 1 (s)g1( s) 1)(s 2) ( s 1)(s 2) s2 4 ( s ⋯.. ⋯.⋯⋯. （5 分） 最小实现为
现代控制理论试题 B 卷及答案 2 1 0 cvcvx ， 一、 1 系统 x 2 x u, y 0 1 x 能控的状态变量个数是 0 1 能观测的状态变量个数是 cvcvx 。 2 试从高阶微分方程 y 3y 8 y 5u 求得系统的状态方程和输出方 程（4 分/ 个） 解 1 ． 能控的状态变量个数是 2，能观测的状态变量个数是 1。状态变量个数是 2。⋯ .. （4 分） 2．选取状态变量 x 1 y ， x 2 y ， x 3 y ，可得 ⋯ .. ⋯ . ⋯⋯ . （1 分） x 1 x 2 x 2 x 3 ⋯.. ⋯. ⋯⋯ . （1 分） x 3 8x 1 3x 3 5u y x 1 写成 0 1 0 0 x 0 0 1 x 0 u ⋯.. ⋯. ⋯⋯ . （1 分） 8 0 3 5 y 1 0 0 x ⋯.. ⋯. ⋯⋯ . （1 分） 二、 1 给出线性定常系统 x( k 1) Ax(k ) Bu (k), y(k) Cx (k) 能控的定义。 （3 分） 2 1 0 2 已知系统 x 0 2 0 x, y 0 1 1 x ，判定该系统是否完 0 0 3 全能观？ (5 分)
解 1 ．答：若存在控制向量序列u (k ), u(k 1), , u( k N 1) ，时系统从第k 步的状态x( k)开始，在第 N 步达到零状态，即x( N ) 0 ，其中N是大于0 的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能 控。⋯ .. ⋯. ⋯⋯ . （3 分） 2. 2 1 0 CA 0110 2 0 0 2 3 ⋯⋯⋯.. ⋯⋯⋯. 0 0 3 （1 分） 2 1 0 CA2 0230 2 0 0 4 9⋯⋯..⋯⋯⋯.（1分） 0 0 3 C 0 1 1 U O CA 0 2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯⋯.（1分） CA 2 0 4 9 rankU O 2 n ，所以该系统不完全能观⋯⋯..⋯.⋯⋯.（2 分） 三、已知系统 1、 2 的传递函数分别为 g1 (s) s2 1 , g2 s 1 3s 2 ( s) 3s 2 s2 s2 求两系统串联后系统的最小实现。（8 分）解 g(s) g1 ( s 1)(s 1) s 1 s 1 (s)g1( s) 1)(s 2) ( s 1)(s 2) s2 4 ( s ⋯.. ⋯.⋯⋯. （5分） 最小实现为
现代控制理论试题(详细答案) LT
[]010,10401x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ …. .….…….（3分） 四、将下列状态方程u x x ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=11 4321 化为能控标准形。(8分) 解 []⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣⎡-==7111Ab b U C ……..…………….…….（1分） ()⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢ ⎣⎡-=-8181 81871C U ……..…………..…….…….（1分） 1118 8P ⎡⎤ =-⎢⎥⎣⎦ ……..………….…..…….…….（1分） ⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣⎡=434 12P ……..………….…...…….…….（1分） ⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡=434 1 8181 21P P P 1314 88114 8P -⎡⎤-⎢⎥ =⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ ..………….…...…….…….（1分） 101105C A PAP -⎡⎤ ==⎢⎥ -⎣⎦………….…...…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎣⎡-==1011 434 1818 1Pb b C ……….…...…….…….（1分） u x x ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=10 51010 ……….…...…….…….（1分） 五、利用李亚普诺夫第一方法判定系统1211x x -⎡⎤ =⎢⎥--⎣⎦ 的稳定性。（8分） 解
2 12231 1I A λλλλλ+-⎡⎤⋅-==++⎢⎥+⎣⎦…………...……....…….…….（3分） 特征根1λ=-±…………...…...…….…….（3分） 均具有负实部，系统在原点附近一致渐近稳定…...…….…….（2 分） 六、利用李雅普诺夫第二方法判断系统1123-⎡⎤ =⎢⎥-⎣⎦ x x 是否为大范围渐近稳定： （8分） 解 11 1212 22p p P p p ⎡⎤ =⎢ ⎥⎣⎦ T A P PA I +=-…………...……....…….…….（1分） 111211122212 22241 420261 p p p p p p p -+=-⎧⎪ -+=⎨⎪-=-⎩………...……....…….…….（1分） 112212743858p p p ⎧=⎪ ⎪ =⎨⎪ =⎪⎩ ………...…………....…….…….（1分） 11 1212 227 5485 38 8p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥ ==⎢ ⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ...…………....…….…….（1分） 1112111222757 17480 det det 05346488p p P p p ⎡⎤ ⎡⎤⎢⎥= >==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ⎣⎦ ………...（1分） P 正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.………（1
现代控制理论基础试卷 1、①已知系统u u u y y 222++=+ ，试求其状态空间最小实现。（5分） ②设系统的状态方程及输出方程为 11000101;0111x x u ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ []001y x = 试判定系统的能控性。（5分） 2、已知系统的状态空间表达式为 00001⎛⎫⎡⎤ =+ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎣⎦x x u t ；[]x y 01=； ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡=11)0(x 试求当0;≥=t t u 时，系统的输出)(t y 。（10分） 3、给定系统的状态空间表达式为 u x x ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=100100110100013 ，211021y x -⎡⎤ =⎢⎥⎣⎦ 试确定该系统能否状态反馈解耦，若能，则将其解耦（10分）
4、给定系统的状态空间表达式为 []12020110,1001011--⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ x x u y x 设计一个具有特征值为 1 1 1---，，的全维状态观测器（10分） 5、①已知非线性系统 ⎩⎨⎧--=+-=2112 211sin 2x a x x x x x 试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。（5分） ②判定系统112 21223x x x x x x =-+⎧⎨=--⎩在原点的稳定性。(5) 6、已知系统 u x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=110011 ，试将其化为能控标准型。（10分） 7、已知子系统 1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤ =+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 求出串联后系统
现代控制理论试卷作业 一．图为R-L-C电路，设u为控制量，电感L上的支路电流 11 1212 22 121212 010 Y x U R R R R Y x R R R R R R ⎡⎤⎡⎤ ⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥ =+ ⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥ - ⎣⎦⎣⎦ +++ ⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦⎣⎦ 和电容C上的电压 2 x为状态变 量，电容C上的电压 2 x为输出量，试求：网络的状态方程和输出方程（注意指明参考方向）。 解：此电路没有纯电容回路，也没有纯电感电路，因有两个储能元件，故有独立变量。 以电感L上的电流和电容两端的电压为状态变量，即令： 12 , L c i x u x ==，由基尔霍夫电压定律可得电压方程为： 2221 R C x x L x •• +-= 1121 ()0 R x C x L x u •• ++-= 从上述两式可解出 1 x • ， 2 x • ，即可得到状态空间表达式如下： 12 112 1 2 12 () () R R x R R L R x R R C • • ⎡ - ⎡⎤⎢+ ⎢⎥⎢ = ⎢⎥⎢ - ⎣⎦⎢ + ⎣ 12 1 1212 2 1212 ()() 11 ()() R R x R R L R R L u x R R C R R C ⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥ ++ ⎡⎤ ⎥⎢⎥ + ⎢⎥ ⎥⎢⎥ ⎣⎦ -⎥⎢⎥ ++ ⎦⎣⎦ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 y y = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + - 2 1 1 2 1 2 1 1 R R R R R R R ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ 2 1 x x +u R R R ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + 2 1 2 二、考虑下列系统：