§4-1 间接平差原理
2学时
间接平差法（参数平差法）是通过选定t 个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t 个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。
例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L 1、L 2和L 3。求此三角形各内角的最或然值。若能选取两个内角的最或然值作为参数 1ˆX 、 2ˆ
X ，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫
--=+=+=+21332
22111ˆˆ180ˆˆX X v L X
v L X v L
（4-1-1）
可得
⎪⎪⎭⎪⎪⎬⎫
---=-=-=32132
22111ˆˆ180ˆˆL X X v L X
v L X
v （4-1-2）
为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是
非常重要的，令 x X X ˆˆ0+=，则（4-1-2）式可写成如下形式：
⎪⎭
⎪⎬
⎫-++---=--=--=)180(ˆˆ)(ˆ)(ˆ0
20132130
222201111X X L x x v X L x v X L x
v （4-1-3）
式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和
参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。单纯
为消除矛盾， 1v 、 2v 、 3v 可有多组解，为此引入最小二乘原则： min =PV V T
可求得唯一
解。
因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二乘原则，要求：
min =PV V T ，设观测值为等精度独立观测，则有：
[]min )180ˆˆ()ˆ()ˆ(2321222211=-+--+-+-=L X X L X L X vv
按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得
60313132ˆ603
13231ˆ02180ˆ3)1(2)2()2()1(0180ˆ2ˆ0180ˆˆ20)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][0)ˆˆ180(2)ˆ(2ˆ][3
2113
212321232213
1213
21222321111
+--+=⇒
+-+-=⇒=+-+-⇒-⨯⎭⎬⎫=+--+=+--+⇒
⎪⎪⎭⎪⎪⎬
⎫=-----=∂∂=-----=∂∂L L L X L L L X L L L X L L X X L L X X L X X L X X vv L X X L X X vv
代入误差方程式，得到观测值的最或然值
60
32
313160
31
323160
31
3132321332123211++--=+-+-=+--+=∧∧∧
L L L L L L L L L L L L
此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方
法相同，平差结果与具体平差方法无关。
一般地，间接平差的函数模型为
1
,1
,,1
,ˆn t t n n d X
B L +=∧
（4-1-4）
平差时，为了计算方便和计算的数值稳定性，一般对参数 X
ˆ都取近似值 0X ，令 x X X ˆˆ0+= （4-1-5）
代入（4-1-4）式，并令
0)(L L d BX L l -=+-=
（4-1-6） 由此可得误差方程
l x
B V -=ˆ （4-1-7）
式中 l 为误差方程的自由项，对于经典间接平差，将未知参数 X
ˆ视为非随机参数，不考虑其先验统计性质，根据（4-1-5）式，可得平差后
x x X X Q Q ˆ
ˆˆˆ=，由（4-1-6）式可得 LL ll Q Q =。
间接平差的随机模型为 n
n n
n n
n P Q D ,1
2
0,20,-σ=σ= （4-1-8） 平差准则为
min =PV V T
（4-1-9）
间接平差就是在最小二乘准则要求下求出误差方程中的待定参数 x
ˆ，在数学中是求多元函数的自由极值问题。
一、间接平差一般原理
设平差问题中有n 个观测值L ，已知其协因数阵 1
-=P Q ，必要观测数为t ，选定t 个独立
参数 X
ˆ，其近似值为 x X X ˆˆ0+=，观测值L 与改正数V 之和 V L L +=∧
，称为观测量的平差值。按具体平差问题，可列出n 个平差值方程为
i t i i i i i d X t X b X a v L ++++=+∧
∧∧ 21 （i =1，2，3，…，n ）
（4-1-10）
令
[][]
[
]
[]
T
n n T
t t T
n n T
n n d d d d X X X X
V V V V L L L L 21
1
,211,21
1
,211
,ˆˆˆˆ====
⎥
⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n n n
t n t b a t b a t b a B
222111
,
则平差值方程的矩阵形式为 d X
B V L +=+ˆ （4-1-11） 令
)(ˆˆ00d BX L l x X X
+-=+= （4-1-12）
式中 0
X 为参数的充分近似值，于是可得误差方程式为
l x
B V -=ˆ （4-1-13）
按最小二乘原理，上式的 x
ˆ必须满足 m in =PV V T 的要求，因为t 个参数为独立量，故可按数学上求函数自由极值的方法，得
0ˆ2ˆ==∂∂=∂∂PB V x V
P V x PV V T T T
转置后得
0=PV B T （4-1-14）
以上所得的（4-1-13）和（4-1-14）式中的待求量是 n 个 V 和 t 个 x ˆ，而方程个数也是 t
n +个，有唯一解，称此两式为间接平差的基础方程。
解此基础方程，一般是将（4-1-13）式代入（4-1-14）式，以便先消去 V ，得
0ˆ=-Pl B x
PB B T T （4-1-15） 令
Pl
B W PB B N T t T t
t bb ==1
,,,
上式可简写成
0ˆ=-W x
N bb （4-1-16） 式中系数阵 bb N 为满秩矩阵，即 t N R bb =)(， x
ˆ有唯一解，上式称为间接平差的法方程。解之，得
W N x bb 1
ˆ-= （4-1-17）
或
Pl B PB B x
T T 1)(ˆ-= （4-1-18） 将求出的 x
ˆ代入误差方程（4-1-13），即可求得改正数V ，从而平差结果为 x X X V L L ˆˆ,
0+=+=∧
（4-1-19）
特别地，当P 为对角阵时，即观测值之间相互独立，则法方程（4-1-16）的纯
量形式为
⎪⎪⎭
⎪
⎪⎬
⎫=+++=+++=+++][ˆ][ˆ][ˆ][][ˆ][ˆ][ˆ][][ˆ][ˆ][ˆ][212121ptl x ptt x pbt x pat pbl x pbt x pbb x pab pal x pat x pab x
paa t t t （4-1-20）
二、按间接平差法求平差值的计算步骤
1．根据平差问题的性质，选择t 个独立量作为参数；
2. 将每一个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数非线性要将其线性化，列出误差方程（4-1-13）；
3．由误差方程系数B 和自由项 l 组成法方程（4-1-16），法方程个数等于参数的个数t ；
4. 解算法方程，求出参数 x
ˆ，计算参数的平差值 x X X ˆˆ0+=； 5．由误差方程计算V ，求出观测量平差值 V L L +=∧
；
6.评定精度。
例[4-1] 在图4-1所示的水准网中，A 、B 、C 为已知水准点，高差观测值及路线长度如下：
1h = +1.003m ， 2h = +0.501m ， 3h = +0.503m ， 4h = +0.505m ； 1S =1km ， 2S =2km ， 3S =2km ， 4S =1km 。已知 A H =11.000m ， B H =11.500m ， C H =12.008m ，试用间接平差法求 1P 及 2P 点
的高程平差值。
图4-1
解：1.按题意知必要观测数 t =2，选取 1P 、 2P 两点高程 1ˆX 、 2ˆ
X 为参数，取未知参数
的近似值为 )(003.1210
1m h H X A =+=、
)(511.12302m h H X C =+=，令2km 观测为单位权观测，则 2
,1,1,24321====P P P P 。
2．根据图形列平差值条件方程式，计算误差方程式如下
)(ˆ)
(ˆ)(ˆˆ)(ˆ01414023230102221201111B C A H X h x
v H X h x v X X h x x v H X h x
v +--=+--=+--+-=+--=
代入具体数值，并将改正数以(mm)为单位，则有
2ˆ0ˆ)7(ˆˆ0ˆ142321211-=-=--+-=-=x v x v x x v x
v
可得 B 、 P 和 l 矩阵如下
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢
⎢⎣⎡-=01
101101
B 、
⎥⎥
⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=2000010000100002
P 、
⎥
⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2070l 3．由误差方程系数 B 和自由项 l 组成法方程 0ˆ=-Pl B x
PB B T T
得 0711ˆˆ211521=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x x
解得 )(7.27.17115112917112115ˆˆ1
21mm x x ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⋅⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-
4. 解算法方程，求出参数 x
ˆ，计算参数的平差值 x X X ˆˆ0+=；
)(5083.120047.12)(7.27.1)(511.12003.12ˆˆˆˆ21020121
m mm m x x X X X X ⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡
5．由误差方程计算 V ，求出观测量平差值 V h h +=∧
；
)(5047.05003.05037.00047.1)(3.07.27.27.1)(505.0503.0501.0003.1ˆˆˆˆ4321432143
21
m mm m v v v v h h h h h h h h ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡
§4-2 误差方程
4学时
按间接平差法进行平差计算，第一步就是列出误差方程。为此，要确定平差问题中参数的个数、参数的选择以及误差方程的建立等。
一、确定待定参数的个数
在间接平差中，待定参数的个数必须等于必要观测的个数t ，而且要求这t 个参数必须是独立的，这样才可能将每个观测量表达成这t 个参数的函数，而这种类型的函数式正是间接平差函数模型的基本形式。一个平差问题中，必要观测的个数取决于该问题本身的性质，与观测值的多少无关。现就常用的不同形式的控制网介绍如下：
（一） 水准网（三角高程网）
水准网（三角高程网）平差的主要目的是确定网中未知点的最或然高程。如果网中有高程已知的水准点，则t 就等于待定点的个数；若无已知点，则等于全部点数减一，因为这一点的高程可以任意给定，以作为全网高程的基准，这并不影响网点高程之间的相对关系。
（二） 三角网
三角网平差的目的是要确定三角点在平面坐标系中的坐标最或是值，当网中有两个或两个以上已知点坐标，则必要观测个数就等于未知点个数的两倍；当网中少于两个已知点时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去4。
（三） 测边网（包括测边、边角同测、导线网）
当网中有两个或两个以上已知点坐标，则必要观测个数就等于未知点个数的两倍；当网中少于两个已知点时，则必要观测个数就等于总点个数的两倍减去3。
（四） GPS 网
当网中具有足够的起算数据时，则必要观测个数就等于未知点个数的三倍再加上WGS84坐标系向地方坐标转换选取转换参数的个数（有三参数、四参数、七参数等）；当网中没有足够的起算数据时，则必要观测个数就等于总点数的三倍减去3。
以上为各类型的标准情况，当加测已知方向、已知边长时，还要具体情况具体分析。
二、参数的选取
在水准网中，常选取待定点高程作为参数，也可选取点间的高差作为参数，但要注意参数的独立性。当选取待定点高程作为参数时可以保证参数的独立性。在图4-1中，可选取1P 、2P 点高程作为未知参数，也可以选取1，2或1，3高差平差值等作为参数，但不能选取例如1，4等高差平差值作为参数，因为，此时两个参数间函数相关。
在平面控制网、GPS 网中选取未知点的二维坐标或三维坐标作为未知参数，可以保证参数之间的独立性，也可以选取观测值的平差值作为未知数，同样要注意参数之间的独立性。
因此如上所述，采用间接平差，应该选定刚好t 个而又函数独立的一组量作为参数。至于应选择其中哪些量作为参数，则应按实际需要和是否便于计算而定。
三、误差方程的组成
例[4-1] 已就水准网说明了误差方程的组成方法，观测量的平差值是参数的线性函数，对于GPS 控制网，由于观测值为两点的坐标差，因此其误差方程也是线性的。而对于传统的平面控制网，其误差方程一般是非线性的。现举例说明，观测量平差值与参数间为非线性函数时组成误差方程的方法。
图4-2 图4-3
例如在图4-2中，不管选择怎样的一组参数，都将出现非线性形式的平差值方程。设以D 点坐标D X ˆ和D Y ˆ
为参数，由图知，第1个平差值方程为
D A D A D B D B DA DB X X Y Y X X Y Y L ˆˆarctan ˆˆarctan ˆˆˆ1-----=-=αα (4-2-1)
式中，),(A A Y X ,),(B B Y X 为已知点A 和B 的坐标。上式为非线性方程。
又如对图4-3测边交会图形来说，若选择待定点D 的坐标为参数，平差值为D X ˆ、D Y ˆ
，由图可列出其中第1个平差值方程为
()()
2
2
1
ˆ
ˆˆA
D
A
D
Y Y X X
L -+-= (4-2-2)
它们也是非线性函数关系。 四、误差方程线性化
取X
ˆ的充分近似值0
X ，x ˆ是微小量，在按台劳公式展开时可以略去二次和二次以上的项，而只取至一次项，于是可对非线性平差值方程式线性化，将
(
)12
ˆˆˆˆ,,i i i i t
L L V f X X X =+==)ˆ,,ˆ,ˆ(020
210
1
t t i
x X x X x X
f +++
(4-2-3)
按台劳公式展开得
()()
02010
202
101,,,ˆˆˆˆˆˆt i i t t
i i i i X X X f L x X f x X f
x X f v --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂++⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂= (4-2-4)
令 01ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=X f a i i ，02ˆ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂=X f b i i ，…，0ˆ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=t i i X f t
()00
0012,,
,i i i t i i
l L f X X X L L =-=- (4-2-5)
式中0i L 为相应的函数的近似值，自由项i l 为观测值i L 减去其近似值0
i L 。由此（4-2-4）式为
i t i i i i l x t x b x a v -+++=ˆˆˆ21
(4-2-6)
需要指出，线性化的误差方程式是个近似式，因为它略去了
ˆj x
的二次以上的各项。当
ˆj x
很小时，
略去高次项是不会影响计算精度的。如果由于某种原因不能求得较为精确的参数的近似值，即
),,2,1(ˆt x
j 都很大，这样，平差值之间仍然会存在不符值。此时，就要把第一次平差结果作
为参数的近似值再进行一次平差。
上面给出了非线性误差方程的线性化一般方法，应该说掌握一般方法，可以对一切非线性误差方程都可以线性化。下面结合常用的一些具体情况，来讨论相应误差方程的线性化问题，可以总结一些规律，便于实际应用。
1.测角网坐标平差的误差方程
这里讨论测角网中选择待定点的坐标平差值为参数时，误差方程的线性化问题。先介绍坐标改正数与坐标方位角改正数之间的关系。
在图4-4中，j 、k 是两个待定点，它们的近似坐标为
0000
,,,j j k k
X Y X Y 。根据这些近似坐标可以计算j 、k 两
点间的近似坐标方位角
0jk
a 和近似边长
0jk
S 。设这两点的
近似坐标改正数为
ˆˆˆˆ,,,j j k k x
y x y ，即
.ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ0000k k
k k k k j j j j j j y Y Y x X X y Y Y x X X +=+=+=+= 由近似坐标改正数引起的近似坐标方位角的改正数为
jk
δα，即
0ˆjk jk jk ααδα=+ (4-2-7)
现求坐标改正数
ˆˆˆˆ,,,j j k k x
y x y 与坐标方位角改正数
jk
δα之间的线性关系。
根据图4-4可以写出
()()()()
0000ˆˆˆarctan
ˆˆk k j j jk k
k j j Y y
Y y X
x X x α
+-+=+-+，
将上式右端按台劳公式展开，得
00000000
ˆˆˆˆˆˆˆˆˆarctan ˆˆˆˆk j jk
jk
jk jk jk j j k k k j j j k k Y Y x
y
x y X X X Y X Y αααα
α⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-∂∂∂∂=++++
⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭⎝
⎭⎝
⎭ 等式中右边第一项就是由近似坐标算得的近似坐标方位角0jk α，对照（4-2-7）式可知
k
k jk k k jk j j jk j j jk jk y Y x X y Y x X ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ0000⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂=ααααδα
(4-2-8)
式中
2
002002000020
0002000
00)()()()(1)(ˆˆjk jk j k j k j k j
k j k
j k j k j jk S Y Y Y X X Y Y X X Y Y X X Y Y X ∆=-+--=--+--=⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛∂∂α
同理可得
()()
()
0200
2000200ˆ,ˆˆ,ˆˆjk jk
j jk jk jk k jk jk jk k jk X Y S Y X S X Y S ααα⎛⎫∂∆=-
⎪ ⎪
∂⎝⎭⎛⎫∂∆=- ⎪∂⎝⎭∂∆⎛⎫= ⎪∂⎝⎭
将上列结果代入（4-2-8）式，并顾及全式的单位得
()
()
()
()
00
02
2
2
2
00
00
ˆˆˆˆjk
jk
jk
jk
jk j j k k jk
jk
jk
jk
Y X Y X x
y
x
y
S S S S ρρρρδα''''''''∆∆∆∆''=
--+
(4-2-9)
或写成
k jk
jk
k jk
jk
j jk
jk
j jk
jk
jk y
S
x
S
y
S
x
S
ˆcos ˆsin ˆcos ˆsin 0
0"0
0"0
0"0
0""αραραραρδα+--=
(4-2-10)
上式就是坐标改正数与坐标方位角改正数间的一般关系式，称为坐标方位角改正数方程。其中
δα以秒为单位。平差计算时，可按不同的情况灵活应用上式。例如：
（1）若某边的两端均为待定点，则坐标改正数与坐标方位角改正数间的关系式就是（4-2-10）式。此时，
ˆj x
与
ˆk x 前的系数的绝对值相等；ˆj y 与ˆk y 前的系数的绝对值也相等；
（2）若测站点j 为已知点，则
ˆˆ0j j x
y ==，得
k jk jk
k jk jk jk y
S X x
S Y ˆ)
("ˆ)
("2
002
00
"∆+∆-
=ρρδα， （4-2-11）
若照准点k 为已知点，则
0ˆˆ==k k y x ，得
j jk
jk
j jk
jk
jk y
S X x
S Y ˆ)
("ˆ)
("2
02
00
"∆-∆+
=ρρδα， （4-2-12）
（3）若某边的两个端点均为已知点，则
0ˆˆˆˆ====k k j j y x y x
，得，
0"
=jk δα （4）同一边的正反坐标方位角的改正数相等，它们与坐标改正数的关系式也一样，这是因为
j jk
kj
j jk
kj
k jk
kj
k jk
kj
kj y
S X x
S Y y
S X x
S Y ˆ)
(ˆ)
(ˆ)
(ˆ)
(200
"200
"200
"200
""
∆+∆-∆-∆+
=ρρρρδα
对照（4-2-10）式，顾及
0kj jk Y Y ∆-=∆，
0kj
jk X X ∆-=∆，得"
"kj jk δαδα=。据此，实际计算时，
只要对每条待定边计算一个坐标方位角改正数方程即可。
对于角度观测值i L （图4-5）来说，其观测方程为
jh jk i i v L αα
ˆˆ-=+ （4-2-13）
将δααα
+=0ˆ代入，并令 0
00)(i i jh jk i i L L L l -=--=αα (4-2-14)
可得
i
jh
jk
i l v --=δα
δα
（4-2-15）
然后根据这个角的三个端点j 、h 、k 是已知点还是未知点而灵活运用（4-2-9）式，并以此代入（4-2-15）式，即得线性化后的误差方程。例如，j 、h 、k 点都是未知点时，（4-2-15）式 为
i h jh jh
h jh jh j jh jh j jh jh k jk
jk k jk
jk
j jk
jk j jk
jk
i l y S X x S Y y S X x S Y y
S X x
S Y y
S X x
S Y v -⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∆+∆-∆-∆-∆+∆-∆-∆=
ˆ)("ˆ)("ˆ)("ˆ)("ˆ)
("ˆ)
("ˆ)
("ˆ)
("2
00200
2002002
00200
2
00200
ρρρρρρρρ
合并同类项最后可得
i h jh jh h jh jh k jk jk k jk jk j
jh jh jk jk j jh jh jk jk i l y S X
x S Y y S X x S Y y S X S X x S Y S Y v -∆-∆+∆+∆-⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∆-∆-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∆-∆=ˆ)
("ˆ)("ˆ)("ˆ)("ˆ)()("ˆ)()("200200200200200200200
200ρρρρρρ （4-2-16）
上式即为线性化后的观测角度的误差方程式，可以当作公式使用。
综上所述，对于角度观测的三角网，采用间接平差，选择待定点的坐标为参数时，列误差方程的步骤为：
① 计算各待定点的近似坐标0
0,Y X ；
② 由待定点的近似坐标和已知点的坐标计算各待定边的近似坐标方位角0
α和近似边长
0S ；
③ 列出各待定边的坐标方位角改正数方程，并计算其系数；
④ 按照（4-2-16）、（4-2-14）式列出误差方程。 2．测边网坐标平差的误差方程
下面讨论在测边网平差中，选择待定点的坐标为参数时的误差方程的线性化问题。
先讨论一般情况。在图4-6中，测得待定点间的边长i L ，
设待定点的坐标平差值j X ˆ、j Y ˆ、k X
ˆ和k Y ˆ为参数，令
.ˆˆ,ˆˆˆˆ,ˆˆ0000k k
k k k k j j j j j j y Y Y x X X y Y Y x X X +=+=+=+= 由图4-6可写出i L
ˆ
的平差值方程为
22)ˆˆ()ˆˆ(ˆj
k j k i i i Y Y X X v L L -+-=+= （4-2-17）
按台劳公式展开，得
)ˆˆ()ˆˆ(00
00
j k jk
jk
j k jk
jk jk
i i y y
S
Y x x
S
X S v L -∆+-∆+
=+ （4-2-18）
式中
00000,j k jk j k jk Y Y Y X X X -=∆-=∆，2002000)()(j k j k jk Y Y X X S -+-=
再令
jk i i S L l -= （4-2-19）
则由（4-2-18）式可得测边的误差方程为
i k jk
jk
k jk
jk j jk
jk
j jk
jk i l y
S
Y x
S
X y
S
Y x
S
X v -∆+∆+∆-∆-
=ˆˆˆˆ00
000
0 （4-2-20）
式中右边前4项之和是由坐标改正数引起的边长改正数。
（4-2-20）式就是测边坐标平差误差方程式的一般形式，它是在假设两端点都是待定点的情况下导出的。具体计算时，可按不同情况灵活运用。
① 若某边的两端点均为待定点，则（4-2-20）式就是该观测边的误差方程。式中，j x
ˆ与k
x ˆ
的系数的绝对值相等，
j y
ˆ与k y ˆ
的系数的绝对值也相等。常数项等于该边的观测值减其近似值。
② 若j 为已知点，则
0ˆˆ==j j y x
，得
i k jk
jk
k jk
jk i l y
S
Y x
S
X v -∆+∆=
ˆˆ00
（4-2-21）
若k 为已知点，则
0ˆˆ==k k y x
，得 i j jk
jk
j jk
jk i l y
S Y x
S X v -∆-∆-
=ˆˆ0000
（4-2-22）
若j 、k 均为已知点，则该边为固定边（不观测），故对该边不需要列误差方程。
③
某边的误差方程，按jk 向列立或按kj 向列立的结果相同。
3．导线网坐标平差的误差方程
在导线网中，有两类观测值，即边长观测值和角度观测值，所以导线网也是一种边角同测网。导线网中角度观测值的误差方程，其组成与测角网坐标平差的误差方程相同，边长观测的误差方程，其组成与测边网坐标平差的误差方程相同，因此导线网中观测值的误差方程列立与上述测角、测边网相同。在导线网中有边、角两类观测值，确定两类观测值的权的配比问题是平差中的重要环节。
设先验单位权方差为2
0σ，测角中误差为i
βσ，测边中误差为i
S σ，则定权公式为
2
2
0i
i
p β
βσσ=，
2
2
0i
i
S
S p σσ= （4-2-23）
当角度为等精度观测时
β
βββσσσσ====n
2
1
。定权时一般令220βσσ=，即以测角中
误差为导线网平差中的单位权观测值中误差，由此即得
122
==β
β
βσσi
p ，2
2i
i
S S p σσβ= （4-2-24）
为了确定边、角观测的权比，必须已知2
βσ和2i
S σ，一般平差前是无法精确知道的，所以采
用按经验定权的方法，即2
βσ和2i
S σ采用厂方给定的测角、测距仪器的标称精度或者是经验数据。
在边角同测网中，权比是有单位的，如（4-2-24）式中1
=i p β无量纲（即单位为1），而边
长的权，其单位为秒2/cm 2。在这种情况下，角度的改正数
i
v β要取秒为单位，而边长改正数
i
S v 则要取厘米为单位，此时的2i i v p ββ与2i i S S v p 单位才能一致。这一点在不同类型观测联合平差时
应予以注意。下面以一个边角网为例，说明观测角、观测边误差方程式的列立，以及两类观测值的定权方法等。
例[4-3] 如图4-7所示，A 、
B 、
C 为已知点，P 1、P 2是待定点。
同精度观测了六个角度1L 、
2L 、…、6L ，测角中误差为±2.5″，测量了四条边长7s 、8s 、9s 、10s ，观测结果及其中误
差见表4-2。起算数据见表4-1。试按间接平差法求待定点P 1及P 2的坐标平差值。
表4-1
表4-2
本题10=n ，即有10个误差方程，其中有6个角度误差方程，4个边长误差方程。必要观
测数422=⨯=t 。现取待定点坐标平差值为参数，即T Y X Y X X ]ˆˆˆˆ[ˆ2211=
① 计算待定点近似坐标
各点近似坐标按坐标增量计算，结果见表4-3。
表4-3
② 由已知点坐标和待定点近似坐标计算待定边的近似坐标方位角α和近似边长S （见表4-4）。
表4-4
③ 计算坐标方位角改正数方程的系数。计算时0
S 、0
X ∆、0
Y ∆均以m 为单位，而x
ˆ、因其数值较小，采用cm 为单位。有关系数值的计算见表4-5、表4-6。
表4-5
表4-6
表4-7
④ 法方程的组成和解算
由表4-7取得误差方程的系数项B 、常数项l ，组成法方程的系数项bb N 、常数项Pl B T ，
可得法方程为
284.14622.5387.15207.23ˆˆˆˆ138.6721.4536.1155.2721.4246.15414.0866.7536.1414.0543.3029.0155.2866.7029.0141.122211=⎥
⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--------y x
y x
系数阵
PB B N T
bb =的逆阵为 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=
-2433.00759.00967.00062.00759.01227.00191.00660.00967.00191.03219.00040.00062.00660.00040.01240
.01
bb
N
由
Pl B N x T
bb 1ˆ-=算得参数改正数x ˆ： ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--⋅⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡3.21.04.34.2284.14622.5387.15207.232433.00759.00967.00062.00759.01227.00191.00660.00967.00191.03219.00040.00062.00660.00040.01240.0ˆˆˆˆ2211y x y x （cm ）
⑤ 平差值计算
坐标平差值
⎥⎥
⎥
⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣
⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡944.7992409.4684722.6513049.4933ˆˆˆˆˆˆˆˆ2211020201012211
y x y x Y X Y X Y X Y X
观测值的平差值
根据公式l x
B V -=ˆ得各改正数为 []T
V 9.16.38.28.26.2.133.11.12.43.0--------=
从而得平差值为V L L +=ˆ，如下表4-8
表4-8
2学时
一、单位权中误差
间接平差与条件平差虽采用了不同的函数模型，但它们是在相同的最小二乘原理下进行的，
所以两法的平差结果总是相等的，这是因为在满足min =PV V T
条件下的V 是唯一确定的，故
平差值V L L +=ˆ不因方法不同而异。
单位权方差20σ的估值20ˆσ，计算式仍然是PV V T 除以其自由度，即
t n PV
V r PV V T T -=
=2
ˆσ
（4-3-1）
中误差为
t n PV V T -=0ˆσ
（4-3-2）
计算PV V T 可以将误差方程代入后计算，即
PV l PV B x PV l x B PV V T T T T T -=-=ˆ)ˆ(，顾及0=PV B T ，得x PB l Pl l l x
B P l PV V T T T
T ˆ)ˆ(-=--=，考虑到T T T Pl B PB l )(=得
x W Pl l x Pl B Pl l PV V T
T T T T T ˆˆ)(-=-= （4-3-3） 二、协因数阵
在间接平差中，基本向量为)(l L ，)ˆ(ˆx X ，V 和L
ˆ。已知Q Q LL =，根据前面的定义和有关说明知，x X X ˆˆ
+=，故x x X X Q Q ˆˆˆˆ=，LL ll
Q
Q =。 下面推求各基本向量的自协因数阵和两两向量间的互协因数阵。
设
(
)
T T T T T L V X L Z ˆˆ=，则Z 的协因数阵为
⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=L L V L X L L L L V VV X V VL L X V X X X L
X L L LV X L LL ZZ Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q Q ˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆˆ
式中对角线上子矩阵，就是各基本向量的自协因数阵，非对角线上子矩阵为两两向量间的互协
因数阵。
现分别推求如下。其基本思想是把各量表达成协因数已知量的函数，上述各量的关系式已知为
0L l L +=
（4-3-4）
pl B N x T
bb 1ˆ-=
（4-3-5） l x
B V -=ˆ （4-3-6） V L L +=ˆ
（4-3-7）
由前三个式子，按协因数传播定律容易得出
Q Q LL =
1
11ˆˆ---==bb
bb T bb X X N PQPBN B N Q T
X L T bb T bb L X Q B N PQ B N Q ˆ
11ˆ===--
T LV
T
bb
L X VL Q Q B BN Q BQ Q =-=-=-1
ˆ
T
V
X bb
bb
X L X X X V Q BN BN
Q BQ Q ˆ1
1
ˆˆˆˆ0==-=-=--
T bb T
bb T bb T bb T
X L L X T
X X VV B
BN Q Q B BN B BN B BN Q
B Q BQ B BQ Q 1111ˆˆˆˆ-----=+--=+--=
再计算与(4-3-7)式有关的协因数阵,得
T
L L T bb VL L L Q B BN Q Q Q ˆ
1ˆ==+=-
T
L X bb bb X V T
T
bb
X L Q BN QPBN Q P B N Q Q ˆ
ˆ11ˆ1
ˆˆ0)(==+=+=---
T
L
V VV LV V L Q
Q Q Q ˆˆ0==+=
T
bb VV VL LV L L B
BN Q Q Q Q Q 1ˆˆ-=+++=
将以上导得的全部协因数阵列于表4-9，以供查阅。
L
ˆ T
bb B BN 1- 1
-bb
BN
T bb B BN 1-
由表4-9可知，平差值X
ˆ、L ˆ与改正数V 的互协因数阵为零，说明L ˆ与V ，X ˆ与V 统计不相关，这是一个很重要的结果。
三、参数函数中的误差
在间接平差中，解算法方程后首先求得的是t 个参数。有了这些参数，便可根据它们来计
算该平差问题中任一量的平差值（最或然值）。如在图4-8所示的水准网中，已知A 点的高程为H A 。若平差时选定AP 1、AP 2、P 3P 1等三条路线高差的平差
值作为参数1ˆ
X 、2ˆ
X 、3ˆ
X ，则在平差后，不但求得了参数，即AP 1、AP 2及P 3P 1等三条路线高差的平差值，而且可以根据它们求出其它各观测高差或待定点高程的平差值。例如，P 3P 2路线高差的平差值为 图 4-8
3215ˆˆˆˆX X X L ++-=；
P 3点的高程平差值为
31ˆˆ3X X H H A P -+= 又如在图4－2中，求得D 点坐标平差值
D X ˆ和
D
Y ˆ后，即要计算任何一边的边长或坐标方
位角的平差值。如AD 间边长平差值为
22)ˆˆ()ˆˆ(ˆA D A D AD Y Y X X S -+-=；
坐标方位角的平差值为
A D A
D AD X X Y Y ˆˆˆˆarctan
ˆ--=α
通过以上举例可知，在间接平差中，任何一个量的平差值都可以由平差所选参数求得，或
者说都可以表达为参数的函数。下面从一般情况来讨论如何求参数函数的中误差的问题。
假定间接平差问题中有t 个参数，设参数的函数为
)ˆ,,ˆ,ˆ(ˆ21t X X X Φ=ϕ，
（4-3-8）
将),,2,1(ˆˆ0t j x X X j j j =+=代入上式后，按台劳公式展开，取至一次项，得
t
t
t x X x X x X X X X ˆˆˆˆ
ˆˆ),,,(ˆ020210100
201⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂Φ∂++⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂Φ
∂+⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂Φ∂+Φ= ϕ，
式中，
),,,(0
0201t X X X Φ是参数函数的近似值，当近似值一经取定，它是一个已知的系数，令0ˆ⎪⎪⎭⎫
⎝⎛∂Φ∂=j j X f 。
由此，上式可以写成
一、填空 1.误差来源：测量仪器、观测者、外界条件。 2.误差分类：偶然误差、系统误差、粗差。 3.测量平差的基本任务：是处理一系列带有偶然误差的观测值，求取未知量的最佳估值，评定测量成果的精度。 4.偶然误差的四个特性：有限性、单峰性、对称性、有偿性。 5.水准测量中，观测值权的大小主要取决于或的大小。 6.独立观测值Li(i=1,2,3...n)的权均为p，则算术平均值x=L/n的权为np 。 7.间接平差法是以为函数模型的平差方法。 8.衡量精度的指标：中误差、平均误差、然误差。 9.相对中误差的概念为（中误差与观测值之比）其表示为（1/N） 二、名词解释 1.偶然误差：在相同观测条件下做一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差来看该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。 系统误差：在相同观测条件下做一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出系统性，或者在观测过程中按照一定的规律变化，或者为某一常数，这种误差称为系统误差。 2.测量平差：依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。 3.数学期望：随机变量取值的概率平均值 协方差：是描述两随机变量的相关度 偶然误差的特性：在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大 绝对值相等的正负值出现的概率相同 偶然误差数学期望为0 4.精度：就是指误差分布的密度或离散程度。 ?协方差传播定律：由观测值中误差求取观测值函数的中误差或方差，解决精度问题 ?协因数传播定律：由观测值协因数求取观测值函数的协因数阵 权：表示各观测值方差之间比例关系的数字特征 水准测量定权的方法 1.根据测站的观测高差定权 2.根据距离的观测高差定权 2.测量上确定权的常用方法？ 水准测量的权、同精度观测值的算术平均值的权 5.单位权中误差：权为1的观测值的中误差（与单位权对应的观测值的中误差） 必要元素：能够唯一确定一个几何模型所必要的元素 6.条件方程：一个几何模型的独立量个数最多为t个，除此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式，这种函数关系式在测量平差中称为条件方程。 观测方程：将观测量表达为t个独立参数的函数称为观测方程。 条件平差：一个几何模型中有r个多余观测，就产生个r个条件方程，以条件方程为函数模型的平差方法（条件平差） 间接平差：所选的独立参数的个数等于必要观测数t时，可将每个观测值表达成t个参数的函数，组成观测方程（间接平差）
高程平差方法举例说明 引言 在工程建设中不免要对高程控制网进行高精度计算，手工计算对于较为简单的控制网还可适应，但对于较为复杂、节点较多的高程控制网来讲使用手工计算容易出现误差且非常耗时，因此我们针对高程控制网的平差计算原理进行了分析，并利用这一原理结合计算机技术进行了高效的控制网平差计算。 1 平差模型的建立 1. 1 平差原理 下面以一个水准网的算例来说明水准网间接平差原理， 水准网如图1 所示： 已知A 点高程HA=237. 483m，为求B、C、D 三点的高程， 进行了水准测量，观测结果为见图1, h1、h2、h3、h4、h5 分 别为观测值，对应的水准路线长度为S1、S2、S3、S4、S5。 取B、C、D 三点的高程值平差值为参数，其近似值为 X01、X02、X03 其中：X01=HA+h1; X02=HA+h3; X03=HA+h5 于是观测值误差方程为v：常数项l：权P：如下：其中：改正数V= 系数阵A= 参数x= 常数项l= 可以解出由此可以计算出高程平差值 由上可知，水准网间接平差主要分为三个步骤：
（1）高程近似值的计算；（2）列立观测值的误差方程； （3）解误差方程并求高程平差值。 1. 2 常数项矩阵的问题 在求近似高程时，同一个未知点的近似高程并不是唯一的一个确定值，它的值随着计算时选择的线路不同而改变，因此得出的常数项矩阵L 也并不是唯一的，在下面的程序计算里面，输入已知数据时线路的排序不同，得出的常数项矩阵L 也不同，当然最后得到的高程改正数也不一样，由于进行平差计算时设的未知数就是未知点高程的近似值，因此在最后得到的未知点的高程平差值跟计算高程近似值时选择的线路无关，只要计算正确，最终得到的高程平差值也是正确的。这一点可以在使用程序的过程中进行检验，无论线路排序如何改变，只要数据输入正确，得到的结果是一样的。 2 平差程序设计 2. 1 关于程序语言的选用 考虑到本软件所要解决的问题主要是数据的处理与计算，不涉及到计算机系统底层的操作，因此选用相对简单的Visual Basic 6. 0 来进行程序的编写，使用间接平差模型，在保证计算精度的同时，一来减少了代码编写的难度，二来提高了代码执行的效率。 2. 2 程序设计原理 本程序在计算平差值时采用间接平差模型，不采用条件平差模型而采用间接平差模型来计算是因为间接平差法误差方程的列立遵循一定的规则，在设计算法的时候相对比较简单，而条件平差法因条件方程的多样性，算法非常复杂，两种平差模型得出的结果精度又是相同的，因此综合考虑选用间接平差模型作为
三角网坐标平差 时间:2009-12-27 来源:本站作者:节选 §12.1三角网坐标平差 第十二章概述 间接平差又称参数平差。水平控制网按间接平差时，通常选取待定点的坐标平差值作为未知数(按方向平差时，还增加测站定向角未知数)，平差后直接求得各待定点的坐标平差值，故这种以待定点坐标作为未知数的间接平差法也称为坐标平差法。参加平差的量可以是网中的直接观测量，例如方向、边长等；也可以是直接观测量的函数，例如角度等。由于三角网的水平角一般是采用方向观测法观测，并由相邻方向相减而得，故它们是相关观测值。此时，若不顾及函数间的相关性，平差结果将受到一定的曲解。因此，坐标平差法都按方向平差。 间接平差的函数模型是误差方程，它是表达观测量与未知数之间关系的方程式。一般工程测量平面控制网的观测对象主要是方向(或角度)和相邻点间的距离(即边长)因此坐标平差时主要列立各观测方向及观测边长的误差方程式，再按照间接平差法的原理和步骤，由误差方程和观测值的权组成未知数法方程去解算待定点坐标平差值，并进行精度评定。 本章主要研究（测）方向网、测边网以及测边测角网的严密坐标平差。 水平控制网按坐标平差法进行平差时，为降低法方程的阶数以便于解算，定向角未知数可采用一定的法则予以消掉。由于误差方程式的组成简单且有规律，便于由程序实现全部计算，因此，在近代测量平差实践中，控制网按间接平差法得到了广泛的应用。平面控制网按坐标平差时，网中每一观测值都应列立一个误差方程式。 为便于计算，通常总是将观测值改正数表示为对应待定点坐标近似值改正数的线性式。坐标平差的第一步是列组误差方程式。对于方向网而言,参与平差的观测值是未定向的方向，选定的未知数是待定点的纵、横坐标值。误差方程式就是方向观测值改正数表达为待定点纵横坐标值的函数式，可以通过坐标方位角来建立方向值与未知数之间的联系。 12.1.1方向误差方程式的建立和组成 在测站k上观测了等方向 其方向观测值为
测量平差基础 实验报告（四） 三角网的间接平差 班级 学号 姓名
实验四三角网的间接平差 一、实验原理 输入矩阵元素—组成法方程—法方程解算—未知数平差值计算—精度计算。 二、实验目的 通过(测角)三角网的间接平差计算，理解三角网的间接平差原理，掌握其应用方法，能运用平差计算软件计算一个实际三角网。 三、主要仪器及耗材 计算机和相应平差软件及打印纸。 四、实验内容和步骤 根据给定的三角网(测角)列出误差方程式并完成相应的间接平差计算。 五、实验地点 建测楼测绘机房409
步骤：（1）确定未知数及其个数，观测值权阵，列出误差方程和权函数式； （2）输入误差方程系数阵、自由项矩阵、观测值权阵和未知数近似值阵的元素； （3）根据观测值的平差值进行验证。
间接平差计算质量报告 观测值个数n： 10 未知数个数t： 4 多余观测r： 6 已知计算数据一： 已知矩阵B： 8.4623 14.566 0 0 -1.1745 -20.2296 0 0 -13.4603 -1.4652 0 0 6.1725 7.1289 0 0 -6.1725 -7.1289 -1.4888 8.5978 9.8984 -3.6438 -8.4096 -4.954 -3.7259 10.7227 9.8984 -3.6438 18.3607 10.9222 -9.8984 3.4638 -9.8984 3.6438 1.6812 -4.9289 -8.4623 -14.566 8.2173 1.2851 已知矩阵l： -0.76 3.85 -0.81 -1.58 3.32 -1.81 2.1 -4.93 -1.68 5.11
➢绪论 ➢测量平差理论 ➢4种基本平差方法 ➢讨论点位精度 ➢统计假设检验的知识 ➢近代平差概论 ✧绪论 §1-1观测误差 测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。 一、误差来源 观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面： 1. 测量仪器； 2. 观测者； 3. 外界条件。 二、观测误差分类 1. 偶然误差 定义，例如估读小数； 2. 系统误差 定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距； 系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。 3. 粗差 定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标 §2-1 正态分布 概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。 一、一维正态分布 §2-2偶然误差的规律性
2. 直方图 由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。 3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线） 在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性 第三章协方差传播律及权 在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别 又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。 现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。 §3— 1 数学期望的传播
§4-1 间接平差原理 2学时 间接平差法（参数平差法）是通过选定t 个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t 个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。 例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L 1、L 2和L 3。求此三角形各内角的最或然值。若能选取两个内角的最或然值作为参数 1? X 、 2? X ，则可以建立参数与观测值之间的函数关系式 ?????? ? --=+=+=+21332221 11??180??X X v L X v L X v L （4-1-1） 可得 ?????? ? ---=-=-=32132221 11??180??L X X v L X v L X v （4-1-2） 为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在实际计算中是 非常重要的，令 x X X ??0 +=，则（4-1-2）式可写成如下形式： ?? ??? -++---=--=--=)180(??) (?)(?020132130222201111X X L x x v X L x v X L x v （4-1-3） 式（4-1-2）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和 参数，“条件个数=观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。单纯为消除矛盾， 1v 、 2v 、 3 v 可有多组解，为此引入最小二乘原则： min =PV V T 可求得唯一 解。 因此，间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值 之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二乘原则，要求： min =PV V T ，设观测值为等精度独立观测，则有： []min )180??()?()?(2 3212 222 1 1=-+--+-+-=L X X L X L X vv 按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得
一、填空题 1、概括平差通式。 1111111 0?0???????????=+=++s s x u u s c c u u c n n c W x C W x B V A ① 当参数个数u=0时，条件平差； ② 当参数个数u=t 时，间接平差； ③ 当参数个数u
§ 4-1 间接平差原理 2学时 间接平差法（参数平差法）是通过选定t个与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，将每个观测值都分别表达成这t个参数的函数，建立函数模型，按最小二乘原理，用求自由极值的方法解出参数的最或然值，从而求得各观测值的平差值。 例如，在一个三角形中，等精度独立观测了三个角，观测值分别为L i、L2 和L3。求此三角形各内角的最或然值。若能选取两个内角的最或然值作为参数 :则可以建立参数与观测值之间的函数关系式 (4-1-1) 可得 叶二￡ -厶 = ￡ - 厶 v}= 180-^-^a-￡ (4-1-2) 为了计算方便和计算数值的稳定性，通常引入未知参数的近似值，这一点在 实际计算中是非常重要的，令，则（4-1-2 ）式可写成如下形式： 气二务_厲_萃） 乃=岛-込—离） v3二-爲_（厶+启+ 兄-180） (4-1-3)
式（4-1-2 ）叫做误差方程，也可以称为某种意义上的条件方程（包含改正数、观测值和参数，“条件个数二观测值个数”），每个条件方程中仅只含有一个观测值，且系数为1。单 纯为消除矛盾，门、「、二可有多组解，为此引入最小二乘原则「 -1- 可求得唯一解。因此， 间接平差是选取与观测值有一定关系的独立未知量作为参数，建立参数与观测值之间的函数关系，按最小二乘原则，求解未知参数的最或然值，再根据观测值与参数间的函数关系，求出观测值的最或然值，故又称为参数平差。对上述三角形，引入最小二乘原则，要求:▼丄…，设观测值为等精度独立观测，则有： [vv]= （￡-厶）□（￡ -厶）2 +（-禺-禺+180-厶）2 = min 按数学上求自由极值的方法对上式分别求偏导数并令等于零，可得 鱼理二遮-伫丿-玄⑻-名-乙■。二0 今2名+% —⑶―厶+厶=ol(l) X x亠痣-1E0 二■!■厶=oj (2) (2) x2-(5 =＞隔-180 + 珀 _费切 + & 二Q 代入误差方程式，得到观测值的最或然值 此结果显然与采用条件平差方法解算的结果一致，说明只要遵循相同的平差原则、定权方法相同，平差结果与具体平差方法无关。 ‘二2(￡-砖-2(1$0-左1 -鸟= 0
《测量平差》学习辅导
第一章测量平差及其传播定律 一、学习要点 （一）内容： 测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其 传播规律。 （二）基本要求： 1．了解测量平差研究的对象和内容； 2．掌握偶然误差的四个概率特性； 3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律； 4．了解权的定义与常用的定权方法； 5．掌握协方差传播率。 （三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。 （四）难点：协方差、协因数传播率 二、复习题 （一）名词解释 1．偶然误差 2．系统误差 3．精度 4．单位权中误差 （二）问答题 1．偶然误差有哪几个概率特性? 2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些? （三）计算题 σ的量测中误差1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，d σ。 σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s
三、复习题参考答案 （一）名词解释 1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。 2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。 3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。 4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。 （二）问答题 1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。 2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ， 则定义：22 0i p σσ=，称为观测值L i 的权。权与方差成正比。常用的定权方法有距 离丈量的权，水准测量高差的权，同精度观测值的算术平均值的权，导线测量角度闭合差的权，三角高程测量高差的权。 （三）计算题 解：S=500d=500×23.4=11700mm=11.7m 2 22500d s σσ= m mm d s 1.0100)2.0(500500±=±=±⨯==σσ 最后写成：S=11.7±0.1m
测量平差四种函数模型公式 平差是指根据已知测量数据，通过数学方法将各种误差进行消除或者减小，从而提高测量结果的准确性。在实际测量中，为了满足测量精度和可靠性的要求，通常需要进行平差处理。 平差可以分为：间接平差和直接平差。其中，间接平差是指通过观测数据和已知要素之间的关系，间接确定要素的未知数值，并用较小的残差表示要素的未知，如四参数平差、七参数平差等；直接平差是指在测点上直接观测，通过观测数据来确定各点的未知数值，如水准平差、三角测量平差、导线平差等。 接下来，我们来介绍几种常见的平差函数模型公式： 1.水准平差函数模型公式： 水准测量是测量地表高程差的一种方法。水准测量中常用的是高差测量和水准角测量。水准测量中的平差函数模型公式为： V=L+f(P)-f(Q)+C 其中，V为观测高差，L为测量高差，f(P)为点P的高程改正数，f(Q)为点Q的高程改正数，C为常数。 2.三角测量平差函数模型公式： 三角测量是测量地球表面上两点之间的距离和角度的一种方法。三角测量中的平差函数模型公式为： D=L+L'-f(P)-f(Q)+C
其中，D为观测距离，L为测量距离，L'为闭合差，f(P)为点P的角改正数，f(Q)为点Q的角改正数，C为常数。 3.导线平差函数模型公式： 导线平差是测量地面直线距离的一种方法。导线平差中的平差函数模型公式为： D=L+L'-f(P)-f(Q)+C 其中，D为观测距离，L为测量距离，L'为闭合差，f(P)为点P的改正数，f(Q)为点Q的改正数，C为常数。 4.四参数平差函数模型公式： 四参数平差是一种常见的间接平差方法，通常用于平面控制网的精度调整。四参数平差中的平差函数模型公式为： V=L+a1(X1-X2)+a2(Y1-Y2)+a3(Z1-Z2)+a4 其中，V为观测值的改正数，L为观测值，a1、a2、a3、a4为待定的参数，X1、Y1、Z1为控制点的坐标，X2、Y2、Z2为观测点的坐标。 以上就是几种常见的平差函数模型公式的介绍。平差的目的是提高测量结果的准确性和可靠性，通过对观测数据的合理处理，消除或者减小各种误差，得到更为准确的测量结果。
测量平差四种函数模型公式 1.条件平差 A L ̂+A 0=0 基础方程: AV-W=0; V=P -1A T K 法方程： N aa K-W=0 (N aa =AP -1A T ；K= N aa -1W; L ̂=L+V) 精度评定： Q L ̂L ̂=Q-QA T N aa -1AP -1; Q vv = P -1A T N aa -1 AP -1; σ=√V T PV r = √W T K r 平差值函数的协因数： Q FF =f T Q L ̂L ̂f;
2.附有参数的条件平差 AΔ+B x̃ -W=0 基础方程: AV+B x̃-W=0; V=P-1A T K; B T K=0 法方程： AP-1A T K+B x̃-W=0 (N aa=AP-1A T;K=N aa-1(W-Bx^);B T N aa-1Bx^- B T N aa-1W=0; N bb=B T N aa-1B;x^=N bb-1B T N aa-1W) 精度评定： Q x̃x̃= N bb-1; Q L̂L̂=Q-QA T(N aa-1- N aa-1B N BB-1B T N aa-1)AQ; F̂=f(L̂, X̂); d F̂=F l T d L̂+F x T d X̂; Q F̂F̂=F l T Q L̂L̂F l+ F l T Q L̂X̂F x+ F x T Q X̂L̂F l+ F x T Q X̂X̂F x
3.间接平差 V=B x̂-l; l=L-(BX0+d) 基础方程： V=B x̂-l; B T PV=0 法方程： B T PB x̂-B T Pl=0 (N bb=B T PB;W=B T Pl;x̂=N bb-1W)精度评定： Q X̂X̂= N bb-1 B T PQPB N bb-1 = N bb-1; Q vv=Q-B N bb-1B T; Q L̂L̂=B N bb-1B T
本节重点：（1）测量平差的函数模型定义，类型；测量平差的数学模型包括：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型； （2）测量平差的随机模型。 本节教学思路： 首先说明平差的数学模型分两类：函数模型与随机模型，进而分别阐述其定义、分类及建立的方法和模型的具体形态。 教学内容： 一、平差模型的定义与分类 1．从模型的性质分：函数模型、随机模型，函数模型连同随机模型称平差的数学模型； 2．函数模型又分为：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型； 二、各类函数模型的建立 （一）概述 1．函数模型定义： 在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为函数模型。 2．函数模型的意义与特点 函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。 对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。 函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（2-1-4）式），总是要将其线性化。 （二）各种经典平差方法及其线性函数模型的建立方法。 1. 条件平差法及其函数模型 首先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。
在图2-1中，观测了三个内角，n=3，t=2，则r=n-t=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为： 令 =[1 1 1] =[ ] =[-180] 则上式为 （2-2-1） 再如图2-2水准网， D 为已知高程水准点，A 、B 、C 均为待定点，观测值向量的真值为 ] 其中n=6，t=3，则r=n-t=3，应列出3个线性 无关的条件方程，它们可以是： 令 0180~~~321 =-++L L L 31⨯A 13~⨯L 1~L 2~L 3~L T 0 A 0~0=+A L A 116~[~ h L =⨯2~h 3~h 4~h 5~h 6~h 0~~~)~(4211 =--=h h h L F 0~~~)~(5322 =+-=h h h L F 0~~~)~(6313 =--=h h h L F 图2-2 A B C
测量平差概要 一、基本概念 01、极条件的个数等于中点多边形、大地四边形和扇形的总数。02、 在间接平差中，独立未知量的个数等于必要观测数。03、协方差与权互为 倒数。 04、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程， 称为误差公理。05、在间接平差中，误差方程的个数等于观测值的个数。 06、协因数阵与权阵互为逆阵。 07、偶然误差的四个统计特性是：有界性、聚中性、对称性和抵偿性。 08、圆周条件的个数等于中点多边形的个数。09、偶然误差服从正态分布。 10、只有包含中点多边形的三角网才会产生圆周角条件。 11、条件平差的法方程个数等于多余观测个数，间接平差的法方程的 个数等于必要观测数。 12、描述偶然误差分布常用的三种方法是：列表法、绘图法、密度函 数法。13、同一个量多次不等精度观测值的最或是值等于其加权平均值。 14、应用权倒数传播律时观测值间应误差独立。 15、极限误差是指测量过程中规定的最大允许误差值，通常取测量中 误差的3倍作为极限误差。 16、在平地，水准测量的高差中误差与水准路线长度的算术平方根成 正比。17、在水准测量中要求前后视距相等是为了消除i角产生的系统误差。18、在测角中正倒镜观测是为了消除系统误差。
19、水准网的必要起算数据为1个，独立测角网的必要起算数据为4个。20、在水准测量中估读尾数不准确产生的误差是偶然误差。 21、独立测角网的条件方程有图形条件、圆周条件和极条件三种类型。 22、定权时单位权中误差可任意给定，它仅起比例常数的作用。23、测角 精度与角度的大小无关。24、观测值的权通常是没有量纲的。 25、在山地，水准测量的高差中误差与测站数的算术平方根成正比。 26、测角网的必要观测个数等于待定点个数的2倍。 27、仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件28、独 立水准网的条件方程式只有闭合水准路线。 29、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误 差两类。30、观测值的协因数与方差成正比，观测值的权与方差反比。31、观测值的权是其协因数的倒数。 32、误差传播律的作用是求观测值函数的中误差。33、条件方程的个 数等多余观测值个数。 34、以待定点的坐标为未知参数的间接平差称为坐标平差。35、单一 附合导线的多余观测始终是3。 36、消除或削弱系统误差的影响方法是在观测过程中采取一定的措施 或在观测结果中加入改正数。 37、同一个量多次等精度观测值的最或是值等于其算术平均值。 38、没有已知点的水准网，其必要观测值的个数等于待定点的个数减一。39、有已知点的水准网，其必要观测个数等于待定点个数。40、在相
第七章间接平差 §7-1间接平差原理 7.1.01 在间接平差中，独立参数的个数与什么量有关？误差方程和法方程的个数是多少？ 7.1.02 在某平差问題中，如果多余现测个数少于必要观测个数，此时间接平差中的法方程和条件平差中的法方程的个数哪—个少，为什么？ 7.1.03 如果某参数的近似值是根据某些现测值推算而得的，那么这些观测值的误差方程的常数项都会等于零吗？ 7.1.04 在图7-1所示的闭合水准网中，A为已知点（H A =10.OOOm)，P 1 ，P 2 为高程未知点，测得离差及水准路线长度为： h 1= 1.352m,S 1 =2km，h 2 =-0.531m，S 2 = 2km,h 3 = - 0.826m,S 3 = lkm。 试用间接平差法求各髙差的平差值。 7.1.05在三角形(图7-2)中，以不等精度测得 α=78º23´12"，P α =1; β= 85º30 '06 "，P ß =2; γ=16º06'32"，P γ =1; δ=343º53'24", P δ =1； 试用间接平差法求各内角的平差值。 7. 1.06设在单一附合水准路线(图7-3)中已知A,B两点高程为H A，H B， 路线 长为
S 1，S 2，观测高差为h 1 h 2，试用间接平差法写出P 点高程平差值的公式。 7. 1.07在测站0点观测了6个角度(如图7-4所示)，得同精度独立观测值: L 1=32º25'18", L 2 =61º14'36", L 3=94º09'40",L 4 172010'17" L 5=93º39'48", L 6=155º24'20" 已知A 方向方位角αA =21º10'15"，试按间接平差法求各方向方位角的平差值。 §7-2误差方程 7.2.08在间接平差中，为什么所选参数的个数应等于必要观测数，而且参数之间要函 数独立? 7.2.09能否说选取了足够的参数，每一个观侧值都能表示成参数的函数? 7.2. 10在平面控制网中，应如何选取参数? 7.2. 11条件方程和误差方程有何异同? 7.2.12误差方程有哪些特点? 7.2. 13图7-5中,A,B 为已知点，P 1~ P 5为待定点，P 1, P 5两点间的边长为已知， L 1～ L 6为角度观测值，S 1~S 6为边长观测值，试确定图中独立参数的个数。 7.2.14在图7-6中， A,B 已知点，P 1 ~P 3为未知点，观测角度L 1～ L 11，若设角度观
单一导线的间接平差 导线间接平差的定义 在测量工程中，当需要测量一条较长的线路时，如果直接使用一条导线进行测量，由于导线的自重、温度变化等因素，在较长的距离上会产生明显的误差。为了解决这个问题，可以采取导线间接平差的方法进行测量，即通过间接的测量手段来消除导线误差，提高测量精度。 单一导线的间接平差方法 单一导线的间接平差方法可以分为两类：一是通过距离测量实现导线间接平差，二是通过角度测量实现导线间接平差。 距离测量实现导线间接平差 距离测量实现导线间接平差的方法主要有以下几种： 1.光电测距法：利用光电传感器测量导线两端的距离，并通过计算消除 导线误差。这种方法测量精度较高，但需要较高的设备成本。 2.激光测距法：利用激光测距仪测量导线两端的距离，通过计算消除导 线误差。这种方法测量精度较高，设备成本也较高。 3.链条测距法：使用链条进行距离测量，通过距离平差消除导线误差。 这种方法的优点是设备成本相对较低，但测量精度相对较低。 角度测量实现导线间接平差 角度测量实现导线间接平差的方法主要有以下几种： 1.全站仪测角法：使用全站仪测量导线的角度，并通过计算消除导线误 差。这种方法测量精度较高，但设备成本相对较高。 2.光电转台测角法：使用光电转台测量导线的角度，并通过计算消除导 线误差。这种方法测量精度较高，设备成本相对较低。 3.罗盘测角法：使用罗盘测量导线的角度，并通过计算消除导线误差。 这种方法测量精度相对较低，但设备成本较低。 单一导线的间接平差的步骤 单一导线的间接平差一般包括以下几个步骤： 1.初步测量：利用直接测量手段对导线的长度和倾斜角进行初步测量。 2.误差检查：检查初步测量的误差，如有必要，进行修正。
《测量平差》复习题 第一章：绪论 1、什么是观测量的真值？ 任何观测量，客观上总存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值。 2、什么是观测误差？ 观测量的真值与观测值的差称为观测误差。 3、什么是观测条件？ 仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件。 4、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为哪几类？ 根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。 5、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。 6、观测条件与观测质量之间的关系是什么？ 观测条件好，观测质量就高，观测条件差，观测质量就低。 7、怎样消除或削弱系统误差的影响？ 一是在观测过程中采取一定的措施；二是在观测结果中加入改正数。 8、测量平差的任务是什么？ ⑴求观测值的最或是值（平差值）； ⑵评定观测值及平差值的精度。 第二章：误差理论与平差原则 1、描述偶然误差分布常用的三种方法是什么？ ⑴列表法； ⑵绘图法； ⑶密度函数法。 2、偶然误差具有哪些统计特性？ (1) 有界性：在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。 (2) 聚中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。 (3) 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等。 (4) 抵偿性：偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0。 3、由偶然误差特性引出的两个测量依据是什么？ ⑴制定测量限差的依据； ⑵判断系统误差(粗差)的依据。 4、什么叫精度？ 精度指的是误差分布的密集或离散的程度。 5、观测量的精度指标有哪些？ (1) 方差与中误差； (2) 极限误差； (3) 相对误差。 6、极限误差是怎样定义的？ 在一定条件下，偶然误差不会超过一个界值，这个界值就是极限误差。通常取三倍中误差为极限误差。当观测要求较严时，也可取两倍中误差为极限误差。 7、误差传播律是用来解决什么问题的？ 误差传播律是用来求观测值函数的中误差。 8、应用误差传播律的实际步骤是什么？
高程控制网平差计算 导入项目： 如图2-1所示水准网，已知A 点的高程为：m H A 000.50=，m H B 000.40=，观测高差及路线长度为： 求：（1）待定点i P 高程的平差值； （2）最弱点1P 高程平差值的中误差。 单一水准路线间接平差 案例导入：下图2-2是一附合水准路线等外水准测量示意图，A 、B 为已知高程的水准点，H A ＝11.000m ，H B ＝12.008m ，1、2为待定高程的水准点，求待定点的平差值及其平差值的中误差。 A B 3P 2
图2-2 附合水准路线示意图 知识准备： 一、多余观测 为了提高观测精度和避免差错，对要测量的量值的观测次数总是比必要的观测次数要多。例如，我们要确定三角形的形状，由平面几何的知识可知，只需测定其中任意两个角度就行了。对这样两个角度的观测，称为必要观测，通常以t 表示。但是为了提高观测精度和避免差错，通常也对第三个内角进行观测，相对于必要观测而言，对第三个内角的观测，就称为多余观测，通常以r 表示。设观测总数为n ，则有t n r -=。 二、间接平差的思想 针对具体的平差问题，选定t 个未知量，建立未知数与观测值间的函数关系，进而转化为误差方程，并依据最小二乘法原理，按求自由极值的方法解算出未知量的最优估值。间接平差法是以最小二乘为平差原则，以平差值方程、误差方程作为函数模型的平差方法。 三、间接平差的基本原理 间接平差的观测方程： 1 11ˆˆn t nt n d X B L += （2-1） 平差时，一般对参数X ˆ取近似值0 X ，令： x X X ˆˆ0+= （2-2） 因为： V L L +=ˆ （2-3） 将（2-2）、（2-3）式代入（2-1）式，并令： () 00L L d BX L l -=+-= （2-4） 则由（2-1）式观测方程可得到间接平差的误差方程： l x B V -=ˆ （2-5） 式中，l 为误差方程常数项，由（2-4）式知，l 与L 只相差一个常数项，故： Q Q Q LL ll == （2-6） 1L 2＝2.0km 3
//////////////////////////////////////////////////// // visual C++6.0 编译通过 // //////////////////////////////////////////////////// /////////////////////////////////////////////////// // 参考资料 // // 局部网络资料 // // 宋力杰"测量平差程序设计" // //姚连壁"基于matlab的控制网平差程序设计" // /////////////////////////////////////////////////// #include
第五章 间接平差 第一节 间接平差原理 1在图5-1的水准网中，P 1，P 2及P 3点为待定点，测得各段水准路线高差为： h 1=+1.335m ，S 1=2km h 2=+0.055m ，S 2=2km h 3=-1.396m ，S 3=3km 若令2km 路线上的观测高差为位权观测，试用间接平差法求高差的平差值。 2在三角形ABC 中（如图5-2），测得不等精度观测值如下： 试按间接平差计算各角的平差值。 图5-1 图5-2 3在图5-3的单一符合水准路线中，A ，B 点为已知点，P 1，P 2点为待定点，观测高差为h 1，h 2，h 3，路线长度为S 1，S 2，S 3，设观测高差的权为P i =1/S i ，并令P 1，P 2点高程为未知参数，试按间接平差原理求待定点高程平差值。 4在图5-4，A ，B ，C ，D 点在同直线上为确定其间的三段距离，测出了距离AB ，BC ，CD ，AC 和BD ，相应的观测值为： l 1=200.000m ，l 2=200.000m ，l 3=200.080m ，l 4=400.040m ，l 5=400.000m ， 设它们不相关且等精度。若分别选取取AB ，BC 及CD 三段距离为未知参数X 1，X 2和X 3，试按间接平差法求A ，D 两点间的距离平差值。 图5-3 图5-4 1,3.110251101='''=P β2,4.2813402 ,9.218088303202='''=='''=P P β β A P P 2 A A B 1 1 2 2 3 h 1
5在图5-5的直角三角形ABC 中已知AB=100.000m （无误差），测得边长AC 和角A ，得观测值为l 1=115.470m ，l 2=29059’55”，其中误差设为m l 1=±5mm ，m l 2=±4”，试按间接平差法求三角形高BC 的平差值。 图5-5 6试证明间接差中X ˆ与V ，L ˆ与V 不相关(0,0ˆˆ==V L V X Q Q )。 第二节 水准网间接平差 7由高程已知的水准点A ，B ，C 及D 向待定点P 作水准测量（如图5-6），得观测值及路线长度如下： h 1=+3.476m ，S 1=1km ，H A =3.520m h 2=+1.328m ，S 2=2km ，H B =4.818m h 3=+2.198m ，S 3=2km ，H C =3.768m h 4=+3.234m ，S 3=1km ，H D =5.671m 试按间接平差法列出其误差方程式。 8在图5-7的水准网中， 已知A ，B 点高程H A =5.000m ，H B =6.000m ，为确定P 1，P 2，P 3点高程进行了水准测量，观测结果为： h 1=+1.359m ，S 1=1km h 2=+2.009m ，S 2=1km h 3=+0.363m ，S 3=2km h 4=+0.640m ，S 4=2km h 5=+0.657m ，S 5=1km h 6=+1.000m ，S 6=1km h 7=+1.650m ，S 7=1.5km 试按间接平差法列出其误差方程。 图5-6 图5-7 9在图5-8的水准网中，欲测定A ，B ，C 及D 点间的高差进行了水准测量，其观高差及路 B