第一章思考题（2006）
1。1观测条件是由那些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？
1.2 观测误差分为哪几类?它们各自是怎样定义的?对观测结果有什么影响？试举例说明.
1。3用钢尺丈量距离，有下列几种情况使得结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号：
（1）尺长不准确；
（2）尺不水平;
（3）估读小数不准确;
（4）尺垂曲；
尺端偏离直线方向。
1.4 在水准了中,有下列几种情况使水准尺读书有误差，试判断误差的性质及符号:
（1）视准轴与水准轴不平行；
（2） 仪器下沉;
（3） 读数不准确；
水准尺下沉。
1.5 何谓多余观测?测量中为什么要进行多余观测？
第二章思考题
2。1
为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角'"450000α=作12次
同精度观测，结果为:
'"450003
'"450004
'"450000
'"
455958 '"
455959 '"
455959 '"450006 '"450003
设a 没有误差，试求观测值的中误差。
2.2 已知两段距离的长度及中误差分别为300。465m ±4。5cm 及660。894m ±4.5cm ，试说明这两段距离的真误差是否相等?他们的精度是否相等？ 2.3 设对某量进行了两组观测，他们的真误差分别为： 第一组:3，—3,2，4,—2，—1，0，—4，3，-2 第二组：0，—1，—7，2，1,—1，8，0,-3，1
试求两组观测值的平均误差1ˆθ、2
ˆθ和中误差1ˆσ、2ˆσ,并比较两组观测值的精度。 2.4 设有观测向量1
221
[]T X L L =,已知1ˆL σ
=2秒,2ˆL σ=3秒,122ˆ2L L σ=-秒，试写出其协方差阵22XX
D
。
2.5 设有观测向量1
2
331
[]T X L L L =的协方差阵334202930316XX
D
-⎡⎤
⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦
,试写出观测值
L 1，L 2,L 3的中误差及其协方差12L L σ、13L L σ和23L L σ。
2。6名词解释：精度，准确度、精确度、不确定度。
第三章思考题
3。1 下列各式中的()1,2,3i L i =均为等精度独立观测值，其中误差为σ，试求X 的中
误差：
（1）()1231
2X L L L =++； （2)123
L L
X L =
3。2 已知观测值1L ，2L 的中误差12σσσ==，120σ=,设11225,2X L Y L L =+=-，12Z L L =，t X Y =+，试求X ，Y,Z 和t 的中误差。
3。3
设有观测向量[]1
2
331
T
L L L L =，其协方差阵为
400030002LL D ⎡⎤
⎢⎥=⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
分别求下列函数的的方差：
（1）1133F L L =-; （2）2233F L L = 3。4
设有同精度独立观测值向量[]
1
2
331
T
L L L L =的函数为
1
13
sin sin AB
L Y S L =,22AB Y L α=-，式中AB α和AB S 为无误差的已知值,测角误差1"σ=,试求函数的方差12
y σ、22
y σ及其协方差12y y σ
3.5 在图中△ABC 中测得A A σ∠±，边长b b σ±，c c σ±，试求三角形面积的中误差s σ.
3.6 在水准测量中,设每站观测高差的中误差均为1mm ，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm ，问可以设多少站? 3。7 有一角度测4个测回，得中误差为0。42〃，问再增加多少个测回其中误差为0。28〃？ 3。8 在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点A ，B,C 之间的高差，设三角形的边长分别为S 1=10km,S 2=8km ，S 3=4km ，令40km 的高差观测值权威单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。
3.9 以相同观测精度A ∠和B ∠，其权分别为14A P =，1
2
B P =，已知8"B σ=，试求单位权中误差0A σ∠和的中误差A σ。 3。10 已知观测值向量21L 的权阵为5224LL P -⎡⎤
=⎢⎥-⎣⎦
，试求观测值的权1L P 和2L P
第四章思考题
4。1 几何模型的必要元素与什么有关？必要元素就是必要观测数吗？为什么？
4.2 必要观测值的特性是什么？在进行平差前，我们首先要确定哪些量?如何确定几何模型中的必要元素?试举例说明。
4.3 在平差的函数模型中，n ，t ，r ，u ,s ，c 等字母代表什么量？它们之间有什么关系？ 4。4 测量平差的函数模型和随机模型分别表示那些量之间的什么关系？ 4。5 最小二乘法与极大似然估计有什么关系？
第五章条件平差习题
第七章思考题
7.1 如图闭合水准网中,A 为已知点,高程为10.000A H m ，P1，P2为高程未知点，观测高
差及路线长度为:
h 1=1。352m, S1=2 km ； h 2=-0.531m ， S2=2 km ； h 3=-0。826m, S3=1 km ;
试用间接平差求各高差的平差值.
7.2 图中A 、B 、C 为已知点，P 为为待定点，网中观
测了3条边长L 1～L 3，起算数据及观测数据均列于表中,现选待定点坐标平差值为参数，其坐标近似值为(57578.93m ，70998。26m ）,试列出各观测边长的误差方程式.
点号
坐标
X/m Y/m
A 60509。596 69902。525
B 58238.935 74300。086
C 51946。286 73416.515
边号 L1 L2 L3 观测值/m
3128.86
3367.20
6129.88
7。3 下图水准网中，A 、B 为已知点P 1～P 3为待定点，观测高差h 1～h 5，相应的路线长度为4 km ，2 km ,2 km ，2 km ，4 km ,若已知平差后每千米观测高差中误差的估值为3 mm ，试求P 2点平差后高差的中误差。
7.4 在间接平差中，ˆX
与ˆL
，ˆL 与V 是否相关？试证明.
7。5 有水准网如图，A 、B 、C 、D 为已知点，P 1、P 2为待定点，观测高差h 1~h 5，路线长度为S 1=S 2=S 5=6 km ，S 3=8 km ，S 4=4 km ，若要求平差后网中最若点高程中误差≤5 mm ，试估计该网每千米观测高差中误差为多少？
第八章思考题
8.1 附有限制条件的间接平差中的限制条件与条件平差中的条件方程有何异同？
8.2 附有限制条件的间接平差法适用于什么样的情况?解决什么样的平差问题？在水准测量平差中经常采用此平差方法吗？
8.3 在图中的大地四边形中，A 、B 为已知点，C 、D 为为待定点,现选取L3，L4，L5,L6，
L8的平差值为参数，记为125
ˆˆˆ,,X X X ，列出误差方程和条件方程。
8。4如图水准网中，A 为已知点,高程为10.000A H m =，观测高差及路线长度为： 线路
h/m S /km 1
2.563 1 2
-1.326 1 3
—3.885 2 4
-3。883 2
若设参数12334ˆˆˆˆˆˆˆT
T B X X X X H h h ⎡⎤⎡⎤==⎣⎦⎣⎦,定权时C=2 km ，试列出： （1）误差方程和限制条件
（2）法方程式
8.5试证明在附有限制条件的间接平差中：（1）改正数向量V 与平差值向量ˆL
互不相关；(2）联系数s K 与未知数的函数0ˆˆT f x f ϕ
=+互不相关。 第九章思考题
9。1 何谓一般条件方程?何谓限制条件方程?它们之间有什么区别？
9.2 什么是概括平差函数模型？指出此模型的主要作用是什么。
9。3 某平差问题有15个同精度观测值，必要观测数等于8，现取8个参数，且参数之间一个限制条件。若按附有限制条件的的条件平差法进行平差，应列出多少个条件方程和限制条件方程？其法方程有几个？
9。4 概括平差函数模型的方程数是否和附有参数的条件平差的方程数一样？其中r 、u 、c 和s 各表示什么量？
9.5 在条件平差中，试证明估计量ˆL
具有无偏性。
第十章思考题
10。1 在某测边网中，设待定点P 1的坐标为未知参数，即[]11ˆT
X X Y =，平差后得到ˆX 的协因数阵为ˆˆ0.250.150.150.75XX Q ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦
，且单位权方差220ˆ 3.0cm σ=, （1）计算P 1点纵、横坐标中误差和点位中误差；
（2）计算P 1点误差椭圆三要素E E F ϕ、、;
（3）计算P 1点在方位角为90方向上的位差.
10.2
如何在P 点的误差椭圆图上，图解出P 点在任意方向ψ上的位差ψσ？ 10.3 某平面控制网经平差后求得P 1、P 2两待定点间坐标差的协因数阵为：
()()
2ˆˆˆˆ2ˆˆˆˆ32/"23X X X Y Y X Y Y Q Q cm Q Q ∆∆∆∆∆∆∆∆-⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦单位权中误差为"0ˆ1σ=,试求两点间相对误差椭圆的三个参数。
10。4 已知某三角网中P 点坐标的协因数阵为:
()()
22ˆˆ 2.100.25/"0.25 1.60XX Q cm -⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦
单位权方差估计值()22"0ˆ 1.0σ=，求 （1）位差的极值方向E F ϕϕ和； (2）位差的极大值E 和极小值F ;
（3)P 点的点位方差
（4）30ψ=方向上的位差
（5)若待定点P 点到已知点A 的距离为9.55km,方位角为217.5,则AP 边的边长相对中误差
为多少？
10。5 由A 、B 、C 三点确定P 1点坐标ˆˆˆT
P P X X Y ⎡⎤=⎣⎦,同精度观测了6个角度，观测精度为βσ，平差后得到ˆX 的协因数阵为()()
22ˆˆ 1.50/"0 2.0XX Q cm ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦,且单位权中误差为0ˆ 1.0cm σ
=,已知BP 边边长约为300m ，AP 边边长为220m ，方位角90AB α=，平差后角度13000'00"L =，试求测角中误差βσ
.
测量平差 第二章思考题 1 为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角'" 450000α= 作12次同精度观测，结果为： '"450006 '"455955 '"455958 '"450004 '"450003 '"450004 '"450000 '"455958 '"455959 '"455959 '"450006 '"450003 设a 没有误差，试求观测值的中误差。 2 已知两段距离的长度及中误差分别为300.465m ±4.5cm 及660.894m ±4.5cm ，试说明这两段距离的真误差是否相等？他们的精度是否相等？ 3 设对某量进行了两组观测，他们的真误差分别为： 第一组：3，-3，2，4，-2，-1，0，-4，3，-2 第二组：0，-1，-7，2，1，-1，8，0，-3，1 试求两组观测值的平均误差1?θ、2 ?θ和中误差1?σ、2?σ，并比较两组观测值的精度。 4 设有观测向量1221 []T X L L =，已知1?L σ =2秒，2?L σ=3秒，122?2L L σ=-秒，试写出其协方差阵22XX D 。 5 设有观测向量12331[]T X L L L =的协方差阵334202930316XX D -????=--????-??，试写出观测值L 1，L 2，L 3的中误差及其协方差12L L σ、13L L σ和23L L σ。 答案： 2.1 ? 3.62"σ = 2.2 它们的真误差不一定相等，相对精度不相等，后者高于前者 2.3 1?θ=2.4 2 ?θ=2.4 1?σ=2.7 2?σ=3.6 两组观测值的平均误差相同，而中误差不同，由于中误差对大的误差反应灵敏，故通常采用 中误差做为衡量精度的的指标，本题中1?σ <2?σ，故第一组观测值精度高 2.4 22242()29XX D -??= ?-?? 秒 2.5 1L σ=2, 2L σ=3, 34L σ=,122L L σ=-,130L L σ=,233L L σ=-
测量学复习思考题 第一章绪论 一、填空题 1．测量学可分为普通、大地、摄影、工程等分支学科。2．测量的三 项基本工作是距离测量、角度测量、高程测量 2．地面任一点到假定水准面的垂直距离称为该点的相对高程。3．测 量工作的目的是要确定地面上各点的地物和地貌4．确定地面点在椭球面 上的位置是用和来表示的。5．同一条上各点的经度相等，同一条上各点 的纬度相等。6．决定参考椭球形状和大小的元素有半轴，和扁率。7．通 过静止的平均海水面的水准面，称为大地水准面。 1、既表示有地物，又表示有地貌的图，称为（3）。 ①平面图②地图③地形图④断面图 2、经度由首子午面起向东量度称为东径，其取值范围为（）。①0～90°②0～180°③0～270°④0～360° 3、过N点的子午面与首子午面的 夹角，即为该点的（）。 ①经度②纬度③方位角④象限角4、赤道与地球表面的交线称为赤道，它是（）的起算面。 ①经度②纬度③方位角④象限角5.地面点的空间位置是用（）来表 示的。 ①地理坐标②平面直角坐标③坐标和高程 6．绝对高程的起算面是（2）。
①水平面②大地水准面③假定水准面 7．地面上某点在高斯平面直角坐标系(6°带)的坐标某=3430152米，y=20637680米，则该点位于第（）投影带，中央子午线经度是（）。 ①19116°②20117°③34116°④34117° 8．北京地区的地理坐标为北纬39°54′，东经116°28′。按高斯6°带投影，该地区位于第（）投影带，所在投影带中央子午线的经度为（）。 ①19116°②19117°③20116°④20117°三、简答题 1．什么叫测量学？测图和测设有何区别？2．测量工作的基准面和基 准线是什么？ 3．水准面、大地水准面和大地体这几个概念有什么不同？水准面有 什么特性？4、什么是绝对高程，相对高程、高差？5、测量学中常用的坐 标系统有哪些？ 6、测量工作应遵循的原则是什么？为什么要遵循它 7、测量上的平面直角坐标系与数学中的平面直角坐标系有何区别？ 四、计算题 1．根据1956年黄海高程系，测算得A点高程为213.464米，B点高 程为214.529米，试计算改用1985年国家高程基准后，A、B两点的高程 及高差。 2．某点的经度为118°50′，试计算它所处的6°带和3°带的带号 的中央子午线的经度是多少。3、设我国某点A的横坐标为
第三章思考题 3.1 下列各式中的()1,2,3i L i =均为等精度独立观测值，其中误差为σ，试求X 的中误差： （1）()12312 X L L L =++； （2）12 3 L L X L = 3.2 已知观测值1L ，2L 的中误差12σσσ==，120σ=，设11225,2X L Y L L =+=-， 12Z L L =，t X Y =+，试求X ，Y ，Z 和t 的中误差。 3.3 设有观测向量[]1 2 331 T L L L L =，其协方差阵为 4 000300 2LL D ?? ??=?????? 分别求下列函数的的方差： （1）1133F L L =-； （2）2233F L L = 3.4 设有同精度独立观测值向量[]1 2 3 31 T L L L L =的函数为113 s i n s i n AB L Y S L =， 22AB Y L α=-，式中A B α和AB S 为无误差的已知值，测角误差1"σ=，试求函数的方差1 2 y σ、 2 2 y σ 及其协方差12 y y σ 3.5 在图中△ABC 中测得A A σ∠±，边长b b σ±，c c σ±，试求三角形面积的中误差s σ 。 3.6 在水准测量中，设每站观测高差的中误差均为1mm ，今要求从已知点推算待定点的高程中误差不大于5cm ，问可以设多少站？ 3.7 有一角度测4个测回，得中误差为0.42〃，问再增加多少个测回其中误差为0.28〃？ 3.8 在相同观测条件下，应用水准测量测定了三角点A ，B ，C 之间的高差，设三角形的边
长分别为S 1=10km ，S 2=8km ，S 3=4km ，令40km 的高差观测值权威单位权观测，试求各段观测高差之权及单位权中误差。 3.9 以相同观测精度A ∠和B ∠，其权分别为14 A P =，12 B P =，已知8"B σ=，试求单位 权中误差0A σ∠和的中误差A σ。 3.10 已知观测值向量21L 的权阵为522 4LL P -?? =? ?-?? ，试求观测值的权1L P 和2L P 答案： 3.1 (1)x σ= , (2)3 x L σ= 3.2 2x σσ=,y σ=,z σ= ,t σ= 3.3 1 22F D =,22 2 231827F D L L =+ 3.4 ()1 222 2 2 113"2 2 3 cos sin cot sin AB y S L L L L σ ρ = +? ()222 1y σ=秒 12 0y y σ = 3.5 s σ= 3.6 最多可设25站 3.7 再增加5个测回 3.8 1 4.0P =，2 5.0P =，310.0P =，0()km σ= 3.9 "0 5.66σ=，" 11.31A σ= 3.10 1 4L P =，2 165 L P =
第五章条件平差习题
第五章思考题参考答案 5.1（a）n=6，t=3，r=3 （b）n=6，t=3，r=3 （c）n=14，t=5，r=9 5.2（a）n=13，t=6，r=7 共有7个条件方程，其中有5个图形条件，2个极条件。 （b）n=14，t=8，r=6 共有6个条件方程，其中有3个图形条件，3个极条件。 （c）n=16，t=8，r=8 共有8个条件方程，其中有6个图形条件，2个极条件。 （d）n=12，t=6，r=6 共有6个条件方程，其中有4个图形条件，1个圆周条件，1个极条件。 5.3n=23，t=6，r=17 共有17个条件方程，其中有9个图形条件，1个圆周条件，1个固定角条件，1个固定边条件，5个极条件。 5.4 （1）n=22，t=9，r=13：7个图形条件，1个圆周条件，2个极条件，2个边长条件，一个基线条件。 （2）
128 379 41314 121520 11171819 561016 6101119 910111213 510???1800???1800???1800???1800????1800????1800????1800?????1800???sin sin sin L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L L ++-=++-=++-=++-=+++-=+++-=+++-=++++-=17196111620 361418471519 2211151217 121318124 ?sin 1()????sin sin sin sin ????sin sin sin sin 1()????sin sin sin sin ??()????sin sin sin sin ??(????sin sin sin sin FG FG L L L L L L L L L L L L L S S S S L L L L S S L L L L ===→=以大地四边形中心为极以中点四边形D 点为极的边长条件1213611891719 ??)????sin sin sin sin ????sin sin sin sin FG AB S S L L L L S S L L L L →=的边长条件（基线条件） 5.5 n=8，t=4，r=4；有多种条件方程的列法，其中之一为： 1001000 100110000120001001104000011014V ????????-????-=????--????---????（注意常数项单位为mm ） 5.6 （1）P=3/2，（2）P=1 5.7 （1）P B =1.6，P C =2.1，P D =2.1，P E =1.6 （2）P hCD =1.8 5.8 []? 2.4998 1.9998 1.3518 1.8515h = 2 P σ=0.32(mm)
第一章 习题参考答案 1题.略 2题.解 (1)2 22 194σσ+ （2）2221212 219) 3(σσL L L +- (3) 2 22 212211212 212211211")(cos )sin(sin ")(cos )sin(sin )cos(cos σρσρ??? ? ??+++???? ??++++L L L L L L L L L L L L L 3题. 解T T T LL XY LL YL LL XL B A AD D BAD D AD D ===,, 4题. 解 设路线总长S 公里，按照测量学上的附合路线计算步骤，则路线闭合差 B A h H h h H f -++=21 由于是路线中点，故()B A h H h h H f v v -++-===21212 1 21 则线路中点高程 ()()B A B A B A A A H H h h H H h h H h h H h H v h H H ++???? ????? ??-=++-=-++-+=-+=21212 1 2 12121212 1?212121111中点 设每公里高差观测中误差为0σ，则021)2/(σσσs h h ==按误差传播定律 ) (16,104 25)52/(41)52/(41)2/(41 )2/(41414121210021212222 0202222 ?2 1121km S S s s s s h h h h H ≤≤=??+??=?+?=+=? ???? ? ??-??????????? ??-=σσσσσσσ中点 5.解 设每个测回的中误差为0σ，需要再增加n 个测回，则
一、 正误判断（正确“T ”，错误“F ”每题1分，共10 分）。 1．已知两段距离的长度及中误差分别为128.286m ±4.5cm 与218.268m ±4.5cm ，则其真误差与精度均相同（ ）。 2．如果X 与Y 的协方差0xy σ=，则其不相关（ ）。 3．水准测量中，按公式i i c p s =（i s 为水准路线长）来定权，要求每公里高差精度相同（ ）。 4．可用误差椭圆来确定待定点与待定点之间的某些精度指标（ ）。 5．在某一平差问题中，观测数为n ，必要观测数为t ，参数个数u ＜t 且不独立，则该平差问题可采用附有参数的条件平差的函数模型。（ ）。 6．由于同一平差问题采用不同的平差方法得到的结果不同，因此为了得到最佳平差结果，必须谨慎选择平差方法（ ）。 7．根据公式() 222220cos sin 0360E F θσθθθ=+≤≤得到的曲线就是误差椭圆（ ） 。 8．对于特定的平面控制网，如果按间接平差法解算，则误差方程的个数是一定的（ ）。 9．对于同一个观测值来说,若选定一定权常数0σ，则权愈小，其方差愈小，其精度愈高（ ）。 10．设观测值向量,1 n L 彼此不独立，其权为()1 ,2,,i P i n =，12(,, ,)n Z f L L L =，则有 2 22 1122 111 1 Z n n f f f P L P L P L P ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∂∂∂=+++ ⎪ ⎪ ⎪∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝⎭（ ）。 二、填空题（每空2分，共24分）。 1、设对某三角网进行同精度观测，得三角形角度闭合差分别为：3秒，-3秒，2秒，4秒，-2秒，-1秒，0秒，-4秒，3秒，-2秒，则测角中误差为 秒。 2、某平差问题函数模型)(I Q =为⎪⎪⎩⎪⎪⎨ ⎧=-=--=+-+=--0 ˆ0306051 5 4 43 1 2 1x v v v v v v v v ，则该 函数模型为 平差方法的模型；=n ，=t ，=r ，=c ， =u 。 共 4 页第 1 页 3、已知观测值向量21 L 的协方差阵为⎥⎦ ⎤⎢ ⎣⎡--=3112LL D ，协因数51 12-=Q ，试求观测值的
绪论 1.平差问题的函数模型的随机模型，无非以下几种： 函数模型中系数阵是列满秩还是秩列亏； 待估参数是非随机量还是随机量或者两者兼有； 观测量的协方差阵是满秩还是奇异； 2.以不同的准则来求定未知参数的最佳估计，得到不同的估计方法，经典的测量平差 方法都是以最小二乘估计或者极大似然估计为根据导出的；滤波、配置和动态系统的卡尔曼滤波，最初是以极大验后估计或者最小方差估计导出的。 3.有偏估计是为了克服法方程病态的问题的平差方法，病态又称为法方程的复共线性。 P163 （论述题） 4.简述引起测量平差法方程系数矩阵病态的原因及其后果，通常采用什么方法解决这 一问题，采用何种指标评价参数估值的精度？（在第一章讲过）（秩亏是用秩亏自由网平差，病态用有偏估计） 原因：误差方程的系数矩阵存在着很弱的弱相关性，弱相关性也称复共线性。法方程中系数和常数项存在舍入误差而产生微小变化时，引起的解的很大差异。这种情况下法方程系数阵的性质不好，称为病态方程。 后果：一旦存在病态性，法方程系数上的微小误差会导致方程的解完全被扭曲。最小二乘解不稳定。 解决方法：采用有偏估计，包括岭估计、广义岭估计、主成分估计等等有偏估计方法。 评定精度的指标：（在经典平差里面用参数估值的方差评定精度，在广义平差里面用参数估计误差的方差评定精度）在有偏估计中采用均方误差MSE（X尖）来评定精度，均方误差用来衡量参数与其真值的偏离程度。（参数与数学期望间的偏离程度是方差） 5.随着测绘科学技术的变革和不断发展，经典测量平差理论已经不能满足现代测量数 据处理，根据自己的理解论述现代测量数据处理的发展方向。（PPT里面有） 1.从法方程系数矩阵满秩扩展到法方程系数矩阵亏秩 2.从仅处理静态数据扩展到处理动态数据 3.从无偏估计扩展到有偏估计 4.从线性模型的参数估计扩展到非线性模型的参数估计 5.从待估参数为非随机量扩展到待估参数为随机量 6.从观测值仅含偶然误差扩展到含有系统误差和粗差 7.从主要研究函数模型扩展到深入研究随机模型 经典—非随机 广义---随机 6.经典平差对观测误差的基本假设是？答：观测误差仅含有偶然误差 经典平差的基本假设：（局限性） 1）系统是静态的2）有足够的起算数据 3）观测值是随机变量，参数是非随机变量4）观测误差为偶然误差 5）观测值函数独立6）平差准则为V T PV = min 7.经典平差---未知参数为非随机参数；
第一章思考题（2006） 1。1观测条件是由那些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？ 1.2 观测误差分为哪几类?它们各自是怎样定义的?对观测结果有什么影响？试举例说明. 1。3用钢尺丈量距离，有下列几种情况使得结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号： （1）尺长不准确； （2）尺不水平; （3）估读小数不准确; （4）尺垂曲； 尺端偏离直线方向。 1.4 在水准了中,有下列几种情况使水准尺读书有误差，试判断误差的性质及符号: （1）视准轴与水准轴不平行；
（2） 仪器下沉; （3） 读数不准确； 水准尺下沉。 1.5 何谓多余观测?测量中为什么要进行多余观测？ 第二章思考题 2。1 为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角'"450000α=作12次 同精度观测，结果为: '"450003 '"450004 '"450000 '" 455958 '" 455959 '" 455959 '"450006 '"450003 设a 没有误差，试求观测值的中误差。 2.2 已知两段距离的长度及中误差分别为300。465m ±4。5cm 及660。894m ±4.5cm ，试说明这两段距离的真误差是否相等?他们的精度是否相等？ 2.3 设对某量进行了两组观测，他们的真误差分别为： 第一组:3，—3,2，4,—2，—1，0，—4，3，-2 第二组：0，—1，—7，2，1,—1，8，0,-3，1 试求两组观测值的平均误差1ˆθ、2 ˆθ和中误差1ˆσ、2ˆσ,并比较两组观测值的精度。 2.4 设有观测向量1 221 []T X L L =,已知1ˆL σ =2秒,2ˆL σ=3秒,122ˆ2L L σ=-秒，试写出其协方差阵22XX D 。
?绪论 ?测量平差理论 ?4种基本平差方法 ?讨论点位精度 ?统计假设检验的知识 ?近代平差概论 ?绪论 §1-1观测误差 测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。 一、误差来源 观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面： 1. 测量仪器； 2. 观测者； 3. 外界条件。 二、观测误差分类 1. 偶然误差 定义，例如估读小数； 2. 系统误差 定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距； 系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差 定义，例如观测时大数读错。 误差分布与精度指标 §2-1 正态分布 概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。 一、一维正态分布 §2-2偶然误差的规律性
2. 直方图 由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。 3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线） 在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性 第三章协方差传播律及权 在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别 又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。 现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。 § 3—1 数学期望的传播
《测量平差》学习辅导
第一章测量平差及其传播定律 一、学习要点 （一）内容： 测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其 传播规律。 （二）基本要求： 1．了解测量平差研究的对象和内容； 2．掌握偶然误差的四个概率特性； 3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律； 4．了解权的定义与常用的定权方法； 5．掌握协方差传播率。 （三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。 （四）难点：协方差、协因数传播率 二、复习题 （一）名词解释 1．偶然误差 2．系统误差 3．精度 4．单位权中误差 （二）问答题 1．偶然误差有哪几个概率特性? 2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些? （三）计算题 σ的量测中误差1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，d σ。 σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s
三、复习题参考答案 （一）名词解释 1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。 2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。 3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。 4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。 （二）问答题 1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。 2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ， 则定义：22 0i p σσ=，称为观测值L i 的权。权与方差成正比。常用的定权方法有距 离丈量的权，水准测量高差的权，同精度观测值的算术平均值的权，导线测量角度闭合差的权，三角高程测量高差的权。 （三）计算题 解：S=500d=500×23.4=11700mm=11.7m 2 22500d s σσ= m mm d s 1.0100)2.0(500500±=±=±⨯==σσ 最后写成：S=11.7±0.1m
1、什么是观测量的真值？ 任何观测量，客观上总存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值。 2、什么是观测误差？ 观测量的真值与观测值的差称为观测误差。 3、什么是观测条件？ 仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件。 4、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为哪几类？ 根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。 5、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。 6、观测条件与观测质量之间的关系是什么？ 观测条件好，观测质量就高，观测条件差，观测质量就低。 7、怎样消除或削弱系统误差的影响？ 一是在观测过程中采取一定的措施；二是在观测结果中加入改正数。 8、测量平差的任务是什么？ ⑴求观测值的最或是值（平差值）； ⑵评定观测值及平差值的精度。 第二章：误差理论与平差原则 1、描述偶然误差分布常用的三种方法是什么？ ⑴列表法； ⑵绘图法； ⑶密度函数法。 2、偶然误差具有哪些统计特性？ (1) 有界性：在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。 (2) 聚中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。 (3) 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等。 (4) 抵偿性：偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0。 3、由偶然误差特性引出的两个测量依据是什么？ ⑴制定测量限差的依据； ⑵判断系统误差(粗差)的依据。 4、什么叫精度？ 精度指的是误差分布的密集或离散的程度。 5、观测量的精度指标有哪些？ (1) 方差与中误差； (2) 极限误差； (3) 相对误差。
6、极限误差是怎样定义的？ 在一定条件下，偶然误差不会超过一个界值，这个界值就是极限误差。通常取三倍中误差为极限误差。当观测要求较严时，也可取两倍中误差为极限误差。 7、误差传播律是用来解决什么问题的？ 误差传播律是用来求观测值函数的中误差。 8、应用误差传播律的实际步骤是什么？ (1) 根据具体测量问题，分析写出函数表达式),,,(21n x x x f z =； (2) 根据函数表达式写出真误差关系式 n n x x f x x f x x f z ???++???+???= ? 2211； (3) 将真误差关系式转换成中误差关系式。 9、水准测量的高差中误差与测站数及水准路线长度有什么关系？ 当各测站的观测精度相同时，水准测量的高差中误差与测站数的算术平方根成正比；当各测站的距离大致相等时，水准测量的高差中误差与水准路线长度的算术平方根成正比。 10、什么是单位权？什么是单位权中误差？ 权等于1时称为单位权，权等于1的中误差称为单位权中误差。 11、应用权倒数传播律时应注意什么问题？ 观测值间应误差独立。 12、观测值的权与其协因数有什么关系？ 观测值的权与其协因数互为倒数关系。 13、怎样计算加权平均值的权？ 加权平均值的权等于各观测值的权之和。 证明：n n L P P L P P L P P P PL x ] [][][][][2211+++== 应用权倒数传播律，有： ][1][1)][(1)][(1)][(122122221 21P P P P P P P P P P P P P P P n n n x =+++= +++= 故：][P P x =
煤炭协会网络课程《误差理论与测量平差》复习题 一、 写出五种衡量精度指标的名称，并指出他们之间的关系是什么？ 答：五种衡量精度指标的名称：方差2 σ或中误差σ，平均误差θ，或然误差ρ，相对误差和极限误差； 关系：方差n n ][lim 2 ??=∞→σ，平均误差σθ54≈，或然误差σ ρ32≈，相对误差 K m 1==观测值大小σ，极限误差=2σ或3σ。 二、 已知独立观测值1L 、2L 的中误差分别为1σ、2σ，求下列函数的中误差： （1） 2132L L x -=； （2） 2 121 32L L L x -=； （3） )cos(sin 211L L L x +=。 解 (1) 2132L L x -==[]032 21+=??? ????KL L L ， 利用协方差转播公式： T K KL x K KD D LL xx =+=则，,0 [][ ] 2 2 2122 21222 12 2212 949432323232σσσσσσσσσσ+±=+=?? ?????=?? ???????????==x x xx 则，因此，D （2）2 12132L L L x -=，此式是非线性形式，需要线性化，对上式求全微分得： []KdL dL dL L L L dL L dL L L dx =??? ????--=?-+?-=21010 212011021)3()3()3()3( 利用协方差转播公式： []2 2 2 12 12212221212 21010212221010 212 9)3(9)3()3()3()3()3(σσσσσσσσL L L L L L L L L L L L x x xx +-±=+-=? ?????--?????? ??--==则，因此，D （3） ) cos(sin 211 L L L x += ，此式是非线性形式，需要线性化，对上式求全微分得： ")(cos )sin(sin ")(cos )sin(sin )cos(cos 2 21221110212211211ρρdL L L L L L dL L L L L L L L L dx ????? ??+++????? ??++++?= 2 2 2 212211************")(cos )sin(sin ")(cos )sin(sin )cos(cos σρσρσ???? ??+++???? ??++++±=L L L L L L L L L L L L L x
《测量平差》复习题 1、观测误差产生的原因有哪些？ 2、观测条件包括哪些？观测条件与观测质量之间的关系是什么？ 3、根据误差对观测结果的影响性质，可将观测误差分为 和 两类。 4、在相同的观测条件下，对同一个量进行了若干次观测，这些观测值的精度是否相同？误差小的观测值比误差 大的观测值的精度高吗，为什么？ 5、测量平差所要研究的内容是对仅带有 误差的观测值进行适当的处理。 6、测量平差的任务是 和 。 7、真误差通常用符号 表示，其表达式可写为△= 。 8、偶然误差的四个特性。 9、精度的含义。 10、常用的衡量精度的的标准有 、 、 。 11、中误差的计算式即估值为[]n ??± =σ n 和△分别表示什么含义？ 12、中误差的计算（如P 8例1）。 13、在我国统一采用 作为衡量精度的标准，通常用L ±δ的形式来表示某值及其 。 14、 与 的比值称为相对中误差。 15、已知观测值S=500.000m ±10㎜，试求观测值S 的相对中误差。 16、已知S 1=500.000m ±20㎜，S 2=1000.000m ±20㎜，试说明：它们的中误差是否相等？它们的精度是否相同？ 17、设观测两个长度，结果分别为S 1=500.000m ±20㎜，S 2=800.000m ±25㎜。试计算两个长度的和及差的相对 中误差，并比较和与差哪个精度高？ 18、误差传播定律即协方差传播律的公式1、3及应用（例1、2、3）。 19.在一个三角形中观测了两个角度，其值分别为α=30o20′22″±4″， β=60o24′18″±3″，试求第三个角度γ的角值及其中误差σγ。 20、如图1所示的四边形中，独立观测α、β、γ三内角，它们的中误差分别为3.0″、4.0″、5.0″，试求： （1） 第四角的中误差； （2） F=α+β+γ+δ的中误差。 21．如图所示，A ，B ，C 为水准点。已知A 点高程H A =165.470M,设观测A ，B 间的高差为h 1=10.235m,其中误差为 ±4mm ；设观测B ，C 间的高差中误差为h 2=12.580，其中误差为± 5mm ，试求A ，C 点间高差及其中误差。 22、角度观测一测回的中误差为6″，为使最后结果的中误差不超过3″，问该角度应至少观测多少测回？ 23．某一水平角施测了五个测回，现在知道每一测回的观测中误差σ=±39″，试求其五个测回平均值的中误差σx . 24、误差传播定律是用来解决什么问题的？ 25、试述应用误差传播定律的实际步骤。 26、A 、B 两点间观测高差的中误差σhAN =D σ公里中δ公里的含义以及D 的单位。
误差理论与测量平差基础期末复习试题含答案误差理论与测量平差基础(B) 一、填空题(每空1分，共30分) 1. 测量平差就是在基础上，依据原则，对观测值进行合理的调整，即分别给以适当 的，使矛盾消除，从而得到一组最可靠的结果，并进行。 2. 测量误差的定义为，按其性质可分为、和。 3. 衡量估计量优劣的标准有、、。 9km,5mm4. 在A、B两点间进行水准测量，路线长度为，每千米单程观测高差的中误差等于，则A、 B两点间单程观测高差的中误差等于，往返高差中数的中误差等于，往返高差不符 值的限差为。 5. 设为独立等精度偶然误差，为每个误差的均方差，则误差和的限差 为,(i,1,2,？,n),,,,i 。(取2倍中误差为限差) [,], 6. 若有一组观测值的函数、，设，则二L,？,Lx,aL，？，aLx,bL，？，bLQ,I1n111nn211nnL 者的相关系数= ，若再设，则行列式= 。 Q,b,2a(i,1,？,n)xxXii12 x3,1，，，，17. 设，，，，，则， X,,,,2Σ,z,x,x,,z,x0Xz21212,,,,1x,122，，，， ,, ，。 ,,zzz122 T8. = 。tr[E(ΔPΔ)]1，nn，nn，1 11SS9. 设观测值为，观测值的函数为，欲使的权倒数为，则的权倒数, 。 f,lgSfppfS
,,ˆˆv,sinx，2cosx,L10. 设非线性误差方程，参数近似值，观测值，x,60, x,45L,2512510205 线性化之后的误差方程为。 11. 平差的数学模型可分为模型和模型，前者描述观测值之间、观测值与参数之间以及 参数之间数学期望的关系，后者描述的则是观测值的精度特性。 ˆ,V,AδX，l,n，tn，1n，1t，1T12. 由二次型的数学期望= 可以证明，具有条件的参数平差模型中，E(XAX),ˆBδXW0，,X,t，1r，1r，t, T= 。 E(VPV) ,,15cm9cm4513. 已知某点的点位中误差等于，点位误差椭圆的短半轴为，短轴的方向角为，则误差 椭圆的长半轴等于，长轴的方向角等于。 A14. 参数平差中，若系数阵列降秩，则参数解有。 二、判断题(每题1分，共10分) 1. 通过测量平差，可以消除观测值的误差。( ) 2. 权矩阵的主对角线元素即为相应元素的权。( ) 3. 任何测量结果必然含有误差。( ) QP4. 条件平差中，为幂等阵。( ) V 5. 参数平差定权时，随单位权中误差的选取不同，会导致观测值的残差解不同。( ) TTVPV,ΔPΔ6. 条件平差中，一定有。( ) 7. 参数平差中，未知参数近似值可以任意选取，不影响平差结果。( ) ˆBV，W,0W,,BlV,AδX，l8. 若参数平差模型为，条件平差模型为，则。( ) ,1,1,1,1,19. 若式、有意义，则二者总相等。( ) CB(D，ACB)(C，BDA)BD
一、名词解释 1、偶然误差； 2、真误差； 3、 精度； 4、准确度； 5、权； 6、单位权中误差； 7、必要观测； 8、多余观测； 9、最或然值；10、坐标平差；11、函数模型；12、随机模型；13、统计假设检验；14、显著水平；15、区间估计；16、点估计。 二、填空题 1、判断下列情况是偶然误差还是系统误差。 （1）钢尺测距中尺长不准确是（ ），钢尺垂曲（ ），估读不准确（ ）。 （2）水准测量中水准仪视准轴与水准轴不平行（ ），读数不准确（ ）。 2、设观测值、真误差、观测值的真值、观测值的平差值、观测值改正数分别表示为：L 、 ∆、L 、ˆL 、V 。则有： ()E L = （ ）；()E ∆=（ ）；()E L = （ ）；ˆ()E L =（ ）； ()E V =（ ） ；()D L =（ ）；()D ∆=（ ）；()D L =（ ）； ˆ()D L =（ ）；ˆLV D =（ ） 。 3、设Y k X T =，Z hX =，则有； YY D =（ ）；ZZ D =（ ）；YZ D = （ ）； YY Q = （ ）；ZZ Q =（ ）；ZY Q =（ ）。 4、同精度独立观测值12,,,N L L L 的算术平均值为L ，各观测值的权为1。其平均值方差为（ ），中误差为（ ），权为（ ）。 5，在附有限制条件的条件平差函数模型中字母c 的含义（ ）； u 的含义（ ）；s 的含义（ ）；t 的含义（ ）；r 的含义（ ）。 5、观测值L 的平差值ˆL 具有最优性，表现在（1）ˆL 是L 的（ ）估计量；（2）ˆL 的方差具有（ ）；ˆL 具有（ ）性。 6、常用的假设检验方法有：（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。 三、计算、证明题 1、设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角123,,L L L ，其中误差为σ。试求将三 角形闭合差分配后的各角123 ˆˆˆ,,L L L 的协方差阵。
精品文档 7 BC α 6 5 4 3 2 1 D C B A 5 7 6 2 4 3 1 2 P 2(1.732,3.000) P 1(1.732,1.000) A(0,0) B(0,2) 一. 已知观测值向量21 L 的协方差阵为⎥ ⎦ ⎤ ⎢⎣⎡--=3112LL D ，又知协因数5 1 12-=Q ，试求观测值的权阵LL P 及观测值的权1L P 和2L P 。 （10分） 二. 在相同观测条件下观测A 、B 两个角度，设对A ∠观测4测回的权 为1，则对B ∠观测9个测回的权为多少？（10分） 三. 在图一所示测角网中，A 、B 为已知点，BC α为已知方位角，C 、D 为待定点，721,,,L L L 为同精度独立观测值。 若按条件平差法对该网进行平差： (1).共有多少个条件方程？各类条件方程各有多 少个？ (2).试列出全部条件方程（非线性条件方程要求 线性化）。（15分） 图一 四. 某平差问题有以下函数模型)(I Q = ⎪⎪ ⎩⎪⎪⎨ ⎧=-=--=+-+=--0ˆ03060 51 54431 2 1x v v v v v v v v 试问： (1). 以上函数模型为何种平差方法的模型？ (2). 本题中，=n ，=t ，=r ，=c ，=u ， =s 。(10分) 五. 在图二所示测角网中，已知A 、B 两点的坐标和P 1、P 2两待定点的 近似坐标值（见图二，以“km ”为单位），以及000033000 1'''=BP α， 000030002 '''=BP α， km S BP 0.201=，km S BP 0.20 2=， 721,,,L L L 为同精度观测值，其中 65955906'''=L 。若按坐标平差法 对该网进行平差，试列出观测角6 L 的误差方程(设5102⨯=ρ，x ˆ、 图二 y ˆ以dm 为单位)。(10分)
《误差理论与测量平差》复习题 一、填空题 1、测量平差的任务是：、。 2、观测误差产生的原因：、、。 3、观测误差一般分为：、、。 4、最小二乘法最早由提出，其基本思想是。 5、图1所示水准网中观测总数n= 、 必要观测个数t= 、多余观测数r= 。 6、四种基本平差方法：、 、、 。 图1 7、误差椭圆三要素指、、。 8、观测误差的主要来源有：、、。 9、根据观测误差对测量误差的影响性质可分为：、、三 类。 10、最小二乘法的基本思想是。 11、常用衡量精度的指标有：、 、、 、。 二、判断题 1、在水准测量中估读尾数不准确产生的误差是系统误差。（） 2、对于大量的偶然误差具有一定的概率统计规律。（） 3、系统误差可用四种基本平差模型进行减弱或消除。（） 4、粗差在测量过程中是不可避免的。（） 5、对于同一几何模型，如果按件平差法解算，不同的人列出的条件方程可能不同。（） 6、定权时是可以任意选定的常数。（） 7、权一定无单位。（） 8、精度是指误差分布的密集或离散的程度。（） 9、设有两个水平角的测角中误差相等，则角度值大的那个水平角相对精度高。（）
10、当观测值个数大于必要观测数时，该平差模型可被唯一地确定。（） 11、在水准测量中估读水准尺上的毫米数不准确产生的误差是偶然误差。（） 12、对于大量的偶然误差也不具有一定的概率统计规律。（） 13、系统误差可用四种基本平差模型进行减弱或消除。（） 14、粗差在测量过程中是可以避免的。（） 15、对于同一几何模型按条件平差法解算，不同的人列出的条件方程一定是相同的。（） 16、准确度是用来描述系统误差的指标。（） 17、权一定没有单位。（） 18、精度是指误差分布的密集或离散的程度。（） 19、设有两个水平角的测角中误差相等，则角度值大的那个水平角相对精度高。（） 20、各观测值权之间的比例关系与观测值中误差的大小无关。（） 三、选择题 1、现有一组观测数据，其真误差为3、-3、 2、4、-2、-1、0、-4、 3、-2，请问这组观测值的中误差为（）。 A、2.7 B、7.2 C、72 D、27 2、设L的权为1，则乘积4L的权P=（）。 A、1/16 B、16 C、1/4 D、4 3、在1:500的地图上，量得两点间的距离d=23.4mm，d的量测中误差为0.2mm，请问两点实地距离S的中误差为（）。 A、10m B、1m C、0.1m D、0.01m 4、已知两段距离的长度及其中误差为421.567m±2.5cm及734.291±2.5cm，则这两段距离的（）。 A、真误差相等，相对精度相等。 B、真误差不相等，相对精度不相等。 C、真误差不一定相等，相对精度不相等。 D、真误差不一定相等，相对精度相等。 5、下列哪项指标（）是用来描述系统误差的指标。 A、精确度 B、精度 C、准确度 D、准度 6、有一段距离，其观测值及其中误差为345.675m±10mm。这个观测值的真误差的实际可能
测量平差第六章思考题 6.1某平差问题有12个同精度观测值，必要观测数t = 6，现选取2个独立的参数参与平差，应列出多少个条件方程？ 6.2 有水准网如图，A 为已知点，高程为10.000A H m =，同精度观测了5条水准路线，观测值为1 7.251h m =，20.312h m =，30.097h m =-，4 1.654h m =，50.400h m =，若设 AC 间高差平差值ˆˆAC h X 为参数，试按附有参数的条件平差法， （1）列出条件方程 （2）列出法方程 （3）求出待定点C 的最或是高程 6.3 下图水准网中，A 为已知点，P1，P2，P3为待定点，观测了高差15~h h ，观测路线长度相等，现选择P3点的高程平差值为参数，求P3点平差后高程的权。 6.4 下图水准网中，A 为已知点，高程为10.000A H m =，P 1~P 4为为待定点，观测高差及路线长度为： h 1=1.270m, S1=2; h 2=-3.380m, S2=2; h 3=2.114m, S3=1; h 4=1.613m, S4=2; h 5=-3.721m, S5=1; h 6=2.931m, S6=2; h 7=0.782m, S7=2;
若设P2点高程平差值为参数，求：（1）列出条件方程；（2）列出法方程；（3）求出观测值的改正数及平差值；（4）平差后单位权方差及P2点高程平差值中误差。 6.5 如图测角网中，A 、B 为已知点，C 、D 为待定点，观测了6个角度，观测值为： L1=40。23’58”， L2=37。 11’36”， L3=53。49’02”， L4=57。00’05” L5=31。59’00”， L4=36。25’56” 若按附有参数的条件平差，（1）需要设哪些量为参数；（2）列出条件方程；（3）求出观测值的改正数及平差值。 思考题参考答案 6.2 n=5 t=3 r=2 u=1 c=3 6.3 n=5 t=3 r=2 u=1 c=3 v 1+v 4+v 5+w 1=0 v 2+v 3-v 5+w 2=0 v 1+v 2-ˆX +w 3=0 ˆˆ11X X Q P ==， 6.4（1）v 1+v 2+v 3+4=0 v 3+v 4+v 5+6=0 v 5+v 6+v 7+8=0 v 1+v 7-ˆX =0 （2） 1234551020414100600152082 024100 00100K K K K K ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ （3）[]112 4044()T v mm =---- []ˆ 1.269 3.381 2.112 1.609 3.721 2.9350.786()T L mm =-- （4）22034.7()mm σ= ˆ0.5X Q =，22ˆ17.3()X Q mm =，ˆ 4.2()X mm σ=