现代控制理论 习 题 集
序 为了帮助同学们更好地学习《现代控制理论》这门大学自动化专业的主干基础课程，在王整风老师的指导下，我们共同编写了这本基于刘豹版本教材的习题集，希望能让大家拥有做题不仅仅注重题目答案，更关注解题过程的意识。 本书第一章由张胜编写，第二章由何新礼编写，第三章由刘洋编写，第四章由邢雅琪编写，第五章由孙峰编写，由宋永康和王彦明统稿，在此向王老师和以上同学表示感谢。 由于时间仓促，本习题集难免有不当之处，个别题目的解法并不唯一，解题过程难免有错误、疏漏的地方，恳请大家批评指正。 编者 2013年6月
目录 第一章控制系统的状态空间表达式 (1) 第二章控制系统状态空间表达式的解 (13) 第三章线性控制系统的能控性和观性 (21) 第四章稳定性与李亚普诺夫方法 (33) 第五章线性定常系统综合 (38)
第一章控制系统的状态空间表达式 张胜 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 解：直接对系统方块结构图转化得系统的模拟结构图如下： 可得系统的状态方程：
故系统的状态空间表达式为： 1-2 有电路如图1-28所示。以电压u(t)为输入量，求以电感中的电流和电容上的 R上的电压作为输出量的输出方程。电压作为状态变量的状态方程，和以电阻 2 解：易得系统为3维单输入单输出系统：
假定流过c U 上的电流向下，对图中的两个回路由KVL 得 ： 解得 213. 1 1x C x C x -= 转化成矩阵形式为： 1-4 两输入21,u u ，两输出21,y y 的系统。其结构模拟图如图1.30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? &能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++=&&&&&求得系统的状态方程和输出方 程（4分/个） 解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y =&，3x y =&&，可得 …..….……. （1分） 1223 3131 835x x x x x x x u y x ===--+=&&& …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? & …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? &，判定该系统是否完 全能观？(5分)
解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-L ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ????? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2 分） 三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分） 最小实现为
现代控制理论习题及答案 现代控制理论习题及答案 现代控制理论是控制工程领域的重要分支，它研究如何设计和分析控制系统，以实现对动态系统的稳定性、响应速度、精度等方面的要求。在学习现代控制理论过程中，习题是一个非常重要的环节，通过解答习题可以帮助我们巩固理论知识，提高问题解决能力。本文将介绍一些常见的现代控制理论习题及其答案，希望对读者有所帮助。 1. 题目：给定一个开环传递函数 G(s) = 10/(s+5)，求其闭环传递函数 T(s) 和稳定性判断。 解答：闭环传递函数 T(s) 可以通过公式 T(s) = G(s) / (1 + G(s)) 计算得到。代入G(s) 的表达式，得到 T(s) = 10/(s+15)。稳定性判断可以通过判断开环传递函数G(s) 的极点是否在左半平面来进行。由于 G(s) 的极点为 -5，位于左半平面，因此系统是稳定的。 2. 题目：给定一个系统的状态空间表达式为 dx/dt = Ax + Bu，其中 A = [[-1, 2], [0, -3]]，B = [[1], [1]]，求系统的传递函数表达式。 解答：系统的传递函数表达式可以通过状态空间表达式进行求解。首先，计算系统的特征值，即矩阵 A 的特征值。通过求解 det(sI - A) = 0，可以得到系统的特征值为 -1 和 -3。然后，将特征值代入传递函数表达式的分母，得到传递函数的分母为 (s+1)(s+3)。接下来，计算传递函数的分子，可以通过求解 C = D(sI - A)^(-1)B 得到，其中 C 和 D 分别为输出矩阵和输入矩阵。代入给定的 A、B 矩阵，计算得到 C = [1, 0] 和 D = [0]。因此，系统的传递函数表达式为 G(s) = C(sI - A)^(-1)B = [1, 0] * [(s+1)^(-1), -2(s+3)^(-1); 0, (s+3)^(-1)] * [1; 1] =
第一章习题答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1 K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - ++ - + - ) (s θ) (s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ⎰ ⎰ ⎰1 1J ⎰ 2 J K b ⎰ ⎰ - 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下： u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 461 514131 3322211 +-- =+-==++- - == =∙∙ ∙ ∙∙∙ 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
[]⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙ ∙654321165432111111112654321000001000000 000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1L1R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：∙ ∙ ∙ +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =∙ ∙ ∙ 写成矢量矩阵形式为：
现代控制理论试题与答案 《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如 下：令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压 作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1- 4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。解：系统的状态空间表达式如下所示：1 -5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6 （2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式‘画出其模拟结构图求 系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A 的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和 W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-2
现代控制理论复习题库 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
一、选择题 1.下面关于建模和模型说法错误的是( C )。 A．无论是何种系统，其模型均可用来提示规律或因果关系。 B．建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种方式的组合表示状态变量、输入变量、输出变量、参数之间的关系。 C．为设计控制器为目的建立模型只需要简练就可以了。 D．工程系统模型建模有两种途径，一是机理建模，二是系统辨识。 2.系统()3()10() ++=的类型是( B ) 。 y t y t u t A．集中参数、线性、动态系统。 B．集中参数、非线性、动态系统。 C．非集中参数、线性、动态系统。D．集中参数、非线性、静态系统。 3.下面关于控制与控制系统说法错误的是( B )。 A．反馈闭环控制可以在一定程度上克服不确定性。 B．反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动。 C．反馈闭环控制可在一定程度上克服外界扰动的影响。 D．控制系统在达到控制目的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。 x Pz说法错误的是 ( D )。 4.下面关于线性非奇异变换= A．非奇异变换阵P是同一个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。 B．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的特征值。 C．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的传递函数。 D．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的状态空间描述。 5.下面关于稳定线性系统的响应说法正确的是( A )。 A．线性系统的响应包含两部分，一部是零状态响应，一部分是零输入响应。 B．线性系统的零状态响应是稳态响应的一部分。 C．线性系统暂态响应是零输入响应的一部分。 D．离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越大。 6.下面关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是( A ) 。 A．能控且能观的状态空间描述一定对应着某些传递函数阵的最小实现。 B．能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能力。 C．能观性表征的是状态反映输出的能力。 D．对控制输入的确定性扰动影响线性系统的能控性，不影响能观性。 7.下面关于系统Lyapunov稳定性说法正确的是( C ) 。 A．系统Lyapunov稳定性是针对平衡点的，只要一个平衡点稳定，其他平衡点也稳定。B．通过克拉索夫斯基法一定可以构造出稳定系统的Lyapunov函数。 C．Lyapunov第二法只可以判定一般系统的稳定性，判定线性系统稳定性，只可以采用Lyapunov方程。 D．线性系统Lyapunov局部稳定等价于全局稳定性。 8.下面关于时不变线性系统的控制综合说法正确的是( A ) 。 A．基于极点配置实现状态反馈控制一定可以使系统稳定。 B．不可控的系统也是不可镇定的。 C．不可观的系统一定不能通过基于降维观测器的状态反馈实现系统镇定。
现代控制理论参考答案 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式; 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ,则1x y = 所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示;以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程; 解：由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y = 有电路原理可知：• • • +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =• • • 写成矢量矩阵形式为： 1-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵; 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图; 解：令.. 3. 21y x y x y x ===，，,则有 相应的模拟结构图如下： 1-6 2已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟 结构图 解：s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- ++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式
一、选择题 1.下面关于建模和模型说法错误的是( C )。 A．无论是何种系统，其模型均可用来提示规律或因果关系。 B．建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种方式的组合表示状态变量、输入变量、输出变量、参数之间的关系。 C．为设计控制器为目的建立模型只需要简练就可以了。 D．工程系统模型建模有两种途径，一是机理建模，二是系统辨识。 2.系统()3()10() y t y t u t ++=的类型是( B ) 。 A．集中参数、线性、动态系统。B．集中参数、非线性、动态系统。 C．非集中参数、线性、动态系统。D．集中参数、非线性、静态系统。 3.下面关于控制与控制系统说法错误的是( B )。 A．反馈闭环控制可以在一定程度上克服不确定性。 B．反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动。 C．反馈闭环控制可在一定程度上克服外界扰动的影响。 D．控制系统在达到控制目的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。 x Pz说法错误的是( D )。 4.下面关于线性非奇异变换= A．非奇异变换阵P是同一个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。 B．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的特征值。 C．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的传递函数。 D．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的状态空间描述。 5.下面关于稳定线性系统的响应说法正确的是( A )。 A．线性系统的响应包含两部分，一部是零状态响应，一部分是零输入响应。 B．线性系统的零状态响应是稳态响应的一部分。 C．线性系统暂态响应是零输入响应的一部分。 D．离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越大。 6.下面关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是( A ) 。 A．能控且能观的状态空间描述一定对应着某些传递函数阵的最小实现。 B．能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能力。 C．能观性表征的是状态反映输出的能力。 D．对控制输入的确定性扰动影响线性系统的能控性，不影响能观性。 7.下面关于系统Lyapunov稳定性说法正确的是( C ) 。
《现代控制理论》习题 第一章 控制系统的状态空间模型 1.1 考虑以下系统的传递函数： 6 56 )()(2 +++=s s s s U s Y 试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。 1.2 考虑下列单输入单输出系统： u y y y y 66116=+++&&&&&& 试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。 1.3 考虑由下式定义的系统： Cx y Bu Ax x =+=& 式中 ] 11[, 213421 =?? ? ???=??????=C B A ，－－ 试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。 1.4 考虑由下式定义的系统： Cx y Bu Ax x =+=& 式中 ] 011[,10030 021 101=???? ? ?????=????? ?????-=C B A ，－－ 试求其传递函数Y(s)/U(s)。 1.5 考虑下列矩阵： ? ? ??? ???? ???=0001100001000010A 试求矩阵A 的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。再求变换矩阵P ，使得 ) ,,,(diag 43211λλλλ=-AP P
第二章 状态方程的解 2.1 用三种方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数At e 。 1） ?? ? ???--=5160A ； 2） ???? ? ?????---=6116100010A 2.2 计算下列矩阵的矩阵指数函数At e 。 1） ??????=0010A ； 2） ??????=1002－－A ； 3） ????? ?-=0110 A ； 4） ?? ? ???=1021A 5) ??????????---=200010011A ； 6） ??????????=210010001A ； 7） ???? ? ?????=000100010A 2.2 给定线性定常系统 Ax x =& 式中 ?? ????--=2310 A 且初始条件为 ? ? ????-=11)0(x 试求该齐次状态方程的解x (t )。 2.4 已知系统方程如下 []x y u x x 11015610-=??????+??????--=& 求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。 1） ?? ????==01)0(,0)(x t u ； 2） ? ? ????==00)0(,)(1)(x t t u
现代控制理论复习题库 一、选择题 1.以下关于建模和模型的陈述是错误的（c）。 a．无论是何种系统，其模型均可用来提示规律或因果关系。 b、实际上，建模就是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种方式的 组合来表达状态变量、输入变量、输出变量和参数之间的关系。 c．为设计控制器为目的建立模型只需要简练就可以了。 d、工程系统建模有两种方法，一种是机构建模，另一种是系统辨识。2.系统y（T）？3y（t）？10? U（T）的类型是（b）。 a．集中参数、线性、动态系统。b．集中参数、非线性、动态系统。c．非集中参数、线性、动态系统。d．集中参数、非线性、静态系统。3.下面关于控制与控制系统说法错 误的是(b)。a．反馈闭环控制可以在一定程度上克服不确定性。b．反馈闭环控制不可能 克服系统参数摄动。 c、反馈闭环控制可以在一定程度上克服外部干扰的影响。 d．控制系统在达到控制目的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。4.下面关 于线性非奇异变换x?pz说法错误的是(d)。a．非奇异变换阵p是同一个线性空间两组不 同基之间的过渡矩阵。b．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的特征值。 c．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的传递函数。 d、对于线性时不变系统，线性非奇异变换不会改变系统的状态空间描述。5.以下关 于稳定线性系统响应的陈述是正确的（a）。 a．线性系统的响应包含两部分，一部是零状态响应，一部分是零输入响应。b．线性 系统的零状态响应是稳态响应的一部分。c．线性系统暂态响应是零输入响应的一部分。 d、输出响应中最接近零的极点表示的运动模态权重越大。 6.下面关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是(a)。a．能控且能观 的状态空间描述一定对应着某些传递函数阵的最小实现。b．能控性是指存在受限控制使 系统由任意初态转移到零状态的能力。c．能观性表征的是状态反映输出的能力。 d、对控制输入的确定性干扰影响线性系统的可控性，而不影响可观测性。7.以下关 于系统李雅普诺夫稳定性的陈述是正确的（c）。 a．系统lyapunov稳定性是针对平衡点的，只要一个平衡点稳定，其他平衡点也稳定。b．通过克拉索夫斯基法一定可以构造出稳定系统的lyapunov函数。
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - + + - +- ) (s θ)(s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ⎰ ⎰ ⎰1 1J ⎰ 2 J K b ⎰ ⎰- 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下： u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =∙∙∙ ∙∙ ∙ 令y s =)(θ，则1x y =
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙ ∙654321165432111111112654321000001000000 000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1 L1 R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：∙ ∙ ∙ +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+--=∙∙ ∙ 写成矢量矩阵形式为：
现代控制理论1-8三习题库 信息工程学院现代控制理论课程习题清单 正确理解线性系统的数学描述，状态空间的基本概念，熟练掌握状态空间的表达式，线性变换，线性定常系统状态方程的求解方法。 重点容：状态空间表达式的建立，状态转移矩阵和状态方程的求解，线性变换的基本性质，传递函数矩阵的定义。要求熟练掌握通过
传递函数、微分方程和结构图建立电路、机电系统的状态空间表达式，并画出状态变量图，以及能控、能观、对角和约当标准型。难点：状态变量选取的非唯一性，多输入多输出状态空间表达式的建立。 预习题 1.现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有何区别？ 2.状态、状态空间的概念？ 3.状态方程规形式有何特点？ 4.状态变量和状态矢量的定义？ 5.怎样建立状态空间模型？ 6.怎样从状态空间表达式求传递函数？ 复习题 1.怎样写出SISO系统状态空间表达式对应的传递函数阵表达式 2.若已知系统的模拟结构图，如何建立其状态空间表达式？ 3.求下列矩阵的特征矢量 - - = 2 5
10 2 2 1- 1 A 4.（判断）状态变量的选取具有非惟一性。 5.（判断）系统状态变量的个数不是惟一的，可任意选取。 6.（判断）通过适当选择状态变量，可将线性定常微分方程描述其输入输 出关系的系统，表达为状态空间描述。 7.（判断）传递函数仅适用于线性定常系统；而状态空间表达式可以在定 常系统中应用，也可以在时变系统中应用. 8.如果矩阵A 有重特征值，并且独立特征向量的个数小于n ,则只能化为 模态阵。 9.动态系统的状态是一个可以确定该系统______（结构，行为）的信息集 合。这些信息对于确定系统______（过去，未来）的行为是充分且必要 的。 10.如果系统状态空间表达式中矩阵A, B, C, D中所有元素均为实常数时， 则称这样的系统为______（线性定常，线性时变）系统。如果这些元素 中有些是时间t 的函数，则称系统为______（线性定常，线性时变）系 统。 11.线性变换不改变系统的______特征值，状态变量）。
例3-3 有系统如下，判断其是否能控。 u x a a a X ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢ ⎢⎣⎡---=10010 001032 1 解：由A 阵为友阵，设其特征根分别为321,,λλλ，有 （1）若321,,λλλ互异，其变换阵为一个范德蒙德矩阵： ⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=2322 21 32 1 11 1 λλλλλλT 由3210λλλ==⇒=T ，与题设矛盾，故0≠T 从而得： ⎥⎥⎥⎦⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡---=-1231231 * * *** * λλλλλλT ，所以⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡---=-1231231λλλλλλb T 各行均不为0 因此系统是能控的。 （2）若3121,λλλλ≠=，则有： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2 32 21 31 21 101 λλλλλT 由0)(2 13≠-=λλT ，得⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-1****1* *1311λλT T ， 故⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡---=-11311 λλb T 各行均不为0，因此系统是能控的。 （3）若321λλλ==，则有： ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣ ⎡=2201001 2 211 λλλT ，从而得⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎣ ⎡--=-1201001 2 2111 λλλT 故⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=-1001 b T 最后一行元素不为0，因此系统是可控的。 3-6 已知系统的微分方程 试写出其对偶系统的状态空间表达式,及其传递函数。 u y y y y 66116=+++
解：系统的传递函数为 状态空间表达式为 ∑1 其对偶系统的状态空间表达式为 ∑2 由系统 ∑2中，⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎣⎡+++=--**6******61161) (23 12 S s s A sI 故其传递函数为= -=-21 222)()(b A sI c s W 6 1166 23+++S s s 3-7 【习题3-7 】已知能控系统的状态方程A ，b 为 试将该状态空间表达式化为能控标准型 解： ，所以系统是能控的。 特征多项式： 即： 系统能控Ⅰ型： 从而得 [] x y u x x 0061006116100010 =⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= 6 1166 )()()(23+++==s s s s U s Y s W []x y u x x 1000066101101600=⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---= ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=113421b A []n rankM Ab b M ==⎥⎦⎤ ⎢⎣⎡-==27111105 432 12+-=---=-λλλλλA I []⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣ ⎡=1216150117111011 1a b Ab T c ⎥⎦ ⎤ ⎢ ⎣⎡----=⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡-=--62118112161 11c T 10,501=-=a a
现代控制理论复习题库 一、填空题 1. 对任意传递函数00 ()m n j j j j j j G s b s a s ===∑∑，其物理实现存在的条件是 。 2. 系统的状态方程为齐次微分方程=x Ax ，若初始时刻为0，x (0)=x 0则其解为 ___） （）（0x x e t x t A =________。其中， ___t e A __称为系统状态转移矩阵。 3. 对线性连续定常系统，渐近稳定等价于大范围渐近稳定，原因是___整个状态空间中只有一个平衡状 态______________。 4. 系统1111(,,)∑=A B C 和2222(,,)∑=A B C 是互为对偶的两个系统，若1∑使完全能控的，则2∑是___完 全能控_______的。 5. 能控性与能观性的概念是由__卡尔曼kalman ________提出的，基于能量的稳定性理论是由 ___lyapunov_______构建的 6. 线性定常连续系统=+x Ax Bu ，系统矩阵是_____A______，控制矩阵是_____B_____。 7. 系统状态的可观测性表征的是状态可由 输出反映初始状态 完全反映的能力。 8. 线性系统的状态观测器有两个输入，即_________和__________。 9. 状态空间描述包括两部分，一部分是_状态_方程_______，另一部分是____输出方程______。 10. 系统状态的可控性表征的是状态可由 任意初始状态到零状态 完全控制的能力。 11. 由系统的输入-输出的动态关系建立系统的____传递函数___________，这样的问题叫实现问题。 12. 某系统有两个平衡点，在其中一个平衡点稳定，另一个平衡点不稳定，这样的系统是否存在？___不存在_______。 13. 对线性定常系统，状态观测器的设计和状态反馈控制器的设计可以分开进行，互不影响，称为___分 离___原理。 14. 对线性定常系统基于观测器构成的状态反馈系统和状态直接反馈系统，它们的传递函数矩阵是否相同？ __不相同___。 15. 线性定常系统在控制作用()u t 下作强制运动，系统状态方程为u =+x Ax b ，若0 ()1(),(0)u t K t =⋅= x x ， 系统的响应为10()e (e )t t t K -=+-A A x x A b I ，则若0()(),(0)u t K t δ=⋅=x x 时，系统的响应为_______________。 16. 设线性定常连续系统为=+x Ax Bu ，对任意给定的正定对称矩阵Q ，若存在正定的实对称矩阵P ，满 足李亚普诺夫____________________，则可取T ()V =x x Px 为系统李亚普诺夫函数。 17. 自动化科学与技术和信息科学与技术有共同的理论基础，即信息论、___控制论_______、____系统论 _______。 18. 系统的几个特征，分别是多元性、相关性、相对性、__整体性______、___抽象性______。 19. 动态系统中的系统变量有三种形式，即输入变量、__输出变量______、___状态变量______。
一、选择题 1.下面建模和模型说法错误的是 C ; A．无论是何种系统,其模型均可用来提示规律或因果关系; B．建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种方式的组合表示状态变量、输入变量、输出变量、参数之间的关系; C．为设计控制器为目的建立模型只需要简练就可以了; D．工程系统模型建模有两种途径,一是机理建模,二是系统辨识; 2.系统()3()10() y t y t u t ++=的类型是 B ; A．集中参数、线性、动态系统; B．集中参数、非线性、动态系统; C．非集中参数、线性、动态系统;D．集中参数、非线性、静态系统; 3.下面控制与控制系统说法错误的是 B ; A．反馈闭环控制可以在一定程度上克服不确定性; B．反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动; C．反馈闭环控制可在一定程度上克服外界扰动的影响; D．控制系统在达到控制目的的同时,强调稳、快、准、鲁棒、资源少省; x Pz说法错误的是 D ; 4.下面线性非奇异变换= A．非奇异变换阵P是同一个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵; B．对于线性定常系统,线性非奇异变换不改变系统的特征值; C．对于线性定常系统,线性非奇异变换不改变系统的传递函数; D．对于线性定常系统,线性非奇异变换不改变系统的状态空间描述; 5.下面稳定线性系统的响应说法正确的是 A ; A．线性系统的响应包含两部分,一部是零状态响应,一部分是零输入响应; B．线性系统的零状态响应是稳态响应的一部分; C．线性系统暂态响应是零输入响应的一部分; D．离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越大; 6.下面连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是 A ; A．能控且能观的状态空间描述一定对应着某些传递函数阵的最小实现; B．能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能力; C．能观性表征的是状态反映输出的能力; D．对控制输入的确定性扰动影响线性系统的能控性,不影响能观性; 7.下面系统Lyapunov稳定性说法正确的是 C ;