现代控制理论试题B 卷及答案
一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。
2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 12。…..
23
3118x x x x y x ==--=010080x ⎡⎢=⎢⎢-⎣分） 00⎣(5分)
解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-，
时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完
全能控的，简称能控。…..….…….（3分）
2.
[][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎤⎡⎤⎡110C 1分）
0140x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=-818
1881C U ……..…………..…….…….（1分） 1118
8P ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦……..………….…..…….…….（1分） ⎦
⎤⎢⎣⎡=43412P ……..………….…...…….…….（1分）
1314881148P -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦
..………….…...…….…….（1分） 101105C A PAP -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦
………….…...…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==1011 43418181Pb b C ……….…...…….…….（1分）
1分） 解（3分） 3分）
2分）
（81分）
11121112221222420261p p p p p ⎪-+=⎨⎪-=-⎩………...……....…….…….（1分） 112212743858p p p ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩
………...…………....…….…….（1分）
1112122275485388p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦
...…………....…….…….（1分） 11121112
2275717480 det det 05346488p p P p p ⎡⎤⎡⎤⎢⎥=>==>⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦………...（1分） P 正定，因此系统在原点处是大范围渐近稳定的.………（1分）
八、给定系统的状态空间表达式为1010x --⎡⎢=-⎢⎢⎣2322213332223321
(21)3313332(3)(26)64E E E E E E E E E E E λλλλλλλλλλ=+++++++++++++=+++++++++ -- 2分 又因为 *32()331f λλλλ=+++ ------- 1分
列方程
32123264126333
E E E E E E +++=++=+= ----- 2分
1232,0,3E k E =-==- ----------- 1分
观测器为
10312ˆˆ0110010113x x u y ---⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦
------- 1分 方法 2
λ⋅分 分
分
分
10ˆ0110x -⎡⎢=-⎢⎢⎣九 分） 1200A t
At A t e e e ⎛⎫= ⎪⎝⎭
1A t t e e =…………………………..……….（1分） 11210()12s sI A s ---⎛⎫-= ⎪--⎝⎭101111212s s s s ⎛⎫ ⎪-= ⎪ ⎪- ⎪---⎝⎭
………..……….（1分）
(){}2112220t A t t t t e e L sI A e e
e --⎛⎫=-= ⎪-⎝⎭……….…（1分）()11220
0000t At t
t t
t e e L sI A e e e e --⎛⎫ ⎪⎡⎤=-= ⎪⎣⎦ ⎪-⎝⎭……….……….（2分） 2220
01000001t t t
t t t t e e e e e e e ⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭
……………..……….（2分）
一、（（ × （ × （ √ （ √
二、（的能控标准型、能观标准型和对角线标准型，并画出能控标准型的状态变量图。
解： 能控标准形为
能观测标准形为
对角标准形为
三、（10分）在线性控制系统的分析和设计中，系统的状态转移矩阵起着很重要的
作用。对系统
求其状态转移矩阵。
解：解法1。
容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是2,121-=-=λλ，它们是不相同的，故系统
) 因此， ⎥⎦
⎢⎣+-+-=+==Φ----t t t t At e e e e A t a I t a e t 2210222)()()( 四、（15分）已知对象的状态空间模型Cx y Bu Ax x =+=, ,是完全能观的，请画出观
测器设计的框图，并据此给出观测器方程，观测器设计方法。
解 观测器设计的框图：
观测器方程：
其中：x ~是观测器的维状态，L 是一个n ×p 维的待定观测器增益矩阵。
观测器设计方法：
由于 )](det[])(det[)](det[T T T T L C A I LC A I LC A I --=--=--λλλ
因此，可以利用极点配置的方法来确定矩阵L ，使得T T T L C A -具有给定的观测器极点。
具体的方法有：直接法、变换法、爱克曼公式。
五、（P 。
I PA -=
⎥⎦⎤⎣
⎦⎣12/12212p p 根据塞尔维斯特方法，可得 045det 023
21>=
=∆>=∆P 故矩阵P 是正定的。因此，系统在原点处的平衡状态是大范围渐近稳定的。
六、（10分）已知被控系统的传递函数是
试设计一个状态反馈控制律，使得闭环系统的极点为-1 ± j 。
解 系统的状态空间模型是
将控制器 []x k k u 10-= 代入到所考虑系统的状态方程中，得到闭环系统状态方程
该闭环系统的特征方程是 )2()3()det(012k k A I c ++++=-λλλ
期望的闭环特征方程是 22)1)(1(2++=++-+λλλλj j
通过 22)2()3(2012++=++++λλλλk k
T 八、（ 解： 极点配置可以改善系统的动态性能，如调节时间、峰值时间、振荡幅度。 极点配置也有一些负面的影响，特别的，可能使得一个开环无静差的系统通过极点
配置后，其闭环系统产生稳态误差，从而使得系统的稳态性能变差。
改善的方法：针对阶跃输入的系统，通过引进一个积分器来消除跟踪误差，其结构
图是
构建增广系统，通过极点配置方法来设计增广系统的状态反馈控制器，从而使得闭
环系统不仅保持期望的动态性能，而且避免了稳态误差的出现。
《现代控制理论》复习题2
一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边的括号里打√，反之打×。
（ ×
（ √ （ × （ × （ √ 二、（（1）
（2） 答:（1⎩⎨⎧=+-=11
113x y u x x 和⎩⎨⎧+-=+-=1212255u x y u x x ? 由于11u y =，故可得给定传递函数的状态空间实现是：
将其写成矩阵向量的形式，可得：
对应的状态变量图为：
串连分解所得状态空间实现的状态变量图
（2）将G (s )写成以下形式： 它可以看成是两个环节35.0+-
s 和5
5.2+s 的并联，每一个环节的状态空间模型分别为： 和
由此可得原传递函数的状态空间实现：
三、（方法一方法二方法三方法四根据凯莱-哈密尔顿定理和，可导出At e 具有以下形式：
其中的)(),(),(120t t t n -ααα 均是时间 t 的标量函数。根据矩阵A 有n 个不同特征值和有重特征值的情况，可以分别确定这些系数。
举例：利用拉普拉斯变换法计算由状态矩阵
所确定的自治系统的状态转移矩阵。 由于
故
四、（10分）解释状态能观性的含义，给出能观性的判别条件，并举例说明之。答：状态能观性的含义：状态能观性反映了通过系统的输出对系统状态的识别能力，对一个零输入的系统，若它是能观的，则可以通过一段时间内的测量输出来估计之前某个时刻的系统状态。
1.
2.
举例：
的秩为
五、（
（1）
（2）简单叙述两种极点配置状态反馈控制器的设计方法；
（3）试通过数值例子说明极点配置状态反馈控制器的设计。
答：（1）能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件：系统是能控的。
（2）极点配置状态反馈控制器的设计方法有直接法、变换法、爱克曼公式法。
①直接法
验证系统的能控性，若系统能控，则进行以下设计。
设状态反馈控制器u =?Kx ，相应的闭环矩阵是A ?BK ，闭环系统的特征多项式为 由期望极点n λλ,,1 可得期望的闭环特征多项式
通过让以上两个特征多项式相等，可以列出一组以控制器参数为变量的线性方程组，由这组线性方程可以求出极点配置状态反馈的增益矩阵K 。
②
（3） 其特征多项式为
由期望的闭环极点? 2和?3，可得闭环特征多项式
通过
可得
由此方程组得到
因此，要设计的极点配置状态反馈控制器
六、（20分）给定系统状态空间模型Ax
x=
（1）试问如何判断该系统在李雅普诺夫意义下的稳定性？
（2）试通过一个例子说明您给出的方法；
（3）给出李雅普诺夫稳定性定理的物理解释。
答：
（1
A T+
P
解矩阵
（2
将矩阵
即
（3）李雅普诺夫稳定性定理的物理意义：针对一个动态系统和确定的平衡状态，通过分析该系统运动过程中能量的变化来判断系统的稳定性。具体地说，就是构造一个反映系统运动过程中能量变化的虚拟能量函数，沿系统的运动轨迹，通过该能量函数关于时间导数的取值来判断系统能量在运动过程中是否减少，若该导数值都是小于零的，则表明系统能量随着时间的增长是减少的，直至消耗殆尽，表明在系统
运动上，就是系统运动逐步趋向平缓，直至在平衡状态处稳定下来，这就是李雅普
诺夫意义下的稳定性
《现代控制理论》复习题3
一、（10分，每小题2分）试判断以下结论的正确性，若结论是正确的，则在其左边
的括号里打√，反之打×。
（ ×
（ × （ × （ √ （ √ 器。
二、（（2解：（1）单输入单输出线性时不变系统传递函数的一般形式是
若0≠n b ，则通过长除法，传递函数)(s G 总可以转化成
将
分解成等效的两个特殊环节的串联：
可得一个状态空间实现
串联法 其思想是将一个n 阶的传递函数分解成若干低阶传递函数的乘积，然后写出这些低阶传递函数的状态空间实现，最后利用串联关系，写出原来系统的状态空间模型。
并联法 其的思路是把一个复杂的传递函数分解成若干低阶传递函数的和，然后对每个低阶传递函数确定其状态空间实现，最后根据并联关系给出原来传递函数的状态（2又因为 又由于确10三、（20分）（1）试问状态转移矩阵的意义是什么？
（2）状态转移矩阵是否包含了对应自治系统的全部信息？
（3）介绍两种求解线性定常系统状态转移矩阵的方法；
（4）计算系统⎥⎦⎤
⎢⎣⎡--=3210x 的状态转移矩阵。
解：（1）状态转移矩阵的意义是决定状态沿着轨线从初始状态转移到下一个状态的规律，即初始状态x 0在状态转移矩阵Φ(t ,t 0)的作用下，t 0时刻的初始状态x 0经过时间t ?t 0后转移到了时刻t 的状态x (t )。
（2）状态转移矩阵包含了对应自治系统的全部信息；对于自治系统
（3）拉普拉斯变换法、凯莱-哈密尔顿法、线性变换法、直接计算法。
方法一
方法二T ，使得
则
方法三方法四。由 （4）方法一：线性变换法，
容易得到系统状态矩阵A 的两个特征值是2,121-=-=λλ，它们是不相同的，故系统的矩阵A 可以对角化。矩阵A 对应与特征值2,121-=-=λλ的特征向量是
取变换矩阵
因此，
从而，
方法二：拉普拉斯变换法，由于
故
方法二：凯莱-哈密尔顿法
将状态转移矩阵写成
因此，
2）
（3
四、（
（2
（3
解：（
（2
的能控性。若能控性判别矩阵是行满秩的，则系统是能控的。
试判别由以下状态方程描述的系统的能控性：
系统的能控性判别矩阵
由于
即矩阵Γc[A, B]不是满秩的，该系统不是状态完全能控的。
（3）若一个系统是能控的，则可以在任意短时间内将初始状态转移到任意指定的状态，这一控制效果在实际中难以实现，T 越小，则控制律的参数越大，从而导致控制信号的幅值很大，这要求执行器的调节幅度要很大，从而使得在有限时间内完成这一控制作用所需要消耗的能量也很大。由于在实际过程中，执行器的调节幅度总是有限的（如阀门的开度等），能量供应也是有限制的。
条件4五、（（2（3 解：（（2） 2）状态反馈控制器设计方法正确7分；问题（3）判断正确3分，叙述克服方法4分。
六、（10分）（1） 叙述线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理；
（2） 利用李雅普诺夫稳定性定理判断系统x x ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--=1011 的稳定性。 解：（1）连续时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理；线性时不变系统Ax x
=
在平衡点0
x处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q，存在一=
e
个对称正定矩阵P，使得矩阵方程Q
=
A T-
+成立。
PA
P
离散时间线性时不变系统的李雅普诺夫稳定性定理；线性时不变系统)
k
x=
+在
(k
Ax
(
)1
平衡点0
x处渐近稳定的充分必要条件是：对任意给定的对称正定矩阵Q，矩阵方程=
e
=
-
A T-
PA
P
Q
（2
将矩阵
P：
故矩阵
一、（
（√）1. 相比于经典控制理论，现代控制理论的一个显着优点是可以用时域法直接进行系统的分析和设计。
（√）2. 传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。
（×）3. 状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都是具有物理
现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。 2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 12。….. 23 3118x x x x y x ==--=010080x ⎡⎢=⎢⎢-⎣分） 00⎣(5分) 解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-， 时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完 全能控的，简称能控。…..….…….（3分）
2. [][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎤⎡⎤⎡110C 1分） 0140x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=-818 1881C U ……..…………..…….…….（1分） 1118 8P ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦……..………….…..…….…….（1分） ⎦ ⎤⎢⎣⎡=43412P ……..………….…...…….…….（1分）
1314881148P -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ ..………….…...…….…….（1分） 101105C A PAP -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦ ………….…...…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==1011 43418181Pb b C ……….…...…….…….（1分） 1分） 解（3分） 3分） 2分） （81分） 11121112221222420261p p p p p ⎪-+=⎨⎪-=-⎩………...……....…….…….（1分） 112212743858p p p ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ………...…………....…….…….（1分）
第一章习题答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1 K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - ++ - + - ) (s θ) (s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ⎰ ⎰ ⎰1 1J ⎰ 2 J K b ⎰ ⎰ - 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下： u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 461 514131 3322211 +-- =+-==++- - == =∙∙ ∙ ∙∙∙ 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
[]⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙ ∙654321165432111111112654321000001000000 000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1L1R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：∙ ∙ ∙ +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =∙ ∙ ∙ 写成矢量矩阵形式为：
现代控制理论试卷 一、简答题（对或错，10分） （1）描述系统的状态方程不是唯一的。 （2）用独立变量描述的系统状态向量的维数不是唯一的。 （3）对单输入单输出系统，如果1 ()C sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控或者不可观测。 （4）对多输入多数出系统，如果1()sI A B --存在零极点对消，则系统一定不可控。 （5）李雅普诺夫直接法的四个判定定理中所述的条件都是充分条件。 （6）李雅普诺夫函数是正定函数，李雅普诺夫稳定性是关于系统平衡状态的稳定性。 （8）线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的可控性不变。 （9）用状态反馈进行系统极点配置可能会改变系统的可观测性。 （10）通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时可控和可观测。 对一个线性定常的单输入单输出5阶系统，假定系统可控可观测，通过设计输出至输入的反馈矩阵H 的参数能任意配置系统的闭环极点。 二、试求下述系统的状态转移矩阵()t Φ和系统状态方程的解x 1(t)和x 2(t)。（15分） 1122()()012()()()230x t x t u t x t x t ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤ =+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣ ⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦ 12(0)0,(),0(0)1t x u t e t x -⎡⎤⎡⎤==≥⎢⎥⎢⎥ ⎣⎦ ⎣⎦ 三、设系统的传递函数为 ()10 ()(1)(2) y s u s s s s =++。试用状态反馈方法，将闭环极点配置在－2，－1＋j ，－1－j 处，并写出闭环系统的动态方程和传递函数。（15分） 四、已知系统传递函数 2()2 ()43 Y s s U s s s +=++，试求系统可观标准型和对角标准型，并画出系统可观标准型的状态变量图。（15分） 五、已知系统的动态方程为[]211010a x x u y b x ⎧⎡⎤⎡⎤ =+⎪⎢⎥⎢⎥⎨⎣⎦⎣⎦⎪=⎩ ，试确定a ，b 值，使系统完全可控、完 全可观。（15分） 六、确定下述系统的平衡状态，并用李雅普诺夫稳定性理论判别其稳定性。（15分）
现代控制理论试题与答案 《现代控制理论参考答案》第一章答案1-1试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。解：系统的模拟结构图如下：系统的状态方程如 下：令，则所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为1-2有电路如图1-28所示。以电压为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压 作为状态变量的状态方程，和以电阻上的电压作为输出量的输出方程。解：由图，令，输出量有电路原理可知：既得写成矢量矩阵形式为：1- 4两输入，，两输出，的系统，其模拟结构图如图1-30所示，试求其状态空间表达式和传递函数阵。解：系统的状态空间表达式如下所示：1 -5系统的动态特性由下列微分方程描述列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。解：令，则有相应的模拟结构图如下：1-6 （2）已知系统传递函数,试求出系统的约旦标准型的实现，并画出相应的模拟结构图解：1-7给定下列状态空间表达式‘画出其模拟结构图求 系统的传递函数解：（2）1-8求下列矩阵的特征矢量（3）解：A 的特征方程解之得：当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得（或令，得）当时，解得：令得1-9将下列状态空间表达式化成约旦标准型（并联分解）（2）解：A的特征方程当时，解之得令得当时，解之得令得当时，解之得令得约旦标准型1-10已知两系统的传递函数分别为W1(s)和 W2(s)试求两子系统串联联结和并联连接时，系统的传递函数阵，并讨论所得结果解：（1）串联联结（2）并联联结1-11（第3版教材）已知如图1-22所示的系统，其中子系统1、2的传递函数阵分别为求系统的闭环传递函数解：1-11（第2版教材）已知如图1-2
现代控制理论参考答案 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式; 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ,则1x y = 所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示;以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程; 解：由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y = 有电路原理可知：• • • +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =• • • 写成矢量矩阵形式为： 1-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵; 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图; 解：令.. 3. 21y x y x y x ===，，,则有 相应的模拟结构图如下： 1-6 2已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟 结构图 解：s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- ++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式
现代控制理论试卷 1 一、(10分)判断以下结论，若是正确的，则在括号里打√，反之打× (1)用独立变量描述的系统状态向量的维数是唯一。（） (2)线性定常系统经过非奇异线性变换后，系统的能观性不变。（） (3)若一个系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则该系统在任意平衡状态处都是稳定的。（） (4)状态反馈不改变被控系统的能控性和能观测性。（） (5)通过全维状态观测器引入状态反馈来任意配置系统的闭环极点时，要求系统必须同时能控和能观的。（） 二、（12分）已知系统 1001 010,(0)0 0121 x x x ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ == ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭ ，求() x t. 三、(12分) 考虑由下式确定的系统： 2 s+2 (s)= 43 W s s ++ ，求其状态空间实现的能 控标准型和对角线标准型。 四、（9分）已知系统[] 210 020,011 003 x x y ⎡⎤ ⎢⎥ == ⎢⎥ ⎢⎥ - ⎣⎦ ，判定该系统是否完全能观？
五、(17分) 判断下列系统的能控性、能观性；叙述李亚普诺夫稳定性的充要条件并分析下面系统的稳定性. []x y u x x 11103211=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡--= 六、（17分）已知子系统 1∑ 111121011x x u -⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥ -⎣⎦⎣⎦，[]1110y x = 2∑ []22222110,01011x x u y x -⎡⎤⎡⎤ =+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 求出串联后系统的状态模型和传递函数. 七、（15分）确定使系统2001020240021a x x u b -⎡⎤⎡⎤ ⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥ ⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦ 为完全能控时，待定参数的取值范围。 八、（8分）已知非线性系统 ⎩⎨⎧ --=+-=21122 11sin 2x a x x x x x 试求系统的平衡点，并确定出可以保证系统大范围渐近稳定的1a 的范围。
《现代控制理论》第1章习题解答 1.1 线性定常系统和线性时变系统的区别何在？ 答：线性系统的状态空间模型为： x Ax Bu y Cx Du =+=+ 线性定常系统和线性时变系统的区别在于：对于线性定常系统，上述状态空间模型中的系数矩阵A ，B ，C 和D 中的各分量均为常数，而对线性时变系统，其系数矩阵A ，B ，C 和 D 中有时变的元素。线性定常系统在物理上代表结构和参数都不随时间变化的一类系统， 而线性时变系统的参数则随时间的变化而变化。 1.2 现代控制理论中的状态空间模型与经典控制理论中的传递函数有什么区别？ 答: 传递函数模型与状态空间模型的主要区别如下: 1.3 线性系统的状态空间模型有哪几种标准形式？它们分别具有什么特点？ 答: 线性系统的状态空间模型标准形式有能控标准型、能观标准型和对角线标准型。对于n 阶传递函数 121210 1110 ()n n n n n n n b s b s b s b G s d s a s a s a ------++++=+++++， 分别有 ⑴ 能控标准型： []012 101 210100000100000101n n n x x u a a a a y b b b b x du ---⎧⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢ ⎥⎢⎥=+⎪⎢ ⎥⎢⎥⎨⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎢⎥⎢⎥⎪----⎣⎦⎣⎦ ⎪ =+⎪⎩
⑵ 能观标准型： []0011221100010 00 100010 1n n n b a b a x a x u b a b y x du ---⎧-⎡⎤ ⎡⎤⎪⎢⎥ ⎢⎥-⎪⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥=-+⎪⎢⎥⎢ ⎥ ⎨⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎪-⎣⎦⎣⎦ ⎪=+⎪⎩ ⑶ 对角线标准型： []1212 001001001n n p p x x u p y c c c x du ⎧⎡⎤⎡⎤ ⎪⎢⎥⎢⎥⎪⎢ ⎥⎢⎥=+⎪⎢⎥⎢⎥⎨ ⎢⎥⎢⎥⎪ ⎣⎦⎣⎦⎪⎪=+⎩ 式中的12,, ,n p p p 和12,,,n c c c 可由下式给出， 12121012 1 11012 ()n n n n n n n n n b s b s b s b c c c G s d d s a s a s a s p s p s p ------++++=+=+++ +++++--- 能控标准型的特点：状态矩阵的最后一行由传递函数的分母多项式系数确定，其余部分具有特定结构，输出矩阵依赖于分子多项式系数，输入矩阵中的元素除了最后一个元素是1外，其余全为0。 能观标准型的特点：能控标准型的对偶形式。 对角线标准型的特点：状态矩阵是对角型矩阵。 1.4 对于同一个系统，状态变量的选择是否惟一？ 答：对于同一个系统，状态变量的选择不是惟一的，状态变量的不同选择导致不同的状态空间模型。 1.5 单输入单输出系统的传递函数在什么情况下，其状态空间实现中的直接转移项D 不等 于零，其参数如何确定？ 答: 当传递函数)(s G 的分母与分子的阶次相同时，其状态空间实现中的直接转移项D 不等于零。 转移项D 确实定：化简下述分母与分子阶次相同的传递函数 1110 111)(a s a s a s b s b s b s b s G n n n n n n n ++++++++=---- 可得： d a s a s a s c s c s c s G n n n n n ++++++++=----0 11 10 111)( 由此得到的d 就是状态空间实现中的直接转移项D 。 1.6 在例1. 2.2处理一般传递函数的状态空间实现过程中，采用了如图1.12的串联分解，试 问：假设将图1.12中的两个环节前后调换，则对结果有何影响？
现代控制理论试题 B 卷及答案 2 1 0 cvcvx ， 一、 1 系统 x 2 x u, y 0 1 x 能控的状态变量个数是 0 1 能观测的状态变量个数是 cvcvx 。 2 试从高阶微分方程 y 3y 8 y 5u 求得系统的状态方程和输出方 程（4 分/ 个） 解 1 ． 能控的状态变量个数是 2，能观测的状态变量个数是 1。状态变量个数是 2。⋯ .. （4 分） 2．选取状态变量 x 1 y ， x 2 y ， x 3 y ，可得 ⋯ .. ⋯ . ⋯⋯ . （1 分） x 1 x 2 x 2 x 3 ⋯.. ⋯. ⋯⋯ . （1 分） x 3 8x 1 3x 3 5u y x 1 写成 0 1 0 0 x 0 0 1 x 0 u ⋯.. ⋯. ⋯⋯ . （1 分） 8 0 3 5 y 1 0 0 x ⋯.. ⋯. ⋯⋯ . （1 分） 二、 1 给出线性定常系统 x( k 1) Ax(k ) Bu (k), y(k) Cx (k) 能控的定义。 （3 分） 2 1 0 2 已知系统 x 0 2 0 x, y 0 1 1 x ，判定该系统是否完 0 0 3 全能观？ (5 分)
解 1 ．答：若存在控制向量序列u (k ), u(k 1), , u( k N 1) ，时系统从第k 步的状态x( k)开始，在第 N 步达到零状态，即x( N ) 0 ，其中N是大于0 的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能 控。⋯ .. ⋯. ⋯⋯ . （3 分） 2. 2 1 0 CA 0110 2 0 0 2 3 ⋯⋯⋯.. ⋯⋯⋯. 0 0 3 （1 分） 2 1 0 CA2 0230 2 0 0 4 9⋯⋯..⋯⋯⋯.（1分） 0 0 3 C 0 1 1 U O CA 0 2 3 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯..⋯⋯⋯.（1分） CA 2 0 4 9 rankU O 2 n ，所以该系统不完全能观⋯⋯..⋯.⋯⋯.（2 分） 三、已知系统 1、 2 的传递函数分别为 g1 (s) s2 1 , g2 s 1 3s 2 ( s) 3s 2 s2 s2 求两系统串联后系统的最小实现。（8 分）解 g(s) g1 ( s 1)(s 1) s 1 s 1 (s)g1( s) 1)(s 2) ( s 1)(s 2) s2 4 ( s ⋯.. ⋯.⋯⋯. （5分） 最小实现为