用频率估计概率同步测试〔典型题汇总〕
90次,那么黄色乒乓球的个数估计为
1.盒子中有白色乒乓球 8个和黄色乒乓球假设干个, 为求得盒中黄色乒乓球的个数,某同学 进行了如下实验：每次摸出一个乒乓球记下它的颜色, 如此重复
360次,摸出白色乒乓球
A. 90 个
B. 24 个
C. 70 个
D. 32 个
2.从生产的一批螺钉中抽取 1000个进行质量检查,
结果发现有5个是次品,那么从中任取
1个是次品概率约为〔〕. 1
A. ----------
1000
1
B.——
200
3.以下说法正确的选项是〔 〕.
A .抛一枚硬币正面朝上的时机与抛一枚图钉钉尖着地的时机一样大;
B.为了解汉口火车站某一天中通过的列车车辆数,可采用全面调查的方式进行;
C.彩票中奖的时机是 1%,买100张一定会中奖;
D.中学生小亮,对他所在的那栋住宅楼的家庭进行调查,发现拥有空调的家庭占 100%,
于是他得出全市拥有空调家庭的百分比为
100 %的结论.
4.小亮把全班 50名同学的期中数学测试成绩, 绘成如下图的条形图,其中从左起第一、二、 三、四个小长方形高的比是 1 ： 3 ： 5 ： 1.从中
同
时抽一份最低分数段和一份最高分数段的成绩的 A.
C. 1
1 一、一
10 10
1
1 —、一 2
10
一
1 1 B.一、一
10 2 1 1 D .一、一
2
2
5 .某人把50粒黄豆染色后与一袋黄豆充分混匀,接着抓出 100黄豆,数出其中有10粒黄
豆被染色,那么这袋黄豆原来有〔〕 A. 10 粒 B. 160 粒
C. 450 粒
D. 500 粒
6 .某校男生中,假设随机抽取假设干名同学做 是否喜欢足球〞的问卷调查,抽到喜欢足球的同
3 3
学的概率是3,这个3的含义是〔〕. 5
5
A.只发出5份调查卷,其中三份是喜欢足球的答卷；
B.在答卷中,喜欢足球的答卷与总问卷的比为
3 ： 8;
C.在答卷中,喜欢足球的答卷占总答卷的-;
5
D.在答卷中,每抽出100份问卷,恰有60份答卷是不喜欢足球.
7.要在一只口袋中装入假设干个形状与大小都完全相同的球,使得从袋中摸到红球的概率为
-,四位同学分别采用了以下装法,你认为他们中装错的是〔〕. 5
A. 口袋中装入10个小球,其中只有两个红球；
B.装入1个红球,1个白毛1个黄球,1个蓝球,1个黑球；
C.装入红球5个,白球13个,黑球2个；
D.装入红球7个,白球13个,黑球2个,黄球13个.
8.某学生调查了同班同学身上的零用钱数,将每位同学的零用钱数记录了下来〔单位：元〕：
2, 5, 0, 5, 2, 5, 6, 5, 0, 5, 5, 5, 2, 5, 8, 0, 5, 5, 2, 5, 5, 8, 6, 5, 2, 5, 5, 2, 5, 6, 5, 5, 0, 6, 5, 6, 5, 2, 5, 0.
假设老师随机问一个同学的零用钱,老师最有可能得到的答复是〔〕.
A. 2元
B. 5元
C. 6元
D. 0元
9 .同时抛掷两枚硬币,根据正面出现的次数,可以分为“2个正面〞、“1个正面〞和没有正
面〞这3种可能的结果,小红与小明两人共做了6组实验,每组实验都为同时抛掷两枚硬币
10次,下表为实验记录的统计表：
结果A组第二组第三组第四组第五组第六组两个止面335142
一个止面655557
没有止面120411
由上表结果,计算得出现“2个正面〞、“1个正面〞和没有正面〞这3种结果的频率分别
是.当试验组数增加到很大时,请你对这三种结果的可能性的大小
作出预测：.
10 .红星养猪场400头猪的质量〔质量均为整数千克〕频率分布如下,其中数据不在分点上
组别频数频率
46 ~ 5040
51 ~ 5580
56 ~ 60160
61 ~ 6580
66 ~ 7030
71~ 7510
从中任选一头猪,质量在65kg以上的概率是 .
11 .为配和新课程的实施,某市举行了应用与创新〞知识竞赛,共有1万名学生参加了这次
竞赛(总分值100分,得分全为整数).为了解本次竞赛成绩情况,从中随机抽取了局部学生
的竞赛成绩,进行统计,整理见下表：
组别分组频数频率
149.5 〜59.5600.12
259.5 〜69.51200.24
369.5 〜79.51800.36
479.5 〜89.5130c
589.5 〜99.5b0.02
合计a 1.00表中a=,b=, c=;假设成绩在90分以上(含90分)的学生获
一等奖,估计全市获一等奖的人数为 .
12 .小颖有20张大小相同的卡片,上面写有1~20这20个数字,她把卡片放在一个盒子中
搅匀,每次从盒中抽出一张卡片,记录结果如下：
实验次数20406080100120140160180200 3的倍数的频数5131726323639495561
3的倍数的频率
(1)完成上表；
(2)频率随着实验次数的增加,稳定于什么值左右？
(3)从试验数据看,从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率估计是多少？
(4)根据推理计算可知,从盒中摸出一张卡片是3的倍数的概率应该是多少?
13 .甲、乙两同学开展投球进筐〞比赛,双方约定：①比赛分6局进行,每局在指定区域内
将球投向筐中,只要投进一次后该局便结束；②假设一次未进可再投第二次, 以此类推,但每
局最多只能投8次,假设8次投球都未进,该局也结束；③计分规那么如下：a.得分为正数或0; b.假设8次都未投进,该局得分为 0; c.投球次数越多,得分越低；
d.6局比赛的总得分高者
获月4 .
〔1〕设某局比赛第n 〔n=1,2,3,4,5,6,7,8〕次将球投进,请你按上述约定, 用公式、表格或语言叙 述等方式,为甲、乙两位同学制定一个把
n 换算为得分M 的计分方案；
〔2〕假设两人6局比赛的投球情况如下〔其中的数字表示该局比赛进球时的投球次数, "X 表示
该局比赛8次投球都未进〕：
A 局
第二局 第三局 第四局 第五局 第六局 甲 5 X 4 8 1 3 乙
8
2
4
2
6
X
根据上述计分规那么和你制定的计分方案,确定两人谁在这次比赛中获胜 10. 0.1,0.2,0.4,0.2,0.075,0.025 ; 0.1 11. 50,10,0.26; 200
12. ( 1) 0.25,0.33,0.28,0.33,0.32,0.30,0.33,0.31,0.31,0.31 ;
(2) 0.31; ( 3) 0.31 ; (4) 0.3 13.解：(1)计分方案如下表：
n 〔次〕 1 2 3 4 5 6 7 8 M 〔分〕
8
7
6
5
4
3
2
1
〔用公式或语言表述正确,同样给分 .〕
〔2〕根据以上方案计算得 6局比赛,甲共得24分,乙共得分23分,所以甲在这次比赛中获 胜.
用频率估计概率同步测试〔典型题汇总〕
一、选择题
1.在一个不透明的袋子里装有
3个黑球和假设干白球, 它们除颜色外都相同. 在不允许将球倒
出来数的前提下,小明为估计其中白球数,采用如下方法：随机从中摸出一球,记下颜色后 放回袋中,充分摇匀后,再随机摸出一球,记下颜色,…不断重复上述过程.小明共摸
100
1. D
2. B
3. B
4. A
5. C
6. C
7. C
8. B
9.
3 113 10 20 20
次,其中20次摸到黑球.根据上述数据,小明估计口袋中白球大约有〔〕
A.10 个
B.12 个
C.15 个
D.18 个
答案：B
解析：解答：二.小明共摸了100次,其中20次摸到黑球,
・••有80次摸到白球,,摸到黑球与摸到白球的次数之比为1： 4,
,口袋中黑球和白球个数之比为1: 4, 3+1=12 〔个〕.
4
应选B.
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从
比例关系入手,列出算式解答.
2.在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球,这些球中有4个红球, 每次将球摇匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回纸箱中, 通过大量的重复摸球实验后发现,
〕
摸到红球的频率稳定在« ,因此可以推算出m的值大约是〔〕
A.8
B.12
C.16
D.20
答案：C
1 1
解析：解答：:摸到红球的频率稳定在一,,摸到红球的概率为:,而m个小球中红球只
4 4
有4个,,推算出m的值大约是4+ —=16.
4
应选C
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从
比例关系入手,列出等式解答.
3.某口袋里现有8个红球和假设干个绿球〔两种球除颜色外,其余完全相同〕,某同学随机的从该口袋里摸出一球,记下颜色后放回,共试验50次,其中有20个红球,估计绿球个数为〔〕
A.6
B.12
C.13
D.25
答案：B
解析：解答：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,
可以从比例关系入手,设未知数列出方程求解.
8 _ 20 解：设袋中有绿球x个,由题意得：解得x=i2.
* + & 50 …
应选：B.
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近,可以从比例关系入手,设未知数列出方程求解.
4 .在一个不透明的布袋中装有50个黄、白两种颜色的球,除颜色外其他都相同,小红通过
屡次摸球试验后发现,摸到黄球的频率稳定在0.3左右,那么布袋中白球可能有〔〕
A.15 个
B.20 个
C.30 个
D.35 个
答案：D
解析：解答：设袋中有黄球x个,由题意得一=Q3, 50
解得x=15,那么白球可能有50-15=35个.
应选D.
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频
率=概率,可以从比例关系入手,设未知数列出方程求解.
5 .在一个不透明的口袋中放着红色、黑色、黄色的橡皮球共有30个,它们除颜色外其它全
相同.小刚通过屡次摸球试验后发现从中摸到红色球、黄色球的频率稳定在0.15和0.45之间,那么口袋中黑色球的个数可能是〔〕
A.14
B.20
C.9
D.6
答案：B
解析：解答：二.摸到红色球、黄色球的频率稳定在15%和45%,
「•摸到黑球的频率在0.85到0.55之间,
故口袋中黑色球的个数可能是30X 0.55=16.5至IJ 30X 0.85=25.5 ,
满足题意的只有B选项.
应选B.
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频
率=概率,可以从比例关系入手求解.
6 .在一个不透明的纸箱中放入m个除颜色外其他都完全相同的球,这些球中有4个红球, 每次将球摇匀后,任意摸出一个球记下颜色再放回纸箱中, 通过大量的重复摸球实验后发现,
工
摸到红球的频率稳定在 4 ,因此可以推算出m的值大约是〔〕
A.8
B.12
C.16
D.20
答案：C
解析：解答：二.摸到红球的频率稳定在-,
4
,摸到红球的概率为—,而m个小球中红球只有4个,
4
,推算出m的值大约是4+1=16.应选C.
4
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率,所以可以从比例关系入手求解.
7 . 一个盒子里装有假设干个红球和白球,每个球除颜色以外都相同. 5位同学进行摸球游戏,
每位同学摸10次〔摸出1球后放回,摇匀后再继续摸〕,其中摸到红球数依次为8, 5, 9, 7, 6,那么估计盒中红球和白球的个数是〔〕
A.红球比白球多
B.白球比红球多
C.红球,白球一样多
D.无法估计
答案：A
解析：解答：.「5位同学摸到红球的频率的平均数为---------- ------ =7 ,
・•・红球比白球多.应选A.
分析：计算出摸出红球的平均数后分析,假设得到到的平均数大于5,那么说明红球比白球多,
反之那么不是.
8 .在做“抛掷两枚硬币实验〞时,有局部同学没有硬币, 因而需要用别的实物来替代进行实验,在以下所选的替代物中,你认为较适宜的是〔〕
A.两张扑克牌,一张是红桃,另一张是黑桃
B.两个乒乓球,一个是黄色,另一个是白色
C.两个相同的矿泉水瓶盖
D.四张扑克牌,两张是红桃,另两张是黑桃
答案：D
解析：
解答：•.•硬币有正反两面,应该选两种既能区分其两面又能反映是两枚的实物代替较适宜. 选四张扑克牌,两张是红桃,另两张是黑桃,分别表示出两枚硬币及正反两面较适宜.
应选D
分析：应该选两种既能区分其两面又能反映是两枚的实物代替较适宜.
9 .在一个不透明白^盒子里有n个除颜色外其它均相同的小球, 其中有8个黄球,采用有放回
的方式摸球,结果发现摸到黄球的频率稳定在40%,那么可以推算出n大约是〔〕
A.8
B.20
C.32
D.40
答案：B
解析：解答：二.摸到黄球的频率稳定在40%,
,估计摸到黄球的概率为0.4,
••・2 = 0.4,
：. n=20.
应选B .
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频
率=概率,可以从比例关系入手,设未知数列出方程求解.
10 .做重复实验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次.经过统计得“凸面向上〞的频率约为0.44,那么可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上〞的概率约为〔〕
A.0.22
B.0.44
C.0.50
D.0.56
答案：D
解析：解答：瓶盖只有两面,“凸面向上〞的频率约为0.44,
那么可以由此估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凹面向上〞的概率约为1-0.44=0.56.
应选D.
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频
率=概率,可以从比例关系入手求解.
11 .在大量重复试验中,关于随机事件发生的频率与概率,以下说法正确的选项是〔〕
A.频率就是概率
B.频率与试验次数无关
C.概率是随机的,与频率无关
D.随着试验次数的增加,频率一般会越来越接近概率
答案：D
解析：解答：二.大量重复试验事件发生的频率逐渐稳定到某个常数附近, 可以用这个常数估计这个事件发生的概率,
••.D选项说法正确.
应选：D.
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率.
12 .一个口袋中有8个黑球和假设干个白球, 从口袋中随机摸出一球, 记下颜色,再放回口袋,
不断重复上述过程,共做了200次,其中有50次摸到黑球,因此估计袋中白球有〔〕A.23 个B.24 个C.25 个 D.26 个
答案：B
工50
解析：解答：设白球有x个,那么------- = ------ ,解之得x=24
工 + 8 200
应选B.
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频度率=概率,可以从比例关系入手,设未知数列出方程求解.
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率,可以从比例关系入手,设未知数列出方程求解.
13 .在一次质检抽测中,随机抽取某摊位20袋食盐,测得各袋的质量分别为〔单位：G〕: 492, 496, 494, 495, 498, 497, 501, 502, 504, 496
497, 503, 506, 508, 507, 492, 496, 500, 501, 499
根据以上抽测结果,任买一袋该摊位的食盐,质量在497.5 g〜501.5 g之间的概率为〔〕113 7 A： B C - D. -1-'
答案：B
解析：解答：位于497.5〜501.5g之间的数据有：498, 501, 500, 501 , 499,共5个,
5 1
位于497.5〜501.5g之间的数据的概率为——=一.应选B.
20 4
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率.
14 .在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共60个,除颜色外其他完全相同.小明
通过屡次摸球试验后发现,其中摸到红色球的频率稳定在25%左右,那么口袋中红色球可能
有〔〕A.5 个 B.10 个 C.15 个D.45 个答案：C
解析：解答：二.摸到红色球的频率稳定在25%左右,
,口袋中红色球的频率为25%,故红球的个数为60X 25%=15 〔个〕.
应选：C.
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频
率=概率.
15 .小鸡孵化场孵化出1000只小鸡,在60只上做记号,再放入鸡群中让其充分跑散,再任
意抓出50只,其中做有记号的大约是〔〕
A.40 只
B.25 只
C.15 只
D.3 只
答案：D
解析：解答：小鸡孵化场孵化出1000只小鸡,在60只上做记号,那么做记号的小鸡概率为
不立二,再任意抓出50只,其中做有记号的大约是上父50 = 3只.
1000 50 50
应选D.
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频
率=概率,这样先求出概率,再乘以50即可得到答案..
填空题
16 .某玩具店进了一排黑白塑料球,共5箱,每箱的规格、数量都相同,其中每箱中装有黑
白两种颜色的塑料球共3000个,为了估计每箱中两种颜色球的个数,随机抽查了一箱,将
箱子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回箱子中, 屡次重复上述过程后,发现摸到黑球的概率在0.8附近波动,那么此可以估计这批塑料球中黑球的总个数,请将
黑球总个数用科学记数法表示约为________ 个.
答案：1.2 X104
解析解答：设黑球的个数为x,
•••黑球的频率在0.8附近波动,
••・摸出黑球的概率为0.8,即------ =0.8,
3000
解得x=2400.
所以可以估计黑球的个数为2400 X 5=12000=1.2 X 104个,
故答案为：1.2 X 104.
分析：由于摸到黑球的频率在 0.8附近波动,所以摸出黑球的概率为 0.8,再设出黑球的个数,
根据概率公式列方程解答即可.
17 .在一次摸球实验中,一个袋子中有黑色和红色和白色三种颜色除外,其他都相同.假设从 中任意摸出一球,记下颜色后再放回去,再摸,假设重复这样的实验 球,那么我们可以估计从口袋中随机摸出一球它为黄球的概率是 〔〕.
……,,………
…………
98 49 解析：解答：从口袋中随机摸出一球它为黄球的概率是 ——=——
400
Z00
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频 率=概率即可求得答案.
18 .在一块试验田抽取1000个麦穗考察它的长度〔单位：cm 〕对数据适当分组后看到落在 19 75〜6.05之间的频率为0.36,于是可以估计出这块田里长度为
5.75〜
6.05cm 之间的麦穗约
占%. 答案：36
解析：解答：•.・抽取 1000个麦穗考查它白^长度落在 5.75〜6.05之间的频率为0.36, ,这块田里长度为 5.75〜6.05cm 之间的麦约占36%. 故此题答案为：36%
分析：在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频 率=概率,概率在同一个问题当中是不变的.
19.一水塘里有鲤鱼、鲫鱼、鲤鱼共 10 000尾,一渔民通过屡次捕捞实验后发现,鲤鱼、鲫 鱼出现的频率分别是 31%和42%,那么这个水塘里大约有鲤鱼 尾. .答案：2700
解析：解答：根据题意可得这个水塘里有鲤鱼 10000X 31%=3100尾,
鲫鱼 10000 X42%=4200 尾,
鲤鱼 10000-3100-4200=2700 尾.
分析：首先明确在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近 即此时频率=概率,这样先求出概率,再乘以总尾数即可得到答案 .. 20.在一个不透明的布袋中装有除颜色外其余都相同的红、
黄、蓝球共200个,墨墨通过多
400次,98次摸出了黄
答案:
49
2CC
次摸球试验后发现,其中摸到红色球和蓝色球的频率稳定在25%和55%,那么口袋中可能有
黄球_____ 个.
答案：40
解析：解答：根据频率估计概率得到摸到红色球和蓝色球的概率分别为25麻口55%,那么摸到
黄色球的概率=1-25%-55%=20% ,
所以口袋中黄球的个数=200X20%=40 .
答：口袋中可能有黄球40个.
故答案为40.
分析：首先明确在同样条件下,大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近
即此时频率=概率,这样先求出概率,再乘200即可得到答案..
解做题
21.袋中有红球、黄球、蓝球、白球假设干个,小刚又放入5个黑球后,小颖通过屡次摸球试
验后,发现摸到红球、黄球、蓝球、白球及黑球的频率依次为25%, 30%, 30%, 10%, 5%,
试估计袋中红球、黄球、蓝球及白球各有多少个？
答案：解：小刚放入5个黑球后,发现摸到黑球的频率为5%,
— = 100
那么可以由此估计袋中共有球5% 〔个〕,
说明此时袋中可能有100个球〔包括5个黑球〕,那么有红球100X 25%=25 〔个〕,
黄球100X30%=30 〔个〕,篮球100X 30%=30 〔个〕,白球100X 10%=10 〔个〕.
解析：
分析：先根据频率公式利用黑球的个数求出小球的总个数,再根据各个的频率,分别求出每个
小球的个数,问题即可得到解决.
22.对某电视机厂生产的电视机进行抽样检测的数据如下,请你通过计算填出相应合格品的
概率：
“取台数
501002003005001000
合格品数〔台〕4092192285478954
“率
答案：解：由表可得:
%-
相应合格品的概率分别为： 50
192
——=0.96 200
954
——=0.954 100
解析:
分析：.首先明确在同样条件下, 大量反复试验时,随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近 即此时频率=概率,这样先求出正品的概率 ,再求次品的概率即可得到答案
将袋中的球摇均匀.每次从口袋中取出一只球记录颜色后放回再摇均匀,经过大量的实验,
...... ........... (1)
得到取出红球的频率是-,求:
4
〔1〕取出白球的概率是多少?
答案：.
〔2〕如果袋中的白球有18只,那么袋中的红球有多少只? 答案：6.
解析：解答：〔1〕取出白球与取出红球为对立事件,概率之和为 故P 〔取出白球〕 =1-P
〔取出红球〕
(2)设袋中的红球有 x 只,那么有,
X _ 1
Z + 1S~ 4 解得x=6. 所以袋中的红球有 6只.
由数据可以估出该厂生产的电视机次品的概率为:
1-0.95=0.05 .
23.一直不透明的口袋中放有假设干只红球和白球, 这两种球除了颜色以外没有任何其他区别,
分拣：(1)根据概率之和为1,求出白球的概率；(2)明确在同样条件下,大量反复试验时,随机
事件发生的频率逐渐稳定在概率附近即此时频率=概率,根据概率公式设未知数列方程即可
得到答案..
24.在一个不透明的盒子里装有只有颜色不同的黑、白两种球共40个,小颖做摸球实验,她
将盒子里面的球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色, 再把它放回盒子中,不断重复上述过
程,下表是实验中的一组统计数据：
摸球的次数n10020030050080010003000
651241783024815991803摸到白球的次数m
m
—0.650.620.5930.6040.6010.5990.601摸到白球的频率=■■
(1)请估计：当n很大时,摸到白球的频率将会接近 ;(精确到0.1)
答案：0.6;
(2)假设你摸一次,你摸到白球的概率P(白球尸;
答案：0.6;
(3)试估算盒子里黑、白两种颜色的球各有多少只？
答案：24.
解析：解答：(1)二•摸到白球的频率为( 0.65+0.62+0.593+0.604+0.601+0.599+0.601 ) +7 = 0.6,
・•・当n很大时,摸到白球的频率将会接近0.6 .
(2)二,摸到白球的频率为0.6,
,假设你摸一次,你摸到白球的概率P (白球)=0.6.
(3)盒子里黑、白两种颜色的球各有40-24=16, 40X0.6=24.
分析：(1)计算出其平均值即可；
(2)概率接近于(1)得到的频率；
(3)白球个数=球的总数x得到的白球的概率,让球的总数减去白球的个数即为黑球的个
25. 一个口袋中放有20个球,其中红球6个,白球和黑球各假设干个,每个球除了颜色以外
没有任何区别.
(1)小王通过大量反复的实验(每次取一个球,放回搅匀后再取第二个)发现,取出黑球的频率稳定在1左右,请你估计袋中黑球的个数;
4
答案：5个；
(2)假设小王取出的第一个球是白色,将它放在桌上,闭上眼睛从袋中余下的球中再任意取出
一个球,取出红球的概率是多少？
“9
答案：解析：解答：解：(1)取出黑球的频率稳定在工左右,即可估计取出黑球的概率稳定为
4
袋中黑球的个数为-X 20=5个;
4
(2)由于白球的数目减少了1个,故总数减小为19,所以取出红球的概率增加了, 变为
2 2
分析：(1)取出黑球的频率稳定在a左右,即可估计取出黑球的概率稳定为4,乘以球的
总数即为所求的球的数目；
(2)让红球的个数除以剩余球的总数,即为所求的概率.
北师大版数学九上第三章《概率的进一步认识》单元测试试卷、答案 一、选择题（共12小题；共36分） 1. 在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法来估算正面朝上的概率．其试验 次数分别为次，次，次，次，其中试验相对科学的是 A. 甲组 B. 乙组 C. 丙组 D. 丁组 2. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是 A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关 C. 概率是随机的，与频率无关 D. 随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 3. 让图6-7-1中两个转盘分别自由转动一次，当转盘停止转动时，两个指针分别落在某两个数所表示的 区域，则两个数的和是的倍数或的倍数的概率等于 A. B. C. D. 4. 某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择 其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是 A. B. C. D.
5. 中考体育男生抽测项目规则是：从立定跳远、实心球、引体向上中随机抽取一项；从米、米 往返跑、米中随机抽取一项．恰好抽中实心球和米的概率是 A. B. C. D. 6. 某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门校本课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择 其中一门课程，则小波和小睿选到同一课程的概率是 A. B. C. D. 7. 在一个不透明的盒子里有个分别标有数字，，的小球，它们除数字外其他均相同．充分摇匀 后，先摸出个球不放回，再摸出个球，那么这两个球上的数字之和为奇数的概率为 A. B. C. D. 8. 一个口袋中有个黑球和若干个白球，在不允许将球倒出来数的前提下，小明为估计其中的白球数， 采用了如下的方法：从口袋中随机摸出一球，记下颜色，然后把它放回口袋中，摇匀后再随机摸出一球，记下颜色，，不断重复上述过程．小明共摸了次，其中次摸到黑球．根据上述数据，小明可估计口袋中的白球大约有 A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 9. 同时抛掷三枚质地均匀的硬币，至少有两枚硬币正面向上的概率是 A. B. C. D. 10. 在一个暗箱里放有个除颜色外其他完全相同的球，这个球中红球只有个．每次将球搅拌均 匀后，任意摸出一个球记下颜色再放回暗箱．通过大量重复摸球试验后发现，摸到红球的频率稳定在％，那么可以推算出大约是 A. B. C. D. 11. 从长为，，，的四条线段中任选三条，能够组成三角形的概率是 A. B. C. D.
概率的进一步认识单元检测题 （典型题汇总） 一、选择题 1. A、B、C、D四名选手参加50米决赛，赛场共设1，2，3，4四条跑道，选手以随机抽签的方式决定各自的跑道，若A首先抽签，则A抽到1号跑道的概率是（） A．1 B． C． D． 2. 在一次质量抽测中,随机抽取某摊位20袋食盐,测得各袋的质量如下（单位:g）: 492 496 494 495 498 497 501 502 504 496 497 503 506 508 507 492 496 500 501 499 根据以上抽测结果,任买一袋该摊位的食盐,质量在497.5～501.5g之间的概率为（） A. B. C. D. 3. 下列词语所描述的事件是随机事件的是( ) A．守株待兔 B．拔苗助长 C．刻舟求剑 D．竹篮打水 4. 在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④，随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是（） A． B． C．D． 5. 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同．小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15%左右，则口袋中红色球可能有() A．4个 B．6个 C．34个 D．36个 6. 将100个数据分成8个组，如下表：则第六组的频数为（） A．12 B．13 C．14 D．15 7. 下列说法正确的是( ) A．随机事件概率值不可能为1 B．随机事件概率值可能为1 C．随机事件概率一定是0 D．以上说法都不对 8. 下列说法中正确的个数是（） ①不可能事件发生的概率为0； ②一个对象在实验中出现的次数越多，频率就越大；
2021-2022学年北师大版九年级数学上册第三章概率的进一步认识单元同步练习题 一、填空题 1.某校开展以“我和我的祖国”为主题的“大合唱”活动，七年级准备从小明、小东、小聪三名男生和小红、小慧两名女生中各随机选出一名男生和一名女生担任领唱，则小聪和小慧被同时选中的概率是______. 2.在一只不透明的袋中，装着标有数字3，4，5，7的质地、大小均相同的小球.小明和小东同时从袋中随机各摸出1个球，并计算这两球上的数字之和，当和小于9时小明获胜，反之小东获胜，则小东获胜的概率为______. 3.如图，在▱ABCD中，E为BC的中点，BD，AE交于点O.若随机向▱ABCD内投一粒米，则米粒落在图中阴影部分的概率为______. 4.如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，现随机向正方形内掷一枚小针，则针尖落在黑色区域内的概率为______. 5.汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”是我国古代数学的瑰宝.如图所示的弦图中，四个直角三角形都是全等的，它们的两直角边之比均为2∶3.现随机向该图形内掷一枚小针，则针尖落在阴影区域的概率为______. 6.在一个不透明的布袋中装有黄、白两种颜色的球共40个，除颜色外其他都相同，小王通过多次摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在0.35左右，则布袋中黄球可能有______个. 7.一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个，这些球除颜色外都相同.小明从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回，不断重复，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题：
(1)摸到黑球的频率会接近______(精确到0.1)，估计摸一次球能摸到黑球的概率是______；袋中黑球的个数约为______个. (2)若小明又将一些相同的黑球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当重复大量试验后，发现黑球的频率稳定在0.6左右，则小明后来放进了______个黑球. 二、选择题 8.小明和同学做“抛掷质地均匀的硬币试验”获得的数据如表： 9.A.20 B.300 C.500 D.800 10.将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为( ) A.23 B.12 C.13 D.16 11.小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次各出一只手，且至少要出一个手指，两人出的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为( ) A.1325 B.1225 C.425 D.12 12.在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率与概率，下列说法正确的是( ) A.频率就是概率 B.频率与试验次数无关 C.概率是随机的，与频率无关 D.随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 13.某射击运动员在同一条件下的射击成绩记录如下：
第三章概率的进一步认识 第Ⅰ卷(选择题共30分) 一、选择题(每小题3分，共30分) 1．三张外观相同的卡片上分别标有数字1，2，3，从中随机一次性抽出两张，这两张卡片上的数字恰好都小于3的概率是( ) A.1 3 B. 2 3 C. 1 6 D. 1 9 2．某学校在八年级开设了数学史、诗词赏析、陶艺三门课程，若小波和小睿两名同学每人随机选择其中一门课程，则小波和小睿选到同一门课程的概率是( ) A.1 2 B. 1 3 C. 1 6 D. 1 9 3．布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，从中摸出一个球之后不放回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是( ) A.1 6 B. 2 9 C. 1 3 D. 2 3 4．有3个整式x，x＋1，2，先随机取一个整式作为分子，再从余下的整式中随机取一个作为分母，恰能组成分式的概率是( ) A.1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 6 5．在物理课上，某实验的电路图如图1所示，其中S1，S2，S3表示电路的开关，L表示小灯泡，R为保护电阻．若闭合开关S1，S2，S3中的任意两个，则小灯泡L发光的概率为( ) 图1 A.1 6 B. 1 3 C. 1 2 D. 2 3 6．如图2，两个转盘分别自由转动一次，当它们都停止转动时，两个转盘的指针都指向2的概率为( )
图2 A.1 2 B. 1 4 C. 1 8 D. 1 16 7．在一个不透明的口袋里装了只有颜色不同的黄球、白球若干只．某小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放回袋中，不断重复这一过程．下表是活动中的一组数据，则摸到黄球的概率约是( ) A.0.4 B．0.5 C．0.6 D．0.7 8．某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如下表格，则符合这一结果的试验最有可能的是( ) A.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 B．在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀” C．抛一个质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是5 D．抛一枚硬币，出现反面的概率 9．为了估计不透明的袋子里装有多少个球，先从袋中摸出10个球都做上标记，然后放回袋中去，充分摇匀后再摸出10个球，发现其中有一个球有标记，那么你估计袋中大约有球( ) A．10个 B．20个 C．100个 D．121个 10．有A，B两粒质地均匀的正方体骰子(骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6)，小王掷骰子A，朝上的数字记作x；小张掷骰子B，朝上的数字记作y.在平面直角坐标系中有一矩形，四个点的坐标分别为(0，0)，(6，0)，(6，4)和(0，4)，小王、小张各掷一
一、选择题 1．甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的试验中，统计了某一结果出现的频率，并绘出了如下折线统计图，则最有可能符合这一结果的试验的是（） A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点的概率 B．抛一枚硬币，出现正面的概率 C．任意写一个整数，它能被3整除的概率 D．从一副去掉大小王的扑克牌中，任意抽取一张，抽到黑桃的概率 2．王老师的讲义夹里放了大小相同的试卷12张，其中语文5张，数学4张，外语3张，他随机从讲义夹中抽出1张，抽出的试卷恰好是数学试卷的概率是（） A．1 4 B． 1 3 C． 5 12 D． 1 2 3．如图是一个正八边形，向其内部投一枚飞镖，投中阴影部分的概率是（） A．1 3 B． 1 2 C． 2 2 D． 3 4 4．某鱼塘里养了1600条鲤鱼，若干条草鱼和800条罗非鱼，该鱼塘主通过多次捕捞试验后发现，捕捞到草鱼的频率稳定在0.5左右，则该鱼塘捞到鲤鱼的概率约为（）． A．2 3 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 6 5．小丽书包里准备的3只包装相同的备用口罩中有2只是医用外科口罩，由于感冒她想取一只医用外科口罩去医院就医时佩戴，则她一次取对的概率是（） A．0 B．1 2 C． 1 3 D． 2 3 6．如图，4×2的正方形的网格中，在A，B，C，D四个点中任选三个点，能够组成等腰三角形的概率为（）
A．1 B．1 2 C． 1 3 D． 1 4 7．在一个不透明的布袋中，红色、黑色、白色的小球共有50个，除颜色外其他完全相同．乐乐通过多次摸球试验后发现，摸到红色球、黑色球的频率分别稳定在27%和43%，则口袋中白色球的个数很可能是（） A．20 B．15 C．10 D．5 8．同时掷两个质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，两个骰子的点数相同的概率为（） A．1 3 B． 1 4 C． 1 6 D． 1 36 9．均匀的四面体的各面上依次标有1,2,3,4四个数字，同时抛掷两个这样的正四面体，着地的一面数字之和为5的概率是（） A． 3 16 B． 1 4 C． 1 68 D． 1 16 10．为了解历下区九年级男生的身高情况，随机抽取了100名九年级男生，他们的身高() x cm统计如下,根据以上结果，抽查一名九年级男生，估计他的身高不低于180cm的概率是（） A．0.85 B．0.57 C．0.42 D．0.15 11．一家公司招考员工，每位考生要在A、B、C、D、E这5道试题中随机抽出2道题回答，规定答对其中1题即为合格．已知某位考生会答A、B两题，则他合格的概率为（） A． 7 10 B． 1 2 C． 2 5 D． 1 5 12．某学习小组进行“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验可能是（） A．先后两次抛掷一枚质地均匀的硬币，两次都是反面朝上 B．先后两次掷一枚质地均匀的骰子，两次的点数和不大于3 C．小聪和小明玩剪刀、石头、布的游戏，小聪获胜 D．一个班级中（班级人数为50人）有两人生日相同
北师大版数学九上第三章《概率的进一步认识》试卷、答案 一、选择题（共12小题；共36分） 1. 甲、乙两人用如图所示的两个转盘（每个转盘被分成面积相等的个扇形）做游戏．游戏规则：转 动两个转盘各一次，当转盘停止后，指针所在区域的数字之和为偶数时甲获胜；数字之和为奇数时乙获胜．若指针落在分界线上，则需要重新转动转盘．甲获胜的概率是 A. B. C. D. 2. 甲、乙两名同学在一次用频率去估计概率的实验中，统一了某一结果出现的频率绘出的统计图如图所 示，则符合这一结果的实验可能是 A. 从一个装有个白球和个红球的袋子中任取两球，取到两个白球的概率 B. 任意写一个正整数，它能被整除的概率 C. 抛一枚硬币，连续两次出现正面的概率 D. 掷一枚正六面体的骰子，出现点的概率
3. 小茜课间活动中，上午大课间活动时可以先从跳绳、乒乓球、健美操中随机选择一项运动，上午课外 活动再从篮球、武术、太极拳中随机选择一项运动．则小茜上午、下午都选中球类运动的概率是 A. B. C. D. 4. 将分别标有“孔”“孟”“之”“乡”汉字的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外无其他差别， 每次摸球前先搅拌均匀．随机摸出一球，不放回；再随机摸出一球．两次摸出的球上的汉字能组成“孔孟”的概率是 A. B. C. D. 5. 在不透明的袋子中有黑棋子枚和白棋子若干（它们除颜色外都相同），现随机从中摸出枚记 下颜色后放回，这样连续做了次，记录了如下的数据： 次数 黑棋数 根据以上数据，估算袋中的白棋子数量为 A. 枚 B. 枚 C. 枚 D. 枚 6. 现有两枚质地均匀的骰子，每枚骰子的六个面上都分别标上数字，，，，，．同时投掷这两 枚骰子，以朝上一面所标的数字为掷得的结果，那么所得结果之和为的概率是 A. B. C. D. 7. 小明和小华玩“石头、剪子、布”的游戏，若随机出手一次，则小华获胜的概率是 A. B. C. D. 8. 小明在一次用频率估计概率的实验中，统计了某一结果出现的频率，并绘制了如图所示的统计图，则 符合这一结果的实验可能是
北师大版九上 3.2 用频率估计概率 一、选择题（共9小题） 1. 用频率估计概率，可以发现，抛掷硬币，“正面朝上”的概率为0.5，是指( ) A. 连续掷2次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各1次 B. 连续抛掷100次，结果一定是“正面朝上”和“反面朝上”各50次 C. 抛掷2n次硬币，恰好有n次“正面朝上” D. 抛掷n次，当n越来越大时，正面朝上的频率会越来越趋近于0.5 2. 将A，B两位篮球运动员在一段时间内的投篮情况记录如下，下面有三个推断： ①当投篮30次时，两位运动员都投中23次，所以他们投中的概率都是0.767； ②随着投篮次数的增加，A运动员投中频率总在0.750附近摆动，显示出一定的稳定性， 可以估计A运动员投中的概率是0.750； ③当投篮达到200次时，B运动员投中次数一定为160次． 其中合理的是( ) A. ① B. ② C. ①③ D. ②③ 3. 在大量重复试验中，关于随机事件发生的频率和概率，下列说法正确的是( ) A. 频率就是概率 B. 频率与试验次数无关 C. 在相同的条件下进行试验，如果试验次数相同，则各实验小组所得频率的值也会相同 D. 随着试验次数的增加，频率一般会逐步稳定在概率数值附近 4. 如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果．下面有三个推断： ①当抛掷次数是100时，计算机记录“正面向上”的次数是47，所以“正面向上”的概率是 0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.5附近摆动，显示出一定的稳定性， 可以估计“正面向上”的概率是0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为150时，“正面向上”的频率一定是0.45．
北师版数学九年级上册 第三章概率的进一步认识 单元测试卷 （时间90分钟，满分120分） 第Ⅰ卷（选择题） 一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查．各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是( ) A.19 B.16 C.13 D.23 2. 如图，小颖在围棋盘上两个格子的格点上任意摆放黑、白两个棋子，且两个棋子不在同一条网格线上，其中，恰好摆放成如图所示位置的概率是（ ） A.112 B.110 C.16 D.25 3. 如图所示的两个转盘中，指针落在每一个数上的机会均等，那么两个指针同时落在偶数上的概率是（ ） A.1925 B.1025 C.625 D.525 4. 小明有2件上衣，分别为红色和蓝色；有3条裤子，其中2条为蓝色，1条为棕色．小明任意拿出1件上衣和1条裤子穿上，则小明穿的上衣和裤子恰好都是蓝色的概率是（ ） A.13 B.12 C.23 D.34 5. 三张背面完全相同的数字牌，它们的正面分别印有数字“1”“2”“3”，将它们背面朝上，洗匀后随机抽取一张，记录牌上的数字并把牌放回，再重复这样的步骤两次，得到三个数字a ，b ，c ，则以a ，b ，c 为边长正好构成等边三角形的概率是（ ） A.19 B.127 C.59 D.13 6. 用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是（ ） A.12 B.13 C.59 D.49
7. 如图，在平面直角坐标系中，点A 1，A 2在x 轴上，点B 1，B 2在y 轴上，其坐标分别为A 1(1，0)，A 2(2，0)，B 1(0，1)，B 2(0，2)，分别以A 1，A 2，B 1，B 2其中的任意两点与点O 为顶点作三角形，所作三角形是等腰三角形的概率是（ ） A.34 B.13 C.23 D.12 8．一个盒子里有完全相同的三个小球，球上分别标有数－1，1，2.随机摸出一个小球(不放回)，其数记为p ，再随机摸出另一个小球，其数记为q ，则满足关于x 的方程x 2－px ＋q ＝0有实数根的概率是（ ） A.12 B.13 C.23 D.56 9．小兰和小潭分别用掷A ，B 两枚正六面体骰子的方法来确定P(x ，y)的位置，她们规定：小兰掷得的点数为x ，小潭掷得的点数为y ，那么，她们各掷一次所确定的点落在已知直线y ＝－2x ＋6上的概率为（ ） A.16 B.118 C.112 D.19 10. 如图是两个可以自由转动的转盘，每个转盘被分成两个扇形，同时转动两个转盘，转盘停止后，指针所指区域内的数字之和为4的概率是( ) A.12 B.13 C.14 D.15 第Ⅱ卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，3*8=24） 11．在一个不透明的袋子里，有2个黑球和1个白球，除了颜色外全部相同，任意摸两个球，摸到1黑1白的概率是________． 12. 有两个不透明的盒子，第一个盒子中有3张卡片，上面的数字分别为1，2，2；第二个盒子中有5张卡片，上面的数字分别为1，2，2，3，3.这些卡片除了数字不同外，其它都相同，从每个盒子中各抽出一张，都抽到卡片数字是2的概率为________． 13. 如图是一个能自由转动的正六边形转盘，这个转盘被三条分割线分成形状相同，面积相等的三部分，且分别标有“1”，“2”，“3”三个数字，指针的位置固定不动，让转盘自由转动两次，当每次转盘停止后，记录指针指向的数(当指针指向分割线时，视其指向分割线左边的区域)，则两次指针指向的数都是奇数的概率为_________.
2020-2021学年北师大版初三数学上册单元训练卷第3章概率的进一步认识 一、选择题(每小题3分，共30分) 1. 事件A：打开电视，它正在播广告；事件B：抛掷一个均匀的骰子，朝上的点数小于7；事件C：在标准大气压下，温度低于0℃时冰融化. 3个事件的概率分别记为P(A)，P(B)，P(C)，则P(A)，P(B)，P(C)的大小关系正确的是( B) A. P(C)＜P(A)＝P(B) B. P(C)＜P(A)＜P(B) C. P(C)＜P(B)＜P(A) D. P(A)＜P(B)＜P(C) 2. 某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查，各组随机抽取辖区内某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是( C) A. 1 9 B. 1 6 C. 1 3 D. 2 3 3. 小亮、小莹、大刚三位同学随机地站成一排合影留念，小亮恰好站在中间的概率是( B) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 6 4. 在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他完全相同.小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在15％左右，则口袋中红色球可能有( B) A. 4个 B. 6个 C. 34个 D. 36个 5. 如图，任意转动正六边形转盘一次，当转盘停止转动，指针指向大于3的数的概率是( D) A. 2 3 B. 1 6 C. 1 3 D. 1 2
6. 在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是( A) A. 4 9 B. 1 3 C. 2 9 D. 1 9 7. 在一个不透明的口袋里，装有仅颜色不同的黑球、白球若干只，某小组做摸球试验：将球搅匀后从中随机摸出一个，记下颜色，再放入袋中，不断重复，下表是试验中的一组数据，则摸到白球的概率约是( C) 摸球的次数n1001502005008001000摸到白球的次数m5896116295484601 摸到白球的频率m n 0.580.640.580.590.6050.601 A. 0.4 B. 0.5 C. 0.6 D. 0.7 8. 如图，直线a℃b，直线c与直线a，b都相交，从所标识的℃1，℃2，℃3，℃4，℃5这五个角中任意选取两个角，则所选取的两个角互为补角的概率是( A) A. 3 5 B. 2 5 C. 1 5 D. 2 3 9. 如图，一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数字－2，0，1，2，连续抛掷两次，朝下一面的数字分别是a，b，将其作为M点的横、纵坐标，则点M(a，b)落在以A(－2，0)，B(2，0)，C(0，2)为顶点的三角形内(包括边界)的概率是( B)
北师大版九年级上册第三章概率的进一步认识 知识归纳及例题 【学习目标】 1.进一步认识频率与概率的关系，加深对概率的理解； 2.会用列表和画树状图等方法计算简单事件发生的概率； 3.能利用重复试验的频率估计随机事件的概率； 4.学会运用概率知识解决简单的实际问题. 【知识点梳理】 要点一、用树状图或表格求概率 1.树状图 当一次试验要涉及3个或更多个因素时，为了不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用树形图，也称树形图、树图. 树形图是用树状图形的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 知识点诠释： (1)树形图法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； (2)在用树形图法求可能事件的概率时，应注意各种情况出现的可能性务必相同. 2.列表法 当一次试验要涉及两个因素，并且可能出现的结果数目较多时，为不重不漏地列出所有可能的结果，通常采用列表法. 列表法是用表格的形式反映事件发生的各种情况出现的次数和方式，以及某一事件发生的可能的次数和方式，并求出概率的方法. 知识点诠释： （1）列表法适用于各种情况出现的总次数不是很大时，求概率的问题； （2）列表法适用于涉及两步试验的随机事件发生的概率. 3.用列举法求概率的一般步骤 （1）列举（列表、画树状图）事件所有可能出现的结果，并判断每个结果发生的可能性是否都相等； （2）如果都相等，再确定所有可能出现的结果的个数n 和其中出现所求事件A 的结果个数m ； （3）用公式计算所求事件A 的概率.即P （A ）=. 知识点二、用频率估计概率 1.频率与概率的定义 频率：在相同条件下重复n 次试验，事件A 发生的次数m 与试验总次数n 的比值. 概率：事件A 的频率接近与某个常数，这时就把这个常数叫做事件A 的概率，记作P （A ）. 2.频率与概率的关系 事件的概率是一个确定的常数，而频率是不确定的，当试验次数较少时，频率的大小摇摆不定，当试验次数增大时，频率的大小波动变小，并逐渐稳定在概率附近.可见，概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值. 知识点诠释： （1）频率本身是随机的，在试验前不能确定，无法从根本上来刻画事件发生的可能性的大小，在大量 n m n m
单元测试(三) 概率的进一步认识 (满分：150分，考试用时120分钟) 一、选择题(本大题共15个小题，每小题3分，共45分) 1.将一枚质地均匀的硬币抛掷两次，则两次都是正面向上的概率为( ) A.1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 4 2．在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标号为①，②，③，④.随机地摸出一个小球，记录后放回，再随机摸出一个小球，则两次摸出的小球的标号相同的概率是( ) A.1 16 B. 3 16 C. 1 4 D. 5 16 3．中考体育男生抽测项目规则是：从立定跳远、实心球、引体向上中随机抽一项，从50米、50×2米、100米中随机抽一项，恰好抽中实心球和50米的概率是( ) A.1 3 B. 1 6 C. 2 3 D. 1 9 4．一个盒子内装有大小、形状相同的四个球，其中红球1个、绿球1个、白球2个，小明摸出一个球不放回，再摸出一个球，则两次都摸到白球的概率是( ) A.1 2 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 12 5．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( ) A．12 B．15 C．18 D．21 6．用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个转出蓝色即可配成紫色．那么可配成紫色的概率是( ) A.1 4 B. 3 4 C. 1 3 D. 1 2 7．假定鸟卵孵化后，雏鸟为雌与雄的概率相同．如果三枚卵全部成功孵化，那么三只雏鸟中有两只雌鸟的概率是( ) A.1 6 B. 3 8 C. 5 8 D. 2 3 8．一个布袋内只装有1个黑球和2个白球，这些球除颜色外其余都相同，随机摸出一个球后放回并搅匀，再随机摸出一个球，则两次摸出的球都是黑球的概率是( ) A.4 9 B. 1 3 C. 1 6 D. 1 9 9．学校组织校外实践活动，安排给九年级三辆车，小明与小红都可以从这三辆车中任选一辆搭乘，小明与小红同车的概率是( ) A.1 9 B. 1 6 C. 1 3 D. 1 2 10．有一箱子装有3张分别标示为4，5，6的号码牌，已知小武以每次取一张且取后不放回的方式，先后取出2张牌，组成一个两位数，取出第1张牌的号码为十位数，第2张牌的号码为个位数，若先后取出2张牌组成两位数的每一种结果发生的机会都相同，则组成的两位数为6的倍数的概率为( ) A.1 6 B. 1 4 C. 1 3 D. 1 2 11．小明和小亮做游戏，先是各自背着对方在纸上写一个不大于100的正整数，然后都拿给对方看．他们约定：若两人所写的数都是奇数或都是偶数，则小明获胜；若两个人所写的数一个是奇数，另一个是偶数，则小亮获胜．这
一、选择题 1.将一个篮球和一个足球随机放入三个不同的篮子中，则恰有一个篮子为空的概率为( ) A．2 3B．1 2 C．1 3 D．1 6 2.在课外实践活动中，甲、乙、丙、丁四个小组用投掷一元硬币的方法估算正面朝上的概率，其实 验次数分别为10次、50次、100次、200次，其中实验相对科学的是( ) A．甲组B．乙组C．丙组D．丁组 3.学校要举行运动会，小亮和小刚报名参加100米短跑项目的比赛，预赛分A，B，C三组进行， 小亮和小刚恰好在同一个组的概率是( ) A．1 2B．1 3 C．1 6 D．1 9 4.在一个不透明的袋子中只装有黑，白两种颜色的球，这些球的形状，质地等完全相同，其中白色 球有2个，黑色球有n个，从袋子中随意摸出一个球，记下颜色后，放回袋子中并摇匀．同学们进行了大量重复试验，发现摸出白球的频率稳定在0.4附近，则n的值为( ) A．2B．3C．4D．5 5.从长度分别为1，3，5，7的四条线段中任取三条为边，能构成三角形的概率为( ) A．1 2B．1 3 C．1 4 D．1 5 6.将一枚质地均匀的硬币先后抛掷两次，则至少出现一次正面向上的概率为( ) A．3 4B．2 3 C．1 2 D．1 4 7.一个不透明的盒子中装有4个除颜色外都相同的小球，其中3个是白球，1个是红球，从中随 机同时摸出两个小球，那么摸出小球的颜色不同的概率为( ) A．1 2B．1 3 C．1 4 D．2 3 8.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有3个红球，若每次将 球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值约为( ) A．12B．15C．18D．21
第三章概率的进一步认识 一选择题(共10小题,每小题3分,共30分.每小题有四个选项,其中只有一个选项符合题意) 1.用频率估计概率,可以发现抛掷硬币“正面向上”的概率为0.5,那么掷一枚质地均匀的硬币10次,下列说法正确的是() A.每两次必有1次正面向上B.可能有5次正面向上 C.必有5次正面向上 D.不可能有10次正面向上 2.在“众志成城,共战疫情”党员志愿者进社区服务活动中,小晴和小霞分别从“A,B,C三个社区”中随机选择一个参加活动,两人恰好选择同一社区的概率是() A.1 3B.2 3 C.1 9 D.2 9 3.从马鸣、杨豪、陆畅、江宽四人中抽调两人参加“寸草心”志愿服务,恰好抽到马鸣和杨豪的概率是() A.1 12B.1 8 C.1 6 D.1 2 4.在一个不透明的口袋中装有5个黑球和若干个白球,这些球除颜色不同外,其余均相同.在不允许将球倒出来的前提下,小明为估计口袋中白球的个数,采用了如下方法:将口袋中的球搅拌均匀,从口袋中随机摸出一个球,记下颜色,把它放回口袋中.不断重复上述过程,小明共摸了200次球,其中有50次摸到黑球.根据上述数据,小明估计口袋中白球有() A.5个 B.10个 C.15个 D.20个 5.某校决定从三名男生和两名女生中选出两名同学担任校艺术节文艺演出专场的主持人.则选出的恰为一男一女的概率是() A. 1 2B.1 3 C.2 5 D.3 5 6.)若从1,2,3,4这四个数字中任选一个记为a,再从这四个数字中任选一个记为c,则关于x的一元二次方程 ax2+4x+c=0没有实数根的概率为() A.1 4B.1 3 C.1 2 D.2 3 7.一个不透明的袋子中装有3个白球,2个黑球,它们除颜色外都相同.将球摇匀后,从中随机摸出一个球,记下颜色后不放回,再随机摸出一个球.两次摸到的球颜色相同的概率是() A.2 3B.2 5 C.13 25 D.13 20 8.我们把“十位上的数字比个位、百位上的数字都要大的三位数”叫做“A数”,如“371”就是一个“A数”.若十位上的数字为4,则从1,2,3,5中任取两个不同的数,能与4组成“A数”的概率为() A.1 2B. 1 4 C.3 10 D.3 4 9.在平面直角坐标系中,已知四个点的坐标分别为A1(1,0),A2(2,0),B1(0,1),B2(0,2),在A1,A2和B1,B2中各取一个点,与原点O连接构成三角形,则所得三角形是等腰三角形的概率是() A.3 4B.1 3 C.2 3 D.1 2 10.如图是用画树状图的方法画出的某个试验的所有可能发生的结果,则这个试验不可能是()
一、选择题 1.在−2，−1，0，1，2这五个数中任取两数m，n，则二次函数y=(x−m)2+n的图象的顶点 在坐标轴上的概率为( ) A．2 5B．1 5 C．1 4 D．1 2 2.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个 转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是( ) A．3 12B．5 12 C．3 8 D．5 8 3.盒子中有白色乒乓球和黄色乒乓球若干个，某同学进行了如下试验：每次摸出一个乒乓球记下它 的颜色后再放回，如此重复360次，摸到白色乒乓球90次，由此估计摸到白色乒乓球的概率为( ) A．3 4B．1 2 C．1 3 D．1 4 4.布袋中有除颜色外完全相同的5个红球，2个黄球，3个白球，从布袋中同时随机摸出两个球都 是红球的概率为( ) A．2 9B．1 4 C．17 18 D．1 2 5.布袋中有红、黄、蓝三种颜色的球各一个，其除了颜色外均完全相同，从中摸出一个球之后不放 回布袋，再摸第二个球，这时得到的两个球的颜色中有“一红一黄”的概率是( ) A．1 6B．2 9 C．1 3 D．2 3 6.同时抛掷两枚质地均匀的硬币，则一枚硬币正面向上、一枚硬币反面向上的概率是( ) A．1 4B．1 3 C．1 2 D．2 3 7.现有三张正面分别标有数字−1，2，3的不透明卡片，它们除数字外其余完全相同，将它们背面 朝．上洗均匀，随机抽取一张，记下数字后放回，背面朝上洗均匀，再随机抽取一张记下数字，
前后两次抽取的数字分别记为m，n，则点P(m,n)在第二象限的概率为( ) A．1 2B．1 3 C．2 3 D．2 9 8.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球．若每次将 球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( ) A．16B．20C．24D．28 9.太原是我国生活垃圾分类的46个试点城市之一，垃圾分类的强制实施也即将提上日程．根据规 定，我市将垃圾分为了四类：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾（如图）．现有投放这四类垃圾的垃圾桶各1个，若将用不透明垃圾袋分类打包好的两袋不同垃圾随机投进两个不同的垃圾桶，则投放正确的概率是( ) A．1 6B．1 8 C．1 12 D．1 16 10.在一个暗箱里放有P个除颜色外完全相同的球，这P个球中红球只有3个．每次将球充分摇匀 后，随机从中摸出一球，记下颜色后放回．通过大量的重复试验后发现，摸到红球的频率在20%，由此可推算出P约为( ) A．15B．12C．9D．6 二、填空题 11.口袋中装有一个红球和一个黄球，它们除了颜色外都相同，随机从中摸出一球，记录下颜色后放 回袋中，充分摇匀后，再随机摸出一球，两次都摸到黄球的概率是． 12.在两个不透明的口袋中分别装有三个颜色分别为红色、白色、绿色的小球，这三个小球除颜色外 其余都相同，若分别从两个口袋中随机取出一个小球，则取出的两个小球颜色相同的概率是( )． 13.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五个小球，这些球除了标号外都相同，从中随机摸出两 个小球，则摸出的小球标号之和大于6的概率为．
一、选择题 1.从−2，−1，2这三个数中任取两个不同的数相乘，积为正数的概率是( ) A．2 3B．1 2 C．1 3 D．1 4 2.如图．随机闭合开关K1，K2，K3中的两个，则能让两盏灯泡L1，L2同时发光的概率为( ) A．1 6B．1 2 C．2 3 D．1 3 3.一个不透明的袋子中装有20个红球和若干个白球，除颜色外无其他差别，若小英每次从袋子中 随机摸出一个球，记下颜色后再放回，经过多次重复试验，小英发现摸到红球的频率逐渐稳定于0.4，则估计袋子中白球的个数约为( ) A．50B．30C．12D．8 4.某学习小组做“用频率估计概率的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示折线统计 图，则符合这一结果的试验最有可能的是( ) A．掷一枚正六面体的骰子，出现1点朝上 B．任意写一个整数，它能被2整除 C．不透明袋中装有大小和质地都相同的1个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球D．先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面 5.图是物理课上李老师让小刘同学连接的电路图，现要求：随机同时闭合开关S1，S2，S3，S4中的 两个算一次操作，则小刘同学操作一次就能使灯泡⨂发光的概率是( )
A．1 2B．1 3 C．1 4 D．3 4 6.有一则笑话：妈妈正在给一对双胞胎洗澡，先洗哥哥，再洗弟弟，刚把两人洗完，就听到两个小 家伙在床上笑，“你们笑什么？”妈妈问“妈妈！”老大回答，“您给弟弟洗了两回，可是还没给我洗呢！”此事件发生的概率为( ) A．1 4B．1 3 C．1 2 D．1 7.一个不透明的袋子里装有两双只有颜色不同的手套，小明已经摸出一只手套，他再任意摸取一只， 恰好两只手套凑成同一双的概率为( ) A．1 4B．1 3 C．1 2 D．1 8.一个密闭不透明的盒子里由若干个白球，在不允许将球倒出来数的情况下，为估计白球的个数， 小刚向其中放入10个黑球，摇匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子，不断重复，共摸球200次，其中40次摸到黑球，则可以估计盒中大约有白球( ) A．30个B．35个C．40个D．50个 9.传说中的小李飞刀，飞刀绝技高超，飞刀靶心的命中率为99%，在一次飞刀演练中，前99次均 命中靶心，那么他的第100次飞刀命中靶心的概率为( ) A．99%B．100%C．50%D．0 10.在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从 袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有( ) A．5个B．15个C．20个D．35个 二、填空题
一、选择题 1.随机掷三枚硬币，落地后全部正面朝上的概率是( ) A．1B．1 2C．1 4 D．1 8 2.如图所示的两个转盘分别被均匀地分成5个和4个扇形，每个扇形上都标有数字，同时自由转 动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是( ) A．1 5B．3 10 C．2 5 D．1 2 3.一个盒子里装有两个红球，两个白球和一个篮球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出个球， 记下颜色后放回，再从中随机摸出一个球，两次摸到的球的颜色能配成紫色（红色和蓝色能配成紫色）的概率为( ) A．3 25B．4 25 C．6 25 D．8 25 4.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏；分别旋转两个转盘，若其中一个转出红色，另一个 转出蓝色即可配成紫色，那么可配成紫色的概率是( ) A．3 12B．5 12 C．3 8 D．5 8 5.学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一 男一女的概率是( ) A．1 3B．1 2 C．2 3 D．3 4 6.有A，B两粒质地均匀的正方体骰子（骰子每个面上的点数分别为1，2，3，4，5，6），小王掷A，朝上的数字记作x；小张掷B，朝上的数字记作y．在平面直角坐标系中有一矩形，四个点的坐标分别为(0,0)，(6,0)，(6,4)和(0,4)，小王，小张各掷一次所确定的点P(x,y)落在矩形内（不含矩形的边）的概率是( )
A．2 3B．5 12 C．1 2 D．7 12 7.某居委会组织两个检查组，分别对“垃圾分类”和“违规停车”的情况进行抽查，各组随机抽取辖区内 某三个小区中的一个进行检查，则两个组恰好抽到同一个小区的概率是( ) A．1 9B．1 6 C．1 3 D．2 3 8.一个不透明的布袋中有分别标着数字1，2，3，4的四个乒乓球，现从袋中随机摸出两个乒乓球， 则这两个乒乓球上的数字之和大于5的概率为( ) A．1 6B．1 3 C．1 2 D．2 3 9.在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，这a个球中只有4个红球．若每次将 球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子．通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a的值大约为( ) A．16B．20C．24D．28 10.同时抛掷两枚质地均匀的正六面体骰子，两枚骰子向上点数之积为偶数的概率是( ) A．1 2B．1 3 C．2 3 D．3 4 二、填空题 11.如图所示的转盘被分成面积相等的四个扇形，分别涂有红、黄、蓝、绿四种颜色．固定指针，自 由转动转盘两次，每次停止后，记下指针所指区域（指针指向区域分界线时，忽略不计）的颜色，则两次颜色相同的概率是． 12.有A，B两个黑布袋，A布袋中有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2， 3；B布袋中有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A布袋中随机取出一个小球，用m表示取出的球上标有的数字，再从B布袋中随机取出一个小球，用n表示取出的球上标有的数字．若用(m,n)表示小明取球时m与n的对应值，则使关于x的一元二次方程x2−mx+1 2 −n=0有实数根的概率为．