《现代控制理论》练习题
判断题
1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。
3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。
4. 对系统Ax x
= ，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。
5. 对一个系统，只能选取一组状态变量；
6. 由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的系统矩阵，进而决定系统的动态特性；
7. 状态反馈不改变系统的能控性。
8. 若传递函数B A sI C s G 1)()(--=存在零极相消，则对应状态空间模型描述的系统是不能控的；
9. 若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的；
10. 相比于经典控制理论，现代控制理论的一个显著优点是可以用时域法直接进行系统的分析和设计。
11. 传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。
12. 状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都是具有物理意义。
13. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。
14. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。
15. 一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置无关。
16. 若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。
17. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。
18. 如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。
填空题
l ．系统状态完全能控是指 。
2．系统状态的能观性是指 。
3．系统的对偶原理： 。
4．对于一个不能控和不能观的系统，按系统结构标准分解
为 、 、 、 、的四个子系统。
5．对于单输入单输出系统，系统能控、能观的充要条是 是 。
7．系统平衡状态的渐近稳定性的定义
为： 。
10．受控系统
∑),,(C B A ，采用状态反馈能镇定的充分必要条件
是 。
11. 对于状态完全能控的线性系统，状态反馈可以将闭环极点配置
到 ；而对于单输入单输出线性系统，输出反馈只能将闭环极点配置到 。
12. 李雅普诺夫第一法判断稳定性的判据
为 。 问答题
1．简述系统状态完全能控性的涵义，说明状态能控与输出能控的区别。
2. 解释状态能观性的含义，给出能观性的判别条件。
3. 简述系统大范围渐近稳定的涵义
4. 给定系统状态空间模型Ax x
= （1） 试问如何判断该系统在李雅普诺夫意义下的稳定性？
（3） 给出李雅普诺夫稳定性定理的物理解释。
针对一个动态系统和确定的平衡状态，通过分析该系统运动过程中能量的变化来判断系统的稳定性。具体地说，就是构造一个反映系统运动过程中能量变化的虚拟能量函数，沿系统的运动轨迹，通过该能量函数关于时间导数的取值来判断系统能量在运动过程中是否减少，若该导数值都是小于零的，则表明系统能量随着时间的增长是减少的，直至消耗殆尽，表明在系统运动上，就是系统运动逐步趋向平缓，直至在平衡状态处稳定下来，这就是李雅普诺夫意义下的稳定性。
5. 简述对偶系统的定义及对偶原理。
6. 对一个由状态空间模型描述的系统，回答能够通过状态反馈实现任意极点配置的条件是什么？简述一种极点配置状态反馈制器的设计方法。
7. 简述判断线性定常连续系统能控性的两种方法。
8. 简述判断线性定常连续系统能观性的两种方法。
9. 利用李雅普诺夫第二法判断线性定常系统稳定的充分必要条件是什么？
10. 画出带有观测器的状态反馈控制系统设计框图，并说明设计步骤。
11.带有观测器的状态反馈控制系统设计中的闭环极点设计分离定理是什么？
12.能使系统镇定的充要条件。
13.观测器存在的充要条件。
第一章 计算题
1． 图中是由电阻R 电感L 和电容C 组成的RLC 无源网络，指定u 为输入量， c u 为输
出量。列写其状态方程和输出方程。
2． 给定下列状态空间表达式
.11.22.330100230.11132x x x x x u x ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦⎣⎦； []123001x y x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦
（1） 画出其模拟结构图。
（2） 求系统的传递函数。
3． 设系统的微分方程为....22y y y T u u ξωω++=+，试求系统的状态方程和输出方程。
4． 求出下列输入输出描述的能控标准型实现（能控标准型状态空间表达式）。
5. 考虑由下式确定的系统：
233)(2+++=s s s s G 试求其状态空间实现的能
控标准型、能观标准型和对角线标准型。
第二章 计算题
6.对线性系统，010231x x u ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭
（1）用线性变换法与拉氏变换法两种方法求其矩阵指数函数At e 。
（2） 当1()u t =时，求初始状态为零时状态运动的解。
解：利用线性变换法见P63。
利用拉氏变换发见P65。
状态运动的解见P69。
7. 已知输入量为r 维的n 阶系统：
x Ax Bu =+
在零初始条件下，求输入量为阶跃输入函数：1()u t =时的响应。
8. .对线性系统，1012,(0)0213x x u x -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
⎝⎭
， （1）求其矩阵指数函数At e 。
（2） 当1()u t =时，求状态运动的解。
（3）判断系统的能控性。
9. 设系统为 ()()()011, (0)011a t t u t x b -⎡⎤⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦
x x 试求出在输入为(0)u t t =≥时系统的状态响应。
第三章 线性控制系统的能控性和能观性
10. 线性系统的传递函数为32()()102718
y s s a u s s s s +=+++ （1） 试确定a 的取值，使系统不能控或不能观。（提示，系统没有零极点对消现
象）
（2） 在上述a 的取值下，求使系统为能控的状态空间表达式。
解：
11. 设系统的状态方程及输出方程为11000101;0111x x u ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
[]001y x =试判定系统的能控性。(提示：秩判据)
12. 判断系统的能控性与能观性。
P94，例3-1，并要求判断相应系数是否为零分情况讨论。
13. 求系统110102110111u -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
x x 的能控标准型。 14. （1）实数,a b 满足什么条件时系统0132a u b ⎡⎤⎡⎤=+⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦
x x 状态完全能控（4分） 第四章 稳定性与李雅普诺夫方法
15. 取Q I =，通过求解Lyapunov 方程判断系统平衡点0x =的稳定性.是否为大范围一致渐近稳定？ 1153x x ⎡⎤=⎢⎥--⎣⎦
解: 令a b P b c ⎛⎫= ⎪⎝⎭
0T A P PA Q ++=
210102502610
a b b c a b c -+=--+=-+= 4.5110.5P ⎛⎫= ⎪⎝⎭
4.50, 1.250P >=>，P 正定，大范围一致渐近稳定…
16. P167例题4-4
17. P167例题4-5
18. 用李雅普诺夫第一法判定系统1122
1223x x x x x x =-+⎧⎨=--⎩在原点的稳定性。 解： 21
14523
I A λλλλλ+--==+++，两个特征根均具有负实部，系统大范围一致渐近稳定。
19.给定系统如下，判断原点平衡状态是否为大范围渐近稳定。
解：
第五章线性定常系统的综合
20. P195，例5-2
21. P202 ，例5-4
22. P215，例5-9
一、选择题 1.下面关于建模和模型说法错误的是( C )。 A．无论是何种系统，其模型均可用来提示规律或因果关系。 B．建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种方式的组合表示状态变量、输入变量、输出变量、参数之间的关系。 C．为设计控制器为目的建立模型只需要简练就可以了。 D．工程系统模型建模有两种途径，一是机理建模，二是系统辨识。 2.系统()3()10() y t y t u t ++=的类型是( B ) 。 A．集中参数、线性、动态系统。B．集中参数、非线性、动态系统。 C．非集中参数、线性、动态系统。D．集中参数、非线性、静态系统。 3.下面关于控制与控制系统说法错误的是( B )。 A．反馈闭环控制可以在一定程度上克服不确定性。 B．反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动。 C．反馈闭环控制可在一定程度上克服外界扰动的影响。 D．控制系统在达到控制目的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。 x Pz说法错误的是( D )。 4.下面关于线性非奇异变换= A．非奇异变换阵P是同一个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。 B．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的特征值。 C．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的传递函数。 D．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的状态空间描述。 5.下面关于稳定线性系统的响应说法正确的是( A )。 A．线性系统的响应包含两部分，一部是零状态响应，一部分是零输入响应。 B．线性系统的零状态响应是稳态响应的一部分。 C．线性系统暂态响应是零输入响应的一部分。 D．离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越大。 6.下面关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是( A ) 。 A．能控且能观的状态空间描述一定对应着某些传递函数阵的最小实现。 B．能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能力。 C．能观性表征的是状态反映输出的能力。 D．对控制输入的确定性扰动影响线性系统的能控性，不影响能观性。 7.下面关于系统Lyapunov稳定性说法正确的是( C ) 。
《现代控制理论》练习题 判断题 1. 由一个状态空间模型可以确定惟一一个传递函数。 3. 对一个给定的状态空间模型，若它是状态能控的，则也一定是输出能控的。 4. 对系统Ax x = ，其Lyapunov 意义下的渐近稳定性和矩阵A 的特征值都具有负实部是一致的。 5. 对一个系统，只能选取一组状态变量； 6. 由状态转移矩阵可以决定系统状态方程的系统矩阵，进而决定系统的动态特性； 7. 状态反馈不改变系统的能控性。 8. 若传递函数B A sI C s G 1)()(--=存在零极相消，则对应状态空间模型描述的系统是不能控的； 9. 若线性系统是李雅普诺夫意义下稳定的，则它是大范围渐近稳定的； 10. 相比于经典控制理论，现代控制理论的一个显著优点是可以用时域法直接进行系统的分析和设计。 11. 传递函数的状态空间实现不唯一的一个主要原因是状态变量选取不唯一。 12. 状态变量是用于完全描述系统动态行为的一组变量，因此都是具有物理意义。 13. 等价的状态空间模型具有相同的传递函数。 14. 互为对偶的状态空间模型具有相同的能控性。 15. 一个系统的平衡状态可能有多个，因此系统的李雅普诺夫稳定性与系统受扰前所处的平衡位置无关。 16. 若一线性定常系统的平衡状态是渐近稳定的，则从系统的任意一个状态出发的状态轨迹随着时间的推移都将收敛到该平衡状态。 17. 反馈控制可改变系统的稳定性、动态性能，但不改变系统的能控性和能观性。 18. 如果一个系统的李雅普诺夫函数确实不存在，那么我们就可以断定该系统是不稳定的。 填空题 l ．系统状态完全能控是指 。 2．系统状态的能观性是指 。 3．系统的对偶原理： 。 4．对于一个不能控和不能观的系统，按系统结构标准分解 为 、 、 、 、的四个子系统。
现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ? ??? =+=????-???? &能控的状态变量个数是cvcvx ，能观测的状态变量个数是。 2试从高阶微分方程385y y y u ++=&&&&&求得系统的状态方程和输出方 程（4分/个） 解 1． 能控的状态变量个数是2，能观测的状态变量个数是1。状态变量个数是2。…..（4分） 2．选取状态变量1x y =，2x y =&，3x y =&&，可得 …..….……. （1分） 1223 3131 835x x x x x x x u y x ===--+=&&& …..….…….（1分） 写成 010*********x x u ???? ????=+????????--???? & …..….…….（1分） []100y x = …..….…….（1分） 二、1给出线性定常系统(1)()(),()()x k Ax k Bu k y k Cx k +=+=能控的定义。 （3分） 2已知系统[]210 020,011003x x y x ?? ??==?? ??-?? &，判定该系统是否完 全能观？(5分)
解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-L ，时系统从第 k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于 0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完全能控的，简称能控。…..….…….（3分） 2. [][]320300020012 110-=?? ?? ? ?????-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=?? ?? ? ?????--=CA ……..……….（1分） ????? ?????-=??????????=940320110 2CA CA C U O ………………..……….（1分） rank 2O U n =<，所以该系统不完全能观……..….…….（2 分） 三、已知系统1、2的传递函数分别为 2122211 (),()3232 s s g s g s s s s s -+==++-+ 求两系统串联后系统的最小实现。（8分） 解 112(1)(1)11 ()()()(1)(2)(1)(2)4 s s s s g s g s g s s s s s s -+++== ?=++--- …..….……. （5分） 最小实现为
现代控制理论习题及答案 现代控制理论习题及答案 现代控制理论是控制工程领域的重要分支，它研究如何设计和分析控制系统，以实现对动态系统的稳定性、响应速度、精度等方面的要求。在学习现代控制理论过程中，习题是一个非常重要的环节，通过解答习题可以帮助我们巩固理论知识，提高问题解决能力。本文将介绍一些常见的现代控制理论习题及其答案，希望对读者有所帮助。 1. 题目：给定一个开环传递函数 G(s) = 10/(s+5)，求其闭环传递函数 T(s) 和稳定性判断。 解答：闭环传递函数 T(s) 可以通过公式 T(s) = G(s) / (1 + G(s)) 计算得到。代入G(s) 的表达式，得到 T(s) = 10/(s+15)。稳定性判断可以通过判断开环传递函数G(s) 的极点是否在左半平面来进行。由于 G(s) 的极点为 -5，位于左半平面，因此系统是稳定的。 2. 题目：给定一个系统的状态空间表达式为 dx/dt = Ax + Bu，其中 A = [[-1, 2], [0, -3]]，B = [[1], [1]]，求系统的传递函数表达式。 解答：系统的传递函数表达式可以通过状态空间表达式进行求解。首先，计算系统的特征值，即矩阵 A 的特征值。通过求解 det(sI - A) = 0，可以得到系统的特征值为 -1 和 -3。然后，将特征值代入传递函数表达式的分母，得到传递函数的分母为 (s+1)(s+3)。接下来，计算传递函数的分子，可以通过求解 C = D(sI - A)^(-1)B 得到，其中 C 和 D 分别为输出矩阵和输入矩阵。代入给定的 A、B 矩阵，计算得到 C = [1, 0] 和 D = [0]。因此，系统的传递函数表达式为 G(s) = C(sI - A)^(-1)B = [1, 0] * [(s+1)^(-1), -2(s+3)^(-1); 0, (s+3)^(-1)] * [1; 1] =
现代控制理论复习题库 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
一、选择题 1.下面关于建模和模型说法错误的是( C )。 A．无论是何种系统，其模型均可用来提示规律或因果关系。 B．建模实际上是通过数据、图表、数学表达式、程序、逻辑关系或各种方式的组合表示状态变量、输入变量、输出变量、参数之间的关系。 C．为设计控制器为目的建立模型只需要简练就可以了。 D．工程系统模型建模有两种途径，一是机理建模，二是系统辨识。 2.系统()3()10() ++=的类型是( B ) 。 y t y t u t A．集中参数、线性、动态系统。 B．集中参数、非线性、动态系统。 C．非集中参数、线性、动态系统。D．集中参数、非线性、静态系统。 3.下面关于控制与控制系统说法错误的是( B )。 A．反馈闭环控制可以在一定程度上克服不确定性。 B．反馈闭环控制不可能克服系统参数摄动。 C．反馈闭环控制可在一定程度上克服外界扰动的影响。 D．控制系统在达到控制目的的同时，强调稳、快、准、鲁棒、资源少省。 x Pz说法错误的是 ( D )。 4.下面关于线性非奇异变换= A．非奇异变换阵P是同一个线性空间两组不同基之间的过渡矩阵。 B．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的特征值。 C．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的传递函数。 D．对于线性定常系统，线性非奇异变换不改变系统的状态空间描述。 5.下面关于稳定线性系统的响应说法正确的是( A )。 A．线性系统的响应包含两部分，一部是零状态响应，一部分是零输入响应。 B．线性系统的零状态响应是稳态响应的一部分。 C．线性系统暂态响应是零输入响应的一部分。 D．离零点最近的极点在输出响应中所表征的运动模态权值越大。 6.下面关于连续线性时不变系统的能控性与能观性说法正确的是( A ) 。 A．能控且能观的状态空间描述一定对应着某些传递函数阵的最小实现。 B．能控性是指存在受限控制使系统由任意初态转移到零状态的能力。 C．能观性表征的是状态反映输出的能力。 D．对控制输入的确定性扰动影响线性系统的能控性，不影响能观性。 7.下面关于系统Lyapunov稳定性说法正确的是( C ) 。 A．系统Lyapunov稳定性是针对平衡点的，只要一个平衡点稳定，其他平衡点也稳定。B．通过克拉索夫斯基法一定可以构造出稳定系统的Lyapunov函数。 C．Lyapunov第二法只可以判定一般系统的稳定性，判定线性系统稳定性，只可以采用Lyapunov方程。 D．线性系统Lyapunov局部稳定等价于全局稳定性。 8.下面关于时不变线性系统的控制综合说法正确的是( A ) 。 A．基于极点配置实现状态反馈控制一定可以使系统稳定。 B．不可控的系统也是不可镇定的。 C．不可观的系统一定不能通过基于降维观测器的状态反馈实现系统镇定。
现代控制理论参考答案 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图,并建立其状态空间表达式; 解：系统的模拟结构图如下： 系统的状态方程如下： 令y s =)(θ,则1x y = 所以,系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 1-2有电路如图1-28所示;以电压)(t u 为输入量,求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程,和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程; 解：由图,令32211,,x u x i x i c ===,输出量22x R y = 有电路原理可知：• • • +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =• • • 写成矢量矩阵形式为： 1-4 两输入1u ,2u ,两输出1y ,2y 的系统,其模拟结构图如图1-30所示,试求其状态空间表达式和传递函数阵; 解：系统的状态空间表达式如下所示： 1-5系统的动态特性由下列微分方程描述 列写其相应的状态空间表达式,并画出相应的模拟结构图; 解：令.. 3. 21y x y x y x ===，，,则有 相应的模拟结构图如下： 1-6 2已知系统传递函数2 )3)(2() 1(6)(+++=s s s s s W ,试求出系统的约旦标准型的实现,并画出相应的模拟 结构图 解：s s s s s s s s s W 31 233310)3(4)3)(2()1(6)(22++++- ++-=+++= 1-7 给定下列状态空间表达式
《现代控制理论》习题 第一章 控制系统的状态空间模型 1.1 考虑以下系统的传递函数： 6 56 )()(2 +++=s s s s U s Y 试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。 1.2 考虑下列单输入单输出系统： u y y y y 66116=+++&&&&&& 试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。 1.3 考虑由下式定义的系统： Cx y Bu Ax x =+=& 式中 ] 11[, 213421 =?? ? ???=??????=C B A ，－－ 试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。 1.4 考虑由下式定义的系统： Cx y Bu Ax x =+=& 式中 ] 011[,10030 021 101=???? ? ?????=????? ?????-=C B A ，－－ 试求其传递函数Y(s)/U(s)。 1.5 考虑下列矩阵： ? ? ??? ???? ???=0001100001000010A 试求矩阵A 的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。再求变换矩阵P ，使得 ) ,,,(diag 43211λλλλ=-AP P
第二章 状态方程的解 2.1 用三种方法计算下列矩阵A 的矩阵指数函数At e 。 1） ?? ? ???--=5160A ； 2） ???? ? ?????---=6116100010A 2.2 计算下列矩阵的矩阵指数函数At e 。 1） ??????=0010A ； 2） ??????=1002－－A ； 3） ????? ?-=0110 A ； 4） ?? ? ???=1021A 5) ??????????---=200010011A ； 6） ??????????=210010001A ； 7） ???? ? ?????=000100010A 2.2 给定线性定常系统 Ax x =& 式中 ?? ????--=2310 A 且初始条件为 ? ? ????-=11)0(x 试求该齐次状态方程的解x (t )。 2.4 已知系统方程如下 []x y u x x 11015610-=??????+??????--=& 求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。 1） ?? ????==01)0(,0)(x t u ； 2） ? ? ????==00)0(,)(1)(x t t u
《现代控制理论》第版课后习题答案
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《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - + + - +- ) (s θ)(s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1K p K K 1p K K 1+ + +p K n K ⎰ ⎰ ⎰1 1J ⎰ 2 J K b ⎰ ⎰- 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =••• •• • 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••• •654321165432111111112654321000001000000 000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
现代控制理论试题B 卷及答案 一、1 系统[]210,01021x x u y x ⎡⎤⎡⎤=+=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦能控的状态变量个数是，能观测的状态变量个数是cvcvx 。 2试从高阶微分方程385y y y u ++=求得系统的状态方程和输出方程（4分/个） 解 12。….. 23 3118x x x x y x ==--=010080x ⎡⎢=⎢⎢-⎣分） 00⎣(5分) 解 1．答：若存在控制向量序列(),(1),,(1)u k u k u k N ++-， 时系统从第k 步的状态()x k 开始，在第N 步达到零状态，即()0x N =，其中N 是大于0的有限数，那么就称此系统在第k 步上是能控的。若对每一个k ，系统的所有状态都是能控的，就称系统是状态完 全能控的，简称能控。…..….…….（3分）
2. [][]320300020012 110-=⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=CA ………..……….（1分） [][]940300020012 3202=⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=CA ……..……….（1分） ⎤⎡⎤⎡110C 1分） 0140x ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦ ()⎥⎦⎢⎢⎢⎣-=-818 1881C U ……..…………..…….…….（1分） 1118 8P ⎡⎤=-⎢⎥⎣⎦……..………….…..…….…….（1分） ⎦ ⎤⎢⎣⎡=43412P ……..………….…...…….…….（1分）
1314881148P -⎡⎤-⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦ ..………….…...…….…….（1分） 101105C A PAP -⎡⎤==⎢⎥-⎣⎦ ………….…...…….…….（1分） ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==1011 43418181Pb b C ……….…...…….…….（1分） 1分） 解（3分） 3分） 2分） （81分） 11121112221222420261p p p p p ⎪-+=⎨⎪-=-⎩………...……....…….…….（1分） 112212743858p p p ⎧=⎪⎪=⎨⎪=⎪⎩ ………...…………....…….…….（1分）
《现代控制理论》课后习题及答案 第一章控制系统的状态空间表达式 1-1.试求图1-1系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1-27系统方块结构图 图1-1 系统结构方块图 解：系统的模拟结构图如下： 图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 图1-2 双输入—双输出系统模拟结构图 系统的状态方程如下：
u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 461 514131 3322211 +-- =+-==++- - == =•• • •• • 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥ ⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡••••• •654321165432111111112654321000001000000 0000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2.有电路如图1-3所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。
第一章习题答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1 K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - ++ - + - ) (s θ) (s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ⎰ ⎰ ⎰1 1J ⎰ 2 J K b ⎰ ⎰ - 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下： u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 461 514131 3322211 +-- =+-==++- - == =∙∙ ∙ ∙∙∙ 令y s =)(θ，则1x y = 所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为
[]⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙ ∙654321165432111111112654321000001000000 000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1L1R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：∙ ∙ ∙ +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+-- =∙ ∙ ∙ 写成矢量矩阵形式为：
《现代控制理论参考答案》 第一章答案 1-1 试求图1-27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 1 1K s K K p +s K s K p 1 +s J 11s K n 2 2s J K b - + + - +- ) (s θ)(s U 图1-27系统方块结构图 解：系统的模拟结构图如下： ) (s U ) (s θ-- - + ++图1-30双输入--双输出系统模拟结构图 1 K p K K 1p K K 1++ +p K n K ⎰ ⎰ ⎰1 1J ⎰ 2 J K b ⎰ ⎰- 1 x 2 x 3 x 4 x 5x 6x 系统的状态方程如下： u K K x K K x K K x X K x K x x x x J K x J x J K x J K x x J K x x x p p p p n p b 161116613153 46 1 5141313322211 +-- =+-==++--== =∙∙∙ ∙∙ ∙ 令y s =)(θ，则1x y =
所以，系统的状态空间表达式及输出方程表达式为 []⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥ ⎥⎥⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎥ ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦ ⎤⎢ ⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣ ⎡-----=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡∙∙∙∙∙ ∙654321165432111111112654321000001000000 000000010010000000000010x x x x x x y u K K x x x x x x K K K K K K J K J J K J K J K x x x x x x p p p p n p b 1-2有电路如图1-28所示。以电压)(t u 为输入量，求以电感中的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻2R 上的电压作为输出量的输出方程。 R1 L1 R2 L2 C U ---------Uc --------- i1 i2图1-28 电路图 解：由图，令32211,,x u x i x i c ===，输出量22x R y = 有电路原理可知：∙ ∙ ∙ +==+=++3 213 222231111x C x x x x R x L u x x L x R 既得 2 221332 2222131111111111x R y x C x C x x L x L R x u L x L x L R x =+- =+-=+--=∙∙ ∙ 写成矢量矩阵形式为：
现代控制理论习题集 现代控制理论习题集 考虑以下系统的传递函数： 试求该系统状态空间表达式的能控标准形和可观测标准形。 1、2 考虑下列单输入单输出系统： 试求该系统状态空间表达式的对角线标准形。1、3 考虑由下式定义的系统：式中试将该系统的状态空间表达式变换为能控标准形。1、4 考虑由下式定义的系统：式中试求其传递函数 Y(s)/U(s)。1、5 考虑下列矩阵： 试求矩阵A的特征值λ1,λ2,λ3 和λ4。再求变换矩阵P，使得第二章状态方程的解2、1 用三种方法计算下列矩阵A的矩阵指数函数。1）；2）2、2 计算下列矩阵的矩阵指数函数。1）；2）；3）；4）5) ；6）；7）2、2 给定线性定常系统式中且初始条件为试求该齐次状态方程的解x(t)。2、4 已知系统方程如下求输入和初值为以下值时的状态响应和输出响应。1）；2）3）；4）2、5 验证下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，若满足，求相应的状态系数矩阵A。 2、6 对线性定常系统，已知求系统矩阵A。2、7 已知线性时变系统的系统矩阵如下，计算状态转移矩阵。1）；2）2、8 给定系统和其伴随方程，其状态转移矩阵分别用和表示，证明：。 2、9 求解下列系统的状态响应。2、10 已知如下离散时间系 统，，是从单位斜坡函数t采样得到的，求系统的状态响应。2、11 已知如下离散时间系统，试求，使系统能在第二个采样时刻转移到原点。第三章线性系统的能控性与能观性3、1 考虑由下式定义的系统式中试判断该系统是否为状态能控和状态能观测。该系统是输出能控的吗？3、2 下列能控标准形式中是状态能控和状态能观测的吗？3、3 考虑如下系统式中除了明显地选择外，试找出使该系统状态不能观测的一组，和。3、4 给定线性定常系统式中试将该状态空间表达式化为能控标准形和能观测标准形。3、5 给定线性定常系统式中试将该状态方程化为能观测标准形。第四章动态系统的稳定性分析4、1 试确定下
第一章习题： 1－1试求图1.27系统的模拟结构图，并建立其状态空间表达式。 图1.27 系统结构图 1－2有电路如图1.28所示。以电压u （t ）为输入量，以求电感内的电流和电容上的电压作为状态变量的状态方程，和以电阻R 2上的电压作为输出量的输出方程。 图1.28 电路图 1-3有机械系统如图1.29所示，M 1和M 2分别受外力f 1和f 2的作用。求以M 1和M 2的运动速度为输出的状态空间表达式。
图1.29 机械系统 1-6已知系统传递函数： （1）) 3)(1()1(10)(++-= s s s s s W （2）2 ) 3)(2()1(6)(+++=s s s s s W 试求出系统的约当标准型的实现，并画出相应的模拟结构图。 1-7给定下列状态空间表达式： )⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛3 2 13 2 1 .3.21.1,0,0210311032010x x x y u x x x x x x （1） 画出其模拟结构图。 （2） 求系统的传递函数。 1-8求下列矩阵的特征矢量： （1） ⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛---=21 12A （2）⎪⎪⎭ ⎫ ⎝⎛--=5610A
（3） ⎪⎪⎭⎫ ⎝ ⎛---=67 12203 010A （4）⎪⎪⎪⎭ ⎫ ⎝ ⎛---=54 4101 121A 第二章习题： 2-3 已知矩阵⎪⎪⎪ ⎭ ⎫ ⎝ ⎛-=45 2100 010 A 试用拉氏反变换法求At e 。（与例2-3，例2-7的结果验证） 2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数At e 。 （1）⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡-=04 10 A （2）⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡=1411A 2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求与之对应的A 阵。 （1）⎥⎥⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎢⎢⎣⎡-=Φt t t t t sin cos 0 cos sin 0001)( （2）⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡-=Φ--t t e e t 220 )1(2/11 )( (3) ⎥⎦⎤⎢⎣⎡----=Φ--------t t t t t t t t e e e e e e e e t 22222222)( (4) ⎥⎦ ⎤ ⎢⎣⎡++-+-+=Φ----)(2/1) ()(4/1) (2/1)(3333t t t t t t t t e e e e e e e e t 2-6 求下列状态空间表达式的解 . x =u x ⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢ ⎣⎡100010 []x 01 =γ 初始状态x(0)=⎥⎦ ⎤⎢⎣⎡1 1，输入u(t)是单位阶跃函数。
现代控制理论基础（习题） 1-4. 两输入1u 、2u ，两输出1y 、2y 的系统，其模拟结构图如下所示，试求其状 态空间表达式和传递函数阵。 解：状态方程1112203121 35133442423 x a x a x a x b u x x x a x a x a x b u x x x =---+⎧⎪=⎨=---+⎪=+⎩ 输出方程为{ 1224 y x y x == 整理有1 2 61125342001000000001 1 00001000001a a a b u x x u a a a b y x ⎧---⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=+ ⎪⎪ ⎪ ⎪---⎪ ⎝⎭ ⎪ ⎪ ⎨⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎛⎫⎪= ⎪⎪⎝⎭ ⎩ 求传函：
1121 12 6153 420010000()()000 100000010010000000 1000 1100b G s sI A b s a a a b s a s a a b s --⎛⎫ ⎪ ⎛⎫ ⎪=- ⎪ ⎪ ⎝⎭ ⎪⎝⎭ +⎛⎫ ⎛⎫ ⎪ ⎪-⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭ ⎪ ⎪--⎝⎭ ⎝⎭ 12 534261 612223453421341562 2346242260100det()det 00 1100(1)(1)det 0(1)det 1101()()()()s a a a s sI A a s a a s a a s a a s a a s a s a a s s a s s a a a a a s s a s a a s a s a a s a s a +++⎛⎫ ⎪- ⎪-= ⎪+ ⎪ --⎝⎭+⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ =-⋅-⋅++-⋅⋅+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭ =+-++++++-=+432222346241313441564221313562414232446 ()()()()a s a a a a s a a s a a s a s a a s a a s s a a s a a a a a a s a a a a s a a a a -+++++++-=+++-+++++- 121223141243()b a b a G s b a b a ⎛⎫= ⎪⎝⎭ 322134a s a s a s =++ 4153(1)a a s a =-+ 236a a s =- 2 43126 a s a s a a =++- 213141622511321222621()det()(1) b s a b s a b a b s G s sI A a b s b a b s a b s a b a b ⎛⎫++-= ⎪ --+++-⎝⎭ 1-5. 系统的动态特性由下列微分方程描述 （1）5732y y y y u u +++=+ （2）57332y y y y u u u +++=++ 列写其相应的状态空间表达式，并画出相应的模拟结构图。 解：（1）25a =，17a =，03a = 30b =，20b =，11b =，02b =