附有限制条件的间接平差名词解释
限制条件是指针对某一特定系统中单个变量的观测值的限定条件，或者更正某一特定系统中的单个变量。间接平差是一种数学技术，用于根据一系列已知条件或观测值，求解未知变量。它利用满足限制条件的最优化方法，在未知条件下，从多个观测输入变量中确定一系列未知变量。如果限制条件设定恰当，那么间接平差能够准确无误地求解未知变量。
一、填空 1.误差来源：测量仪器、观测者、外界条件。 2.误差分类：偶然误差、系统误差、粗差。 3.测量平差的基本任务：是处理一系列带有偶然误差的观测值，求取未知量的最佳估值，评定测量成果的精度。 4.偶然误差的四个特性：有限性、单峰性、对称性、有偿性。 5.水准测量中，观测值权的大小主要取决于或的大小。 6.独立观测值Li(i=1,2,3...n)的权均为p，则算术平均值x=L/n的权为np 。 7.间接平差法是以为函数模型的平差方法。 8.衡量精度的指标：中误差、平均误差、然误差。 9.相对中误差的概念为（中误差与观测值之比）其表示为（1/N） 二、名词解释 1.偶然误差：在相同观测条件下做一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差来看该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差。 系统误差：在相同观测条件下做一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出系统性，或者在观测过程中按照一定的规律变化，或者为某一常数，这种误差称为系统误差。 2.测量平差：依据某种最优化准则，由一系列带有观测误差的测量数据，求定未知量的最佳估值及精度的理论和方法。 3.数学期望：随机变量取值的概率平均值 协方差：是描述两随机变量的相关度 偶然误差的特性：在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值 绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大 绝对值相等的正负值出现的概率相同 偶然误差数学期望为0 4.精度：就是指误差分布的密度或离散程度。 ?协方差传播定律：由观测值中误差求取观测值函数的中误差或方差，解决精度问题 ?协因数传播定律：由观测值协因数求取观测值函数的协因数阵 权：表示各观测值方差之间比例关系的数字特征 水准测量定权的方法 1.根据测站的观测高差定权 2.根据距离的观测高差定权 2.测量上确定权的常用方法？ 水准测量的权、同精度观测值的算术平均值的权 5.单位权中误差：权为1的观测值的中误差（与单位权对应的观测值的中误差） 必要元素：能够唯一确定一个几何模型所必要的元素 6.条件方程：一个几何模型的独立量个数最多为t个，除此之外，增加一个量必然要产生一个相应的函数关系式，这种函数关系式在测量平差中称为条件方程。 观测方程：将观测量表达为t个独立参数的函数称为观测方程。 条件平差：一个几何模型中有r个多余观测，就产生个r个条件方程，以条件方程为函数模型的平差方法（条件平差） 间接平差：所选的独立参数的个数等于必要观测数t时，可将每个观测值表达成t个参数的函数，组成观测方程（间接平差）
第一章绪论 第二、三章全书的基础知识 第四章介绍测量平差理论 第五、六、七、八章 4种平差方法 第九章各种平差方法的总结 第十章讨论点位精度 第十一章统计假设检验的知识 第十二章近代平差概论 根据本科教学大纲的要求，重点讲解第二章~第八章以及第十章的内容。 二、如何学好测量平差 1. 要有扎实的数学基础。只有牢固地把握了高等数学，线性代数和概率与数理统计等课程的知识才能学好测量平差，因此课前要做到预习，对与以上三门课程有关内容进行温习，只有如此才能听懂这一节课。 2. 听课时弄清解决问题的思路，掌握公式推导的方法以及得到的结论，培养独立思考问题和解决问题的能力。 3. 课后及时复习并完成一定数量的习题（准备A、B两个练习本），从而巩固课堂所学的理论知识。 第一章绪论 本章要紧说明观测误差的产生和分类，测量平差法研究的内容和本课程的任务。 第二章误差散布与精度指标
全章共分5节，是本课程的重点内容之一。 重点：偶然误差的规律性，精度的含义以及衡量精度的指标。 难点：精度、准确度、精确度和不确定度等概念。 要求：弄懂精度等概念；深刻理解偶然误差的统计规律；牢固掌握衡量精度的几个指标。 第三章协方差传播律及权 全章共分7节，是本课程的重点内容之一。 重点：协方差传播律，权与定权的常用方法，以及协因数传播律。 难点：权，权阵，协因数和协因数阵等重要概念的定义，定权的常用方法公式应用的条件，以及广义传播律（协方差传播律和协因数传播律）应用于观测值的非线性函数情况下的精度评定问题。 要求：通过本章的学习，弄清协因数阵，权阵中的对角元素与观测值的权之间的关系； 能牢固地掌握广义传播律和定权的常用方法的全部公式，并能熟练地应用到测量 实践中去，解决各类精度评定问题。 第四章平差数学模型与最小二乘原理 全章共分5节。 重点：测量平差的基本概念，四种基本平差方法的数学模型和最小二乘原理。 难点：函数模型的线性化，随机模型。
国土信息与测绘工程系教案（首页） 班级：课程：误差理论与测量平差授课日期：年月日第周A.提出问题，导入新课 如何处理带有误差的观测数据，即如何建立各种模型，采用何种原则进行数据处理。 第四章平差的数学模型与最小二乘原理 B.授课章节名称：第四章平差数学模型与最小二乘原理 教学要点： 1、观测数、必要观测数、多余观测数 2、函数模型和随机模型 重点： 1、各种函数模型的建立 2、最小二乘原理 难点： 1、针对问题如何建立数学模型 2、最小二乘原理的理论依据 C.教学过程设计 测量平差概述 条件平差法
间接平差法 附有参数的条件平差法 具有约束条件的间接平差法 平差的随机模型 函数模型的线性化 最小二乘原理 作业题布置 第九讲和第十讲 第四章平差的数学模型与最小二乘原理 同学们，我们学习了误差理论的基本概念。那么如何处理观测数据、在处理数据中遵循何种原则？ 本次课程我们将简要地叙述这一问题。 §4.1 测量平差概述 在大地测量中，求定一些点的高程－建立水准网（点间的高差、点的高程元素），求定某些点的坐标－建立平面控制网或3维测量网（角度、边长、边的方位角或者点的2维、3维坐标等元素）。 为了测定一个集几何模型，并不需要测定所有元素的大小，只需要知道其中部分元素就可以了，其它元素可通过它们来确定。例如 ?的形状 1、ABC ?的形状和大小 2、ABC 3、水准网 存在以下概念： 1、必要观测次数t（个数和类型）
2、实际观测次数 n 3、多余观测次数 t n r -= §4.2 测量平差的数学模型 在日常生活和科学研究中，时常见到很多模型，一般主要有实物的模拟模型和数学模型。 测量平差的数学模型包括：函数模型和随机模型 一、条件平差法 以条件方程为函数模型的平差方法，称为条件平差法。 在具体测量问题中，实际观测次数 n ，必要观测次数 t ，则多余观测次数 t n r -=，那么可建立t n r -=个条件方程，即： 0)~(=L F i ，),,2,1(r i = 这里 ?????? ? ??=n L L L L ~~~~21 ，??????? ??=n L L L L 21，??????? ?????=?n 21；?+=L L ~ 线性方程的情况下，是 0~1 01=+???r n n r A L A 011=+????r n n r W A ，)(1 011????+=r n n r r A L A W 条件平差的自由读是多余观测数t n r -=，即条件方程的个数。 二、间接平差法 选择几何模型中t 个独立量为平差的参数，将每一个观测量表达成所选参数的函数，即列出n 个这种函数关系式，以此为平差的函数模型，称为间接平差法，又称为参数平差法。 在具体测量问题中，实际观测次数 n ，必要观测次数 t ，则多余观测次数 t n r -=。选择t 个函数独立的参数)~,,~,~(21t X X X 后，可有 )~(~1X F L n =? 这里
测量平差 一．测量平差基本知识 1.测量平差定义及目的 在设法消除系统误差、粗差影响下，其基本任务是求待定量的最优估量和评定其精度。人们把这一数据处理的整个过程叫测量平差。 测量平差的目的：一是通过数据处理求待定量的最优估值；二是评定观测成果的质量。 2.协方差传播律及 协方差传播律是观测值(向量)与其函数(向量)之间精度传递的规律。 ①观测值线性函数的方差： 函数向量： Y=F(X) Z=K(X) 其误差向量为： ΔY=F ΔX ΔZ=K ΔX 则随机向量与其函数向量间的方差传递公式为 ⎪⎪ ⎪ ⎭⎪⎪⎪ ⎬ ⎫====F D K D K D F D K D K D F D F D T X ZY T X YZ T X Z T X Y ②多个观测值线性函数的协方差阵 t ×n ×n ×t ×n T n XX t t ZZ K D K D = ③非线性的协方差传播 T XX ZZ K KD D = 3.权及常用的定权方法 ①权 表示比例关系的数字特征称之为权，也就是权是表征精度的相对指标。权的意义不在于它们本身数值的大小，而在于它们之间所存在的比例关系。
()n i i i P ,...,2,1220== σ σ i P 为观测值i L 的权， 20 σ 是可以任意选定的比例常数。 ②单位权方差 权的作用是衡量观测值的相对精度，称其为相对精度指标。确定一组权时，只能用同一个0σ， 令0σσ=i ，则得: i i P ===02 2020 21σσ σσ 上式说明2 0σ是单位权(权为1)观测值的方差，简称为单位权方差。 凡是方差等于2 0σ的观测值，其权必等于1。权为1的观测值，称为单 位权观测值。无论2 0σ取何值，权之间的比例关系不变。 ③ ⅰ.水准测量的权 N C P h = 式中，N 为测站数。 S C P h = 式中，S 为水准路线的长度。 ⅱ.距离量测的权 i i S C P = 式中，i S 为丈量距离。 ⅲ.等精度观测算术平均值的权 C P i i N = 式中，i N 为i 次时同精度观测值的平均值。 4. ①协因数与协因数阵 n i p i i ii Q ,...,2,1/120 2 ===σ σ
一、填空题 1、概括平差通式。 1111111 0?0???????????=+=++s s x u u s c c u u c n n c W x C W x B V A ① 当参数个数u=0时，条件平差； ② 当参数个数u=t 时，间接平差； ③ 当参数个数u
第八章 概括平差函数模型 §8.1概述 在已经介绍过的条件平差，间接平差，附有参数的条件平差以及附有限制条件的间接平差等四种基本平差方法，其差别就在于函数模型不同。若将误差方程也视为参数形式的条件方程，以未知参数为纽带，可以对4种平差方法概括如下： （1）、条件平差：0)?(=L F ，不选择未知参数，方程数等于多余观测数：c=t n r -= （2）、间接平差：)?(?X F L =，选函数独立未知数t u =，方程数n t r u r c =+=+= （3）、附有参数的条件平差：0)?,?(=X L F ，选择t u <个函数独立参数，除应列出r 个条件方程外，还要附加u 个对未知参数的约束条件方程，所以必须列出u r c +=个条件方程。 （4）、附有限制条件的间接平差：)?(?X F L =，0)?(=ΦX 。选择t u >个参数，参数间存在t u s -=个函数关系。所以除列出n 个误差方程)?(?X F L =（也可视为特殊形式的条件方程－参数方程形式的条件方程），还要列出s 个限制条件方程0)?(=ΦX 。方程数c=n ＋s 。 由此可见，是否选择参数及如何选择参数决定着平差方法，即参数是联系各种平差 方法的纽带。另外可以看到，前三种函数模型中都含有观测量，或者同时包含观测量和未知参数，而后一种只含有未知参数而无观测量。为了便于区别，将前三种统称为一般条件方程，而后者称为限制条件方程，并统称为条件方程。 在任何几何模型中，函数独立参数个数总是介于下列范围之内： t u ≤≤0。也就是说，在任一平差问题中，最多只能列出t u =个函数独立的参数。在不选择参数时，一般条件方程数c 等于多余观测数t n r -=，若又选用了u 个函数独立参数，则总共应当列出u r c +=个一般条件方程。由于t u ≤，因此一般条件方程的个数总是介于n c r ≤≤范围，即一般条件方程总数不超过n 个。
第一章思考题（2006） 1。1观测条件是由那些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？ 1.2 观测误差分为哪几类?它们各自是怎样定义的?对观测结果有什么影响？试举例说明. 1。3用钢尺丈量距离，有下列几种情况使得结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号： （1）尺长不准确； （2）尺不水平; （3）估读小数不准确; （4）尺垂曲； 尺端偏离直线方向。 1.4 在水准了中,有下列几种情况使水准尺读书有误差，试判断误差的性质及符号: （1）视准轴与水准轴不平行；
（2） 仪器下沉; （3） 读数不准确； 水准尺下沉。 1.5 何谓多余观测?测量中为什么要进行多余观测？ 第二章思考题 2。1 为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角'"450000α=作12次 同精度观测，结果为: '"450003 '"450004 '"450000 '" 455958 '" 455959 '" 455959 '"450006 '"450003 设a 没有误差，试求观测值的中误差。 2.2 已知两段距离的长度及中误差分别为300。465m ±4。5cm 及660。894m ±4.5cm ，试说明这两段距离的真误差是否相等?他们的精度是否相等？ 2.3 设对某量进行了两组观测，他们的真误差分别为： 第一组:3，—3,2，4,—2，—1，0，—4，3，-2 第二组：0，—1，—7，2，1,—1，8，0,-3，1 试求两组观测值的平均误差1ˆθ、2 ˆθ和中误差1ˆσ、2ˆσ,并比较两组观测值的精度。 2.4 设有观测向量1 221 []T X L L =,已知1ˆL σ =2秒,2ˆL σ=3秒,122ˆ2L L σ=-秒，试写出其协方差阵22XX D 。
《测量平差》学习辅导
第一章测量平差及其传播定律 一、学习要点 （一）内容： 测量误差的概念、测量误差来源、分类；偶然误差概率特性；各种精度指标；真误差定义；协方差传播律；权与定权的常用方法；协因数传播律；权逆阵及其 传播规律。 （二）基本要求： 1．了解测量平差研究的对象和内容； 2．掌握偶然误差的四个概率特性； 3．了解精度指标与误差传播偶然误差的规律； 4．了解权的定义与常用的定权方法； 5．掌握协方差传播率。 （三）重点：偶然误差的规律性，协方差、协因数的概念、传播律及应用；权的概念及定权的常用方法。 （四）难点：协方差、协因数传播率 二、复习题 （一）名词解释 1．偶然误差 2．系统误差 3．精度 4．单位权中误差 （二）问答题 1．偶然误差有哪几个概率特性? 2.权是怎样定义的，常用的定权方法有哪些? （三）计算题 σ的量测中误差1．在1:500的图上，量得某两点间的距离d=23.4mm，d σ。 σ=±0.2mm，求该两点实地距离S及中误差s
三、复习题参考答案 （一）名词解释 1．偶然误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测误差从表面上看其数值和符号不存在任何确定的规律性，但就大量误差总体而言，具有统计性的规律，这种误差称为偶然误差。 2．系统误差：在一定条件下做一系列的观测，如果观测的误差在大小、符号上表现出系统性，或者为某一常数，或者按照一定的规律变化，这种带有系统性和方向性的误差称为系统误差。 3．精度：表示同一量的重复观测值之间密集或吻合的程度，即各种观测结果与其中数的接近程度。 4．单位权中误差：权等于1的中误差称为单位权中误差。 （二）问答题 1．答：有四个概率特性：①在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限值，或者说超出一定限值的误差出现的概率为零；②绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大；③绝对值相等的正负误差出现的概率相同；④偶然误差的数学期望为零。 2．答：设i L （i=1,2,3，…,n ）,他们的方差为2i σ，如选定任一常数0σ， 则定义：22 0i p σσ=，称为观测值L i 的权。权与方差成正比。常用的定权方法有距 离丈量的权，水准测量高差的权，同精度观测值的算术平均值的权，导线测量角度闭合差的权，三角高程测量高差的权。 （三）计算题 解：S=500d=500×23.4=11700mm=11.7m 2 22500d s σσ= m mm d s 1.0100)2.0(500500±=±=±⨯==σσ 最后写成：S=11.7±0.1m
1.1 观测条件是由那些因素构成的？它与观测结果的质量有什么联系？ 1.2 观测误差分为哪几类？它们各自是怎样定义的？对观测结果有什么影响？试举例说明。 1.3用钢尺丈量距离，有下列几种情况使得结果产生误差，试分别判定误差的性质及符号：（1）尺长不准确； （2）尺不水平； （3）估读小数不准确； （4）尺垂曲； （5）尺端偏离直线方向。 1.4 在水准了中，有下列几种情况使水准尺读书有误差，试判断误差的性质及符号： （1）视准轴与水准轴不平行； （2）仪器下沉； （3）读数不准确； （4）水准尺下沉。 1.5 何谓多余观测？测量中为什么要进行多余观测？ 答案： 1.3 （1）系统误差。当尺长大于标准尺长时，观测值小，符号为“+”；当尺长小于标准尺长时，观测值大，符号为“-”。 （2）系统误差，符号为“-” （3）偶然误差，符号为“+”或“-” （4）系统误差，符号为“-” （5）系统误差，符号为“-” 1.4 （1）系统误差，当i角为正时，符号为“-”；当i角为负时，符号为“+” （2）系统误差，符号为“+” （3）偶然误差，符号为“+”或“-” （4）系统误差，符号为“-”
2.1 为了鉴定经纬仪的精度，对已知精确测定的水平角' " 450000α=作12次同精度观测，结果为： '"450006 '" 455955 '" 455958 '"450004 '"450003 '"450004 '"450000 '" 455958 '" 455959 '" 455959 '"450006 '"450003 设a 没有误差，试求观测值的中误差。 2.2 已知两段距离的长度及中误差分别为300.465m ±4.5cm 及660.894m ±4.5cm ，试说明这两段距离的真误差是否相等？他们的精度是否相等？ 2.3 设对某量进行了两组观测，他们的真误差分别为： 第一组：3，-3，2，4，-2，-1，0，-4，3，-2 第二组：0，-1，-7，2，1，-1，8，0，-3，1 试求两组观测值的平均误差1?θ、2 ?θ和中误差1?σ、2?σ，并比较两组观测值的精度。 2.4 设有观测向量1 221 []T X L L =，已知1?L σ =2秒，2?L σ=3秒，122?2L L σ=-秒，试写出其协方差阵22XX D 。 2.5 设有观测向量1 2 331 []T X L L L =的协方差阵334202930316XX D -?? ??=--????-?? ，试写出观测值 L 1，L 2，L 3的中误差及其协方差12L L σ、13L L σ和23L L σ。 答案： 2.1 ? 3.62"σ = 2.2 它们的真误差不一定相等，相对精度不相等，后者高于前者 2.3 1?θ=2.4 2?θ=2.4 1?σ =2.7 2?σ=3.6 两组观测值的平均误差相同，而中误差不同，由于中误差对大的误差反应灵敏，故通常采用 中误差做为衡量精度的的指标，本题中1?σ<2?σ，故第一组观测值精度高 2.4 2 2242()29XX D -??= ?-?? 秒 2.5 1L σ=2, 2L σ=3, 34L σ=,122L L σ=-,130L L σ=,233L L σ=-
平差知识点总结(总10页) -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-CompanY One 1 -CAL-本页仅作为文档封面，使甬请直接删除
测量平差知识点 观测误差包括：粗差、系统误差、偶然误差。 粗差：即粗大误差，或者说是一种大量级的误观测差，是由观测过程中的差错造成的。 发现粗差的方法：进行必要的重复测量或多余观测，采用必要而又严格的检核、验算等，发现后舍弃或重测。 系统误差：在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号表现出一致性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为一常数，这种误差称为系统误差。 消除或削弱的方法:采取合理的操作程序（正、倒镜,中间法，对向观测等）；用公式改正，即加改正裁（如钢尺量距时的尺长误差等）。 偶然误差：在相同条件下进行一系列观测，如果误差在大小、符号上表现出偶然性，即就单个误差而言，该误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差，或者随机误差。 采臥措施：处理带仔偶然误差的观测值，就是木课程的内容，也叫做测量平差。 偶然谋差又称随机误差，有以I、•四个特性： 1）一定观测条件下，误差绝对值有一泄限值（有限性）； 2）绝对•值较小的课差比绝对值较人的课差出现概率人（渐降性）： 3）绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）； 4）偶然谋差的数学期望为零（抵偿性）。 衡量精度的指标有五个，分别眉中矗、平均矗、或然i灵差、极限i灵差以及相对中谋差。其中中矗和极限误差以及相对中保差是工程測量中常用的指标。 5、相对谋差 颠差、屮促差、极限促差等指标，对于菜些观测结果，有时还•侮全表达观测结果的好坏，例如，分别丈1000m及500⑴的两段距离，它们的中课差均为±2cn】，虽然两者■的中误差相同，但就M位长度而言，两者精度并彳、相同。显然询耆的郴对蒂度比后者耍高。一般:而言，一些与长度有关的观测俺或其函数值，单纯用中误苣还不能区分出蒂度的高低，所以常用相对课差。相对误筮没有单位，定义是：谋差绝对值与观测值之比，测量中一般将分子化为1,即用丄表示c N 13、观测向量的精度指标是协力差阵。它是个对称方阵；其中主对角统上元素代表各随机变虽的方差、非主对角线上元素代表两两随机变虽的互协方差，反应了随机向虽的相关程度。若互协方差等『零，则说明两向蜀足不相关的。
本节重点：（1）测量平差的函数模型定义，类型；测量平差的数学模型包括：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型； （2）测量平差的随机模型。 本节教学思路： 首先说明平差的数学模型分两类：函数模型与随机模型，进而分别阐述其定义、分类及建立的方法和模型的具体形态。 教学内容： 一、平差模型的定义与分类 1．从模型的性质分：函数模型、随机模型，函数模型连同随机模型称平差的数学模型； 2．函数模型又分为：条件平差法模型、间接平差法模型、附有参数的条件平差法模型、附有限制条件的间接平差法模型、综合平差模型； 二、各类函数模型的建立 （一）概述 1．函数模型定义： 在科学技术领域，通常对研究对象进行抽象概括，用数学关系式来描述它的某种特征或内在的联系，这种数学关系式就称为函数模型。 2．函数模型的意义与特点 函数模型是描述观测量与待求量之间的数学函数关系的模型。 对于一个平差问题，建立函数模型是测量平差中最基本、最重要的问题，模型的建立方法不同，与之相应就产生了不同的平差方法。 函数模型有线性与非线性之分，测量平差通常是基于线性函数模型，当函数模型为非线性时（如（2-1-4）式），总是要将其线性化。 （二）各种经典平差方法及其线性函数模型的建立方法。 1. 条件平差法及其函数模型 首先通过两个例子，来说明条件平差函数模型的建立方法。
在图2-1中，观测了三个内角，n=3，t=2，则r=n-t=1,存在一个函数关系式（条件方程），可以表示为： 令 =[1 1 1] =[ ] =[-180] 则上式为 （2-2-1） 再如图2-2水准网， D 为已知高程水准点，A 、B 、C 均为待定点，观测值向量的真值为 ] 其中n=6，t=3，则r=n-t=3，应列出3个线性 无关的条件方程，它们可以是： 令 0180~~~321 =-++L L L 31⨯A 13~⨯L 1~L 2~L 3~L T 0 A 0~0=+A L A 116~[~ h L =⨯2~h 3~h 4~h 5~h 6~h 0~~~)~(4211 =--=h h h L F 0~~~)~(5322 =+-=h h h L F 0~~~)~(6313 =--=h h h L F 图2-2 A B C
依据观测误差，误差可分为 偶然误差 系统误差 粗差 基本平差方法 条件平差 间接平差 附有参数的条件 附有限制条件的间接 偶然误差 在相同观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都 表现出偶然性，即从单个误差看没有规律性。但就大量误差的总体而言， 有一定的统计规律。这种误差叫偶然误差。 准确度又名准度是指被观测测量X 的真值x 观测向量E(X)之差衡量误差大小 指标ε=x-E(X) 系统误差 在相同观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小符号上表现出 系统性或者在观测过程中按一定规律变化或是某一常数。这种误差称系统误差 偶然误差的特性 1在一定观测条件下，误差的绝对值有一定的限制，超出 一定限值的误差出现概率为0 2绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现的概率大 3绝对值相等的正负误差出现概率相同 4偶然误差的数学期望为零 条件平差的基本计算步骤 1根据具体情况列出条件方程A V+W=0 条件方程数等于多余观测数r 2根据条件式的系数、闭合差观测值协因数阵组成法方程NaaK+W=0法方程数等于r 3解算法方程求出K 的值 4将K 带入改正数方程V=T A QK 求出V 和平差值 5将平差值~L 从新列出平差值条件方程 看其是否满足方程 叙述附有参数的条件平差方法计算过程 1根据具体情况设u 个独立量为参数（0＜u ＜t ）列出附有参数的条件方程 条件方程个数等于多余观测数与参数个数之和 c=r+u 2根据条件方程的系数阵A 、B,闭合差以及观测值的协因数阵组成法方程 法方程个数为c+u 个 3解算法方程。由 计算 值然后由 计算式联系系数K 带入改正数 方程 计算V 值 4计算观测平差值 和参数平差值 5检验计算正确性用平差值~L~X 从新列出平差值条件方程，看其是否满足。 间接平差计算过程 1根据平差问题性质，选择t 个独立量作为参数 2将每个观测量的平差值分别表达成所选参数的函数，若函数为非线性，则要将 他线性化列出误差方程 3由误差方程系数B 和自由项l 组成法方程 法方程个数等于参数个数t 4解算法方程求出~x 计算参数的平差值 5由误差方程计算V ，求出测量平差值 解释概括平差函数模型 在已经介绍过的条件平差，间接平差，附有参数的条件平差以及附有限制条件的间接平差等四种基本平差方法，其差别就在于函数模型不同。若将误差方程也视为参数形式的条件方程，以未知参数为纽带，可以对4种平差方法概括如下： （1）、条件平差：0)ˆ(=L F ，不选择未知参数，方程数等于多余观测数：c=t n r -=
一、名词解释 1、偶然误差； 2、真误差； 3、 精度； 4、准确度； 5、权； 6、单位权中误差； 7、必要观测； 8、多余观测； 9、最或然值；10、坐标平差；11、函数模型；12、随机模型；13、统计假设检验；14、显著水平；15、区间估计；16、点估计。 二、填空题 1、判断下列情况是偶然误差还是系统误差。 （1）钢尺测距中尺长不准确是（ ），钢尺垂曲（ ），估读不准确（ ）。 （2）水准测量中水准仪视准轴与水准轴不平行（ ），读数不准确（ ）。 2、设观测值、真误差、观测值的真值、观测值的平差值、观测值改正数分别表示为：L 、 ∆、L 、ˆL 、V 。则有： ()E L = （ ）；()E ∆=（ ）；()E L = （ ）；ˆ()E L =（ ）； ()E V =（ ） ；()D L =（ ）；()D ∆=（ ）；()D L =（ ）； ˆ()D L =（ ）；ˆLV D =（ ） 。 3、设Y k X T =，Z hX =，则有； YY D =（ ）；ZZ D =（ ）；YZ D = （ ）； YY Q = （ ）；ZZ Q =（ ）；ZY Q =（ ）。 4、同精度独立观测值12,,,N L L L 的算术平均值为L ，各观测值的权为1。其平均值方差为（ ），中误差为（ ），权为（ ）。 5，在附有限制条件的条件平差函数模型中字母c 的含义（ ）； u 的含义（ ）；s 的含义（ ）；t 的含义（ ）；r 的含义（ ）。 5、观测值L 的平差值ˆL 具有最优性，表现在（1）ˆL 是L 的（ ）估计量；（2）ˆL 的方差具有（ ）；ˆL 具有（ ）性。 6、常用的假设检验方法有：（ ）、（ ）、（ ）、（ ）。 三、计算、证明题 1、设在一个三角形中，同精度独立观测得到三个内角123,,L L L ，其中误差为σ。试求将三 角形闭合差分配后的各角123 ˆˆˆ,,L L L 的协方差阵。
第一章 1、观测误差产生的原因很多，概括起有以下三种：测量仪器（感觉器官的局限、技术水平、 工作态度）、观测者（具有一定限度的准确度）、外界条件（温度、湿度、风力、大气折光等）。 2、偶然误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小和符号上都表现出偶然性，即从单个误差看，该列误差的大小和符号没有规律性，但就大量误差的总体而言，具有一定的统计规律，这种误差称为偶然误差,也叫随机误差。 采取措施：处理带有偶然误差的观测值，就是本课程的内容，也叫做测量平差。 3、系统误差：在相同的观测条件下作一系列的观测，如果误差在大小、符号上表现出一致性，或者在观测过程中按一定的规律变化，或者为一常数，这种误差就称为系统误差。 消除或削弱的方法：采取合理的操作程序（正、倒镜，中间法，对向观测等）；用公式改正，即加改正数。 4、粗差：粗差即粗大误差，或者说是一种大量级的观测误差，是由于测量过程中的差错造成的。 发现、剔除粗差的方法：进行必要的重复测量或多余观测，采用必要而又严格的检核、验算等，发现后舍弃或重测。 5、测量平差两大任务：（1）、求平差值（求未知量的最佳估值）；（2）、精度评定（评定测量成果精度）。 6、测量平差 第二章 7
8 9、真值：任一观测量，客观上总是存在一个能代表其真正大小的数值，这一数值就称为该观测值真值 10、真误差：真值与观测值之差 11、残差（改正数）：改正数（V）= 平差值（）- 观测值（） 12、偶然误差的四个统计特性： （1）一定观测条件下，误差绝对值有一定限值（有限性）； （2）绝对值较小的误差比绝对值较大的误差出现概率大（渐降性）； （3）绝对值相等的正负误差出现概率相同（对称性）； （4）偶然误差的数学期望为零（抵偿性） 13、平均误差：在一定的观测条件下，一组独立的偶然误差绝对值的数学期望，称为平均误差 14、或然误差：误差出现在（- ρ，+ ρ）之间的概率等于1/2，即 15、极限误差：通常将三倍（或两倍）的中误差作为极限误差，即 16、相对中误差的定义是：中误差与观测值之比，即 17、精度：是指误差分布的密集或离散程度，即：L与E（L）接近程度。 18、准确度：又名“准度”，是指随机变量X的真值与其数学期望之差，（是衡量系统误差大小程度的指标）
各种平差方法的共性和特性 1学时 迄今为止，我们已经介绍了五种不同的平差方法，不同的平差方法对应着形式不同的函数模型。对一个平差问题，不论采用何种模型，都具备如下共同之处，即模型中待求量的个数都多于其方程的个数，它们都是具有无穷多组解的相容方程组；都采用最小二乘准则作为约束条件，来求唯一的一组最优解；对同一个平差问题，无论采用哪种模型进行平差，其最后结果，包括任何一个量的平差值和精度都是相同的。 尽管如此，由于每种平差方法都有其自身的特点，所以，在实际应用时，应综合考虑计算工作量的大小、方程列立的难易程度、所要解决问题的性质和要求以及计算工具等因素，选择合适的平差方法。为此，应了解各种平差方法的特点。 条件平差法是一种不选任何参数的平差方法，通过列立观测值的平差值之间满足r个条件方程来建立函数模型，方程的个数为c=r个，法方程的个数也为r个，通过平差可以直接求得观测值的平差值，是一种基本的平差方法。但该方法相对于间接平差而言，精度评定较为复杂，对于已知点较多的大型平面网，条件式较多而列立复杂、规律不明显。 附有参数的条件平差需要选择u个参数，且u
测量 胡飞 摘要： 本文主要论述了测量平差的内容、理论发展现状及其主要任务。阐述了测量平差中 的个概念：观测误差、精度指标、测量平差的含义、及误差传播理论。解释了和为权，权的用途的问题。分析了测量平差常用的数学模型及最小二乘法的具体内容. 关键词：平差 权 误差 数学模型 1. 概论 测量平差，是测量数据调整的意思。其基本含义是，依据某种最优化准则，由一系列带有测量误差的观测，求定未知量的最优估值及其精度的理论和方法。 测量平差与其他学科一样，是由于生产的需要而产生的，并在生产实践的过程中，随着科学技术的进步而发展。自19世纪初到20世纪五六十年代的一百年来，测量平差学者在基于最小二乘法原理的平差方法上作了许多的研究，提出了一系列解决各种测量问题的平差方法，达到简化计算的目的。自70年代以来，特别是近十年来，测量平差与误差理论得到了充分发展。这些研究成果在常规测量技术中的应用已经相当普遍，但是近期发展的全球定位系统、地理信息系统、和遥感等技术的出现的误差理论和测量问题都将有新的内容，需要应用已有的理论和方法去解决，同时更需要提出新的理论和方法，以适应当前和未来测量事业的发展。 测量平差的科学任务可简述如下： 1. 研究观测误差的统计规律性，建立观测误差理论，用来研究、分析和处理观测误差。 其内容包括误差分布、精度指标、误差估计、误差传播、误差检验以及误差预测和控制等。 2. 针对带有误差的观测值，研究数据处理的最优化方法。其内容包括：数学模型的建 立及其正确性的检验，针对不同观测类型的数学模型，研究选取合适的最优准则及其算法，最大限度地排除误差干扰，提取有效信息。研究观测量及其所求参数解的统计性和评定精度。 3. 对测绘成果进行质量控制。根据用户对测绘产品提出的质量要求——误差限值指标， 进行确定观测方案计算并规定操作过程中各项内容的具体误差限值指标，以保障最 终测量成果达到用户质量要求，这是测绘工程中的反演问题。如果已知观测数据的误差大小，通过操作过程的误差传播和误差分布，可以计算出该成果的误差大小，即对成果进行精度评定。这是质量控制的正演问题。通过正反演计算，达到确保测绘成果质量问题控制的目的。 2. 观测误差理论 1. 偶然误差的规律性及其统计分布 任何观测量客观上总是存在一个能代表其真正大小的数值。这一值就称该观测量的真值。从概率和数理统计的观点看，当观测量仅含偶然误差时，其数学期望也就是它的真值。 设进行了n 次观测，其观测值为L 1、L 2…、L n ，假定观测量的真值为L ~ 1、L ~ 2、...、 L ~n ，由于各观测值都带有一定的误差，因此每一观测值L i 与其真值L ~ i 或E(L i )之
1-1 测量平差的基本概念 一、测量平差问题 测量误差，也称观测误差，是待观测量的真值与其观测值之差。观测只是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取反映地球及其他实体与空间分布有关信息的过程和数据。不论观测条件如何，测量误差总是不可避免的。 多余观测，为了确定一定的几何模型，并不需要知道该模型中所有元素大小，而只需要知道其中必要的部分元素的大小就行了。例如确定一个平面三角形的形状，只需要知道其中任意二个内角的大小。这二个内角观测值就称为必要观测。在几何模型中多于必要观测数的观测数称为多余观测数，如三角形中共观测了三个内角，则多余观测数为1。为了检查观测值中是否存在错误，并提高观测成果的精度，一定要进行多余观测。 不可避免的测量误差和一定要进行的多余观测这两个原因导致了观测值之间，或观测值与已知值之间出现矛盾（不符值）。比如，对同一量的多次观测，其观测结果不相等；观测值或观测值的函数与其理论值不相等（最典型的是三角形的三内角观测值之和不等于理论值1800）。观测值之间的这种矛盾（不符值），使得测量问题的解不惟一。为了消除这种矛盾（不符值），得到测量问题的惟一解，就要对引起这种矛盾（不符值）的主要原因——测量误差进行研究和处理。处理带有误差的观测值，按最小二乘原理消除观测值之间的矛盾，求出测量问题的惟一解并评定精度的理论和方法被称为“测量平差”。 “测量平差”一词在我国最早出现在夏坚白、王之卓和陈永龄三位教授合著的我国第一本测量方面的教材。“二十八年秋，著者三人同在昆明，分别任教于同济大学、西南联大及中山大学。教学之际，深感国内关于测量课本及参考书之缺乏，学者苦之，乃有编辑测量学丛书之决心，而以《测量平差法》[1]一书为始。”（引自《学部委员夏坚白》）。“测量平差”主要研究测量误差的理论、测量平差的方法和测量成果的精度评定。
绪论 测量平差理论 4种基本平差方法 讨论点位精度 统计假设检验的知识 近代平差概论 ✧绪论 §1-1观测误差 测量数据（观测数据）是指用一定的仪器、工具、传感器或其他手段获取的反映地球与其它实体的空间分布有关信息的数据，包含信息和干扰（误差）两部分。 一、误差来源 观测值中包含有观测误差，其来源主要有以下三个方面： 1. 测量仪器； 2. 观测者； 3. 外界条件。 二、观测误差分类 1. 偶然误差 定义，例如估读小数； 2. 系统误差 定义，例如用具有某一尺长误差的钢尺量距； 系统误差与偶然误差在观测过程中总是同时产生的。
3. 粗差 定义，例如观测时大数读错。 误差分布与精度指标 §2-1 正态分布 概率论中的正态分布是误差理论与测量平差基础中随机变量的基本分布。 一、一维正态分布 §2-2偶然误差的规律性
2. 直方图 由表2-1、表2-2可以得到直方图2-1和图2-2（注意纵、横坐标各表示什么？），直方图形象地表示了误差分布情况。 3. 误差分布曲线（误差的概率分布曲线） 在一定的观测条件下得到一组独立的误差，对应着一种确定的误差分布。当观测值个数的情况下，频率稳定，误差区间间隔无限缩小，图2-1和图2-2中各长方条顶边所形成的折线将分别变成如图2-3所示的两条光滑的曲线，称为误差分布曲线，随着n增大，以正态分布为其极限。因此，在以后的讨论中，都是以正态分布作为描述偶然误差分布的数学模型。
4. 偶然误差的特性 第三章协方差传播律及权 在测量实际工作中，往往会遇到某些量的大小并不是直接测定的，而是由观测值通过一定的函数关系间接计算出来的，显然，这些量是观测值的函数。例如，在一个三角形中同精度观测了3个内角L1，L2和L3，其闭合差w和各角度的平差值分别 又如图3—1中用侧方交会求交会点的坐标等。 现在提出这样一个问题：观测值函数的精度如何评定？其中误差与观测值的中误差存在怎样的关系？如何从后者得到前者？这是本章所要讨论的重要内容，阐述这种关系的公式称为协方差传播律。 § 3—1 数学期望的传播