现代控制理论参考答案
第一章答案
1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式; 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ,则1x y =
所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
1-2有电路如图1-28所示;以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程; 解：由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y =
有电路原理可知：•
•
•
+==+=++3
213
222231111x C x x x x R x L u
x x L x R 既得
2
221332
2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+-
=+-=+--
=•
•
•
写成矢量矩阵形式为：
1-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵;
解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述
列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图; 解：令..
3.
21y x y x y x ===，，,则有 相应的模拟结构图如下： 1-6 2已知系统传递函数2
)3)(2()
1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟
结构图
解：s
s s s s s s s s W 31
233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++-
++-=+++=
1-7 给定下列状态空间表达式
[]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘
（1） 画出其模拟结构图
（2） 求系统的传递函数 解：
2⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+-+-=-=31103201
)()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量
3⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=6712203010
A 解：A 的特征方程 0611667122301
23=+++=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ
当11-=λ时,⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---3121113121116712203010p p p p p p 解得： 113121p p p -== 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 或令111-=p ,得⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 当21-=λ时,⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---32221232221226712203010p p p p p p
解得： 123212222
1,2p p p p =-= 令212=p 得 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1423222122p p p P
或令112=p ,得⎥
⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=21213222122p p p P 当31-=λ时,⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---33231333231336712203010p p p p p p 解得： 133313233,3p p p p =-= 令113=p 得 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3313323133p p p P 1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型并联分解
2⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣
⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡32121321321110021357213311201214x x x y y u x x x x x x
解：A 的特征方程 0)3)(1(3112121
42=--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡------=-λλλλλλA I 当31=λ时,⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--3121113121113311201214p p p p p p 解之得 113121p p p == 令111=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1113121111p p p P 当32=λ时,⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--1113311201214312111312111p p p p p p
解之得 32222212,1p p p p =+= 令112=p 得 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0013222122p p p P 当13=λ时,⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--332313332313311201214p p p p p p 解之得
3323
132,0p p p == 令133=p 得 ⎥⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1203323133p p p P
约旦标准型
1-10 已知两系统的传递函数分别为W 1s 和W 2s
试求两子系统串联联结和并联连接时,系统的传递函数阵,并讨论所得结果 解：1串联联结 2并联联结
1-11 第3版教材已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：
1-11第2版教材 已知如图1-22所示的系统,其中子系统1、2的传递函数阵分别为 求系统的闭环传递函数 解：
1-12 已知差分方程为
试将其用离散状态空间表达式表示,并使驱动函数u 的系数b 即控制列阵为 1⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=11b 解法1： 解法2：
求T,使得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-111B T 得⎥⎦⎤⎢⎣⎡=-10111T 所以 ⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡-=1011T 所以,状态空间表达式为
第二章习题答案
2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e ;
2 A=1141⎛⎫
⎪⎝⎭
解：第一种方法： 令
0I A λ-=
则
1
1
04
1
λλ--=-- ,即()2
140λ--=;
求解得到13λ=,21λ=- 当13λ=时,特征矢量11121p p p ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦
由 111Ap p λ=,得11112121311341p p p p ⎡⎤⎡⎤
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即112111112121
343p p p p p p +=⎧⎨
+=⎩,可令112p ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
当21λ=-时,特征矢量12222p p p ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦
由222Ap p λ=,得121222221141p p p p -⎡⎤⎡⎤
⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢
⎥
-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
即122212122222
4p p p p p p +=-⎧⎨+=-⎩ ,可令212p ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
则1122T ⎡⎤=⎢⎥
-⎣⎦
,11
124112
4T -⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
第二种方法,即拉氏反变换法：
第三种方法,即凯莱—哈密顿定理 由第一种方法可知13λ=,21λ=-
2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件,如果满足,试求与之对应的A 阵;
3()22222222t t
t t t
t
t t e e e e t e e e e --------⎡⎤--Φ=⎢⎥--⎣
⎦ 4()()()()33331124
12t t t t t t
t t e e e e t e e e e ----⎡⎤+-+⎢⎥Φ=⎢
⎥⎢⎥-++⎢⎥⎣⎦
解：3因为 ()10001I ⎡⎤
Φ==⎢
⎥⎣⎦
,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件 4因为()10001I ⎡⎤
Φ==⎢⎥⎣⎦
,所以该矩阵满足状态转移矩阵的条件
2-6 求下列状态空间表达式的解：
初始状态()101x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
,输入()u t 时单位阶跃函数;
解： 0100A ⎡⎤
=⎢
⎥⎣⎦ 因为 01B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
,()()u t I t =
2-9 有系统如图所示,试求离散化的状态空间表达式;设采样周期分别为T=和1s,而1u 和2u 为分段常数; 图 系统结构图 解：将此图化成模拟结构图 列出状态方程
则离散时间状态空间表达式为 由()At G T e =和()0
T
At H T e dtB =
⎰
得：
当T=1时 ()()()()1111
1001111k e e x k x k u k e ke ----⎡⎤-⎡⎤
+=+⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦
当T=时 ()()()()()0.1
0.10.10.1
100
1110.90.1k e e x k x k u k e k e ----⎡⎤-⎡⎤⎢⎥+=+⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦
第三章习题
3-1判断下列系统的状态能控性和能观测性;系统中a,b,c,d 的取值对能控性和能观性是否有关,若有关,其取值条件如何 1系统如图所示： 解：由图可得： 状态空间表达式为：
由于•
2x 、•
3x 、•
4x 与u 无关,因而状态不能完全能控,为不能控系统;由于y 只与3x 有关,因而系统为不完全能观的,为不能观系统; 3系统如下式：
解：如状态方程与输出方程所示,A 为约旦标准形;要使系统能控,控制矩阵b 中相对于约旦块的最后一行元素不能为0,故有0,0≠≠b a ;
要使系统能观,则C 中对应于约旦块的第一列元素不全为0,故有0,0≠≠d c ; 3-2时不变系统
试用两种方法判别其能控性和能观性; 解：方法一：
方法二：将系统化为约旦标准形;
⎥⎦⎤⎢⎣⎡=1-111T ,⎥⎥⎥⎦
⎤⎢
⎢⎢⎣⎡-=2121212
1
T 1- B T -1中有全为零的行,系统不可控;CT 中没有全为0的列,系统可观; 3-3确定使下列系统为状态完全能控和状态完全能观的待定常数i i βα和 解：构造能控阵：
要使系统完全能控,则211αα≠+,即0121≠+-αα 构造能观阵：
要使系统完全能观,则121αα-≠-,即0121≠+-αα 3-4设系统的传递函数是
1当a 取何值时,系统将是不完全能控或不完全能观的 2当a 取上述值时,求使系统的完全能控的状态空间表达式; 3当a 取上述值时,求使系统的完全能观的状态空间表达式; 解：1 方法1 ：)
6)(3)(1()()()(++++==
s s s a
s s u s y s W 系统能控且能观的条件为Ws 没有零极点对消;因此当a=1,或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观; 方法2：
系统能控且能观的条件为矩阵C 不存在全为0的列;因此当a=1,或a=3或a=6时,系统为不能控或不能观;
2当a=1, a=3或a=6时,系统可化为能控标准I 型
3根据对偶原理,当a=1, a=2或a=4时,系统的能观标准II 型为 3-6已知系统的微分方程为：u y y y y 66116.
..
=+++
试写出其对偶系统的状态空间表达式及其传递函数; 解：63611603210=====b a a a a ，，，，
系统的状态空间表达式为 传递函数为
其对偶系统的状态空间表达式为： 传递函数为6
1166
)(2
3+--=
s s s s W 3-9已知系统的传递函数为 试求其能控标准型和能观标准型;
解：3
45
213486)(222++++=++++=s s s s s s s s W
系统的能控标准I 型为 能观标准II 型为
3-10给定下列状态空间方程,试判别其是否变换为能控和能观标准型;
解：[]100210311032010=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=C b A ，， 3-11试将下列系统按能控性进行分解
1[]111,100,340010121-=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 解：
[
]
⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡--==9310004102b A Ab b
M rankM=2<3,系统不是完全能控的; 构造奇异变换阵c R ：⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡==010*********R Ab R b R ，，,其中3R 是任意的,只要满足c R 满秩;
即⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=031100010c R 得⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡-=-010*******c R 3-12 试将下列系统按能观性进行结构分解
1 []111,100,340010121-=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 解： 由已知得[]111,100,340010121-=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=C b A 则有⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥
⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=4742321112CA CA C N
rank N=2<3,该系统不能观
构造非奇异变换矩阵10R -,有10111232001R --⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦ 则0311210001R --⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
3-13 试将下列系统按能控性和能观性进行结构分解
1[]211,221,102322001=⎥⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=C b A 解：由已知得211121226202M A Ab Ab ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
rank M=3,则系统能控 rank N=3,则系统能观
所以此系统为能控并且能观系统
取211121226202c T ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
,则12173441732
15344c T -⎡⎤
-⎢⎥⎢
⎥⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦
则002105014A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦,12100c B T b -⎡⎤
⎢⎥==⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
,[]271323c c cT == 3-14求下列传递函数阵的最小实现; 1 ()111111w s s ⎡⎤
=
⎢⎥+⎣⎦
解： 01α=,01111B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1001c A -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦ 1001c B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,1111c C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,0000c D ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦ 系统能控不能观
取1
01101R -⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,则01101R -⎡⎤=⎢⎥
⎣⎦
所以10010ˆ01A R AR --⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦,1011ˆ01c B R B -⎡⎤==⎢⎥
⎣⎦ 010ˆ10c C C R ⎡⎤==⎢⎥⎣⎦,00ˆ00D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
所以最小实现为ˆ1m A =,[]ˆ11m B =,1ˆ1m C ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,00ˆ00m D ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ 验证：()
()1
111ˆˆˆ111m m
m C sI A B w s s -⎡⎤-==⎢⎥+⎣⎦
3-15设1∑和2∑是两个能控且能观的系统
1试分析由1∑和2∑所组成的串联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数； 2试分析由1∑和2∑所组成的并联系统的能控性和能观性,并写出其传递函数; 解： 1
1
∑和
2
∑串联
当1∑的输出1y 是2∑的输入2u 时,331222x x x x =-++
010*********x x u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
,[]001y x = 则rank M=2<3,所以系统不完全能控; 当2∑得输出2y 是1∑的输入1u 时
011034100021x x u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
,[]210y x = 因为 2001016124M b
Ab
A b ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤==-⎣⎦⎢⎥⎢⎥--⎣⎦
rank M=3 则系统能控
因为2210321654c N cA cA ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
rank N=2<3 则系统不能观 21∑和2∑并联
010*********x x u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
,[]211y x = 因为rank M=3,所以系统完全能控 因为rank N=3,所以系统完全能观
现代控制理论第四章习题答案
4-1判断下列二次型函数的符号性质：
1222
12
3122313()31122Q x x x x x x x x x x =---+-- 222212
3122313()4262v x x x x x x x x x x =++--- 解：1由已知得
110∆=-<,211201
3
-∆=
=>-,31
111711
30241111
2
--∆=--=-<--
- 因此()Q x 是负定的 2由已知得
110∆=>,211
301
4
-∆=
=>-,3111
143160131
--∆=--=-<--
因此()Q x 不是正定的 4-2已知二阶系统的状态方程：
试确定系统在平衡状态处大范围渐进稳定的条件;
解：方法1：要使系统在平衡状态处大范围渐进稳定,则要求满足A 的特征值均具有负实部;
即：
有解,且解具有负实部; 即：1122112212210a a a a a a +<>且
方法2：系统的原点平衡状态0e x =为大范围渐近稳定,等价于T A P PA Q +=-;
取Q I =,令11
1212
22P
P P P P ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
,则带入T
A P PA Q +=-,得到 若 11
2112
11222111221122122112
22
220
4()()00
22a a a a a a a a a a a a a a +=+-≠,则此方程组有唯一解;即 其中11221221det A A a a a a ==- 要求P 正定,则要求 因此11220a a +<,且det 0A >
4-3试用lyapunov 第二法确定下列系统原点的稳定性;
11123x x -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦ 21111x x -⎡⎤=⎢⎥
--⎣⎦
解：1系统唯一的平衡状态是0e x =;选取Lyapunov 函数为22
12
()0V x x x =+>,则 ()V x •
是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;
2系统唯一的平衡状态是0e x =;选取Lyapunov 函数为22
12
()0V x x x =+>,则 ()V x •
是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;
4-6设非线性系统状态方程为： 试确定平衡状态的稳定性;
解：若采用克拉索夫斯基法,则依题意有： 取P I =
很明显,()Q x 的符号无法确定,故改用李雅普诺夫第二法;选取Lyapunov 函数为
22
12()0V x x x =+>,则
()V x •
是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;
4-9设非线性方程：
试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性; 解：1采用克拉索夫斯基法,依题意有：
x →∞,有()V x →∞; 取P I =
则212
1013()132x Q x x ⎡⎤
-+=⎢⎥-+⎣⎦
,根据希尔维斯特判据,有： 222
11212
10
310310132
x x x -∆=∆=
=->-+，（）,()Q x 的符号无法判断; 2李雅普诺夫方法：选取Lyapunov 函数为42
1233()042
V x x x =
+>,则 ()V x •
是负定的;x →∞,有()V x →∞;即系统在原点处大范围渐近稳定;
4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数 解：假设()V x 的梯度为： 计算()V x 的导数为：
选择参数,试选112212211,0a a a a ====,于是得：
12x V x ⎛⎫∇= ⎪⎝⎭,显然满足旋度方程12122121,0V V x x
x x x x ∂∇∂∇∂∂===∂∂∂∂即,表明上述选择的参数是允许的;则有：
如果1212
11202
x x x x -><或,则()V x •是负定的,因此,121
2x x <是12x x 和的约束条件; 计算得到()V x 为：
()V x 是正定的,因此在12121
1202
x x x x -><即范围内,0e x =是渐进稳定的;
现代控制理论第五章习题答案
5-1已知系统状态方程为：
试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1,-2,-3; 解：依题意有：
2011012112M b
Ab
A b ⎡⎤
⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦
3rankM =,系统能控; 系统0(,,)A b C =∑的特征多项式为：
则将系统写成能控标准I 型,则有010*********x x u ⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦
; 引入状态反馈后,系统的状态方程为：()x A bK x bu =++,其中3K ⨯为1矩阵,设
[]0
12K k k k =,则系统(,,)K A bK C =∑的特征多项式为：
根据给定的极点值,得到期望特征多项式为：
比较*()()f f λλ与各对应项系数,可解得：012599k k k =-=-=-，则有：[]-5-9-9K =;
5-3有系统：
（1） 画出模拟结构图;
（2） 若动态性能不满足要求,可否任意配置极点 （3） 若指定极点为-3,-3,求状态反馈阵; 解1系统模拟结构图如下：
2系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统0(,,)A b C =∑完全能控; 对于系统0(,,)A b C =∑有： []0111M b
Ab ⎡⎤
==⎢⎥
-⎣⎦
2rankM =,系统能控,故若系统动态性能不满足要求,可任意配置极点;
3系统0(,,)A b C =∑的特征多项式为：
则将系统写成能控标准I 型,则有010231x x u ⎡⎤⎡⎤
=+⎢⎥⎢⎥
--⎣⎦⎣⎦
; 引入状态反馈后,系统的状态方程为：()x A bK x bu =++,设[]0
1K k k =,则系统
(,,)K
A bK C =∑
的特征多项式为：
根据给定的极点值,得到期望特征多项式为：
比较*()()f f λλ与各对应项系数,可解得：[]017373k k K =-=-=--，; 5-4设系统传递函数为
试问能否利用状态反馈将传递函数变成 若有可能,试求出状态反馈K ,并画出系统结构图;
解：6
522)3)(2)(1()2)(1()(232--+-+=+-++-=s s s s s s s s s s s W
由于传递函数无零极点对消,因此系统为能控且能观; 能控标准I 型为 令[] 210
k k k K =为状态反馈阵,则闭环系统的特征多项式为
由于状态反馈不改变系统的零点,根据题意,配置极点应为-2,-2,-3,得期望特征多项式为
比较 )(λf 与 )(*λf 的对应项系数,可得 即[]52118---=K 系统结构图如下：
5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定;
11222 A 011,01011b ---⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥=-=⎢⎥⎢⎥
⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
解：系统的能控阵为：
2240010115M b
Ab
A b -⎡⎤
⎢⎥⎡⎤==⎣⎦⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
3rankM =,系统能控; 由定理 5.2.1可知,采用状态反馈对系统0(,,)A b C =∑任意配置极点的充要条件是
(,,)A b C =∑完全能控;又由于3rankM =,系统0
(,,)A b C =∑能控,可以采用状态反馈将系
统的极点配置在根平面的左侧,使闭环系统镇定; 5-7设计一个前馈补偿器,使系统 解耦,且解耦后的极点为1,1,2,2----; 解：0()()() d W s W s W s = 5-10已知系统：
试设计一个状态观测器,使观测器的极点为-r,-2rr>0;
解：因为1001c N cA ⎡⎤⎡⎤
==⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦
满秩,系统能观,可构造观测器; 系统特征多项式为[]2
1det det 0I A λλλλ-⎡⎤-==⎢⎥⎣⎦,所以有10010,0,10a a L ⎡⎤===⎢⎥⎣⎦ 于是11001100x T ATx T bu x u --⎡⎤⎡⎤=+=+⎢⎥⎢⎥
⎣⎦⎣⎦ 引入反馈阵12g G g ⎡⎤
=⎢⎥⎣⎦,使得观测器特征多项式：
根据期望极点得期望特征式：
比较()f λ与()*f λ各项系数得：
即223r G r ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,反变换到x 状态下2201321023r r G TG r r ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 观测器方程为：
现代控制理论第版课后习 题答案 Prepared on 22 November 2020
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为： 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令.. 3. 21y x y x y x ===，，，则有
相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现， 并画出相应的模拟结构图 解：s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- + +-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式 []??? ? ? ?????=???? ??????+????????????????????----=??????????321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘ （1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解： （2）???? ??????+-+-=-=31103 201 )()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量 （3）???? ??????---=6712203 010 A 解：A 的特征方程 0611667122301 23=+++=?? ?? ??????+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ
第一章习题答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1 K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - ++ - + - ) (s θ) (s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ⎰ ⎰ ⎰1 1J ⎰ 2 J K b ⎰ ⎰ - 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下： u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 461 514131 3322211 +-- =+-==++- - == =∙∙ ∙ ∙∙ ∙ 阿 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
[]⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡----- =⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙ ∙65432116543211111111 2654321000001000000 0000 0001001000000 000001 0x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1L1R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：∙ ∙ ∙ +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =∙ ∙ ∙ 写成矢量矩阵形式为：
现代控制理论第版课后 习题答案 Document number：WTWYT-WYWY-BTGTT-YTTYU-2018GT
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：? ? ? +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =? ? ? 写成矢量矩阵形式为： 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：令.. 3. 21y x y x y x ===，，，则有
相应的模拟结构图如下： 1-6 （2）已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现， 并画出相应的模拟结构图 解：s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- + +-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式 []??? ? ? ?????=???? ??????+????????????????????----=??????????321321321100210311032010x x x y u x x x x x x ‘ （1） 画出其模拟结构图 （2） 求系统的传递函数 解： （2）???? ??????+-+-=-=31103 201 )()(s s s A sI s W 1-8 求下列矩阵的特征矢量 （3）???? ??????---=6712203 010 A 解：A 的特征方程 0611667122301 23=+++=?? ?? ??????+---=-λλλλλλλA I 解之得：3,2,1321-=-=-=λλλ
《现代控制理论》第3版(刘豹_唐万生)课后习题答案 编辑整理： 尊敬的读者朋友们： 这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（《现代控制理论》第3版(刘豹_唐万生)课后习题答案）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。 本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为《现代控制理论》第3版(刘豹_唐万生)课后习题答案的全部内容。
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下：
令,则 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。 解:由图，令，输出量 u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 1611166 13153 461 514131 33 2 2 211 +-- =+-==++- -== =• • • ••• y s =)(θ1x y =[]⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢ ⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••••6543211 6543211111111265432 100000100000000000000001001 0000000000010 x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b )(t u 2R U 图1-28 电路图 32211,,x u x i x i c ===22x R y =
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 16111 6613153 4615141 31 3322211 +-- =+-==++- - == =•• • •• • 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡ -----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••• •654321165432111111112654321000001000000 0000000100 10000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
L1L2 U 图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：• • • +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =• • • 写成矢量矩阵形式为： []⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡--- -=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡3212 13212 22 111 321000*********x x x R y u L x x x C C L L R L L R x x x 。。 。 1-4 两输入1u ，2u ，两输出1y ，2y 的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。
《现代控制理论》第版课后习题答案
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《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - + + - +- ) (s θ)(s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1K p K K 1p K K 1+ + +p K n K ⎰ ⎰ ⎰1 1J ⎰ 2 J K b ⎰ ⎰- 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =••• •• • 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••• •654321165432111111112654321000001000000 000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
《现代控制理论》第3版课后习题 答案(总32页)
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 461 514131 3322211 +-- =+-==++- - == =•• • •• • 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••• •654321165432111111112654321000001000000 0000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 U 图1-28 电路图