➢绪论
➢测量平差理论
➢4种基本平差方法
➢讨论点位精度
➢统计假设检验的知识
➢近代平差概论
➢
✧绪论
§1-1观测误差
测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。
一、误差来源
观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面：
1. 测量仪器；
2. 观测者；
3. 外界条件。
二、观测误差分类
1. 偶然误差
定义，例如估读小数；
2. 系统误差
定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距；
系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差
定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标
§2-1 正态分布
概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。
一、一维正态分布
§2-2偶然误差的规律性
2. 直方图
由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。
3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线）
在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性
第三章协方差传播律及权
在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。例如，在一个三角形中
同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别
又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。
现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。
§ 3—1 数学期望的传播
数学期望是描述随机变量的数字特征之一，在以后的公式推导中经常要用到它，因此，首先介绍数学期望的定义和运算公式。其定义是：
§ 3—2 协方差传播律
从测量工作的现状可以看出：观测值函数与观测值之间的关系可分为以下3种情况，下面就按这3种情况来讨论两者之间中误差的关系。
第四章平差数学模型与最小二乘原理
第五章条件平差
§5-1条件平差原理
以条件方程为函数模型的方法称之条件平差。
二、按条件平差求平差值的计算步骤及示例计算步骤：
1. 列出r=n-t个条件方程；
2. 组成并解算法方程；
3. 计算V和的值；
4. 检核。
例5-2
课外作业：
1. 在图1中，已知角度独立观测值及其中误差为：
（1）试列出改正数条件方程；
（2）试按条件平差法求的平差值。
2. 在图2中，A，B，C三点在一直线上，测出了AB，BC及AC的距离，得4个独立观测值：
若令100m量距的权为单位权，试按条件平差法确定A，C之间各段距离的平差值。
第六章附有参数的条件平差
一、问题的提出
由条件平差知，对于n个观测值，t个必要观测（n>t）的条件平差问题，可以列出r=n-t个独立的条件方程，且列出r个独立的条件方程后就可以进行后继的条件平差计算。然而，在实际工作中，有些平差问题的r个独立的条件方程很难列出。例如，在图1所示的测角网中，A、B为已知点，AC为已知边。观测了网中的9个角度，即n=9。要确定C、D、E三点的坐标，其必要观测数为t=5，故条件方程的个数为r=n-t=9-5=4，即必须列出4个独立的条件方程。由图1知，三个图形条件很容易列出，但第四个条件却不容易列出。
?绪论 ?测量平差理论 ?4种基本平差方法 ?讨论点位精度 ?统计假设检验的知识 ?近代平差概论 ?绪论 §1-1观测误差 测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。 一、误差来源 观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面： 1. 测量仪器； 2. 观测者； 3. 外界条件。 二、观测误差分类 1. 偶然误差
定义，例如估读小数； 2. 系统误差 定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距； 系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。 3. 粗差 定义，例如观测时大数读错。 误差分布与精度指标 §2-1 正态分布 概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。 一、一维正态分布
§2-2偶然误差的规律性
2. 直方图 由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。 3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线） 在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性 第三章协方差传播律及权 在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。例如，在一个三角形中同精度观测了3个角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别 又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。 现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。 §3—1 数学期望的传播
1、什么是观测量的真值？ 任何观测量，客观上总存在一个能反映其真正大小的数值，这个数值称为观测量的真值。 2、什么是观测误差？ 观测量的真值与观测值的差称为观测误差。 3、什么是观测条件？ 仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件。 4、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为哪几类？ 根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误差两类。 5、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程，称为误差公理。 6、观测条件与观测质量之间的关系是什么？ 观测条件好，观测质量就高，观测条件差，观测质量就低。 7、怎样消除或削弱系统误差的影响？ 一是在观测过程中采取一定的措施；二是在观测结果中加入改正数。 8、测量平差的任务是什么？ ⑴ 求观测值的最或是值（平差值）； ⑵ 评定观测值及平差值的精度。 第二章：误差理论与平差原则 1、描述偶然误差分布常用的三种方法是什么？ ⑴ 列表法；⑵ 绘图法；⑶ 密度函数法。 2、偶然误差具有哪些统计特性？ (1) 有界性：在一定的观测条件下，误差的绝对值不会超过一定的限值。 (2) 聚中性：绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率要大。 (3) 对称性：绝对值相等的正负误差出现的概率相等。 (4) 抵偿性：偶然误差的数学期望或偶然误差的算术平均值的极限值为0。 3、由偶然误差特性引出的两个测量依据是什么？ ⑴ 制定测量限差的依据；⑵ 判断系统误差(粗差)的依据。 4、什么叫精度？ 精度指的是误差分布的密集或离散的程度。 5、观测量的精度指标有哪些？ (1) 方差与中误差； (2) 极限误差； (3) 相对误差。 6、极限误差是怎样定义的？ 在一定条件下，偶然误差不会超过一个界值，这个界值就是极限误差。通常取三倍中误差为极限误差。当观测要求较严时，也可取两倍中误差为极限误差。 7、误差传播律是用来解决什么问题的？ 误差传播律是用来求观测值函数的中误差。 8、应用误差传播律的实际步骤是什么？ (1) 根据具体测量问题，分析写出函数表达式),,,(21n x x x f z =； (2) 根据函数表达式写出真误差关系式n n x x f x x f x x f z ???++???+???=? 2211； (3) 将真误差关系式转换成中误差关系式。
测量平差 一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的 在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。 测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。 2.协方差传播律及 协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。 ①观测值线性函数的方差： 函数向量： Y=F(X) Z=K(X) 其误差向量为： ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX 则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为 ⎪⎪ ⎪ ⎭⎪⎪⎪ ⎬ ⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D T X ZY T X YZ T X Z T X Y ②多个观测值线性函数的协方差阵 t ×n ×n ×t ×n T n XX t t ZZ K D K D = ③非线性的协方差传播 T XX ZZ K KD D = 3.权及常用的定权方法 ①权 表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。
()n i i i P ,...,2,1220== σ σ i P 为观测值i L 的权， 20 σ 是可以任意选定的比例常数。 ②单位权方差 权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。确定一组权时，只能用同一个0σ， 令0σσ=i ，则得: i i P ===02 2020 21σσ σσ 上式说明2 0σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。 凡是方差等于2 0σ的观测值，其权必等于1。权为1的观测值，称为单 位权观测值。无论2 0σ取何值，权之间的比例关系不变。 ③ ⅰ.水准测量的权 N C P h = 式中，N 为测站数。 S C P h = 式中，S 为水准路线的长度。 ⅱ.距离量测的权 i i S C P = 式中，i S 为丈量距离。 ⅲ.等精度观测算术平均值的权 C P i i N = 式中，i N 为i 次时同精度观测值的平均值。 4. ①协因数与协因数阵 n i p i i ii Q ,...,2,1/120 2 ===σ σ
1、测量学的研究内容：测定和测设。 2、测定：将地面上客观存在的物体通过测量的手段将其测成数据或图形。 3、测设：就是将测量的手段标定在地面上。 4、水准面：静止的水面。 5、大地水准面：水准面与静止的平均海水面相重合的闭合水准面。 6、铅垂线：重力方向线，是测量工作的基准线。 7、地球椭球面是测量工作的基准面。 8、地物：地面上人造或天然固定的物体：地貌：地面高低起伏形态。 9、测量上常用坐标系：天文、大地、高斯平面直角、独立平面直角。 10、绝对高程：地面点沿铅垂线到大地水准面的距离。相对高程：某点到任意水准面的距离。 11、高差：地面上两点之间高程差。 12、半径为10km范围内面积为320km2之内可以用水平面代替水准面时距离产生的误差可忽略不计；测距范围的100km2时，用平面代替水准面时对角度的影响可忽略不计；在高程测量中即使很短的距离也不可忽略。 13、测量工作的原则：a由整体到局部、由控制到碎部；b步步检核。14、测量的基本工作：测角、量边、测高程。15、测绘的基本工作：确定地面点的基本位置。 16、施工测量包括：建筑物施工放样、建筑物变形监测、工程竣工测量。 17、高程测量：测量地面上各点高程的工作。18、水准测量的实质：测量地面上两点之间的高差，是利用水准仪所提供的一条水平视线来实现的。19、高差计算方法：高差法、仪高法。 20、水准仪按构造可分为：微倾式、自动安平、数字水准仪，及水准尺和尺垫。 21、DS3构造：望远镜、水准器，基座。22、水准仪轴线之间的几何条件：a圆水准器轴平行于竖轴b十字丝横丝垂直于竖丝c水准管轴平行于视准轴。23、尺垫的作用：减少水准尺下沉和标志转点。24、水准尺的使用：粗平、瞄准、精平、读数。 24、水准点的分类：永久性和临时性。25、测站的检核方法：双面尺法和双仪高法。 26、水准路线检核方法：闭合水准路线、附合水准路线、支水准路线、水准网。 27、误差：仪器误差，观测误差、外界条件的影响。 28、角度测量：水平角和竖直角测量。29、经纬仪：光学和电子经纬仪。 30、DJ6：基座、水平度盘、照准部（望远镜、竖直度盘、水准管、读数显微镜） 31、经纬仪的使用步骤：对中、整平、瞄准、读数。32、水平角测量方法：测回法，方向观测法。33、距离测量常用的方法：钢尺直接、视距法、电磁波、卫星测距。 34、钢尺量距的误差：定线、尺长、温度测定、钢尺倾斜、拉力不均、钢尺对准、读数。 35、视距测量：利用望远镜内的视距装置配合视距尺根据几何光学和三角测量原理，同时测定距离高差的方法。 36、全站仪功能：角度测量、距离测量、坐标及高程测量、特殊测量功能。 37、直线定向：选择一个标准方向再根据直线与标志方向之间的关系确定该直线方向。 38、测量常用的标准方向线：真子午线、磁子午线、坐标纵轴方向。 39、误差来源：测量仪器、观测者、外界环境条件。 40、测量误差的种类：粗差、系统误差、偶然误差。 41、系统误差：在相同条件下，在某量进行的一系列观测中，数值大小和正负符号固定不变，或按一定规律变化的误差。 42、偶然误差：在相同条件下，在某量进行的一系列观测中，单个误差的出现没有一定的规律性，其数值的大小和符号都不固定，表现出偶然性，但大量的误差却具有一定统计规律。 43、偶然误差的特性：a在一定观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定限度，即偶然误差是有界的；b绝对值小的误差比绝对值大的误差出现的机会大；c绝对值相等的正负误差出现的个数大致相等；d偶然误差的算术平均值随着观测次数的无限增加趋与零。 44、控制测量：在一定区域内为地形测图和工程测量建立控制网，所进行的测量工作。
测量平差的基本原理和计算方法 测量平差是测量学中一个重要的概念，它用于消除测量误差，提高测量精度。本文将介绍测量平差的基本原理和计算方法。 一、测量平差的基本原理 测量平差的基本原理是通过对测量数据进行处理，消除不可避免的误差，得到更为准确的结果。在实际的测量过程中，由于各种因素的影响，测量结果往往不是完全准确的。而通过平差可以将这些误差分布在测量要素上，使得整个测量结果更为合理。 平差的基本原理包括以下几个方面： 1. 观测误差的性质：观测误差是服从一定的概率分布的，一般满足正态分布或其近似分布。 2. 绘图、观测和计算误差的连接性：测量平差将绘图误差、观测误差和计算误差联系在一起，通过适当的方法进行计算处理。 3. 误差的耦合性：测量过程中的各个要素之间存在着一定的关系，其误差也会相互影响。通过平差可以将这些误差合理地分配和补偿。 二、测量平差的计算方法 测量平差的计算方法有很多种，下面将介绍几种常见的方法。 1. 最小二乘法：最小二乘法是一种常用的测量平差方法，其基本思想是将误差的平方和最小化。通过对误差进行建模和优化，可以得到一组最优解。 2. 最大似然估计法：最大似然估计法是一种基于统计原理的测量平差方法。它根据观测数据的概率分布，选择出最具可能性的结果。通过最大化似然函数，可以得到一组最优解。
3. 权值平差法：权值平差法是一种根据观测精度的大小，给予不同权值的平差 方法。通过给观测数据引入权值，可以使得精度高的数据在计算过程中起到更大的作用，从而提高整体的测量精度。 4. 卡尔曼滤波法：卡尔曼滤波法是一种基于状态估计的测量平差方法。它通过 建立状态模型和测量模型，利用观测数据进行误差修正，从而得到更加准确的结果。 三、测量平差的应用 测量平差在实际应用中有着广泛的应用。以下通过几个领域的案例来说明。 1. 地理测量：在地理测量中，测量平差常用于大地测量和地图制图。通过平差 可以消除地球曲率、大地水准面等因素的影响，得到更加准确的测量结果，提高地图的精度和真实度。 2. 工程测量：在工程测量中，测量平差常用于建筑测量、道路测量等。通过平 差可以消除建筑物、地形等因素的影响，得到更加精确的测量结果，提高工程设计的准确性。 3. 水文测量：在水文测量中，测量平差常用于水流测量和水位测量。通过平差 可以消除水流波动、地形因素等的影响，得到更加准确的测量结果，提高水文预测的准确性。 总之，测量平差是提高测量精度和准确性的重要手段。通过对测量数据进行处 理和优化，可以得到更为可靠的结果。在实际应用中，根据不同的测量要求和误差特性，选择合适的平差方法进行计算，可以达到更好的效果。同时，测量平差也在不断发展和完善，为各个领域的精确测量提供了强有力的支持。
绪论 测量平差理论 4种基本平差方法 讨论点位精度 统计假设检验的知识 近代平差概论 ?绪论 §1-1观测误差 测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。 一、误差来源 观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面： 1. 测量仪器； 2. 观测者； 3. 外界条件。 二、观测误差分类 1. 偶然误差 定义，例如估读小数； 2. 系统误差 定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距； 系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差 定义，例如观测时大数读错。 误差分布与精度指标 §2-1 正态分布 概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。 一、一维正态分布 §2-2偶然误差的规律性
2. 直方图 由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。 3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线） 在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性 第三章协方差传播律及权 在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别 又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。 现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。 § 3—1 数学期望的传播
➢绪论 ➢测量平差理论 ➢4种基本平差方法 ➢讨论点位精度 ➢统计假设检验的知识 ➢近代平差概论 ✧绪论 §1-1观测误差 测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。 一、误差来源 观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面： 1. 测量仪器； 2. 观测者； 3. 外界条件。 二、观测误差分类 1. 偶然误差 定义，例如估读小数； 2. 系统误差 定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距； 系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。 3. 粗差 定义，例如观测时大数读错。
误差分布与精度指标 §2-1 正态分布 概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。 一、一维正态分布 §2-2偶然误差的规律性
2. 直方图 由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。 3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线） 在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性 第三章协方差传播律及权 在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别 又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。 现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。 §3— 1 数学期望的传播
《测量平差》学习辅导
第一章测量平差及其传播定律 一、学习要点 （一）内容： 测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其 传播规律。 （二）基本要求： 1．了解测量平差研究的对象和内容； 2．掌握偶然误差的四个概率特性； 3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律； 4．了解权的定义与常用的定权方法； 5．掌握协方差传播率。 （三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。 （四）难点：协方差、协因数传播率 二、复习题 （一）名词解释 1．偶然误差 2．系统误差 3．精度 4．单位权中误差 （二）问答题 1．偶然误差有哪几个概率特性? 2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些? （三）计算题 σ的量测中误差1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，d σ。 σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s
三、复习题参考答案 （一）名词解释 1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。 2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。 3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。 4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。 （二）问答题 1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。 2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ， 则定义：22 i p σσ=，称为观测值L i 的权。权与方差成正比。常用的定权方法有距 离丈量的权，水准测量高差的权，同精度观测值的算术平均值的权，导线测量角度闭合差的权，三角高程测量高差的权。 （三）计算题 解：S=500d=500×23.4=11700mm=11.7m 2 22500d s σσ= m mm d s 1.0100)2.0(500500±=±=±?==σσ 最后写成：S=11.7±0.1m
测量平差期末总结 一、引言 测量平差是地理信息系统(GIS)和工程测量领域非常重要的一部分，它涉及到对测量数据进行处理、分析和计算。测量平差能够提高测量数据的准确性和精确度，使得测量结果更加 可靠和可信。本文将对测量平差的一些基本概念、方法和步骤进行总结和分析，以期加深 对测量平差的理解和应用。 二、测量平差的基本概念 1. 测量平差的定义 测量平差是指通过一系列的数学模型和计算方法，对原始的测量数据进行处理和分析，以 获取更加准确和精确的测量结果的过程。测量平差的目的是消除测量误差，提高测量数据 的可靠性和精度。 2. 测量平差的分类 根据测量数据的性质和采集方式的不同，测量平差可以分为直接平差和间接平差。直接平 差是指对直接测量数据进行处理和分析，如经纬度测量、高程测量等；间接平差是指对间 接测量数据进行处理和分析，如距离测量、角度测量等。 3. 测量平差的基本原理 测量平差的基本原理是基于观测量的合理模型和模型的参数估计。通过观测量的数学模型，利用最小二乘法或加权最小二乘法等方法，求解模型的未知参数，从而得到测量结果的最 优估计。 三、测量平差的方法和步骤 1. 校正平差 校正平差是指对原始的测量数据进行检验和修正的过程。校正平差的目的是通过剔除异常 观测值和消除系统误差，得到更加准确和可靠的测量数据。 2. 数学模型的建立 数学模型是测量平差的基础，它是通过观测量的几何关系和误差模型建立的。数学模型可 以根据测量任务的不同而定，常见的数学模型有三角形测量模型、高程测量模型等。 3. 参数估计 参数估计是指根据观测量和数学模型，利用最小二乘法或其他的数学方法，求解模型的未 知参数。参数估计的目的是最小化观测量和模型的差异，得到最优估计。
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测量平差知识点 观测误差包括：粗差、系统误差、偶然误差。 粗差：即粗大误差，或者说是一种大量级的误观测差，是由观测过程中的差错造成的。 发现粗差的方法：进行必要的重复测量或多余观测，采用必要而又严格的检核、验算等，发现后舍弃或重测。 系统误差：在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号表现出一致性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为一常数，这种误差称为系统误差。 消除或削弱的方法:采取合理的操作程序（正、倒镜,中间法，对向观测等）；用公式改正，即加改正裁（如钢尺量距时的尺长误差等）。 偶然误差：在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出偶然性，即就单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，或者随机误差。 采臥措施：处理带仔偶然误差的观测值，就是木课程的内容，也叫做测量平差。 偶然谋差又称随机误差，有以I、•四个特性： 1）一定观测条件下，误差绝对值有一泄限值（有限性）； 2）绝对•值较小的课差比绝对值较人的课差出现概率人（渐降性）： 3）绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）； 4）偶然谋差的数学期望为零（抵偿性）。 衡量精度的指标有五个，分别眉中矗、平均矗、或然i灵差、极限i灵差以及相对中谋差。其中中矗和极限误差以及相对中保差是工程測量中常用的指标。 5、相对谋差 颠差、屮促差、极限促差等指标，对于菜些观测结果，有时还•侮全表达观测结果的好坏，例如，分别丈1000m及500⑴的两段距离，它们的中课差均为±2cn】，虽然两者■的中误差相同，但就M位长度而言，两者精度并彳、相同。显然询耆的郴对蒂度比后者耍高。一般:而言，一些与长度有关的观测俺或其函数值，单纯用中误苣还不能区分出蒂度的高低，所以常用相对课差。相对误筮没有单位，定义是：谋差绝对值与观测值之比，测量中一般将分子化为1,即用丄表示c N 13、观测向量的精度指标是协力差阵。它是个对称方阵；其中主对角统上元素代表各随机变虽的方差、非主对角线上元素代表两两随机变虽的互协方差，反应了随机向虽的相关程度。若互协方差等『零，则说明两向蜀足不相关的。
测量平差概要 一、基本概念 01、极条件的个数等于中点多边形、大地四边形和扇形的总数。02、 在间接平差中，独立未知量的个数等于必要观测数。03、协方差与权互为 倒数。 04、在测量中产生误差是不可避免的，即误差存在于整个观测过程， 称为误差公理。05、在间接平差中，误差方程的个数等于观测值的个数。 06、协因数阵与权阵互为逆阵。 07、偶然误差的四个统计特性是：有界性、聚中性、对称性和抵偿性。 08、圆周条件的个数等于中点多边形的个数。09、偶然误差服从正态分布。 10、只有包含中点多边形的三角网才会产生圆周角条件。 11、条件平差的法方程个数等于多余观测个数，间接平差的法方程的 个数等于必要观测数。 12、描述偶然误差分布常用的三种方法是：列表法、绘图法、密度函 数法。13、同一个量多次不等精度观测值的最或是值等于其加权平均值。 14、应用权倒数传播律时观测值间应误差独立。 15、极限误差是指测量过程中规定的最大允许误差值，通常取测量中 误差的3倍作为极限误差。 16、在平地，水准测量的高差中误差与水准路线长度的算术平方根成 正比。17、在水准测量中要求前后视距相等是为了消除i角产生的系统误差。18、在测角中正倒镜观测是为了消除系统误差。
19、水准网的必要起算数据为1个，独立测角网的必要起算数据为4个。20、在水准测量中估读尾数不准确产生的误差是偶然误差。 21、独立测角网的条件方程有图形条件、圆周条件和极条件三种类型。 22、定权时单位权中误差可任意给定，它仅起比例常数的作用。23、测角 精度与角度的大小无关。24、观测值的权通常是没有量纲的。 25、在山地，水准测量的高差中误差与测站数的算术平方根成正比。 26、测角网的必要观测个数等于待定点个数的2倍。 27、仪器误差、观测者和外界环境的综合影响称为观测条件28、独 立水准网的条件方程式只有闭合水准路线。 29、根据误差对观测结果的影响，观测误差可分为系统误差和偶然误 差两类。30、观测值的协因数与方差成正比，观测值的权与方差反比。31、观测值的权是其协因数的倒数。 32、误差传播律的作用是求观测值函数的中误差。33、条件方程的个 数等多余观测值个数。 34、以待定点的坐标为未知参数的间接平差称为坐标平差。35、单一 附合导线的多余观测始终是3。 36、消除或削弱系统误差的影响方法是在观测过程中采取一定的措施 或在观测结果中加入改正数。 37、同一个量多次等精度观测值的最或是值等于其算术平均值。 38、没有已知点的水准网，其必要观测值的个数等于待定点的个数减一。39、有已知点的水准网，其必要观测个数等于待定点个数。40、在相
平差知识点总结 一、平差的基本概念 1.平差的定义 平差是指利用数学方法对一组测量数据进行处理和分析，消除或减小测量误差，从而得到 比较准确的测量结果的过程。平差是保证测量精度的重要手段，它通过对测量数据的处理，能够提高测量结果的准确性和可靠性。 2.平差的分类 根据不同的处理方法和目的，平差可以分为几何平差、最小二乘平差、参数平差、条件平差、闭合平差等多种类型。其中，最小二乘平差是平差技术中应用最广泛的一种，它通过 最小化残差的平方和来确定未知参数的估计值，是一种较为常用的平差方法。 3.平差的应用 平差技术在工程测量、地形测绘、地质勘探、地球物理探测等领域都有着广泛的应用。在 实际测量中，由于测量仪器、环境等因素的影响，测量数据往往会存在一定的误差，平差 技术可以通过对测量数据进行处理，消除或减小这些误差，从而得到准确的测量结果。 二、平差的基本原理和方法 1.平差的基本原理 平差的基本原理是利用数学方法对测量数据进行处理和分析，通过建立数学模型和求解未 知参数的估计值，最终得到较为准确的测量结果。平差的核心是通过最小化残差来确定未 知参数的估计值，使得观测值和计算值之间的差异达到最小，从而提高测量结果的准确性。 2.平差的基本方法 平差的基本方法包括观测数据的处理、数学模型的建立、参数的求解以及结果的检查和评 定等几个步骤。在实际平差中，需要根据具体的测量任务和条件选择合适的平差方法，对 测量数据进行适当的处理和分析，最终得到满足精度要求的测量结果。 三、平差的要素和步骤 1.平差的要素 平差的要素包括观测数据、数学模型、未知参数、观测方程、法方程、权矩阵等几个方面。其中，观测数据是进行平差的基础和原始资料，数学模型是求解未知参数的理论基础，未 知参数是待求解的目标，观测方程和法方程是平差计算的基本方程，权矩阵则是对观测值 的权重进行考虑和处理。
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闭合导线坐标计算 闭合导线计算式根据外业观测的边长、夹角和方位角以及其中一个导线点的坐标，结合平差计算，来推算其余各导线点的坐标。 设对闭合导线n个内角分别进行了观测，各个符号精度要求的观测值为，并对闭合多边形的n个边长分别进行了测量，各个符号精度要求的观测值为；其中一个导线点的坐标为；确定其余各个导线点的坐标x, 1 角度闭合差的计算也调整 （1）实测角度闭合差的计算 闭合导线n个实测内角的和不等于其理论值（n-2）*180,其差称为角度闭合差以表示： (2)实测角度闭合差检核 角度闭合差校核是将实测角度闭合差也同级导线角度闭合差的容许值，按各级导线测量主要技术要求比较，以确定角度综合限差是否满足要求。这里角度综合限差采用图根导线数据，即=40。 （3）角度闭合差的调整 若≤，则可以进行角度闭合的调整，否则，应分析情况重测。角度闭合差的调整原则是，将以相反的符号平均分配到各个观测角中，即各点改正数为式=／n 计算时，根据角度的取位的要求，改正数可凑整到1″、6″、10″.若不能均分，一般情况下，因短边角引起的误差较大，因此给短边角的夹角多分配一点，使各角改正数的总和也反号的闭合差相等，即 2、推算各边的坐标方位角 推算各边的坐标方位角目的是为了计算坐标增量。推算方法根据起始方位角及改正后的转折角，按式依次推算出各边的坐标方位角。 或 式中：----------第i条边的正方位角
测量平差定义 测量平差是指通过多次测量得到的观测数据，通过一定的计算方法，使得测量结果符合一定的规律，达到一定的精度要求的一种方法。在测量工程中，为了减小误差，提高测量的精度和可靠性，常常需要进行平差处理。 测量平差的目的是通过对观测数据进行处理，得到更加准确和可靠的测量结果。在实际测量过程中，由于测量仪器的误差、观测人员的操作误差、环境条件的变化等原因，测量结果往往存在一定的误差。通过测量平差可以将这些误差进行合理的分配和抑制，从而提高测量结果的精度和可靠性。 测量平差的方法有很多种，常见的包括最小二乘平差法、权中心平差法、条件平差法等。最小二乘平差法是一种常用的平差方法，它通过最小化观测数据与平差结果之间的残差平方和来确定平差结果。权中心平差法则是根据各观测数据的精度，将权重合理分配给每个观测数据，从而达到最优平差结果。 测量平差的过程主要包括观测数据的处理和平差计算两个步骤。观测数据的处理包括数据的录入、检查、筛选等步骤，其主要目的是保证观测数据的准确性和可靠性。平差计算则是在观测数据的基础上，根据平差模型和平差方法，进行平差计算，得到最终的平差结果。
在测量平差的过程中，需要注意一些常见的问题。首先是观测数据的选择和处理要合理，需要考虑到具体的测量任务和测量要求。其次是需要保证测量仪器的精度和稳定性，以及观测人员的操作准确性。此外，还需要注意数据的传输和存储过程中的数据保护和安全性。 测量平差在实际工程中有着广泛的应用。在土木工程中，测量平差可以用于测量建筑物、道路等工程的坐标和形状；在地理测量中，测量平差可以用于测量地球表面的形状和地理坐标；在电力工程中，测量平差可以用于电力线路的测量和设计等。通过测量平差，可以提高工程的精度和可靠性，为工程建设提供准确的基础数据。 测量平差是一种通过对观测数据进行处理，得到更加准确和可靠的测量结果的方法。它在测量工程中起着重要的作用，可以提高测量结果的精度和可靠性，为工程建设提供准确的基础数据。通过合理选择和处理观测数据，采用适当的平差方法和计算步骤，可以得到满足要求的测量结果。在实际应用中，需要注意观测数据的准确性和可靠性，以及测量仪器的精度和稳定性，从而保证测量平差的精度和可靠性。
测量平差概念 由于测量仪器的精度不完善和人为因素及外界条件的影响，测量误差总是不可避免的。为了提高成果的质量，处理好这些测量中存在的误差问题，观测值的个数往往要多于确定未知量所必须观测的个数，也就是要进行多余观测。有了多余观测，势必在观测结果之间产生矛盾，测量平差的目的就在于消除这些矛盾而求得观测量的最可靠结果并评定测量成果的精度。测量平差采用的原理就是“最小二乘法”。测量平差是德国数学家高斯于1821～1823年在汉诺威弧度测量的三角网平差中首次应用，以后经过许多科学家的不断完善，得到发展，测量平差已成为测绘学中很重要的、内容丰富的基础理论与数据处理技术之一 测量误差基本知识 测量工作的实践表明，观测值中存在测量误差，或者说，测量误差是不可避免的。产生测量误差的原因，概括起来有以下三个方面：(1)人的原因。由于观测者的感觉器官的鉴别能力存在局限性，所以，对于仪器的对中、整平、瞄准、读数等操作都会产生误差。另外，观测者技术熟练程度也会给观测成果带来不同程度的影响。(2)仪器的原因。每一种测量仪器只具有一定的精确度，因此，使测量结果受到一定的影响。(3)外界环境的影响。测量工作进行时所处的外界环境中的空气温度、风力、日光照射、大气折光、烟雾等客观情况时刻在变化，使测量结果产生误差。 人、仪器和环境是测量工作得以进行的必要条件，但是，这些观测条件都有其本身的局限性和对测量的不利因素。因此，测量成果中的误差是不可避免的。 (二)测量误差的分类与处理原则 测量误差按其产生的原因和对观测结果影响性质的不同，可以分为粗差、系统误差和偶然误差三类。 1．粗差 由于观测者的粗心或各种干扰造成的特别大的误差称为粗差。如瞄错目标、读错大数等，粗差有时也称错误。 2．系统误差 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果出现的误差在符号和数值上都相同，或按一定的规律变化，这种误差称为“系统误差”，系统误差具有积累性。 系统误差对观测值的影响具有一定的数学或物理上的规律性。如果这种规律性能够被找到，则系统误差对观测的影响可加以改正，或者用一定的测量方法加以抵消或削弱。 3．偶然误差 在相同的观测条件下，对某一量进行一系列的观测，如果误差出现的符号和数值大小都不相同，从表面上看没有任何规律性，这种误差称为“偶然误差”。偶然误差是由人力所不能控制的因素或无法估计的因素共同引起的测量误差，其数值的正负、大小纯属偶然。 4．误差处理原则 粗差是一种特别大的误差，是由于观测者的粗心大意或受到干扰所造成的错误。错误应该可以避免，包含有错误的观测值应该舍弃，并重新进行观测。 为了防止错误的发生和提高观测成果的精度，在测量工作中，一般需要进行多于必要的观测，称为“多余观测”。有了多余观测，就可以发现观测值中的错误，以便将其剔除和重测。由于观测值中的偶然误差不可避免，有了多余观测，观测值之间必然产生矛盾(往返差、不符值、闭合差)，根据差值的大小，可以评定测量的精度，差值如果大到一定程度，就认为观测值中有错误(不属于偶然误差)，称为误差超限，应予重测，差值如果不超限，则按偶然误差的规律加以处理，称为闭合差的调整，以求得最可靠的数值。 至于观测值中的系统误差，应该尽可能按其产生的原因和规律加以改正、抵消或削弱。
一、名词解释： 1、观测值：用测量仪器、工具等多种测量手段和方法对观测对象进行测量所获得并以数字形式表示的结果； 2、观测误差：即是观测值与理论值之间的差值； 3、系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果在大小、符号上表现出系统性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者保持一常数； 4、偶然误差：在相同的观测条件下做一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差上来看，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差总体而言，具有一定的统计规律； 5、真值：任何一个被观测的量，客观上存在着一个能代表其真正值大小的数值，这一数值被称为该量的真值； 6、精度：就是指误差分布的密集或离散程度，即离散度的大小； 7、准确度：在一定的实验条件下，多次测定的平均值与其真值相等符合的程度，即测量结果与测量真值的一直程度； 8、中误差：在测量中，方差的算数平方根用于衡量精度的标准，中误差不是代表个别具体误差大小，而是代表一组同精度观测值真误差的代表； 9、必要观测及多余观测：为确定网中位置而必须观测的观测值个数成为必要观测，凡超过必要观测的观测称为多余观测；10、独立观测值：在测量工作中，直接观测得到的高差、距离、
角度和方向等都是独立观测值； 11、直接观测平差法：就是针对只有一个未知数的测量问题，根据这些观测值，球的该问题中未知数最或染指的一种方法；12、条件平差法：根据条件方程式按最小二乘原理求观测值的最或是值； 13、间接平差法：根据观测量与未知量的函数关系，列出误差方程式，然后再按最小二乘原理求未知量的最或是值； 14、起算数据：为了确定控制网的大小和位置所必须的已知数据； 15、独立网及非独立网：等于或少于起算数据的网成为独立网，多余起算数据的网成为非独立网； 16、极条件：17、基线条件：18、固定边条件：19、坐标方位角条件: 20、平差值函数：就是平差中某些量是通过平差值计算出来的 21、误差椭圆：常以长短半轴老绘制标准的椭圆来代替相应的误差曲线，用来计算待定点在各方向上的位差。 二、简答： 1、观测误差产生的原因: 答：观测误差主要由以下三方面原因引起： （1）测量仪器：测量工作时由测量仪器进行的，由于每一种仪器仅具有一定的精密度，因而使观测值的精确程度受到一 定的限制； （2）观测者：由于观测者感官器官的鉴别能力具有一定的局限