《第十章概率》同步练习
10.1随机事件与概率
10.1.1 有限样本空间与随机事件
基础巩固训练
一、选择题
1．下列事件中，随机事件的个数为( )
①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；④三角形中任意两边的和大于第三边．
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析其中①是随机事件，②是不可能事件，③是随机事件，④是必然事件．2．一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是( )
A．随机事件B．必然事件
C．不可能事件D．不能确定
答案 A
解析一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是随机事件．故选A.
3．掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( ) A．一枚是3点，一枚是1点
B．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点
C．两枚都是4点
D．两枚都是2点
答案 B
解析掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．故选B.
4．在10名学生中，男生有x名，现从这10名学生中任选6名去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使
①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为( )
A．5 B．6
C．3或4 D．5或6
答案 C
解析由题意，知10名学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.故选C.
5．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为( )
A．2 B．4
C．6 D．8
答案 B
解析从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)4个样本点，选B.
二、填空题
6．“函数y＝a x(a>0，且a≠1)在定义域(－∞，1]上是增函数”是________事件．
答案随机
解析当a>1时，y＝a x在(－∞，1 ]上是增函数．当0 7．将一枚骰子掷两次，若先后出现的点数分别为b，c，则方程x2＋bx＋c＝0有实数根的样本点个数为________． 答案19 解析一枚骰子掷两次，先后出现的点数构成的样本点共36个．其中方程有关根的充要条件为b2≥4ac，共有1＋2＋4＋6＋6＝19个样本点． 8．同样抛三枚均匀的硬币，则样本点的总个数和恰有2个正面朝上的样本点 个数分别为________． 答案8,3 解析由题意，样本点的总个数为23＝8，恰好有2个正面朝上的样本点为正正反、正反正、反正正，共3个． 三、解答题 9．已知集合M＝{－1,0,1,2}，从集合M中有放回地任取两元素作为点P的坐标． (1)写出试验的样本空间； (2)求“点P落在坐标轴上”的样本点个数． 解(1)样本空间Ω＝{(－1，－1)，(－1,0)，(－1,1)，(－1,2)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1，－1)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2，－1)，(2,0)，(2,1)，(2,2)}． (2)用事件A表示“点P落在坐标轴上”这一事件，则A包含的样本点有(－1,0)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(2,0)，共7个． 能力提升训练 做试验“从0,1,2这3个数字中，不放回地取两次，每次取一个数字，构成有序数对(x，y)，x为第1次取到的数字，y为第2次取到的数字”． (1)写出这个试验的样本空间； (2)求这个试验样本点的总数； (3)写出事件A：“第1次取出的数字是2”的集合表示； (4)说出事件B＝{(0,1)，(0,2)}所表示的实际意义． 解(1)这个试验的样本空间为Ω＝{(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,2)，(2,0)，(2,1)}． (2)易知这个试验的样本点的总数是6. (3)A＝{(2,0)，(2,1)}． (4)事件B表示“第1次取出的数字是0”． 10.1.2 事件的关系和运算 基础巩固训练 一、选择题 1．对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两弹都击中飞机}，B＝{两弹都没击中飞机}，C＝{恰有一弹击中飞机}，D＝{至少有一弹击中飞机}，下列说法不正确的是( ) A．A⊆D B．B∩D＝∅ C．A∪C＝D D．A∪C＝B∪D 答案 D 解析由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹击中飞机，故有A⊆D，故A正确．由于事件B，D是互斥事件，故B∩D＝∅，故B 正确．再由A∪C＝D成立可得C正确．A∪C＝D＝{至少有一弹击中飞机}，不是必然事件，而B∪D为必然事件，故D不正确． 2．抽查10件产品，设A＝{至少有2件次品}，则A－等于( ) A．{至多有2件次品} B．{至多有两件正品} C．{至少有两件正品} D．{至多有一件次品} 答案 D 解析“至少有2件次品”表示事件包含次品数最少是2，对立事件则应该为“至多有一件次品”，故选D. 3．一人连续掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是( ) A．至多有一次为正面B．两次均为正面 C．只有一次为正面D．两次均为反面 答案 D 解析对于A，至多有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于B，两次均为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于C，只有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是互斥事件；对于D，两次均为反面与至少有一次为正面，不能够同时发生，是互斥事件．故选D. 4．从1,2,3，…，9中任取两数，其中：①恰有一个偶数和恰有一个奇数； ②至少有一个奇数和两个都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少 有一个奇数和至少有一个偶数．则在上述事件中，是对立事件的是( ) A．①B．②④ C．③D．①③ 答案 C 解析从1～9中任取两数，有以下三种情况：(1)两个均为奇数；(2)两个均为偶数；(3)一个奇数和一个偶数．故选C. 5．从装有2个红球和2个白球的盒子中任取两个球，下列情况是互斥而不对立的两个事件的是( ) A．至少有一个红球；至少有一个白球 B．恰有一个红球；都是白球 C．至少一个红球；都是白球 D．至多一个红球；都是红球 答案 B 解析A中至少有一个红球包含两种情形：一红一白，两个红，至少有一个白球包含：一红一白，两个白，这两个事件不互斥，C，D中的两个事件互斥且对立． 二、填空题 6．在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“出现不大于4的偶数点”，事件B表示“出现小于5的点数”，则事件A∪B－表示________． 答案出现的点数为2,4,5,6 解析因为B－表示“出现大于等于5的点数”，即“出现5,6点”，所以A ∪B－表示“出现的点数为2,4,5,6”． 7．同时掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2,3，4，…，11,12中的一个．记事件A为“点数之和是2,4,7,12”，事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”，事件C为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为________． 答案A∩B∩C－ 解析∵事件A＝{2,4,7,12}，事件B＝{2,4,6,8,10,12}，∴A∩B＝ {2,4,12}．又C＝{9,10,11,12}，∴A∩B∩C－＝{2,4}． 8．从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张，给出如下四组事件： ①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”； ②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”； ③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”； ④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”， 其中互为对立事件的有________(写出所有正确的编号)． 答案②④ 解析从一副扑克牌(去掉大、小王，共52张)中随机选取一张， ①“这张牌是红心”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件； ②“这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件； ③“这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件； ④“这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A，K，Q，J之一”是互斥事件，也是对立事件． 故答案为②④. 三、解答题 9．甲、乙、丙三人独立破译密码，用事件的运算关系表示： (1)密码被破译；(2)至少有一人破译； (3)至多有一人破译；(4)恰有一人破译； (5)只有甲破译；(6)密码未被破译． 解用A，B，C分别表示甲、乙、丙破译密码，则 (1)A∪B∪C；(2)A∪B∪C；(3)A∩B－∩C－＋A－∩B∩C－＋A－∩B－∩C＋A－∩B－∩C－；(4)A∩B－∩C－＋A－∩B∩C－＋A－∩B－∩C；(5)A∩B－∩C－；(6)A－∩B－∩C－. 能力提升训练 判断下列各事件是不是互斥事件，是不是对立事件，并说明理由． 某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛，其中： (1)恰有1名男生和恰有2名男生； (2)至少有1名男生和至少有1名女生； (3)至少有1名男生和全是男生； (4)至少有1名男生和全是女生． 解(1)是互斥事件，不是对立事件． 理由是：在所选的2名同学中，“恰有1名男生”实质是选出“1名男生、1名女生”，它与“恰有2名男生”不可能同时发生，所以是一对互斥事件，但其并事件不是必然事件，所以不是对立事件． (2)既不是互斥事件，也不是对立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果．“至少有1名女生”包括“1名女生、1名男生”和“2名都是女生”两种结果，他们可能同时发生． (3)既不是互斥事件，也不是对立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”，这与“全是男生”可能同时发生． (4)既是互斥事件，又是对立事件． 理由是：“至少有1名男生”包括“1名男生、1名女生”和“2名都是男生”两种结果，它与“全是女生”不可能同时发生，且其并事件是必然事件，所以他们是对立事件． 10.1.3 古典概型 基础巩固训练 一、选择题 1．下列概率模型中，是古典概型的个数为( ) ①从区间[1,10]内任取一个数，求取到1的概率； ②从1～10中任意取一个整数，求取到1的概率； ③在一个正方形ABCD内画一点P，求点P刚好与点A重合的概率； ④向上抛掷一枚不均匀的硬币，求出现反面朝上的概率． A．1 B．2 C．3 D．4 答案 A 解析古典概型的特征是样本空间中样本点的个数是有限的，并且每个样本点发生的可能性相等，故②是古典概型；④由于硬币质地不均匀，样本点发生的可能性不一定相等，故不是古典概型；①和③中的样本空间中的样本点的个数不是有限的，故不是古典概型．故选A. 2．从集合{a，b，c，d，e}的所有子集中任取一个，则这个集合恰是集合{a，b，c}的子集的概率是( ) A.3 5 B. 2 5 C. 1 4 D. 1 8 答案 C 解析集合{a，b，c，d，e}共有25＝32个子集，而集合{a，b，c}的子集有 23＝8个，所以所求概率为 8 32 ＝ 1 4 . 3．某学校食堂推出两款优惠套餐，甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐的概率为( ) A. 1 10 B. 1 8 C. 1 4 D. 1 2 答案 C 解析设两款优惠套餐分别为A，B，列举样本点如图所示． 由图可知，共有8个样本点，这8个样本点发生的可能性是相等的．其中甲、乙、丙三位同学选择同一款套餐包括(A，A，A)，(B，B，B)，共2个样本点，故 所求概率为P＝2 8 ＝ 1 4 . 4．甲、乙二人玩猜数字游戏，先由甲任想一数字，记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜出的数字记为b，且a，b∈{1,2,3,4}，若|a－b|≤1，则称甲 乙“心有灵犀”．现任意找两个人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( ) A.3 8 B. 5 8 C. 3 16 D. 5 16 答案 B 解析两人分别从1,2,3,4四个数中任取一个，共有16个样本点，这16个样本点发生的可能性是相等的．其中满足|a－b|≤1的样本点有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，共10个，故他们 “心有灵犀”的概率为10 16 ＝ 5 8 . 5．某大学餐饮中心为了解新生的饮食习惯，在全校大一学生中进行了抽样调查．已知在被调查的北方学生中有5名数学系的学生，其中2名喜欢甜品，现在从这5名学生中随机抽取3人，则至多有1人喜欢甜品的概率为( ) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 答案 D 解析记2名喜欢甜品的学生分别为a1，a2,3名不喜欢甜品的学生分别为b1， b 2 ，b3. 从这5名数学系学生中任取3人的所有可能结果共10个，分别为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a2，b3)，(a1，b1，b2)，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1， b 2 )，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1，b2，b3)，这10种结果发生的可能性是相等的． 记事件A表示“至多有1人喜欢甜品”，则事件A所包含的样本点有(a1，b1， b 2 )，(a1，b1，b3)，(a1，b2，b3)，(a2，b1，b2)，(a2，b1，b3)，(a2，b2，b3)，(b1， b 2 ，b3)，共7个．根据古典概型的概率计算公式，得至多有1人喜欢甜品的概率 P(A)＝ 7 10 ＝0.7，故选D. 二、填空题 6．同时掷两枚相同的骰子，则两枚骰子向上的点数之积等于12的概率为________． 答案1 9 解析同时掷两枚相同的骰子的样本点总数为36，这36个样本点发生的可能性是相等的，满足两枚骰子向上的点数之积为12的样本点有(2,6)，(3,4)， (4,3)，(6,2)，共4个，故所求概率为 4 36 ＝ 1 9 . 7．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a，从{1,2,3}中随机选取一个数为b，则b>a的概率是________． 答案1 5 解析抽取的a，b组合有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，共15种情况，这15种情况发生的可能性是相等的．其中(1,2)，(1,3)，(2,3)满足b>a，故所求概 率为3 15＝ 1 5 . 8．一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a，b，c，当且仅当有两个数字的和等于第三个数字时称为“有缘数”(如213,134等)，若a，b，c∈{1,2,3,4}，且a，b，c互不相同，则这个三位数为“有缘数”的概率是________． 答案1 2 解析由1,2,3组成的三位自然数为123,132,213,231,312,321，共6个；同理，由1,2,4组成的三位自然数为6个，由1,3,4组成的三位自然数为6个，由2,3,4组成的三位自然数为6个，共有24个，这24个数出现的可能性是相等的．由1,2,3或1,3,4组成的三位自然数为“有缘数”，共12个，所以三位数为 “有缘数”的概率为12 24 ＝ 1 2 . 三、解答题 9．某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2个红球A1，A2和1个白球B的甲箱与装有2个红球a1，a2和2个白球b1，b2的乙箱中，各随机摸出1个球，若摸出的2个球都是红球则中奖，否则不中奖． (1)用球的标号列出所有可能的摸出结果； (2)有人认为：两个箱子中的红球总数比白球总数多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由． 解(1)所有可能的摸出结果是(A1，a1)，(A1，a2)，(A1，b1)，(A1，b2)，(A2，a 1 )，(A2，a2)，(A2，b1)，(A2，b2)，(B，a1)，(B，a2)，(B，b1)，(B，b2)． (2)不正确，理由如下： 由(1)，知所有可能的摸出结果共12种，且这12种结果发生的可能性是相等的．其中摸出的2个球都是红球的结果有{A1，a1}，{A1，a2}，{A2，a1}，{A2，a2}， 共4种，所以中奖的概率为 4 12 ＝ 1 3 ，不中奖的概率为1－ 1 3 ＝ 2 3 ，故不中奖的概率比 较大． 能力提升训练 小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道． (1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率； (2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率． 解(1)将3道选择题依次编号为1,2,3；2道填空题依次编号为4,5. 从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，这20个样本点发生的可能性是相等的． 设事件A为“所选的题不是同一种题型”，则事件A包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)， (5,3)，共12个，所以P(A)＝12 20 ＝0.6. (2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)， (3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点，这25个样本点发生的可能性是相等的． 设事件B为“所选的题不是同一种题型”，则事件B包含的样本点有(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)， (5,3)，共12个，所以P(B)＝12 25 ＝0.48. 10.1.4 概率的基本性质 基础巩固训练 一、选择题 1．甲、乙两队举行足球比赛，若甲队获胜的概率为1 3 ，则乙队不输的概率为 ( ) A.5 6 B. 3 4 C. 2 3 D. 1 3 答案 C 解析乙队不输的概率为1－1 3 ＝ 2 3 . 2．某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，在正常生产情况下，出现乙级品和丙级品的概率分别是5%和3%，则抽检一件是正品(甲级)的概率为( ) A．0.95 B．0.97 C．0.92 D．0.08 答案 C 解析设事件“抽检一件是甲级”为事件A，“抽检一件是乙级”为事件B，“抽检一件是丙级”为事件C，由题意可得事件A，B，C为互斥事件，且P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为乙级品和丙级品均属次品，且P(B)＝0.05，P(C)＝0.03，所以P(A)＝1－P(B)－P(C)＝0.92.故选C. 3．已知随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，且P(A)＝0.3，P(C) ＝0.6，则P(A＋B)＝( ) A．0.3 B．0.6 C．0.7 D．0.9 答案 C 解析∵随机事件A，B，C中，A与B互斥，B与C对立，P(A)＝0.3，P(C)＝0.6，∴P(B)＝1－P(C)＝0.4，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.7.选C. 4．若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为( ) A．0.3 B．0.4 C．0.6 D．0.7 答案 B 解析设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付，事件C为既用现金支付也用非现金支付，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，因为P(A)＝0.45，P(C)＝0.15，所以P(B)＝0.4.故选B. 5．掷一枚骰子的试验中，出现各点的概率为1 6 .事件A表示“小于5的偶数点 出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋B－(B－表示事件B的对立事件)发生的概率为( ) A.1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 6 答案 C 解析由题意，知B－表示“大于或等于5的点数出现”，事件A与事件B－互 斥，由概率的加法计算公式可得P(A＋B－)＝P(A)＋P(B－)＝2 6 ＋ 2 6 ＝ 4 6 ＝ 2 3 . 二、填空题 6．在一次教师联欢会上，到会的女教师比男教师多12人，从这些教师中随 机挑选一人表演节目，若选中男教师的概率为 9 20 ，则参加联欢会的教师共有 ________人． 答案120 解析设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一人，“选中男 教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中女教师的概率为1－ 9 20 ＝11 20 .再由题意，知 11 20 n－ 9 20 n＝12，解得n＝120. 7．给出命题：(1)对立事件一定是互斥事件；(2)若A，B为两个事件，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)；(3)若事件A，B，C两两互斥，则P(A)＋P(B)＋P(C)＝1；(4)若事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1，则A，B互为对立事件． 其中错误命题的个数是________． 答案 3 解析由互斥事件与对立事件的定义可知(1)正确；只有当事件A，B为两个互斥事件时才有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，故(2)不正确；只有事件A，B，C两两互斥，且A∪B∪C＝Ω时，才有P(A)＋P(B)＋P(C)＝1，故(3)不正确；由对立事件的定义可知，事件A，B满足P(A)＋P(B)＝1且A∩B＝∅时，A，B才互为对立事件，故(4)不正确． 8．甲射击一次，中靶的概率是P1，乙射击一次，中靶的概率是P2，已知1 P 1， 1 P 2是方程x2－5x＋6＝0的根，且P1满足方程x2－x＋ 1 4 ＝0.则甲射击一次，不中靶 的概率为________；乙射击一次，不中靶的概率为________． 答案1 2 2 3 解析由P1满足方程x2－x＋1 4 ＝0知， P2 1－P1＋ 1 4 ＝0，解得P1＝ 1 2 ； 因为1 P 1 ， 1 P 2 是方程x2－5x＋6＝0的根， 所以1 P 1 · 1 P 2 ＝6，解得P2＝ 1 3 . 因此甲射击一次，不中靶的概率为1－1 2 ＝ 1 2 ，乙射击一次，不中靶的概率为1 －1 3 ＝ 2 3 . 三、解答题 9．一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1,2,3,4. 先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求n 解先从袋中随机取一个球，记下编号为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为n，其一切可能的结果(m，n)有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，这16个结果出现的可能性是相等的． 又满足条件n≥m＋2的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，共3个． 所以满足条件n≥m＋2的事件的概率为P1＝ 3 16， 故满足条件n 3 16 ＝ 13 16 . 能力提升训练 某停车场临时停车按时段收费，收费标准如下：每辆汽车一次停车不超过1小时收费6元，超过1小时的部分每小时收费8元(不足1小时按1小时计算)．现有甲、乙两人在该地停车，两人停车都不超过4小时． (1)若甲停车1小时以上且不超过2小时的概率为1 3 ，停车费多于14元的概率 为5 12 ，求甲的停车费为6元的概率； (2)若甲、乙两人每人停车的时长在每个时段的可能性相同，求甲、乙两人停 车费之和为28元的概率． 解(1)记“一次停车不超过1小时”为事件A，“一次停车1到2小时”为事件B，“一次停车2到3小时”为事件C，“一次停车3到4小时”为事件D. 由已知得P(B)＝1 3 ，P(C＋D)＝ 5 12 . 又事件A，B，C，D互斥，所以P(A)＝1－1 3 － 5 12 ＝ 1 4 . 所以甲的停车费为6元的概率为1 4 . (2)易知甲、乙停车时间的基本事件有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16个，这16种情况发生的可能性是相等的；而“停车费之和为28元”的事件有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3个． 所以所求概率为 3 16 . 10.2 事件的相互独立性 基础巩固训练 一、选择题 1．若A，B是相互独立事件，且P(A)＝1 4 ，P(B)＝ 2 3 ，则P(A B－)＝( ) A. 1 12 B. 1 6 C. 1 4 D. 1 2 答案 A 解析∵A，B是相互独立事件，且P(A)＝1 4 ，P(B)＝ 2 3 ，则A与B－也是相互独 立事件，∴P(A B－)＝P(A)·P(B－)＝1 4 × 1 3 ＝ 1 12 .故选A. 2．已知A，B是两个相互独立事件，P(A)，P(B)分别表示它们发生的概率，则1－P(A)P(B)是下列哪个事件的概率？( ) A．事件A，B同时发生 B．事件A，B至少有一个发生 C．事件A，B至多有一个发生 D．事件A，B都不发生 答案 C 解析P(A)P(B)是指A，B同时发生的概率，1－P(A)P(B)是A，B不同时发生的概率，即至多有一个发生的概率． 3．在某段时间内，甲地下雨的概率为0.3，乙地下雨的概率为0.4，假设在这段时间内两地是否下雨之间没有影响，则这段时间内，甲、乙两地都不下雨的概率为( ) A ．0.12 B ．0.88 C ．0.28 D ．0.42 答案 D 解析 P ＝(1－0.3)×(1－0.4)＝0.42. 4．袋中装有红、黄、蓝3种颜色的球各1个，从中每次任取1个，有放回地抽取3次，则3次全是红球的概率为( ) A.14 B.19 C.13 D.127 答案 D 解析 有放回地抽取3次，每次可看作一个独立事件．每次取出的球为红球的概率为13，“3次全是红球”为三个独立事件同时发生，其概率为13×13×13＝127 . 5．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( ) A.34 B.23 C.35 D.12 答案 A 解析 问题等价为两类：第一类，第一局甲赢，其概率P 1＝1 2；第二类，需比 赛2局，第一局甲负，第二局甲赢，其概率P 2＝12×12＝1 4.故甲队获得冠军的概率 为P 1＋P 2＝3 4 . 二、填空题 6．某人有8把外形相同的钥匙，其中只有一把能打开家门．一次该人醉酒回家，每次从8把钥匙中随便拿一把开门，试用后又不加记号放回，则该人第三次打开家门的概率是________． 答案 49512 解析 由已知每次打开家门的概率为1 8，则该人第三次打开家门的概率为 ⎝ ⎛ ⎭⎪⎫1－18⎝ ⎛⎭⎪⎫1－18×18＝49512. 7．一道数学竞赛试题，甲同学解出它的概率为12，乙同学解出它的概率为13， 丙同学解出它的概率为1 4，由甲、乙、丙三人独立解答此题，则只有一人解出的概 率为________． 答案 1124 解析 只有一人解出的概率P ＝12×23×34＋12×13×34＋12×23×14＝11 24. 8．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为13，乙、丙去北京旅游的概率分别为1 4， 1 5 .假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为________． 答案 3 5 解析 因甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为13，14，1 5.因此，他们不去北京 旅游的概率分别为23，34，45，所以，至少有1人去北京旅游的概率为P ＝1－23×34× 4 5＝3 5 . 三、解答题 9．某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为45，乙当选的概率为3 5， 丙当选的概率为7 10 . (1)求恰有一名同学当选的概率； (2)求至多有两人当选的概率． 解设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则有 P(A)＝4 5 ，P(B)＝ 3 5 ，P(C)＝ 7 10 . (1)因为事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(A B－C－)＋P(A－B C－)＋P(A－B－C) ＝P(A)P(B－)P(C－)＋P(A－)P(B)P(C－)＋P(A－)P(B－)P(C) ＝4 5 × 2 5 × 3 10 ＋ 1 5 × 3 5 × 3 10 ＋ 1 5 × 2 5 × 7 10 ＝ 47 250 . (2)至多有两人当选的概率为 1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－4 5 × 3 5 × 7 10 ＝ 83 125 . 能力提升训练 某田径队有三名短跑运动员，根据平时训练情况统计甲、乙、丙三人100米 跑(互不影响)的成绩在13 s内(称为合格)的概率分别为2 5 ， 3 4 ， 1 3 ，若对这三名短 跑运动员的100米跑的成绩进行一次检测，求： (1)三人都合格的概率； (2)三人都不合格的概率； (3)出现几人合格的概率最大． 解设甲、乙、丙三人100米跑成绩合格分别为事件A，B，C，显然事件A， B，C相互独立，则P(A)＝2 5 ，P(B)＝ 3 4 ，P(C)＝ 1 3 . 设恰有k人合格的概率为P k(k＝0,1,2,3)．(1)三人都合格的概率为 P 3＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝ 2 5 × 3 4 × 1 3 ＝ 1 10 . (2)三人都不合格的概率为 P 0＝P(A－B－C－)＝P(A－)P(B－)P(C－)＝ 3 5 × 1 4 × 2 3 ＝ 1 10 . (3)恰有两人合格的概率为 P 2＝P (AB C －)＋P (A B －C )＋P (A －BC )＝2 5×34×23＋25×14×13＋35×34×13＝2360 . 恰有一人合格的概率为 P 1＝1－P 0－P 2－P 3＝1－110－2360－110＝2560＝512 . 综合(1)(2)可知P 1最大． 所以出现恰有一人合格的概率最大． 10.3 频率与概率 基础巩固训练 一、选择题 1．某人将一枚质地均匀的硬币连掷了10次，正面朝上的情形出现了6次．若用A 表示正面朝上这一事件，则事件A 的( ) A ．概率为3 5 B ．频率为3 5 C ．频率为6 D ．概率接近0.6 答案 B 解析 事件A ＝{正面朝上}的概率为1 2，因为试验次数较少，所以事件A 的频 率为3 5 ，与概率值相差太大，并不接近．故选B. 2．抛掷一枚质地均匀的硬币，如果连续抛掷100次，那么第99次出现正面朝上的概率为( ) A. 199 B.1100 C.99100 D.12 答案 D 解析 ∵第99次抛掷硬币出现的结果共有两种不同的情形，且这两种情形等可能发生，∴所求概率为P ＝12 . 3．袋子中有四个小球，分别写有“东”“方”“骄”“子”四个字，从中任 课时素养评价三十九事件的关系和运算 (15分钟30分) 1.一个射手进行一次射击,事件A:命中环数大于8;事件B:命中环数大于5,则( A.A与B是互斥事件 B.A与B是对立事件 C.A?B D.A?B 【解析】选C.事件A:命中环数大于8即命中9或10环;事件B:命中环数大于5即命中6或7 或8或9或10环,故A?B. 2.抽查10件产品,设“至少抽到2件次品”为事件A,则A的对立事件是( A.至多抽到2件次品 B.至多抽到2件正品 C.至少抽到2件正品 D.至多抽到1件次品 【解析】选D.因为“至少抽到2件次品”就是说抽查10件产品中次品的数目至少有2件,所以A 的对立事件是抽查10件产品中次品的数目最多有1件. 【补偿训练】 从装有十个红球和十个白球的罐子里任取两个球,下列情况中是互斥而不对立的两个事件是 ( ) A.至少有一个红球;至少有一个白球 B.恰有一个红球;都是白球 C.至少有一个红球;都是白球 D.至多有一个红球;都是红球 【解析】选B.对于A,“至少有一个红球”可能为一个红球、一个白球,“至少有一个白球”可能为 一个白球、一个红球,故两事件可能同时发生,所以不是互斥事件;对于B,“恰有一个红球”,则另一 个必是白球,与“都是白球”是互斥事件,而任取2个球还有都是红球的情形,故两事件不是对立事 件;对于C,“至少有一个红球”为都是红球或一红一白,与“都是白球”显然是对立事件;对于D,“至 多有一个红球”为都是白球或一红一白,与“都是红球”是对立事件. 3.从1,2,…,9中任取两数,其中: ①恰有一个偶数和恰有一个奇数;②至少有一个奇数和两个 数都是奇数;③至少有一个奇数和两个数都是偶数;④至少有一个奇数和至少有一个偶数. 在上述各对事件中,是对立事件的是( A.① B.②④ C.③ D.①③ 【解析】选C.从1,2,…,9中任取两数,包括一奇一偶、两奇、两偶,共三种互斥事件,所以只有 ③中的两个事件才是对立事件. 4.现有语文、数学、英语、物理和化学共5本书,从中任取1本,记取到语文、数学、英语、 物理、化学书分别为事件A、B、C、D、E,则事件取出的是理科书可记为. 【解析】由题意可知事件“取到理科书”的可记为B∪D∪E. 答案:B∪D∪E 5.在投掷骰子试验中,根据向上的点数可以定义许多事件,如:A={出现1点},B={出现3点或4 点},C={出现的点数是奇数},D={出现的点数是偶数}. 求以上4个事件两两运算的结果. 【解析】在投掷骰子的试验中,根据向上出现的点数有6种基本事件, 记作A i={出现的点数为i}(其中i=1,2,…,6).则A=A1,B=A3∪A4,C=A1∪A3∪A5,D=A2∪A4∪A6. A∩B=?,A∩C=A,A∩D=?. A∪B=A1∪A3∪A4={出现的点数为1或3或4}, A∪C=C={出现的点数为1或3或5}, A∪D=A1∪A2∪A4∪A6={出现的点数为1或2或4或6}.B∩C=A3={出现的点数为3}, B∩D=A4={出现的点数为4}. B∪C=A1∪A3∪A4∪A5={出现的点数为1或3或4或5}.B∪D=A2∪A3∪A4∪A6={出现的点数为2或3 或4或6}. 《第十章概率》同步练习 10.1随机事件与概率 10.1.1 有限样本空间与随机事件 基础巩固训练 一、选择题 1．下列事件中，随机事件的个数为( ) ①明天是阴天；②方程x2＋2x＋5＝0有两个不相等的实根；③明年长江武汉段的最高水位是29.8 m；④三角形中任意两边的和大于第三边． A．1 B．2 C．3 D．4 答案 B 解析其中①是随机事件，②是不可能事件，③是随机事件，④是必然事件．2．一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是( ) A．随机事件B．必然事件 C．不可能事件D．不能确定 答案 A 解析一个口袋中装有大小和形状都相同的一个白球和一个黑球，那么“从中任意摸一个球得到白球”，这个事件是随机事件．故选A. 3．掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是( ) A．一枚是3点，一枚是1点 B．一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点 C．两枚都是4点 D．两枚都是2点 答案 B 解析掷两枚骰子，所得点数之和记为X，那么X＝4表示的随机试验结果是一枚是3点，一枚是1点或两枚都是2点．故选B. 4．在10名学生中，男生有x名，现从这10名学生中任选6名去参加某项活动：①至少有1名女生；②5名男生，1名女生；③3名男生，3名女生．若要使 ①为必然事件、②为不可能事件、③为随机事件，则x为( ) A．5 B．6 C．3或4 D．5或6 答案 C 解析由题意，知10名学生中，男生人数少于5人，但不少于3人，∴x＝3或x＝4.故选C. 5．在一个袋子中装有分别标注1,2,3,4,5的五个小球，这些小球除标注的数字外完全相同，现从中随机取出2个小球，则取出小球标注的数字之差的绝对值为2或4的事件包含的样本点个数为( ) A．2 B．4 C．6 D．8 答案 B 解析从5个小球中任取2个，其中数字之差的绝对值为2或4的事件包含(1,3)，(1,5)，(2,4)，(3,5)4个样本点，选B. 二、填空题 6．“函数y＝a x(a>0，且a≠1)在定义域(－∞，1]上是增函数”是________事件． 答案随机 解析当a>1时，y＝a x在(－∞，1 ]上是增函数．当0 单元素养评价(五)(第十章) (120分钟150分) 一、单选题(每小题5分,共40分) 1.下列说法中正确的个数为( ) ①彩票的中奖率为千分之一,那么买一千X彩票就肯定能中奖; ②抛掷一枚均匀的硬币,如果前两次都是反面,那么第三次出现正面的可能性就比反面大; ③在袋子中放有2白2黑大小相同的四个小球,甲乙玩游戏的规则是从中不放回地依次随机摸出两个小球,如两球同色则甲获胜,否则乙获胜,那么这种游戏是公平的. A.1 B.2 C.3 D.0 【解析】选D.对于①,彩票的中奖率为千分之一,但买一千X彩票不一定能中奖,故错误;对于②,抛掷一枚均匀的硬币,如果前两次都是反面,第三次出现正面的可能性与出现反面一样大,故错误;对于③,在袋子中放有2白2黑大小相同的四个小球,甲乙玩游戏的规则是从中不放回地依次随机摸出两个小球,如两球同色则甲获胜,否则乙获胜,则甲获胜的概率为,那么这种游戏是不公平的,故错误.故说法正确的个数为0个. 2.奥林匹克会旗中央有5个互相套连的圆环,颜色自左至右,上方依次为蓝、黑、红,下方依次为黄、绿,象征着五大洲.在手工课上,老师将这5个环分发给甲、乙、丙、丁、戊五位同学制作,每人分得1个,则事件“甲分得红色”与“乙分得红色”是( ) A.对立事件 B.不可能事件 C.互斥但不对立事件 D.既不互斥又不对立事件 【解析】选C.甲、乙不能同时得到红色,因而这两个事件是互斥事件;又甲、乙可能都得不到红色,即“甲或乙分得红色”的事件不是必然事件,故这两个事件不是对立事件. 3.已知小红的钱包中有2枚“壹分”,2枚“贰分”,3枚“伍分”的硬币,她随意地从钱包中取出2枚硬币观察其面值.这一试验的基本事件总数n等于( ) A.6 B.7 C.8 D.9 【解析】选A.由题意知,基本事件有(1,1),(1,2),(1,5),(2,2),(2,5),(5,5),故6个. 4.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件A={抽到一等品},事件B={抽到二等品},事件C={抽到三等品},且已知P(A)=0.65,P(B)=0.2,P(C)=0.1.则事件“抽到的是二等品或三等品”的概率为( ) A.0.7 B.0.65 C.0.35 D.0.3 【解析】选D.由题意知,事件A、B、C互为互斥事件,记事件D=“抽到的是二等品或三等品”,则P(D)=P(B∪C)=P(B)+P(C)=0.2+0.1=0.3. 5.我国古代数学名著《数书九章》有“米谷粒分”题:粮仓开仓收粮,有人送来米1 524石,验得米内夹谷,抽样取米一把,数得254粒内夹谷56粒,则这批米内夹谷约为( ) A.1 365石 B.336石 C.168石 D.134石 【解析】选B.设这批米内夹谷约为x石,则根据题意得到=⇒x=336. 6.甲、乙两人参加“社会主义价值观”知识竞赛,甲、乙两人获得一等奖的概率分别为和,甲、乙两人是否获得一等奖相互独立,则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为( ) A.B.C.D. 【解析】选D.根据题意,恰有一人获得一等奖就是甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得,则所 事件的关系和运算 【基础全面练】(25分钟50分) 一、选择题(每小题5分，共20分) 1．掷一枚骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则( ) A．A∪B＝Ω B．A∩B＝{出现的点数为2} C．事件A与B互斥 D．事件A与B是对立事件 【解析】选B.由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}，其它选项不正确． 2．下列各组事件中不是互斥事件的是( ) A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6 B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分 C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒 D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70% 【解析】选B.对于A，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6，不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件；对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件；对于C，播种菜籽100粒，发芽90粒与发芽80粒，不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；对于D，检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%，不可能同时发生，故D中两事件为互斥事件． 3．设H，E，F为三个事件，H，E，F分别表示它们的对立事件，表示“H，E，F三个事件恰有一个发生”的表达式为( ) A．H＋E＋F B．H E F＋H E F＋H E F C．HE F＋H E F＋H EF D．H＋E＋F 【解析】选B.选项A表示H，E，F三个事件至少有一个发生；选项B表示三个事件恰有一个发生；选项C表示三个事件恰有一个不发生；选项D表示H，E，F三个事件至少有一个不发生． 4．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是( ) A．全是白球与全是红球是对立事件 高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷10 （共22题） 一、选择题（共10题） 1. 下列问题中是古典概型的是 ( ) A ．种下一粒杨树种子，求其能长成大树的概率 B ．掷一颗质地不均匀的骰子，求掷出 1 点的概率 C ．在区间 [1,4] 上任取一数，求这个数大于 1.5 的概率 D ．同时掷两颗质地均匀的骰子，求向上的点数之和是 5 的概率 2. 已知 5 件产品中有 2 件次品，其余为合格品．现从这 5 件产品中任取 2 件，恰有一件次品的概率为 ( ) A ．0.4 B ．0.6 C ．0.8 D ．1 3. 设事件 A ，B ，已知 P (A )=1 5，P (B )=1 3，P (A ∪B )=8 15，则 A ，B 之间的关系一定为 ( ) A ．两个任意事件 B ．互斥事件 C ．非互斥事件 D ．对立事件 4. 我省高考从 2021 年开始实行 3+1+2 模式，“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史两科中选择一科；“2”为再选科目，考生可在化学、生物、思想政治、地理 4 个科目中选择两科，今年某校高一的学生小霞和小芸正准备进行选科，假如她们首选科目都是历史，再选科目她们选择每个科目的可能性均等，且她俩的选择互不影响，则她们的选科至少有一科不相同的概率为 ( ) A ． 1 6 B ． 1 2 C ． 5 6 D ． 3 4 5. 《 西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦 》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著．某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了 100 位学生，其中阅读过 《西游记》或《红楼梦》的学生共有 90 位，阅读过《红楼梦》的学生共有 80 位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有 60 位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为 ( ) A ． 0.5 B ． 0.6 C ． 0.7 D ． 0.8 6. 在一对事件 A ，B 中，若 A 是必然事件，B 是不可能事件，则 A 和 B ( ) A ．是互斥事件，但不是对立事件 B ．是对立事件，但不是互斥事件 C ．是互斥事件，也是对立事件 D ．是互斥事件 高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷3 （共22题） 一、选择题（共10题） 1.甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为a，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙 猜的数字记为b，其中a,b∈{1,2,3,4,5,6}，若∣a−b∣≤1，就称“甲、乙心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为( ) A．1 9B．2 9 C．7 18 D．4 9 2.意大利数学家斐波那契的《算经》中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以生一对兔 子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子．假如没有发生死亡现象，那么兔子对数依次为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144⋯⋯，这就是著名的斐波那契数列，它的递推公式是a n=a n−1+a n−2(n≥3,n∈N∗)，其中a1=1，a2=1．若从该数列的前100项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为( ) A．1 3B．33 100 C．1 2 D．67 100 3.袋中装有外形相同的四个小球，四个球上分别标有2，3，4，6四个数，现从袋中随机取出两个 球，则两球上数字之差的绝对值不小于2的概率为( ) A．1 3B．1 2 C．2 3 D．5 6 4.天气预报，在元旦假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假设在这段时间内两地是 否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为( ) A．0.2B．0.3C．0.38D．0.56 5.袋中共有7个球，其中3个红球，2个白球，2个黑球．若从袋中任取3个球，则所取3个 球中至多有1个红球的概率是( ) A．4 35B．31 35 C．18 35 D．22 35 6.将1，2，⋯，9这9个数平均分成三组，则每组的三个数（从小到大）都成等差数列的概率为( ) A．1 56B．1 70 C．1 336 D．1 420 高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷11 （共22题） 一、选择题（共10题） 1.甲、乙、丙、丁4个人进行网球比赛，首先甲、乙一组，丙、丁一组进行比赛，两组的胜者进入 决赛，决赛的胜者为冠军、败者为亚军，4个人相互比赛的胜率如表所示，表中的数字表示所在 行选手击败其所在列选手的概率． 甲乙丙丁 甲:0.30.30.8 乙0.7:0.60.4 丙0.70.4:0.5 丁0.20.60.5: 那么甲得冠军且丙得亚军的概率是 ( ) A．0.21B．0.15C．0.105D．0.045 2.设A，B是两个概率大于0的随机事件，则下列论述正确的是( ) A．事件A⊆B，则P(A) A．3 4B．5 6 C．1 6 D．1 3 7.在集合A={2,3}中随机取一个元素m，在集合B={1,2,3}中随机取一个元素n，得到点P(m,n)，则点P在圆x2+y2=9内部的概率为( ) A．1 2B．1 3 C．3 4 D．2 5 8.在此次抗击新冠肺炎疫情过程中，中医治疗起到了重要作用．中医理论讲究食物相生相克，合理 搭配饮食可以增强体质，提高免疫力，但不恰当的搭配也可能引起身体的不适．食物相克是指事物之间存在着相互拮抗、制约的关系，若搭配不当，会引起中毒反应．已知猪肉与菊花，猪肉与百合，螃蟹与茄子相克．现从猪肉、螃蟹、茄子、菊花、百合这五种食物中任意选取两种，则它们相克的概率为( ) A．1 3B．2 3 C．3 10 D．7 10 9.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张A的概率为( ) A．C43C482 C525B．C483C42 C525 C．1−C481C44 C525 D．C43C482+C44C481 C525 10.设O为正方形ABCD的中心，在O，A，B，C，D中任取3点，则取到的3点共线的概率为 ( ) A．1 5B．2 5 C．1 2 D．4 5 二、填空题（共6题） 11.已知Y=3+2X，若P(Y>7)=0.3，则P(X≤2)=． 12.在100张奖券中，有4张中奖，从中任取两张，则两张都中奖的概率是． 13.判断下列结论是否正确．（请在括号中打“√”或“×”） （1）事件发生的频率与概率是相同的．( ) （2）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．( ) （3）两个事件的和事件是指两个事件都得发生．( ) （4）掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．( ) 14.加工某一零件需经过三道工序，设第一、二、三道工序的次品率分别为1 70、1 69 、1 68 ，且各道 高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷9 （共22题） 一、选择题（共10题） 1.若事件A与B相互独立，则P(B∣A)与P(B)的大小关系是( ) A．P(B∣A)=P(B)B．P(B∣A) 高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷7 （共22题） 一、选择题（共10题） 1.有一个游戏，其规则是甲、乙、丙、丁四个人从同一地点随机地向东、南、西、北四个方向 前进，每人一个方向．事件“甲向南”与事件“乙向南”是( ) A．互斥但非对立事件B．对立事件 C．相互独立事件D．以上都不对 2.有n位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过测试的概率都是p(0 高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷4 （共22题） 一、选择题（共10题） 1. 已知 a ∈{−2,0,1,2,3}，b ∈{3,5}，则函数 f (x )=(a 2−2)e x +b 为减函数的概率是 ( ) A ． 3 10 B ． 3 5 C ． 2 5 D ． 1 5 2. 从 4 名男生 2 名女生中任选 3 人参加演讲比赛，则所选 3 人中恰有 1 名女生的概率为 ( ) A ． 1 5 B ． 1 2 C ． 3 5 D ． 4 5 3. 甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次，命中率分别为 0.6 和 0.7，在目标被击中的情况下，甲、乙同时击中目标的概率为 ( ) A ． 21 44 B ． 15 22 C ． 21 50 D ． 9 25 4. 如果 A ，B 是互斥事件，那么以下等式中一定成立的是 ( ) A ． P (A ∪B )=P (A )⋅P (B ) B ． P (A ∪B )=P (A )+P (B ) C ． P (AB )=P (A )⋅P (B ) D ． P (A )+P (B )=1 5. 甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为 a ，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为 b ，其中 a,b ∈{1,2,3,4,5,6}，若 |a −b|≤1，就称甲、乙“心有灵犀”，现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为 ( ) A ． 3 16 B ． 2 9 C ． 7 18 D ． 4 9 6. 若 P (AB )=1 9，P(A)=2 3，P (B )=1 3，则事件 A 与 B 的关系是 ( ) A ．事件 A 与 B 互斥 B ．事件 A 与 B 对立 C ．事件 A 与 B 相互独立 D ．事件 A 与 B 既互斥又相互独立 7. 哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可以表示为两个素数的和”，如 12=5+7，在不超过 18 的素数 2，3，5，7，11，13，17 中，随机选取两个不同的数，其和等于 18 的概率是 ( ) 高一数学必修第二册第十章《概率》单元练习题卷2 （共22题） 一、选择题（共10题） 1.某校为了增强学生的记忆力和辨识力，组织了一场类似《最强大脑》的PK赛，A，B两队各由 4名选手组成，每局两队各派一名选手PK，比赛四局．除第三局胜者得2分外，其余各局胜者均得1分，每局的负者得0分．假设每局比赛A队选手获胜的概率均为2 3 ，且各局比赛结果相互独立，比赛结束时A队的得分高于B队的得分的概率为( ) A．16 27B．52 81 C．20 27 D．7 9 2.从4名男生2名女生中任选3人参加演讲比赛，则所选3人中恰有1名女生的概率为( ) A．1 5B．1 2 C．3 5 D．4 5 3.正方体ABCD−A1B1C1D1中，直线AD与平面A1BC1所成角的正弦值为( ) A．1 2B．√3 2 C．√3 3 D．√6 3 4.甲、乙两名同学参加一项射击游戏，游戏规定每击中一次目标得2分，未击中目标得0分．若 甲、乙两人射击的命中率分别为3 5 和p，且甲、乙两人各射击一次得分之和为2的概率为 9 20 ．假设甲、乙两人射击互不影响，则p的值为( ) A．3 5B．4 5 C．3 4 D．1 4 5.已知集合A={x∣ x2−2x−3≥0}，B={x∣ −2≤x<2}，则A∩B=( ) A．[−2,−1]B．[−1,1] C．[−1,2)D．[1,2) 6.从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( ) A．0.6B．0.5C．0.4D．0.3 董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”．若将“仁、义、礼、智、信”排成一排，则“仁”排在第一位，且“智、信”相邻的概率为( ) A．1 10B．1 5 C．3 10 D．2 5 8.从分别写有1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，观察抽得 的2张数字，设抽得的第1张卡片上的数大于第2张卡片上的数为事件Q，则事件Q含有的样本点个数为( ) A．8B．10C．11D．15 9.从一堆产品（其中正品与次品都多于2件）中任取2件，下列事件是互斥事件但不是对立事件 的是( ) A．恰好有1件次品和恰好有2件次品 B．至少有1件次品和全是次品 C．至少有1件正品和至少有1件次品 D．至少有1件次品和全是正品 10.某公交线路某区间内共设四个站点（如图），分别记为A0，A1，A2，A3，现有甲、乙两人同时从 A0站点上车，且他们中的每个人在站点A i(i=1,2,3)下车是等可能的，则甲、乙两人不在同一站点下车的概率为( ) A．2 3B．3 4 C．3 5 D．1 2 二、填空题（共6题） 11.甲、乙、丙三人独立解答一道数学竞赛试题，甲解出它的概率为0.9，乙解出它的概率为0.8，丙 解出它的概率为0.85．只有甲解出的概率为． 12.若一个布袋中有大小、质地相同的三个黑球和两个白球，从中任取两个球，则取出的两球中恰是 一个白球和一个黑球的概率是． 13.甲、乙两人进行投篮比赛，设两人每次投篮是否命中相互之间不受影响，己知甲、乙两人每次投 篮命中的概率分别是0.7，0.6．若甲、乙各投篮一次，则甲命中且乙未命中的概率为；若甲、乙各投篮两次，则甲比乙多命中一次的概率是． 14.有一批书共100本，其中文科书40本，理科书60本，按装潢可分精装、平装两种，精装书 70本，某人从这100本书中任取一书，恰是文科书，放回后再任取1本，恰是精装书，这一事 第十章知识总结及测试思维导图 一、单选题(每题只有一个选项为正确答案，每题5分，8题共40分) 1．(2021·全国高一课时练习)抛掷一颗质地均匀的骰子，记事件A 为“向上的点数为1或4”，事件B 为“向上的点数为奇数”，则下列说法正确的是( ) A ．A 与B 互斥 B ．A 与B 对立 C ．()2 3 P A B += D ．()56 P A B += 【答案】C 【解析】A 与B 不互斥，当向上点数为1时，两者同时发生，也不对立， 事件A B +表示向上点数为1,3,4,5之一，∴42 ()63 P A B += =．故选：C ． 2．(2021·全国高一课时练习)齐王与田忌赛马，田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马，田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马，田忌的下等马劣于齐王的下等马．某天，齐王与田忌赛马，双方约定：比赛三局，每局各出一匹，每匹马赛一次，赢得两局者为胜，则田忌获胜概率为( )． A ． 112 B ． 16 C ． 14 D ． 13 【答案】B 【解析】设齐王的三匹马分别为123,,a a a ，田忌的三匹马分别为123,,b b b ，所有比赛的情况:： 11()a b ,、22(,)a b 、33(,)a b ，齐王获胜三局； 11()a b ,、23(,)a b 、32(,)a b ，齐王获胜两局； 12(,)a b 、21(,)a b 、33(,)a b ，齐王获胜两局； 12(,)a b 、23(,)a b 、31(,)a b ，齐王获胜两局； 13(,)a b 、21(,)a b 、32(,)a b ，田忌获胜两局； 13(,)a b 、22(,)a b 、31(,)a b ，齐王获胜两局，共6种情况，则田忌胜1种情况，故概率为16 P = 故选：B 3．(2020·全国高一课时练习)已知消费者购买家用小电器有两种方式：网上购买和实体店购买．经工商局抽样调查发现，网上家用小电器合格率约为 4 5，而实体店里家用小电器的合格率约为910 ，工商局12315电单元测试 第十章概率 一、单选题 1．某袋中有9个除颜色外其他都相同的球,其中有5个红球,4个白球,现从中任意取出1个,则取出的球恰好是白球的概率为( ) A．1 5 B． 1 4 C． 4 9 D． 5 9 【答案】C 【解析】从9个球中任意取出1个,样本点总数为9,取出的球恰好是白球含4个样本点, 故所求概率为4 9 , 故选：C. 2．把红、黄、蓝、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁4个人，每人分得一张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 A．对立事件B．互斥但不对立事件 C．不可能事件D．以上都不对 【答案】B 【解析】因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不可能同时发生，所以它们是互斥事件， 因为事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”不包含所有的可能事件，所以它们不是对立事件，所以它们是互斥但不对立事件，故选B． 3．根据某教育研究机构的统计资料，在校学生近视的概率为40%，某眼镜商要到一中学给学生配眼镜，若已知该校学生总人数为1200，则该眼镜商应准备眼镜的数目为（） A．460B．480C．不少于480D．不多于480 【答案】C 【解析】根据题意,知该校近视的学生人数约为40%1200480 ⨯=, 结合实际情况,眼镜商应准备眼镜不少于480副. 故选:C 4．已知某运动员每次投篮命中的概率都为40%.现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮恰有两次命中的概率：先由计算器算出0到9之间取整数值的随机数，指定1，2，3，4表示命中，5，6，7，8，9，0表示不命中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了20组随机数： 907 966 191 925 271 932 812 458 569 683 431 257 393 027 556 488 730 113 537 989 据此估计，该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为（） A．0.35B．0.25C．0.20D．0.15 【答案】B 【解析】三次投篮共有20种， 恰有两次命中的事件有：191，271，932，812，393，有5种 ∴该运动员三次投篮恰有两次命中的概率为 5 0.25 20 p== 故选：B 5．甲在微信群中发了一个6元“拼手气”红包,被乙､丙､丁三人抢完,若三人均领到整数元,且每人至少领到1元,则乙获得“最佳手气”(即乙领到的钱数多于其他任何人)的概率是（） A．1 3 B． 3 10 C． 2 5 D． 3 4 【答案】B 【解析】设乙,丙,丁分别领到x元,y元,z元,记为(,,) x y z,则基本事件有(1,1,4),(1,4,1) ,(4,1,1),(1,2,3), (1,3,2),(2,1,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2),共10个,其中符合乙获得“最佳手气”的有3个,故所求概 人教版(2019)必修第二册第十章同步训练卷 概率 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并 将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目 的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。 写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。 4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的 四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．某城市2017年的空气质量状况如下表所示： 污染指数 30 60 100 110 130 140 概率P 1 10 16 13 730 2 15 130 其中污染指数50T ≤时，空气质量为优；50100T <≤时，空气质量为良；100150T <≤时，空气质量为轻微污染．该城市2017年空气质量达到良或优的概 率为（ ） A ．3 5 B ．1180 C ．119 D ．5 6 2．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A 表示“小于5的偶数点出现”；事件B 表示“不小于5的点数出现”．则一次试验中，事件A 或事件B 至少有一个发生的概 率为（ ） A ．2 3 B ．13 C ．1 2 D ．56 3．下列命题： ①对立事件一定是互斥事件；②若A ，B 为两个随机事件，则()()P A B P A =+ ()P B ；③若事件A ，B ，C 彼此互斥，则()()()1P A P B P C ++=；④若事件A ，B 满足()()1P A P B +=，则A 与B 是对立事件．其中正确命题的个数是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 4．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为23和34，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为（ ） A ．12 B ．512 C ．14 D ．16 5．将一颗质地均匀的骰子（各面上分别标有点数1，2，3，4，5，6）先后抛掷3次，至少出现1次6点向上的概率是（ ） A ．5216 B ．25216 C ．31216 D ．91216 6．在如图所示的电路中，5个格子表示保险匣，格子中所示数据表示通电时保险丝被熔断的概率，则当开关合上时，电路畅通的概率是（ ） A ．2936 B ．551720 C ．2972 D ．29144 7．某城市有连接8个小区A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 和市中心O 的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示，某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区A 前往小区H ，则他经过市中心O 的概率是（ ） 此卷只装订不密封 班级 姓名 准考证号 考场 号 座 位号高中数学第十章概率10.1.2事件的关系和运算同步练习含解析新人教A版必修第二册
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