概率的基本性质练习题
一、选择题
1.下列各组事件中，不是互斥事件的是( )
A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6
B.统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分
C.播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒
D.检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70%
答案:B
2.从整数中任取两数，其中是对立事件的是( )
①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数 ②至少有一个是奇数和两个都是奇数 ③至少有一个是奇数和两个都是偶数 ④至少有一个奇数和至少有一个偶数
A.①
B.②④
C.③
D.①③
答案:C
3.一个战士一次射击，命中环数大于8,大于5,小于4,小于7,这四个事件中，互斥事件有
( )
对 对 对 对
答案:D
4.甲、乙两人下棋,甲获胜的概率为40%,甲不输的概率为90%,则甲、乙下成和棋的概率为( )
% % % %
答案:D
5.活期存款本上留有四位数密码,每位上的数字可在0到9这十个数字中选取,某人忘记了密码的最后一位,那么此人取款时,在对前三个数码输入后,再随意按一个数字键,正好按对他原来所留密码的概率为( ) A.
91 B.101 C.100
1 D.10001 答案:B
二、填空题
6.某战士射击一次，若事件A (中靶)的概率为
(1)P (A 的对立事件)＝________；
(2)若事件B (中靶环数不小于5)的概率为，那么事件C (中靶环数小于6)的概率＝________；
(3)事件D (中靶环数大于0且小于6)的概率＝________；
答案:(1) (2) (3)
范围内的概率为________.
答案:
8.乘客在某电车站等待26路或16路电车，该站停靠16、22、26、31四路电车.假定各路电车停靠的频率一样，则乘客期待电车首先停靠的概率等于________.
答案:21
三、解答题
9.某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为、、、.求:
(1)他乘火车或乘飞机去的概率；
(2)他不乘轮船去的概率；
(3)如果他去的概率为，请问他有可能是乘何种交通工具去的?
解析:(1)记“他乘火车去”为事件A ，“他乘轮船去”为事件B ，“他乘汽车去”为事件C ，“他乘飞机去”为事件D ，这四个事件不可能同时发生，故它们彼此互斥.所以
P (A +B )=P (A )+P (B )=+=.
(2)P (B )=1－P (B )=1－=.
(3)由于+=,+=,1－+=,1－+=,他有可能乘火车或轮船去,也有可能乘汽车或飞机去.
答案:(1)他乘火车或乘飞机去的概率为；(2)他不乘轮船去的概率为.(3)他有可能乘火车或轮船去，也有可能乘汽车或飞机去.
10.在很多游戏中都要掷骰子，比掷出点子的大小，点子大的优先，比如下棋、赛球等等，即甲先掷一个(均匀的)骰子，然后乙掷，谁掷出的点子多谁赢.问甲赢的概率是多大？
解析:由于对称性，甲赢与甲输(即乙赢)的概率是相等的，又和局的概率是
61，由对立事件概率公式知甲赢的概率是:(1－
61)/2＝125. 答案:
125
3-1-3概率的基本性质 一、选择题 1．给出以下结论： ①互斥事件一定对立． ②对立事件一定互斥． ③互斥事件不一定对立． ④事件A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率． ⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)． 其中正确命题的个数为() A．0个B．1个 C．2个D．3个 [答案] C [解析]对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错； 又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错； 只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)， ∴⑤错． 2．抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则() A．A?B B．A＝B C．A＋B表示向上的点数是1或2或3 D．AB表示向上的点数是1或2或3 [答案] C [解析]设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{1}，A∪B＝{1,2,3}，∴A＋B表示向上的点数为1或2或3.
3．抛掷一枚均匀的正方体骰子，事件A＝{向上的点数是1}，事件B＝{向上的点数是2}，事件C＝{向上的点数是1或2}，则有() A．A∩B＝C B．A∪B＝C C．C?B D．C?A [答案] B [解析]A∪B＝?，A∪B＝C，B?C，A?C，则仅有B项正确．4．事件M?N，当N发生时，下列必发生的是() A．M B．M∩N C．M∪N D．M的对立事件 [答案] C [解析]由于M?N，则当N发生时，M不一定发生，则MN和M∩N也不一定发生，而M∪N一定发生． 5．对于对立事件和互斥事件，下列说法正确的是() A．如果两个事件是互斥事件，那么这两个事件一定是对立事件B．如果两个事件是对立事件，那么这两个事件一定是互斥事件C．对立事件和互斥事件没有区别，意义相同 D．对立事件和互斥事件没有任何联系 [答案] B [解析]互斥事件不一定是对立事件，但对立事件一定是互斥事件，则B项正确，A、C、D项不正确 6．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么，互斥而不对立的事件是() A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球
10.1.4概率的基本性质 （用时45分钟） 【选题明细表】 基础巩固 1．《孙子算经》中曾经记载，中国古代诸侯的等级从高到低分为:公、侯、伯、子、男，共有五级.若给有巨大贡献的2人进行封爵，则两人不被封同一等级的概率为（） A．2 5 B． 1 5 C． 4 5 D． 3 5 【答案】C 【解析】给有巨大贡献的2人进行封爵,总共有5525 ⨯=种,其中两人被封同一等级的共有5种, 所以两人被封同一等级的概率为51 255 =, 所以其对立事件,即两人不被封同一等级的概率为: 14 1 55 -=. 故选C. 2．根据湖北某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O型52%，A型15%，AB型5%，B型28%.现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则此人能为病人输血的概率为() A．67%B．85% C．48% D．15% 【答案】A 【解析】O型血与A型血的人能为A型血的人输血，故所求的概率为52%＋15%＝67%.故选A. 3．某校高三(1)班50名学生参加1 500 m体能测试，其中23人成绩为A，其余人成绩都是B或C.从这50名学生中任抽1人，若抽得B的概率是0.4，则抽得C的概率是() A．0.14B．0.20 C．0.40D．0.60 【答案】A
【解析】由于成绩为A 的有23人，故抽到C 的概率为1－23 50 －0.4＝0.14.故选A. 4．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为( ) A ．0.9 B ．0.3 C ．0.6 D ．0.4 【答案】D 【解析】设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A ，则事件A 的对立事件A 是“该射手在一次射击中不小于8环”． ∵事件A 包括射中8环，9环，10环，这三个事件是互斥的， ∴P(A )＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6， ∴P(A)＝1－P(A )＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4. 5.在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是,那么概率是的事件是( ) A.至多有一张移动卡 B.恰有一张移动卡 C.都不是移动卡 D.至少有一张移动卡 【答案】A 【解析】∵在5张电话卡中,有3张移动卡和2张联通卡,从中任取2张,若事件“2张全是移动卡”的概率是, ∴概率是的事件是“2张全是移动卡”的对立事件, ∴概率是的事件是“至多有一张移动卡”.故选A. 6．一商店有奖促销活动中，有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率是0.25，则不中奖的概率是________． 【答案】0.65 【解析】中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65. 7．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有一名女生的概率为4 5，那么所选3人中都是男生的概率为________．
人教A版高中数学必修三第三章3.1-3.1.3概率的基本性质同步训练B卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、单选题 (共6题；共12分) 1. （2分） (2020高二下·南昌开学考) 甲射击一次命中目标的概率是，乙射击一次命中目标的概率是 ，丙射击一次命中目标的概率是，现在三人同时射击目标一次，则目标被击中的概率为（） A . B . C . D . 2. （2分）从装有2个黑球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而对立的两个事件是（） A . 至少有1个黑球，至少有1个白球 B . 恰有1个黑球，恰有2个白球 C . 至少有1个黑球，都是黑球 D . 至少有1个黑球，都是白球 3. （2分） P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A∪B)等于（） A . 0.3 B . 0.2 C . 0.1 D . 不确定 4. （2分）抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则（） A . A⊆B
B . A=B C . A+B表示向上的点数是1或2或3 D . AB表示向上的点数是1或2或3 5. （2分）口袋内装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是（） A . 0.42 B . 0.28 C . 0.3 D . 0.7 6. （2分） (2019高一下·砀山月考) 从装有红球和绿球的口袋内任取2个球(其中红球和绿球都多于2个)，那么互斥而不对立的两个事件是（） A . 至少有一个红球，至少有一个绿球 B . 恰有一个红球，恰有两个绿球 C . 至少有一个红球，都是红球 D . 至少有一个红球，都是绿球 二、填空题 (共4题；共4分) 7. （1分） (2020高二上·淄博期末) 现有3个灯泡并联而成的闭合电路，如果在某段时间内每个灯泡能正常照明的概率都是0.9，那么在这段时间内该电路上的灯泡至少有两个能正常照明的概率是________. 8. （1分）(2020·呼和浩特模拟) 若10件产品包含2件次品，今在其中任取两件，已知两件中有一件不是废品的条件下，另一件是废品的概率为________． 9. （1分） (2019高二上·湖南月考) 从一批产品中取出三件产品,设A={三件产品全不是次品},B={三件产品全是次品},C={三件产品不全是次品},则下列结论正确的序号是________. ①A与B互斥;②B与C互斥;③A与C互斥;④A与B对立;⑤B与C对立.
概率的基本性质 班级：____________ 姓名：__________________ 一、选择题 1．给出以下结论：①互斥事件一定对立．②对立事件一定互斥．③互斥事件不一定对立．④事件A 与B的和事件的概率一定大于事件A的概率．⑤事件A与B互斥，则有P(A)＝1－P(B)．其中正确命题的个数为() A．0个B．1个 C．2个D．3个 解析：选C对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③正确，①错；又当A∪B＝A时，P(A∪B)＝P(A)，∴④错；只有A与B为对立事件时，才有P(A)＝1－P(B)，∴⑤错． 2．从1,2，…，9中任取两数，①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的是() A．①B．②④ C．③D．①③ 解析：选C从1,2，…，9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个奇数；(2)两个偶数；(3)一个奇数和一个偶数．至少有一个奇数是(1)和(3)，其对立事件显然是(2)．故选C. 3．若A、B是互斥事件，则() A．P(A∪B)<1 B．P(A∪B)＝1 C．P(A∪B)>1 D．P(A∪B)≤1 解析：选D∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1.(当A、B对立时，P(A∪B)＝1)． 4．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是() A．“至少有1个白球”和“都是红球” B．“至少有1个白球”和“至多有1个红球” C．“恰有1个白球”和“恰有2个白球” D．“至多有1个白球”和“都是红球” 解析：选C该试验有三种结果：“恰有1个白球”、“恰有2个白球”、“没有白球”，故“恰有1个白球”和“恰有2个白球”是互斥事件但不是对立事件． 5．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为() A．60% B．30% C．10% D．50% 解析：选D设A＝{甲获胜}，B＝{甲不输}，C＝{甲、乙和棋}，则A、C互斥，且B＝A∪C，故P(B)＝P(A∪C)＝P(A)＋P(C)，即P(C)＝P(B)－P(A)＝50%.
《概率的基本性质》提高练习 1．下列各组事件中，不是互斥事件的是( ) A ．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 B ．统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数低于90分与平均分数高于90分 C ．播种菜籽100粒，发芽90粒与至少发芽80粒 D ．检查某种产品，合格率高于70%与合格率为70% 2．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，已知事件“2张全是移动卡”的概率是310，那么概率是7 10的事件是( ) A ．至多有一张移动卡 B ．恰有一张移动卡 C ．都不是移动卡 D ．至少有一张移动卡 3．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为( ) A ．60% B ．30% C ．10% D ．50% 4．根据多年气象统计资料，某地6月1日下雨的概率为0.45，阴天的概率为0.20，则该日晴天的概率为( ) A ．0. 65 B ．0.55 C ．0.35 D ．0.75 5．抛掷一枚骰子，观察掷出骰子的点数，设事件A 为“出现奇数点\”，事件B 为“出现2点\”，已知P (A )＝12，P (B )＝1 6，出现奇数点或2点的概率之和为 ( ) A ．1 2 B ．56 C ．1 6 D ．23 6．在一次随机试验中，事件A 1，A 2，A 3发生的概率分别为0.2，0.3，0.5，则下列说法正确的是( ) A ．A 1∪A 2与A 3是互斥事件，也是对立事件 B ．A 1∪A 2∪A 3是必然事件 C ．P (A 2∪A 3)＝0.8 D ．事件A 1，A 2，A 3的关系不确定
高中数学必修3 概率的基本性质 专项练习 (精选必考知识点+答案，值得下载打印练习) (建议用时：45分钟) [学业达标] 一、选择题 1．若A、B是互斥事件，则() A．P(A∪B)＜1B．P(A∪B)＝1 C．P(A∪B)＞1 D．P(A∪B)≤1 【解析】∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1.(当A、B对立时，P(A∪B)＝1) 【答案】 D 2．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中飞机}，B＝{两次都没击中飞机}，C＝{恰有一炮弹击中飞机}，D＝{至少有一炮弹击中飞机}，下列关系不正确的是() A．A⊆D B．B∩D＝∅ C．A∪C＝D D．A∪B＝B∪D 【解析】“恰有一炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一炮弹击中”包含两种情况：一种是恰有一炮弹击中，一种是两炮弹都击中，∴A∪B≠B∪D. 【答案】 D
3．从1，2，3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数． 在上述事件中，是对立事件的是( ) A ．① B ．②④ C ．③ D ．①③ 【解析】 从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数，故选C. 【答案】 C 4．某城市2015年的空气质量状况如下表所示： 其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50＜T ≤100时，空气质量为良；100＜T ≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2015年空气质量达到良或优的概率为( ) A.35 B ．1180 C.119 D ．59 【解析】 所求概率为110＋16＋13＝35.故选A. 【答案】 A 5．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图3-1-2为检
第十章 10.1 10.1.4 1．若事件A 和B 是互斥事件，且P (A )＝0.1，则P (B )的取值范围是( A ) A ．[0,0.9] B ．[0.1,0.9] C ．(0,0.9] D ．[0,1] [解析] 由于事件A 和B 是互斥事件，则P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝0.1＋P (B )，又0≤P (A ∪B )≤1，所以0≤0.1＋P (B )≤1，所以0≤P (B )≤0.9．故选A ． 2．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率是90%，则甲、乙两人下和棋的概率是( D ) A ．60% B ．30% C ．10% D ．50% [解析] “甲获胜”与“甲、乙下成和棋”是互斥事件，“甲不输”即“甲获胜或甲、乙下成和棋”，故P (甲不输)＝P (甲胜)＋P (甲、乙和棋)，∴P (甲、乙和棋)＝P (甲不输)－P (甲胜)＝90%－40%＝50%. 3．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A ＝{摸出黑球}，B ＝{摸出红球}，C ＝{摸出白球}，则事件A ∪B 及B ∪C 的概率分别为( A ) A ．56，1 2 B ．16，1 2 C ．12，5 6 D ．13，12 [解析] P (A )＝12，P (B )＝13，P (C )＝1 6 . P (A ∪B )＝P (A )＋P (B )＝56.P (B ∪C )＝P (B )＋P (C )＝1 2 .故选A ． 4．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.3,0.25，则未命中靶的概率是__0.1__. [解析] 令事件A ＝“命中Ⅰ”，事件B ＝“命中Ⅱ”，事件C ＝“命中Ⅲ”，事件D ＝“未命中靶”，则A ，B ，C 彼此互斥，故射手中靶的概率为P (A ∪B ∪C )＝P (A )＋P (B )＋P (C )＝0.35＋0.3＋0.25＝0.9． 因为中靶和不中靶是对立事件，所以未命中靶的概率为P (D )＝1－P (A ∪B ∪C )＝1－0.9＝0.1．
概率 考纲要求 1.了解随机现象和概率的统计定义，理解必然事件和不可能事件的意义. 2.知道概率的性质，理解古典概率模型的含义，掌握求古典概型的方法，并会求古典概型的概率. 3.知道互斥事件，会用概率加法公式求互斥事件的概率. 4.认识n 次独立重复实验模型，并记住n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率公式，并会简单应用. 5.了解随机变量、离散型随机变量及其概率分布；能写出简单的离散型随机变量的概率分布. 6.了解二项分布，能写出简单的二项分布. 知识点一：随机事件的概率 1.随机事件的相关概念 随机现象：在相同条件下具有多种可能结果,而事先又无法确定会出现哪种结果的现象称为随机现象. 随机试验：研究随机现象所进行的观察和试验称为随机试验. 随机事件：随机试验的结果称为随机事件，简称事件，常用大写字母A ,B ,C 等来表示. 必然事件：在一定条件下，必然发生的事件称为必然事件，用Ω来表示. 不可能事件：在一定条件下，不可能发生的事件称为不可能事件，用∅来表示. 基本事件：在随机试验中不能再分的最简单的随机事件称为基本事件. 复合事件：可以用基本事件来描述的随机事件称为复合事件. 2.频率与概率 频数：设在n 次重复试验中，事件发A 生了m 次（0 ≤m ≤n ），m 称为事件A 的频数. 频率：事件A 的频数在试验的总次数中所占的比例 m n ，称为事件A 发生的频率. 事件A 发生的概率：当试验次数充分大时，如果事件发A 生的频率m n 总稳定在某个常数附近，那么就把这个常数叫做事件A 发生的概率,记作)(A P . 事件A 发生的概率的性质：
（1）对于必然事件Ω，()1=P Ω； （2）对于不可能事件∅，0)(=∅P ； （3）0≤P (A )≤1. 知识点2： 古典概型 1. 古典概型： （1）定义：如果一个随机试验的基本事件只有有限个，并且各个基本事件发生的可能性都相等，那么称这个随机试验属于古典概型. 特征：试验的所有可能结果的个数是有限的；每个结果出现的机会均等. （2）在古典概型中，若试验共包含有n 个基本事件，并且每一个事件发生的可能性都相同，事件A 包含m 个基本事件，那么事件A 发生的概率()m P A n = 2.互斥事件： （1）定义：在随机试验中，不可能同时发生的两个事件称为互斥事件或互不相容事件 （2）和事件：在随机试验中，若事件C 发生意味着事件A 与事件B 中至少有一个发生，则把事件C 称为事件A 与事件B 的和事件,记作C A B = （3）互斥事件的概率加法公式：互斥的事件A 和事件B 中至少有一个发生的概率 ()()()P A B P A P B =+ 知识点3：离散型随机变量及其分布 1.随机变量的概念 如果随机试验的结果可以用一个变量的取值来表示，这个变量的取值带有随机性，并且取这些值的概率是确定的，那么这个变量叫做随机变量，通常用小写希腊字母ξ、η等表示，或用大写英文字母，,,X Y Z 等表示. 2.离散型随机变量的概念 如果随机变量的所有可能取值可以一一列出，则这种随机变量称为离散型随机变量. 3.离散型随机变量的概率分布 （1）离散型随机变量的概率分布的定义 离散型随机变量ξ的所有可能取值1x ，2x ，3x …，i x …与其对应的概率(x )i i P p ξ==（i =1，2，3，…）所有组成的表
概率的基本概念综合练习题概率作为数学中的重要分支，被广泛应用于各个领域，如统计学、金融、物理学等。它帮助我们理解随机事件发生的可能性，并为我们提供了一种分析和预测未知结果的方法。在这篇文章中，我们将回顾和练习一些概率的基本概念。 一、概率的定义和基本性质 1. 简明定义：概率是指一个随机事件发生的可能性大小，通常用一个介于0和1之间的数字来表示。 2. 基本性质： a. 概率的范围：概率值必须介于0和1之间，包括0和1。 b. 必然事件和不可能事件：事件的概率为1的称为必然事件，事件的概率为0的称为不可能事件。 c. 互补事件：事件A和事件A的补集的概率之和为1，即 P(A) + P(A') = 1。 d. 加法公式：对于两个互不相容的事件A和B，它们的并集的概率等于它们各自概率的和，即 P(A∪B) = P(A) + P(B)。 二、概率计算方法练习题 1. 掷骰子：
假设你有一个六面骰子（上面的数字分别为1、2、3、4、5、6），求以下事件的概率： a. A：得到的点数是一个偶数。 b. B：得到的点数小于等于3。 c. C：得到的点数既是偶数又小于等于3。 2. 抽扑克牌： 假设你有一副标准扑克牌（52张），求以下事件的概率： a. A：抽到一张黑桃牌。 b. B：抽到一张红色的Ace牌。 c. C：抽到一张红桃或方块的牌。 3. 球袋问题： 假设一个袋子中有10个红球和5个蓝球，从中随机抽取2个球， 求以下事件的概率： a. A：两个球都是红球。 b. B：一个红球和一个蓝球。 c. C：两个球都是蓝球。 三、条件概率练习题
1. 从一副标准扑克牌（52张）中随机抽取一张牌，求以下事件的条件概率： a. A：抽到一张红色的牌，已知抽到的牌是扎克。 b. B：抽到一张大小王，已知抽到的是一张红牌。 2. 从一个已知有6个红球和4个白球的袋子中随机抽取2个球，求以下事件的条件概率： a. A：两个球都是白球，已知第一个球是红球。 b. B：两个球都是红球，已知至少有一个球是红球。 四、独立事件练习题 1. 从一副标准扑克牌（52张）中随机抽取两张牌（不放回），求以下事件的概率： a. A：第一张牌是红桃，第二张牌是黑桃。 b. B：两张牌都是A。 2. 从一个有10个红球和8个蓝球的袋子中随机抽取两个球（不放回），求以下事件的概率： a. A：两个球都是红球。 b. B：一个红球和一个蓝球。 总结：
3.1.3 概率的基本性质 一、基础过关 1．从装有3个红球和4个白球的口袋中任取3个小球，则下列选项中两个事件是互斥事件的为 ( ) A ．“都是红球”与“至少一个红球” B ．“恰有两个红球”与“至少一个白球” C ．“至少一个白球”与“至多一个红球” D ．“两个红球，一个白球”与“两个白球，一个红球” 2. 给出事件A 与B 的关系示意图，如图所示，则 ( ) A ．A ⊆B B ．A ⊇B C ．A 与B 互斥 D ．A 与B 互为对立事件 3．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A ＝{两次都击中飞机}，B ＝{两 次都没击中飞机}，C ＝{恰有一弹击中飞机}，D ＝{至少有一弹击中飞机}，下列关系不正确的是 ( ) A ．A ⊆D B ．B ∩D ＝∅ C ．A ∪C ＝D D ．A ∪B ＝B ∪D 4．下列四种说法： ①对立事件一定是互斥事件； ②若A ，B 为两个事件，则P (A ＋B )＝P (A )＋P (B )； ③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P (A )＋P (B )＋P (C )＝1； ④若事件A ，B 满足P (A )＋P (B )＝1，则A ，B 是对立事件． 其中错误的个数是 ( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ、Ⅲ构成，射手命中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的概 率分别为0.35、0.30、0.25，则不命中靶的概率是______． 6．甲、乙两人下棋，两人和棋的概率是12，乙获胜的概率是1 3，则乙不输的概率是________．
7．经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应概率如下： (2)至少3人排队等候的概率是多少？ 8．某射手在一次射击中命中9环的概率是0.28，命中8环的概率是0.19，不够8环的概率是 0.29，计算这个射手在一次射击中命中9环或10环的概率． 二、能力提升 9．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常情况下，出现乙级品和丙级 品的概率分别是5%和3%，则抽验一只是正品(甲级)的概率为 ( ) A ．0.95 B ．0.97 C ．0.92 D ．0.08 10．现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书，从中任取1本，取出的是理科书的概率 为 ( ) A.15 B.25 C.35 D.45 11．从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率为4 5 ， 那么所选3人中都是男生的概率为________． 12．假设向三个相邻的敌军火库投掷一枚炸弹，炸中第一个军火库的概率为0.5，炸中其余两 个军火库的概率都为0.1.若只要炸中一个，另外两个也要发生爆炸．求军火库发生爆炸的概率． 三、探究与拓展 13．抛掷一枚质地均匀的骰子，向上的一面出现1点、2点、3点、4点、5点、6点的概率 都是1 6 ，记事件A 为“出现奇数”，事件B 为“向上的点数不超过3”，求P (A ∪B )．
第三章概率 3.1.3 概率的基本性质 一、选择题 1．下列说法合理的是 A．抛掷一枚质地均匀的骰子，点数为6的概率是1 6 ，意即每掷6次就有一次掷得点数6． B．抛掷一枚硬币，试验200次出现正面的频率不一定比100次得到的频率更接近概率． C．某地气象局预报说，明天本地下雨的概率为80%，是指明天本地有80%的区域下雨． D．随机事件A，B中至少有一个发生的概率一定比A，B中恰有一个发生的概率大． 【答案】B 2．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 【答案】B 【解析】某群体中的成员只用现金支付，既用现金支付也用非现金支付，不用现金支付，是互斥事件，所以不用现金支付的概率为：1–0.45–0.15=0.4．故选B． 3．口袋中装有一些大小相同的红球、白球和黑球，从中摸出一个球，摸出红球的概率是0.43，摸出白球的概率是0.27，那么摸出黑球的概率是 A．0.43 B．0.27 C．0.3 D．0.7 【答案】C 【解析】由题意，摸出黑球的概率是P=1–0.43–0.27=0.3．故选C．
4．有一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的对立事件是 A．至多有1次中靶B．2次都中靶 C．2次都不中靶D．只有1次中靶 【答案】C 【解析】由于两个事件互为对立事件时，这两件事不能同时发生，且这两件事的和事件是一个必然事件，再由于一个人在打靶中，连续射击2次，事件“至少有1次中靶”的反面为“2次都不中靶”，故事件“至少有1次中靶”的对立事件是“2次都不中靶”，故选C． 5．“弘雅苑”某班科技小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加学校科技艺术节“水火箭”比赛，那么互斥而不对立的两个事件是 A．恰有1名男生和恰有2名男生 B．至多有1名男生和都是女生 C．至少有1名男生和都是女生 D．至少有1名男生和至少有1名女生 【答案】A 【解析】“弘雅苑”某班科技小组有3名男生和2名女生，从中任选2名学生参加学校科技艺术节“水火箭”比赛，在A中，恰有1名男生和恰有2名男生是互斥而不对立的两个事件，故A正确；在B中，至多有1名男生和都是女生能同时发生，不是互斥事件，故B错误；在C中，至少有1名男生和都是女生是对立事件，故C错误；在D中，至少有1名男生和至少有1名女生能同时发生，不是互斥事件，故D错误．故选A． 6．某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是 A．“至少有1名女生”与“都是女生” B．“至少有1名女生”与“至多1名女生” C．“恰有1名女生”与“恰有2名女生” D．“至少有1名男生”与“都是女生” 【答案】C 【解析】A中的两个事件是包含关系，故不符合要求；B中的两个事件之间有都包含一名女的可能性，故不互斥；C中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件；D中的两个事件是对立事件，故不符合要求．故选C． 7．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是
3.1.3概率的基本性质 一、选择题 1.袋内装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是() A.至少有一个白球与都是白球 B.至少有一个白球与至少有一个红球 C.恰有一个红球与一个白球一个黑球 D.至少有一个红球与红、黑球各一个 考点互斥事件 题点互斥事件的判断 答案 C 解析直接依据互斥事件和对立事件的概念判断即可. 2.一箱产品有正品4件、次品3件，从中任取2件，有如下事件： ①“恰有1件次品”和“恰有2件次品”； ②“至少有1件次品”和“都是次品”； ③“至少有1件正品”和“至少有1件次品”； ④“至少有1件次品”和“都是正品”. 其中互斥事件有() A.1组 B.2组 C.3组 D.4组 考点互斥事件 题点互斥事件的判断 答案 B 解析对于①，“恰有1件次品”就是“1件正品，1件次品”，与“2件都是次品”显然是互斥事件； 对于②，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是次品”可能同时发生，因此这两个事件不是互斥事件； 对于③，“至少有1件正品”包括“恰有1件正品”和“2件都是正品”，与“至少有1件次品”不是互斥事件； 对于④，“至少有1件次品”包括“恰有1件次品”和“2件都是次品”，与“都是正品”显然是互斥事件，故①④是互斥事件. 3.若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于() A.0.3 B.0.7
C.0.1 D.1 考点概率的几个基本性质 题点互斥事件的概率 答案 A 解析∵A，B是互斥事件， ∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5， ∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3. 故选A. 4.某小组有三名男生和两名女生，从中任选两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件的有() ①恰有一名男生和全是男生； ②至少有一名男生和至少有一名女生； ③至少有一名男生和全是男生； ④至少有一名男生和全是女生. A.①③④ B.②③④ C.②③ D.①④ 考点互斥事件 题点互斥事件的判断 答案 D 解析①是互斥事件.恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生；②不是互斥事件；③不是互斥事件；④是互斥事件.至少有一名男生与全是女生不可能同时发生. 5.下列四个命题： ①对立事件一定是互斥事件；②若A，B为两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B是对立事件.其中错误命题的个数是() A.0 B.1 C.2 D.3 考点互斥事件 题点互斥事件的判断 答案 D 解析对立事件首先是互斥事件，故①正确；只有互斥事件的和事件的概率才适合概率的加法公式，故②不正确；概率的加法公式可以适合多个互斥事件的和事件，但和事件不一定是必然事件，故③不正确；对立事件和的概率公式逆用不正确.比如在掷骰子试验中，设事件A
一、知识要点及方法 1、基本概念: (2）若A∩B为不可能事件，即A∩B=ф，即不可能同时发生的两个事件，那么称事件A与事件B互斥; （3）若A∩B为不可能事件,A∪B为必然事件,即不能同时发生且必有一个发生的两个事件,那么称事件A与事件B互为对立事件； 概率加法公式：当事件A与B互斥时,满足加法公式：P（A∪B)= P（A)+ P（B）；若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件,所以P(A∪B）= P(A)+ P（B）=1，于是有P（A)=1—P(B）2、概率的基本性质： 1）必然事件概率为1，不可能事件概率为0，因此0≤P(A）≤1； 2）当事件A与B互斥时，满足加法公式：P（A∪B)= P（A)+ P(B）； 3）若事件A与B为对立事件，则A∪B为必然事件,所以P（A∪B）= P（A)+ P（B)=1，于是有P(A）=1—P(B)； 4）互斥事件与对立事件的区别与联系，互斥事件是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,其具体包括三种不同的情形：（1）事件A发生且事件B不发生;（2）事件A不发生且事件B发生；（3）事件A与事件B同时不发生，而对立事件是指事件A 与事件B有且仅有一个发生,其包括两种情形；（1）事件A发生B不发生；(2）事件B发生事件A 不发生，对立事件互斥事件的特殊情形。 二、试题 课时训练 1．如果事件A、B互斥，记错误!、错误!分别为事件A、B的对立事件，那么（）A．A∪B是必然事件 B.A∪错误!是必然事件 C.错误!与错误!一定互斥 D.A与错误!一定不互斥 2．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是(）A．至少有1个白球；都是白球
（浙江专版）高中数学第二章概率课时跟踪检测（十）概率的基本性质新人教A版选修23 课时跟踪检测（十）概率的基本性质 层级一学业水平达标 1．从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B ＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中错误的是( ) A．A与C互斥B．B与C互斥 C．任何两个都互斥 D．任何两个都不互斥 解析：选D 由题意知事件A、B、C两两不可能同时发生，因此两两互斥． 2．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为( ) A．至多有2件次品 B．至多有1件次品 C．至多有2件正品 D．至少有2件正品 解析：选B 至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品． 3．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是( ) A．全是白球与全是红球是对立事件 B．没有白球与至少有一个白球是对立事件 C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系 D．全是红球与有一个红球是包含关系 解析：选B 从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个，所以选B． 4．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( ) A．至少有一个红球与都是红球 B．至少有一个红球与都是白球 C．至少有一个红球与至少有一个白球 D．恰有一个红球与恰有二个红球 解析：选D 对于A中的两个事件不互斥，对于B中两个事件互斥且对立，对于C中两个事件不互斥，对于D中的两个事件互斥而不对立． 5．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂占30%，甲厂产品的合格率是95%，乙厂的合格率是80%，则从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡的概率是( ) A．0.665 B．0.56 C．0.24 D．0.285
10.1.4 概率的基本性质 一、选择题 1．下列命题： ①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；④若事件A ，B 满足P(A)＋P(B)＝1，则A 与B 是对立事件．其中正确命题的个数是( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 【答案】A 【解析】由题意①中，根据对立事件与互斥事件的关系，可得是正确；②中，当A 与B 是互斥事件时，才有P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)，对于任意两个事件A ，B 满足P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，所以是不正确的；③也不正确．P(A)＋P(B)＋P(C)不一定等于1，还可能小于1；④也不正确．例如：袋中有大小相同的红、黄、黑、绿4个球，从袋中任摸一个球，设事件A ＝{摸到红球或黄球}，事件B ＝{摸到黄球或黑球}，显然事件A 与B 不互斥，但P(A)＋P(B)＝＋＝1. 2．甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 12，甲获胜的概率是13，则甲不输的概率为（ ） A ．56 B ．25 C ．16 D ．13 【答案】A 【解析】∵甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 12，甲获胜的概率是13， ∴甲不输的概率为P= 115236 +=．故选项为：A ． 3．若A ，B 为对立事件，则下列式子中成立的是（ ） A ．()()1P A P B +< B ．()()1P A P B +> C ．()()0P A P B += D ．()()1P A P B += 【答案】D 【解析】若事件A 与事件B 是对立事件，则A B 为必然事件，再由概率的加法公式得()()1P A P B +=.故选：D. 4．在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同．现从中随机取出2个小球，则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是（ ） A ．110 B ．15 C ．310 D ．112 【答案】C
第十章 10.1 10.1.4 A 级——基础过关练 1．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.20,0.30,0.10.则此射手在一次射击中不够8环的概率为( ) A ．0.40 B ．0.30 C ．0.60 D ．0.90 【答案】A 【解析】依题意，射中8环及以上的概率为0.20＋0.30＋0.10＝0.60，故不够8环的概率为1－0.60＝0.40.故选A ． 2．(2019年咸阳检测)某校高三(1)班50名学生参加1 500 m 体能测试，其中23人成绩为A ，其余人成绩都是B 或C ．从这50名学生中任抽1人，若抽得B 的概率是0.4，则抽得C 的概率是( ) A ．0.14 B ．0.20 C ．0.40 D ．0.60 【答案】A 【解析】由于成绩为A 的有23人，故抽到C 的概率为1－23 50－0.4＝0.14. 故选A ． 3．(2019年信阳月考)盒子中有若干个红球和黄球，已知从盒中取出2个球都是红球的概率为328，从盒中取出2个球都是黄球的概率是5 14，则从盒中任意取出2个球恰好是同一颜 色的概率是( ) A ．13 28 B ．5 7 C ．15 28 D ．37 【答案】A 【解析】设“从中取出2个球都是红球”为事件A ，“从中取出2个球都是黄球”为事件B ，“任意取出2个球恰好是同一颜色”为事件C ，则C ＝A ∪B ，且事件A 与B 互斥，所以P (C )＝P (A )＋P (B )＝328＋514＝13 28 .故选A ． 4．抛掷一枚质地均匀的骰子，事件A 表示“向上的点数是奇数”，事件B 表示“向上的点数不超过3”，则P (A ∪B )＝( ) A ．1 2 B ．2 3
10.1.4概率的基本性质 1．P(A)＝0.1，P(B)＝0.2，则P(A＋B)等于() A．0.3 B．0.2 C．0.1 D．不能确定 答案 D 解析由于不能确定A与B是否互斥，则P(A＋B)的值不能确定． 2．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是() A．A＋B与C是互斥事件，也是对立事件 B．B＋C与D是互斥事件，也是对立事件 C．A＋C与B＋D是互斥事件，但不是对立事件 D．A与B＋C＋D是互斥事件，也是对立事件 答案 D 解析由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一个必然事件，故其事件的关系如图所示．由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件，故只有D中的说法正确． 3．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是() A．[0,0.9] B．[0.1,0.9] C．(0,0.9] D．[0,1] 答案 A 解析由于事件A和B是互斥事件，则P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A＋B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，又P(B)≥0，所以0≤P(B)≤0.9，故选A. 4．从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A＝“抽到一等品”，事件B＝“抽到二等品”，事件C＝“抽到三等品”．已知P(A)＝0.65，P(B)＝0.2，P(C)＝0.1，则事件“抽到的不是一
等品”的概率为( ) A ．0.20 B ．0.39 C ．0.35 D ．0.30 答案 C 解析 ∵抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品，而P (A )＝0.65，∴抽到的不是一等品的概率是1－0.65＝0.35. 5．从一批羽毛球产品中任取一个，其质量小于4.8 g 的概率为0.3，质量小于4.85 g 的概率为0.32，那么质量在4.8～4.85 g 范围内的概率是( ) A ．0.62 B ．0.38 C ．0.02 D ．0.68 答案 C 解析 设“质量小于4.8 g ”为事件A ，“质量小于4.85 g ”为事件B ，“质量在4.8～4.85 g ”为事件C ，则A ＋C ＝B ，且A ，C 为互斥事件，所以P (B )＝P (A ＋C )＝P (A )＋P (C )，则P (C )＝P (B )－P (A )＝0.32－0.3＝0.02. 6．某城市2019年的空气质量状况如下表所示： 其中污染指数T ≤50时，空气质量为优；50 3.1.3 概率的基本性质 1.抽查10件产品,记事件A为“至少有2件次品”,则A的对立事件为( ) A.至多有2件次品 B.至多有1件次品 C.至多有2件正品 D.至少有2件正品 解析:至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10共9种结果,故它的对立事件为含有1或0件次品. 答案:B 2.已知P(A)=0.1,P(B)=0.2,则P(A∪B)等于( ) A.0.3 B.0.2 C.0.1 D.不确定 解析:由于不能确定A与B互斥,则P(A∪B)的值不能确定. 答案:D 3.某产品分甲、乙、丙三级,其中乙、丙两级均属次品,若生产中出现乙级品的概率为0.03,丙级品的概率为 0.01,则抽查一件产品抽得正品的概率为( ) A.0.09 B.0.98 C.0.97 D.0.96 解析:∵某产品分甲、乙、丙三级, ∴对产品抽查一件只可能是甲、乙、丙某一个等级, ∴抽查一件得正品与得乙级或丙级是对立事件, ∴抽查一件得正品的概率为1-(0.03+0.01)=0.96. 答案:D 4.从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g的概率为0.3,质量小于4.85g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85]范围内的概率是( ) A.0.62 B.0.38 C.0.02 D.0.68 解析:设质量小于4.8g为A,小于4.85g为B,在[4.8,4.85]范围内为C,则A∪C=B,又A与C互斥, ∴P(A∪C)=P(A)+P(C)=P(B), 即0.3+P(C)=0.32,∴P(C)=0.02. 答案:C 5.从一批产品中取出3件产品,设A:“三件产品全不是次品”,B:“三件产品全是次品”,C:“三件产品不全是次品”,则下列结论正确的是( ) A.A与C互斥 B.B与C互斥 C.任何两个均互斥 D.任何两个均不互斥 解析:∵C包含三件产品中三正,二正一次,一正二次三种情况,∴A,B互斥,B,C互斥且对立. 答案:B 6.某人投篮时,连续投篮2次,事件“两次均未投中”的对立事件是. 答案:至少有一次投中 7.掷一枚质地均匀的骰子,出现偶数点的概率为. 解析:记“出现2点”为事件A,“出现4点”为事件B,“出现6点”为事件C,则P(A)=P(B)=P(C)=.记“出现偶数点”为事件D.则D=A∪B∪C. ∴P(D)=P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=. 答案: 8.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,所选3人中至少有1名女生的概率为,那么所选3人中都是男生的概率为. 解析:所选3人中都是男生与至少有1名女生是对立事件,所以所求概率为1-. 答案: 9.在数学考试中,小明的成绩在90分以上的概率是0.18,在80分~89分的概率是0.51,在70分~79分的概率是0.15,在60分~69分的概率是0.09,在60分以下的概率是0.07,计算: (1)小明在数学考试中取得80分以上成绩的概率; (2)小明考试及格的概率. 解:记小明的成绩“在90分以上”“在80分~89分”“在70分~79分”“在60分~69分”为事件B,C,D,E,这四个事件彼此互斥. (1)小明成绩在80分以上的概率是: P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.18+0.51=0.69. (2)小明及格的概率是: 方法一:P(B∪C∪D∪E)=P(B)+P(C)+P(D)+P(E)=0.18+0.51+0.15+0.09=0.93.高中数学概率的基本性质习题高一必修
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